Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi berilgan. Tenglamalar tizimi

Tenglamaning yechimi bor: agar noma'lumlar koeffitsientlaridan kamida bittasi nolga teng bo'lsa. Bunday holda, har qanday o'lchovli vektor tenglamaning yechimi deb ataladi, agar uning koordinatalarini almashtirgandan so'ng, tenglama bir xillikka aylansa.

Yechilgan tenglamalar tizimining umumiy tavsifi

Tenglamalar sistemasiga tavsif bering.

Yechim:

1. Tarkibda ziddiyatli tenglama bormi?(Agar koeffitsientlar bo'lsa, bu holda tenglama quyidagi shaklga ega: va deyiladi qarama-qarshi.)

• Agar tizimda qarama-qarshilik mavjud bo'lsa, unda bunday tizim mos kelmaydi va hech qanday yechimga ega emas

2. Barcha ruxsat etilgan o'zgaruvchilarni toping. (Noma'lum deb ataladiruxsat etilgan tenglamalar tizimi uchun, agar u +1 koeffitsientli tizim tenglamalaridan biriga kirsa va boshqa tenglamalarga kirmasa (ya'ni, nolga teng koeffitsient bilan kirsa).

3. Tenglamalar tizimiga ruxsat berilganmi? (Tenglamalar tizimi ruxsat etilgan deb ataladi agar tizimning har bir tenglamasi hal qilingan noma'lum bo'lsa, ular orasida mos keladiganlari yo'q)

Tizimning har bir tenglamasidan bittadan olingan ruxsat etilgan noma'lumlar shakllanadi hal qilingan noma'lumlarning to'liq to'plami tizimlari. (bizning misolimizda shunday)

To'liq to'plamga kiritilgan hal qilingan noma'lumlar ham deyiladi Asosiy() va to'plamga kiritilmagan - ozod ().

Ushbu bosqichda asosiy narsa nima ekanligini tushunishdir noma'lum hal qilindi(asosiy va bepul kiritilgan).

Umumiy qisman asosiy yechim

Umumiy qaror bilan Ruxsat etilgan tenglamalar tizimi ruxsat etilgan noma'lumlar uchun erkin shartlar va erkin noma'lumlar uchun ifodalar to'plami deb ataladi:

Shaxsiy qaror bilan erkin o'zgaruvchilar va noma'lumlarning o'ziga xos qiymatlari uchun umumiydan olingan yechim deb ataladi.

Asosiy yechim erkin o'zgaruvchilarning nol qiymatlari uchun umumiydan olingan ma'lum bir yechim deb ataladi.

• Asosiy yechim (vektor) deyiladi degeneratsiya agar uning nolga teng bo'lmagan koordinatalari soni ruxsat etilgan noma'lumlar sonidan kam bo'lsa.
• Asosiy yechim deyiladi degenerativ bo'lmagan agar uning nolga teng bo'lmagan koordinatalari soni to'liq to'plamga kiritilgan tizimning ruxsat etilgan noma'lumlari soniga teng bo'lsa.

Teorema (1)

Ruxsat etilgan tenglamalar tizimi har doim mos keladi(chunki u kamida bitta yechimga ega); va agar tizimda bepul noma'lumlar bo'lmasa,(ya'ni tenglamalar tizimida barcha ruxsat etilganlar asosga kiritilgan) keyin aniqlanadi(faqat bitta yechim bor); agar kamida bitta erkin o'zgaruvchi bo'lsa, u holda tizim aniqlanmagan(cheksiz ko'p echimlarga ega).

Yechim:

1. Tizim qonuniy yoki yo'qligini tekshiryapsizmi?

• Tizim hal qilindi (chunki tenglamalarning har biri hal qilingan noma'lumni o'z ichiga oladi)

2. Biz to'plamga hal qilingan noma'lumlarni kiritamiz - har bir tenglamadan bitta.

3. Qaysi hal qilingan noma’lumlarni to‘plamga kiritganimizga qarab umumiy yechimni yozamiz.

4. Biz maxsus yechim topamiz... Buning uchun biz to'plamga kiritmagan erkin o'zgaruvchilarni ixtiyoriy sonlarga tenglashtiramiz.

