Aralin "Function y = sinx, mga katangian nito at graph". Plot function y = sin x Plot function y sinx

Sa araling ito, isasaalang-alang namin nang detalyado ang function na y \u003d sin x, ang mga pangunahing katangian at graph nito. Sa simula ng aralin, ibibigay namin ang kahulugan ng trigonometric function y \u003d sin t sa coordinate circle at isaalang-alang ang graph ng function sa bilog at linya. Ipakita natin ang periodicity ng function na ito sa graph at isaalang-alang ang mga pangunahing katangian ng function. Sa pagtatapos ng aralin, malulutas natin ang ilang simpleng gawain gamit ang graph ng isang function at mga katangian nito.

Paksa: Trigonometric Function

Aralin: Function y=sinx, ang mga pangunahing katangian at graph nito

Kapag isinasaalang-alang ang isang function, mahalagang iugnay ang isang solong halaga ng function sa bawat halaga ng argumento. Ito batas ng pagsusulatan at tinatawag na function.

Tukuyin natin ang batas sa pagsusulatan para sa .

Ang anumang tunay na numero ay tumutugma sa isang punto sa bilog ng yunit. Ang punto ay may isang solong ordinate, na tinatawag na sine ng numero (Fig. 1).

Ang bawat value ng argument ay itinalaga ng isang value ng function.

Ang mga halatang katangian ay sumusunod mula sa kahulugan ng sine.

Ang figure ay nagpapakita na mula noon ay ang ordinate ng isang punto sa unit circle.

Isaalang-alang ang function graph. Alalahanin natin ang geometric na interpretasyon ng argumento. Ang argumento ay ang gitnang anggulo na sinusukat sa radians. Sa axis, mag-plot kami ng mga totoong numero o anggulo sa radians, kasama ang axis, ang kaukulang mga halaga ng function.

Halimbawa, ang anggulo sa bilog ng unit ay tumutugma sa isang punto sa graph (Fig. 2)

Nakuha namin ang graph ng function sa site. Ngunit alam ang panahon ng sine, maaari naming ilarawan ang graph ng function sa buong domain ng kahulugan (Fig. 3).

Ang pangunahing panahon ng function ay Nangangahulugan ito na ang graph ay maaaring makuha sa isang segment at pagkatapos ay magpatuloy sa buong domain ng kahulugan.

Isaalang-alang ang mga katangian ng function:

1) Domain ng kahulugan:

2) Saklaw ng mga halaga:

3) Kakaibang function:

4) Ang pinakamaliit na positibong panahon:

5) Mga coordinate ng mga punto ng intersection ng graph na may x-axis:

6) Mga coordinate ng punto ng intersection ng graph na may y-axis:

7) Ang mga pagitan kung saan kumukuha ang function ng mga positibong halaga:

8) Ang mga pagitan kung saan kumukuha ang function ng mga negatibong halaga:

9) Pataas na pagitan:

10) Pababang mga pagitan:

11) Pinakamababang puntos:

12) Minimum na mga tampok:

13) Pinakamataas na puntos:

14) Pinakamataas na function:

Isinaalang-alang namin ang mga katangian ng isang function at ang graph nito. Ang mga katangian ay paulit-ulit na gagamitin sa paglutas ng mga problema.

Bibliograpiya

1. Algebra at ang simula ng pagsusuri, grade 10 (sa dalawang bahagi). Teksbuk para sa mga institusyong pang-edukasyon (antas ng profile), ed. A.G. Mordkovich. -M .: Mnemosina, 2009.

2. Algebra at ang simula ng pagsusuri, grade 10 (sa dalawang bahagi). Aklat ng problema para sa mga institusyong pang-edukasyon (antas ng profile), ed. A.G. Mordkovich. -M .: Mnemosina, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Schwarzburd S.I. Algebra at mathematical analysis para sa grade 10 (textbook para sa mga mag-aaral ng mga paaralan at mga klase na may advanced na pag-aaral ng matematika) .- M .: Education, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Malalim na pag-aaral ng algebra at mathematical analysis.-M .: Education, 1997.

