Petsa: 11/20/2014

Ano ang derivative?

Derivative table.

Ang derivative ay isa sa mga pangunahing konsepto ng mas mataas na matematika. Sa araling ito, ipakikilala natin ang konseptong ito. Magkakilala tayo, nang walang mahigpit na mathematical formulations at proofs.

Ang pagpapakilalang ito ay magbibigay-daan sa iyo na:

Unawain ang kakanyahan ng mga simpleng gawain na may hinango;

Matagumpay na lutasin ang napakasimpleng mga gawaing ito;

Maghanda para sa mas seryosong derivative lessons.

Una, isang masayang sorpresa.

Ang mahigpit na kahulugan ng derivative ay batay sa teorya ng mga limitasyon, at ang bagay ay medyo kumplikado. Nakakainis. Ngunit ang praktikal na aplikasyon ng derivative, bilang panuntunan, ay hindi nangangailangan ng ganoong malawak at malalim na kaalaman!

Upang matagumpay na makumpleto ang karamihan sa mga gawain sa paaralan at unibersidad, sapat na upang malaman ilang terms na lang- upang maunawaan ang gawain, at ilang rules lang- upang malutas ito. At ayun na nga. Ito ang nagpapasaya sa akin.

Magkakilala ba tayo?)

Mga tuntunin at pagtatalaga.

Maraming mathematical operations sa elementary mathematics. Pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami, pagpaparami, logarithm, atbp. Kung ang isa pang operasyon ay idinagdag sa mga operasyong ito, ang elementarya na matematika ay nagiging mas mataas. Ang bagong operasyon na ito ay tinatawag pagkakaiba-iba. Ang kahulugan at kahulugan ng operasyong ito ay tatalakayin sa magkakahiwalay na mga aralin.

Dito mahalagang maunawaan na ang pagkita ng kaibhan ay isang mathematical operation lamang sa isang function. Nagsasagawa kami ng anumang pag-andar at, ayon sa ilang mga patakaran, binabago ito. Ang resulta ay isang bagong function. Ang bagong function na ito ay tinatawag na: derivative.

Pagkakaiba-iba- aksyon sa isang function.

Derivative ay ang resulta ng pagkilos na ito.

Tulad na lang, halimbawa, sum ay ang resulta ng karagdagan. O kaya pribado ay ang resulta ng paghahati.

Ang pag-alam sa mga termino, maaari mong maunawaan ang mga gawain.) Ang mga salita ay ang mga sumusunod: hanapin ang derivative ng isang function; kunin ang derivative; ibahin ang pag-andar; kalkulahin ang derivative atbp. Ito lang pareho. Siyempre, may mga mas kumplikadong mga gawain, kung saan ang paghahanap ng derivative (pagkita ng kaibhan) ay isa lamang sa mga hakbang sa paglutas ng gawain.

Ang derivative ay tinutukoy ng isang gitling sa kanang tuktok sa itaas ng function. Ganito: y" o f"(x) o S"(t) atbp.

basahin y stroke, ef stroke mula sa x, es stroke mula sa te, well gets mo na...)

Maaari ding tukuyin ng prime ang derivative ng isang partikular na function, halimbawa: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" atbp. Kadalasan ang derivative ay tinutukoy gamit ang mga kaugalian, ngunit hindi namin isasaalang-alang ang gayong notasyon sa araling ito.

Ipagpalagay na natutunan nating maunawaan ang mga gawain. Wala nang natitira - upang matutunan kung paano lutasin ang mga ito.) Paalalahanan ko kayong muli: ang paghahanap ng derivative ay pagbabago ng isang function ayon sa ilang mga patakaran. Ang mga patakarang ito ay nakakagulat na kakaunti.

Upang mahanap ang derivative ng isang function, kailangan mo lamang malaman ang tatlong bagay. Tatlong haligi kung saan nakasalalay ang lahat ng pagkakaiba-iba. Narito ang tatlong balyena:

1. Talaan ng mga derivatives (mga formula ng differentiation).

3. Derivative ng isang kumplikadong function.

Magsimula tayo sa pagkakasunud-sunod. Sa araling ito, isasaalang-alang natin ang talahanayan ng mga derivatives.

