Birinchidan, nima ekanligini eslaylik koordinata o'qi, nuqtaning o'qga proyeksiyasi va o'qdagi nuqtaning koordinatalari.

Koordinata o'qi yo‘nalish berilgan to‘g‘ri chiziqdir. Siz uni cheksiz katta modulli vektor sifatida tasavvur qilishingiz mumkin.

Koordinata o'qi har qanday harf bilan belgilanadi: X, Y, Z, s, t ... Odatda, o'qda nuqta (o'zboshimchalik bilan) tanlanadi, bu boshlang'ich deb ataladi va qoida tariqasida O harfi bilan belgilanadi. Boshqalarga bo'lgan masofalar. bizni qiziqtirgan nuqtalar shu nuqtadan o'lchanadi.

Nuqtaning o'qga proyeksiyasi- bu nuqtadan berilgan o'qga tushirilgan perpendikulyarning asosi (8-rasm). Ya'ni, nuqtaning o'qga proyeksiyasi nuqtadir.

Har bir o'qqa nuqta koordinatasi mutlaq qiymati o'qning boshi va nuqtaning ushbu o'qqa proyeksiyasi o'rtasida joylashgan o'q segmentining uzunligiga (tanlangan masshtabda) teng bo'lgan raqamdir. Bu raqam, agar nuqtaning proyeksiyasi boshidan o'q yo'nalishi bo'yicha joylashgan bo'lsa, ortiqcha belgisi bilan va teskari yo'nalishda bo'lsa, minus belgisi bilan olinadi.

Vektorning o'qga skalyar proyeksiyasi- bu raqam, uning mutlaq qiymati vektorning boshlang'ich nuqtasi va oxirgi nuqtasi proektsiyalari orasiga o'ralgan o'qning (tanlangan masshtabda) segmentining uzunligiga teng. Muhim! Odatda ifoda o'rniga vektorning o'qga skalyar proyeksiyasi ular shunchaki aytadilar - vektorning o'qga proyeksiyasi, ya'ni so'z skaler tushirildi. Vektor proyeksiyasi proyeksiyalangan vektor bilan bir xil harf bilan belgilanadi (oddiy, qalin bo'lmagan yozuvda), ushbu vektor proyeksiya qilinadigan o'q nomining pastki belgisi (odatda) bilan. Masalan, vektor x o'qiga proyeksiyalansa a, u holda uning proyeksiyasi a x bilan belgilanadi. Xuddi shu vektorni boshqa o'qqa proyeksiya qilganda, Y o'qini aytaylik, uning proyeksiyasi y sifatida belgilanadi (9-rasm).

Hisoblash uchun eksaga vektor proyeksiyasi(masalan, X o'qi) boshlang'ich nuqtasi koordinatasini uning oxirgi nuqtasi koordinatasidan ayirish kerak, ya'ni

va x \u003d x k - x n.

Biz eslashimiz kerak: vektorning o'qga skalyar proyeksiyasi (yoki oddiygina, vektorning o'qga proyeksiyasi) sondir (vektor emas)! Bundan tashqari, agar x k qiymati x n qiymatidan katta bo'lsa, proyeksiya ijobiy bo'lishi mumkin, agar x k qiymati x n qiymatidan kichik bo'lsa salbiy va x k x n ga teng bo'lsa, nolga teng bo'lishi mumkin (10-rasm).

Vektorning o'qga proyeksiyasini vektorning moduli va shu o'q bilan qilgan burchagini bilish orqali ham topish mumkin.

11-rasm a x = a Cos a ekanligini ko'rsatadi

Ya'ni vektorning o'qga proyeksiyasi vektor moduli va burchak kosinusining ko'paytmasiga teng. eksa yo'nalishi va vektor yo'nalishi o'rtasida. Agar burchak o'tkir bo'lsa, u holda Cos a > 0 va a x > 0, agar u o'tmas bo'lsa, u holda o'tmas burchakning kosinasi manfiy bo'ladi va vektorning o'qqa proyeksiyasi ham manfiy bo'ladi.

O'qdan soat miliga teskari yo'nalishda hisoblangan burchaklar musbat, yo'nalishda esa salbiy hisoblanadi. Biroq, kosinus juft funktsiya bo'lgani uchun, ya'ni Cos a = Cos (− a), u holda proyeksiyalarni hisoblashda burchaklarni soat yo'nalishi bo'yicha ham, soat miliga teskari yo'nalishda ham hisoblash mumkin.

Masalalarni yechishda proyeksiyalarning quyidagi xossalari ko'pincha qo'llaniladi: agar

a = b + c +…+ d, keyin a x = b x + c x +…+ d x (boshqa o'qlar uchun xuddi shunday),

a= m b, keyin a x = mb x (boshqa o'qlar uchun ham xuddi shunday).

a x = a Cos a formulasi bo'ladi juda tez-tez muammolarni hal qilishda uchrashish, shuning uchun uni bilish kerak. Proyeksiyani aniqlash qoidasini bilishingiz kerak yurakdan!

Eslab qoling!