5. Koleksyon ng mga problema sa matematika para sa mga aplikante sa mas mataas na institusyong pang-edukasyon (sa ilalim ng pag-edit ng MI Skanavi) .- M.: Higher school, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonskiy VB, Yakir M.S. Algebraic simulator.-K .: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Mga gawain sa algebra at ang mga prinsipyo ng pagsusuri (manwal para sa mga mag-aaral sa mga baitang 10-11 ng pangkalahatang mga institusyong pang-edukasyon) .- M .: Edukasyon, 2003.

8. Karp A.P. Koleksyon ng mga problema sa algebra at ang mga prinsipyo ng pagsusuri: aklat-aralin. allowance para sa 10-11 cell. na may pagpapalalim pag-aaral matematika.-M .: Edukasyon, 2006.

Takdang aralin

Algebra at ang simula ng pagsusuri, grade 10 (sa dalawang bahagi). Aklat ng problema para sa mga institusyong pang-edukasyon (antas ng profile), ed.

A.G. Mordkovich. -M .: Mnemosina, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Mga karagdagang mapagkukunan sa web

3. Portal na pang-edukasyon para sa paghahanda ng pagsusulit ().

Paano i-plot ang function y=sin x? Una, isaalang-alang ang graph ng sine sa pagitan.

Kumuha kami ng isang segment na may haba na 2 cell ng isang notebook. Minarkahan namin ang unit sa Oy axis.

Para sa kaginhawahan, binibilog namin ang numerong π/2 hanggang 1.5 (at hindi hanggang 1.6, ayon sa kinakailangan ng mga panuntunan sa pag-round). Sa kasong ito, ang isang segment ng haba π/2 ay tumutugma sa 3 mga cell.

Sa axis ng Ox, hindi namin minarkahan ang iisang segment, ngunit ang mga segment na may haba π / 2 (bawat 3 cell). Alinsunod dito, ang isang segment ng haba π ay tumutugma sa 6 na mga cell, isang segment ng haba π/6 ay tumutugma sa 1 cell.

Sa ganitong pagpili ng isang segment, ang graph na inilalarawan sa isang sheet ng notebook sa isang kahon ay tumutugma sa graph ng function na y=sin x hangga't maaari.

Gumawa tayo ng talahanayan ng mga halaga ng sine sa pagitan:

Ang mga resultang puntos ay minarkahan sa coordinate plane:

Dahil ang y=sin x ay isang kakaibang function, ang sine graph ay simetriko na may paggalang sa pinagmulan - point O(0;0). Isinasaalang-alang ang katotohanang ito, patuloy naming i-plot ang graph sa kaliwa, pagkatapos ay ang mga puntos -π:

Ang function na y=sin x ay panaka-nakang may period T=2π. Samakatuwid, ang graph ng function, na kinuha sa pagitan [-π; π], ay inuulit ng walang katapusang bilang ng beses sa kanan at kaliwa.

Sa araling ito, isasaalang-alang namin nang detalyado ang function na y \u003d sin x, ang mga pangunahing katangian at graph nito. Sa simula ng aralin, ibibigay namin ang kahulugan ng trigonometric function y \u003d sin t sa coordinate circle at isaalang-alang ang graph ng function sa bilog at linya. Ipakita natin ang periodicity ng function na ito sa graph at isaalang-alang ang mga pangunahing katangian ng function. Sa pagtatapos ng aralin, malulutas natin ang ilang simpleng gawain gamit ang graph ng isang function at mga katangian nito.

Paksa: Trigonometric Function

Aralin: Function y=sinx, ang mga pangunahing katangian at graph nito

Kapag isinasaalang-alang ang isang function, mahalagang iugnay ang isang solong halaga ng function sa bawat halaga ng argumento. Ito batas ng pagsusulatan at tinatawag na function.

Tukuyin natin ang batas sa pagsusulatan para sa .

Ang anumang tunay na numero ay tumutugma sa isang punto sa bilog ng yunit. Ang punto ay may isang solong ordinate, na tinatawag na sine ng numero (Fig. 1).

Ang bawat value ng argument ay itinalaga ng isang value ng function.

Ang mga halatang katangian ay sumusunod mula sa kahulugan ng sine.

Ang figure ay nagpapakita na mula noon ay ang ordinate ng isang punto sa unit circle.

Isaalang-alang ang function graph. Alalahanin natin ang geometric na interpretasyon ng argumento. Ang argumento ay ang gitnang anggulo na sinusukat sa radians. Sa axis, mag-plot kami ng mga totoong numero o anggulo sa radians, kasama ang axis, ang kaukulang mga halaga ng function.