Derivative table.

Ang mundo ay may walang katapusang bilang ng mga pag-andar. Kabilang sa set na ito ay may mga function na pinakamahalaga para sa praktikal na aplikasyon. Ang mga tungkuling ito ay nasa lahat ng mga batas ng kalikasan. Mula sa mga pag-andar na ito, tulad ng mula sa mga brick, maaari mong gawin ang lahat ng iba pa. Ang klase ng mga function na ito ay tinatawag elementarya na pag-andar. Ito ang mga pag-andar na ito na pinag-aaralan sa paaralan - linear, quadratic, hyperbola, atbp.

Pagkita ng kaibhan ng mga function "mula sa simula", i.e. batay sa kahulugan ng derivative at theory of limits - isang bagay na medyo matagal. At ang mga mathematician ay tao rin, oo, oo!) Kaya pinasimple nila ang kanilang buhay (at tayo). Kinakalkula nila ang mga derivatives ng elementary functions bago sa amin. Ang resulta ay isang talahanayan ng mga derivatives, kung saan handa na ang lahat.)

Narito ito, ang plato na ito para sa pinakasikat na mga pag-andar. Kaliwa - elementarya function, kanan - ang hinango nito.

	Function y	Derivative ng function y y"
1	C (pare-pareho)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n ay anumang numero)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	kasalanan x	(sinx)" = cosx
	kasi x	(cos x)" = - kasalanan x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctg x
	arcctg x
4	a x
	e x
5	log a x
	ln x ( a = e)

Inirerekomenda ko ang pagbibigay pansin sa ikatlong pangkat ng mga pag-andar sa talahanayan ng mga derivatives na ito. Ang derivative ng power function ay isa sa mga pinakakaraniwang formula, kung hindi ang pinakakaraniwan! Malinaw ba ang pahiwatig?) Oo, ito ay kanais-nais na malaman ang talahanayan ng mga derivatives sa pamamagitan ng puso. Sa pamamagitan ng paraan, ito ay hindi bilang mahirap bilang ito ay tila. Subukang lutasin ang higit pang mga halimbawa, ang talahanayan mismo ay maaalala!)

Ang paghahanap ng tabular na halaga ng derivative, tulad ng naiintindihan mo, ay hindi ang pinakamahirap na gawain. Samakatuwid, napakadalas sa gayong mga gawain ay may mga karagdagang chips. Alinman sa pagbabalangkas ng gawain, o sa orihinal na pag-andar, na tila wala sa talahanayan ...

Tingnan natin ang ilang halimbawa:

1. Hanapin ang derivative ng function na y = x 3

Walang ganoong function sa talahanayan. Ngunit mayroong pangkalahatang derivative ng power function (ikatlong pangkat). Sa aming kaso, n=3. Kaya't pinapalitan namin ang triple sa halip na n at maingat na isulat ang resulta:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Iyon lang ang mayroon.

Sagot: y" = 3x 2

2. Hanapin ang halaga ng derivative ng function na y = sinx sa puntong x = 0.

Ang gawaing ito ay nangangahulugan na kailangan mo munang hanapin ang derivative ng sine, at pagkatapos ay palitan ang halaga x = 0 sa parehong derivative na ito. Nasa ganoong ayos! Kung hindi man, nangyayari na agad nilang pinapalitan ang zero sa orihinal na function ... Hinihiling sa amin na hanapin hindi ang halaga ng orihinal na function, ngunit ang halaga hinango nito. Ang derivative, hayaan mo akong ipaalala sa iyo, ay isa nang bagong function.

Sa plato nakita namin ang sine at ang kaukulang derivative:

y" = (sinx)" = cosx

Palitan ang zero sa derivative:

y"(0) = cos 0 = 1

Ito ang magiging sagot.

