Pythagora theorem formulation. Konsepto ng isang hugis-parihaba tatsulok
Ang mga interesado sa kasaysayan ng Pythagores theorem, na pinag-aralan sa programa ng paaralan, ay magiging kakaiba din ang isang katotohanan bilang publikasyon noong 1940 na mga aklat na may tatlong daan-daang pitong-daan na katibayan ng tila simpleng teorama. Ngunit intrigued siya ang isip ng maraming mga mathematicians at philosophers ng iba't ibang mga panahon. Sa aklat ng Guinness Records, ito ay naayos na bilang theorem na may pinakamaraming bilang ng katibayan.
Kasaysayan ng Pythagora theorem
Nauugnay sa pangalan ni Pythagora, ang teorama ay kilala bago ang kapanganakan ng dakilang pilosopo. Kaya, sa Ehipto, sa panahon ng pagtatayo ng mga istruktura, ang aspect ratio ng mga gilid ng hugis-parihaba tatsulok ay limang libong taon na ang nakalilipas. Sa mga teksto ng Babylonia, nabanggit ito tungkol sa lahat ng parehong ratio ng mga partido ng hugis-parihaba na tatsulok sa loob ng 1200 taon bago ang kapanganakan ni Pythagora.
Ang tanong ay arises, bakit nabasa ang kuwento - ang paglitaw ng Pythagora theorem ay kabilang sa kanya? Ang sagot ay maaaring isa lamang - pinatunayan niya ang aspect ratio sa tatsulok. Ginawa niya kung anong siglo ang nakalipas ay hindi ginawa ang mga nagustuhan lamang ng aspect ratio at hypotenuses na itinatag ng eksperimento.
Mula sa buhay ni Pythagora
Hinaharap mahusay na siyentipiko, dalub-agbilang, ang pilosopo ay ipinanganak sa isla ng Samos sa 570 BC. Ang mga makasaysayang dokumento ay pinanatili ang impormasyon tungkol sa ama ni Pythagora, na isang matalim na mahalagang bato, ngunit walang impormasyon tungkol sa ina. Tungkol sa ipinanganak na batang lalaki ay nagsabi na ito ay isang natitirang bata na nagpakita ng pagkahilig mula sa pagkabata sa musika at tula. Kabilang sa mga guro ng mga kabataang historian ng Pyphagora ang Hermodamant at Ferkida Syrosky. Ang una ay nagdala ng isang batang lalaki sa mundo ng musika, at ang pangalawa, ang isang pilosopo at ang tagapagtatag ng Italian School of Philosophy, ay nagpadala ng mga mata ng isang binata sa mga logo.
Sa 22, mula sa genus (548 BC. E.) Pythagoras ay pumunta sa Navkaratis upang pag-aralan ang wika at relihiyon ng mga Ehipsiyo. Pagkatapos ng kanyang landas ay nakahiga sa Memphis, kung saan, salamat sa mga saserdote, na dumadaan sa kanilang mapanlikhang mga pagsubok, nagdusa siya ng isang Egyptian geometry, na, posibleng hesitated ang isang tortured binata sa patunay ng Theorem ng Pythagore. Ang kuwento ay lalong magtatalaga ng teorama na ang pangalan na ito.
Kunin ang Tsar Babylon.
Sa pagpunta sa bahay sa Elladu, si Pythagoras ay nakuha ng hari ng Babilonia. Ngunit sa pagkabihag, makikinabang siya sa matanong na isip ng isang novice matematika, siya ay isang bagay na matututunan. Pagkatapos ng lahat, sa mga taong iyon, ang matematika sa Babilonia ay mas binuo kaysa sa Ehipto. Labindalawang taon na siya ay nagsagawa para sa pag-aaral ng matematika, geometry at magic. At, marahil, ito ay ang Geometry ng Babilonia na kasangkot sa patunay ng ratio ng mga partido ng tatsulok at ang kasaysayan ng pagbubukas ng teorama. Si Pythagora ay may sapat na kaalaman at oras para dito. Ngunit kung ano ang nangyari sa Babilonia, ang pagkumpirma ng dokumentaryo o pagpapabulaan ay hindi.
Sa 530 BC. Ang Pythagorar ay tumatakbo mula sa pagkabihag sa tinubuang-bayan, kung saan siya nakatira sa patyo ng Tirana ng polycrate sa katayuan ng semi-ababrat. Ang gayong buhay ni Pythagora ay hindi angkop, at ito ay aalisin sa kuweba ng Samos, at pagkatapos ay napupunta sa timog ng Italya, kung saan matatagpuan ang kolonya ng Griyego na si Croton noong panahong iyon.
Lihim na Monastic Order.
Batay sa kolonya na ito, inorganisa ni Pythagoras ang isang lihim na kautusan ng monastic, na kumakatawan sa isang relihiyosong unyon at isang siyentipikong lipunan sa parehong oras. Ang lipunan na ito ay may kanyang charter, na nakasaad sa pagtalima ng isang espesyal na paraan ng pamumuhay.
Nagtalo si Pythagoras na maunawaan ang Diyos, dapat malaman ng isang tao ang mga agham tulad ng algebra at geometry, alam ang astronomiya at maunawaan ang musika. Ang pananaliksik sa trabaho ay nabawasan sa kaalaman ng mystical side ng mga numero at pilosopiya. Dapat pansinin na ang mga prinsipyo na ipinangaral noong panahong iyon, natatandaan nila ang imitasyon at ngayon.
Marami sa mga tuklas na ang mga disipulo ng Pytagora ay iniuugnay sa kanya. Gayunpaman, kung sa madaling sabi namin, ang kasaysayan ng paglikha ng Pythagora theorem na may sinaunang mga istoryador at mga biograpo noong panahong iyon ay direktang nauugnay sa pangalan ng pilosopo na ito, palaisip at matematika.
Pagtuturo Pythagora.
Marahil, ang ideya ng koneksyon ng teorama na may pangalan ni Pythagore ay kinuha ang mga istoryador, ang pahayag ng mahusay na Griyego, na sa kilalang tatsulok na may mga customer at hypotenuses ay naka-encrypt ang lahat ng mga phenomena ng aming buhay. At ang tatsulok na ito ay isang "key" upang malutas ang lahat ng mga problema na lumabas. Sinabi ng dakilang pilosopo na dapat niyang makita ang isang tatsulok, pagkatapos ay maaari naming ipalagay na ang gawain ng dalawang ikatlong ay nalutas.
