Isaalang-alang ang isang linear homogeneous differential equation na may pare-parehong coefficient:
(1) .
Ang solusyon nito ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pagsunod pangkalahatang pamamaraan pagbabawas ng order.

Gayunpaman, mas madaling makuha agad ang pangunahing sistema n mga linearly independent na solusyon at batay dito ay lumikha ng pangkalahatang solusyon. Sa kasong ito, ang buong pamamaraan ng solusyon ay nabawasan sa mga sumusunod na hakbang.

Naghahanap kami ng solusyon sa equation (1) sa form . Nakukuha namin katangian equation:
(2) .
Ito ay may n mga ugat. Nilulutas namin ang equation (2) at hinahanap ang mga ugat nito. Pagkatapos ang katangian equation (2) ay maaaring katawanin sa sumusunod na anyo:
(3) .
Ang bawat ugat ay tumutugma sa isa sa mga linearly independent na solusyon ng pangunahing sistema ng mga solusyon sa equation (1). Pagkatapos ang pangkalahatang solusyon sa orihinal na equation (1) ay may anyo:
(4) .

Mga tunay na ugat

Isaalang-alang natin ang mga tunay na ugat. Hayaang maging single ang ugat. Ibig sabihin, isang beses lang pumapasok ang factor sa characteristic equation (3). Pagkatapos ang ugat na ito ay tumutugma sa solusyon
.

Hayaang maging multiple root of multiplicity p. Yan ay
. Sa kasong ito, ang multiplier ay p beses:
.
Ang maramihang (pantay na) ugat na ito ay tumutugma sa mga p linearly independent na solusyon ng orihinal na equation (1):
; ; ; ...; .

Mga kumplikadong ugat

Isaalang-alang ang mga kumplikadong ugat. Ipahayag natin ang kumplikadong ugat sa mga tuntunin ng tunay at haka-haka na mga bahagi:
.
Dahil ang mga coefficient ng orihinal ay totoo, pagkatapos ay bilang karagdagan sa ugat mayroong isang kumplikadong conjugate root
.

Hayaang maging maramihan ang kumplikadong ugat. Pagkatapos ang isang pares ng mga ugat ay tumutugma sa dalawang linearly independiyenteng solusyon:
; .

Hayaan ay isang maramihang kumplikadong ugat ng multiplicity p. Pagkatapos ang kumplikadong conjugate ay isang ugat din katangian equation multiplicity p at ang multiplier ay p beses:
.
Ito 2p tumutugma ang mga ugat 2p mga linearly independent na solusyon:
; ; ; ... ;
; ; ; ... .

Pagkatapos pangunahing sistema Ang mga linearly independent na solusyon ay matatagpuan, at nakuha namin ang pangkalahatang solusyon.

Mga halimbawa ng solusyon sa problema

Halimbawa 1

Lutasin ang equation:
.

Solusyon

.
Ibahin natin ito:
;
;
.

Tingnan natin ang mga ugat ng equation na ito. Nakakuha kami ng apat na kumplikadong ugat ng multiplicity 2:
; .
Tumutugma ang mga ito sa apat na linearly independent na solusyon sa orihinal na equation:
; ; ; .

Mayroon din kaming tatlong tunay na ugat ng maramihang 3:
.
Tumutugma ang mga ito sa tatlong linearly independent na solusyon:
; ; .

Ang pangkalahatang solusyon sa orihinal na equation ay may anyo:
.

Sagot

Halimbawa 2

Lutasin ang equation

Solusyon

Naghahanap kami ng solusyon sa form. Binubuo namin ang katangian na equation:
.
Paglutas ng isang quadratic equation.
.

Mayroon kaming dalawang kumplikadong ugat:
.
Tumutugma ang mga ito sa dalawang linearly independent na solusyon:
.
Pangkalahatang solusyon sa equation:
.

Dito namin ilalapat ang paraan ng pagkakaiba-iba ng mga constant ng Lagrange upang malutas ang mga linear na hindi magkakatulad na second-order na differential equation. Detalyadong Paglalarawan ang pamamaraang ito para sa paglutas ng mga equation ng di-makatwirang pagkakasunud-sunod ay inilarawan sa pahina
Solusyon ng linear inhomogeneous differential equation ng mas matataas na order sa pamamagitan ng Lagrange method >>>.

Halimbawa 1

Lutasin ang isang second-order differential equation na may constant coefficients gamit ang paraan ng variation ng Lagrange constants:
(1)

Solusyon

Una naming lutasin ang homogenous differential equation:
(2)

Ito ay isang pangalawang order equation.