Javob: shaxsiy yechim(variantlardan biri)

5. Asosiy yechim topish... Buning uchun biz to'plamga kiritmagan erkin o'zgaruvchilarni nolga tenglashtiramiz.

Chiziqli tenglamalarni elementar o'zgartirishlar

Chiziqli tenglamalar tizimlari elementar transformatsiyalar yordamida ruxsat etilgan ekvivalent tizimlarga keltiriladi.

Teorema (2)

Agar mavjud bo'lsa sistema tenglamasini nolga teng bo'lmagan ba'zi bir songa ko'paytiring, va qolgan tenglamalarni o'zgarishsiz qoldiring, keyin. (ya'ni, agar siz tenglamaning chap va o'ng tomonlarini bir xil songa ko'paytirsangiz, bu tenglamaga ekvivalent bo'lasiz)

Teorema (3)

Agar tizimning ba'zi tenglamalariga boshqasini qo'shing, va boshqa barcha tenglamalarni o'zgarishsiz qoldiring, keyin berilganga ekvivalent tizimni olamiz... (ya'ni, agar siz ikkita tenglama qo'shsangiz (ularning chap va o'ng tomonlarini qo'shsangiz), siz ma'lumotlarga ekvivalent tenglama olasiz)

Teoremalardan xulosa (2 va 3)

Agar ba'zi tenglamaga boshqasini qo'shing, qandaydir songa ko'paytiriladi, va boshqa barcha tenglamalarni o'zgarishsiz qoldiring, keyin berilganga ekvivalent tizimni olamiz.

Tizim koeffitsientlari uchun konvertatsiya formulalari

Agar bizda tenglamalar tizimi bo'lsa va biz uni hal qilingan tenglamalar tizimiga aylantirmoqchi bo'lsak, Jordan-Gauss usuli bizga yordam beradi.

Iordaniya o'zgarishi hal qiluvchi element bilan tenglamada echilgan noma'lumni tenglamalar tizimi uchun raqam bilan olish imkonini beradi. (2-misol).

Aytaylik, biz quyi tenglamadagi noma’lumni yechilgan noma’lumga aylantirmoqchimiz. Buning uchun, biz tomonidan bo'linishi kerak, shunday qilib, miqdori.

Raqamli tenglamani bo'lishda uning koeffitsientlari formulalar bo'yicha qayta hisoblab chiqiladi:

Raqamli tenglamani yo'q qilish uchun siz tenglamani raqam bilan ko'paytirishingiz va bu tenglamaga qo'shishingiz kerak.

Teorema (4) Tizimdagi tenglamalar sonini kamaytirish haqida.

Agar tenglamalar tizimida ahamiyatsiz tenglama mavjud bo'lsa, uni tizimdan chiqarib tashlash mumkin va tizim asl tenglamaga teng.

Teorema (5) Tenglamalar sistemasining mos kelmasligi haqida.

Agar tenglamalar tizimi qarama-qarshi tenglamani o'z ichiga olsa, u mos kelmaydi.

Jordan-Gauss usulining algoritmi

Jordan-Gauss usuli bo'yicha tenglamalar tizimini echish algoritmi bir xil turdagi bir qancha bosqichlardan iborat bo'lib, ularning har birida harakatlar quyidagi tartibda amalga oshiriladi:

1. Tizim mos kelmasligini tekshiradi. Agar tizimda nomuvofiq tenglama bo'lsa, u mos kelmaydi.
2. Tenglamalar sonini kamaytirish imkoniyati tekshiriladi. Agar tizimda ahamiyatsiz tenglama bo'lsa, u o'chiriladi.
3. Agar tenglamalar tizimi echilgan bo'lsa, u holda tizimning umumiy yechimi va kerak bo'lganda alohida echimlar yoziladi.
4. Agar tizim yechilmagan bo'lsa, u holda echilgan noma'lumni o'z ichiga olmagan tenglamada hal qiluvchi element tanlanadi va bu element bilan Jordan transformatsiyasi amalga oshiriladi.
5. Keyin yana 1-bosqichga o'ting.

