Ang artikulo ay nagbibigay detalyadong paliwanag mga kahulugan, geometriko na kahulugan ng hinalaw na may mga graphic na simbolo. Ang equation ng isang tangent line ay isasaalang-alang kasama ng mga halimbawa, ang mga equation ng isang tangent hanggang 2nd order curves ay makikita.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Depinisyon 1

Ang anggulo ng pagkahilig ng tuwid na linya y = k x + b ay tinatawag na anggulo α, na sinusukat mula sa positibong direksyon ng x axis hanggang sa tuwid na linya y = k x + b sa positibong direksyon.

Sa figure, ang direksyon ng x ay ipinahiwatig ng isang berdeng arrow at isang berdeng arko, at ang anggulo ng pagkahilig ng isang pulang arko. Ang asul na linya ay tumutukoy sa tuwid na linya.

Kahulugan 2

Ang slope ng tuwid na linya y = k x + b ay tinatawag na numerical coefficient k.

Ang angular coefficient ay katumbas ng tangent ng tuwid na linya, sa madaling salita k = t g α.

• Ang anggulo ng inclination ng isang tuwid na linya ay katumbas ng 0 lamang kung ito ay parallel sa x at ang slope ay katumbas ng zero, dahil ang tangent ng zero ay katumbas ng 0. Nangangahulugan ito na ang anyo ng equation ay y = b.
• Kung ang anggulo ng pagkahilig ng tuwid na linya y = k x + b ay talamak, kung gayon ang mga kondisyon 0 ay nasiyahan< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0, at mayroong pagtaas sa graph.
• Kung α = π 2, kung gayon ang lokasyon ng linya ay patayo sa x. Ang pagkakapantay-pantay ay tinukoy ng x = c na ang halaga c ay isang tunay na numero.
• Kung ang anggulo ng pagkahilig ng tuwid na linya y = k x + b ay malabo, kung gayon ito ay tumutugma sa mga kondisyon π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает negatibong kahulugan, at bumababa ang graph.

Kahulugan 3

Ang secant ay isang linya na dumadaan sa 2 puntos ng function na f (x). Sa madaling salita, ang secant ay isang tuwid na linya na iginuhit sa alinmang dalawang punto sa graph ibinigay na function.

Ipinapakita ng figure na ang A B ay isang secant, at ang f (x) ay isang itim na curve, ang α ay isang pulang arko, na nagpapahiwatig ng anggulo ng pagkahilig ng secant.

Kapag ang angular coefficient ng isang tuwid na linya ay katumbas ng tangent ng anggulo ng inclination, malinaw na ang tangent ng isang right triangle A B C ay matatagpuan sa pamamagitan ng ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabi.

Kahulugan 4

Kumuha kami ng formula para sa paghahanap ng secant ng form:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, kung saan ang abscissas ng mga puntos A at B ay ang mga halaga x A, x B, at f (x A), f (x B) ay ang mga value function sa mga puntong ito.

Malinaw, ang angular coefficient ng secant ay tinutukoy gamit ang equality k = f (x B) - f (x A) x B - x A o k = f (x A) - f (x B) x A - x B , at ang equation ay dapat na nakasulat bilang y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) o
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Hinahati ng secant ang graph nang biswal sa 3 bahagi: sa kaliwa ng punto A, mula A hanggang B, sa kanan ng B. Ang figure sa ibaba ay nagpapakita na mayroong tatlong secants na itinuturing na magkasabay, iyon ay, itinakda ang mga ito gamit ang isang katulad na equation.

Sa pamamagitan ng kahulugan, malinaw na ang tuwid na linya at ang secant nito sa kasong ito ay nag-tutugma.

Maaaring i-intersect ng isang secant ang graph ng isang partikular na function nang maraming beses. Kung mayroong isang equation ng form na y = 0 para sa isang secant, kung gayon ang bilang ng mga punto ng intersection sa sinusoid ay walang hanggan.

Kahulugan 5

Tangent sa graph ng function na f (x) sa punto x 0 ; f (x 0) ay isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto x 0; f (x 0), na may presensya ng isang segment na may maraming x value na malapit sa x 0.

Halimbawa 1

Tingnan natin ang halimbawa sa ibaba. Pagkatapos ay malinaw na ang linya na tinukoy ng function na y = x + 1 ay itinuturing na tangent sa y = 2 x sa puntong may mga coordinate (1; 2). Para sa kalinawan, kinakailangang isaalang-alang ang mga graph na may mga halaga na malapit sa (1; 2). Ang function na y = 2 x ay ipinapakita sa itim, ang asul na linya ay ang tangent na linya, at ang pulang tuldok ay ang intersection point.

Malinaw, ang y = 2 x ay sumasama sa linyang y = x + 1.

Upang matukoy ang tangent, dapat nating isaalang-alang ang pag-uugali ng tangent A B habang ang punto B ay lumalapit sa puntong A nang walang hanggan.

Ang secant A B, na ipinahiwatig ng asul na linya, ay may gawi sa posisyon ng tangent mismo, at ang anggulo ng pagkahilig ng secant α ay magsisimula sa anggulo ng pagkahilig ng tangent mismo α x.

Kahulugan 6

Ang tangent sa graph ng function na y = f (x) sa punto A ay itinuturing na naglilimita sa posisyon ng secant A B dahil ang B ay may posibilidad na A, iyon ay, B → A.

Ngayon ay magpatuloy tayo upang isaalang-alang ang geometric na kahulugan ng derivative ng isang function sa isang punto.

Magpatuloy tayo sa pagsasaalang-alang sa secant A B para sa function na f (x), kung saan ang A at B na may mga coordinate x 0, f (x 0) at x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x), at ∆ x ay denoted bilang ang increment ng argumento . Ngayon ang function ay kukuha ng anyo ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Para sa kalinawan, magbigay tayo ng isang halimbawa ng pagguhit.

Isaalang-alang natin ang resulta kanang tatsulok A B C. Ginagamit namin ang kahulugan ng tangent upang malutas, iyon ay, nakukuha namin ang kaugnayan ∆ y ∆ x = t g α . Mula sa kahulugan ng isang padaplis ito ay sumusunod na lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Ayon sa tuntunin ng derivative sa isang punto, mayroon tayong derivative na f (x) sa puntong x 0 ay tinatawag na limitasyon ng ratio ng pagtaas ng function sa increment ng argument, kung saan ∆ x → 0 , pagkatapos ay tukuyin natin ito bilang f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Kasunod nito na ang f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, kung saan ang k x ay tinutukoy bilang slope ng tangent.

Iyon ay, nakita natin na ang f ' (x) ay maaaring umiral sa punto x 0, at tulad ng tangent sa isang ibinigay na graph ng function sa punto ng tangency katumbas ng x 0, f 0 (x 0), kung saan ang halaga ng ang slope ng tangent sa punto ay katumbas ng derivative sa punto x 0 . Pagkatapos makuha namin na k x = f " (x 0) .

Geometric na kahulugan derivative ng isang function sa isang punto ay ang konsepto ng pagkakaroon ng isang tangent sa graph sa parehong punto ay ibinigay.