Paglutas ng quadratic equation:
.
Maramihang mga ugat: . Ang pangunahing sistema ng mga solusyon sa equation (2) ay may anyo:
(3) .
Mula dito nakakakuha tayo ng pangkalahatang solusyon sa homogenous na equation (2):
(4) .

Pag-iiba-iba ng mga pare-pareho C 1 at C 2 . Iyon ay, pinapalitan namin ang mga constant sa (4) ng mga function:
.
Naghahanap kami ng solusyon sa orihinal na equation (1) sa anyo:
(5) .

Paghahanap ng derivative:
.
Ikonekta natin ang mga function at ang equation:
(6) .
Pagkatapos
.

Natagpuan namin ang pangalawang derivative:
.
Palitan sa orihinal na equation (1):
(1) ;



.
Dahil at natugunan ang homogenous equation (2), ang kabuuan ng mga termino sa bawat column ng huling tatlong row ay nagbibigay ng zero at ang nakaraang equation ay nasa anyo:
(7) .
Dito .

Kasama ng equation (6) nakakakuha tayo ng isang sistema ng mga equation para sa pagtukoy ng mga function at:
(6) :
(7) .

Paglutas ng isang sistema ng mga equation

Nilulutas namin ang sistema ng mga equation (6-7). Sumulat tayo ng mga expression para sa mga function at:
.
Nakikita namin ang kanilang mga derivatives:
;
.

Nilulutas namin ang sistema ng mga equation (6-7) gamit ang paraan ng Cramer. Kinakalkula namin ang determinant ng system matrix:

.
Gamit ang mga formula ng Cramer nahanap namin:
;
.

Kaya, natagpuan namin ang mga derivatives ng mga function:
;
.
Pagsamahin natin (tingnan ang Mga Paraan para sa pagsasama ng mga ugat). Paggawa ng pagpapalit
; ; ; .

.
.

;
.

Sagot

Halimbawa 2

Lutasin ang differential equation sa pamamagitan ng paraan ng variation ng Lagrange constants:
(8)

Solusyon

Hakbang 1. Paglutas ng homogenous equation

Nalulutas namin ang homogenous differential equation:

(9)
Naghahanap kami ng solusyon sa form. Binubuo namin ang katangian na equation:

Ang equation na ito ay may mga kumplikadong ugat:
.
Ang pangunahing sistema ng mga solusyon na naaayon sa mga ugat na ito ay may anyo:
(10) .
Pangkalahatang solusyon ng homogenous equation (9):
(11) .

Hakbang 2. Pagkakaiba-iba ng mga constant - pinapalitan ang mga constant ng mga function

Ngayon ay pinag-iiba namin ang mga constants C 1 at C 2 . Iyon ay, pinapalitan namin ang mga constant sa (11) ng mga function:
.
Naghahanap kami ng solusyon sa orihinal na equation (8) sa anyo:
(12) .

Dagdag pa, ang pag-unlad ng solusyon ay pareho sa halimbawa 1. Dumating tayo sa sumusunod na sistema ng mga equation para sa pagtukoy ng mga function at:
(13) :
(14) .
Dito .

Paglutas ng isang sistema ng mga equation

Solusyonan natin ang sistemang ito. Isulat natin ang mga expression para sa mga function at :
.
Mula sa talahanayan ng mga derivatives makikita natin:
;
.

Nilulutas namin ang sistema ng mga equation (13-14) gamit ang paraan ng Cramer. Determinant ng system matrix:

.
Gamit ang mga formula ng Cramer nahanap namin:
;
.

.
Dahil , ang modulus sign sa ilalim ng logarithm sign ay maaaring tanggalin. I-multiply ang numerator at denominator sa pamamagitan ng:
.
Pagkatapos
.

Pangkalahatang solusyon sa orihinal na equation:


.

Differential equation ng 2nd order

§1. Mga pamamaraan para sa pagbabawas ng pagkakasunud-sunod ng isang equation.

Ang 2nd order differential equation ay may anyo:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="119" height="25 src="> ( o Differential" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">2nd order differential equation). Cauchy na problema para sa 2nd order differential equation (1..gif" width="85" height= "25 src =">.gif" width="85" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.

Hayaang magkaroon ng form ang 2nd order differential equation: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src=">..gif" width="39" height=" 25 src=">.gif" width="265" height="28 src=">.