Tungkol sa kanyang pagtuturo, sinabi ni Pythagoras lamang ang kanyang mga mag-aaral sa salita, nang walang anumang mga entry, na humahawak sa kanya sa lihim. Sa malaking panghihinayang, ang pagtuturo ng pinakadakilang pilosopo ay hindi nakaligtas hanggang sa kasalukuyan. Isang bagay na nawala sa labas nito, ngunit imposibleng sabihin kung magkano ang totoo, at gaano karaming mga maling ito ay naging kilala. Kahit na ang kasaysayan ng Pythagora theorem ay hindi lahat ay hindi mapag-aalinlanganan. Ang mga istoryador ng matematika ay nag-aalinlangan sa pag-akda ng Pytagora, sa kanilang opinyon ginamit nila ang teorama sa maraming siglo bago ang kanyang kapanganakan.
Pythagorean theorem.
Maaaring mukhang kakaiba, ngunit ang makasaysayang mga katotohanan ng patunay ng teorama ng Pythagore mismo - o sa mga archive o anumang iba pang mga mapagkukunan. Sa modernong bersyon ay pinaniniwalaan na ito ay hindi sa sinumang iba pa, bilang ang euclide mismo.
May katibayan ng isa sa pinakamalaking istoryador ng matematika na si Morita Kantor, na natuklasan sa isang papyrus, na nakaimbak sa Berlin Museum, na naitala ng mga Ehipsiyo sa mga 2300 BC. e. Pagkapantay-pantay na nagbabasa: 3² + 4² \u003d 5².
Sa madaling sabi mula sa kasaysayan ng Pythagora theorem
Ang mga salita ng teorama mula sa Euclidean "nagsimula", sa pagsasalin, din tunog tulad ng sa modernong interpretasyon. Walang bago sa pagbabasa nito: ang parisukat ng gilid na may isang salungat na direktang sulok ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga gilid na katabi ng tuwid na sulok. Ginamit ng teorama ang sinaunang mga sibilisasyon ng India at Tsina ay nagpapatunay sa treatise na "Zhou - Bi Suuan Jin". Naglalaman ito ng impormasyon tungkol sa Egyptian triangle, na naglalarawan ng aspect ratio bilang 3: 4: 5.
Walang mas kawili-wiling ay isa pang Chinese na aklat ng matematika ng Chu-Pey, na binabanggit din ang Pythagora Triangle na may paliwanag at mga guhit na tumutugma sa mga guhit ng Hindu geometry ng Bashara. Ang tatsulok mismo sa aklat ay isinulat na kung ang tamang anggulo ay maaaring decomposed sa mga bahagi, pagkatapos ay ang linya na kumokonekta sa mga dulo ng gilid ay magiging limang kung ang base ay tatlo, at ang taas ay katumbas ng apat.
Indian Treatise "Sulva Sutra", na kabilang sa tungkol sa VII-V Centuries BC. Si ER, ay nagsasalita tungkol sa pagbuo ng direktang anggulo sa tulong ng isang Egyptian triangle.
Katunayan ng teorama
Sa Middle Ages, ang mga estudyante ay itinuturing na patunay ng teorama na napakahirap. Ang mga mahihinang estudyante ay kabisaduhin ang mga teorema sa pamamagitan ng puso, nang walang pag-unawa sa kahulugan ng katibayan. Sa pagsasaalang-alang na ito, natanggap nila ang palayaw na "asno", sapagkat ang Pythagora theorem ay isang hindi mapaglabanan na balakid para sa kanila, tulad ng para sa donkey bridge. Sa Middle Ages, ang mga estudyante ay dumating sa biro na bersikulo para sa teorama na ito.
Upang patunayan ang teorama ng Pythagora ang pinakamadaling paraan, dapat mong sukatin ito, nang hindi ginagamit ang konsepto ng mga lugar sa patunay. Ang haba ng gilid, laban sa tuwid na sulok - ito c, at ang nababagay A at B na katabi nito, bilang isang resulta makuha namin ang equation: isang 2 + b 2 \u003d c 2. Ang pahayag na ito, tulad ng nabanggit sa itaas, ay naka-check sa pamamagitan ng pagsukat ng mga haba ng mga gilid ng hugis-parihaba tatsulok.
Kung sinimulan namin ang patunay ng teorama na may pagsasaalang-alang sa lugar ng mga parihaba na binuo sa gilid ng tatsulok, maaari mong matukoy ang lugar ng buong figure. Ito ay katumbas ng parisukat ng parisukat na may gilid (a + b), at sa kabilang banda, ang kabuuan ng lugar ng apat na triangles at ang panloob na parisukat.
(a + b) 2 \u003d 4 x ab / 2 + c 2;
isang 2 + 2ab + b 2;
c 2 \u003d isang 2 + b 2, na kinakailangan upang patunayan.
Ang praktikal na halaga ng teorama ng Pythagore ay ang tulong nito ay makakahanap ka ng mga haba ng mga segment na hindi sinusukat ang mga ito. Sa panahon ng pagtatayo ng mga istruktura, distansya, ang paglalagay ng mga suporta at mga beam ay kinakalkula, ang mga sentro ng gravity ay tinutukoy. Ang Pythagora theorem at sa lahat ng mga modernong teknolohiya ay ginagamit. Hindi ko nakalimutan ang tungkol sa teorama at kapag lumilikha ng isang pelikula sa mga sukat ng 3D-6D, kung saan, bilang karagdagan sa karaniwang 3 dami: taas, haba, lapad - ang oras, amoy at lasa ay isinasaalang-alang. Paano nauugnay sa teorest panlasa at smells - hinihiling mo? Ang lahat ay napaka-simple - kapag ang pelikula ay ipinapakita, kailangan mong kalkulahin kung saan at kung ano ang mga odors at panlasa ay ipinadala sa auditorium.
Ito ay simula lamang. Ang ilalim na saklaw para sa pagtuklas at paglikha ng mga bagong teknolohiya ay naghihintay para sa mga matanong na isip.