Upang isulat ang equation ng anumang tuwid na linya sa isang eroplano, kinakailangan na magkaroon ng isang angular coefficient na may punto kung saan ito dumadaan. Ang notasyon nito ay kinuha na x 0 sa intersection.

Ang tangent equation sa graph ng function na y = f (x) sa puntong x 0, f 0 (x 0) ay nasa anyong y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0).

Nangangahulugan ito na ang pangwakas na halaga ng derivative f "(x 0) ay maaaring matukoy ang posisyon ng tangent, iyon ay, patayo, sa kondisyon na lim x → x 0 + 0 f "(x) = ∞ at lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ o kawalan talaga sa ilalim ng kundisyong lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .

Ang lokasyon ng tangent ay depende sa halaga ng angular coefficient nito k x = f "(x 0). Kapag parallel sa o x axis, nakukuha natin na k k = 0, kapag parallel sa o y - k x = ∞, at ang anyo ng tangent equation x = x 0 ay tumataas na may k x > 0, bumababa bilang k x< 0 .

Halimbawa 2

Bumuo ng equation para sa tangent sa graph ng function na y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 sa punto na may mga coordinate (1; 3) at tukuyin ang anggulo ng pagkahilig.

Solusyon

Sa pamamagitan ng kundisyon, mayroon kaming na ang function ay tinukoy para sa lahat ng mga tunay na numero. Nalaman namin na ang punto na may mga coordinate na tinukoy ng kundisyon, (1; 3) ay isang punto ng tangency, pagkatapos x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.

Kinakailangang hanapin ang derivative sa puntong may halaga - 1. Nakukuha namin iyon

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Ang halaga ng f' (x) sa punto ng tangency ay ang slope ng tangent, na katumbas ng tangent ng slope.

Pagkatapos k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

Kasunod nito na α x = a r c t g 3 3 = π 6

Sagot: ang tangent equation ay tumatagal ng anyo

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

Para sa kalinawan, nagbibigay kami ng isang halimbawa sa isang graphic na paglalarawan.

Ang itim na kulay ay ginagamit para sa graph ng orihinal na function, Kulay asul– larawan ng padaplis, pulang tuldok – punto ng tangency. Ang figure sa kanan ay nagpapakita ng pinalaki na view.

Halimbawa 3

Tukuyin ang pagkakaroon ng isang tangent sa graph ng isang ibinigay na function
y = 3 · x - 1 5 + 1 sa puntong may mga coordinate (1 ; 1) . Sumulat ng isang equation at tukuyin ang anggulo ng pagkahilig.

Solusyon

Sa pamamagitan ng kundisyon, mayroon kaming na ang domain ng kahulugan ng isang ibinigay na function ay itinuturing na set ng lahat ng tunay na numero.

Lumipat tayo sa paghahanap ng derivative

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Kung x 0 = 1, kung gayon ang f' (x) ay hindi natukoy, ngunit ang mga limitasyon ay isinusulat bilang lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ at lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , na nangangahulugang ang pagkakaroon ng patayong padaplis sa punto (1; 1).

Sagot: ang equation ay kukuha ng anyong x = 1, kung saan ang anggulo ng pagkahilig ay magiging katumbas ng π 2.

Para sa kalinawan, ilarawan natin ito nang grapiko.

Halimbawa 4

Hanapin ang mga puntos sa graph ng function na y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2, kung saan

1. Walang padaplis;
2. Ang padaplis ay parallel sa x;
3. Ang padaplis ay parallel sa linyang y = 8 5 x + 4.

Solusyon

Kinakailangang bigyang pansin ang saklaw ng kahulugan. Sa pamamagitan ng kondisyon, mayroon kaming na ang function ay tinukoy sa hanay ng lahat ng mga tunay na numero. Pinalawak namin ang module at nilulutas ang system na may mga pagitan x ∈ - ∞ ; 2 at [- 2 ; + ∞). Nakukuha namin iyon

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Ito ay kinakailangan upang iiba ang pag-andar. Meron tayo niyan

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Kapag x = − 2, kung gayon ang derivative ay hindi umiiral dahil ang isang panig na limitasyon ay hindi pantay sa puntong iyon:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Kinakalkula namin ang halaga ng function sa puntong x = - 2, kung saan nakuha namin iyon

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, iyon ay, ang padaplis sa punto ( - 2; - 2) ay hindi iiral.
2. Ang tangent ay parallel sa x kapag ang slope ay zero. Pagkatapos k x = t g α x = f "(x 0). Iyon ay, kinakailangan upang mahanap ang mga halaga ng naturang x kapag ang derivative ng function ay nagiging zero. Iyon ay, ang mga halaga ng f ' (x) ang magiging mga punto ng tangency, kung saan ang padaplis ay kahanay sa x .

Kapag x ∈ - ∞ ; - 2, pagkatapos - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, at para sa x ∈ (- 2; + ∞) makakakuha tayo ng 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Kalkulahin ang kaukulang mga halaga ng function

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Samakatuwid - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; Ang 4 3 ay itinuturing na mga kinakailangang puntos ng function graph.

Tingnan natin ang isang graphical na representasyon ng solusyon.

Ang itim na linya ay ang graph ng function, ang mga pulang tuldok ay ang mga tangency point.

1. Kapag ang mga linya ay parallel, ang mga angular coefficient ay pantay. Pagkatapos ay kinakailangan na maghanap ng mga puntos sa function graph kung saan ang slope ay magiging katumbas ng halaga 8 5. Upang gawin ito, kailangan mong lutasin ang isang equation ng anyong y "(x) = 8 5. Pagkatapos, kung x ∈ - ∞; - 2, makuha natin iyon - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, at kung x ∈ ( - 2 ; + ∞), kung gayon 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

Ang unang equation ay walang mga ugat, dahil ang discriminant mas mababa sa zero. Isulat natin iyan

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Ang isa pang equation ay may dalawang tunay na ugat, kung gayon

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Magpatuloy tayo sa paghahanap ng mga halaga ng pag-andar. Nakukuha namin iyon

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Mga puntos na may mga halaga - 1; 4 15, 5; Ang 8 3 ay ang mga punto kung saan ang mga tangent ay parallel sa linyang y = 8 5 x + 4.

Sagot: itim na linya – graph ng function, pulang linya – graph ng y = 8 5 x + 4, asul na linya – mga tangent sa mga punto - 1; 4 15, 5; 8 3.

Posibleng pag-iral walang katapusang bilang tangents para sa mga ibinigay na function.

Halimbawa 5

Isulat ang mga equation ng lahat ng available na tangent ng function na y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3, na matatagpuan patayo sa tuwid na linya y = - 2 x + 1 2.

Solusyon

Upang ipunin ang tangent equation, kinakailangan upang mahanap ang coefficient at coordinate ng tangent point, batay sa kondisyon ng perpendicularity ng mga linya. Ang kahulugan ay ang mga sumusunod: ang produkto ng mga angular na coefficient na patayo sa mga tuwid na linya ay katumbas ng - 1, iyon ay, nakasulat bilang k x · k ⊥ = - 1. Mula sa kondisyon na mayroon tayo na ang angular coefficient ay matatagpuan patayo sa linya at katumbas ng k ⊥ = - 2, pagkatapos k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

Ngayon ay kailangan mong hanapin ang mga coordinate ng mga touch point. Kailangan mong hanapin ang x at pagkatapos ay ang halaga nito para sa isang naibigay na function. Tandaan na mula sa geometric na kahulugan ng derivative sa punto
x 0 makuha natin na k x = y "(x 0). Mula sa pagkakapantay-pantay na ito makikita natin ang mga halaga ng x para sa mga punto ng contact.