Halimbawa, ang anggulo sa bilog ng unit ay tumutugma sa isang punto sa graph (Fig. 2)

Nakuha namin ang graph ng function sa site. Ngunit alam ang panahon ng sine, maaari naming ilarawan ang graph ng function sa buong domain ng kahulugan (Fig. 3).

Ang pangunahing panahon ng function ay Nangangahulugan ito na ang graph ay maaaring makuha sa isang segment at pagkatapos ay magpatuloy sa buong domain ng kahulugan.

Isaalang-alang ang mga katangian ng function:

1) Domain ng kahulugan:

2) Saklaw ng mga halaga:

3) Kakaibang function:

4) Ang pinakamaliit na positibong panahon:

5) Mga coordinate ng mga punto ng intersection ng graph na may x-axis:

6) Mga coordinate ng punto ng intersection ng graph na may y-axis:

7) Ang mga pagitan kung saan kumukuha ang function ng mga positibong halaga:

8) Ang mga pagitan kung saan kumukuha ang function ng mga negatibong halaga:

9) Pataas na pagitan:

10) Pababang mga pagitan:

11) Pinakamababang puntos:

12) Minimum na mga tampok:

13) Pinakamataas na puntos:

14) Pinakamataas na function:

Isinaalang-alang namin ang mga katangian ng isang function at ang graph nito. Ang mga katangian ay paulit-ulit na gagamitin sa paglutas ng mga problema.

Bibliograpiya

1. Algebra at ang simula ng pagsusuri, grade 10 (sa dalawang bahagi). Teksbuk para sa mga institusyong pang-edukasyon (antas ng profile), ed. A.G. Mordkovich. -M .: Mnemosina, 2009.

2. Algebra at ang simula ng pagsusuri, grade 10 (sa dalawang bahagi). Aklat ng problema para sa mga institusyong pang-edukasyon (antas ng profile), ed. A.G. Mordkovich. -M .: Mnemosina, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Schwarzburd S.I. Algebra at mathematical analysis para sa grade 10 (textbook para sa mga mag-aaral ng mga paaralan at mga klase na may advanced na pag-aaral ng matematika) .- M .: Education, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Malalim na pag-aaral ng algebra at mathematical analysis.-M .: Education, 1997.

5. Koleksyon ng mga problema sa matematika para sa mga aplikante sa mas mataas na institusyong pang-edukasyon (sa ilalim ng pag-edit ng MI Skanavi) .- M.: Higher school, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonskiy VB, Yakir M.S. Algebraic simulator.-K .: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Mga gawain sa algebra at ang mga prinsipyo ng pagsusuri (manwal para sa mga mag-aaral sa mga baitang 10-11 ng pangkalahatang mga institusyong pang-edukasyon) .- M .: Edukasyon, 2003.

8. Karp A.P. Koleksyon ng mga problema sa algebra at ang mga prinsipyo ng pagsusuri: aklat-aralin. allowance para sa 10-11 cell. na may pagpapalalim pag-aaral matematika.-M .: Edukasyon, 2006.

Takdang aralin

Algebra at ang simula ng pagsusuri, grade 10 (sa dalawang bahagi). Aklat ng problema para sa mga institusyong pang-edukasyon (antas ng profile), ed.

A.G. Mordkovich. -M .: Mnemosina, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Mga karagdagang mapagkukunan sa web

3. Portal na pang-edukasyon para sa paghahanda ng pagsusulit ().

Functiony = kasalananx

Ang function graph ay isang sinusoid.

Ang kumpletong hindi umuulit na bahagi ng sinusoid ay tinatawag na sinusoidal wave.

Ang kalahating alon ng sine wave ay tinatawag na kalahating alon ng sine wave (o isang arko).

Mga katangian ng pag-andary = kasalananx:

Upang magplano ng isang function y= kasalanan x maginhawang gamitin ang mga sumusunod na kaliskis:

Sa isang sheet sa isang hawla, kinukuha namin ang haba ng dalawang mga cell bilang isang yunit ng segment.

sa ehe x sukatin ang haba π. Sa kasong ito, para sa kaginhawahan, kinakatawan namin ang 3.14 bilang 3 - iyon ay, walang fraction. Pagkatapos, sa isang sheet sa isang cell, ang π ay magiging 6 na mga cell (tatlong beses na 2 mga cell). At ang bawat cell ay makakatanggap ng sarili nitong lohikal na pangalan (mula sa una hanggang sa ikaanim): π / 6, π / 3, π / 2, 2π / 3, 5π / 6, π. Ito ang mga halaga x.