Kapag nagsimula ka lamang mag-aral ng mga square roots at pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi makatwirang equation (pantay na naglalaman ng isang hindi kilalang ugat), malamang na natanggap mo ang unang ideya ng kanilang praktikal na paggamit. Ang kakayahang kunin ang isang parisukat na ugat mula sa mga numero ay kinakailangan upang malutas ang mga gawain upang gamitin ang Pythagores theorem. Ang teorama na ito ay nagbubuklod sa haba ng mga gilid ng anumang hugis-parihaba na tatsulok.
Hayaan ang haba ng mga cathet ng hugis-parihaba tatsulok (ng mga dalawang panig na nagtatagpo sa tamang mga anggulo) ay minarkahan ng mga titik at, at ang haba ng hypotenuse (ang pinakamahabang bahagi ng tatsulok, na matatagpuan sa tapat ng direktang anggulo) ay ipahiwatig sa pamamagitan ng sulat. Pagkatapos ay ang katumbas na haba ay nauugnay sa sumusunod na ratio:
Ang equation na ito ay nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang haba ng gilid ng hugis-parihaba tatsulok sa kaso kapag ang haba ng iba pang dalawang ng mga gilid nito ay kilala. Bilang karagdagan, pinapayagan ka nitong matukoy kung ang itinuturing na tatsulok ay hugis-parihaba, sa kondisyon na ang haba ng lahat ng tatlong panig ay kilala nang maaga.
Paglutas ng mga gawain gamit ang Pythagorean theorem
Upang ma-secure ang materyal, malulutas namin ang mga sumusunod na gawain para sa paggamit ng Pythagores Theorem.
Kaya, ibinigay:
- Ang haba ng isa sa mga cathet ay 48, hypotenuses - 80.
- Ang haba ng kategorya ay katumbas ng 84, hypotenuses - 91.
Magpapatuloy kami upang malutas:
a) Ang pagpapalit ng data sa equation sa itaas ay nagbibigay ng mga sumusunod na resulta:
48 2 + b. 2 = 80 2
2304 + b. 2 = 6400
b. 2 = 4096
b. \u003d 64 o b. = -64
Dahil ang haba ng gilid ng tatsulok ay hindi maaaring ipahayag sa pamamagitan ng isang negatibong numero, ang pangalawang pagpipilian ay awtomatikong itinatapon.
Tumugon sa unang pagguhit: b. = 64.
b) ang haba ng ikalawang kategorya ng tatsulok ay sa parehong paraan:
84 2 + b. 2 = 91 2
7056 + b. 2 = 8281
b. 2 = 1225
b. \u003d 35 o b. = -35
Tulad ng sa nakaraang kaso, ang negatibong desisyon ay itinapon.
Ang sagot sa ikalawang pagguhit: b. = 35
Kami ay ibinigay:
- Ang haba ng mas maliit na gilid ng tatsulok ay katumbas ng 45 at 55, ayon sa pagkakabanggit, higit pa - 75.
- Ang haba ng mas maliit na gilid ng tatsulok ay katumbas ng 28 at 45, ayon sa pagkakabanggit, mas malaki - 53.
Malutas namin ang gawain:
a) kinakailangan upang suriin kung ang kabuuan ng mga parisukat ng haba ng mas maliit na panig ng tatsulok na ito ay ang parisukat ng mga haba na mas malaki:
45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050
Dahil dito, ang unang tatsulok ay hindi hugis-parihaba.
b) Ginagawa ang parehong operasyon:
28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809
Dahil dito, ang ikalawang tatsulok ay hugis-parihaba.
Sa una ay makikita natin ang haba ng pinakadakilang segment na nabuo sa pamamagitan ng mga puntos na may mga coordinate (-2, -3) at (5, -2). Upang gawin ito, gamitin ang kilalang formula para sa paghahanap ng distansya sa pagitan ng mga punto sa hugis-parihaba na sistema ng coordinate:
Katulad nito, nakita natin ang haba ng segment na napagpasyahan sa pagitan ng mga punto na may mga coordinate (-2, -3) at (2, 1):
Sa wakas, tinutukoy namin ang haba ng segment sa pagitan ng mga puntos na may mga coordinate (2, 1) at (5, -2):
Dahil may pagkakapantay-pantay:
ang kaukulang tatsulok ay hugis-parihaba.
Kaya, posible na bumalangkas ng tugon sa gawain: Dahil ang kabuuan ng mga parisukat ng mga panig na may pinakamaliit na haba ay katumbas ng square side na may pinakamataas na haba, ang mga puntos ay mga vertex ng hugis-parihaba na tatsulok.
Ang base (matatagpuan mahigpit na pahalang), ang jamb (matatagpuan mahigpit na patayo) at ang cable (extended pahilis) ay bumubuo ng isang hugis-parihaba tatsulok, ayon sa pagkakabanggit, upang mahanap ang haba ng cable ay maaaring gamitin ang Pytagora theorem:
Kaya, ang haba ng cable ay humigit-kumulang 3.6 metro.
Ito ay ibinigay: ang distansya mula sa punto r sa punto P (tatsulok catat) ay 24, mula sa punto r upang ituro q (hypotenuse) - 26.
Kaya, tinutulungan namin ang pagsisisi malutas ang gawain. Dahil ang mga partido ng tatsulok na itinatanghal sa figure, siguro ay bumubuo ng isang hugis-parihaba na tatsulok, upang mahanap ang haba ng isang third party, maaari mong gamitin ang Pythagora theorem:
Kaya, ang lapad ng pond ay 10 metro.
Sergey Valerievich.
Pythagorean theorem.