Nakukuha namin iyon

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Ito trigonometriko equation ay gagamitin upang kalkulahin ang mga ordinate ng mga tangent point.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk o 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk o 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk o x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Ang Z ay isang hanay ng mga integer.

x mga punto ng contact ay natagpuan. Ngayon ay kailangan mong magpatuloy sa paghahanap para sa mga halaga ng y:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 o y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 o y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 o y 0 = - 4 5 + 1 3

Mula dito nakuha natin na 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 ang mga punto ng tangency.

Sagot: ang mga kinakailangang equation ay isusulat bilang

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Para sa biswal na larawan Isaalang-alang ang isang function at isang tangent sa isang coordinate line.

Ipinapakita ng figure na ang function ay matatagpuan sa pagitan [-10; 10 ], kung saan ang itim na linya ay ang graph ng function, ang mga asul na linya ay mga tangent, na matatagpuan patayo sa ibinigay na linya ng anyong y = - 2 x + 1 2. Ang mga pulang tuldok ay mga touch point.

Ang mga canonical equation ng 2nd order curves ay hindi single-valued function. Ang mga tangent equation para sa kanila ay pinagsama-sama ayon sa mga kilalang scheme.

Tangent sa isang bilog

Upang tukuyin ang isang bilog na may sentro sa punto x c e n t e r ; y c e n t e r at radius R, ilapat ang formula x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 .

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring isulat bilang isang unyon ng dalawang function:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y

Ang unang function ay matatagpuan sa itaas, at ang pangalawa sa ibaba, tulad ng ipinapakita sa figure.

Upang ipunin ang equation ng isang bilog sa puntong x 0; y 0 , na matatagpuan sa itaas o ibabang kalahating bilog, dapat mong hanapin ang equation ng graph ng isang function ng form na y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r o y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r sa ipinahiwatig na punto.

Kapag sa mga punto x c e n t e r ; y c e n t e r + R at x c e n t e r ; y c e n t e r - R tangents ay maaaring ibigay ng mga equation na y = y c e n t e r + R at y = y c e n t e r - R , at sa mga puntos na x c e n t e r + R ; y c e n t e r at
x c e n t e r - R ; y c e n t e r ay magiging parallel sa o y, pagkatapos ay makakakuha tayo ng mga equation ng anyong x = x c e n t e r + R at x = x c e n t e r - R .

Tangent sa isang ellipse

Kapag ang ellipse ay may sentro sa x c e n t e r ; y c e n t e r na may semi-axes a at b, pagkatapos ay maaari itong tukuyin gamit ang equation x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1.

Ang isang ellipse at isang bilog ay maaaring tukuyin sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng dalawang function, lalo na ang upper at lower half-ellipse. Pagkatapos makuha namin iyon

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Kung ang mga tangent ay matatagpuan sa mga vertices ng ellipse, kung gayon sila ay parallel tungkol sa x o tungkol sa y. Sa ibaba, para sa kalinawan, isaalang-alang ang figure.

Halimbawa 6

Isulat ang equation ng tangent sa ellipse x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 sa mga puntos na may mga halaga ng x katumbas ng x = 2.

Solusyon

Kinakailangang hanapin ang mga tangent na puntos na tumutugma sa halagang x = 2. Pinapalitan namin ang umiiral na equation ng ellipse at hanapin iyon

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Pagkatapos 2; 5 3 2 + 5 at 2; - 5 3 2 + 5 ay ang mga padaplis na punto na kabilang sa upper at lower half-ellipse.

Lumipat tayo sa paghahanap at paglutas ng equation ng ellipse na may paggalang sa y. Nakukuha namin iyon

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Malinaw, ang upper half-ellipse ay tinukoy gamit ang isang function ng form na y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2, at ang lower half ellipse y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2.

Maglapat tayo ng isang karaniwang algorithm upang lumikha ng isang equation para sa isang tangent sa graph ng isang function sa isang punto. Isulat natin na ang equation para sa unang tangent sa punto 2; 5 3 2 + 5 ang magiging hitsura

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Nalaman namin na ang equation ng ikalawang tangent na may halaga sa punto
2 ; - 5 3 2 + 5 ang kumukuha ng form

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Sa graphically, ang mga tangent ay itinalaga bilang mga sumusunod:

Tangent sa hyperbole

Kapag ang hyperbola ay may sentro sa x c e n t e r ; y c e n t e r at vertices x c e n t e r + α ; y c e n t e r at x c e n t e r - α ; y c e n t e r , nagaganap ang hindi pagkakapantay-pantay x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1, kung may vertices x c e n t e r ; y c e n t e r + b at x c e n t e r ; y c e n t e r - b , pagkatapos ay tinukoy gamit ang inequality x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

Ang hyperbola ay maaaring katawanin bilang dalawang pinagsamang function ng form

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r o y = b a · (x - x c e n t e r y) 2 + a 2 + y c e n t e r (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

Sa unang kaso mayroon kaming na ang mga tangent ay parallel sa y, at sa pangalawa sila ay parallel sa x.

Ito ay sumusunod na upang mahanap ang equation ng tangent sa isang hyperbola, ito ay kinakailangan upang malaman kung aling function ang punto ng tangency nabibilang. Upang matukoy ito, kinakailangan na palitan sa mga equation at suriin para sa pagkakakilanlan.

Halimbawa 7

Sumulat ng equation para sa tangent sa hyperbola x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 sa punto 7; - 3 3 - 3 .

Solusyon

Kinakailangang baguhin ang talaan ng solusyon para sa paghahanap ng hyperbola gamit ang 2 function. Nakukuha namin iyon

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 at y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Ito ay kinakailangan upang matukoy kung aling function ang isang ibinigay na punto na may mga coordinate 7 nabibilang; - 3 3 - 3 .

Malinaw, upang suriin ang unang function na ito ay kinakailangan y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, kung gayon ang punto ay hindi kabilang sa graph, dahil ang pagkakapantay-pantay ay hindi hawak.

Para sa pangalawang function mayroon tayong y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, na nangangahulugan na ang punto ay kabilang sa ibinigay na graph. Mula dito dapat mong mahanap ang slope.

Nakukuha namin iyon

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Sagot: ang tangent equation ay maaaring katawanin bilang

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Ito ay malinaw na inilalarawan tulad nito:

Tangent sa isang parabola

Upang lumikha ng isang equation para sa tangent sa parabola y = a x 2 + b x + c sa puntong x 0, y (x 0), kailangan mong gumamit ng isang karaniwang algorithm, pagkatapos ang equation ay kukuha ng form na y = y "(x). 0) x - x 0 + y ( x 0).