Vektorning o'qga proyeksiyasini topish uchun ushbu vektorning modulini o'qning yo'nalishi va vektor yo'nalishi orasidagi burchakning kosinusiga ko'paytirish kerak.

Yana bir bor - TEZ!

VEKTOR ALGEBRA HAQIDAGI ASOSIY TUSHUNCHALAR

Skalyar va vektor kattaliklar

Boshlang'ich fizika kursidan ma'lumki, harorat, hajm, tana massasi, zichlik va boshqalar kabi ba'zi fizik kattaliklar faqat son qiymat bilan aniqlanadi. Bunday miqdorlar deyiladi skalerlar yoki skalyarlar.

Ba'zi boshqa miqdorlarni, masalan, kuch, tezlik, tezlanish va shunga o'xshashlarni aniqlash uchun raqamli qiymatlardan tashqari, ularning fazoda yo'nalishini ham belgilash kerak. Mutlaq kattalikdan tashqari, yo'nalishi bilan ham xarakterlanadigan miqdorlar deyiladi vektor.

Ta'rif Vektor yo'naltirilgan segment bo'lib, u ikki nuqta bilan belgilanadi: birinchi nuqta vektorning boshini, ikkinchisi esa - oxirini belgilaydi. Shuning uchun ular vektorni tartiblangan juft nuqtalar deb ham aytishadi.

Rasmda vektor to'g'ri chiziq segmenti sifatida tasvirlangan, unda o'q vektorning boshidan oxirigacha yo'nalishni belgilaydi. Masalan, rasm. 2.1.

Agar vektorning boshi nuqta bilan mos tushsa , va nuqta bilan tugating , keyin vektor belgilanadi
. Bundan tashqari, vektorlar ko'pincha ustidagi o'q bilan bitta kichik harf bilan belgilanadi. . Kitoblarda ba'zan o'q tushirilmaydi, keyin vektorni ko'rsatish uchun qalin harf ishlatiladi.

Vektorlar null vektor boshi va oxiri bir xil. Belgilangan yoki oddiygina .

Vektorning boshi va oxiri orasidagi masofa uning deyiladi uzunlik yoki modul. Vektor moduli chap tomonda ikkita vertikal chiziq bilan ko'rsatilgan:
, yoki strelkalarsiz
yoki .

Bir chiziqqa parallel bo'lgan vektorlar deyiladi kollinear.

Xuddi shu tekislikda yoki bir tekislikka parallel bo'lgan vektorlar deyiladi koplanar.

Null vektor har qanday vektor uchun kollinear hisoblanadi. Uning uzunligi 0 ga teng.

Ta'rif Ikki vektor
va
teng deb ataladi (2.2-rasm), agar ular:
1)kollinear; 2) birgalikda boshqariladigan 3) uzunligi teng.

Bu shunday yozilgan:
(2.1)

Vektorlar tengligining ta'rifidan kelib chiqadiki, vektorning parallel uzatilishi bilan boshlang'ichga teng vektor olinadi, shuning uchun vektorning boshlanishi fazoning istalgan nuqtasiga joylashtirilishi mumkin. Boshi fazoning istalgan nuqtasida joylashtirilishi mumkin bo'lgan bunday vektorlar (nazariy mexanikada, geometriyada) deyiladi. ozod. Va biz ushbu vektorlarni ko'rib chiqamiz.

Ta'rif Vektor tizimi
shunday doimiylar mavjud bo'lsa, chiziqli bog'liq deyiladi
, ular orasida noldan boshqa kamida bittasi bor va ular uchun tenglik mavjud.

Ta'rif Ma'lum bir ketma-ketlikda olingan ixtiyoriy uchta tekis bo'lmagan vektorlar fazoda bazis deb ataladi.

Ta'rif Agar
- asos va vektor, keyin raqamlar
vektorning koordinatalari deyiladi shu asosda.

Vektor koordinatalarini vektor belgisidan keyin jingalak qavs ichiga yozamiz. Misol uchun,
vektor degan ma'noni anglatadi ba'zi tanlangan asosda parchalanish mavjud:
.

Vektorni songa ko'paytirish va vektorlarni qo'shish xususiyatlaridan vektorlarga koordinatalar bilan berilgan chiziqli harakatlarga oid tasdiq keladi.

Vektorning koordinatalarini topish uchun, agar uning boshi va oxiri koordinatalari ma'lum bo'lsa, uning oxirining tegishli koordinatasidan boshining koordinatasini ayirish kerak.

Vektorlar ustida chiziqli amallar

Vektorlar ustida chiziqli amallar vektorlarni qo‘shish (ayirish) va vektorni songa ko‘paytirish amallaridir. Keling, ularni ko'rib chiqaylik.

Ta'rif Vektor mahsuloti raqam uchun
yo'nalishi bo'yicha vektorga to'g'ri keladigan vektor deyiladi , agar
, qarama-qarshi yo'nalishga ega bo'lgan, agar
salbiy. Bu vektorning uzunligi vektor uzunligining mahsulotiga teng modul raqami uchun
.