Sa y-axis, markahan ang 1, na kinabibilangan ng dalawang cell.

Gumawa tayo ng talahanayan ng mga halaga ng function gamit ang ating mga halaga x:

Susunod, gumawa tayo ng isang graph. Makakakuha ka ng kalahating alon, ang pinakamataas na punto kung saan ay (π / 2; 1). Ito ang graph ng function y= kasalanan x sa segment. Magdagdag tayo ng simetriko kalahating alon sa naka-plot na graph (simetriko tungkol sa pinagmulan, iyon ay, sa -π segment). Ang crest ng half-wave na ito ay nasa ilalim ng x-axis na may mga coordinate (-1; -1). Ang resulta ay isang alon. Ito ang graph ng function y= kasalanan x sa segment [-π; π].

Maaari mong ipagpatuloy ang wave sa pamamagitan ng pagbuo nito sa segment [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π], atbp. Sa lahat ng mga segment na ito, ang graph ng function ay magiging katulad ng sa segment na [-π; π]. Makakakuha ka ng tuluy-tuloy na kulot na linya na may parehong mga alon.

Functiony = cosx.

Ang graph ng isang function ay isang sinusoid (minsan ay tinatawag na cosine).

Mga katangian ng pag-andary = cosx:

Functiony = mf(x).

Kunin natin ang nakaraang function y= cos x. Tulad ng alam mo na, ang graph nito ay isang sine wave. Kung i-multiply natin ang cosine ng function na ito sa isang tiyak na numero m, kung gayon ang alon ay mag-uunat mula sa axis x(o liliit, depende sa halaga ng m).
Ang bagong wave na ito ang magiging graph ng function na y = mf (x), kung saan ang m ay anumang tunay na numero.

Kaya, ang function na y = mf (x) ay ang karaniwang function na y = f (x) na pinarami ng m.

Kungm< 1, то синусоида сжимается к оси x sa pamamagitan ng kadahilananm. Kungm> 1, pagkatapos ay ang sinusoid ay nakaunat mula sa axisx sa pamamagitan ng kadahilananm.

Kapag nagsasagawa ng stretching o compression, maaari ka munang bumuo ng isang kalahating wave lang ng sinusoid, at pagkatapos ay kumpletuhin ang buong graph.

Functiony = f(kx).

Kung ang function y =mf(x) ay humahantong sa isang kahabaan ng sinusoid mula sa axis x o compression sa axis x, pagkatapos ang function na y = f (kx) ay humahantong sa pag-unat mula sa axis y o compression sa axis y.

Bukod dito, ang k ay anumang tunay na numero.

Sa 0< k< 1 синусоида растягивается от оси y sa pamamagitan ng kadahilanank. Kungk> 1, pagkatapos ay ang sinusoid ay naka-compress patungo sa axisy sa pamamagitan ng kadahilanank.

Kapag ini-plot ang function na ito, maaari mo munang i-plot ang isang kalahating wave ng sinusoid, at pagkatapos ay gamitin ito upang makumpleto ang buong plot.

Functiony = tgx.

Function Graph y= tg x ay isang tangentoid.

Ito ay sapat na upang i-plot ang isang bahagi ng graph sa pagitan mula 0 hanggang π / 2, at pagkatapos ay maaari mong simetriko na ipagpatuloy ito sa pagitan mula 0 hanggang 3π / 2.

Mga katangian ng pag-andary = tgx:

Functiony = ctgx

Function Graph y=ctg x ay isa ring tangentoid (minsan ay tinatawag na cotangentoid).

Mga katangian ng pag-andary = ctgx:

Ang aralin sa video na "Function y = sinx, ee properties at graph" ay nagpapakita ng visual na materyal sa paksang ito, pati na rin ang mga komento tungkol dito. Sa panahon ng pagpapakita, ang uri ng pag-andar, ang mga katangian nito ay isinasaalang-alang, ang pag-uugali sa iba't ibang mga segment ng coordinate plane, ang mga tampok ng graph ay inilarawan nang detalyado, isang halimbawa ng graphical na solusyon ng mga trigonometriko equation na naglalaman ng isang sine ay inilarawan. Sa tulong ng isang video lesson, mas madali para sa isang guro na bumuo ng konsepto ng isang mag-aaral tungkol sa function na ito, upang ituro kung paano lutasin ang mga problema sa isang graphical na paraan.