Dapat mong tukuyin ang parabola x = a y 2 + b y + c bilang unyon ng dalawang function. Samakatuwid, kailangan nating lutasin ang equation para sa y. Nakukuha namin iyon

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Inilarawan nang graphic bilang:

Upang malaman kung ang isang punto x 0 , y (x 0) ay kabilang sa isang function, dahan-dahang kumilos sa karaniwang algorithm. Ang nasabing tangent ay magiging parallel sa o y relative sa parabola.

Halimbawa 8

Isulat ang equation ng tangent sa graph x - 2 y 2 - 5 y + 3 kapag mayroon tayong anggulong tangent na 150 °.

Solusyon

Sinisimulan natin ang solusyon sa pamamagitan ng pagrepresenta sa parabola bilang dalawang function. Nakukuha namin iyon

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

Ang halaga ng slope ay katumbas ng halaga ng derivative sa punto x 0 ng function na ito at katumbas ng tangent ng anggulo ng inclination.

Nakukuha namin:

k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

Mula dito tinutukoy namin ang halaga ng x para sa mga punto ng contact.

Ang unang function ay isusulat bilang

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Malinaw, walang tunay na mga ugat, dahil nakakuha kami ng negatibong halaga. Napagpasyahan namin na walang tangent na may anggulo na 150° para sa naturang function.

Ang pangalawang function ay isusulat bilang

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Mayroon kaming na ang mga punto ng kontak ay 23 4 ; - 5 + 3 4 .

Sagot: ang tangent equation ay tumatagal ng anyo

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Ilarawan natin ito nang grapiko sa ganitong paraan:

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Padaplis ay isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto sa kurba at kasabay nito sa puntong ito hanggang sa unang pagkakasunud-sunod (Larawan 1).

Isa pang kahulugan: ito ang naglilimitang posisyon ng secant sa Δ x→0.

Paliwanag: Kumuha ng isang tuwid na linya na nagsasalubong sa kurba sa dalawang punto: A At b(tingnan ang larawan). Ito ay isang secant. Iikot namin ito nang sunud-sunod hanggang sa makahanap lamang ito ng isang karaniwang punto na may kurba. Bibigyan tayo nito ng tangent.

Mahigpit na kahulugan ng tangent:

Tangent sa graph ng isang function f, naiba sa punto xO, ay isang tuwid na linya na dumadaan sa punto ( xO; f(xO)) at pagkakaroon ng slope f′( xO).

Ang slope ay may tuwid na linya ng anyo y =kx +b. Coefficient k at ay dalisdis itong tuwid na linya.

Ang slope ay katumbas ng tangent matinding anggulo, na nabuo ng tuwid na linyang ito na may abscissa axis:

k = tan α

Narito ang anggulo α ay ang anggulo sa pagitan ng tuwid na linya y =kx +b at positibo (iyon ay, counterclockwise) na direksyon ng x-axis. Ito ay tinatawag na anggulo ng pagkahilig ng isang tuwid na linya(Larawan 1 at 2).

Kung ang anggulo ng pagkahilig ay tuwid y =kx +b talamak, kung gayon ang slope ay isang positibong numero. Ang graph ay tumataas (Fig. 1).

Kung ang anggulo ng pagkahilig ay tuwid y =kx +b ay mahina, kung gayon ang slope ay isang negatibong numero. Bumababa ang graph (Fig. 2).

Kung ang tuwid na linya ay parallel sa x-axis, kung gayon ang anggulo ng pagkahilig ng tuwid na linya ay zero. Sa kasong ito, ang slope ng linya ay zero din (dahil ang tangent ng zero ay zero). Ang equation ng tuwid na linya ay magmumukhang y = b (Larawan 3).

Kung ang anggulo ng pagkahilig ng isang tuwid na linya ay 90º (π/2), iyon ay, ito ay patayo sa abscissa axis, kung gayon ang tuwid na linya ay ibinibigay ng pagkakapantay-pantay. x =c, Saan c– ilang totoong numero (Larawan 4).

Equation ng tangent sa graph ng isang functiony = f(x) sa punto xO:

Halimbawa: Hanapin ang equation ng tangent sa graph ng function f(x) = x 3 – 2x 2 + 1 sa puntong may abscissa 2.

Solusyon .

Sinusunod namin ang algorithm.

1) Touch point xO ay katumbas ng 2. Kalkulahin f(xO):

f(xO) = f(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Hanapin f′( x). Upang gawin ito, inilalapat namin ang mga formula ng pagkita ng kaibhan na nakabalangkas sa nakaraang seksyon. Ayon sa mga formula na ito, X 2 = 2X, A X 3 = 3X 2. Ibig sabihin:

f′( x) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.

Ngayon, gamit ang resultang halaga f′( x), kalkulahin f′( xO):

f′( xO) = f′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Kaya, mayroon kaming lahat ng kinakailangang data: xO = 2, f(xO) = 1, f ′( xO) = 4. I-substitute ang mga numerong ito sa tangent equation at hanapin ang huling solusyon:

y = f(xO) + f′( xO) (x – x o) = 1 + 4 ∙ (x – 2) = 1 + 4x – 8 = –7 + 4x = 4x – 7.

Sagot: y = 4x – 7.

Isaalang-alang ang sumusunod na figure:

Ito ay naglalarawan ng isang tiyak na function y = f(x), na naiba sa punto a. Ang puntong M na may mga coordinate (a; f(a)) ay minarkahan. Ang isang secant MR ay iginuhit sa pamamagitan ng isang arbitrary na punto P(a + ∆x; f(a + ∆x)) ng graph.

Kung ngayon ang point P ay inilipat sa kahabaan ng graph patungo sa point M, ang tuwid na linya na MR ay iikot sa paligid ng point M. Sa kasong ito, ang ∆x ay magiging zero. Mula dito maaari nating bumalangkas ang kahulugan ng isang tangent sa graph ng isang function.

Tangent sa graph ng isang function

Ang tangent sa graph ng isang function ay ang nililimitahan na posisyon ng secant dahil ang pagtaas ng argumento ay nagiging zero. Dapat na maunawaan na ang pagkakaroon ng derivative ng function na f sa puntong x0 ay nangangahulugan na sa puntong ito ng graph mayroong padaplis sa kanya.

Sa kasong ito, ang angular coefficient ng tangent ay magiging katumbas ng derivative ng function na ito sa puntong ito f'(x0). Ito ang geometric na kahulugan ng derivative. Ang padaplis sa graph ng isang function na f naiba-iba sa punto x0 ay isang tiyak na tuwid na linya na dumadaan sa punto (x0;f(x0)) at pagkakaroon ng isang angular coefficient f'(x0).

Tangent equation

Subukan nating makuha ang equation ng tangent sa graph ng ilang function f sa point A(x0; f(x0)). Ang equation ng isang tuwid na linya na may slope k ay may sumusunod na anyo:

Dahil ang aming slope coefficient ay katumbas ng derivative f’(x0), pagkatapos ang equation ay kukuha ng sumusunod na anyo: y = f’(x0)*x + b.