Katulad nito, ang tatsulok na CBH ay katulad ng ABC. Pagpasok ng mga pagtatalaga 
1. Ilagay ang apat na pantay na hugis-parihaba na triangles tulad ng ipinapakita sa figure. 
Ang ideya ng katibayan ay ang mga sumusunod: Subukan nating patunayan na ang kalahati ng parisukat ng parisukat na binuo sa hypotenuse ay katumbas ng halaga ng kalahati ng mga parisukat ng mga parisukat na binuo sa mga catetes, at pagkatapos ay ang lugar ng malaki at Dalawang maliit na parisukat ang pantay. Isaalang-alang ang pagguhit sa kaliwa. Sa ito, nagtayo kami ng mga parisukat sa mga gilid ng hugis-parihaba na tatsulok at natupad mula sa tuktok ng direktang anggulo sa beam s patayo sa AB hypotenuse, ito dissects ang abik square, na binuo sa hypotenuse, sa dalawang rectangles - Bhji at Hakj , ayon sa pagkakabanggit. Ito ay lumiliko na ang lugar ng mga rectangles data ay eksaktong katumbas ng mga parisukat ng mga parisukat na binuo sa kani-kanilang mga kategorya. Susubukan naming patunayan na ang parisukat ng Deca Square ay katumbas ng lugar ng rectangle AHJK para sa paggamit namin ang pandiwang pantulong na pagmamasid: ang lugar ng tatsulok na may parehong taas at dahilan tulad ng rektanggulo na ito ay katumbas ng kalahati ng lugar ng tinukoy na rektanggulo. Ito ay isang resulta ng pagtukoy sa lugar ng tatsulok bilang kalahati ng produkto ng base sa taas. Mula sa pagmamasid na ito, ito ay sumusunod na ang lugar ng ACK tatsulok ay katumbas ng parisukat ng AHK Triangle (hindi ipinapakita sa figure), na, sa turn, ay katumbas ng kalahati ng lugar ng Ahjk rectangle. Patunayan na namin ngayon na ang ACK triangle area ay katumbas din sa kalahati ng parisukat ng Deca Square. Ang tanging bagay na kailangang gawin ay upang patunayan ang pagkakapantay-pantay ng ACK at BDA triangles (dahil ang lugar ng BDA Triangle ay katumbas ng kalahati ng parisukat ng parisukat sa ari-arian sa itaas). Ang pagkakapantay-pantay ay halata, ang mga triangles ay katumbas ng dalawang panig at sulok sa pagitan nila. Ito ay - ab \u003d ak, ad \u003d ac - pagkakapantay-pantay ng mga anggulo ng cak at masamang madali upang patunayan sa paraan ng paggalaw: ako ay i-on ang tatsulok cak 90 ° pakaliwa, pagkatapos ito ay malinaw na ang kaukulang partido ng dalawang triangles sa ilalim ng pagsasaalang-alang magkasabay (dahil sa ang katunayan na ang anggulo sa tuktok ng square - 90 °). Ang pangangatwiran tungkol sa pagkakapantay-pantay ng parisukat ng BCFG square at ang Bhji rectangle ay ganap na katulad. Kaya, napatunayan namin na ang parisukat ng parisukat na itinayo sa hypotenuse ay binubuo ng mga parisukat ng mga parisukat na binuo sa mga catet. 
Isaalang-alang ang pagguhit, tulad ng makikita mula sa mahusay na proporsyon, ang CI segment ay naghuhukay sa ABHJ square sa dalawang magkatulad na bahagi (dahil ang ABC at JHI triangles ay katumbas ng konstruksiyon). Gamit ang paglipat ng 90 degrees pakaliwa, nakita namin ang pagkakapantay-pantay ng may kulay na caji at gdab figure. Ngayon ito ay malinaw na ang lugar ng may kulay na figure ay katumbas ng halaga ng kalahati ng mga parisukat ng mga parisukat na binuo sa catetes, at ang lugar ng orihinal na tatsulok. Sa kabilang banda, ito ay katumbas ng kalahati ng parisukat ng parisukat na binuo sa hypotenuse, kasama ang lugar ng orihinal na tatsulok. Ang huling hakbang sa patunay ay ibinibigay sa mambabasa.Ang potensyal para sa pagkamalikhain ay karaniwang iniuugnay sa mga makataong disiplina, natural na siyentipikong umaalis sa pagtatasa, isang praktikal na diskarte at isang dry na wika ng mga formula at mga numero. Ang matematika sa mga makataong paksa ay hindi magtatampok. Ngunit walang pagkamalikhain sa "Queen of All Sciences", hindi sila lalago - tungkol sa mga taong ito ay kilala sa loob ng mahabang panahon. Dahil halimbawa ni Pythagora.
Ang mga aklat-aralin sa paaralan, sa kasamaang-palad, ay hindi karaniwang ipaliwanag na sa matematika ito ay mahalaga hindi lamang upang patalasin ang mga teorema, mga axiom at mga formula. Mahalagang maunawaan at madama ang mga pangunahing prinsipyo nito. At sa parehong oras, subukan upang palayain ang iyong isip mula sa mga selyo at napipighati katotohanan - lamang mahusay na pagtuklas ay ipinanganak sa naturang mga kondisyon.
Ang pagtuklas na ito ay maaaring maiugnay sa parehong ngayon alam namin bilang Theorem ng Pythagora. Sa pamamagitan nito, susubukan naming ipakita na ang matematika ay hindi lamang maaaring, ngunit dapat na kamangha-manghang. At ang pakikipagsapalaran na ito ay angkop hindi lamang sa mga botanista sa makapal na baso, kundi para sa lahat na malakas at malakas sa espiritu.
Mula sa kasaysayan ng tanong
Upang mahigpit na nagsasalita, kahit na ang teorama ay tinatawag na "Pythagore's Theorem", ang Pythagore mismo ay hindi nagbukas nito. Ang hugis-parihaba na tatsulok at ang mga espesyal na katangian nito ay na-aral nang matagal bago ito. Mayroong dalawang polar points of view sa tanong na ito. Ayon sa isang bersyon, si Pythagoras ang unang nakakahanap ng isang ganap na patunay ng teorama. Para sa iba pang patunay ay hindi kabilang sa pag-akda ng Pythagora.
Ngayon hindi mo maaaring tingnan kung sino ang tama, at sino ang nagkakamali. Alam lamang na ang katibayan ng Pythagora, kung ito ay umiiral, ay hindi napanatili. Gayunpaman, iminungkahi na ang sikat na patunay mula sa "mga benepisyo" Euclida ay maaaring pag-aari ni Pythagora, at naitala ito ng Euclid.
Gayundin, alam din na ang mga gawain tungkol sa hugis-parihaba tatsulok ay matatagpuan sa mga mapagkukunan ng Ehipto ng Parao ng Amenhetter I, sa mga palatandaan ng Clay ng Babilonia ng paghahari ng Tsar Hammurapi, sa sinaunang Indian Treatise "Sulva Sutra" at ang sinaunang sanaysay "Zhou-bi suan jin".