Gumagamit ang araling video ng mga tool na nagpapadali sa pagsasaulo at pag-unawa sa impormasyong pang-edukasyon. Sa pagtatanghal ng mga graph at kapag naglalarawan ng solusyon ng mga problema, ginagamit ang mga epekto ng animation na tumutulong upang maunawaan ang pag-uugali ng isang function, upang ipakita ang kurso ng solusyon sa pagkakasunud-sunod. Gayundin, ang pagmamarka ng materyal ay nagdaragdag dito ng mahahalagang komento na pumapalit sa paliwanag ng guro. Kaya, ang materyal na ito ay maaaring gamitin bilang isang visual aid. At bilang isang malayang bahagi ng aralin sa halip na ipaliwanag sa guro ang isang bagong paksa.

Ang pagpapakita ay nagsisimula sa pamamagitan ng pagpapakilala sa paksa ng aralin. Ang pag-andar ng sine ay ipinakita, ang paglalarawan kung saan ay naka-highlight sa kahon ng memorya - s = sint, kung saan ang argumento t ay maaaring maging anumang tunay na numero. Ang paglalarawan ng mga katangian ng function na ito ay nagsisimula sa saklaw. Napansin na ang domain ng function ay ang buong numerical axis ng mga totoong numero, iyon ay, D (f) = (- ∞; + ∞). Ang kakaiba ng function ng sine ay naka-highlight bilang pangalawang pag-aari. Ang mga mag-aaral ay pinaalalahanan na ang ari-arian na ito ay pinag-aralan sa ika-9 na baitang, nang mapansin na para sa isang kakaibang pag-andar, ang pagkakapantay-pantay na f (-x) = - f (x). Para sa sine, ang kakaibang pagkumpirma ng function ay ipinapakita sa bilog ng yunit na nahahati sa mga quarter. Ang pag-alam kung anong tanda ang kinukuha ng function sa iba't ibang quarter ng coordinate plane, nabanggit na para sa mga argumento na may kabaligtaran na mga palatandaan, gamit ang halimbawa ng mga puntos na L (t) at N (-t) para sa sine, ang kakaibang kondisyon ay nasiyahan. Samakatuwid, ang s = sint ay isang kakaibang function. Nangangahulugan ito na ang function graph ay simetriko tungkol sa pinagmulan.

Ang ikatlong katangian ng sine ay nagpapakita ng mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng function. Isinasaad nito na ang function na ito ay tumataas sa segment at bumababa sa segment [π / 2; π]. Ang pag-aari ay ipinakita sa figure, na nagpapakita ng bilog ng yunit at kapag lumilipat mula sa punto A pakaliwa, ang ordinate ay tumataas, iyon ay, ang halaga ng function ay tumataas sa π / 2. Kapag lumilipat mula sa punto B hanggang C, iyon ay, kapag ang anggulo ay nagbabago mula π / 2 hanggang π, bumababa ang halaga ng ordinate. Sa ikatlong quarter ng bilog, kapag lumilipat mula sa point C hanggang point D, bumababa ang coordinate mula 0 hanggang -1, iyon ay, bumababa ang halaga ng sine. Sa huling quarter, kapag lumilipat mula sa point D hanggang point A, ang halaga ng ordinate ay tumataas mula -1 hanggang 0. Kaya, maaari tayong gumuhit ng pangkalahatang konklusyon tungkol sa pag-uugali ng function. Ipinapakita ng screen ang konklusyon na tumataas ang sint sa segment [- (π / 2) + 2πk; (π / 2) + 2πk], bumababa sa segment [(π / 2) + 2πk; (3π / 2) + 2πk] para sa anumang integer k.