P misol . Vektor yaratish
, agar
va
(2.3-rasm).

Vektor raqamga ko'paytirilsa, uning koordinatalari shu raqamga ko'paytiriladi..

Haqiqatan ham, agar bo'lsa, unda

Vektor mahsuloti ustida
vektor deb ataladi
;
- qarama-qarshi yo'nalish .

E'tibor bering, uzunligi 1 ga teng vektor chaqiriladi yolg'iz(yoki orto).

Vektorni raqamga ko'paytirish amalidan foydalanib, har qanday vektorni bir xil yo'nalishdagi birlik vektor bilan ifodalash mumkin. Darhaqiqat, vektorni bo'lish uzunligi uchun (ya'ni ko'paytirish ustida ), vektor bilan bir xil yo'nalishdagi birlik vektorini olamiz . Biz uni belgilaymiz
. Demak, bundan kelib chiqadi
.

Ta'rif Ikki vektor yig'indisi va vektor deb ataladi , ularning umumiy kelib chiqishidan chiqadi va tomonlari vektor bo'lgan parallelogrammaning diagonali va (2.4-rasm).

.

Teng vektorlarning ta'rifi bo'yicha
Shunung uchun
-uchburchak qoidasi. Uchburchak qoidasini har qanday vektorlar soniga kengaytirish mumkin va shuning uchun ko'pburchak qoidasini olish mumkin:
- birinchi vektorning boshini bog'lovchi vektor oxirgi vektorning oxiri bilan (2.5-rasm).

Demak, yig'indi vektorini qurish uchun ikkinchi vektorning boshini birinchi vektorning oxiriga, ikkinchining oxiriga uchinchi vektorning boshini biriktirish kerak va hokazo. Keyin yig'indi vektori vektorlarning birinchisining boshini oxirgisining oxiri bilan bog'laydigan vektor bo'ladi.

Vektorlar qo'shilganda, ularning tegishli koordinatalari ham qo'shiladi

Haqiqatan ham, agar va
,

Agar vektorlar
va koplanar emas, u holda ularning yig'indisi diagonal bo'ladi
bu vektorlar ustiga qurilgan parallelepiped (2.6-rasm)

,

qayerda

Xususiyatlari:

- kommutativlik;

- assotsiativlik;

- songa ko'paytirishga nisbatan distributivlik

.

Bular. vektor yig'indisi algebraik bilan bir xil qoidalarga muvofiq o'zgartirilishi mumkin.

Ta'rifIkki vektorning farqi va bunday vektor deyiladi , bu vektorga qo'shilganda vektor beradi . Bular.
agar
. Geometrik jihatdan vektorlar ustiga qurilgan parallelogrammaning ikkinchi diagonalini ifodalaydi va umumiy boshlanishi bilan va vektor oxiridan yo'naltirilgan vektorning oxirigacha (2.7-rasm).

Vektorning o'qga proyeksiyasi. Proyeksiyalash xususiyatlari

Son qatori tushunchasini eslang. Raqamli o'q to'g'ri chiziq bo'lib, unda:

yo'nalish (→);

mos yozuvlar nuqtasi (O nuqtasi);

masshtab birligi sifatida qabul qilingan segment.

Vektor bo'lsin
va eksa . Ballardan va o'qga perpendikulyarlarni tushiramiz . Keling, ochkolarni olamiz va - nuqta proyeksiyalari va (2.8 a-rasm).

Ta'rif Vektor proyeksiyasi
aks boshiga segment uzunligi deb ataladi
vektorning boshi va oxiri proyeksiyalari asoslari orasida joylashgan bu o'q
aks boshiga . Agar segment yo'nalishi bo'lsa, u ortiqcha belgisi bilan olinadi
proyeksiya o'qi yo'nalishiga to'g'ri keladi va agar bu yo'nalishlar qarama-qarshi bo'lsa, minus belgisi bilan. Belgilash:
.

O ta'rifi Vektor orasidagi burchak
va eksa burchak deb ataladi , buning yordamida o'qni eng qisqa yo'l bilan aylantirish kerak shunday qilib u vektor yo'nalishiga to'g'ri keladi
.

Keling, topamiz
:

2.8 a-rasmda:
.

Shaklda. 2.8 b): .

Vektorning o'qga proyeksiyasi bu vektor uzunligi va vektor va proyeksiya o'qi orasidagi burchak kosinusining ko'paytmasiga teng:
.

Proyeksiyalash xususiyatlari:

Agar
, keyin vektorlar ortogonal deb ataladi

Misol . Vektorlar berilgan
,
.Keyin

.

Misol. Agar vektorning boshi bo'lsa
nuqtada
, va bir nuqtada tugaydi
, keyin vektor
koordinatalariga ega:

O ta'rifi Ikki vektor orasidagi burchak va eng kichik burchak deb ataladi
(2.13-rasm) bu vektorlar orasidagi umumiy boshlanishga qisqartirilgan .

Vektorlar orasidagi burchak va ramziy ma'noda shunday yozilgan: .

Ta'rifdan kelib chiqadiki, burchak vektorlar o'rtasida o'zgarishi mumkin
.