Tulad ng makikita mo, inookupahan ni Pythagore's theorem ang isip ng mga mathematician mula sa sinaunang mga panahon. Naghahain din ang kumpirmasyon tungkol sa 367 magkakaibang katibayan na umiiral ngayon. Walang ibang teorama sa ito. Kabilang sa mga bantog na may-akda ng katibayan ay maaalala ni Leonardo Da Vinci at ang ikadalawampung pangulo ng Estados Unidos na si James Garfield. Ang lahat ng ito ay nagpapahiwatig ng matinding kahalagahan ng teorama na ito para sa matematika: Mula dito ay nagmula o isang paraan o iba pa, karamihan sa mga teorema ng geometry ay konektado dito.
Katunayan ng Pythagora theorem
Sa mga aklat-aralin sa paaralan higit sa lahat humantong algebraic katibayan. Ngunit ang kakanyahan ng teorama sa geometry, kaya isaalang-alang natin muna ang lahat ng patunay ng sikat na teorama na umaasa sa agham na ito.
Katunayan 1.
Para sa pinakasimpleng patunay ng Pythagora theorem para sa isang hugis-parihaba tatsulok, kailangan mong hilingin sa mga ideal na kondisyon: Hayaan ang tatsulok ay hindi lamang hugis-parihaba, ngunit din ay isang bayad. May dahilan upang maniwala na ang partikular na tatsulok na ito ay orihinal na itinuturing na matematika ng unang panahon.
Pahayag "Square, na binuo sa hypotenneus ng isang hugis-parihaba tatsulok, ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat na binuo sa mga kategorya nito" Maaari mong ilarawan ang sumusunod na pagguhit:
Tumingin sa isang equilibried hugis-parihaba tatsulok ABC: Sa hypotenuse ng AU, maaari kang bumuo ng isang parisukat na binubuo ng apat na triangles na katumbas ng orihinal na ABC. At sa mga bangko ng AV at araw ay itinayo sa parisukat, ang bawat isa ay naglalaman ng dalawang katulad na triangles.
Sa pamamagitan ng paraan, ang pagguhit na ito ay ilagay ang batayan ng maraming mga biro at karikatura na nakatuon sa Pythagoreo theorem. Ang pinaka sikat, marahil, ito "Pythagoras pants sa lahat ng mga direksyon ay pantay:
Katunayan 2.
Ang pamamaraan na ito ay pinagsasama ang algebra at geometry at maaaring isaalang-alang bilang isang pagpipilian ng sinaunang Indian patunay matematika Bhaskari.
Bumuo ng isang hugis-parihaba na tatsulok sa mga panig a, B at C. (Fig.1). Pagkatapos ay bumuo ng dalawang mga parisukat na may panig na katumbas ng kabuuan ng haba ng dalawang cathet, - (A + b). Sa bawat isa sa mga parisukat, patakbuhin ang konstruksiyon, tulad ng sa mga numero 2 at 3.
Sa unang parisukat na binuo apat na ng parehong triangles, tulad ng sa Figure 1. Bilang isang resulta, dalawang parisukat ay nakuha: isa na may isang gilid A, ang pangalawang may isang gilid b..
Sa ikalawang parisukat, apat na constructed katulad na triangles bumuo ng isang parisukat na may isang partido na katumbas ng hypotenuse. c..
Ang kabuuan ng mga lugar ng constructed mga parisukat sa Fig.2 ay katumbas ng parisukat ng parisukat na itinayo namin sa gilid na may gilid ng Larawan 3. Madaling suriin, pagkalkula ng mga parisukat na parisukat sa Fig. 2 sa pamamagitan ng formula. At ang lugar ng inscribed square sa Figure 3. Sa pamamagitan ng pagbabawas ng mga parisukat ng apat na pantay na bahagi na kasama sa parisukat ng hugis-parihaba triangles mula sa malaking parisukat ng gilid (A + b).
Pagkatapos isulat ang lahat ng ito, mayroon kami: isang 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Palawakin ang mga bracket, gugulin ang lahat ng kinakailangang mga kalkulasyon ng algebra at makuha iyon isang 2 + b 2 \u003d a 2 + b 2. Sa kasong ito, ang lugar na nakasulat sa Fig.3. Maaari ring kalkulahin ang parisukat ayon sa tradisyonal na formula S \u003d c 2.. Mga iyon. isang 2 + b 2 \u003d c 2. - Pinatunayan mo ang teorama ni Pythagora.
Katunayan 3.
Ang parehong lumang Indian patunay ay inilarawan sa XII siglo sa treatise "korona ng kaalaman" (Siddhanta Shromani) at bilang pangunahing argumento, ang may-akda ay gumagamit ng isang tawag upang mag-apela sa matematika talento at pagmamasid ng mga mag-aaral at mga tagasunod: "Narito! ".
Ngunit susuriin namin ang patunay na ito nang mas detalyado:
Sa loob ng parisukat bumuo ng apat na hugis-parihaba triangles bilang ito ay itinalaga sa pagguhit. Ang gilid ng malaking parisukat, ito ay hypotenuse, tinutukoy namin mula sa.. Tinatawag ang tatsulok na catt. ngunit. at b.. Alinsunod sa pagguhit, ang panig ng panloob na parisukat ay (A-B).
Gamitin ang square square formula S \u003d c 2.Upang kalkulahin ang lugar ng panlabas na parisukat. At sa parehong oras, kalkulahin ang parehong halaga sa pamamagitan ng natitiklop ang lugar ng panloob na parisukat at ang lugar ng lahat ng apat na hugis-parihaba triangles: (A-B) 2 2 + 4 * 1 \\ 2 * A * B.
Maaari mong gamitin ang parehong mga pagpipilian para sa pagkalkula ng square square upang matiyak: sila ay magbibigay ng parehong resulta. At nagbibigay ito sa iyo ng karapatang isulat iyon c 2 \u003d (A-B) 2 + 4 * 1 \\ 2 * A * B. Bilang resulta ng solusyon, makakakuha ka ng formula ng Pythagora theorem c 2 \u003d a 2 + b 2.. Ang teorama ay pinatunayan.
