Y o'qi bo'yicha proyeksiyani qanday aniqlash mumkin. Kuchning o'qga proyeksiyasi

§ 3. Koordinata o'qlaridagi vektor proyeksiyalari

1. Geometrik usulda proyeksiyalarni topish.

Vektor
- vektorning o'qga proyeksiyasi OX
- vektorning o'qga proyeksiyasi OY

Ta'rif 1. Vektor proyeksiyasi har qanday koordinata o'qida vektorning boshidan va oxiridan koordinata o'qiga tushirilgan perpendikulyarlar asoslari orasida joylashgan segment uzunligiga mos keladigan "ortiqcha" yoki "minus" belgisi bilan olingan raqam deyiladi.

Proyeksiya belgisi quyidagicha aniqlanadi. Agar koordinata o'qi bo'ylab harakatlanayotganda vektor boshining proyeksiya nuqtasidan vektor oxirining proyeksiya nuqtasiga o'qning musbat yo'nalishi bo'yicha harakat bo'lsa, u holda vektorning proyeksiyasi musbat hisoblanadi. . Agar - o'qga qarama-qarshi bo'lsa, u holda proyeksiya salbiy hisoblanadi.

Rasmdan ko'rinib turibdiki, agar vektor qandaydir tarzda koordinata o'qiga qarama-qarshi yo'naltirilgan bo'lsa, uning bu o'qdagi proyeksiyasi manfiy bo'ladi. Agar vektor qandaydir tarzda koordinata o'qining musbat yo'nalishiga yo'naltirilgan bo'lsa, uning bu o'qdagi proyeksiyasi ijobiy bo'ladi.

Agar vektor koordinata o'qiga perpendikulyar bo'lsa, uning bu o'qdagi proyeksiyasi nolga teng.
Agar vektor o'q bilan birgalikda yo'naltirilgan bo'lsa, uning bu o'qga proyeksiyasi vektor moduliga teng bo'ladi.
Agar vektor koordinata o'qiga qarama-qarshi bo'lsa, u holda uning bu o'qdagi proyeksiyasi mutlaq qiymatida minus belgisi bilan olingan vektor moduliga teng bo'ladi.

2. Proyeksiyaning eng umumiy ta'rifi.

To'g'ri uchburchakdan ABD: .

Ta'rif 2. Vektor proyeksiyasi har qanday koordinata o'qida vektor moduli va koordinata o'qining musbat yo'nalishi bo'lgan vektor tomonidan hosil qilingan burchak kosinusining mahsulotiga teng son deyiladi.

Proyeksiyaning belgisi o'qning musbat yo'nalishi bo'lgan vektor tomonidan hosil qilingan burchakning kosinusining belgisi bilan aniqlanadi.
Agar burchak o'tkir bo'lsa, u holda kosinus ijobiy belgiga ega va proyeksiyalar ijobiydir. O'tkir burchaklar uchun kosinus manfiy belgiga ega, shuning uchun bunday hollarda o'qga proyeksiyalar manfiy bo'ladi.
- shuning uchun o'qga perpendikulyar vektorlar uchun proyeksiya nolga teng.

Ta'rif 1. Tekislikda A nuqtaning l o'qiga parallel proyeksiyasi nuqta - l o'qining A nuqta orqali o'tkazilgan to'g'ri chiziq bilan kesishish nuqtasi proyeksiya yo'nalishini belgilaydigan vektorga parallel.

Ta'rif 2. Vektorning l o'qiga parallel proyeksiyasi (vektor bo'yicha) vektorning bazisga nisbatan koordinatasi. l o'qi, bu erda nuqtalar va nuqtalar mos ravishda A va B nuqtalarning l o'qiga parallel proyeksiyalaridir (1-rasm).

Ta'rifga ko'ra, bizda bor

Ta'rif 3. agar va l o'qining asosi kartezian, ya'ni vektorning l o'qiga proyeksiyasi ortogonal deyiladi (2-rasm).

Fazoda vektorning o'qqa proyeksiyasining 2-ta'rifi o'z kuchini saqlab qoladi, faqat proyeksiya yo'nalishi ikkita kollinear bo'lmagan vektor tomonidan berilgan (3-rasm).

Vektorning o'qga proyeksiyasining ta'rifidan kelib chiqadiki, vektorning har bir koordinatasi bu vektorning mos keladigan bazis vektori bilan aniqlangan o'qga proyeksiyasidir. Bunday holda, dizayn yo'nalishi, agar dizayn kosmosda amalga oshirilsa (ko'rib chiqilsa) boshqa ikkita bazis vektor bilan yoki dizayn tekislikda ko'rib chiqilsa, boshqa bazis vektor bilan belgilanadi (4-rasm).

Teorema 1. Vektorning l o'qiga ortogonal proyeksiyasi vektor moduli va l o'qining musbat yo'nalishi orasidagi burchak kosinusining ko'paytmasiga teng va, ya'ni.

