Ano ang natural na logarithm ng 1 2. Ano ang logarithm
madalas kumuha ng numero e = 2,718281828 ... Ang mga logarithm sa base na ito ay tinatawag natural... Kapag nagsasagawa ng mga kalkulasyon na may natural na logarithms, karaniwang tinatanggap na gumana gamit ang sign ln, ngunit hindi log; habang ang numero 2,718281828 ang pagtukoy sa base ay hindi nagpapahiwatig.
Sa madaling salita, ang mga salita ay magiging ganito: natural na logarithm ang mga numero X ay isang tagapagpahiwatig ng antas kung saan kailangang itaas ang bilang e, Para makuha x.
Kaya, ln (7,389 ...)= 2, dahil e 2 =7,389... ... Natural logarithm ng numero mismo e= 1 kasi e 1 =e, at ang natural na logarithm ng isa ay zero, dahil e 0 = 1.
Ang numero mismo e tumutukoy sa limitasyon ng isang monotone bounded sequence
kalkulado iyon e = 2,7182818284... .
Kadalasan, upang ayusin ang isang numero sa memorya, ang mga digit ng kinakailangang numero ay nauugnay sa ilang natitirang petsa. Ang bilis ng pagsasaulo ng unang siyam na digit ng isang numero e ay tataas pagkatapos ng decimal point kung mapapansin mo na ang 1828 ay ang taon ng kapanganakan ni Leo Tolstoy!
Ngayon ay may mga kumpletong talahanayan ng natural logarithms.
Natural logarithm plot(mga function y =sa x) ay isang kinahinatnan ng exponent plot ng mirror image na may kaugnayan sa tuwid na linya y = x at may anyo:
Ang natural na logarithm ay matatagpuan para sa bawat positibong tunay na numero a bilang ang lugar sa ilalim ng kurba y = 1/x mula sa 1 dati a.
Ang elementarya na katangian ng pagbabalangkas na ito, na akma sa maraming iba pang mga pormula kung saan ang natural na logarithm ay kasangkot, ang dahilan ng pagbuo ng pangalang "natural".
Kung susuriin mo natural na logarithm, bilang isang tunay na function ng isang tunay na variable, pagkatapos ito ay gumaganap baligtad na pag-andar sa isang exponential function, na bumababa sa mga pagkakakilanlan:
e ln (a) = a (a> 0)
ln (e a) = a
Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa lahat ng logarithms, ang natural na logarithm ay nagpapalit ng multiplikasyon sa karagdagan, paghahati sa pagbabawas:
ln(xy) = ln(x) + ln(y)
ln(x / y) = lnx - lny
Ang logarithm ay matatagpuan para sa bawat positibong base na hindi katumbas ng isa, hindi lamang para sa e, ngunit ang mga logarithm para sa iba pang mga base ay naiiba sa natural na logarithm sa pamamagitan lamang ng isang pare-parehong salik, at kadalasang tinutukoy sa mga tuntunin ng natural na logarithm.
Pagkatapos ng pagsusuri natural na logarithm graph, nakuha namin na ito ay umiiral para sa mga positibong halaga ng variable x... Ito ay tumataas monotonically sa kanyang domain ng kahulugan.
Sa x → 0 ang limitasyon ng natural na logarithm ay minus infinity ( -∞ ) Sa x → + ∞ ang limitasyon ng natural na logarithm ay plus infinity ( + ∞ ). Para sa malaki x medyo mabagal ang pagtaas ng logarithm. Anumang power function x a positibong exponent a mas mabilis na tumataas kaysa sa logarithm. Ang natural na logarithm ay isang monotonically increase na function, kaya wala itong extrema.