Katunayan 4.
Ang kataka-taka na sinaunang Chinese proof ay nakuha ang pangalan na "Bride's Chair" - dahil sa hugis ng figure, na nakuha bilang isang resulta ng lahat ng mga gusali:
Ginagamit nito ang pagguhit na nakita na natin sa Fig.3 sa ikalawang patunay. At ang panloob na parisukat na may isang bahagi ng C ay itinayo sa parehong paraan tulad ng sa sinaunang Indian patunay sa itaas.
Kung iniisip mo ang pagguhit sa Fig 1. Dalawang berdeng hugis-parihaba na triangles, ilipat ang mga ito sa magkabilang panig ng parisukat na may gilid at hypotenus upang mag-apply sa hypotenuses ng lilac triangles, ang figure na tinatawag na "bride chair" ( Fig.2). Para sa kalinawan, maaari mong gawin ang parehong sa mga parisukat ng papel at triangles. Tiyakin mo na ang "upuan ng bride" ay bumubuo ng dalawang parisukat: maliit sa gilid b. at malaki sa gilid a..
Pinapayagan ng mga constructions na ito ang sinaunang mga mathematician ng Tsina at para sa kanila na dumating sa konklusyon na c 2 \u003d a 2 + b 2..
Katunayan 5.
Ito ay isa pang paraan upang makahanap ng solusyon para sa Pythagore Theorem, batay sa geometry. Ito ay tinatawag na "Garfield Method".
Bumuo ng isang hugis-parihaba tatsulok ABC.. Kailangan nating patunayan iyon Sun 2 \u003d AC 2 + AB 2..
Upang gawin ito, magpatuloy catat. Ac. At bumuo ng cut. CD.na katumbas ng cathetu. AU.. Mas mababa perpendikular AD seksyon Ed.. Mga segment Ed. at Ac. katumbas. Punto. E. at SA, pati na rin ang E. at Mula sa. At makuha ang pagguhit, tulad ng sa figure sa ibaba:
Upang patunayan ang Terem, muli naming resort sa na nasubok na paraan: nakita namin ang lugar ng nagresultang figure sa dalawang paraan at equate expression sa bawat isa.
Maghanap ng isang polygon area. Isang kama. Maaari mong, natitiklop ang lugar ng tatlong triangles, na bumubuo nito. At isa sa kanila, ESR, Ito ay hindi lamang hugis-parihaba, ngunit din ay isang hinamon. Huwag kalimutan din iyan Ab \u003d cd., Ac \u003d ed. at Sun \u003d CE. - Ito ay magpapahintulot sa amin na gawing simple ang pag-record at huwag mag-overload ito. Kaya, S Abed \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2vs 2.
Ito ay malinaw na Isang kama. - Ito ay isang trapezium. Samakatuwid, kinakalkula namin ang lugar nito ayon sa formula: S abed \u003d (de + ab) * 1 / 2ad. Para sa aming mga kalkulasyon, ito ay mas maginhawang upang ipakita ang isang segment AD bilang kabuuan ng mga segment Ac. at CD..
Isinulat namin ang parehong mga paraan upang kalkulahin ang figure ng figure, paglalagay ng pagkakapantay-pantay sign sa pagitan ng mga ito: AB * AC + 1 / 2BC 2 \u003d (De + AB) * 1/2 (AC + CD). Ginagamit namin ang pagkakapantay-pantay ng mga segment na kilala sa amin at inilarawan sa itaas upang gawing simple ang kanang bahagi ng rekord: AB * AC + 1 / 2BC 2 \u003d 1/2 (AV + AC) 2. At ngayon ibubunyag namin ang mga braket at ibahin ang pagkakapantay-pantay: AB * AC + 1 / 2BC 2 \u003d 1/2 (2as 2 + 2 * 1/2 (AV * AS) + 1 / 2AV 2. Pagkumpleto ng lahat ng mga pagbabago, nakakakuha kami nang eksakto kung ano ang kailangan namin: Sun 2 \u003d AC 2 + AB 2.. Napatunayan na namin ang teorama.
Siyempre, ang listahan ng katibayan na ito ay malayo sa kumpleto. Maaari ring patunayan ang Pythagora theorem gamit ang mga vectors, kumplikadong numero, kaugalian equation, stereometry, atbp. At kahit physicists: Kung, halimbawa, sa isang parisukat at triangular volume na ipinakita sa mga guhit at triangular volume ng fuel liquid. Overflowing fluid, maaari mong patunayan ang pagkakapantay-pantay ng parisukat at ang parehong teorama mismo.
Ang ilang mga salita tungkol sa Pythagora Troika.
Ang tanong na ito ay hindi gaanong o hindi pinag-aralan sa programa ng paaralan sa lahat. Samantala, ito ay lubhang kawili-wili at napakahalaga sa geometry. Ang Pythagoras Troika ay ginagamit upang malutas ang maraming mga gawain sa matematika. Ang ideya ng mga ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang sa iyo sa karagdagang edukasyon.
Kaya ano ang Pythagora Troika? Kaya tinatawag na natural na mga numero na nakolekta ng tatlo, ang kabuuan ng mga parisukat ng dalawa nito ay katumbas ng ikatlong numero sa parisukat.
Ang Pythagora Troika ay maaaring:
- primitive (lahat ng tatlong numero - magkabisa);
- hindi primitive (kung ang bawat bilang ng tatlong multiplies ang parehong numero sa parehong numero, ito ay lumiliko ang isang bagong tripler, na hindi primitive).
Kahit na bago ang aming panahon ng mga sinaunang Ehipsiyo ay nabighani ng kahibangan ng bilang ng Pythagora Trok: Sa mga gawain, itinuturing nila ang isang hugis-parihaba na tatsulok na may mga gilid ng 3.4 at 5 yunit. Sa pamamagitan ng ang paraan, ang anumang tatsulok, ang mga partido na kung saan ay katumbas ng mga numero mula sa Pythagoronic tatlo, ay hugis-parihaba sa pamamagitan ng default.
Mga halimbawa ng Pythagora Troks: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14, 48, 50), (30, 40, 50), atbp.