Agar
, keyin vektorlar ortogonal deb ataladi.

.

Ta'rif. Koordinata o'qlari bilan vektor burchaklarining kosinuslari vektorning yo'nalish kosinuslari deyiladi. Agar vektor
koordinata o'qlari bilan burchaklar hosil qiladi

.

Algebraik vektor proyeksiyasi har qanday o'qda vektor uzunligi va eksa va vektor orasidagi burchak kosinusining mahsulotiga teng:

To'g'ri a b = |b|cos(a,b) yoki

Bu yerda a b vektorlarning skalyar mahsuloti, |a| - a vektorining moduli.

Ko'rsatma. Pp a b vektorining proyeksiyasini onlayn topish uchun a va b vektorlarining koordinatalarini ko'rsatish kerak. Bunda vektor tekislikda (ikki koordinata) va fazoda (uch koordinata) berilishi mumkin. Olingan yechim Word faylida saqlanadi. Agar vektorlar nuqtalarning koordinatalari orqali berilgan bo'lsa, unda siz ushbu kalkulyatordan foydalanishingiz kerak.

Vektor proyeksiyalarining tasnifi

Ta'rifi bo'yicha proyeksiyalar turlari vektor proyeksiyasi

1. AB vektorining o'qqa (vektor) geometrik proyeksiyasi A"B vektori deb ataladi, uning boshi A' - A boshining o'qqa (vektor), oxiri B' proyeksiyasi. B uchini bir xil o'qga.
2. AB vektorining o'qga (vektor) algebraik proyeksiyasi A"B" vektorining o'q bilan bir xil yo'nalishga ega bo'lishiga qarab + yoki - belgisi bilan olingan A"B" vektorining uzunligi deb ataladi ( vektor).

Koordinatalar tizimi bo'yicha proyeksiyalar turlari

Vektor proyeksiyasining xossalari

1. Vektorning geometrik proyeksiyasi vektor (uning yo'nalishi bor).
2. Vektorning algebraik proyeksiyasi sondir.

Vektor proyeksiyasi teoremalari

Teorema 1. Har qanday o'qdagi vektorlar yig'indisining proyeksiyasi bir xil o'qdagi vektorlar hadlarining proyeksiyasiga teng.

AC"=AB"+B"C"

Teorema 2. Vektorning har qanday o'qga algebraik proyeksiyasi vektor uzunligi va eksa va vektor orasidagi burchak kosinusining ko'paytmasiga teng:

Pr a b = |b| cos(a,b)

Vektor proyeksiyalarining turlari

1. OX o'qiga proyeksiya qilish.
2. OY o'qiga proyeksiya qilish.
3. vektorga proyeksiya qilish.

OX o'qiga proyeksiya	OY o'qiga proyeksiya	Vektorga proyeksiya
Agar A'B' vektorining yo'nalishi OX o'qi yo'nalishiga to'g'ri kelsa, u holda A'B' vektorining proyeksiyasi ijobiy belgiga ega bo'ladi.	Agar A'B' vektorining yo'nalishi OY o'qi yo'nalishiga to'g'ri kelsa, u holda A'B' vektorining proyeksiyasi musbat ishoraga ega bo'ladi.	Agar A'B' vektorning yo'nalishi NM vektorining yo'nalishiga to'g'ri kelsa, u holda A'B' vektorining proyeksiyasi ijobiy belgiga ega bo'ladi.
Agar vektor yo'nalishi OX o'qi yo'nalishiga qarama-qarshi bo'lsa, u holda A'B' vektorining proyeksiyasi manfiy ishoraga ega bo'ladi.	Agar A'B' vektorining yo'nalishi OY o'qi yo'nalishiga qarama-qarshi bo'lsa, u holda A'B' vektorining proyeksiyasi manfiy ishoraga ega.	Agar A'B' vektorning yo'nalishi NM vektor yo'nalishiga qarama-qarshi bo'lsa, u holda A'B' vektorining proyeksiyasi manfiy ishoraga ega.
Agar AB vektori OX o'qiga parallel bo'lsa, u holda A'B' vektorning proyeksiyasi AB vektorining moduliga teng bo'ladi.	Agar AB vektori OY o'qiga parallel bo'lsa, u holda A'B' vektorning proyeksiyasi AB vektorining moduliga teng bo'ladi.	Agar AB vektori NM vektoriga parallel bo'lsa, A'B' vektorning proyeksiyasi AB vektorining moduliga teng bo'ladi.
Agar AB vektori OX oʻqiga perpendikulyar boʻlsa, u holda A'B' proyeksiyasi nolga teng (nol-vektor).	Agar AB vektori OY o'qiga perpendikulyar bo'lsa, u holda A'B' ning proyeksiyasi nolga teng (nol vektor).	Agar AB vektori NM vektorga perpendikulyar bo'lsa, u holda A'B' ning proyeksiyasi nolga teng (nol vektor).