3. Pag-iba-iba ang function:

What inspires?) Wala man lang malapit na ganoong function sa table ng derivatives.

Hayaan akong ipaalala sa iyo na ang pag-iiba ng isang function ay ang paghahanap lamang ng derivative ng function na ito. Kung nakalimutan mo ang elementarya na trigonometrya, ang paghahanap ng derivative ng aming function ay medyo mahirap. Hindi nakakatulong ang mesa...

Ngunit kung nakikita natin na ang ating tungkulin ay cosine ng isang dobleng anggulo, pagkatapos ay bubuti agad ang lahat!

Oo Oo! Tandaan na ang pagbabago ng orihinal na function bago ang pagkakaiba-iba medyo katanggap-tanggap! At nangyayari ito upang gawing mas madali ang buhay. Ayon sa formula para sa cosine ng isang dobleng anggulo:

Yung. ang aming nakakalito na function ay walang iba kundi y = cox. At ito ay isang function ng talahanayan. Nakuha namin kaagad:

Sagot: y" = - kasalanan x.

Halimbawa para sa mga advanced na nagtapos at mga mag-aaral:

4. Hanapin ang derivative ng isang function:

Walang ganoong function sa derivatives table, siyempre. Ngunit kung naaalala mo ang elementarya na matematika, mga aksyon na may mga kapangyarihan... Kung gayon, posible na gawing simple ang pagpapaandar na ito. Ganito:

At ang x sa kapangyarihan ng isang ikasampu ay isa nang table function! Ang ikatlong pangkat, n=1/10. Direkta ayon sa formula at isulat:

Iyon lang. Ito ang magiging sagot.

Umaasa ako na sa unang balyena ng pagkita ng kaibhan - ang talahanayan ng mga derivatives - ang lahat ay malinaw. Ito ay nananatiling upang harapin ang dalawang natitirang mga balyena. Sa susunod na aralin, malalaman natin ang mga tuntunin ng pagkakaiba-iba.

Ang konsepto ng isang derivative

Hayaan ang function f(x) ay tinukoy sa ilang pagitan x. Ibigay natin ang halaga ng argumento sa punto x 0 X random na pagtaas Δ x kaya na ang punto x0 + Δ x nabibilang din x. Tapos yung kaukulang pagtaas ng function f(x) ay magiging Δ sa = f(x0 + Δ x) - f(x0).

Kahulugan 1. Ang derivative ng function na f(x) sa punto x0 ay tinatawag na limitasyon ng ratio ng pagtaas ng function sa puntong ito sa pagtaas ng argumento sa Δ x 0 (kung umiiral ang limitasyong ito).

Upang tukuyin ang derivative ng isang function, ang mga simbolo ay ginagamit sa" (x0) o f"(x0):

Kung sa isang punto x0 ang limitasyon (4.1) ay walang hanggan:

pagkatapos ay sinasabi nila na sa punto x0 function f(x) Ito ay mayroon walang katapusang derivative.

Kung ang function f(x) ay may derivative sa bawat punto ng set x, tapos yung derivative f"(x) ay isang function din ng argumento X, tinutukoy sa x.

Ang geometric na kahulugan ng derivative

Upang linawin ang geometric na kahulugan ng derivative, kailangan namin ang kahulugan ng isang tangent sa graph ng isang function sa isang naibigay na punto.

Kahulugan 2. Padaplis sa graph ng function y = f(x) sa punto M tinatawag na limitasyon ng posisyon ng secant MN, kapag tuldok N may posibilidad sa isang punto M kasama ang kurba f(x).

