Parametrli tenglamalar: grafik yechish usuli

8-9 sinflar

Maqolada parametrlar bilan ba'zi tenglamalarni echishning grafik usuli muhokama qilinadi, bu parametrga qarab tenglama qancha ildizga ega ekanligini aniqlash kerak bo'lganda juda samarali. a.

Masala 1. Tenglama nechta ildizga ega? | | x | – 2 | = a parametrga qarab a?

Yechim. Koordinatalar sistemasida (x; y) y = | funksiyalarning grafiklarini tuzamiz | x | – 2 | va y = a. y = | funksiya grafigi | x | – 2 | rasmda ko'rsatilgan.

y = a funktsiyaning grafigi Ox o'qiga parallel yoki unga to'g'ri keladigan to'g'ri chiziqdir (agar a = 0).

Chizmadan shuni ko'rish mumkin:

Agar a= 0, keyin to'g'ri chiziq y = a Ox o'qi bilan mos keladi va y = | funksiya grafigiga ega | x |
– 2 | ikkita umumiy nuqta; bu asl tenglamaning ikkita ildizi borligini bildiradi (bu holda ildizlarni topish mumkin: x 1,2 = d 2).< a < 2, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | четыре общие точки и, следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня.
Agar 0 a Agar
Agar 0 a= 2, u holda y = 2 chiziq funksiya grafigi bilan uchta umumiy nuqtaga ega. Keyin asl tenglama uchta ildizga ega. a> 2, keyin to'g'ri chiziq y =

asl funktsiya grafigi bilan ikkita nuqtaga ega bo'ladi, ya'ni bu tenglama ikkita ildizga ega bo'ladi. a < 0, то корней нет;
Agar a = 0, a Agar
Agar a> 2, keyin ikkita ildiz bor;
= 2, keyin uchta ildiz;< a < 2, то четыре корня.

agar 0 Masala 2. Tenglama nechta ildizga ega? a parametrga qarab a?

| x 2 – 2| x | – 3 | = a.

Yechim. Koordinatalar sistemasida (x; y) y = | funksiyalarning grafiklarini tuzamiz x 2 – 2| x | – 3 | va y = a = 0).

y = | funksiya grafigi x 2 – 2| x | – 3 | rasmda ko'rsatilgan. y = a funktsiyaning grafigi Ox ga parallel yoki unga to'g'ri keladigan to'g'ri chiziqdir (qachon

Agar a= 0, keyin to'g'ri chiziq y = a Chizmadan ko'rishingiz mumkin: a Ox o'qi bilan mos keladi va y = | funksiya grafigiga ega x2 – 2| x | – 3 | ikkita umumiy nuqta, shuningdek to'g'ri chiziq y = a y = | funksiya grafigiga ega bo'ladi x 2 – 2| x | – 3 | da ikkita umumiy nuqta a> 4. Demak, qachon a= 0 va
– 2 | ikkita umumiy nuqta; bu asl tenglamaning ikkita ildizi borligini bildiradi (bu holda ildizlarni topish mumkin: x 1,2 = d 2).< a < 3, то прямая y = a> 4 asl tenglama ikkita ildizga ega. a y = | funksiya grafigiga ega x 2 – 2| x | – 3 | a to'rtta umumiy nuqta, shuningdek to'g'ri chiziq y=< a < 3, a da tuzilgan funksiya grafigi bilan to'rtta umumiy nuqtaga ega bo'ladi
Agar 0 a= 4. Demak, 0 da a= 4 asl tenglama to'rtta ildizga ega.
= 3, keyin to'g'ri chiziq y =< a < 4, прямая y = a пересекает график построенной функции в шести точках; значит, при этих значениях параметра исходное уравнение имеет шесть корней.
Agar 0 a < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = a не пересекает график функции y = | x 2 – 2| x | – 3 |.

asl funktsiya grafigi bilan ikkita nuqtaga ega bo'ladi, ya'ni bu tenglama ikkita ildizga ega bo'ladi. a < 0, то корней нет;
Agar a = 0, a funksiya grafigini besh nuqtada kesib o‘tadi; shuning uchun tenglama beshta ildizga ega.
= 2, keyin uchta ildiz;< a < 3, a Agar 3
Agar a> 4, keyin ikkita ildiz bor;
= 4, keyin to'rtta ildiz bor;< a < 4, то шесть корней.

= 3, keyin beshta ildiz;

agar 3 a?

Masala 3. Tenglama nechta ildizga ega? parametrga qarab

Yechim. Funksiyaning koordinatalar sistemasidagi (x; y) grafigini tuzamiz. a y = | funksiya grafigidan olingan x | Oy o'qi bo'ylab birlik bilan siljish.

Funksiya grafiklari bir nuqtada kesishadi a> – 1; Bu shuni anglatadiki, ushbu parametr qiymatlari uchun tenglama (1) bitta yechimga ega.

At a = – 1, a= – 2 ta grafik ikkita nuqtada kesishadi; Bu shuni anglatadiki, ushbu parametr qiymatlari uchun (1) tenglama ikkita ildizga ega.
- 2 da< a < – 1, a < – 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

asl funktsiya grafigi bilan ikkita nuqtaga ega bo'ladi, ya'ni bu tenglama ikkita ildizga ega bo'ladi. a> – 1, keyin bitta yechim;
Agar a = – 1, a= – 2, u holda ikkita yechim mavjud;
agar - 2< a < – 1, a < – 1, то три решения.

Izoh. 3-muammoning (1) tenglamasini echishda, qachon bo'lishiga alohida e'tibor berish kerak a= – 2, chunki (– 1; – 1) nuqta funksiya grafigiga tegishli emas lekin y = | funksiya grafigiga tegishli x | + a.

Keling, boshqa muammoni hal qilishga o'tamiz.

Masala 4. Tenglama nechta ildizga ega?

x + 2 = a| x – 1 |

agar 3 a?