1. Savol: Vektorning proyeksiyasi manfiy ishoraga ega bo'lishi mumkinmi? Javob: Ha, vektor proyeksiyalari manfiy bo'lishi mumkin. Bunday holda, vektor qarama-qarshi yo'nalishga ega (OX o'qi va AB vektori qanday yo'naltirilganligini ko'ring)
2. Savol: Vektorning proyeksiyasi vektorning moduli bilan mos kelishi mumkinmi? Javob: Ha, mumkin. Bu holda vektorlar parallel (yoki bir xil chiziqda yotadi).
3. Savol: Vektorning proyeksiyasi nolga teng bo'lishi mumkinmi (nol-vektor). Javob: Ha, mumkin. Bunday holda vektor mos keladigan o'qga (vektor) perpendikulyar bo'ladi.

1-misol. Vektor (1-rasm) OX o'qi bilan 60 o burchak hosil qiladi (u a vektor bilan berilgan). Agar OE masshtab birligi bo'lsa, u holda |b|=4, shuning uchun .

Haqiqatan ham vektorning uzunligi (geometrik proyeksiya b) 2 ga teng va yo'nalish OX o'qi yo'nalishiga to'g'ri keladi.

2-misol. Vektor (2-rasm) OX o'qi bilan burchak hosil qiladi (a vektor bilan) (a,b) = 120 o . Uzunlik |b| b vektor 4 ga teng, shuning uchun pr a b=4 cos120 o = -2.

Darhaqiqat, vektorning uzunligi 2 ga teng, yo'nalish esa o'qning yo'nalishiga qarama-qarshidir.

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar ham bo'ladi, siz javoblarni ko'rishingiz mumkin.

Vektor tushunchasi

Vektorlar va ular ustida amallar haqida hamma narsani bilishdan oldin, oddiy masalani hal qilish uchun sozlang. Sizning korxonangiz vektori va innovatsion qobiliyatlar vektori mavjud. Tadbirkorlik vektori sizni 1-maqsadga, innovatsion qobiliyatlar vektori esa 2-maqsadga olib boradi. O'yin qoidalari shundayki, siz bir vaqtning o'zida bu ikki vektor yo'nalishi bo'yicha harakatlana olmaysiz va bir vaqtning o'zida ikkita maqsadga erisha olmaysiz. Vektorlar o'zaro ta'sir qiladi yoki matematik jihatdan aytganda, vektorlarda qandaydir amallar bajariladi. Ushbu operatsiyaning natijasi sizni 3-maqsadga olib boradigan "Natija" vektoridir.

Endi ayting-chi: "Korxona" va "Innovatsion qobiliyatlar" vektorlari bo'yicha qaysi operatsiya natijasi "Natija" vektoridir? Agar darhol ayta olmasangiz, tushkunlikka tushmang. Ushbu darsni o'rganganingizda, siz ushbu savolga javob bera olasiz.

Yuqorida aytib o'tganimizdek, vektor, albatta, qaysidir nuqtadan kelib chiqadi A bir nuqtaga to'g'ri chiziqda B. Binobarin, har bir vektor nafaqat raqamli qiymatga - uzunlikka, balki jismoniy va geometrik - yo'nalishga ham ega. Bundan vektorning birinchi, eng oddiy ta'rifi olinadi. Demak, vektor bu nuqtadan yo'naltirilgan segmentdir A nuqtaga B. Bu shunday belgilanadi:

Va boshqacha boshlash uchun vektor operatsiyalari , vektorning yana bitta ta'rifi bilan tanishishimiz kerak.

Vektor - bu qandaydir boshlang'ich nuqtadan erishish kerak bo'lgan nuqtani tasvirlash turi. Masalan, uch o'lchamli vektor odatda shunday yoziladi (x, y, z) . Oddiy qilib aytganda, bu raqamlar nuqtaga erishish uchun uch xil yo'nalishda qancha masofani bosib o'tish kerakligini ko'rsatadi.

vektor berilgan bo'lsin. Qayerda x = 3 (o'ng qo'l o'ngga ishora qiladi) y = 1 (chap qo'l oldinga ishora qiladi) z = 5 (nuqta ostida yuqoriga ko'tariladigan narvon bor). Ushbu ma'lumotlardan siz o'ng qo'l bilan ko'rsatilgan yo'nalishda 3 metr, keyin chap qo'l bilan ko'rsatilgan yo'nalishda 1 metr yurish orqali nuqtani topasiz, keyin sizni narvon kutadi va 5 metrga ko'tarilib, nihoyat topasiz. oxirgi nuqtada o'zingiz.

Boshqa barcha atamalar vektorlar ustida turli operatsiyalar uchun, ya'ni amaliy muammolarni hal qilish uchun zarur bo'lgan yuqorida keltirilgan tushuntirishning takomillashtirilishi. Keling, tipik vektor muammolariga to'xtalib, ushbu yanada qat'iy ta'riflarni ko'rib chiqaylik.

