Постройте эскиз графика функции f удовлетворяющей условиям. Построить эскиз графика функции, зная, что
В данном уроке мы рассмотрим методику построения эскиза графика функции, приведем разъясняющие примеры.
Тема: Повторение
Урок: Эскиз графика функции (на примере дробно-квадратичной функции)
Наша цель - построить эскиз графика дробно-квадратичной функции. Для примера возьмем уже знакомую нам функцию:
Задана дробная функция, в числителе и знаменателе которой стоят квадратичные функции.
Методика построения эскиза такова:
1. Выделим интервалы знакопостоянства и определим на каждом знак функции (рисунок 1)
Мы подробно рассматривали и выяснили, что функция, непрерывная в ОДЗ, может сменить знак только при переходе аргумента через корни и точки разрыва ОДЗ.
Заданная функция у непрерывна в своей ОДЗ, укажем ОДЗ:
Найдем корни:
Выделим интервалы знакопостоянства. Мы нашли корни функции и точки разрыва области определения - корни знаменателя. Важно отметить, что внутри каждого интервала функция сохраняет знак.
Рис. 1. Интервалы знакопостоянства функции
Чтобы определить знак функции на каждом интервале, можно взять любую точку, принадлежащую интервалу, подставить ее в функцию и определить ее знак. Например:
На интервале функция имеет знак плюс
На интервале функция имеет знак минус.
В этом преимущество метода интервалов: мы определяем знак в единственной пробной точке и заключаем, что функция будет иметь такой же знак на всем выбранном интервале.
Однако можно выставлять знаки автоматически, не высчитывая значений функции, для этого определить знак на крайнем интервале, а далее чередовать знаки.
1. Построим график в окрестности каждого корня. Напомним, что корни данной функции и :
Рис. 2. График в окрестностях корней
Поскольку в точке знак функции меняется с плюса на минус, то кривая сначала находится над осью, потом проходит через ноль и далее расположена под осью х. В точке наоборот.
2. Построим график в окрестности каждого разрыва ОДЗ. Напомним, что корни знаменателя данной функции и :
Рис. 3. График функции в окрестностях точек разрыва ОДЗ
Когда или знаменатель дроби практически равен нулю, значит, когда значение аргумента стремится к этим числам, значение дроби стремится к бесконечности. В данном случае, когда аргумент подходит к тройке слева функция положительна и стремится к плюс бесконечности, справа функция отрицательна и выходит из минус бесконечности. Около четверки наоборот, слева функция стремится к минус бесконечности, а справа выходит из плюс бесконечности.
Согласно построенному эскизу мы можем в некоторых промежутках угадать характер поведения функции.
Рис. 4. Эскиз графика функции
Рассмотрим следующую важную задачу - построить эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удаленных точек, т.е. когда аргумент стремится к плюс или минус бесконечности. Постоянными слагаемыми при этом можно пренебречь. Имеем:
Иногда можно встретить такую запись данного факта:
Рис. 5. Эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удаленных точек
Мы получили приблизительный характер поведения функции на всей ее области определения, далее нужно уточнять построения с применением производной.
Пример 1 - построить эскиз графика функции:
Имеем три точки, при переходе аргумента через которые функция может менять знак.
Определяем знаки функции на каждом интервале. Имеем плюс на крайнем правом интервале, далее знаки чередуются, так как все корни имеют первую степень.
Строим эскиз графика в окрестностях корней и точек разрыва ОДЗ. Имеем: поскольку в точке знак функции меняется с плюса на минус, то кривая сначала находится над осью, потом проходит через ноль и далее расположена под осью х. Когда или знаменатель дроби практически равен нулю, значит, когда значение аргумента стремится к этим числам, значение дроби стремится к бесконечности. В данном случае, когда аргумент подходит к минус двум слева функция отрицательна и стремится к минус бесконечности, справа функция положительна и выходит из плюс бесконечности. Около двойки аналогично.
Найдем производную функции:
Очевидно, что производная всегда меньше нуля, следовательно, функция убывает на всех участках. Так, на участке от минус бесконечности до минус двух функция убывает от нуля до минус бесконечности; на участке от минус двух до нуля функция убывает от плюс бесконечности до нуля; на участке от нуля до двух функция убывает от нуля до минус бесконечности; на участке от двух до плюс бесконечности функция убывает от плюс бесконечности до нуля.