Toping: ikkita umumiy va ikkita mos keladigan asosiy echimlar

Yechim:

Hisob-kitoblar quyidagi jadvalda keltirilgan:

Tenglamalar bo'yicha harakatlar jadvalning o'ng tomonida ko'rsatilgan. O'qlar qaysi tenglamaga hal qiluvchi element bilan tenglama qo'shilganligini ko'rsatadi, mos koeffitsientga ko'paytiriladi.

Jadvalning dastlabki uchta qatorida noma'lumlar va dastlabki tizimning o'ng tomonlari uchun koeffitsientlar mavjud. Rezolyutsiya elementi birga teng bo'lgan birinchi Iordaniya konvertatsiyasining natijalari 4, 5, 6-satrlarda. (-1) ga teng bo'lgan hal qiluvchi element bilan ikkinchi Iordaniya konvertatsiyasining natijalari 7, 8, 9-satrlarda berilgan. Uchinchi tenglama ahamiyatsiz bo'lgani uchun uni ko'rib chiqish mumkin.

Sizning maxfiyligingiz biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik siyosatimizni o'qing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki u bilan bog'lanish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.

Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni to'playmiz:

• Saytda so'rov qoldirganingizda, biz turli xil ma'lumotlarni, jumladan ismingiz, telefon raqamingiz, elektron pochta manzilingiz va hokazolarni to'plashimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

• Biz to'playdigan shaxsiy ma'lumotlar bizga siz bilan bog'lanish va noyob takliflar, reklama aktsiyalari va boshqa tadbirlar va bo'lajak voqealar haqida xabar berish imkonini beradi.
• Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim bildirishnomalar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
• Shuningdek, biz shaxsiy ma'lumotlardan biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish maqsadida auditlar, ma'lumotlarni tahlil qilish va turli tadqiqotlar o'tkazish kabi ichki maqsadlarda foydalanishimiz mumkin.
• Agar siz sovrinlar o'yinida, tanlovda yoki shunga o'xshash reklama tadbirida ishtirok etsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.

Ma'lumotni uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Biz sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.

Istisnolar:

• Agar kerak bo'lsa - qonunga muvofiq, sud qaroriga binoan, sud muhokamasida va / yoki Rossiya Federatsiyasi hududidagi davlat organlarining so'rovlari yoki so'rovlari asosida shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qiling. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa ijtimoiy ahamiyatga ega sabablarga ko'ra zarur yoki mos ekanligini aniqlasak.
• Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli uchinchi shaxsga - huquqiy vorisga topshirishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va suiiste'mol qilish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.

Shaxsiy hayotingizni kompaniya darajasida hurmat qiling

Sizning shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsiz ekanligiga ishonch hosil qilish uchun biz xodimlarimizga maxfiylik va xavfsizlik qoidalarini etkazamiz va maxfiylik choralarining bajarilishini qat'iy nazorat qilamiz.

• Tizimlar m bilan chiziqli tenglamalar n noma'lum.
  Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish Bunday raqamlar to'plami ( x 1, x 2, ..., x n), tizimning har bir tenglamasiga almashtirilganda to'g'ri tenglik olinadi.
  qayerda a ij, i = 1, ..., m; j = 1,…, n- tizim koeffitsientlari;
  b i, i = 1, ..., m- bepul a'zolar;
  x j, j = 1, ..., n- noma'lum.
  Yuqoridagi tizim matritsa shaklida yozilishi mumkin: A X = B,
  
  
  