Jismoniy misollar vektor kattaliklari fazoda harakatlanuvchi moddiy nuqtaning siljishi, bu nuqtaning tezligi va tezlanishi, shuningdek, unga ta'sir qiluvchi kuch bo'lishi mumkin.

geometrik vektor shaklda ikki o'lchovli va uch o'lchovli fazoda ifodalanadi yo'naltirilgan segment. Bu boshlanishi va oxiri bo'lgan segment.

Agar A vektorning boshlanishi, va B uning oxiri, keyin vektor belgi yoki bitta kichik harf bilan belgilanadi. Rasmda vektorning oxiri o'q bilan ko'rsatilgan (1-rasm).

Uzunlik(yoki modul) geometrik vektorning uni hosil qiluvchi segment uzunligi

Ikki vektor deyiladi teng , agar ular parallel tarjima bilan birlashtirilishi mumkin bo'lsa (yo'nalishlar mos kelganda), ya'ni. agar ular parallel bo'lsa, bir xil yo'nalishga ishora qiling va teng uzunliklarga ega.

Fizikada bu ko'pincha ko'rib chiqiladi biriktirilgan vektorlar, dastur nuqtasi, uzunligi va yo'nalishi bilan berilgan. Agar vektorni qo'llash nuqtasi muhim bo'lmasa, u holda u kosmosning istalgan nuqtasiga uzunligi va yo'nalishini saqlab, o'tkazilishi mumkin. Bunday holda vektor chaqiriladi ozod. Biz faqat ko'rib chiqishga rozimiz bepul vektorlar.

Geometrik vektorlar ustida chiziqli amallar

Vektorni raqamga ko'paytirish

Vektor mahsuloti raqam uchun Vektor vektordan (da ) cho'zish yoki qisqarish (da ) vaqtlarida olingan vektor deyiladi va vektorning yo'nalishi agar saqlanadi va agar teskari bo'lsa. (2-rasm)

Ta'rifdan kelib chiqadiki, va = vektorlari doimo bir yoki parallel chiziqlarda joylashgan. Bunday vektorlar deyiladi kollinear. (Bu vektorlarni parallel deb ham aytishingiz mumkin, lekin vektor algebrasida "kollinear" deyish odat tusiga kiradi.) Buning aksi ham to'g'ri: vektorlar va kollinear bo'lsa, ular munosabat bilan bog'langan.

Demak, (1) tenglik ikki vektorning kollinearlik shartini ifodalaydi.

Vektor qo'shish va ayirish

Vektorlarni qo'shishda siz buni bilishingiz kerak so'm vektorlar va vektorning boshlanishi vektorning oxiriga biriktirilgan bo'lishi sharti bilan boshlanishi vektorning boshiga to'g'ri keladigan vektor deb ataladi va oxiri vektorning oxiriga to'g'ri keladi. (3-rasm)

Ushbu ta'rif har qanday chekli vektor soniga taqsimlanishi mumkin. Berilgan bo'shliqqa ruxsat bering n bepul vektorlar. Bir nechta vektor qo'shilganda ularning yig'indisi yopilish vektori sifatida olinadi, uning boshlanishi birinchi vektorning boshiga, oxiri esa oxirgi vektorning oxiriga to'g'ri keladi. Ya'ni vektorning boshi vektorning oxiriga, vektorning boshi esa vektorning oxiriga biriktirilgan bo'lsa va hokazo. va, nihoyat, vektorning oxirigacha - vektorning boshi, keyin bu vektorlarning yig'indisi yopish vektoridir. , uning boshlanishi birinchi vektorning boshiga to'g'ri keladi va oxiri oxirgi vektorning oxiriga to'g'ri keladi. (4-rasm)

Terminlar vektorning komponentlari deb ataladi va tuzilgan qoida ko'pburchak qoidasi. Bu ko'pburchak tekis bo'lmasligi mumkin.

Vektor -1 raqamiga ko'paytirilganda, qarama-qarshi vektor olinadi. vektorlari bir xil uzunlikka va qarama-qarshi yo'nalishga ega. Ularning summasi beradi null vektor, uzunligi nolga teng. Null vektorning yo'nalishi aniqlanmagan.

Vektor algebrasida ayirish operatsiyasini alohida ko'rib chiqishning hojati yo'q: vektordan vektorni ayirish vektorga qarama-qarshi vektorni qo'shish demakdir, ya'ni.

1-misol Ifodani soddalashtiring:

.

,

ya'ni vektorlarni ko'phadlar kabi songa qo'shish va ko'paytirish mumkin (xususan, ifodalarni soddalashtirish masalalari ham). Odatda, vektorlar mahsulotini hisoblashdan oldin chiziqli o'xshash ifodalarni vektorlar bilan soddalashtirish zarurati tug'iladi.

2-misol Vektorlar va ABCD parallelogrammaning diagonallari vazifasini bajaradi (4a-rasm). Ushbu parallelogrammning tomonlari bo'lgan , , va vektorlarini va shaklida ifodalang.