(2) Yechim. E'tibor bering, x = 1 ildiz emas berilgan tenglama a, chunki tenglik 3 = a· 0 har qanday parametr qiymati uchun haqiqiy bo'lishi mumkin emas . Tenglamaning ikkala tomonini | ga ajratamiz x – 1 |(| x – 1 | No. 0), u holda (2) tenglama shaklni oladi.

XOy koordinata tizimida funksiyani chizamiz a Ushbu funktsiyaning grafigi rasmda ko'rsatilgan. y = funksiyaning grafigi a = 0).

asl funktsiya grafigi bilan ikkita nuqtaga ega bo'ladi, ya'ni bu tenglama ikkita ildizga ega bo'ladi. a Ox o'qiga parallel yoki unga to'g'ri keladigan to'g'ri chiziq (agar
Ј – 1, keyin ildizlar yo'q;< a agar - 1
Agar aЈ 1, keyin bitta ildiz;

> 1, keyin ikkita ildiz bor.

Keling, eng murakkab tenglamani ko'rib chiqaylik. a Muammo 5. Parametrning qaysi qiymatlarida

a tenglama

x 2 + | x – 1 | = 0 (3)

uchta yechim bormi? a Yechim. 1. Ushbu tenglama uchun parametrning nazorat qiymati raqam bo'ladi a= 0, bunda (3) tenglama 0 + | ko'rinishini oladi x – 1 | = 0, qaerdan x = 1. Shuning uchun, qachon

= 0, tenglama (3) bitta ildizga ega, bu masala shartlarini qanoatlantirmaydi. a № 0.

2. Qachon holatni ko'rib chiqing a(3) tenglamani quyidagi shaklda qayta yozamiz: a < 0.

x 2 = – | x – 1 |. E'tibor bering, tenglama faqat qachon echimlarga ega bo'ladi a xOy koordinatalar sistemasida y = | funksiyalarning grafiklarini tuzamiz x – 1 | va y = a x 2. y = | funksiya grafigi x – 1 | rasmda ko'rsatilgan. y = funksiyaning grafigi a < 0. Вершина параболы - точка (0; 0).

x 2 - shoxlari pastga yo'naltirilgan parabola, chunki a y = – x + 1 to‘g‘ri chiziq y= funksiya grafigiga teginish bo‘lgandagina (3) tenglama uchta yechimga ega bo‘ladi.

x 2. a y = – x + 1 parabolasi y = to‘g‘ri chiziqning teginish nuqtasining abssissasi x 0 bo‘lsin.

x 2. Tangens tenglama shaklga ega

y = y(x 0) + y "(x 0)(x – x 0).

Keling, teginish shartlarini yozamiz:

Bu tenglamani hosila tushunchasidan foydalanmasdan yechish mumkin. a Keling, boshqa usulni ko'rib chiqaylik. Agar y = kx + b to'g'ri chiziq y = parabola bilan bitta umumiy nuqtaga ega bo'lsa, bundan foydalanamiz. a x 2 + px + q = kx + b yagona yechimga ega bo'lishi kerak, ya'ni uning diskriminanti nolga teng. Bizning holatlarimizda biz tenglamaga egamiz a x 2 = – x + 1 ( a№ 0). Diskriminant tenglama

Mustaqil ravishda hal qilinadigan muammolar

6. Parametrga qarab tenglama nechta ildizga ega a?

1)| | x | – 3 | = a;
2)| x + 1 | + | x + 2 | = a;
3)| x 2 – 4| x | + 3 | = a;
4)| x 2 – 6| x | + 5 | = a.

1) agar a<0, то корней нет; если a=0, a>3, keyin ikkita ildiz; Agar a=3, keyin uchta ildiz; agar 0<a<3, то четыре корня;
2) agar a<1, то корней нет; если a=1, u holda [– 2 oraliqdan cheksiz yechimlar toʻplami mavjud; a– 1]; Agar
> 1, keyin ikkita yechim bor; a<0, то корней нет; если a=0, a<3, то четыре корня; если 0<a<1, то восемь корней; если a 3) agar a=1, keyin oltita ildiz; Agar a=3, u holda uchta yechim mavjud; Agar
>3, keyin ikkita yechim bor; a<0, то корней нет; если a=0, 4<a<5, то четыре корня; если 0<a< 4, то восемь корней; если a 4) agar a=4, keyin oltita ildiz; Agar a=5, keyin uchta ildiz; Agar

>5, keyin ikkita ildiz bor. a 7. Tenglama nechta ildizga ega | x + 1 | = a?

(x – 1) parametrga qarab .

Eslatma. x = 1 tenglamaning ildizi bo'lmagani uchun bu tenglamani ko'rinishga keltirish mumkin a Javob: agar a > 1, a J -1,<a<0, то два корня; если 0<a=0, keyin bitta ildiz; agar - 1

Ј 1, keyin ildizlar yo'q. a 8. x + 1 = tenglama nechta ildizga ega a?

| x – 1 |parametrga qarab

Eslatma. x = 1 tenglamaning ildizi bo'lmagani uchun bu tenglamani ko'rinishga keltirish mumkin a Grafik chizing (rasmga qarang).<aЈ –1, keyin ildizlar yo'q; agar - 1 aЈ 1, keyin bitta ildiz; Agar

>1, keyin ikkita ildiz bor.

9. Tenglama nechta ildizga ega?

agar 3 a?

2| x | – 1 = a(x – 1)

Eslatma. x = 1 tenglamaning ildizi bo'lmagani uchun bu tenglamani ko'rinishga keltirish mumkin a Eslatma. Tenglamani hosil qilish uchun qisqartiring a>2, a J -2,<a<1, то два корня; если 1<a=1, keyin bitta ildiz; agar -2

Ј 2, keyin ildizlar yo'q.

agar 3 a?