Isinasaalang-alang ng ikaapat na katangian ng sine ang hangganan ng pag-andar. Napansin na ang sint function ay nakatali sa itaas at sa ibaba. Ang mga mag-aaral ay pinapaalalahanan ng impormasyon mula sa ika-9 na baitang algebra kapag sila ay nakilala ang konsepto ng bounded function. Ipinapakita ng screen ang kundisyon ng isang function na nakatali sa itaas, kung saan mayroong isang tiyak na numero kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay f (x)> = M ay nasiyahan sa anumang punto ng function. Gayundin, ang kondisyon ng isang function na may hangganan mula sa ibaba ay pinapaalalahanan kung saan mayroong isang numero na mas mababa kaysa sa bawat punto ng function. Para sa sint, ang kundisyon ay -1<= sint<=1. То есть данная функция ограничена сверху и снизу. То есть она является ограниченной.

Isinasaalang-alang ng ikalimang ari-arian ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng pag-andar. Ang pagkamit ng pinakamaliit na halaga -1 sa bawat punto t = - (π / 2) + 2πk ay nabanggit, at ang pinakamalaking - sa mga puntos na t = (π / 2) + 2πk.

Batay sa mga itinuturing na katangian, ang graph ng sint function ay naka-plot sa segment. Upang mabuo ang pag-andar, ang mga halaga ng tabular na sine ng kaukulang mga punto ay ginagamit. Ang mga coordinate ng mga puntos na π / 6, π / 3, π / 2, 2π / 3, 5π / 6, π ay minarkahan sa coordinate plane. Ang pagkakaroon ng pagmamarka ng mga tabular na halaga ng function sa mga puntong ito at pagkonekta sa kanila ng isang makinis na linya, bumuo kami ng isang graph.

Upang i-plot ang graph ng function na sint sa pagitan [-π; π], ginagamit ang property ng symmetry ng function na nauugnay sa pinagmulan. Ipinapakita ng figure kung paano maayos na inililipat ang resultang linya nang simetriko tungkol sa pinagmulan sa segment [-π; 0].

Gamit ang property ng sint function, na ipinahayag sa reduction formula sin (x + 2π) = sin x, napapansin na bawat 2π ang sine graph ay inuulit. Kaya, sa segment [π; 3π] ang graph ay magiging kapareho ng para sa [-π; π]. Kaya, ang graph ng function na ito ay kumakatawan sa mga umuulit na fragment [-π; π] sa buong domain. Hiwalay, nabanggit na ang gayong graph ng isang function ay tinatawag na sinusoid. Ang konsepto ng isang sinusoid wave ay ipinakilala din - isang fragment ng isang graph na naka-plot sa isang segment [-π; π], at isang arc ng isang sinusoid na naka-plot sa isang segment. Ang mga fragment na ito ay ipinakita muli para sa pagsasaulo.

Nabanggit na ang function na sint ay isang tuluy-tuloy na pag-andar sa buong domain ng kahulugan, at gayundin na ang hanay ng mga halaga ng function ay nakapaloob sa hanay ng mga halaga ng pagitan [-1; 1].

Sa pagtatapos ng aralin sa video, ang isang graphical na solusyon sa equation na sin x = x + π ay isinasaalang-alang. Malinaw, ang graphical na solusyon sa equation ay ang intersection ng graph ng function na ibinigay ng expression sa kaliwang bahagi at ang function na ibinigay ng expression sa kanang bahagi. Upang malutas ang problema, ang isang coordinate plane ay binuo kung saan ang katumbas na sinusoid y = sin x ay nakabalangkas, at isang tuwid na linya na naaayon sa graph ng function na y = x + π ay itinayo din. Ang mga naka-plot na graph ay nagsalubong sa iisang punto B (-π; 0). Samakatuwid, ang x = -π at magiging solusyon sa equation.

Ang video lesson na "Function y = sinx, ee properties at graph" ay makakatulong upang mapataas ang pagiging epektibo ng isang aralin sa isang tradisyonal na aralin sa matematika sa paaralan. Maaari ka ring gumamit ng visual na materyal kapag gumagawa ng distance learning. Ang manwal ay makakatulong sa pag-master ng paksa para sa mga mag-aaral na nangangailangan ng karagdagang mga aralin para sa mas malalim na pag-unawa sa materyal.

INTERPRETASYON NG TEKSTO:

Ang paksa ng ating aralin ay "Function y = sin x, ang mga katangian nito at graph."