Kaya, ang 2nd order equation https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="118" height =" 25 src=">.gif" width="117" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">. Ang paglutas nito, nakukuha namin ang pangkalahatang integral ng orihinal na differential equation, depende sa dalawang arbitrary constants: https://pandia.ru/text/78/516/images/image020_23.gif" width="95" height="25 src =">. gif" width="76" height="25 src=">.

Solusyon.

Dahil ang orihinal na equation ay hindi tahasang naglalaman ng argument https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">.gif" width="35" height="25 src=">..gif" width="35" height="25 src=">.gif" width="82" height="38 src="> ..gif" width="99" height="38 src=">.

Dahil sa https://pandia.ru/text/78/516/images/image029_18.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width="42" height="38 src= " >.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="68" height="35 src=">..gif" height="25 src=">.

Hayaang magkaroon ng form ang 2nd order differential equation: https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">..gif" width="161" height=" 25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="33" height="25 src=">..gif" width="225" height="25 src=">..gif" width="150" height="25 src=">.

Halimbawa 2. Hanapin ang pangkalahatang solusyon sa equation: https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="107" height ="25 src=">..gif" width="100" height="27 src=">.gif" width="130" height="37 src=">.gif" width="34" height= "25 src =">.gif" width="183" height="36 src=">.

3. Ang pagkakasunud-sunod ng kapangyarihan ay nababawasan kung posible na ibahin ang anyo nito na ang magkabilang panig ng equation ay naging kumpletong derivatives ayon sa https://pandia.ru/text/78/516/images/image052_13.gif " width="92" height=" 25 src=">..gif" width="98" height="48 src=">.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="282" height="25 src=">, (2.1)

kung saan https://pandia.ru/text/78/516/images/image060_12.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> – mga tinukoy na function, tuloy-tuloy sa pagitan kung saan hinahanap ang solusyon. Ipagpalagay na a0(x) ≠ 0, hinahati namin ang (2..gif" width="215" height="25 src="> (2.2)

Tanggapin natin nang walang patunay na (2..gif" width="82" height="25 src=">.gif" width="38" height="25 src=">.gif" width="65" height = "25 src=">, pagkatapos ang equation (2.2) ay tinatawag na homogenous, at ang equation (2.2) ay tinatawag na inhomogeneous kung hindi man.

Isaalang-alang natin ang mga katangian ng mga solusyon sa 2nd order lode.

Kahulugan. Linear na kumbinasyon ng mga function https://pandia.ru/text/78/516/images/image071_10.gif" width="93" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src = ">.gif" width="195" height="25 src=">, (2.3)

pagkatapos ang kanilang linear na kumbinasyon https://pandia.ru/text/78/516/images/image076_10.gif" width="182" height="25 src="> sa (2.3) at ipakita na ang resulta ay ang pagkakakilanlan:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image078_10.gif" width="368" height="25 src=">.

Dahil ang mga function https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> ay mga solusyon sa equation (2.3), kung gayon ang bawat isa sa mga bracket sa ang huling equation ay magkapareho ay katumbas ng zero, na kung ano ang kailangan upang mapatunayan.

Bunga 1. Ito ay sumusunod mula sa napatunayang theorem na sa https://pandia.ru/text/78/516/images/image080_10.gif" width="77" height="25 src="> - ang solusyon sa equation (2. .gif" width=" 97" height="25 src=">.gif" width="165" height="25 src="> ay tinatawag na linearly independent sa ilang agwat kung wala sa mga function na ito ang maaaring katawanin bilang isang linear kumbinasyon ng lahat ng iba pa.

Sa kaso ng dalawang function https://pandia.ru/text/78/516/images/image085_11.gif" width="119" height="25 src=">, i.e..gif" width="77" height ="47 src=">.gif" width="187" height="43 src=">.gif" width="42" height="25 src=">. Kaya, ang Wronski determinant para sa dalawang linearly independent functions ay hindi maaaring magkaparehong katumbas ng zero.

Hayaan https://pandia.ru/text/78/516/images/image091_10.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> .gif" width="605" height="50">..gif" width="18" height="25 src="> satisfy the equation (2..gif" width="42" height="25 src = "> – solusyon sa equation (3.1)..gif" width="87" height="28 src=">..gif" width="182" height="34 src=">..gif" width= "162 " height="42 src=">.gif" width="51" height="25 src="> Kaya, nakuha ang pagkakakilanlan.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image107_7.gif" width="18" height="25 src=">, kung saan ang determinant para sa mga linearly independent na solusyon ng equation (2..gif " width= "42" height="25 src=">.gif" height="25 src="> parehong salik sa kanang bahagi ng formula (3.2) ay hindi zero.