Eslatma. x = 1 tenglamaning ildizi bo'lmagani uchun bu tenglamani ko'rinishga keltirish mumkin aЈ 0, a 10. Tenglama nechta ildizga ega?<a<2, то два корня.

i 2, keyin bitta ildiz; agar 0 a Muammo 5. Parametrning qaysi qiymatlarida

11. Parametrning qaysi qiymatlarida a x 2 +

x 2 + | x – 1 | = 0 (3)

| x – 2 | = 0 a Eslatma. Tenglamani x 2 = – ko‘rinishga keltiring.

| x – 2 |. a Javob: qachon

J – 8. a Muammo 5. Parametrning qaysi qiymatlarida

a 12. Parametrning qaysi qiymatlarida

x 2 + | x – 1 | = 0 (3)

x 2 + | x + 1 | = 0 a Eslatma. Muammodan foydalaning 5. Bu tenglama faqat tenglama bo'lsa, uchta yechimga ega a x 2 + x + 1 = 0 bitta yechimga ega va holat

= 0 masala shartlarini qanoatlantirmaydi, ya'ni hol qachon qoladi

13. Tenglama nechta ildizga ega? a

agar 3 a?

x | x – 2 | = 1 - Eslatma. Tenglamani –x |x – 2| ko‘rinishga keltiring + 1 =

agar 3 a?

a

Eslatma. x = 1 tenglamaning ildizi bo'lmagani uchun bu tenglamani ko'rinishga keltirish mumkin a<0, a Eslatma. Ushbu tenglamaning chap va o'ng tomonlari grafiklarini tuzing. a>2, keyin ikkita ildiz bor; agar 0J

Ј 2, keyin bitta ildiz.

agar 3 a?

16. Tenglama nechta ildizga ega? Eslatma. Ushbu tenglamaning chap va o'ng tomonlari grafiklarini tuzing. Funksiya grafigini tuzish uchun

Eslatma. x = 1 tenglamaning ildizi bo'lmagani uchun bu tenglamani ko'rinishga keltirish mumkin a x+2 va x ifodalarining doimiy ishorali oraliqlari topilsin: a>– 1, keyin bitta yechim; Agar<a<–1, то четыре решения; если a= – 1, u holda ikkita yechim mavjud; agar - 3

Ј –3, u holda uchta yechim mavjud.

§ 8. EHTIMOLLAR NAZARIYASINI STATISTIKAGA QO'LLANISH.

Gistogrammadan foydalanib, biz tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanish zichligini taxminan chizishimiz mumkin. Ushbu grafikning ko'rinishi ko'pincha tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik zichligi taqsimoti haqida taxmin qilish imkonini beradi. Ushbu taqsimot zichligi ifodasi odatda eksperimental ma'lumotlardan aniqlanishi kerak bo'lgan ba'zi parametrlarni o'z ichiga oladi.
Keling, taqsimot zichligi ikkita parametrga bog'liq bo'lgan alohida holatga to'xtalib o'tamiz.
Shunday qilib, ruxsat bering x 1 , x 2 , ..., x n- uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining kuzatilgan qiymatlari va uning ehtimolini taqsimlash zichligi ikkita noma'lum parametrga bog'liq bo'lsin. A Va B, ya'ni. o'xshaydi. Noma'lum parametrlarni topish usullaridan biri A Va B Ular nazariy taqsimotning matematik kutilishi va dispersiyasi namunaviy o'rtacha va dispersiyaga to'g'ri keladigan tarzda tanlanganligidan iborat:

(66)

Qayerda

(67)

Olingan ikkita tenglamadan () noma'lum parametrlar topiladi A Va B. Shunday qilib, masalan, tasodifiy o'zgaruvchi normal ehtimollik taqsimot qonuniga bo'ysunsa, uning ehtimollik taqsimot zichligi

ikki parametrga bog'liq a Va . Bu parametrlar, biz bilganimizdek, mos ravishda, tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi va standart og'ishi; shuning uchun tengliklar () quyidagicha yoziladi:

(68)

Shuning uchun, ehtimollik taqsimoti zichligi shaklga ega

Eslatma 1. Biz bu muammoni allaqachon hal qildik. O'lchov natijasi parametrlar bilan normal taqsimlash qonuniga bo'ysunadigan tasodifiy o'zgaruvchidir a Va . Taxminiy qiymat uchun a qiymatni tanladik, taxminiy qiymat uchun esa - qiymat.

Eslatma 2. Ko'p sonli tajribalar bilan miqdorlarni topish va formulalardan foydalanish () og'ir hisoblar bilan bog'liq. Shuning uchun ular shunday qilishadi: miqdorning kuzatilgan qiymatlarining har biri , ichiga tushadi i th interval ] X i-1 , X i [ statistik qator, taxminan o'rtaga teng deb hisoblanadi c i bu interval, ya'ni. c i =(X i-1 +X i)/2. Birinchi intervalni ko'rib chiqing ] X 0 , X 1 [. Bu unga tegdi m 1 tasodifiy o'zgaruvchining kuzatilgan qiymatlari, ularning har birini raqam bilan almashtiramiz 1 dan. Shuning uchun bu qiymatlarning yig'indisi taxminan teng m 1 s 1. Xuddi shunday, ikkinchi intervalga tushadigan qiymatlar yig'indisi taxminan teng m 2 bilan 2 va hokazo. Shunung uchun

Xuddi shunday tarzda biz taxminan tenglikni olamiz

Shunday qilib, keling, buni ko'rsataylik

(71)

Haqiqatan ham,

Ushbu usulning imkoniyatlarini to'liq ochib berish uchun biz muammolarning asosiy turlarini ko'rib chiqamiz.

Parametrli masalalarni grafik usulda yechishda bilim va ko'nikmalarni tekshirish uchun namunaviy topshiriqlar (koordinata tekisligi)

Vazifa 1.

Qanday qadriyatlardaa= tenglamaning ikkita ildizi bormi?

Yechim.