  
  qayerda ( A|B) Tizimning asosiy matritsasi hisoblanadi;
  A- kengaytirilgan tizim matritsasi;
  X- noma'lumlar ustuni;
  B- bepul a'zolar ustuni.
  Agar matritsa B null matritsa ∅ emas, u holda bu chiziqli tenglamalar tizimi bir jinsli emas deb ataladi.
  Agar matritsa B= ∅ bo'lsa, bu chiziqli tenglamalar tizimi bir jinsli deb ataladi. Bir hil tizim har doim nol (arzimas) yechimga ega: x 1 = x 2 =…, x n = 0.
  Chiziqli tenglamalarning qo'shma tizimi Yechimga ega chiziqli tenglamalar tizimi.
  Chiziqli tenglamalarning nomuvofiq tizimi Yechimsiz chiziqli tenglamalar tizimi.
  Aniq chiziqli tenglamalar sistemasi Bu yagona yechimga ega chiziqli tenglamalar tizimi.
  Chiziqli tenglamalarning noaniq sistemasi Cheksiz yechimlar to'plamiga ega chiziqli tenglamalar tizimi.
• n ta noma’lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemalari
  Agar noma'lumlar soni tenglamalar soniga teng bo'lsa, matritsa kvadrat bo'ladi. Matritsaning determinanti chiziqli tenglamalar tizimining asosiy determinanti deb ataladi va D belgisi bilan belgilanadi.
  Kramer usuli tizimlarini hal qilish uchun n bilan chiziqli tenglamalar n noma'lum.
  Kramer qoidasi.
  Agar chiziqli tenglamalar tizimining asosiy determinanti nolga teng bo'lmasa, u holda tizim izchil va aniqlangan bo'lib, yagona yechim Kramer formulalari bilan hisoblanadi:
  Bu erda D i - sistemaning asosiy determinantidan D ni almashtirish orqali olingan determinantlar. i har bir bepul aʼzo ustuniga th ustun. ...
• n ta noma’lumli m chiziqli tenglamalar sistemalari
  Kroneker - Kapelli teoremasi.
  
  
  Berilgan chiziqli tenglamalar tizimi izchil bo'lishi uchun tizim matritsasining darajasi tizimning kengaytirilgan matritsasining darajasiga teng bo'lishi zarur va etarli, chalindi (a) = chalindi (a | B).
  Agar jiringladi (A) ≠ jiringladi (A | B), keyin tizimda, albatta, hech qanday yechim yo'q.
  Agar chalindi (a) = chalindi (a | B), keyin ikkita holat mumkin:
  1) jiringladi (a) = n(noma'lumlar soniga) - yechim yagona va uni Kramer formulalari bilan olish mumkin;
  2) jiringladi (a)< n - cheksiz ko'p echimlar mavjud.
• Gauss usuli chiziqli tenglamalar tizimini yechish uchun
  
  
  Kengaytirilgan matritsa tuzamiz ( A|B) noma'lum va o'ng tomonda berilgan koeffitsientlar tizimining.
  Gauss usuli yoki noma'lumlarni yo'q qilish usuli kengaytirilgan matritsani qisqartirishdan iborat ( A|B) satrlar ustidagi elementar o'zgarishlar yordamida diagonal shaklga (yuqori uchburchak shaklga). Tenglamalar tizimiga qaytsak, barcha noma'lumlar aniqlanadi.
  Satrlar ustidagi elementar transformatsiyalar quyidagilardan iborat:
  1) ikkita qatorni almashtirish;
  2) satrni 0 dan boshqa raqamga ko'paytirish;
  3) satrga ixtiyoriy songa ko'paytirilgan boshqa qatorni qo'shish;
  4) null satrni chiqarib tashlash.
  Diagonal shaklga qisqartirilgan kengaytirilgan matritsa berilganga ekvivalent chiziqli tizimga mos keladi, uni hal qilish qiyinchilik tug'dirmaydi. ...
• Bir jinsli chiziqli tenglamalar tizimi.
  Bir hil tizim quyidagicha ko'rinadi:
  
  u matritsa tenglamasiga mos keladi A X = 0.
  1) Bir hil tizim har doim mos keladi, chunki r (A) = r (A | B), har doim nol yechim mavjud (0, 0,…, 0).
  2) Bir jinsli sistemaning nolga teng boʻlmagan yechimga ega boʻlishi uchun bu zarur va yetarli r = r (A)< n , bu D = 0 ga teng.
  3) Agar r< n , keyin ataylab D = 0, keyin erkin noma'lumlar paydo bo'ladi c 1, c 2, ..., c n-r, tizim notrivial echimlarga ega va ularning cheksiz ko'plari mavjud.
  4) Umumiy yechim X da r< n matritsa shaklida quyidagicha yozish mumkin:
  X = c 1 X 1 + c 2 X 2 +… + c n-r X n-r,
  echimlar qayerda X 1, X 2, ..., X n-r qarorlarning asosiy tizimini shakllantirish.
  5) Eritmalarning asosiy tizimini bir jinsli sistemaning umumiy yechimidan olish mumkin:
  