Paggamit natural logarithms napaka makatwiran kapag pumasa sa mas mataas na matematika. Kaya, ang paggamit ng logarithm ay maginhawa para sa paghahanap ng sagot sa mga equation kung saan lumilitaw ang mga hindi alam bilang isang exponent. Ang paggamit ng natural na logarithm sa mga kalkulasyon ay ginagawang posible upang lubos na mapadali ang isang malaking bilang ng mga mathematical formula. Logarithms sa base e ay naroroon sa solusyon ng isang makabuluhang bilang ng mga pisikal na problema at natural na pumasok sa matematikal na paglalarawan ng indibidwal na kemikal, biyolohikal at iba pang mga proseso. Kaya, ang logarithms ay ginagamit upang kalkulahin ang decay constant para sa isang kilalang kalahating buhay, o upang kalkulahin ang oras ng pagkabulok sa paglutas ng mga problema sa radioactivity. Ginampanan nila ang pangunahing papel sa maraming sangay ng matematika at praktikal na agham, ginagamit ang mga ito sa larangan ng pananalapi upang malutas ang isang malaking bilang ng mga problema, kabilang ang pagkalkula ng tambalang interes.
Bago natin makilala ang konsepto ng natural logarithm, isaalang-alang ang konsepto ng isang pare-parehong numero $ e $.
Bilang $ e $
Kahulugan 1
Bilang $ e $ Ay isang mathematical constant, na isang transendental na numero at katumbas ng $ e \ approx 2.718281828459045 \ ldots $.
Kahulugan 2
Transendental ay isang numero na hindi ugat ng isang polynomial na may mga integer coefficient.
Puna 1
Inilalarawan ng huling formula pangalawang kahanga-hangang limitasyon.
Tinatawag din ang numerong e Mga numero ng Euler at minsan Mga numero ng Napier.
Puna 2
Upang matandaan ang mga unang palatandaan ng numerong $ e $, madalas na ginagamit ang sumusunod na expression: "$ 2 $, $ 7 $, dalawang beses Leo Tolstoy"... Siyempre, upang magamit ito, dapat mong tandaan na si Leo Tolstoy ay ipinanganak noong $ 1828 $. Ito ang mga numerong ito na inuulit nang dalawang beses sa halaga ng numerong $ e $ pagkatapos ng integer na bahagi ng $ 2 $ at ang decimal na $7 $.
Sinimulan naming isaalang-alang ang konsepto ng bilang na $ e $ sa pag-aaral ng natural na logarithm dahil ito ay nakatayo sa base ng logarithm $ \ log_ (e) a $, na karaniwang tinatawag natural at nakasulat sa anyong $ \ ln a $.
Natural logarithm
Kadalasan, kapag nagkalkula, ginagamit ang mga logarithms, sa base nito ay ang numerong $ e $.
Kahulugan 4
Ang logarithm na may base na $ e $ ay tinatawag natural.
Yung. ang natural na logarithm ay maaaring tukuyin bilang $ \ log_ (e) a $, ngunit sa matematika ay kaugalian na gamitin ang notasyong $ \ ln a $.
Mga likas na katangian ng logarithm
kasi ang logarithm sa anumang base mula sa isa ay $ 0 $, pagkatapos ang natural na logarithm ng isa ay $ 0 $:
Ang natural na logarithm ng numerong $ e $ ay katumbas ng isa:
Ang natural na logarithm ng produkto ng dalawang numero ay katumbas ng kabuuan ng natural na logarithm ng mga numerong ito:
$ \ ln (ab) = \ ln a + \ ln b $.
Ang natural na logarithm ng quotient ng dalawang numero ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng natural na logarithm ng mga numerong ito:
$ \ ln \ frac (a) (b) = \ ln a- \ ln b $.
Ang natural na logarithm ng kapangyarihan ng isang numero ay maaaring katawanin bilang produkto ng exponent ng natural na logarithm ng sub-logarithmic na numero:
$ \ ln a ^ s = s \ cdot \ ln a $.
Halimbawa 1
Pasimplehin ang expression na $ \ frac (2 \ ln 4e- \ ln 16) (\ ln 5e- \ frac (1) (2) \ ln 25) $.
Solusyon.