Keling, ekvivalent tizimga o'tamiz:

Koordinata tekisligidagi bu sistema (;) egri chiziqni aniqlaydi. Bu parabolik yoyning barcha nuqtalari (va faqat ular) dastlabki tenglamani qanoatlantiradigan koordinatalarga ega ekanligi aniq. Shuning uchun, parametrning har bir sobit qiymati uchun tenglama yechimlari soni, bu parametr qiymatiga mos keladigan gorizontal chiziq bilan egri chiziqning kesishish nuqtalari soniga teng.

Shubhasiz, ko'rsatilgan chiziqlar grafikni ikkita nuqtada kesishganda, bu ikkita ildizga ega bo'lgan dastlabki tenglamaga teng.

Javob: da.

Vazifa 2.

Tizim qaysi a ning barcha qiymatlarini toping o‘ziga xos yechimga ega.

Yechim.

Keling, asl tizimni ushbu shaklda qayta yozamiz:

Ushbu tizimning barcha yechimlari (shaklning juftlari) lyuklash orqali rasmda ko'rsatilgan maydonni hosil qiladi. Berilgan tizim uchun yagona yechim talabi grafik tilga quyidagicha tarjima qilinadi: gorizontal chiziqlar hosil bo'lgan mintaqa bilan faqat bitta umumiy nuqtaga ega bo'lishi kerak. Buni faqat to'g'ri ko'rish osonva belgilangan talabni qondirish.

Javob: yoki.

Hozirgina muhokama qilingan ikkita vazifa ilgari berilganlarga nisbatan aniqroq tavsiyalar berishga imkon beradi:

parametrni o'zgaruvchi orqali ifodalashga harakat qiling, ya'ni shaklning tengliklarini oling, keyin

tekislikdagi funksiya grafigini tuzing.

Vazifa 3.

Qanday qadriyatlardaA tenglamaning uchta ildizi bormi?

Yechim.

Bizda ... bor

Ushbu to'plamning grafigi "burchak" va parabolaning birlashuvidir. Shubhasiz, faqat to'g'ri chiziq hosil bo'lgan birlashmani uchta nuqtada kesib o'tadi.

Javob: .

Izoh: Odatda parametr hisobga olinadi sobit, lekin noma'lum raqam sifatida. Ayni paytda, rasmiy nuqtai nazardan, parametr o'zgaruvchidir va muammoda mavjud bo'lgan boshqalarga "teng". Shakl parametrining bunday ko'rinishida funktsiyalar bir emas, balki ikkita o'zgaruvchi bilan aniqlanadi.

Vazifa 4.

Barcha parametr qiymatlarini toping, buning uchun tenglama bitta yechimga ega.

Yechim.

Kasr nolga teng bo'ladi, agar kasrning numeratori nolga teng bo'lsa va maxraji nolga teng bo'lmasa.

Kvadrat uchburchakning ildizlarini toping:

Olingan tizimdan foydalanib, dastlabki tenglamaning grafigini qurish oson. Aynan ushbu grafikdagi "teshilishlar" ning mavjudligi va = bo'lganda tenglama noyob echimga ega bo'lishiga imkon beradi. Bu qaror qabul qilishda hal qiluvchi omil.

Javob: Va.

Vazifa 5.

Qaysi parametr qiymatlarida,A tenglama yagona yechimga ega.

Yechim.

Dastlabki tenglamaga ekvivalent sistemani yozamiz

Bu erdan olamiz

Grafik quramiz va o'qlarga perpendikulyar to'g'ri chiziqlar chizamizA .

Tizimning dastlabki ikkita tengsizligi soyalash orqali ko'rsatilgan nuqtalar to'plamini belgilaydi va bu to'plam giperbolalarni va o'z ichiga olmaydi.

Keyin segment va nur, segment va chiziqlar mos ravishda yotadigan nur va , asl tenglamaning grafigi. Bitta yechim bo'lsa, 2 bo'ladi< < или < или = .

Javob : 2 < < или < или = .

Vazifa 6.

Barcha parametr qiymatlarini topingA , buning uchun tenglama

aniq ikki xil yechimga ega

Yechim.

Ikkita tizim to'plamini ko'rib chiqing

Agar , Bu.

Agar < , Bu.

Bu yerdan

yoki

Parabola va to'g'ri chiziq ikkita umumiy nuqtaga ega:A (-2; - 2), IN(-1; -1) va, IN - birinchi parabolaning tepasi,D - ikkinchisining tepasi. Shunday qilib, dastlabki tenglamaning grafigi rasmda ko'rsatilgan.

To'liq ikki xil yechim bo'lishi kerak. Bu yoki bilan amalga oshiriladi.

Javob: yoki.

Vazifa 7.

Har biri uchun tenglama bo'lgan barcha raqamlar to'plamini toping

faqat ikki xil ildizga ega.

Yechim.

Keling, ushbu tenglamani shaklda qayta yozamiz

Bu shart bilan tenglamaning ildizlari.

Keling, ushbu tenglamaning grafigini tuzamiz. Bunday holda, ordinata o'qiga o'zgaruvchini belgilash orqali grafikni qurish qulay. Bu erda biz javobni vertikal to'g'ri chiziqlar bilan "o'qiymiz", biz bu tenglamaning faqat ikki xil ildizga ega ekanligini aniqlaymiz = -1 yoki yoki.

Nuqtali chiziqlar shundan dalolat beradi.

Javob: da = -1 yoki yoki.

Vazifa 8.

Buning uchun tengsizlikning yechimlari to'plami intervalni o'z ichiga oladi.

Yechim.

Keling, dastlabki tenglamaga ekvivalent bo'lgan ikkita tizim to'plamini yozamiz:

yoki

Birinchi tizimga yechim yo'q ekanA segmentga kiritilishi mumkin emas, keyin biz ikkinchi tizim uchun kerakli tadqiqotlarni amalga oshiramiz.