Ngayon kalkulahin natin ang halaga ng b. Upang gawin ito, ginagamit namin ang katotohanan na ang function ay dumadaan sa punto A.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, mula dito ipinapahayag namin ang b at nakukuha namin ang b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Pinapalitan namin ang nagresultang halaga sa tangent equation:

y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

Isaalang-alang natin susunod na halimbawa: hanapin ang equation ng tangent sa graph ng function na f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 sa punto x = 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Palitan ang nakuha na mga halaga sa padaplis na formula, nakukuha natin: y = 1 + 4*(x - 2). Ang pagbubukas ng mga bracket at pagdadala ng mga katulad na termino ay nakukuha natin: y = 4*x - 7.

Sagot: y = 4*x - 7.

Pangkalahatang pamamaraan para sa pagbuo ng tangent equation sa graph ng function na y = f(x):

1. Tukuyin ang x0.

2. Kalkulahin ang f(x0).

3. Kalkulahin ang f’(x)

Naka-on modernong yugto pag-unlad ng edukasyon, isa sa mga pangunahing gawain nito ay ang pagbuo ng isang malikhaing pag-iisip na personalidad. Ang kakayahan para sa pagkamalikhain sa mga mag-aaral ay mapapaunlad lamang kung sila ay sistematikong naaakit sa mga pangunahing kaalaman mga aktibidad sa pananaliksik. Ang pundasyon para sa mga mag-aaral na gamitin ang kanilang mga malikhaing kapangyarihan, kakayahan at talento ay nabuo ng ganap na kaalaman at kasanayan. Kaugnay nito, ang problema sa pagbuo ng isang sistema ng mga pangunahing kaalaman at kasanayan para sa bawat paksa kurso sa paaralan hindi maliit ang kahalagahan ng matematika. Kasabay nito, ang ganap na mga kasanayan ay dapat na ang didaktikong layunin hindi ng mga indibidwal na gawain, ngunit ng isang maingat na pinag-isipang sistema ng mga ito. Sa pinakamalawak na kahulugan, ang isang sistema ay nauunawaan bilang isang hanay ng mga magkakaugnay na nakikipag-ugnayan na mga elemento na may integridad at isang matatag na istraktura.

Isaalang-alang natin ang isang pamamaraan para sa pagtuturo sa mga mag-aaral kung paano magsulat ng isang equation para sa isang tangent sa graph ng isang function. Sa pangkalahatan, ang lahat ng mga problema sa paghahanap ng tangent equation ay bumaba sa pangangailangan na pumili mula sa isang set (bundle, pamilya) ng mga linya ng mga nakakatugon sa isang tiyak na kinakailangan - ang mga ito ay tangent sa graph ng isang tiyak na function. Sa kasong ito, ang hanay ng mga linya kung saan isinasagawa ang pagpili ay maaaring tukuyin sa dalawang paraan:

a) isang punto na nakahiga sa xOy plane (gitnang lapis ng mga linya);
b) angular coefficient (parallel beam ng mga tuwid na linya).

Kaugnay nito, kapag pinag-aaralan ang paksang "Tangent sa graph ng isang function" upang ihiwalay ang mga elemento ng system, natukoy namin ang dalawang uri ng mga problema:

1) mga problema sa isang tangent na ibinigay ng punto kung saan ito dumaan;
2) mga problema sa isang tangent na ibinigay ng slope nito.

Ang pagsasanay sa paglutas ng mga problema sa tangent ay isinagawa gamit ang algorithm na iminungkahi ng A.G. Mordkovich. Ang kanyang pangunahing pagkakaiba mula sa mga kilala na ay ang abscissa ng punto ng tangency ay tinutukoy ng titik a (sa halip na x0), at samakatuwid ang equation ng tangent ay tumatagal ng anyo

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(ihambing sa y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Ito pamamaraang pamamaraan, sa aming opinyon, ay nagbibigay-daan sa mga mag-aaral na mabilis at madaling maunawaan kung saan sa pangkalahatang tangent equation ang mga coordinate ng kasalukuyang punto ay nakasulat, at kung saan ang mga tangent na punto ay nakasulat.

Algorithm para sa pagbuo ng tangent equation sa graph ng function na y = f(x)

1. Italaga ang abscissa ng tangent point na may titik a.
2. Hanapin ang f(a).
3. Hanapin ang f "(x) at f "(a).
4. Palitan ang mga nahanap na numerong a, f(a), f "(a) sa pangkalahatang equation padaplis y = f(a) = f "(a)(x – a).

Maaaring i-compile ang algorithm na ito batay sa independiyenteng pagtukoy ng mga operasyon ng mga mag-aaral at ang pagkakasunud-sunod ng kanilang pagpapatupad.

Ipinakita iyon ng pagsasanay sunud-sunod na solusyon bawat isa sa mga pangunahing gawain sa tulong ng isang algorithm ay nagbibigay-daan sa iyo upang bumuo ng mga kasanayan sa pagsulat ng isang equation ng isang tangent sa graph ng isang function sa mga yugto, at ang mga hakbang ng algorithm ay nagsisilbing mga reference point para sa mga aksyon. Ang diskarte na ito ay tumutugma sa teorya ng unti-unting pagbuo ng mga aksyon sa pag-iisip na binuo ni P.Ya. Galperin at N.F. Talyzina.

Sa unang uri ng mga gawain, dalawang pangunahing gawain ang natukoy:

• ang padaplis ay dumadaan sa isang puntong nakahiga sa kurba (problema 1);
• ang padaplis ay dumadaan sa isang puntong hindi nakahiga sa kurba (problema 2).

Gawain 1. Sumulat ng equation para sa tangent sa graph ng function sa puntong M(3; – 2).

Solusyon. Point M(3; – 2) ay isang padaplis na punto, dahil

1. a = 3 – abscissa ng tangent point.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – tangent equation.

Suliranin 2. Isulat ang mga equation ng lahat ng tangent sa graph ng function na y = – x 2 – 4x + 2 na dumadaan sa puntong M(– 3; 6).

Solusyon. Ang puntong M(– 3; 6) ay hindi isang tangent point, dahil f(– 3) 6 (Larawan 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – tangent equation.

Ang tangent ay dumadaan sa puntong M(– 3; 6), samakatuwid, ang mga coordinate nito ay nakakatugon sa tangent equation.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Kung a = – 4, ang tangent equation ay y = 4x + 18.

Kung a = – 2, ang tangent equation ay may anyo na y = 6.

Sa pangalawang uri, ang mga pangunahing gawain ay ang mga sumusunod:

• ang padaplis ay parallel sa ilang linya (problema 3);
• ang padaplis ay pumasa sa isang tiyak na anggulo sa ibinigay na linya (problema 4).

Suliranin 3. Isulat ang mga equation ng lahat ng tangents sa graph ng function na y = x 3 – 3x 2 + 3, parallel sa linyang y = 9x + 1.

1. a – abscissa ng tangent point.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Ngunit, sa kabilang banda, f "(a) = 9 (kondisyon ng parallelism). Nangangahulugan ito na kailangan nating lutasin ang equation 3a 2 – 6a = 9. Ang mga ugat nito ay a = – 1, a = 3 (Fig. 3 ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – tangent equation;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – tangent equation.

Problema 4. Isulat ang equation ng tangent sa graph ng function na y = 0.5x 2 – 3x + 1, na dumadaan sa isang anggulo na 45° sa tuwid na linya y = 0 (Fig. 4).