  ,
  agar parametr qiymatlari ketma-ket (1, 0,…, 0), (0, 1,…, 0),…, (0, 0,…, 1) deb qabul qilinsa.
  Eritmalarning fundamental tizimi nuqtai nazaridan umumiy yechimning parchalanishi Fundamental tizimga tegishli yechimlarning chiziqli birikmasi shaklidagi umumiy yechimning yozuvi.
  Teorema... Chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasi nolga teng boʻlmagan yechimga ega boʻlishi uchun D ≠ 0 boʻlishi zarur va yetarli.
  Demak, agar determinant D ≠ 0 bo'lsa, tizim yagona yechimga ega.
  Agar D ≠ 0 bo'lsa, u holda chiziqli bir jinsli tenglamalar tizimi cheksiz echimlar to'plamiga ega.
  Teorema... Bir hil tizim nolga teng bo'lmagan yechimga ega bo'lishi uchun bu zarur va etarli r (A)< n .
  Isbot:
  1) r ortiq bo'lishi mumkin emas n(matritsaning darajasi ustunlar yoki satrlar sonidan oshmaydi);
  2) r< n beri agar r = n, u holda tizimning asosiy determinanti D ≠ 0 bo'ladi va Kramer formulalariga ko'ra, noyob trivial yechim mavjud. x 1 = x 2 =… = x n = 0, bu shartga zid keladi. Ma'nosi, r (A)< n .
  Natija... Bir hil tizim bo'lishi uchun n bilan chiziqli tenglamalar n noma'lumlar nolga teng bo'lmagan yechimga ega, bu D = 0 bo'lishi zarur va etarli.

Yechim... A = ... r (A) ni toping. Chunki matritsa Va 3x4 tartibiga ega, keyin voyaga etmaganlarning eng yuqori tartibi 3. Bu holda, uchinchi tartibdagi barcha voyaga etmaganlar nolga teng (o'zingiz tekshiring). vositalari, r (A)< 3. Возьмем главный asosiy kichik = -5-4 = -9 ≠ 0. Demak, r (A) = 2.

O'ylab ko'ring matritsa BILAN = .

Uchinchidan kichik buyurtma ≠ 0. Demak, r (C) = 3.

r (A) dan beri ≠ r (C), keyin tizim mos kelmaydi.

2-misol. Tenglamalar sistemasining izchilligini aniqlang

Agar u qo'shma bo'lib chiqsa, ushbu tizimni hal qiling.

Yechim.

A =, C = ... Shubhasiz, r (A) ≤ 3, r (C) ≤ 4. DetC = 0 ekan, u holda r (C)< 4. O'ylab ko'ring kichik uchinchi buyurtma A va C matritsasining yuqori chap burchagida joylashgan: = -23 ≠ 0. Demak, r (A) = r (C) = 3.

Raqam noma'lum tizimda n = 3... Bu tizim o'ziga xos yechimga ega ekanligini anglatadi. Bunday holda, to'rtinchi tenglama birinchi uchtasining yig'indisini ifodalaydi va uni e'tiborsiz qoldirish mumkin.

Kramer formulalariga ko'ra biz x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23 ni olamiz.

2.4. Matritsa usuli. Gauss usuli

Tizim n chiziqli tenglamalar bilan n noma'lumlarni hal qilish mumkin matritsa usuli formula bo'yicha X = A -1 B (D da ≠ 0), bu (2) dan ikkala qismni A -1 ga ko'paytirish orqali olinadi.

1-misol. Tenglamalar sistemasini yeching

matritsa usuli (2.2-bo'limda bu tizim Kramer formulalari bilan echilgan)

Yechim... D = 10 ≠ 0 A = degeneratsiyalanmagan matritsa.

= (kerakli hisob-kitoblarni amalga oshirib, bunga o'zingiz ishonch hosil qiling).

A -1 = (1 / D) x = .

X = A -1 B = x =.

Javob: .