Bizda ... bor

belgilaylik . Keyin sistemaning ikkinchi tengsizligi shaklni oladi< - va koordinata tekisligida rasmda ko'rsatilgan to'plamni aniqlaydi.

Rasmdan foydalanib, biz hosil bo'lgan to'plamda abscissalar intervalning barcha qiymatlari orqali o'tadigan barcha nuqtalar mavjudligini aniqlaymiz.

Keyin, bu yerdan.

Javob : .

Vazifa 9.

Tizimni qondiradigan yagona raqam mavjud bo'lgan barcha manfiy bo'lmagan raqamlarni toping

Yechim.

Bizda ... bor

Koordinata tekisligidagi birinchi tenglama vertikal chiziqlar turkumini belgilaydi. To'g'ri chiziqlar va tekisliklarni to'rtta maydonga bo'ling. Ulardan ba'zilari tengsizlik tizimining echimlari. Har bir hududdan test punkti olib, aynan qaysilarini aniqlash mumkin. Nuqtasi tengsizlikni qanoatlantiradigan mintaqa uning yechimidir (bu texnika bir o'zgaruvchili tengsizliklarni yechishda intervallar usuli bilan bog'liq). To'g'ri chiziqlar qurish

Masalan, biz nuqtani olamiz va uni tengsizlikni qanoatlantiradigan nuqtalar Koordinatalariga almashtiramiz.

Biz ikkita maydonni olamiz (I) va ( II), lekin shartga ko'ra, biz faqat maydonni olamiz (I). To'g'ri chiziqlar qurish , k .

Shunday qilib, asl tizim nurlar ustida yotgan barcha nuqtalar (va faqat ular) tomonidan qondiriladi va chizmada qalin chiziqlar bilan ta'kidlangan (ya'ni, biz ma'lum bir sohada nuqtalarni quramiz).

Endi biz tuzatilgandan so'ng noyobni topishimiz kerak. Biz o'qni kesib o'tadigan parallel chiziqlar quramiz. va chiziq bilan kesishgan bir nuqta qaerda bo'lishini toping.

Rasmdan biz yechimning o'ziga xosligi talabiga erishilganligini aniqlaymiz, agar (allaqachon 2 ball uchun),

chiziqlarning kesishish nuqtasining ordinatasi qayerda va,

qayerda - chiziqlarning kesishish nuqtasining ordinatasi va.

Shunday qilib, olamiz< .

Javob: < .

Vazifa 10.

Parametrning qaysi qiymatlarida tizim yechimlarga ega?

Yechim.

Keling, tizim tengsizligining chap tomonini faktorlarga ajratamiz

Biz to'g'ri chiziqlar quramiz va ... Biz rasmda sistemaning tengsizligini qanoatlantiradigan tekislikning nuqtalari to'plamini soya qilib ko'rsatamiz.

Biz giperbolani quramiz = .

U holda giperbolaning tanlangan yoylarining abssissalari dastlabki sistemaning yechimlari hisoblanadi.M , P , N , Q - tugun nuqtalari. Keling, ularning abstsissalarini topamiz.

Ballar uchun P , Q bizda ... bor

Javobni yozish uchun qoladi: yoki.

Javob: yoki.

11-topshiriq.

Moduldagi tengsizlikning har qanday yechimi ikki () dan oshmaydigan barcha qiymatlarni toping.

Yechim .

Keling, ushbu tengsizlikni ushbu shaklda qayta yozamiz. va = tenglamalarining grafiklarini tuzamiz.

"Intervallar usuli" dan foydalanib, biz asl tengsizlikning yechimi soyali maydonlar bo'lishini aniqlaymiz.

Endi hududni quraylik va uning qaysi qismi soyali maydonga tushishini ko'ring.

Bular. endi, agar biron bir qo'zg'almas qiymat uchun hosil bo'lgan maydon bilan kesishgan to'g'ri chiziq faqat abtsissalari shartni qanoatlantiradigan nuqtalarni bersa. < 2, keyin kerakli parametr qiymatlaridan biridir.

Shunday qilib, biz buni ko'ramiz.

Javob: .

12-topshiriq.

Parametrning qaysi qiymatlari uchun tengsizlikning yechimlari to'plami to'rttadan ko'p bo'lmagan butun qiymatlarni o'z ichiga oladi?

Yechim.

Keling, bu tengsizlikni shaklga aylantiramiz. Bu tengsizlik ikki tizimning birikmasiga teng

yoki

Ushbu to'plamdan foydalanib, biz asl tengsizlikning yechimini tasvirlaymiz.

Qayerga to'g'ri chiziqlar chizamiz. Keyin belgilangan to'plamdan to'rtta nuqtadan ko'p bo'lmagan chiziq chiziqlarni kesib o'tadigan qiymat kerakli bo'ladi. Shunday qilib, biz u yoki yoki ekanligini ko'ramiz.

Javob: yoki yoki.

13-topshiriq.

Qaysi parametr qiymatlaridaA yechim tizimiga ega

Yechim.

Kvadrat uchburchakning ildizlari va.

Keyin

Biz to'g'ri chiziqlar quramiz va ...

"Intervallar" usuli yordamida biz tizim tengsizligi (soyali maydon) yechimini topamiz.

Aylananing markazining boshi va radiusi 2 bo'lgan soyali maydonga to'g'ri keladigan qismi bu tizimning yechimi bo'ladi. .

Biz qiymatlarni tizimdan topamiz

va ning ma'nosi tizimdan.

Javob:

14-topshiriq.

Parametr qiymatlariga qarabA > tengsizlikni yeching.

Yechim.

Keling, ushbu tengsizlikni shaklda qayta yozamiz va funktsiyani ko'rib chiqamiz, modullarni kengaytirib, biz shunday yozamiz:

Biz jadval tuzmoqdamiz. Grafik koordinata tekisligini ikki mintaqaga ajratadi. t (0;0) ni olib, asl tengsizlikka almashtirsak, 0 > 1 ni olamiz va shuning uchun yuqorida joylashgan grafik sohasida asl tengsizlik qondiriladi.