Inilalapat namin ang pag-aari ng logarithm ng produkto sa unang logarithm sa numerator at sa denominator, at ang ari-arian ng logarithm ng degree sa pangalawang logarithm ng numerator at denominator:
$ \ frac (2 \ ln 4e- \ ln16) (\ ln 5e- \ frac (1) (2) \ ln 25) = \ frac (2 (\ ln 4 + \ ln e) - \ ln 4 ^ 2) (\ ln 5 + \ ln e- \ frac (1) (2) \ ln 5 ^ 2) = $
buksan ang mga bracket at ipakita ang mga katulad na termino, at ilapat din ang property $ \ ln e = 1 $:
$ = \ frac (2 \ ln 4 + 2-2 \ ln 4) (\ ln 5 + 1- \ frac (1) (2) \ cdot 2 \ ln 5) = \ frac (2) ( \ ln 5 + 1- \ ln 5) = 2 $.
Sagot: $ \ frac (2 \ ln 4e- \ ln 16) (\ ln 5e- \ frac (1) (2) \ ln 25) = 2 $.
Halimbawa 2
Hanapin ang halaga ng expression na $ \ ln 2e ^ 2 + \ ln \ frac (1) (2e) $.
Solusyon.
Ilapat natin ang formula para sa kabuuan ng logarithms:
$ \ ln 2e ^ 2 + \ ln \ frac (1) (2e) = \ ln 2e ^ 2 \ cdot \ frac (1) (2e) = \ ln e = 1 $.
Sagot: $ \ ln 2e ^ 2 + \ ln \ frac (1) (2e) = 1 $.
Halimbawa 3
Suriin ang halaga ng logarithmic expression $ 2 \ lg 0,1 + 3 \ ln e ^ 5 $.
Solusyon.
Ilapat natin ang pag-aari ng logarithm ng degree:
$ 2 \ lg 0,1 + 3 \ ln e ^ 5 = 2 \ lg 10 ^ (- 1) +3 \ cdot 5 \ ln e = -2 \ lg 10 + 15 \ ln e = -2 + 15 = 13 $.
Sagot: $ 2 \ lg 0,1 + 3 \ ln e ^ 5 = 13 $.
Halimbawa 4
Pasimplehin ang logarithmic expression para sa $ \ ln \ frac (1) (8) -3 \ ln 4 $.
$ 3 \ ln \ frac (9) (e ^ 2) -2 \ ln 27 = 3 \ ln (\ frac (3) (e)) ^ 2-2 \ ln 3 ^ 3 = 3 \ cdot 2 \ ln \ frac (3) (e) -2 \ cdot 3 \ ln 3 = 6 \ ln \ frac (3) (e) -6 \ ln 3 = $
inilalapat namin sa unang logarithm ang pag-aari ng logarithm ng quotient:
$ = 6 (\ ln 3- \ ln e) -6 \ ln 3 = $
buksan natin ang mga bracket at magbigay ng mga katulad na termino:
$ = 6 \ ln 3-6 \ ln e-6 \ ln 3 = -6 $.
Sagot: $ 3 \ ln \ frac (9) (e ^ 2) -2 \ ln 27 = -6 $.
Sa pamamagitan ng base ng numero e: ln x = log e x.
Ang natural na logarithm ay malawakang ginagamit sa matematika, dahil ang derivative nito ay may pinakasimpleng anyo: (ln x) ′ = 1 / x.
Batay mga kahulugan, ang base ng natural na logarithm ay ang numero e:
e ≅ 2.718281828459045 ...;
.
Function graph y = sa x.
Natural logarithm plot (functions y = sa x) ay nakuha mula sa exponent graph sa pamamagitan ng pag-mirror nito na may kaugnayan sa tuwid na linya y = x.
Ang natural na logarithm ay tinukoy para sa mga positibong halaga ng variable x. Ito ay tumataas monotonically sa kanyang domain ng kahulugan.
Bilang x → 0 ang limitasyon ng natural na logarithm ay minus infinity (- ∞).