§4. Istraktura ng pangkalahatang solusyon sa 2nd order lode.

Teorama. Kung ang https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> ay mga linearly independent na solusyon sa equation (2..gif" width=" 19" height="25 src=">.gif" width="129" height="25 src=">ay isang solusyon sa equation (2.3), na sumusunod mula sa theorem sa mga katangian ng mga solusyon sa 2nd order lode.. gif" width="85 " height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="220" height="47">

Ang mga constant https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_79.gif" width="19" height="25 src="> mula sa sistemang ito ng linear algebraic equation ay natutukoy nang natatangi, dahil ang determinant ng sistemang ito https: //pandia.ru/text/78/516/images/image006_56.gif" width="51" height="25 src=">:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image116_7.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">. gif" width="69" height="25 src=">.gif" width="235" height="48 src=">..gif" width="143" height="25 src="> (5 ..gif" width="77" height="25 src=">. Ayon sa nakaraang talata, ang pangkalahatang solusyon sa 2nd order Lod ay madaling matukoy kung ang dalawang linearly independent na partial solution ng equation na ito ay kilala. Isang simpleng paraan para sa paghahanap ng mga bahagyang solusyon sa isang equation na may pare-parehong coefficient na iminungkahi ni L. Euler..gif" width="25" height="26 src=">, nakukuha namin algebraic equation, na tinatawag na katangian:

Ang https://pandia.ru/text/78/516/images/image124_5.gif" width="59" height="26 src="> ay magiging solusyon sa equation (5.1) para lamang sa mga value na iyon ng k iyon ang mga ugat ng katangiang equation (5.2)..gif" width="49" height="25 src=">..gif" width="76" height="28 src=">.gif" width= "205" height="47 src ="> at ang pangkalahatang solusyon (5..gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="74" height="26 src=" >..gif" width="83 " height="26 src=">. Suriin natin na ang function na ito ay nakakatugon sa equation (5.1)..gif" width="190" height="26 src="> sa equation (5.1), nakukuha natin

https://pandia.ru/text/78/516/images/image141_6.gif" width="328" height="26 src=">, because..gif" width="137" height="26 src= ">.

Ang mga partikular na solusyon https://pandia.ru/text/78/516/images/image145_6.gif" width="86" height="28 src="> ay linearly independent, dahil..gif" width="166" height ="26 src=">.gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="65" height="33 src=">.gif" width="134" height = "25 src=">.gif" width="267" height="25 src=">.gif" width="474" height="25 src=">.

Ang parehong mga bracket sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito ay magkaparehong katumbas ng zero..gif" width="174" height="25 src=">..gif" width="132" height="25 src="> ay ang solusyon sa equation (5.1) ..gif" width="129" height="25 src="> ay magiging ganito ang hitsura:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" width="179" height="25 src="> f(x) (6.1)

ay ipinakita bilang kabuuan ng pangkalahatang solusyon https://pandia.ru/text/78/516/images/image164_6.gif" width="195" height="25 src="> (6.2)

at anumang partikular na solusyon https://pandia.ru/text/78/516/images/image166_6.gif" width="87" height="25 src="> ay magiging solusyon sa equation (6.1)..gif" lapad=" 272" taas="25 src="> f(x). Ang pagkakapantay-pantay na ito ay isang pagkakakilanlan, dahil..gif" width="128" height="25 src="> f(x). Samakatuwid.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width ="138" height="25 src=">.gif" width="18" height="25 src="> ay mga linearly independent na solusyon sa equation na ito. kaya:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image173_5.gif" width="289" height="48 src=">

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="11" height="25 src=">. gif" width="51" height="25 src=">, at ang naturang determinant, gaya ng nakita natin sa itaas, ay hindi zero..gif" width="19" height="25 src="> mula sa system ng mga equation (6 ..gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="140" height="25 src ="> ay malulutas ang equation

https://pandia.ru/text/78/516/images/image179_5.gif" width="91" height="25 src="> sa equation (6.5), nakukuha namin

https://pandia.ru/text/78/516/images/image181_5.gif" width="140" height="25 src=">.gif" width="128" height="25 src="> f (x) (7.1)

kung saan https://pandia.ru/text/78/516/images/image185_5.gif" width="34" height="25 src="> equation (7.1) sa kaso kapag ang kanang bahagi ay may f(x) espesyal na uri. Ang pamamaraang ito ay tinatawag na paraan ng mga hindi tiyak na koepisyent at binubuo ng pagpili ng isang partikular na solusyon depende sa uri ng kanang bahagi na f(x). Isaalang-alang ang kanang bahagi ng sumusunod na anyo:

1..gif" width="282" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src=">, maaaring zero. Ipahiwatig natin ang form kung saan dapat gawin ang isang partikular na solusyon sa kasong ito.

a) Kung ang numero https://pandia.ru/text/78/516/images/image191_5.gif" width="393" height="25 src=">.gif" width="157" height="25 src =>>.