Hayaan ang punto M sa kurba f(x) tumutugma sa halaga ng argumento x0, at ang punto N- halaga ng argumento x0 + Δ x(Larawan 4.1). Ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng isang padaplis na para sa pagkakaroon nito sa isang punto x0 ito ay kinakailangan na mayroong isang limitasyon, na katumbas ng anggulo ng pagkahilig ng padaplis sa axis baka. Mula sa isang tatsulok MNA sinusundan iyon

Kung ang derivative ng function f(x) sa punto x0 umiiral, kung gayon, ayon sa (4.1), nakukuha natin

Mula dito sumusunod ang malinaw na konklusyon na hinalaw f"(x0) katumbas ng slope (ang tangent ng anggulo ng pagkahilig sa positibong direksyon ng Ox axis) padaplis sa graph ng function na y = f(x) sa punto M(x0, f(x0)). Sa kasong ito, ang slope ng tangent ay tinutukoy mula sa formula (4.2):

Ang pisikal na kahulugan ng derivative

Ipagpalagay natin na ang function l = f(t) inilalarawan ang batas ng paggalaw ng isang materyal na punto sa isang tuwid na linya bilang isang pagdepende sa landas l mula sa panahon t. Pagkatapos ang pagkakaiba Δ l = f(t +Δ t) - f(t) - ay ang distansyang nilakbay sa pagitan ng oras Δ t, at ang ratio Δ l/Δ t- average na bilis sa paglipas ng panahon Δ t. Pagkatapos ay ang limitasyon tumutukoy ituro ang agarang bilis sa oras na t bilang derivative ng landas na may paggalang sa oras.

Sa isang tiyak na kahulugan, ang derivative ng function sa = f(x) maaari ding bigyang kahulugan bilang rate ng pagbabago ng function: mas malaki ang halaga f"(x), mas malaki ang anggulo ng inclination ng tangent sa curve, mas matarik ang graph f(x) at ang pag-andar ay lumalaki nang mas mabilis.

Kanan at kaliwang derivatives

Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa mga konsepto ng one-sided na limitasyon ng isang function, ang mga konsepto ng kanan at kaliwang derivatives ng isang function sa isang punto ay ipinakilala.

Kahulugan 3. Kanan Kaliwa) derivative function sa = f(x) sa punto x0 ay tinatawag na kanan (kaliwa) na limitasyon ng kaugnayan (4.1) bilang Δ x 0 kung umiiral ang limitasyong ito.

Ang sumusunod na simbolismo ay ginagamit upang tukuyin ang mga one-sided derivatives:

Kung ang function f(x) ay nasa punto x0 derivative, pagkatapos ay mayroon itong kaliwa at kanang derivative sa puntong iyon na pareho.

Magbigay tayo ng isang halimbawa ng isang function na may one-sided derivatives sa isang punto na hindi katumbas ng bawat isa. Ito f(x) = |x|. Sa katunayan, sa punto x = 0 meron kami f' +(0) = 1, f"-(0) = -1 (Larawan 4.2) at f' +(0) ≠f'-(0), ibig sabihin. ang function ay walang derivative sa X = 0.

Ang operasyon ng paghahanap ng derivative ng isang function ay tinatawag pagkita ng kaibhan; tinatawag ang isang function na mayroong derivative sa isang punto naiba-iba.

Ang koneksyon sa pagitan ng differentiability at continuity ng isang function sa isang punto ay itinatag ng sumusunod na theorem.

TEOREM 1 . Kung ang isang function ay naiba-iba sa isang punto x 0 , kung gayon ito ay tuloy-tuloy din sa puntong iyon.

Ang kabaligtaran ay hindi totoo: ang function f(x) na tuloy-tuloy sa isang punto ay maaaring walang derivative sa puntong iyon. Ang ganitong halimbawa ay ang pag-andar sa = |x|; ito ay tuloy-tuloy sa punto x= 0, ngunit walang derivative sa puntong ito.

Kaya, ang pangangailangan ng differentiability ng isang function ay mas malakas kaysa sa pangangailangan ng continuity, dahil ang pangalawa ay awtomatikong sumusunod mula sa una.