Bilang x → + ∞, ang limitasyon ng natural na logarithm ay plus infinity (+ ∞). Para sa malaking x, medyo mabagal ang pagtaas ng logarithm. Anumang power function x a na may positibong exponent a ay lumalaki nang mas mabilis kaysa sa logarithm.
Mga likas na katangian ng logarithm
Saklaw ng kahulugan, hanay ng mga halaga, extrema, pagtaas, pagbaba
Ang natural na logarithm ay isang monotonically na pagtaas ng function, samakatuwid ito ay walang extrema. Ang mga pangunahing katangian ng natural na logarithm ay ipinakita sa talahanayan.
Ln x
ln 1 = 0
Mga pangunahing formula para sa natural na logarithms
Mga formula na nagmumula sa kahulugan ng inverse function:
Ang pangunahing pag-aari ng logarithms at ang mga kahihinatnan nito
Base kapalit na formula
Ang anumang logarithm ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng natural na logarithms gamit ang base change formula:
Ang mga patunay ng mga formula na ito ay ipinakita sa seksyong "Logarithm".
Baliktad na pag-andar
Ang kabaligtaran ng natural na logarithm ay ang exponent.
Kung, kung gayon
Kung, kung gayon.
Derivative ln x
Derivative ng natural logarithm:
.
Derivative ng natural logarithm ng modulus x:
.
Derivative ng ika-na order:
.
Pinagmulan ng mga formula>>>
integral
Ang integral ay kinakalkula sa pamamagitan ng pagsasama ng mga bahagi:
.
Kaya,
Mga expression sa mga tuntunin ng kumplikadong mga numero
Isaalang-alang ang isang function ng isang kumplikadong variable z:
.
Ipahayag natin ang kumplikadong variable z sa pamamagitan ng modyul r at ang argumento φ
:
.
Gamit ang mga katangian ng logarithm, mayroon kaming:
.
O kaya
.
Ang argumento φ ay hindi natatanging tinukoy. Kung ilalagay natin
, kung saan ang n ay isang integer,
ito ay magiging parehong numero para sa magkaibang n.
Samakatuwid, ang natural na logarithm, bilang isang function ng isang kumplikadong variable, ay hindi isang hindi malabo na function.
Pagpapalawak ng serye ng kapangyarihan
Sa agnas ay nagaganap:
Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng Mathematics para sa mga Inhinyero at Mag-aaral ng mga Teknikal na Institusyon, "Lan", 2009.
Aralin at paglalahad sa mga paksa: "Natural logarithms. Base ng natural logarithm. Logarithm ng natural na numero"
Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, pagsusuri, kagustuhan! Ang lahat ng mga materyales ay nasuri ng isang antivirus program.
Mga tulong sa pagtuturo at simulator sa Integral online na tindahan para sa grade 11
Interactive na tutorial para sa grade 9-11 "Trigonometry"
Interactive na tutorial para sa grade 10-11 "Logarithms"
Ano ang natural logarithm
Guys, sa huling aralin natutunan namin ang isang bagong, espesyal na numero - e. Ngayon ay patuloy kaming gagana sa numerong ito.Nag-aral kami ng logarithm at alam namin na sa base ng logarithm ay maaaring mayroong maraming mga numero na mas malaki kaysa sa 0. Ngayon ay isasaalang-alang din natin ang logarithm, kung saan ang base ay ang numero e. Ang ganitong logarithm ay karaniwang tinatawag na natural na logarithm. Mayroon itong sariling notasyon: $ \ ln (n) $ - natural logarithm. Ang entry na ito ay katumbas ng entry: $ \ log_e (n) = \ ln (n) $.
Ang mga exponential at logarithmic function ay inverse, pagkatapos ang natural na logarithm ay inverse para sa function na: $ y = e ^ x $.
Ang mga inverse function ay simetriko na may paggalang sa linyang $ y = x $.
I-plot natin ang natural logarithm sa pamamagitan ng pagpapakita ng exponential function na may paggalang sa linyang $ y = x $.