Solusyon.

Para sa equation https://pandia.ru/text/78/516/images/image195_4.gif" width="86" height="25 src=">..gif" width="62" height="25 src = ">..gif" width="101" height="25 src=">.gif" width="153" height="25 src=">.gif" width="383" height="25 src= " >.

Binabawasan namin ang parehong bahagi sa https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src="> sa kaliwa at kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay

https://pandia.ru/text/78/516/images/image206_5.gif" width="111" height="40 src=">

Mula sa nagresultang sistema ng mga equation nakita namin: https://pandia.ru/text/78/516/images/image208_5.gif" width="189" height="25 src=">, at ang pangkalahatang solusyon ay ibinigay na equation mayroong:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image190_5.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="423" height="25 src=">,

kung saan https://pandia.ru/text/78/516/images/image212_5.gif" width="158" height="25 src=">.

Solusyon.

Ang kaukulang equation ng katangian ay may anyo:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image214_6.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">. gif" width="45" height="25 src=">.gif" width="219" height="25 src=">..gif" width="184" height="35 src=">. Pangwakas mayroon kaming sumusunod na expression para sa pangkalahatang solusyon:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image223_4.gif" width="170" height="25 src=">.gif" width="13" height="25 src="> mahusay mula sa zero. Ipahiwatig natin ang uri ng partikular na solusyon sa kasong ito.

a) Kung ang numero https://pandia.ru/text/78/516/images/image227_5.gif" width="204" height="25 src=">,

kung saan ang https://pandia.ru/text/78/516/images/image226_5.gif" width="16" height="25 src="> ay ang ugat ng katangiang equation para sa equation (5..gif" width="229 " height="25 src=">,

kung saan https://pandia.ru/text/78/516/images/image229_5.gif" width="147" height="25 src=">.

Solusyon.

Mga ugat ng katangiang equation para sa equation https://pandia.ru/text/78/516/images/image231_4.gif" width="58" height="25 src=">.gif" width="203" height ="25 src=">.

Ang kanang bahagi ng equation na ibinigay sa halimbawa 3 ay may espesyal na anyo: f(x) https://pandia.ru/text/78/516/images/image235_3.gif" width="50" height="25 src= ">.gif " width="55" height="25 src=">.gif" width="229" height="25 src=">.

Upang matukoy ang https://pandia.ru/text/78/516/images/image240_2.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="43" height="25 src=" > at palitan ito sa ibinigay na equation:

Binabanggit ang mga katulad na termino, tinutumbasan ang mga coefficient sa https://pandia.ru/text/78/516/images/image245_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="100" height = "25 src=">.

Ang huling pangkalahatang solusyon sa ibinigay na equation ay: https://pandia.ru/text/78/516/images/image249_2.gif" width="281" height="25 src=">.gif" width="47 " height ="25 src=">.gif" width="10" height="25 src="> ayon sa pagkakabanggit, at maaaring katumbas ng zero ang isa sa mga polynomial na ito .

a) Kung ang numero https://pandia.ru/text/78/516/images/image255_2.gif" width="605" height="51">, (7.2)

kung saan https://pandia.ru/text/78/516/images/image257_2.gif" width="121" height="25 src=">.

b) Kung ang numero https://pandia.ru/text/78/516/images/image210_5.gif" width="80" height="25 src=">, ang partikular na solusyon sa lndu ay magiging ganito:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image259_2.gif" width="17" height="25 src=">. Sa expression (7..gif" width="121" height= " 25 src=">.

Halimbawa 4. Ipahiwatig ang uri ng partikular na solusyon para sa equation

https://pandia.ru/text/78/516/images/image262_2.gif" width="129" height="25 src=">..gif" width="95" height="25 src="> . Ang pangkalahatang solusyon sa Lodu ay may anyo:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image266_2.gif" width="183" height="25 src=">..gif" width="42" height="25 src="> ..gif" width="36" height="25 src=">.gif" width="351" height="25 src=">.

Mga karagdagang coefficient https://pandia.ru/text/78/516/images/image273_2.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="42" height="28 src=" > mayroong isang partikular na solusyon para sa equation na may kanang bahagi f1(x), at Variation" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">mga variation ng arbitrary constants (Lagrange method).