To'g'ridan-to'g'ri raqamdan biz olamiz:

echimlar yo'q;

da ;

da.

Javob: echimlar yo'q;

da ;

da.

15-topshiriq.

Tengsizliklar tizimi mos keladigan parametrning barcha qiymatlarini toping

faqat bittasi bilan qanoatlanadi.

Yechim.

Keling, ushbu tizimni ushbu shaklda qayta yozamiz:

Keling, ushbu tizim tomonidan belgilangan hududni quraylik.

1) , parabolaning tepasi.

2) - nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq va.

Yechimning o'ziga xosligi talabi grafik tilga quyidagicha tarjima qilinadi: hosil bo'lgan maydonga ega gorizontal chiziqlar faqat bitta umumiy nuqtaga ega bo'lishi kerak. Belgilangan talab to'g'ri chiziqlar bilan qondiriladi va bu erda parabola va to'g'ri chiziqning kesishish nuqtasining ordinatasi.

Keling, qiymatni topamiz:

= (muammoning maqsadiga mos kelmaydi),

Ordinatni topish:

Javob: ,

16-topshiriq.

Barcha parametr qiymatlarini topingA, buning ostida tengsizliklar tizimi

faqat bitta x uchun javob beradi.

Yechim .

Parabolalarni tuzamiz va oxirgi sistemaning yechimini soya qilib ko'rsatamiz.

1) , .

2) , .

Rasmda yoki bo'lganda muammoning sharti qanoatlantirilishini ko'rsatadi.

Javob: yoki.

17-topshiriq.

Qaysi qiymatlar uchun tenglama aniq uchta ildizga ega?

Yechim.

Bu tenglama to'plamga teng

Aholi grafigi parabola va burchak grafiklarining birikmasidir.

Chiziqlar hosil bo'lgan birlashmani uchta nuqtada kesib o'tadi.

Javob: da.

18-topshiriq.

Qaysi qiymatlar uchun tenglama aniq uchta yechimga ega?

Yechim.

Keling, bu tenglamaning chap tomonini o'zgartiramiz. ga nisbatan kvadrat tenglamani olamiz.

Biz tenglamani olamiz

Bu jamiga teng

Parabola grafiklarining birlashuvi populyatsiya uchun yechimdir.

Parabolalarning kesishish ordinata nuqtalarini toping:

Biz rasmdan kerakli ma'lumotlarni o'qiymiz: bu tenglama yoki da uchta yechimga ega

Javob: da yoki

19-topshiriq.

Parametrga qarab, tenglamaning ildizlari sonini aniqlang

Yechim .

Bu tenglamani a ga nisbatan kvadratik deb hisoblang.

,

.

Biz umumiylikni olamiz

Aholi tenglamalarining grafiklarini tuzamiz va masalada berilgan savolga javob beramiz.

Javob:: yechim yo'q;

: bitta yechim;

: ikkita yechim;

yoki: uchta yechim;

yoki: to'rtta yechim.

Vazifa 20.

Tizimda nechta yechim bor?

Yechim.

Ko'rinib turibdiki, tizimning ikkinchi tenglamasining ildizlari soni tizimning o'zi yechimlari soniga teng.

Bizda ... bor, .

Ushbu tenglamani kvadrat tenglama sifatida ko'rib, biz to'plamni olamiz.

Endi koordinata tekisligiga kirish vazifani soddalashtiradi. Tenglamani yechish orqali kesishish nuqtalarining koordinatalarini topamiz

Bu yerdan

Parabolalarning uchlari va.

Javob:: to'rtta yechim;

: ikkita yechim;

: bitta yechim;

: yechim yo'q.

Vazifa 21.

Tenglama faqat ikkita aniq ildizga ega bo'lgan parametrning barcha haqiqiy qiymatlarini toping. Bu ildizlarni yozing.

Yechim .

Qavslar ichida kvadrat uch a’zoning ildizlarini topamiz:

Bu tenglamaning yechimlari to‘plamini koordinata tekisligida grafiklar tuzib, quyidagi shart bilan tasvirlaylik.

Rasmdan kerakli ma'lumotlarni o'qiymiz. Demak, bu tenglamaning (va) da (va) da ikki xil ildizi bor.

Javob: da (va) va

da (va).

Vazifa 2 2 .

Tengsizliklar tizimini yeching:

Yechim.

Tekislikda parabola va to'g'ri chiziqlar grafiklarini tuzamiz.

Soyali maydondagi barcha nuqtalar tizimning yechimidir. Keling, qurilgan maydonni ikki qismga ajratamiz.

Agar shunday bo'lsa, unda hech qanday yechim yo'q.

Agar, u holda soyali maydon nuqtalarining abssissasi to'g'ri chiziq nuqtalarining abssissasidan katta bo'ladi, lekin parabolaning abssissasidan (tenglamaning katta ildizi) kichik bo'ladi.

Uni to‘g‘ri chiziqli tenglama orqali ifodalaymiz:

Keling, tenglamaning ildizlarini topamiz:

Keyin.

Agar shunday bo'lsa, unda.

Javob: va 1 uchun yechimlar yo'q;

da;

da.

23-topshiriq.

Tengsizliklar sistemasini yeching

Yechim.

– parabolaning tepasi.

Parabolaning tepasi.

Parabolalarning kesishish nuqtalarining abtsissalarini toping:

Soyali maydon tizimning yechimidir. Keling, uni ikki qismga ajratamiz.

Parabola tenglamalarida biz ularni quyidagicha ifodalaymiz:

Keling, yozamiz javob:

agar va bo'lsa, u holda echimlar yo'q;

agar, keyin< ;

agar, keyin.

24-topshiriq.

Qaysi qiymatlarda va tenglama yechimlari yo'qmi?