Ang equation ng tangent sa graph ng isang function sa isang naibigay na punto

Tulad ng nabanggit sa seksyon 3.9, ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto M(x0, sa 0) na may slope k may porma

Hayaan ang function sa = f(x). Pagkatapos mula noong hinango nito sa ilang mga punto M(x0, sa 0) ay ang slope ng tangent sa graph ng function na ito sa punto M, pagkatapos ay sumusunod na ang equation ng tangent sa graph ng function f(x) sa puntong ito ay may anyo

Hindi palaging sa buhay kami ay interesado sa eksaktong mga halaga ng anumang dami. Minsan ito ay kagiliw-giliw na malaman ang pagbabago sa halagang ito, halimbawa, ang average na bilis ng bus, ang ratio ng dami ng paggalaw sa agwat ng oras, atbp. Upang ihambing ang halaga ng isang function sa ilang mga punto sa mga halaga ng parehong function sa iba pang mga punto, ito ay maginhawa upang gamitin ang mga konsepto tulad ng "function increment" at "argument increment".

Ang mga konsepto ng "function increment" at "argument increment"

Ipagpalagay na ang x ay ilang di-makatwirang punto na nasa ilang kapitbahayan ng puntong x0. Ang pagtaas ng argumento sa puntong x0 ay ang pagkakaiba x-x0. Ang increment ay tinutukoy bilang mga sumusunod: ∆x.

• ∆x=x-x0.

Minsan ang halagang ito ay tinatawag ding pagtaas ng independent variable sa puntong x0. Ito ay sumusunod mula sa formula: x = x0 + ∆x. Sa ganitong mga kaso, sinasabing ang paunang halaga ng independiyenteng variable na x0 ay nakatanggap ng pagtaas ng ∆x.

Kung babaguhin natin ang argumento, magbabago rin ang halaga ng function.

• f(x) - f(x0) = f(x0 + ∆х) - f(x0).

Ang pagtaas ng function f sa puntong x0, ang katumbas na pagtaas ng ∆x ay ang pagkakaiba f(x0 + ∆x) - f(x0). Ang pagtaas ng isang function ay tinutukoy bilang ∆f. Kaya nakukuha natin, sa pamamagitan ng kahulugan:

• ∆f= f(x0 + ∆x) - f(x0).

Minsan, ang ∆f ay tinatawag ding pagtaas ng dependent variable at ang ∆y ay ginagamit upang tukuyin ito kung ang function ay, halimbawa, y=f(x).

Geometric na pakiramdam ng pagtaas

Tingnan ang susunod na larawan.

Tulad ng nakikita mo, ang pagtaas ay nagpapakita ng pagbabago sa ordinate at abscissa ng punto. At ang ratio ng pagtaas ng function sa pagtaas ng argumento ay tumutukoy sa anggulo ng pagkahilig ng secant na dumadaan sa inisyal at panghuling posisyon ng punto.

Isaalang-alang ang mga halimbawa ng pag-andar at pagtaas ng argumento

Halimbawa 1 Hanapin ang increment ng argument ∆x at ang increment ng function na ∆f sa puntong x0 kung f(x) = x 2 , x0=2 a) x=1.9 b) x =2.1

Gamitin natin ang mga formula sa itaas:

a) ∆х=х-х0 = 1.9 - 2 = -0.1;

• ∆f=f(1.9) - f(2) = 1.9 2 - 2 2 = -0.39;

b) ∆x=x-x0=2.1-2=0.1;

• ∆f=f(2.1) - f(2) = 2.1 2 - 2 2 = 0.41.

Halimbawa 2 Kalkulahin ang increment ∆f para sa function na f(x) = 1/x sa puntong x0 kung ang increment ng argument ay katumbas ng ∆x.

Muli, ginagamit namin ang mga formula na nakuha sa itaas.

• ∆f = f(x0 + ∆x) - f(x0) =1/(x0-∆x) - 1/x0 = (x0 - (x0+∆x))/(x0*(x0+∆x)) = - ∆x/((x0*(x0+∆x)).

Derivative ng isang function ng isang variable.

Panimula.