Solusyon. Mula sa kondisyong f "(a) = tan 45° makikita natin ang a: a – 3 = 1 ^ a = 4.

1. a = 4 – abscissa ng tangent point.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – tangent equation.

Madaling ipakita na ang solusyon sa anumang iba pang problema ay bumababa sa paglutas ng isa o higit pang mga pangunahing problema. Isaalang-alang ang sumusunod na dalawang problema bilang isang halimbawa.

1. Isulat ang mga equation ng mga tangent sa parabola y = 2x 2 – 5x – 2, kung ang mga tangent ay nagsalubong sa tamang mga anggulo at ang isa sa mga ito ay humipo sa parabola sa puntong may abscissa 3 (Fig. 5).

Solusyon. Dahil ang abscissa ng tangent point ay ibinigay, ang unang bahagi ng solusyon ay nabawasan sa pangunahing problema 1.

1. a = 3 – abscissa ng punto ng tangency ng isa sa mga gilid tamang anggulo.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – equation ng unang padaplis.

Hayaan ang isang anggulo ng pagkahilig ng unang tangent. Dahil ang mga tangent ay patayo, kung gayon ang anggulo ng pagkahilig ng pangalawang padaplis. Mula sa equation na y = 7x – 20 ng unang tangent mayroon tayong tg a = 7. Hanapin natin

Nangangahulugan ito na ang slope ng pangalawang tangent ay katumbas ng .

Ang karagdagang solusyon ay bumababa sa pangunahing gawain 3.

Hayaan ang B(c; f(c)) ang punto ng tangency ng pangalawang linya, kung gayon

1. – abscissa ng ikalawang punto ng tangency.
2.
3.
4.
– equation ng pangalawang padaplis.

Tandaan. Ang angular coefficient ng tangent ay mas madaling mahanap kung alam ng mga mag-aaral ang ratio ng coefficients ng perpendicular lines k 1 k 2 = – 1.

2. Isulat ang mga equation ng lahat ng karaniwang tangent sa mga graph ng mga function

Solusyon. Ang problema ay bumaba sa paghahanap ng abscissa ng mga punto ng tangency ng mga karaniwang tangent, iyon ay, sa paglutas ng pangunahing problema 1 sa pangkalahatang pananaw, pagguhit ng isang sistema ng mga equation at ang kasunod na solusyon nito (Larawan 6).

1. Hayaang a ang abscissa ng tangent point na nasa graph ng function na y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Hayaang c ang abscissa ng tangent point na nasa graph ng function
2.
3. f "(c) = c.
4.

Dahil ang mga tangent ay pangkalahatan, kung gayon

Kaya y = x + 1 at y = – 3x – 3 ay karaniwang mga tangent.

Ang pangunahing layunin ng mga isinasaalang-alang na mga gawain ay upang ihanda ang mga mag-aaral na independiyenteng makilala ang uri ng pangunahing problema kapag nagresolba ng higit pa kumplikadong mga gawain, na nangangailangan ng ilang mga kasanayan sa pananaliksik (ang kakayahang mag-analisa, maghambing, mag-generalize, maglagay ng hypothesis, atbp.). Kasama sa mga naturang gawain ang anumang gawain kung saan ang pangunahing gawain ay kasama bilang isang bahagi. Isaalang-alang natin bilang isang halimbawa ang problema (kabaligtaran sa Problema 1) ng paghahanap ng isang function mula sa pamilya ng mga tangent nito.

3. Para sa ano b at c ang mga linyang y = x at y = – 2x padaplis sa graph ng function na y = x 2 + bx + c?

Hayaang t ang abscissa ng punto ng tangency ng tuwid na linya y = x na may parabola y = x 2 + bx + c; p ay ang abscissa ng punto ng tangency ng tuwid na linya y = – 2x na may parabola y = x 2 + bx + c. Pagkatapos ang tangent equation na y = x ay kukuha ng anyong y = (2t + b)x + c – t 2 , at ang tangent equation na y = – 2x ay kukuha ng anyong y = (2p + b)x + c – p 2 .

Bumuo tayo at lutasin ang isang sistema ng mga equation

Sagot:

Equation ng tangent sa graph ng isang function

P. Romanov, T. Romanova,
Magnitogorsk,
Rehiyon ng Chelyabinsk

Equation ng tangent sa graph ng isang function

Na-publish ang artikulo sa suporta ng ITAKA+ Hotel Complex. Kapag nananatili sa lungsod ng mga shipbuilder na Severodvinsk, hindi ka makakatagpo ng problema sa paghahanap ng pansamantalang pabahay. , sa website ng hotel complex na “ITHAKA+” http://itakaplus.ru, madali at mabilis kang makakapagrenta ng apartment sa lungsod, para sa anumang panahon, na may pang-araw-araw na pagbabayad.

Sa kasalukuyang yugto ng pag-unlad ng edukasyon, isa sa mga pangunahing gawain nito ay ang pagbuo ng isang malikhaing pag-iisip na personalidad. Ang kakayahan para sa pagkamalikhain sa mga mag-aaral ay mapapaunlad lamang kung sila ay sistematikong kasangkot sa mga pangunahing kaalaman sa mga aktibidad sa pananaliksik. Ang pundasyon para sa mga mag-aaral na gamitin ang kanilang mga malikhaing kapangyarihan, kakayahan at talento ay nabuo ng ganap na kaalaman at kasanayan. Kaugnay nito, ang problema sa pagbuo ng isang sistema ng mga pangunahing kaalaman at kasanayan para sa bawat paksa ng kurso sa matematika ng paaralan ay hindi maliit na kahalagahan. Kasabay nito, ang ganap na mga kasanayan ay dapat na ang didaktikong layunin hindi ng mga indibidwal na gawain, ngunit ng isang maingat na pinag-isipang sistema ng mga ito. Sa pinakamalawak na kahulugan, ang isang sistema ay nauunawaan bilang isang hanay ng mga magkakaugnay na nakikipag-ugnayan na mga elemento na may integridad at isang matatag na istraktura.

Isaalang-alang natin ang isang pamamaraan para sa pagtuturo sa mga mag-aaral kung paano magsulat ng isang equation para sa isang tangent sa graph ng isang function. Sa pangkalahatan, ang lahat ng mga problema sa paghahanap ng tangent equation ay bumaba sa pangangailangan na pumili mula sa isang set (bundle, pamilya) ng mga linya ng mga nakakatugon sa isang tiyak na kinakailangan - ang mga ito ay tangent sa graph ng isang tiyak na function. Sa kasong ito, ang hanay ng mga linya kung saan isinasagawa ang pagpili ay maaaring tukuyin sa dalawang paraan:

a) isang punto na nakahiga sa xOy plane (gitnang lapis ng mga linya);
b) angular coefficient (parallel beam ng mga tuwid na linya).

Kaugnay nito, kapag pinag-aaralan ang paksang "Tangent sa graph ng isang function" upang ihiwalay ang mga elemento ng system, natukoy namin ang dalawang uri ng mga problema:

1) mga problema sa isang tangent na ibinigay ng punto kung saan ito dumaan;
2) mga problema sa isang padaplis na ibinigay ng slope nito.