Yechim. Paralelogramma diagonallarining kesishish nuqtasi har bir diagonalni ikkiga bo'ladi. Muammo shartida talab qilinadigan vektorlarning uzunliklari yoki keraklilari bilan uchburchak tashkil etuvchi vektorlar yig'indisining yarmi yoki farqlarning yarmi (diagonal bo'lib xizmat qiluvchi vektor yo'nalishiga qarab) topiladi. yoki ikkinchi holatda bo'lgani kabi, minus belgisi bilan olingan summaning yarmi. Natijada muammoning holatida talab qilinadigan vektorlar:

Siz ushbu darsning boshida "Korxona" va "Innovatsion qobiliyatlar" vektorlari haqidagi savolga to'g'ri javob berdingiz deb ishonish uchun barcha asoslar mavjud. To'g'ri javob: bu vektorlar qo'shish operatsiyasiga duchor bo'ladi.

Vektorlarga oid masalalarni oʻzingiz hal qiling, soʻngra yechimlarni koʻring

Vektorlar yig'indisining uzunligini qanday topish mumkin?

Bu muammo vektorlar bilan operatsiyalarda alohida o'rin tutadi, chunki u trigonometrik xususiyatlardan foydalanishni o'z ichiga oladi. Aytaylik, sizda quyidagi kabi vazifa bor:

Vektorlarning uzunligi berilgan va bu vektorlar yig'indisining uzunligi. Ushbu vektorlarning ayirma uzunligini toping.

Ushbu va boshqa shunga o'xshash muammolarning echimlari va ularni qanday hal qilish bo'yicha tushuntirishlar - darsda " Vektor qo'shilishi: vektorlar yig'indisining uzunligi va kosinus teoremasi ".

Va siz bunday muammolarning echimini tekshirishingiz mumkin Onlayn kalkulyator "Uchburchakning noma'lum tomoni (vektorlarni qo'shish va kosinuslar teoremasi)" .

Vektorlarning hosilalari qayerda?

Vektorning vektor ko'paytmalari chiziqli amallar emas va alohida ko'rib chiqiladi. Va bizda "Vektorlarning nuqta mahsuloti" va "Vektor va vektorlarning aralash mahsuloti" darslari bor.

Vektorning o'qga proyeksiyasi

Vektorning o'qga proyeksiyasi proyeksiyalangan vektor uzunligi va vektor va o'q orasidagi burchak kosinusining ko'paytmasiga teng:

Ma'lumki, nuqtaning proyeksiyasi A chiziqda (tekislik) bu nuqtadan chiziqqa (tekislikka) tushirilgan perpendikulyar asosdir.

Keling - ixtiyoriy vektor (5-rasm) va va - uning boshlanishining proyeksiyalari (nuqtalar A) va oxiri (nuqtalar B) har bir o'qqa l. (Nuqta proyeksiyasini qurish uchun A) nuqta orqali to‘g‘ri chizamiz A chiziqqa perpendikulyar tekislik. Chiziq va tekislikning kesishishi kerakli proyeksiyani aniqlaydi.

Vektorning komponenti l o'qida Ushbu o'qda yotadigan bunday vektor deb ataladi, uning boshlanishi boshlanishining proektsiyasiga to'g'ri keladi va oxiri - vektorning oxiri proyeksiyasi bilan .

Vektorning o'qga proyeksiyasi l raqam chaqirdi

,

ushbu o'qdagi komponent vektorining uzunligiga teng, agar komponentning yo'nalishi o'q yo'nalishiga to'g'ri kelsa, ortiqcha belgisi bilan olinadi l, va agar bu yo'nalishlar qarama-qarshi bo'lsa, minus belgisi bilan.

Eksadagi vektor proyeksiyalarining asosiy xossalari:

1. Bir o'qdagi teng vektorlarning proyeksiyalari bir-biriga teng.

2. Vektor songa ko'paytirilganda, uning proyeksiyasi bir xil songa ko'paytiriladi.

3. Har qanday o'qdagi vektorlar yig'indisining proyeksiyasi vektorlar hadlari bir xil o'qdagi proyeksiyalar yig'indisiga teng.

4. Vektorning o'qqa proyeksiyasi proyeksiya qilinayotgan vektor uzunligi va vektor va o'q orasidagi burchak kosinusining ko'paytmasiga teng:

.

Yechim. Vektorlarni o'qga proyeksiya qilaylik l yuqoridagi nazariy ma'lumotnomada ta'riflanganidek. 5a-rasmdan ko'rinib turibdiki, vektorlar yig'indisining proyeksiyasi vektorlar proyeksiyalarining yig'indisiga teng. Biz prognozlarni hisoblaymiz:

Biz vektorlar yig'indisining yakuniy proyeksiyasini topamiz:

Vektorning fazoda to'rtburchak dekart koordinatalar sistemasi bilan aloqasi

Bilan tanishish fazodagi to'g'ri burchakli Dekart koordinatalar tizimi tegishli darsda bo'lib o'tdi, afzalroq uni yangi oynada oching.