Ang mga pamamaraang pagpapaunlad na ito ay inilaan para sa mga mag-aaral ng Faculty of Industrial and Civil Engineering. Ang mga ito ay pinagsama-sama na may kaugnayan sa programa ng kurso ng matematika sa seksyong "Differential calculus ng mga function ng isang variable."

Ang mga pag-unlad ay kumakatawan sa isang solong gabay sa pamamaraan, na kinabibilangan ng: maikling teoretikal na impormasyon; "karaniwang" mga gawain at pagsasanay na may mga detalyadong solusyon at paliwanag para sa mga solusyong ito; mga pagpipilian sa kontrol.

Mga karagdagang pagsasanay sa dulo ng bawat talata. Ang ganitong istraktura ng mga pag-unlad ay ginagawa silang angkop para sa independiyenteng pag-master ng seksyon na may pinakamaliit na tulong mula sa guro.

§isa. Kahulugan ng isang derivative.

Mekanikal at geometriko na kahulugan

derivative.

Ang konsepto ng derivative ay isa sa pinakamahalagang konsepto sa mathematical analysis.Bumangon ito noong ika-17 siglo. Ang pagbuo ng konsepto ng isang derivative ay historikal na nauugnay sa dalawang problema: ang problema ng bilis ng variable na paggalaw at ang problema ng isang tangent sa isang curve.

Ang mga gawaing ito, sa kabila ng magkaibang nilalaman ng mga ito, ay humahantong sa parehong mathematical operation na dapat gawin sa isang function. Ang operasyong ito ay nakatanggap ng espesyal na pangalan sa matematika. Ito ay tinatawag na operasyon ng pagkakaiba-iba ng isang function. Ang resulta ng operasyon ng pagkita ng kaibhan ay tinatawag na derivative.

Kaya, ang derivative ng function na y=f(x) sa puntong x0 ay ang limitasyon (kung mayroon) ng ratio ng pagtaas ng function sa pagtaas ng argumento
sa
.

Ang derivative ay karaniwang tinutukoy bilang mga sumusunod:
.

Kaya ayon sa kahulugan

Ginagamit din ang mga simbolo upang tukuyin ang derivative
.

Ang mekanikal na kahulugan ng derivative.

Kung ang s=s(t) ay ang batas ng rectilinear motion ng isang materyal na punto, kung gayon
ay ang bilis ng puntong ito sa oras t.

Ang geometric na kahulugan ng derivative.

Kung ang function na y=f(x) ay may derivative sa isang punto , pagkatapos ay ang slope ng tangent sa graph ng function sa punto
katumbas
.

Halimbawa.

Hanapin ang derivative ng isang function
sa punto =2:

1) Magbigay tayo ng punto =2 pagtaas
. Pansinin, iyon.

2) Hanapin ang pagtaas ng function sa punto =2:

3) Buuin ang ratio ng pagtaas ng function sa pagtaas ng argumento:

Hanapin natin ang limitasyon ng kaugnayan sa
:

.

Sa ganitong paraan,
.

§ 2. Derivatives ng ilan

ang pinakasimpleng function.

Kailangang matutunan ng mag-aaral kung paano kalkulahin ang mga derivatives ng mga partikular na function: y=x,y= at sa pangkalahatan y= .

Hanapin ang derivative ng function na y=x.

mga. (x)′=1.

Hanapin natin ang derivative ng function

Derivative

Hayaan
pagkatapos

Madaling mapansin ang isang pattern sa mga expression para sa mga derivatives ng isang power function
sa n=1,2,3.

Dahil dito,

. (1)

Ang formula na ito ay wasto para sa anumang tunay na n.

Sa partikular, gamit ang formula (1), mayroon kaming:

;

.

Halimbawa.

Hanapin ang derivative ng isang function

.

.

Ang function na ito ay isang espesyal na kaso ng isang function ng form

sa
.

Gamit ang formula (1), mayroon tayo

.

Derivatives ng mga function y=sin x at y=cos x.

Hayaan ang y=sinx.