Ang direktang paghahanap ng isang partikular na solusyon sa isang equation, maliban sa kaso ng isang equation na may pare-parehong coefficient at may mga espesyal na libreng termino, ay napakahirap. Samakatuwid, upang makahanap ng isang pangkalahatang solusyon sa equation, ang paraan ng pagkakaiba-iba ng mga arbitrary constants ay karaniwang ginagamit, na palaging ginagawang posible upang mahanap ang pangkalahatang solusyon sa equation sa quadratures kung ang pangunahing sistema ng mga solusyon sa katumbas na homogenous equation ay kilala. . Ang pamamaraang ito ay ang mga sumusunod.

Ayon sa itaas, ang pangkalahatang solusyon sa isang linear homogenous equation ay:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image278_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="51" height="25 src="> – hindi mga constant, ngunit ang ilan, na hindi pa alam, mga function ng f(x). . dapat kunin mula sa pagitan. Sa katunayan, sa kasong ito, ang determinant ng Wronski ay nonzero sa lahat ng mga punto ng pagitan, ibig sabihin, sa buong espasyo - ang kumplikadong ugat ng katangian na equation..gif" width="20" height="25 src="> linearly independent na bahagyang solusyon ng form :

Sa pangkalahatang formula ng solusyon, ang ugat na ito ay tumutugma sa isang pagpapahayag ng anyo.

Differential equation ng second order at higher orders.
Mga linear differential equation ng pangalawang order na may pare-parehong coefficient.
Mga halimbawa ng solusyon.

Magpatuloy tayo sa pagsasaalang-alang sa mga second-order differential equation at higher-order differential equation. Kung mayroon kang hindi malinaw na ideya kung ano ang isang differential equation (o hindi mo talaga naiintindihan kung ano ito), pagkatapos ay inirerekumenda kong magsimula sa aralin First order differential equation. Mga halimbawa ng solusyon. Maraming mga prinsipyo ng solusyon at mga pangunahing konsepto ang mga first order diffuser ay awtomatikong umaabot sa differential equation mas mataas na mga order, samakatuwid napakahalagang maunawaan muna ang mga equation ng unang pagkakasunud-sunod.

Maraming mga mambabasa ang maaaring magkaroon ng pagkiling na ang remote control ng ika-2, ika-3 at iba pang mga order ay isang bagay na napakahirap at hindi naa-access sa master. Mali ito . Ang pag-aaral na lutasin ang mas mataas na pagkakasunud-sunod na mga diffuse ay halos hindi mas mahirap kaysa sa "ordinaryong" 1st order DEs. At sa ilang mga lugar ito ay mas simple, dahil ang mga solusyon ay aktibong gumagamit ng materyal mula sa kurikulum ng paaralan.

Pinaka sikat pangalawang order differential equation. Sa pangalawang order na differential equation Kailangan kasama ang pangalawang derivative at hindi kasama

Dapat tandaan na ang ilan sa mga sanggol (at maging ang lahat ng sabay-sabay) ay maaaring nawawala sa equation, mahalaga na ang ama ay nasa bahay. Ang pinaka-primitive na second-order differential equation ay ganito ang hitsura:

Ang mga third-order na differential equation sa mga praktikal na gawain ay hindi gaanong karaniwan ayon sa aking mga subjective na obserbasyon, makakakuha sila ng mga 3-4% ng mga boto sa State Duma.

Sa isang third order differential equation Kailangan kabilang ang ikatlong hinalaw at hindi kasama derivatives ng mas mataas na mga order:

Ganito ang hitsura ng pinakasimpleng third-order differential equation: – nasa bahay si tatay, naglalakad ang lahat ng bata.

Sa katulad na paraan, maaari mong tukuyin ang mga differential equation ng ika-4, ika-5 at mas mataas na mga order. Sa mga praktikal na problema, ang mga naturang control system ay bihirang mabigo, gayunpaman, susubukan kong magbigay ng mga nauugnay na halimbawa.

Ang mga equation ng mas mataas na pagkakasunud-sunod na kaugalian, na iminungkahi sa mga praktikal na problema, ay maaaring nahahati sa dalawang pangunahing grupo.

1) Ang unang pangkat - ang tinatawag na mga equation na maaaring bawasan sa pagkakasunud-sunod. Halika na!

2) Pangalawang pangkat - linear na equation mas mataas na mga order na may pare-parehong coefficient. Na sisimulan nating tingnan ngayon.