Проиллюстрируем:
Рис. 6. Эскиз графика функции к примеру 1
Пример 2 - построить эскиз графика функции:
Строим эскиз графика функции без использования производной.
Сначала исследуем заданную функцию:
Имеем единственную точку, при переходе аргумента через которую функция может менять знак.
Отметим, что заданная функция нечетная.
Определяем знаки функции на каждом интервале. Имеем плюс на крайнем правом интервале, далее знак меняется, так как корень имеет первую степень.
Строим эскиз графика в окрестностях корня. Имеем: поскольку в точке знак функции меняется с минуса на плюс, то кривая сначала находится под осью, потом проходит через ноль и далее расположена над осью х.
Теперь строим эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удаленных точек, т.е. когда аргумент стремится к плюс или минус бесконечности. Постоянными слагаемыми при этом можно пренебречь. Имеем:
После выполнения вышеперечисленных действий мы уже представляем себе график функции, но требуется уточнить его с помощью производной.
Найдем производную функции:
Выделяем интервалы знакопостоянства производной: при . ОДЗ здесь . Таким образом, имеем три интервала знакопостоянства производной и три участка монотонности исходной функции. Определим знаки производной на каждом интервале. Когда 
производная положительна, функция возрастает; когда производная отрицательна, функция убывает. При этом - точка минимум, т.к. производная меняет знак с минуса на плюс; наоборот, точка максимума.
В данном уроке мы рассмотрим методику построения эскиза графика функции, приведем разъясняющие примеры.
Тема: Повторение
Урок: Эскиз графика функции (на примере дробно-квадратичной функции)
1. Методика построения эскизов графиков функций
Наша цель - построить эскиз графика дробно-квадратичной функции. Для примера возьмем уже знакомую нам функцию:
Задана дробная функция, в числителе и знаменателе которой стоят квадратичные функции.
Методика построения эскиза такова:
1. Выделим интервалы знакопостоянства и определим на каждом знак функции (рисунок 1)
Мы подробно рассматривали и выяснили, что функция, непрерывная в ОДЗ, может сменить знак только при переходе аргумента через корни и точки разрыва ОДЗ.
Заданная функция у непрерывна в своей ОДЗ, укажем ОДЗ:
Найдем корни:
Выделим интервалы знакопостоянства. Мы нашли корни функции и точки разрыва области определения - корни знаменателя. Важно отметить, что внутри каждого интервала функция сохраняет знак.
Рис. 1. Интервалы знакопостоянства функции
Чтобы определить знак функции на каждом интервале, можно взять любую точку, принадлежащую интервалу, подставить ее в функцию и определить ее знак. Например:
На интервале функция имеет знак плюс
На интервале функция имеет знак минус.
В этом преимущество метода интервалов: мы определяем знак в единственной пробной точке и заключаем, что функция будет иметь такой же знак на всем выбранном интервале.
Однако можно выставлять знаки автоматически, не высчитывая значений функции, для этого определить знак на крайнем интервале, а далее чередовать знаки.
1. Построим график в окрестности каждого корня. Напомним, что корни данной функции и :
Рис. 2. График в окрестностях корней
Поскольку в точке знак функции меняется с плюса на минус, то кривая сначала находится над осью, потом проходит через ноль и далее расположена под осью х. В точке наоборот.
2. Построим график в окрестности каждого разрыва ОДЗ. Напомним, что корни знаменателя данной функции и :
Рис. 3. График функции в окрестностях точек разрыва ОДЗ
Когда или знаменатель дроби практически равен нулю, значит, когда значение аргумента стремится к этим числам, значение дроби стремится к бесконечности. В данном случае, когда аргумент подходит к тройке слева функция положительна и стремится к плюс бесконечности, справа функция отрицательна и выходит из минус бесконечности. Около четверки наоборот, слева функция стремится к минус бесконечности, а справа выходит из плюс бесконечности.
Согласно построенному эскизу мы можем в некоторых промежутках угадать характер поведения функции.