Mas maaga ay nakilala na natin ang function na s = sin t, kung saan ang tϵR (es ay katumbas ng sine te, kung saan ang te ay kabilang sa hanay ng mga tunay na numero). Suriin natin ang mga katangian ng function na ito:

PROPERTY 1. Ang domain ng kahulugan ay ang hanay ng mga tunay na numero R (er), iyon ay, D (f) = (-; +) (de mula sa eff ay kumakatawan sa pagitan mula minus infinity hanggang plus infinity).

PROPERTY 2. Ang function na s = sin t ay kakaiba.

Sa ika-9 na baitang, nalaman namin na ang function na y = f (x), x ϵX (ang laro ay katumbas ng eff mula sa x, kung saan ang x ay kabilang sa set x ay malaki) ay tinatawag na kakaiba kung para sa anumang halaga ng x mula sa itakda ang X ang pagkakapantay-pantay

f (- x) = - f (x) (eff mula sa minus x ay katumbas ng minus eff mula sa x).

At dahil ang mga ordinates ng mga puntong L at N simetriko tungkol sa abscissa axis ay kabaligtaran, kung gayon ang sin (- t) = -sint.

Ibig sabihin, ang s = sin t ay isang kakaibang function at ang graph ng function na s = sin t ay simetriko tungkol sa pinagmulan sa isang rectangular coordinate system mga tO(tungkol sa es).

Isaalang-alang ang PROPERTY 3. Sa segment [0; ] (mula sa zero hanggang pi ng dalawa) ang function na s = sin t ay tumataas at bumababa sa segment [; ] (mula pi hanggang dalawa hanggang pi).

Ito ay malinaw na nakikita sa mga figure: kapag ang isang punto ay gumagalaw kasama ang isang numerical na bilog mula sa zero hanggang pi ng dalawa (mula sa punto A hanggang B), ang ordinate ay unti-unting tumataas mula 0 hanggang 1, at kapag lumilipat mula sa pi ng dalawa hanggang pi (mula sa punto B hanggang C), ang ordinate ay unti-unting bumababa mula 1 hanggang 0.

Kapag ang isang punto ay gumagalaw sa kahabaan ng ikatlong quarter (mula sa punto C hanggang sa punto D), ang ordinate ng gumagalaw na punto ay bumababa mula sa zero hanggang sa minus one, at kapag gumagalaw sa kahabaan ng ikaapat na quarter, ang ordinate ay tumataas mula sa minus isa hanggang sa zero. Samakatuwid, maaari tayong gumuhit ng pangkalahatang konklusyon: ang function na s = sin t ay tumataas sa pagitan

(mula sa minus pi ng dalawa at dalawang peak hanggang pi ng dalawa at dalawang peak), at bumababa sa segment [; (mula sa pi ng dalawa at dalawang taluktok hanggang tatlong pi ng dalawa at dalawang taluktok), kung saan

(ka ay kabilang sa hanay ng mga integer).

PROPERTY 4. Ang function na s = sin t ay may hangganan sa itaas at ibaba.

Mula sa kursong ika-9 na baitang, alalahanin ang kahulugan ng boundedness: ang isang function na y = f (x) ay tinatawag na bounded mula sa ibaba kung ang lahat ng mga halaga ng function ay hindi mas mababa sa ilang numero m m na para sa anumang halaga ng x mula sa domain ng function, ang hindi pagkakapantay-pantay f (x) ≥ m(Ang ff mula sa x ay mas malaki sa o katumbas ng em). Ang function na y = f (x) ay tinatawag na bounded mula sa itaas kung ang lahat ng mga halaga ng function ay hindi hihigit sa ilang numero M, nangangahulugan ito na mayroong numero M na para sa anumang halaga ng x mula sa domain ng function, ang hindi pagkakapantay-pantay f (x) ≤ M(Ang ff mula sa x ay mas mababa sa o katumbas ng em). Ang isang function ay tinatawag na limitado kung ito ay may hangganan mula sa ibaba at mula sa itaas.

Bumalik tayo sa ating function: ang boundedness ay sumusunod sa katotohanan na para sa anumang te ang hindi pagkakapantay-pantay - 1 ≤ sint≤ 1. ay totoo (ang sine te ay mas malaki sa o katumbas ng minus one, ngunit mas mababa sa o katumbas ng isa).

PROPERTY 5. Ang pinakamaliit na halaga ng function ay katumbas ng minus one at ang function ay umabot sa halagang ito sa anumang punto ng form na t = (te ay katumbas ng minus pi ng dalawa at dalawang peak, at ang pinakamalaking halaga ng function ay katumbas sa isa at nakakamit ng function sa anumang punto ng form na t = (te ay pi ng dalawa at dalawang pi ka).

Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function na s = sin t ay nagsasaad ng s naim. at s naib. .

Gamit ang nakuhang mga katangian, bumuo kami ng isang graph ng function na y = sin x (y ay katumbas ng sine x), dahil mas nakasanayan namin ang pagsulat ng y = f (x), at hindi s = f (t).

Upang magsimula, pumili tayo ng isang sukat: sa ordinate, kumuha kami ng isang segment ng yunit ng dalawang mga cell, at sa abscissa, dalawang mga cell ay pi ng tatlo (mula ≈ 1). Una, bumuo tayo ng isang graph ng function na y = sin x sa segment. Kailangan namin ng isang talahanayan ng mga halaga ng function sa segment na ito; upang mabuo ito, gagamitin namin ang talahanayan ng mga halaga para sa kaukulang mga anggulo ng cosine at sine:

Kaya, upang makabuo ng isang talahanayan ng mga halaga ng isang argumento at isang function, dapat mong tandaan iyon X(x) ang numerong ito ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng anggulo sa pagitan mula sa zero hanggang pi, at sa(laro) ang halaga ng sine ng anggulong ito.

Markahan natin ang mga puntong ito sa coordinate plane. Ayon sa PROPERTY 3 sa segment

[0; ] (mula sa zero hanggang pi ng dalawa) ang function na y = sin x ay tumataas at bumababa sa segment [; ] (mula sa pi ng dalawa hanggang pi) at pagkonekta sa mga nakuhang puntos na may makinis na linya, makakakuha tayo ng bahagi ng graph. (Larawan 1)

Gamit ang symmetry ng graph ng odd function na nauugnay sa pinagmulan, nakuha namin ang graph ng function na y = sin x na nasa segment

[-π; π] (mula sa minus pi hanggang pi). (Larawan 2)

Alalahanin na ang kasalanan (x + 2π) = sinx

(ang sine ng x kasama ang dalawang pi ay katumbas ng sine ng x). Nangangahulugan ito na sa puntong x + 2π ang function na y = sin x ay tumatagal sa parehong halaga tulad ng sa puntong x. At dahil (x + 2π) ϵ [π; 3π] (x plus dalawang pi ay kabilang sa segment mula pi hanggang tatlong pi), kung xϵ [-π; π], pagkatapos ay sa segment [π; 3π] ang graph ng function ay eksaktong kapareho ng sa segment na [-π; π]. Katulad nito, sa mga segment,, [-3π; -π] at iba pa, ang graph ng function na y = sin x ay kamukha ng sa segment

[-π; π]. (fig. 3)

Ang linya, na siyang graph ng function na y = sin x, ay tinatawag na sinusoid. Ang bahagi ng sinusoid na ipinapakita sa Figure 2 ay tinatawag na sinusoidal wave, at sa Figure 1 ito ay tinatawag na sinusoidal arch o half-wave.

Gamit ang binuong graph, isulat natin ang ilan pang katangian ng function na ito.

PROPERTY 6. Ang function na y = sin x ay isang tuluy-tuloy na function. Nangangahulugan ito na ang graph ng function ay solid, iyon ay, wala itong mga jumps at punctures.

PROPERTY 7. Ang saklaw ng mga halaga ng function na y = sin x ay ang segment [-1; 1] (mula sa minus isa hanggang isa) o maaari itong isulat ng ganito: (e mula sa eff ay katumbas ng segment mula minus isa hanggang isa).

Isaalang-alang natin ang isang HALIMBAWA. Lutasin nang grapiko ang equation na sin x = x + π (sine x ay katumbas ng x plus pi).

Solusyon. Bumuo tayo ng mga graph ng mga function y = kasalanan X at y = x + π.

Ang graph ng function na y = sin x ay isang sinusoid.

Ang y = x + π ay isang linear function na ang graph ay isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos na may mga coordinate (0; π) at (- π; 0).

Ang mga naka-plot na graph ay may isang intersection point - point B (- π; 0) (maging may mga coordinate na minus pi, zero). Nangangahulugan ito na ang equation na ito ay may isang ugat lamang - ang abscissa ng point B - -π. Sagot: X = - π.