Amaliy nuqtai nazardan matritsalar usuli va formulalari Kramer hisoblash intensivdir, shuning uchun afzallik beriladi Gauss usuli, bu noma'lumlarni ketma-ket yo'q qilishdan iborat. Buning uchun tenglamalar tizimi uchburchak kengaytirilgan matritsaga ega ekvivalent tizimga keltiriladi (asosiy diagonaldan pastdagi barcha elementlar nolga teng). Bunday harakatlar to'g'ridan-to'g'ri harakatlar deb ataladi. Olingan uchburchak sistemadan o'zgaruvchilar ketma-ket almashtirishlar (orqaga harakat) yordamida topiladi.

2-misol... Gauss usulidan foydalanib, tizimni yeching

(Ushbu tizimning yuqorisida Kramer formulasi va matritsa usuli bilan echilgan).

Yechim.

To'g'ridan-to'g'ri kurs. Biz kengaytirilgan matritsani yozamiz va elementar o'zgarishlardan foydalanib, uni uchburchak shaklga keltiramiz:

~ ~ ~ ~ .

olamiz tizim

Teskari harakat. Oxirgi tenglamadan biz topamiz NS 3 = -6 va bu qiymatni ikkinchi tenglamaga kiriting:

NS 2 = - 11/2 - 1/4NS 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

NS 1 = 2 -NS 2 + NS 3 = 2+4-6 = 0.

Javob: .

2.5. Chiziqli tenglamalar sistemasining umumiy yechimi

Chiziqli tenglamalar sistemasi berilsin = b i(i=). r (A) = r (C) = r bo'lsin, ya'ni. tizim umumiydir. r ning noldan boshqa har qanday minori hisoblanadi asosiy kichik. Umumiylikni yo'qotmasdan, biz asosiy minor A matritsasining birinchi r (1 ≤ r ≤ min (m, n)) satr va ustunlarida joylashgan deb faraz qilamiz. Tizimning oxirgi mr tenglamalaridan voz kechib, biz quyidagini yozamiz: kesilgan tizim:

bu asl nusxaga teng. Keling, noma'lumlarni chaqiraylik x 1, ... .x r asosiy, va x r +1, ..., x r bepul va erkin noma'lumlarni o'z ichiga olgan shartlarni kesilgan tizim tenglamalarining o'ng tomoniga o'tkazing. Biz asosiy noma'lumlarga nisbatan tizimni olamiz:

erkin noma'lumlarning har bir qiymatlari to'plami uchun x r +1 = S 1, ..., x n = S n-r yagona yechimga ega x 1 (S 1, ..., S n-r), ..., x r (S 1, ..., S n-r), Kramer qoidasi bilan topilgan.

Tegishli yechim qisqartirilgan va shuning uchun dastlabki tizim quyidagi shaklga ega:

X (C 1, ..., C n-r) = - tizimning umumiy yechimi.

Agar biz umumiy yechimdagi erkin noma'lumlarga ba'zi sonli qiymatlarni bersak, u holda chiziqli tizimning xususiy deb ataladigan yechimini olamiz.

Misol... Moslikni o'rnating va tizimga umumiy yechim toping

Yechim... A = , C = .

Shunday qilib Qanaqasiga r (A)= r (C) = 2 (o'zingizga qarang), u holda asl tizim mos keladi va cheksiz ko'p echimlarga ega (chunki r< 4).

Gauss usulining bir qator kamchiliklari bor: Gauss usulida zarur bo'lgan barcha transformatsiyalar amalga oshirilmaguncha, tizim mos keladimi yoki yo'qligini bilish mumkin emas; Gauss usuli harf koeffitsientli tizimlar uchun mos emas.

Chiziqli tenglamalar tizimini yechishning boshqa usullarini ko'rib chiqing. Bu usullar matritsaning rank tushunchasidan foydalanadi va har qanday qo'shma tizimning yechimini Kramer qoidasi qo'llaniladigan tizimning yechimiga qisqartiradi.

1-misol. Kiritilgan bir jinsli sistemaning asosiy yechimlar sistemasi va bir jinsli sistemaning alohida yechimidan foydalanib, quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasining umumiy yechimini toping.