Ito ay nagkakahalaga ng pagpuna sa anggulo ng pagkahilig ng tangent sa graph ng function na $ y = e ^ x $ sa punto (0; 1) ay 45 °. Pagkatapos ang anggulo ng pagkahilig ng tangent sa graph ng natural na logarithm sa punto (1; 0) ay magiging 45 ° din. Pareho sa mga tangent na ito ay magiging parallel sa linya $ y = x $. I-sketch natin ang mga tangent: 
Mga katangian ng function $ y = \ ln (x) $
1. $ D (f) = (0; + ∞) $.2. Ay hindi kahit na o kakaiba.
3. Tumataas sa buong lugar ng kahulugan.
4. Hindi limitado sa itaas, hindi limitado sa ibaba.
5. Walang pinakamataas na halaga, walang pinakamababang halaga.
6. Tuloy-tuloy.
7. $ E (f) = (- ∞; + ∞) $.
8. Matambok pataas.
9. Naiiba kahit saan.
Sa kurso ng mas mataas na matematika ito ay pinatunayan na ang derivative ng isang inverse function ay ang inverse ng derivative ng isang ibinigay na function.
Walang saysay na palalimin ang patunay, isulat na lang natin ang formula: $ y "= (\ ln (x))" = \ frac (1) (x) $.
Halimbawa.
Kalkulahin ang halaga ng derivative ng function: $ y = \ ln (2x-7) $ sa puntong $ x = 4 $.
Solusyon.
Sa pangkalahatan, ang aming function ay kumakatawan sa function na $ y = f (kx + m) $, maaari naming kalkulahin ang mga derivatives ng naturang mga function.
$ y "= (\ ln ((2x-7)))" = \ frac (2) ((2x-7)) $.
Kalkulahin natin ang halaga ng derivative sa kinakailangang punto: $ y "(4) = \ frac (2) ((2 * 4-7)) = 2 $.
Sagot: 2.
Halimbawa.
Gumuhit ng tangent sa graph ng function na $ y = ln (x) $ sa puntong $ x = e $.
Solusyon.
Ang equation ng tangent sa graph ng function, sa puntong $ x = a $, naaalala nating mabuti.
$ y = f (a) + f "(a) (x-a) $.
Kalkulahin natin ang mga kinakailangang halaga nang sunud-sunod.
$a = e $.
$ f (a) = f (e) = \ ln (e) = 1 $.
$ f "(a) = \ frac (1) (a) = \ frac (1) (e) $.
$ y = 1 + \ frac (1) (e) (x-e) = 1 + \ frac (x) (e) - \ frac (e) (e) = \ frac (x) (e) $.
Ang tangent equation sa puntong $ x = e $ ay isang function $ y = \ frac (x) (e) $.
I-plot natin ang natural logarithm at ang tangent line. 
Halimbawa.
Suriin ang function para sa monotonicity at extrema: $ y = x ^ 6-6 * ln (x) $.
Solusyon.
Ang domain ng function ay $ D (y) = (0; + ∞) $.
Hanapin natin ang derivative ng ibinigay na function:
$ y "= 6 * x ^ 5- \ frac (6) (x) $.
Ang derivative ay umiiral para sa lahat ng x mula sa domain ng kahulugan, pagkatapos ay walang mga kritikal na puntos. Maghanap ng mga nakatigil na puntos:
$ 6 * x ^ 5- \ frac (6) (x) = 0 $.
$ \ frac (6 * x ^ 6-6) (x) = 0 $.
$6 * x ^ 6-6 = 0 $.
$ x ^ 6-1 = 0 $.
$ x ^ 6 = 1 $.
$ x = ± 1 $.
Ang puntong $ x = -1 $ ay wala sa saklaw. Pagkatapos ay mayroon kaming isang nakatigil na punto $ x = 1 $. Hanapin natin ang mga pagitan ng pagtaas at pagbaba: 
Ang puntong $ x = 1 $ ay ang pinakamababang punto, pagkatapos ay $ y_min = 1-6 * \ ln (1) = 1 $.
Sagot: Bumababa ang function sa segment (0; 1], tumataas ang function sa ray $)