Yechim.

Tenglama tizimga ekvivalent

Keling, tizimning ko'plab echimlarini tuzamiz.

Parabolaning uchta bo'lagi bu tenglamaning yechimidir.

Keling, qaysi birini topamiz va uni istisno qilamiz.

Demak, hech qanday yechim yo'q;

yechimlar bo'lmaganda;

(eslatma: qolganlari uchunAbir yoki ikkita yechim mavjud).

Javob: ; .

Vazifa 25.

Parametrning qaysi haqiqiy qiymatlari uchun shartlarni qondiradigan kamida bittasi mavjud:

Yechim.

Tengsizlikni grafik usulda “interval usuli” yordamida yechib, grafik tuzamiz. Keling, tengsizlikni yechish uchun tuzilgan maydonga grafikning qaysi qismi tushishini ko‘rib chiqamiz va mos qiymatlarni topamiz.A.

To'g'ri chiziqlarning grafiklarini quramiz va

Ular koordinata tekisligini 4 ta hududga ajratadilar.

Oxirgi tengsizlikni interval usuli yordamida grafik tarzda yechamiz.

Soyali maydon uning yechimidir. Parabola grafigining bir qismi shu sohaga to'g'ri keladi. Intervalda; (shartga ko'ra, tizimning tengsizligi qat'iy) berilgan tizimning shartlarini qondiradigan mavjud.

Javob:

Vazifa 26.

Parametrning barcha qiymatlarini toping, ularning har biri uchun tengsizlikning yechimlari to'plami tengsizlikning bitta yechimini o'z ichiga olmaydi.

Yechim.

Keling, tengsizlikning yechimlari to'plamini (“interval usulidan foydalangan holda”) tuzamiz. Keyin biz kerakli parametr qiymatlarining "chiziq" ni quramizq ko'rsatilgan hududlarning birorta nuqtasi "chiziq" ga tegishli bo'lmaganlar

Javob: yoki.

Vazifa 27.

Parametrning qaysi qiymatlari uchun tenglama yagona yechimga ega?

Yechim.

Kasrning sonini koeffitsientlarga ajratamiz.

Ushbu tenglama tizimga teng:

Koordinata tekisligida aholining grafigini tuzamiz.

yoki

– chiziqlarning kesishish nuqtasi va. Aholi grafigi to'g'ri chiziqlar birlashmasidan iborat.

Grafik nuqtalarini abtsissalar bilan "teshib tashlang".

Biz to'g'ri chiziqlar chizamiz va grafik bilan kesishgan bir nuqta borligini ko'ramiz.

Ko'rinib turibdiki, faqat ushbu tenglama uchun yoki yagona yechim bor.

Javob: yoki.

Vazifa 28.

Parametrning qaysi haqiqiy qiymatlari uchun tengsizliklar tizimi yechimga ega emas?

Yechim.

Soyali mintaqaning tekis nuqtalari to'plami ushbu tengsizliklar tizimini qanoatlantiradi.

Biz to'g'ri chiziqlar quramiz. Rasmdan aniqlaymizki, qachon ( giperbola va to'g'ri chiziqning kesishish nuqtasining abssissasi), to'g'ri chiziqlar soyali maydonni kesib o'tmaydi.

Javob: da.

29-topshiriq.

Qaysi parametr qiymatlaridaA tizim o'ziga xos yechimga ega.

Yechim.

Keling, shunga o'xshash tizimga o'tamiz.

Koordinata tekisligida biz mos ravishda parabolalar va parabolalarning cho'qqilarining grafiklarini tuzamiz, nuqta va.

Tenglamani yechish orqali parabolalarning kesishish nuqtalarining abssissalarini hisoblaylik

Soyali maydon tengsizliklar tizimining yechimidir. To'g'ridan-to'g'ri va

soyali maydon bilan bitta umumiy nuqtaga ega.

Javob: da i.

Vazifa 30.

Tengsizlikni yeching:

Yechim.

Parametrga qarab, biz qiymatni topamiz.

Tengsizlikni “interval usuli” yordamida yechamiz.

Keling, parabolalarni quraylik

: .

Parabolalarning kesishish nuqtasining koordinatalarini hisoblaymiz:

Soyali mintaqadagi nuqtalar bu tengsizlikni qondiradi. To'g'ri chiziq chizib, biz bu maydonni uch qismga ajratamiz.

1) Agar bo'lsa, unda echimlar yo'q.

2) Agar, u holda tenglamada uni orqali ifodalaymiz:

Shunday qilib, hududdaI bizda ... bor.

Agar shunday bo'lsa, qarang:

a) mintaqa II .

orqali tenglamada ifodalaymiz.

Kichikroq ildiz

Kattaroq ildiz.

Shunday qilib, mintaqada II bizda ... bor.

b) hudud III : .

Javob: yechimlar bo'lmaganda;

da

da, .

Adabiyot:

Galitskiy M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. 8-9-sinflar uchun algebra bo'yicha muammolar to'plami: Matematikani chuqur o'rganadigan maktablar va sinflar o'quvchilari uchun darslik - 2-nashr. – M.: Ta’lim, 1994 yil.

P. I. Gornshteyn, V. B. Polonskiy, M. S. Yakir. Parametrlar bilan bog'liq muammolar. 3-nashr, kengaytirilgan va qayta ko'rib chiqilgan. – M.: Ilexa, Xarkov: Gimnaziya, 2003 yil.

Faddeev D.K. Algebra 6 – 8. – M.: Ta’lim, 1983 (b – ka matematika o‘qituvchisi).

A. X. Shaxmeyster. Parametrli tenglamalar va tengsizliklar. B. G. Ziv tomonidan tahrirlangan. S - Peterburg. Moskva. 2004 yil.