Ang pagsasanay sa paglutas ng mga problema sa tangent ay isinagawa gamit ang algorithm na iminungkahi ni A.G. Mordkovich. Ang pangunahing pagkakaiba nito mula sa mga nakilala na ay ang abscissa ng tangent point ay tinutukoy ng letrang a (sa halip na x0), at samakatuwid ang tangent equation ay nasa anyo.

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(ihambing sa y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Ang pamamaraang ito, sa aming opinyon, ay nagbibigay-daan sa mga mag-aaral na mabilis at madaling maunawaan kung saan nakasulat ang mga coordinate ng kasalukuyang punto. ang pangkalahatang tangent equation, at nasaan ang mga punto ng contact.

Algorithm para sa pagbuo ng tangent equation sa graph ng function na y = f(x)

1. Italaga ang abscissa ng tangent point na may titik a.
2. Hanapin ang f(a).
3. Hanapin ang f "(x) at f "(a).
4. Palitan ang mga nahanap na numerong a, f(a), f "(a) sa pangkalahatang tangent equation na y = f(a) = f "(a)(x – a).

Maaaring i-compile ang algorithm na ito batay sa independiyenteng pagtukoy ng mga operasyon ng mga mag-aaral at ang pagkakasunud-sunod ng kanilang pagpapatupad.

Ipinakita ng pagsasanay na ang sunud-sunod na solusyon ng bawat isa sa mga pangunahing problema gamit ang isang algorithm ay nagbibigay-daan sa iyo upang bumuo ng mga kasanayan sa pagsulat ng equation ng isang tangent sa graph ng isang function sa mga yugto, at ang mga hakbang ng algorithm ay nagsisilbing mga reference point para sa mga aksyon. . Ang diskarte na ito ay tumutugma sa teorya ng unti-unting pagbuo ng mga aksyon sa pag-iisip na binuo ni P.Ya. Galperin at N.F. Talyzina.

Sa unang uri ng mga gawain, dalawang pangunahing gawain ang natukoy:

• ang padaplis ay dumadaan sa isang puntong nakahiga sa kurba (problema 1);
• ang padaplis ay dumadaan sa isang puntong hindi nakahiga sa kurba (problema 2).

Gawain 1. Sumulat ng equation para sa tangent sa graph ng function sa puntong M(3; – 2).

Solusyon. Point M(3; – 2) ay isang padaplis na punto, dahil

1. a = 3 – abscissa ng tangent point.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – tangent equation.

Suliranin 2. Isulat ang mga equation ng lahat ng tangent sa graph ng function na y = – x 2 – 4x + 2 na dumadaan sa puntong M(– 3; 6).

Solusyon. Ang puntong M(– 3; 6) ay hindi isang tangent point, dahil f(– 3) 6 (Larawan 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – tangent equation.

Ang tangent ay dumadaan sa puntong M(– 3; 6), samakatuwid, ang mga coordinate nito ay nakakatugon sa tangent equation.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
isang 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Kung a = – 4, ang tangent equation ay y = 4x + 18.

Kung a = – 2, ang tangent equation ay may anyo na y = 6.

Sa pangalawang uri, ang mga pangunahing gawain ay ang mga sumusunod:

• ang padaplis ay parallel sa ilang linya (problema 3);
• ang padaplis ay pumasa sa isang tiyak na anggulo sa ibinigay na linya (problema 4).

Suliranin 3. Isulat ang mga equation ng lahat ng tangents sa graph ng function na y = x 3 – 3x 2 + 3, parallel sa linyang y = 9x + 1.

Solusyon.

1. a – abscissa ng tangent point.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Ngunit, sa kabilang banda, f "(a) = 9 (kondisyon ng parallelism). Nangangahulugan ito na kailangan nating lutasin ang equation 3a 2 – 6a = 9. Ang mga ugat nito ay a = – 1, a = 3 (Fig. 3 ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – tangent equation;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – tangent equation.

Problema 4. Isulat ang equation ng tangent sa graph ng function na y = 0.5x 2 – 3x + 1, na dumadaan sa isang anggulo na 45° sa tuwid na linya y = 0 (Fig. 4).

Solusyon. Mula sa kondisyong f "(a) = tan 45° makikita natin ang a: a – 3 = 1^a = 4.

1. a = 4 – abscissa ng tangent point.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – tangent equation.

Madaling ipakita na ang solusyon sa anumang iba pang problema ay bumababa sa paglutas ng isa o higit pang mga pangunahing problema. Isaalang-alang ang sumusunod na dalawang problema bilang isang halimbawa.

1. Isulat ang mga equation ng mga tangent sa parabola y = 2x 2 – 5x – 2, kung ang mga tangent ay nagsalubong sa tamang mga anggulo at ang isa sa mga ito ay humipo sa parabola sa puntong may abscissa 3 (Fig. 5).

Solusyon. Dahil ang abscissa ng tangent point ay ibinigay, ang unang bahagi ng solusyon ay nabawasan sa pangunahing problema 1.

1. a = 3 – abscissa ng punto ng tangency ng isa sa mga gilid ng tamang anggulo.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – equation ng unang padaplis.

Hayaan ang a – anggulo ng pagkahilig ng unang tangent. Dahil ang mga tangent ay patayo, kung gayon ang anggulo ng pagkahilig ng pangalawang padaplis. Mula sa equation na y = 7x – 20 ng unang tangent mayroon tayong tg a = 7. Hanapin natin

Nangangahulugan ito na ang slope ng pangalawang tangent ay katumbas ng .

Ang karagdagang solusyon ay bumababa sa pangunahing gawain 3.

Hayaan ang B(c; f(c)) ang punto ng tangency ng pangalawang linya, kung gayon

1. – abscissa ng ikalawang punto ng tangency.
2.
3.
4.
– equation ng pangalawang padaplis.

Tandaan. Ang angular coefficient ng tangent ay mas madaling mahanap kung alam ng mga mag-aaral ang ratio ng coefficients ng perpendicular lines k 1 k 2 = – 1.

2. Isulat ang mga equation ng lahat ng karaniwang tangent sa mga graph ng mga function

Solusyon. Ang gawain ay bumaba sa paghahanap ng abscissa ng mga tangent na punto ng mga karaniwang tangent, iyon ay, paglutas ng pangunahing problema 1 sa pangkalahatang anyo, pagguhit ng isang sistema ng mga equation at pagkatapos ay paglutas nito (Larawan 6).

1. Hayaang a ang abscissa ng tangent point na nasa graph ng function na y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Hayaang c ang abscissa ng tangent point na nasa graph ng function
2.
3. f "(c) = c.
4.

Dahil ang mga tangent ay pangkalahatan, kung gayon

Kaya y = x + 1 at y = – 3x – 3 ay mga karaniwang tangent.

Ang pangunahing layunin ng isinasaalang-alang na mga gawain ay upang ihanda ang mga mag-aaral na independiyenteng makilala ang uri ng pangunahing problema kapag nilutas ang mas kumplikadong mga problema na nangangailangan ng ilang mga kasanayan sa pananaliksik (ang kakayahang mag-analisa, maghambing, mag-generalize, maglagay ng hypothesis, atbp.). Kasama sa mga naturang gawain ang anumang gawain kung saan ang pangunahing gawain ay kasama bilang isang bahagi. Isaalang-alang natin bilang isang halimbawa ang problema (kabaligtaran sa Problema 1) ng paghahanap ng isang function mula sa pamilya ng mga tangent nito.