Рис. 4. Эскиз графика функции
Рассмотрим следующую важную задачу - построить эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удаленных точек, т. е. когда аргумент стремится к плюс или минус бесконечности. Постоянными слагаемыми при этом можно пренебречь. Имеем:
Иногда можно встретить такую запись данного факта:
Рис. 5. Эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удаленных точек
Мы получили приблизительный характер поведения функции на всей ее области определения, далее нужно уточнять построения с применением производной.
2. Решение примера №1
Пример 1 - построить эскиз графика функции:
Имеем три точки, при переходе аргумента через которые функция может менять знак.
Определяем знаки функции на каждом интервале. Имеем плюс на крайнем правом интервале, далее знаки чередуются, так как все корни имеют первую степень.
Строим эскиз графика в окрестностях корней и точек разрыва ОДЗ. Имеем: поскольку в точке знак функции меняется с плюса на минус, то кривая сначала находится над осью, потом проходит через ноль и далее расположена под осью х. Когда или знаменатель дроби практически равен нулю, значит, когда значение аргумента стремится к этим числам, значение дроби стремится к бесконечности. В данном случае, когда аргумент подходит к минус двум слева функция отрицательна и стремится к минус бесконечности, справа функция положительна и выходит из плюс бесконечности. Около двойки аналогично.
Найдем производную функции:
Очевидно, что производная всегда меньше нуля, следовательно, функция убывает на всех участках. Так, на участке от минус бесконечности до минус двух функция убывает от нуля до минус бесконечности; на участке от минус двух до нуля функция убывает от плюс бесконечности до нуля; на участке от нуля до двух функция убывает от нуля до минус бесконечности; на участке от двух до плюс бесконечности функция убывает от плюс бесконечности до нуля.
Проиллюстрируем:
Рис. 6. Эскиз графика функции к примеру 1
3. Решение примера №2
Пример 2 - построить эскиз графика функции:
Строим эскиз графика функции без использования производной.
Сначала исследуем заданную функцию:
Имеем единственную точку, при переходе аргумента через которую функция может менять знак.
Отметим, что заданная функция нечетная.
Определяем знаки функции на каждом интервале. Имеем плюс на крайнем правом интервале, далее знак меняется, так как корень имеет первую степень.
Строим эскиз графика в окрестностях корня. Имеем: поскольку в точке знак функции меняется с минуса на плюс, то кривая сначала находится под осью, потом проходит через ноль и далее расположена над осью х.
Теперь строим эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удаленных точек, т. е. когда аргумент стремится к плюс или минус бесконечности. Постоянными слагаемыми при этом можно пренебречь. Имеем:
После выполнения вышеперечисленных действий мы уже представляем себе график функции, но требуется уточнить его с помощью производной.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
В данном уроке мы рассмотрим методику построения эскиза графика функции, приведем разъясняющие примеры.
Тема: Повторение
Урок: Эскиз графика функции (на примере дробно-квадратичной функции)
Наша цель - построить эскиз графика дробно-квадратичной функции. Для примера возьмем уже знакомую нам функцию:
Задана дробная функция, в числителе и знаменателе которой стоят квадратичные функции.
Методика построения эскиза такова:
1. Выделим интервалы знакопостоянства и определим на каждом знак функции (рисунок 1)
Мы подробно рассматривали и выяснили, что функция, непрерывная в ОДЗ, может сменить знак только при переходе аргумента через корни и точки разрыва ОДЗ.
Заданная функция у непрерывна в своей ОДЗ, укажем ОДЗ:
Найдем корни:
Выделим интервалы знакопостоянства. Мы нашли корни функции и точки разрыва области определения - корни знаменателя. Важно отметить, что внутри каждого интервала функция сохраняет знак.
Рис. 1. Интервалы знакопостоянства функции
Чтобы определить знак функции на каждом интервале, можно взять любую точку, принадлежащую интервалу, подставить ее в функцию и определить ее знак. Например:
На интервале функция имеет знак плюс
На интервале функция имеет знак минус.
В этом преимущество метода интервалов: мы определяем знак в единственной пробной точке и заключаем, что функция будет иметь такой же знак на всем выбранном интервале.