Koordinata o'qlarining tartibli tizimida 0xyz o'qi ho'kiz chaqirdi x o'qi, eksa 0y – y o'qi, va eksa 0z – o'qni qo'llash.

ixtiyoriy nuqta bilan M kosmik bog'lanish vektori

chaqirdi radius vektori ball M va uni koordinata o'qlarining har biriga proyeksiyalang. Tegishli proyeksiyalarning qiymatlarini belgilaymiz:

Raqamlar x, y, z chaqirdi M nuqtaning koordinatalari, mos ravishda abscissa, ordinata va applikatsiya, va raqamlarning tartiblangan nuqtasi sifatida yoziladi: M(x; y; z)(6-rasm).

Yo'nalishi o'qning yo'nalishiga to'g'ri keladigan birlik uzunlikdagi vektor deyiladi birlik vektor(yoki ortom) o'qlari. tomonidan belgilang

Shunga ko'ra, koordinata o'qlarining birlik vektorlari ho'kiz, Oy, Oz

Teorema. Har qanday vektorni koordinata o'qlarining birlik vektorlariga ajratish mumkin:

(2)

Tenglik (2) vektorning koordinata o'qlari bo'ylab kengayishi deyiladi. Ushbu kengayish koeffitsientlari vektorning koordinata o'qlariga proyeksiyalari hisoblanadi. Shunday qilib, vektorning koordinata o'qlari bo'ylab kengayish koeffitsientlari (2) vektorning koordinatalari.

Kosmosda ma'lum bir koordinata tizimini tanlagandan so'ng, vektor va uning koordinatalarining uchligi bir-birini noyob tarzda aniqlaydi, shuning uchun vektorni ko'rinishda yozish mumkin.

(2) va (3) ko'rinishdagi vektor tasvirlari bir xil.

Koordinatalarda kollinear vektorlarning holati

Yuqorida aytib o'tganimizdek, vektorlar, agar ular munosabat bilan bog'langan bo'lsa, ular kollinear deyiladi

Vektorlar bo'lsin . Agar vektorlarning koordinatalari munosabat bilan bog'langan bo'lsa, bu vektorlar kollineardir

,

ya'ni vektorlarning koordinatalari proporsionaldir.

6-misol Berilgan vektorlar . Bu vektorlar kollinearmi?

Yechim. Ushbu vektorlarning koordinatalarining nisbatini aniqlaymiz:

.

Vektorlarning koordinatalari proportsionaldir, shuning uchun vektorlar kollinear yoki bir xil bo'lsa, parallel.

Vektor uzunligi va yo'nalishi kosinuslari

Koordinata o'qlarining o'zaro perpendikulyarligi tufayli vektor uzunligi

vektorlar ustida qurilgan to'rtburchaklar parallelepiped diagonalining uzunligiga teng

va tenglik bilan ifodalanadi

(4)

Vektor ikkita nuqtani (boshi va oxiri) ko'rsatish orqali to'liq aniqlanadi, shuning uchun vektorning koordinatalarini ushbu nuqtalarning koordinatalari bilan ifodalash mumkin.

Berilgan koordinatalar sistemasidagi vektorning boshi nuqtada bo'lsin

va oxiri nuqtada

Tenglikdan

Bunga amal qiladi

yoki koordinatali shaklda

Demak, vektorning koordinatalari vektorning oxiri va boshi bir xil nomdagi koordinatalarning farqiga teng . Formula (4) bu holda shaklni oladi

Vektorning yo'nalishi aniqlanadi yo'nalish kosinuslari . Bu vektorning o'qlar bilan yasaydigan burchaklarining kosinuslari ho'kiz, Oy va Oz. Keling, bu burchaklarni mos ravishda belgilaymiz α , β va γ . Keyin bu burchaklarning kosinuslarini formulalar orqali topish mumkin

Vektorning yo'nalish kosinuslari ham vektor vektorining koordinatalari va shuning uchun vektor vektoridir

.

Vektor vektorining uzunligi bir birlikka teng ekanligini hisobga olsak, ya'ni

,

yo'nalish kosinuslari uchun quyidagi tenglikni olamiz:

7-misol Vektor uzunligini toping x = (3; 0; 4).

Yechim. Vektorning uzunligi

8-misol Berilgan ballar:

Bu nuqtalarda qurilgan uchburchakning teng yonli ekanligini aniqlang.

Yechim. Vektor uzunligi formulasidan (6) foydalanib, tomonlarning uzunliklarini topamiz va ularning ikkitasi teng yoki yo'qligini aniqlaymiz:

Ikkita teng tomon topildi, shuning uchun uchinchi tomonning uzunligini izlashning hojati yo'q va berilgan uchburchak teng yonlidir.

9-misol Agar vektor uzunligini va uning yo'nalishi kosinuslarini toping .

Yechim. Vektor koordinatalari berilgan:

.

Vektorning uzunligi vektor koordinatalari kvadratlari yig'indisining kvadrat ildiziga teng:

.

Yo'nalish kosinuslarini topish:

Muammoni vektorlar bo'yicha o'zingiz hal qiling va keyin yechimga qarang

Koordinata shaklida berilgan vektorlar ustida amallar

Ikki vektor va ularning proyeksiyalari bilan berilgan bo'lsin:

Keling, ushbu vektorlarda amallarni ko'rsatamiz.