Linear differential equation ng pangalawang order
na may pare-parehong coefficient

Sa teorya at kasanayan, dalawang uri ng naturang mga equation ay nakikilala: homogenous equation At hindi magkakatulad na equation.

Homogeneous pangalawang order DE na may pare-parehong coefficients ay may sumusunod na anyo:
, kung saan at ang mga constant (mga numero), at sa kanang bahagi - mahigpit sero.

Tulad ng nakikita mo, walang mga partikular na paghihirap sa mga homogenous na equation, ang pangunahing bagay ay magpasya nang tama quadratic equation .

Minsan may mga hindi karaniwang homogenous na equation, halimbawa isang equation sa anyo , kung saan sa pangalawang derivative mayroong ilang pare-pareho na naiiba mula sa pagkakaisa (at, natural, naiiba mula sa zero). Ang algorithm ng solusyon ay hindi nagbabago sa lahat; Kung ang katangian equation ay magkakaroon ng dalawang magkaibang tunay na ugat, halimbawa: , kung gayon ang pangkalahatang solusyon ay maaaring isulat bilang ang karaniwang pamamaraan: .

Sa ilang mga kaso, dahil sa isang typo sa kundisyon, maaaring magresulta ang "masamang" ugat, tulad ng . Ano ang gagawin, ang sagot ay kailangang isulat tulad nito:

Sa "masamang" conjugate complex roots tulad ng wala ring problema, pangkalahatang solusyon:

Yan ay, may pangkalahatang solusyon pa rin. Dahil ang anumang quadratic equation ay may dalawang ugat.

Sa huling talata, tulad ng ipinangako ko, isasaalang-alang natin sandali:

Linear homogenous equation ng mas mataas na mga order

Ang lahat ay napaka, magkatulad.

Ang isang linear homogenous na equation ng ikatlong order ay may sumusunod na anyo:
, kung saan ang mga constants.
Para sa equation na ito, kailangan mo ring lumikha ng isang katangian na equation at hanapin ang mga ugat nito. Ang katangiang equation, gaya ng nahulaan ng marami, ay ganito:
, at ito Anyway Mayroon itong eksaktong tatlo ugat

Hayaan, halimbawa, ang lahat ng mga ugat ay totoo at naiiba: , pagkatapos ay ang pangkalahatang solusyon ay isusulat tulad ng sumusunod:

Kung ang isang ugat ay totoo, at ang iba pang dalawa ay conjugate complex, pagkatapos ay isusulat namin ang pangkalahatang solusyon tulad ng sumusunod:

Isang espesyal na kaso, kapag ang lahat ng tatlong ugat ay multiple (pareho). Isaalang-alang natin ang pinakasimpleng homogenous na DE ng ika-3 order sa isang malungkot na ama: . Ang katangiang equation ay may tatlong magkakatulad na zero na ugat. Isinulat namin ang pangkalahatang solusyon tulad ng sumusunod:

Kung ang katangian equation ay mayroong, halimbawa, tatlong maraming ugat, kung gayon ang pangkalahatang solusyon, nang naaayon, ay ang mga sumusunod:

Halimbawa 9

Lutasin ang isang homogenous na third order differential equation

Solusyon: Bumuo tayo at lutasin ang katangiang equation:

, – isang tunay na ugat at dalawang conjugate complex na ugat ay nakuha.

Sagot: karaniwang desisyon

Katulad nito, maaari nating isaalang-alang ang isang pang-apat na pagkakasunud-sunod na linear homogenous equation na may pare-parehong coefficient: , kung saan ang mga constant.

Linear homogenous second order differential equation na may pare-parehong coefficient ay may pangkalahatang solusyon
, Saan At linearly independent partial solutions ng equation na ito.

Pangkalahatang anyo ng mga solusyon sa isang homogenous na second-order differential equation na may pare-parehong coefficient
, depende sa mga ugat ng katangian na equation
.

Halimbawa

Humanap ng pangkalahatang solusyon sa linear homogenous na second-order differential equation na may pare-parehong coefficient:

1)

Solusyon:
.

Nang malutas ito, mahahanap natin ang mga ugat
,
wasto at naiiba. Samakatuwid, ang pangkalahatang solusyon ay:
.

2)

Solusyon: Gumawa tayo ng isang katangian na equation:
.

Nang malutas ito, mahahanap natin ang mga ugat

wasto at magkapareho. Samakatuwid, ang pangkalahatang solusyon ay:
.

3)

Solusyon: Gumawa tayo ng isang katangian na equation:
.