Однако можно выставлять знаки автоматически, не высчитывая значений функции, для этого определить знак на крайнем интервале, а далее чередовать знаки.
1. Построим график в окрестности каждого корня. Напомним, что корни данной функции и :
Рис. 2. График в окрестностях корней
Поскольку в точке знак функции меняется с плюса на минус, то кривая сначала находится над осью, потом проходит через ноль и далее расположена под осью х. В точке наоборот.
2. Построим график в окрестности каждого разрыва ОДЗ. Напомним, что корни знаменателя данной функции и :
Рис. 3. График функции в окрестностях точек разрыва ОДЗ
Когда или знаменатель дроби практически равен нулю, значит, когда значение аргумента стремится к этим числам, значение дроби стремится к бесконечности. В данном случае, когда аргумент подходит к тройке слева функция положительна и стремится к плюс бесконечности, справа функция отрицательна и выходит из минус бесконечности. Около четверки наоборот, слева функция стремится к минус бесконечности, а справа выходит из плюс бесконечности.
Согласно построенному эскизу мы можем в некоторых промежутках угадать характер поведения функции.
Рис. 4. Эскиз графика функции
Рассмотрим следующую важную задачу - построить эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удаленных точек, т.е. когда аргумент стремится к плюс или минус бесконечности. Постоянными слагаемыми при этом можно пренебречь. Имеем:
Иногда можно встретить такую запись данного факта:
Рис. 5. Эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удаленных точек
Мы получили приблизительный характер поведения функции на всей ее области определения, далее нужно уточнять построения с применением производной.
Пример 1 - построить эскиз графика функции:
Имеем три точки, при переходе аргумента через которые функция может менять знак.
Определяем знаки функции на каждом интервале. Имеем плюс на крайнем правом интервале, далее знаки чередуются, так как все корни имеют первую степень.
Строим эскиз графика в окрестностях корней и точек разрыва ОДЗ. Имеем: поскольку в точке знак функции меняется с плюса на минус, то кривая сначала находится над осью, потом проходит через ноль и далее расположена под осью х. Когда или знаменатель дроби практически равен нулю, значит, когда значение аргумента стремится к этим числам, значение дроби стремится к бесконечности. В данном случае, когда аргумент подходит к минус двум слева функция отрицательна и стремится к минус бесконечности, справа функция положительна и выходит из плюс бесконечности. Около двойки аналогично.
Найдем производную функции:
Очевидно, что производная всегда меньше нуля, следовательно, функция убывает на всех участках. Так, на участке от минус бесконечности до минус двух функция убывает от нуля до минус бесконечности; на участке от минус двух до нуля функция убывает от плюс бесконечности до нуля; на участке от нуля до двух функция убывает от нуля до минус бесконечности; на участке от двух до плюс бесконечности функция убывает от плюс бесконечности до нуля.
Проиллюстрируем:
Рис. 6. Эскиз графика функции к примеру 1
Пример 2 - построить эскиз графика функции:
Строим эскиз графика функции без использования производной.
Сначала исследуем заданную функцию:
Имеем единственную точку, при переходе аргумента через которую функция может менять знак.
Отметим, что заданная функция нечетная.
Определяем знаки функции на каждом интервале. Имеем плюс на крайнем правом интервале, далее знак меняется, так как корень имеет первую степень.
Строим эскиз графика в окрестностях корня. Имеем: поскольку в точке знак функции меняется с минуса на плюс, то кривая сначала находится под осью, потом проходит через ноль и далее расположена над осью х.
Теперь строим эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удаленных точек, т.е. когда аргумент стремится к плюс или минус бесконечности. Постоянными слагаемыми при этом можно пренебречь. Имеем:
После выполнения вышеперечисленных действий мы уже представляем себе график функции, но требуется уточнить его с помощью производной.
Найдем производную функции:
Выделяем интервалы знакопостоянства производной: при . ОДЗ здесь . Таким образом, имеем три интервала знакопостоянства производной и три участка монотонности исходной функции. Определим знаки производной на каждом интервале. Когда производная положительна, функция возрастает; когда производная отрицательна, функция убывает. При этом - точка минимум, т.к. производная меняет знак с минуса на плюс; наоборот, точка максимума.