1. Matritsani tuzish A va kengaytirilgan tizim matritsasi (1)

2. Tizimni ko'rib chiqing (1) muvofiqlik uchun. Buning uchun matritsalarning darajalarini topamiz A va https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif "width =" 17 "height =" 26 src = ">). Agar shunday bo'lsa, tizim (1) mos kelmaydigan. Agar buni olsak , keyin bu tizim mos keladi va biz uni hal qilamiz. (Mutaxassislikni o'rganish Kronecker-Kapelli teoremasiga asoslanadi.)

a. topamiz rA.

Topmoq rA, biz matritsaning birinchi, ikkinchi va hokazo tartiblarining nolga teng bo'lmagan minorlarini ketma-ket ko'rib chiqamiz. A va ular bilan chegaradosh voyaga etmaganlar.

M1= 1 ≠ 0 (1 matritsaning yuqori chap burchagidan olingan A).

Chegara M1 ushbu matritsaning ikkinchi qatori va ikkinchi ustuni. ... Biz chegarani davom ettiramiz M1 ikkinchi qator va uchinchi ustun..gif "width =" 37 "height =" 20 src = ">. Endi biz nolga teng bo'lmagan minorni chegaralaymiz. M2 ′ ikkinchi tartib.

Bizda ... bor: (birinchi ikkita ustun bir xil bo'lgani uchun)

(chunki ikkinchi va uchinchi qatorlar proportsionaldir).

Biz buni ko'ramiz rA = 2, a matritsaning asosiy minoridir A.

b. topamiz.

Yetarlicha asosiy M2 ′ matritsalar A bepul a'zolar ustuni va barcha satrlar bilan chegaralang (bizda faqat oxirgi qator mavjud).

... Demak, bundan kelib chiqadi M3 ′ ′ matritsaning asosiy minori bo'lib qoladi https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif "kenglik =" 168 balandlik = 75 "balandlik =" 75 "> (2)

Chunki M2 ′- matritsaning asosiy minori A tizimlari (2) , keyin bu tizim tizimga teng (3) tizimning dastlabki ikkita tenglamasidan iborat (2) (uchun M2 ′ A matritsasining birinchi ikki qatorida joylashgan).

(3)

Asosiy kichik https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif "kengligi =" 153 "balandligi =" 51 "> (4)

Ushbu tizimda ikkita bepul noma'lum ( x2 va x4 ). Shunung uchun FSR tizimlari (4) ikkita yechimdan iborat. Ularni topish uchun bepul noma'lumlarni qo'shamiz (4) birinchi navbatda qadriyatlar x2 = 1 , x4 = 0 , undan keyin - x2 = 0 , x4 = 1 .

Da x2 = 1 , x4 = 0 olamiz:

.

Bu tizim allaqachon mavjud yagona narsa yechim (uni Kramer qoidasi yoki boshqa yo'l bilan topish mumkin). Ikkinchi tenglamadan birinchisini ayirib, biz quyidagilarni olamiz:

Uning yechimi bo'ladi x1 = -1 , x3 = 0 ... Qadriyatlarni hisobga olgan holda x2 va x4 biz bergan, biz tizimning birinchi fundamental yechimini olamiz (2) : .

Endi biz kiritamiz (4) x2 = 0 , x4 = 1 ... Biz olamiz:

.

Ushbu tizimni Kramer teoremasi bo'yicha echamiz:

.

Biz tizimning ikkinchi asosiy yechimini olamiz (2) : .

Yechimlar b1 , b2 va bo'yanish FSR tizimlari (2) ... Keyin uning umumiy yechimi bo'ladi

γ= C1 b1 + C2b2 = C1 (‑1, 1, 0, 0) + C2 (5, 0, 4, 1) = (- C1 + 5C2, C1, 4C2, C2)

Bu yerda C1 , C2 - ixtiyoriy konstantalar.

4. Birini toping xususiy yechim heterojen tizim(1) ... Paragrafda bo'lgani kabi 3 , tizim o'rniga (1) ekvivalent tizimni ko'rib chiqing (5) tizimning dastlabki ikkita tenglamasidan iborat (1) .

(5)

Erkin noma'lumlarni o'ng tomonga o'tkazing x2 va x4.