Hatiin sa ∆x, nakukuha natin

Ang pagpasa sa limitasyon bilang ∆x→0, mayroon tayo

Hayaan ang y=cosx .

Ang pagpasa sa limitasyon bilang ∆x→0, nakuha namin

;
. (2)

§3. Mga pangunahing tuntunin ng pagkita ng kaibhan.

Isaalang-alang ang mga patakaran ng pagkita ng kaibhan.

Teorama1 . Kung ang mga function na u=u(x) at v=v(x) ay naiba-iba sa isang naibigay na punto x, kung gayon ang kanilang kabuuan ay naiba-iba din sa puntong ito, at ang derivative ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga nagmula na termino: (u+v)"=u"+v".(3 )

Patunay: isaalang-alang ang function na y=f(x)=u(x)+v(x).

Ang increment ∆x ng argument x ay tumutugma sa mga increment na ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) ng mga function na u at v. Pagkatapos ang function na y ay dagdagan

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Dahil dito,

Kaya, (u+v)"=u"+v".

Teorama2. Kung ang mga function na u=u(x) at v=v(x) ay naiba-iba sa isang partikular na punto x, kung gayon ang kanilang produkto ay naiba-iba din sa parehong punto. Sa kasong ito, ang derivative ng produkto ay matatagpuan sa pamamagitan ng sumusunod na formula : (uv) "=u" v + uv ". ( 4)

Patunay: Hayaan ang y=uv, kung saan ang u at v ay ilang naiba-iba na function ng x. Hayaang dagdagan ang x ng ∆x; pagkatapos ay dagdagan ang u ng ∆u, daragdagan ng ∆v ang v, at daragdagan ng ∆y ang y.

Mayroon kaming y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), o

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Samakatuwid, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Mula rito

Ang pagpasa sa limitasyon bilang ∆x→0 at isinasaalang-alang na ang u at v ay hindi nakadepende sa ∆x, mayroon kaming

Teorama 3. Ang derivative ng isang quotient ng dalawang function ay katumbas ng isang fraction, ang denominator nito ay katumbas ng parisukat ng divisor, at ang numerator ay ang pagkakaiba sa pagitan ng produkto ng derivative ng dibidendo ng divisor at ang produkto ng dibidendo sa pamamagitan ng derivative ng divisor, ibig sabihin

Kung
pagkatapos
(5)

Teorama 4. Ang derivative ng pare-pareho ay zero, i.e. kung y=C, kung saan С=const, pagkatapos ay y"=0.

Teorama 5. Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa pag-sign ng derivative, i.e. kung y=Cu(x), kung saan С=const, pagkatapos ay y"=Cu"(x).

Halimbawa 1

Hanapin ang derivative ng isang function

.

Ang function na ito ay may form
, kung saan u=x,v=cosx. Ang paglalapat ng panuntunan sa pagkita ng kaibhan (4), makikita natin

.

Halimbawa 2

Hanapin ang derivative ng isang function

.

Inilapat namin ang formula (5).

Dito
;
.

Mga gawain.

Maghanap ng mga derivatives ng mga sumusunod na function:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

Ito ay ganap na imposible upang malutas ang mga pisikal na problema o mga halimbawa sa matematika nang walang kaalaman tungkol sa derivative at mga pamamaraan para sa pagkalkula nito. Ang derivative ay isa sa pinakamahalagang konsepto ng mathematical analysis. Nagpasya kaming italaga ang artikulo ngayon sa pangunahing paksang ito. Ano ang derivative, ano ang pisikal at geometric na kahulugan nito, kung paano kalkulahin ang derivative ng isang function? Ang lahat ng mga tanong na ito ay maaaring pagsamahin sa isa: kung paano maunawaan ang hinalaw?