Praktikal na aplikasyon ng teorama
Hinahanap ng Pythagoreo theorem ang paggamit hindi lamang sa matematika, kundi pati na rin sa arkitektura at pagtatayo, astronomiya, at kahit literatura.
Unang tungkol sa konstruksiyon: Ang Pythagora Theorem ay nakakahanap ng malawak na paggamit sa mga gawain ng iba't ibang antas ng pagiging kumplikado. Halimbawa, tingnan ang window ng Romanesque:
Ipahiwatig ang lapad ng window bilang. b., pagkatapos ay ang radius ng isang malaking semi-bilis ay maaaring itinalaga bilang R. at ipahayag sa pamamagitan ng. b: r \u003d b / 2.. Ang radius ng mas maliit na semiwesights ay ipahayag din sa pamamagitan ng. b: r \u003d b / 4.. Sa gawaing ito, interesado kami sa radius ng inner circle ng window (tawagan natin ito p.).
Ang teorama ni Pythagore ay kapaki-pakinabang lamang upang makalkula r.. Upang gawin ito, gumamit ng isang hugis-parihaba na tatsulok, na sa figure ay ipinahiwatig ng isang may tuldok na linya. Ang tatsulok na hypotenuse ay binubuo ng dalawang radii: b / 4 + P.. Ang isang katat ay isang radius b / 4., Other. b / 2-P.. Gamit ang teorama ng Pythagore, isulat: (b / 4 + p) 2 \u003d (b / 4) 2 + (b / 2-p) 2. Susunod, ibubunyag namin ang mga braket at makakuha b 2/16 + bp / 2 + p 2 \u003d b 2/16 + b 2/4-bp + p 2. Binago namin ang expression na ito sa. bP / 2 \u003d B 2/4-BP. At pagkatapos ay hatiin ang lahat ng mga miyembro sa. b., Ibigay natin ang parehong upang makakuha 3/2 * p \u003d b / 4.. At sa wakas ay makikita natin iyan p \u003d b / 6. - Ano ang kailangan namin.
Gamit ang teorama, maaari mong kalkulahin ang haba ng rafted para sa isang bubong ng buto. Upang matukoy kung aling tae ng mobile tower ang kinakailangan na ang signal ay umaabot sa isang tiyak na kasunduan. At kahit na i-install ang bagong taon puno sa square ng lungsod. Tulad ng makikita mo, ang teorama na ito ay nabubuhay hindi lamang sa mga pahina ng mga aklat-aralin, kundi pati na rin ay kadalasang kapaki-pakinabang sa totoong buhay.
Tulad ng para sa panitikan, ang mga manunulat ni Pythagore ay nagbigay ng inspirasyon ng mga manunulat mula sa mga panahon ng unang panahon at patuloy na ginagawa ito sa ating panahon. Halimbawa, ang Writer ng Aleman sa ikalabinsiyam na siglo Adelbert von Shamisso, siya ay inspirasyon na magsulat ng soneto:
Ang liwanag ng katotohanan ay mag-alis sa lalong madaling panahon,
Ngunit, ang paglubog, ay nawala
At, tulad ng millennium pabalik,
Hindi ito magiging sanhi ng mga pagdududa at pagtatalo.
Ang pinakamatalino kapag hinawakan ang tingin
Ang liwanag ng katotohanan, ang mga diyos ay nagpapasalamat;
At isang daang bulls, boils, kasinungalingan -
RESPONSE DAR NG LUCKY PYTHAGOREAN.
Simula noon, ang mga toro ay desperately roar:
Magpakailanman flashed isang bullish tribo
Kaganapan na minarkahan dito.
Tila sa kanila: ito ay - darating ang oras.
At si Syznov ay ihahain sa sakripisyo
Ilang mahusay na teorama.
(Pagsasalin ng Victor Toporova)
At sa ikadalawampu siglo, ang manunulat ng Sobyet Evgeny Valtists sa aklat na "Adventure Electronics" na katibayan ng Pythagora theorem ay kinuha ang buong kabanata. At isa pang kuwento tungkol sa dalawang-welded tungkol sa dalawang-dimensional na mundo, na maaaring umiiral kung ang teorama ni Pythagora ay naging pangunahing batas at kahit relihiyon para sa isang hiwalay na mundo. Mas madaling mabuhay dito, kundi pati na rin ang mas mayamot: halimbawa, walang naiintindihan ang kahulugan ng mga salitang "bilog" at "mahimulmol."
At sa aklat na "Adventure Electronics" sa pamamagitan ng bibig ng guro ng matematika Tarattara ay nagsabi: "Ang pangunahing bagay sa matematika ay ang paggalaw ng pag-iisip, mga bagong ideya." Ito ay creative flight ng mga saloobin na nagbibigay sa pagtaas sa Pythagora theorem - ito ay hindi para sa wala na ito ay may maraming magkakaibang katibayan. Tumutulong siya upang lumampas sa mga hangganan ng karaniwan at pamilyar na mga bagay upang tumingin sa isang bagong paraan.
Konklusyon
Ang artikulong ito ay nilikha upang maaari kang tumingin sa labas ng kurikulum ng paaralan sa matematika at matutunan hindi lamang ang katibayan ng Pythagora theorem, na ibinigay sa mga aklat na "Geometry 7-9" (L.S. atanasyan, v.n. Rudenko) at "Geometry 7 - 11 "(Av Pogorelov), kundi pati na rin ang iba pang mga kakaibang paraan upang patunayan ang sikat na teorama. At tingnan din ang mga halimbawa habang ang teorama ni Pythagore ay maaaring mailapat sa karaniwang buhay.
Una, ang impormasyong ito ay magbibigay-daan sa iyo upang maging karapat-dapat para sa mas mataas na mga marka sa mga aralin sa matematika - ang impormasyon tungkol sa paksa ng mga karagdagang mapagkukunan ay palaging lubos na pinahahalagahan.
Pangalawa, nais naming tulungan kang pakiramdam kung gaano kagiliw-giliw ang agham matematika. Tiyaking tiyak na mga halimbawa na palaging isang lugar dito. Inaasahan namin na ang Pythagore's Theorem at artikulong ito ay magbibigay-inspirasyon sa iyo sa mga paghahanap sa sarili at kapana-panabik na pagtuklas sa matematika at iba pang mga agham.