(6)

Keling, noma'lum narsalarni bepul beraylik x2 va x4 ixtiyoriy qiymatlar, masalan x2 = 2 , x4 = 1 va ularni o'rniga qo'ying (6) ... Biz tizimni olamiz

Ushbu tizim o'ziga xos echimga ega (chunki uning determinanti M2′0). Uni yechish (Kramer teoremasi yoki Gauss usuli bilan) olamiz x1 = 3 , x3 = 3 ... Erkin noma'lum qiymatlarni hisobga olgan holda x2 va x4 , olamiz geterogen sistemaning maxsus yechimi(1)a1 = (3,2,3,1).

5. Endi yozib olish qoladi umumiy yechim a bir hil bo'lmagan sistema(1) : summaga teng shaxsiy yechim bu tizim va uning qisqartirilgan bir jinsli tizimining umumiy yechimi (2) :

a = a1 + g = (3, 2, 3, 1) + (- C1 + 5C2, C1, 4C2, C2).

Bu degani: (7)

6. Imtihon. Tizimni to'g'ri hal qilganingizni tekshirish uchun (1) , bizga umumiy yechim kerak (7) ichida almashtiring (1) ... Agar har bir tenglama identifikatsiyaga aylansa ( C1 va C2 yo'q qilinishi kerak), keyin yechim to'g'ri topiladi.

Biz almashtiramiz (7) masalan, tizimning faqat oxirgi tenglamasi (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Biz olamiz: (3 – S1 + 5S2) + (2 + S1) + (3 + 4C2) –9 (1 + S2) = - 1

(C1 – C1) + (5C2 + 4C2–9C2) + (3 + 2 + 3–9) = - 1

Qaerdan -1 = -1. Biz shaxsni oldik. Biz buni tizimning barcha boshqa tenglamalari bilan qilamiz (1) .

Izoh. Tekshirish odatda juda og'ir. Quyidagi "qisman tekshirish" tavsiya etilishi mumkin: tizimning umumiy yechimida (1) ixtiyoriy konstantalarga ba'zi qiymatlarni belgilash va olingan ma'lum bir yechimni faqat bekor qilingan tenglamalarga (ya'ni, o'sha tenglamalarga) almashtirish. (1) tarkibiga kirmaganlar (5) ). Agar siz shaxsiy ma'lumotlarni olsangiz, ehtimoldan xoli emas, tizimli yechim (1) to'g'ri topilgan (lekin bunday tekshirish to'g'riligiga to'liq kafolat bermaydi!). Masalan, agar ichida (7) qo'yish C2 =- 1 , C1 = 1, u holda biz quyidagilarni olamiz: x1 = -3, x2 = 3, x3 = -1, x4 = 0. (1) tizimning oxirgi tenglamasini almashtirsak, biz quyidagilarga ega bo'lamiz: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , ya'ni -1 = -1. Biz shaxsni oldik.

2-misol. Chiziqli tenglamalar sistemasining umumiy yechimini toping (1) , asosiy noma'lumlarni erkinlar bilan ifodalash.

Yechim. In misol 1, matritsalar tuzing A va https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif "width =" 156 "height =" 50 "> bu matritsalardan. Endi biz tizimning faqat o'sha tenglamalarini qoldiramiz. (1) , koeffitsientlari ushbu asosiy minorga kiritilgan (ya'ni, bizda birinchi ikkita tenglama mavjud) va ulardan tashkil topgan tizimni (1) ga teng bo'lgan tizimni ko'rib chiqing.

Erkin noma'lumlarni bu tenglamalarning o'ng tomoniga o'tkazamiz.

Tizim (9) o'ng tomonlarini erkin shartlar deb hisoblab, Gauss usuli bilan yechamiz.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif "kengligi =" 202 balandligi = 106 "balandligi =" 106">

Variant 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif "kenglik =" 192 "balandlik =" 106 src = ">

Variant 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif "kenglik =" 172 "balandlik =" 80 ">

Variant 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif "kenglik =" 179 balandlik = 106 "balandlik =" 106 ">

Variant 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif "kenglik =" 195 "balandlik =" 106 ">