Geometric at pisikal na kahulugan ng derivative

Magkaroon ng function f(x) , ibinigay sa ilang pagitan (a,b) . Ang mga puntos na x at x0 ay nabibilang sa pagitan na ito. Kapag nagbago ang x, nagbabago ang function mismo. Pagbabago ng argumento - pagkakaiba ng mga halaga nito x-x0 . Ang pagkakaibang ito ay nakasulat bilang delta x at tinatawag na argument increment. Ang pagbabago o pagtaas ng isang function ay ang pagkakaiba sa pagitan ng mga halaga ng function sa dalawang punto. Derivative na kahulugan:

Ang derivative ng isang function sa isang punto ay ang limitasyon ng ratio ng increment ng function sa isang partikular na punto sa pagtaas ng argument kapag ang huli ay may posibilidad na zero.

Kung hindi, maaari itong isulat tulad nito:

Ano ang punto sa paghahanap ng gayong limitasyon? Ngunit alin:

ang derivative ng isang function sa isang punto ay katumbas ng tangent ng anggulo sa pagitan ng OX axis at ang tangent sa graph ng function sa isang naibigay na punto.

Ang pisikal na kahulugan ng derivative: ang time derivative ng path ay katumbas ng bilis ng rectilinear motion.

Sa katunayan, mula noong mga araw ng paaralan, alam ng lahat na ang bilis ay isang pribadong landas. x=f(t) at oras t . Average na bilis sa isang tiyak na tagal ng panahon:

Upang malaman ang bilis ng paggalaw sa isang pagkakataon t0 kailangan mong kalkulahin ang limitasyon:

Unang panuntunan: alisin ang pare-pareho

Ang pare-pareho ay maaaring alisin sa tanda ng derivative. Bukod dito, dapat itong gawin. Kapag nilulutas ang mga halimbawa sa matematika, kunin bilang panuntunan - kung maaari mong pasimplehin ang expression, siguraduhing pasimplehin .

Halimbawa. Kalkulahin natin ang derivative:

Rule two: derivative ng kabuuan ng mga function

Ang derivative ng kabuuan ng dalawang function ay katumbas ng sum ng derivatives ng mga function na ito. Ang parehong ay totoo para sa derivative ng pagkakaiba ng mga function.

Hindi kami magbibigay ng patunay ng teorama na ito, ngunit sa halip ay isaalang-alang ang isang praktikal na halimbawa.

Hanapin ang derivative ng isang function:

Tatlong panuntunan: ang derivative ng produkto ng mga function

Ang derivative ng produkto ng dalawang differentiable function ay kinakalkula ng formula:

Halimbawa: hanapin ang derivative ng isang function:

Solusyon:

Narito mahalagang sabihin ang tungkol sa pagkalkula ng mga derivatives ng mga kumplikadong function. Ang derivative ng isang kumplikadong function ay katumbas ng produkto ng derivative ng function na ito na may paggalang sa intermediate argument sa pamamagitan ng derivative ng intermediate argument na may kinalaman sa independent variable.

Sa halimbawa sa itaas, nakatagpo namin ang expression:

Sa kasong ito, ang intermediate argument ay 8x hanggang sa ikalimang kapangyarihan. Upang makalkula ang derivative ng naturang expression, isaalang-alang muna natin ang derivative ng external function na may paggalang sa intermediate argument, at pagkatapos ay i-multiply sa derivative ng intermediate argument mismo na may paggalang sa independent variable.

Ikaapat na Panuntunan: Ang derivative ng quotient ng dalawang function

Formula para sa pagtukoy ng derivative ng isang quotient ng dalawang function:

Sinubukan naming pag-usapan ang tungkol sa mga derivatives para sa mga dummies mula sa simula. Ang paksang ito ay hindi kasing simple ng tila, kaya't bigyan ng babala: madalas na may mga pitfalls sa mga halimbawa, kaya maging maingat sa pagkalkula ng mga derivatives.

Sa anumang tanong tungkol dito at sa iba pang mga paksa, maaari kang makipag-ugnayan sa serbisyo ng mag-aaral. Sa maikling panahon, tutulungan ka naming lutasin ang pinakamahirap na kontrol at harapin ang mga gawain, kahit na hindi mo pa nagagawa ang pagkalkula ng mga derivatives dati.