V. V. Amelkin, V. L. Rabtsevich. Parametrlar bilan bog'liq muammolar Minsk "Asar", 2002 yil.

A. X. Shaxmeister. Yagona davlat imtihonidagi parametrlar bilan bog'liq muammolar. Moskva universiteti nashriyoti, Neva MTsNMOdagi CheRo.

Parametrli tenglamalar haqli ravishda maktab matematikasidagi eng qiyin muammolardan biri hisoblanadi. Aynan shu vazifalar yildan-yilga Yagona davlat imtihonining yagona davlat imtihonida B va C tipidagi vazifalar ro'yxatiga kiritilgan. Biroq, parametrlarga ega bo'lgan ko'p sonli tenglamalar orasida grafik tarzda osongina echilishi mumkin bo'lganlar ham bor. Keling, bir nechta muammolarni hal qilish misolida ushbu usulni ko'rib chiqaylik.

|x 2 – 2x – 3| tenglama bo'lgan a sonining butun qiymatlari yig'indisini toping. = a to'rtta ildizga ega.

Yechim.

Muammoning savoliga javob berish uchun, keling, bir koordinata tekisligida funktsiyalar grafiklarini tuzamiz

y = |x 2 – 2x – 3| va y = a.

Birinchi funksiyaning grafigi y = |x 2 – 2x – 3| y = x 2 – 2x – 3 parabola grafigidan grafikning Ox oʻqidan past boʻlgan qismini x oʻqiga nisbatan simmetrik ravishda koʻrsatish orqali olinadi. Grafikning x o'qi ustida joylashgan qismi o'zgarishsiz qoladi.

Keling, buni bosqichma-bosqich qilaylik. y = x 2 – 2x – 3 funksiyaning grafigi parabola bo‘lib, uning shoxlari yuqoriga yo‘naltirilgan. Uning grafigini qurish uchun biz cho'qqining koordinatalarini topamiz. Buni x 0 = -b/2a formulasi yordamida amalga oshirish mumkin. Shunday qilib, x 0 = 2/2 = 1. Parabolaning ordinata o'qi bo'ylab cho'qqisining koordinatasini topish uchun x 0 ning natijaviy qiymatini ko'rib chiqilayotgan funktsiya tenglamasiga almashtiramiz. Biz y 0 = 1 – 2 – 3 = -4 ekanligini olamiz. Demak, parabolaning uchi koordinatalariga (1; -4) ega.

Keyinchalik, koordinata o'qlari bilan parabola shoxlarining kesishish nuqtalarini topishingiz kerak. Parabola shoxlarining abscissa o'qi bilan kesishgan nuqtalarida funksiyaning qiymati nolga teng. Shuning uchun biz x 2 – 2x – 3 = 0 kvadrat tenglamani yechamiz. Uning ildizlari kerakli nuqtalar bo'ladi. Vyeta teoremasi bo'yicha bizda x 1 = -1, x 2 = 3 bor.

Parabola shoxlarining ordinata o'qi bilan kesishgan nuqtalarida argumentning qiymati nolga teng. Shunday qilib, y = -3 nuqta parabola shoxlarining y o'qi bilan kesishgan nuqtasidir. Olingan grafik 1-rasmda ko'rsatilgan.

y = |x 2 – 2x – 3| funksiyaning grafigini olish uchun grafikning abtsissa ostida joylashgan qismini x o'qiga nisbatan simmetrik ravishda aks ettiramiz. Olingan grafik 2-rasmda ko'rsatilgan.

y = a funktsiyaning grafigi abscissa o'qiga parallel bo'lgan to'g'ri chiziqdir. U 3-rasmda tasvirlangan. Rasmdan foydalanib, agar a (0; 4) intervalga tegishli bo'lsa, grafiklarning to'rtta umumiy nuqtasi (va tenglamaning to'rtta ildizi) borligini aniqlaymiz.

Olingan intervaldan a sonining butun qiymatlari: 1; 2; 3. Muammoning savoliga javob berish uchun ushbu sonlarning yig'indisini topamiz: 1 + 2 + 3 = 6.

Javob: 6.

|x 2 – 4|x| tenglamasi bo'lgan a sonining butun qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymatini toping. – 1| = a oltita ildizga ega.

y = |x 2 – 4|x| funksiya grafigini tuzishdan boshlaylik – 1|. Buning uchun a 2 = |a| tengligidan foydalanamiz 2 va funktsiyaning o'ng tomonida yozilgan submodulli ifodada to'liq kvadratni tanlang:

x 2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 – 4|x| + 4) – 1 – 4 = (|x |– 2) 2 – 5.

Shunda asl funksiya y = |(|x| – 2) 2 – 5| ko‘rinishga ega bo‘ladi.

Ushbu funktsiyaning grafigini qurish uchun biz funktsiyalarning ketma-ket grafiklarini tuzamiz:

1) y = (x – 2) 2 – 5 – (2; -5) koordinatali nuqtada tepasi bo‘lgan parabola; (1-rasm).

2) y = (|x| – 2) 2 – 5 – 1-qadamda tuzilgan parabolaning ordinata o‘qining o‘ng tomonida joylashgan qismi Oy o‘qining chap tomonida simmetrik tarzda aks ettirilgan; (2-rasm).

3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| – 2-bandda tuzilgan grafikning x o‘qidan pastda joylashgan qismi yuqoriga qarab x o‘qiga nisbatan simmetrik tarzda ko‘rsatiladi. (3-rasm).

Olingan chizmalarni ko'rib chiqaylik:

y = a funktsiyaning grafigi abscissa o'qiga parallel bo'lgan to'g'ri chiziqdir.

Rasmdan foydalanib, funksiyalar grafiklari oltita umumiy nuqtaga ega degan xulosaga kelamiz (tenglama oltita ildizga ega), agar a (1; 5) oralig'iga tegishli bo'lsa.

Buni quyidagi rasmda ko'rish mumkin:

a parametrining butun qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymatini topamiz:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

Javob: 3.

blog.site, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda asl manbaga havola talab qilinadi.