Nang malutas ito, mahahanap natin ang mga ugat
kumplikado. Samakatuwid, ang pangkalahatang solusyon ay may anyo:.

Linear inhomogeneous second order differential equation na may pare-parehong coefficient parang

saan
. (1)

Ang pangkalahatang solusyon ng isang linear inhomogeneous second order differential equation ay may anyo
, Saan
– isang partikular na solusyon ng equation na ito, – isang pangkalahatang solusyon ng katumbas na homogenous equation, i.e. mga equation

Uri ng pribadong solusyon
inhomogeneous equation (1) depende sa kanang bahagi
:

Isaalang-alang natin ang iba't ibang uri ng kanang bahagi ng isang linear inhomogeneous differential equation:

1.
, kung saan ay isang polynomial ng degree . Pagkatapos ay ang partikular na solusyon
maaaring hanapin sa form
, Saan

, A – ang bilang ng mga ugat ng katangiang equation na katumbas ng zero.

Halimbawa

Maghanap ng pangkalahatang solusyon
.

Solusyon:

.

B) Dahil ang kanang bahagi ng equation ay isang polynomial ng unang antas at wala sa mga ugat ng katangian na equation
hindi katumbas ng zero (
), pagkatapos ay naghahanap kami ng isang partikular na solusyon sa anyo kung saan At - hindi kilalang mga koepisyent. Dalawang beses ang pagkakaiba
at pagpapalit
,
At
sa orihinal na equation, nakita namin.

Equating coefficients sa parehong degree sa magkabilang panig ng equation
,
, nahanap namin
,
. Kaya, ang isang partikular na solusyon sa equation na ito ay may anyo
, at ang pangkalahatang solusyon nito.

2. Hayaang may form ang kanang bahagi
, kung saan ay isang polynomial ng degree . Pagkatapos ay ang partikular na solusyon
maaaring hanapin sa form
, Saan
– isang polynomial na kapareho ng antas ng
, A – isang numerong nagsasaad kung gaano karaming beses ay ang ugat ng katangiang equation.

Halimbawa

Maghanap ng pangkalahatang solusyon
.

Solusyon:

A) Hanapin ang pangkalahatang solusyon ng katumbas na homogenous equation
. Upang gawin ito, isinulat namin ang equation ng katangian
. Hanapin natin ang mga ugat ng huling equation
. Dahil dito, ang pangkalahatang solusyon ng homogenous na equation ay may anyo
.

katangian equation

, Saan – hindi kilalang koepisyent. Dalawang beses ang pagkakaiba
at pagpapalit
,
At
sa orihinal na equation, nakita namin. saan
, yan ay
o
.

Kaya, ang isang partikular na solusyon sa equation na ito ay may anyo
, at ang pangkalahatang solusyon nito
.

3. Hayaang nasa kanang bahagi ang form , kung saan
At – binigay na mga numero. Pagkatapos ay ang partikular na solusyon
maaaring hanapin sa form kung saan At ay mga hindi kilalang coefficient, at – isang numero na katumbas ng bilang ng mga ugat ng katangiang equation na tumutugma sa
. Kung sa function expression
kahit isa sa mga function ay kasama
o
, pagkatapos ay sa
dapat laging pinapasok pareho mga function.

Halimbawa

Maghanap ng pangkalahatang solusyon.

Solusyon:

A) Hanapin ang pangkalahatang solusyon ng katumbas na homogenous equation
. Upang gawin ito, isinulat namin ang equation ng katangian
. Hanapin natin ang mga ugat ng huling equation
. Dahil dito, ang pangkalahatang solusyon ng homogenous na equation ay may anyo
.

B) Dahil ang kanang bahagi ng equation ay isang function
, pagkatapos ay ang control number ng equation na ito, hindi ito tumutugma sa mga ugat
katangian equation
. Pagkatapos ay naghahanap kami ng isang partikular na solusyon sa form

saan At – hindi kilalang coefficient. Differentiating twice, nakukuha natin. Pagpapalit
,
At
sa orihinal na equation, nakita namin

.

Ang pagdadala ng mga katulad na termino, nakukuha namin

.

Itinutumbas namin ang mga coefficient para sa
At
sa kanan at kaliwang bahagi ng equation, ayon sa pagkakabanggit. Nakukuha namin ang sistema
. Ang paglutas nito, nahanap namin
,
.

Kaya, ang isang partikular na solusyon sa orihinal na differential equation ay may anyo .

Ang pangkalahatang solusyon ng orihinal na differential equation ay may anyo.