Sabihin sa amin sa mga komento kung tila kawili-wili ka sa artikulo bilang kawili-wili. Ginamit mo ba ang impormasyong ito sa mga paaralan. Isulat sa amin kung ano ang iniisip mo tungkol sa Theorem ng Pythagora at artikulong ito - nalulugod kaming talakayin ang lahat ng ito sa iyo.
blog.et, na may ganap o bahagyang pagkopya ng materyal na sanggunian sa orihinal na pinagmulan ay kinakailangan.
Alam ng bawat schoolboy na palaging ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga cathet, ang bawat isa ay nakataas sa parisukat. Ang pahayag na ito ay tinatawag na Pythagores Theorem. Ito ay isa sa mga pinaka sikat na theorems ng trigonometrya at matematika bilang isang buo. Isaalang-alang ito nang mas detalyado.
Konsepto ng isang hugis-parihaba tatsulok
Bago lumipat sa pagsasaalang-alang ng Pythagoreo theorem kung saan ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga cathet, na nakataas sa parisukat, dapat isaalang-alang ang konsepto at mga katangian ng hugis-parihaba na tatsulok na kung saan ang teorama ay may bisa.
Ang tatsulok ay isang flat figure na may tatlong sulok at tatlong panig. Ang hugis-parihaba tatsulok, tulad ng sumusunod mula sa pangalan nito, ay may isang tuwid na anggulo, iyon ay, ang anggulo na ito ay 90 o.
Mula sa pangkalahatang mga katangian para sa lahat ng triangles, alam na ang kabuuan ng lahat ng tatlong mga anggulo ng figure na ito ay 180 O, at nangangahulugan ito na para sa isang hugis-parihaba tatsulok, ang kabuuan ng dalawang anggulo na hindi direktang ay 180 O - 90 o \u003d 90 o. Ang huling katotohanan ay nangangahulugan na ang anumang anggulo sa isang hugis-parihaba tatsulok, na hindi direktang, ay laging mas mababa sa 90 o.
Ang panig na kasinungalingan laban sa direktang anggulo, ay kaugalian na tinatawag na hypotenuse. Ang iba pang mga partido ay mga customer ng tatsulok, maaari silang maging katumbas ng bawat isa, at maaaring magkaiba. Mula sa trigonometrya ay kilala na ang mas malaki ang anggulo laban sa kung saan ang gilid ay nasa tatsulok, mas malaki ang haba ng panig na ito. Nangangahulugan ito na sa isang hugis-parihaba na tatsulok ng hypotenuse (kasinungalingan laban sa isang anggulo ng 90 o) ay palaging magiging higit pa sa alinman sa mga cathet (kasinungalingan laban sa mga sulok< 90 o).
Mathematical recording theorem Pythagora.
Ang teorama na ito ay nagsasaad na ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng halaga ng mga cathet, ang bawat isa ay dati ay nakataas sa parisukat. Sa mathematically sunugin ang mga salita na ito, isaalang-alang ang hugis-parihaba tatsulok, kung saan ang mga partido A, B at C ay dalawang kategorya at hypotenuses, ayon sa pagkakabanggit. Sa kasong ito, ang teorama na binuo bilang ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga cathet, ang sumusunod na formula ay maaaring kinakatawan: c 2 \u003d A 2 + B 2. Mula dito, ang iba pang mahalaga para sa pagsasanay ng mga formula ay maaaring makuha: A \u003d √ (c 2 - B 2), B \u003d √ (c 2 - A 2) at C \u003d √ (A 2 + B 2).
Tandaan na sa kaso ng isang hugis-parihaba equilateral triangle, ie A \u003d B, ang mga salita: ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga cathet, ang bawat isa ay nakataas sa parisukat, mathematically naitala: c 2 \u003d A 2 + B 2 \u003d 2a 2, kung saan ang pagkakapantay-pantay ay dumadaloy mula sa: c \u003d a√2.
Makasaysayang sanggunian
Ang teorama ni Pythagora, na mga bituin na ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng halaga ng mga cathet, ang bawat isa ay nakataas sa parisukat, ay kilala bago ang sikat na pilosopong Griyego na nakuha ito. Maraming mga papiro ng sinaunang Ehipto, pati na rin ang mga palatandaan ng luad na kumpirmahin ng mga Babylonians na ginagamit ng mga bansang ito ang minarkahang ari-arian ng mga gilid ng hugis-parihaba na tatsulok. Halimbawa, isa sa unang Egyptian pyramids, ang Pyramid ng Hefren, ang pagtatayo ng kung saan ay kabilang sa XXVI siglo BC (2000 taon bago ang buhay ng Pythagora), ay itinayo batay sa kaalaman ng aspeto ratio sa 3x4x5 hugis-parihaba Triangle.
Bakit sa kasalukuyan ang teorama ang pangalan ng Griyego? Ang sagot ay simple: Pythagoras ay ang unang isa na mathematically proved ito teorama. Sa napapanatili na mga pinagkukunan ng Babilonia at Egyptian na mga pinagkukunan, tanging ang paggamit nito ay tinutukoy, ngunit walang katibayan ng matematika.
Ito ay pinaniniwalaan na pinatunayan ni Pythagoras ang teorama sa pagsasaalang-alang sa pamamagitan ng paggamit ng mga katangian ng mga katulad na triangles, na natanggap niya, na nagsagawa ng taas sa isang hugis-parihaba na tatsulok mula sa isang anggulo ng 90 o sa hypotenuse.
Isang halimbawa ng paggamit ng Pythagores theorem
Isaalang-alang ang isang simpleng gawain: ito ay kinakailangan upang matukoy ang haba ng hilig hagdanan L, kung ito ay kilala na ito ay may taas H \u003d 3 metro, at ang distansya mula sa pader, kung saan ang hagdanan ay nakasalalay, hanggang sa paa nito ay p \u003d 2.5 metro.
Sa kasong ito, h at p ay katenets, at l ay hypotenuse. Dahil ang haba ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga cathet, nakuha namin: L 2 \u003d H 2 + p 2, mula sa kung saan l \u003d √ (H 2 + p 2) \u003d √ (3 2 + 2.5 2) \u003d 3.905 metro o 3 m at 90, 5 cm.