3. Para sa ano b at c ang mga linyang y = x at y = – 2x padaplis sa graph ng function na y = x 2 + bx + c?

Solusyon.

Hayaang t ang abscissa ng punto ng tangency ng tuwid na linya y = x na may parabola y = x 2 + bx + c; p ay ang abscissa ng punto ng tangency ng tuwid na linya y = – 2x na may parabola y = x 2 + bx + c. Pagkatapos ang tangent equation na y = x ay kukuha ng anyong y = (2t + b)x + c – t 2 , at ang tangent equation na y = – 2x ay kukuha ng anyong y = (2p + b)x + c – p 2 .

Bumuo tayo at lutasin ang isang sistema ng mga equation

Sagot:

Mga problema upang malutas nang nakapag-iisa

1. Isulat ang mga equation ng mga tangent na iginuhit sa graph ng function na y = 2x 2 – 4x + 3 sa mga punto ng intersection ng graph na may linyang y = x + 3.

Sagot: y = – 4x + 3, y = 6x – 9.5.

2. Para sa anong mga halaga ng a dumadaan ang tangent na iginuhit sa graph ng function na y = x 2 – ax sa punto ng graph na may abscissa x 0 = 1 sa puntong M(2; 3)?

Sagot: a = 0.5.

3. Para sa anong mga halaga ng p ang tuwid na linyang y = px – 5 ay dumadampi sa kurba y = 3x 2 – 4x – 2?

Sagot: p 1 = – 10, p 2 = 2.

4. Hanapin ang lahat ng mga karaniwang punto ng graph ng function na y = 3x – x 3 at ang tangent na iginuhit sa graph na ito sa pamamagitan ng point P(0; 16).

Sagot: A(2; – 2), B(– 4; 52).

5. Hanapin ang pinakamaikling distansya sa pagitan ng parabola y = x 2 + 6x + 10 at ng tuwid na linya

Sagot:

6. Sa curve y = x 2 – x + 1, hanapin ang punto kung saan ang tangent sa graph ay parallel sa tuwid na linya y – 3x + 1 = 0.

Sagot: M(2; 3).

7. Isulat ang equation ng tangent sa graph ng function na y = x 2 + 2x – | 4x |, na humipo dito sa dalawang punto. Gumawa ng isang guhit.

Sagot: y = 2x – 4.

8. Patunayan na ang linyang y = 2x – 1 ay hindi nagsasalubong sa kurba y = x 4 + 3x 2 + 2x. Hanapin ang distansya sa pagitan ng kanilang pinakamalapit na mga punto.

Sagot:

9. Sa parabola y = x 2, dalawang puntos ang kinuha gamit ang abscissas x 1 = 1, x 2 = 3. Ang isang secant ay iginuhit sa pamamagitan ng mga puntong ito. Sa anong punto ng parabola magiging parallel ang tangent dito sa secant? Isulat ang secant at tangent equation.

Sagot: y = 4x – 3 – secant equation; y = 4x – 4 – tangent equation.

10. Hanapin ang anggulo q sa pagitan ng mga tangent sa graph ng function na y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1, na iginuhit sa mga puntong may abscissas 0 at 1.

Sagot: q = 45°.

11. Sa anong mga punto ang tangent sa graph ng function ay bumubuo ng isang anggulo ng 135° sa Ox axis?

Sagot: A(0; – 1), B(4; 3).

12. Sa puntong A(1; 8) sa kurba iginuhit ang isang tangent. Hanapin ang haba ng tangent segment sa pagitan ng mga coordinate axes.

Sagot:

13. Isulat ang equation ng lahat ng karaniwang tangent sa mga graph ng mga function na y = x 2 – x + 1 at y = 2x 2 – x + 0.5.

Sagot: y = – 3x at y = x.

14. Hanapin ang distansya sa pagitan ng mga tangent sa graph ng function parallel sa x-axis.

Sagot:

15. Tukuyin sa kung anong mga anggulo ang parabola y = x 2 + 2x – 8 na nag-intersect sa x-axis.

Sagot: q 1 = arctan 6, q 2 = arctan (– 6).

16. Function graph hanapin ang lahat ng mga punto, ang padaplis sa bawat isa kung saan sa graph na ito ay bumalandra sa mga positibong semi-ax ng mga coordinate, na pinuputol ang pantay na mga segment mula sa kanila.

Sagot: A(– 3; 11).

17. Ang linyang y = 2x + 7 at ang parabola y = x 2 – 1 ay nagsalubong sa mga puntong M at N. Hanapin ang puntong K ng intersection ng mga linyang padaplis sa parabola sa mga puntong M at N.

Sagot: K(1; – 9).

18. Para sa anong mga halaga ng b ang linyang y = 9x + b padaplis sa graph ng function na y = x 3 – 3x + 15?

Sagot: – 1; 31.

19. Para sa anong mga halaga ng k ang tuwid na linyang y = kx – 10 ay mayroon lamang isang karaniwang punto na may graph ng function na y = 2x 2 + 3x – 2? Para sa mga nahanap na halaga ng k, tukuyin ang mga coordinate ng punto.

Sagot: k 1 = – 5, A(– 2; 0); k 2 = 11, B(2; 12).

20. Para sa anong mga halaga ng b ang padaplis na iginuhit sa graph ng function na y = bx 3 – 2x 2 – 4 sa puntong may abscissa x 0 = 2 ay dumadaan sa puntong M(1; 8)?

Sagot: b = – 3.

21. Ang isang parabola na may vertex sa Ox axis ay humipo sa linyang dumadaan sa mga puntong A(1; 2) at B(2; 4) sa puntong B. Hanapin ang equation ng parabola.

Sagot:

22. Sa anong halaga ng coefficient k ang parabola y = x 2 + kx + 1 ay humahawak sa Ox axis?

Sagot: k = d 2.

23. Hanapin ang mga anggulo sa pagitan ng tuwid na linya y = x + 2 at ang curve y = 2x 2 + 4x – 3.

29. Hanapin ang distansya sa pagitan ng mga tangent sa graph ng function at ng mga generator na may positibong direksyon ng Ox axis sa isang anggulo na 45°.

Sagot:

30. Hanapin ang locus ng vertices ng lahat ng parabola ng anyong y = x 2 + ax + b padaplis sa linyang y = 4x – 1.

Sagot: tuwid na linya y = 4x + 3.

Panitikan

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. Algebra at simula ng pagsusuri: 3600 problema para sa mga mag-aaral at mga pumapasok sa mga unibersidad. – M., Bustard, 1999.
2. Mordkovich A. Seminar apat para sa mga batang guro. Paksa: Mga Derivative Application. – M., “Mathematics”, No. 21/94.
3. Pagbuo ng kaalaman at kasanayan batay sa teorya ng unti-unting asimilasyon ng mga aksyong pangkaisipan. / Ed. P.Ya. Galperina, N.F. Talyzina. – M., Moscow State University, 1968.