Boshqa tomondan

Biz topamiz

AC ni tenglikka (2) almashtirib, biz hosil qilamiz

Raqamlardan beri x va ikkala ko'rib chiqilgan holatda ham bir xil belgi ((5-rasm, a) ; (5-rasm, b) , keyin tenglik (4) nazarda tutiladi.

Izoh. Kelajakda biz vektorning o'qga faqat ortogonal proyeksiyasini ko'rib chiqamiz va shuning uchun yozuvdagi "orth" (ortogonal) so'zi olib tashlanadi.

Kelajakda muammolarni yechishda foydalaniladigan bir qancha formulalarni taqdim etamiz.

a) vektorning o'qga proyeksiyasi.

Agar, u holda (5) formula bo'yicha vektorga ortogonal proyeksiya ko'rinishga ega bo'ladi

c) nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa.

Oddiy vektorli b berilgan tekislik, M nuqta berilgan,

d - M nuqtadan b tekislikgacha bo'lgan masofa (6-rasm).

Agar N b tekislikning ixtiyoriy nuqtasi bo'lsa va M va N nuqtalarning o'qga proyeksiyalari bo'lsa, u holda

• G) Kesishuvchi chiziqlar orasidagi masofa.

a va b kesishuvchi to‘g‘rilar berilgan bo‘lsin, ularga perpendikulyar vektor bo‘lsin, A va B mos ravishda a va b to‘g‘rilarning ixtiyoriy nuqtalari (7-rasm), A va B nuqtalarning proyeksiyalari bo‘lsin, keyin

e) nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa.

Mayli l- yo'nalish vektori bilan berilgan chiziq, M - berilgan nuqta,

N - uning chiziqqa proyeksiyasi l, keyin - kerakli masofa (8-rasm).

Agar A chiziqning ixtiyoriy nuqtasi bo'lsa l, keyin MNA to'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuza MA va oyoqlarini topish mumkin. Ma'nosi,

e) Chiziq va tekislik orasidagi burchak.

Berilgan chiziqning yo'nalish vektori bo'lsin l, - berilgan tekislikning normal vektori b, - to'g'ri chiziqning proyeksiyasi l b tekisligiga (9-rasm).

Ma'lumki, chiziq orasidagi burchak q l va uning b tekislikka proyeksiyasi chiziq bilan tekislik orasidagi burchak deyiladi. Bizda ... bor

Metrik masalalarni vektor-koordinata usulida yechishga misollar keltiramiz.

Ikki vektor va fazoda berilgan bo'lsin. Ixtiyoriy nuqtadan chetga surib qo'ying O vektorlar va . burchak vektorlar orasidagi va burchaklarning eng kichiki deyiladi. Belgilangan .

O'qni ko'rib chiqing l va unga birlik vektorini (ya'ni uzunligi birga teng vektor) chizamiz.

Vektor va eksa orasidagi burchak l va vektorlar orasidagi burchakni tushunish.

Shunday bo'lsin l qandaydir o'q va vektordir.

tomonidan belgilang A 1 va B1 eksa ustidagi proyeksiyalar l ball A va B. Keling, shunday da'vo qilaylik A 1 koordinatasiga ega x 1, a B1- muvofiqlashtirish x2 aks ustida l.

Keyin proyeksiya eksa boshiga vektor l farq deyiladi x 1 – x2 vektorning oxiri va boshi proyeksiyalarining koordinatalari o'rtasida bu o'qga.

Vektorning o'qga proyeksiyasi l belgilaymiz.

Vektor va eksa orasidagi burchak bo'lsa, aniq l keyin keskin x2> x 1, va proyeksiya x2 – x 1> 0; agar bu burchak to'g'ri bo'lsa, u holda x2< x 1 va proyeksiya x2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, keyin x2= x 1 va x2– x 1=0.

Shunday qilib, vektorning o'qga proyeksiyasi l segment uzunligi hisoblanadi A 1 B 1 ma'lum bir belgi bilan olingan. Shuning uchun vektorning o'qga proyeksiyasi son yoki skalerdir.

Bir vektorning boshqasiga proyeksiyasi ham xuddi shunday aniqlanadi. Bunda bu vektor uchlarining proyeksiyalari 2-vektor yotadigan chiziqda topiladi.

Keling, ba'zi asosiylarini ko'rib chiqaylik proyeksiya xususiyatlari.

VEKTORLARNING CHIZIQLI BOG'LI VA CHIZIQLI MUSTAQIL TIZIMLARI.

Keling, bir nechta vektorlarni ko'rib chiqaylik.

Chiziqli birikma bu vektorlarning har qanday vektori shaklning istalgan vektoridir, bu erda ba'zi raqamlar. Raqamlar chiziqli birikmaning koeffitsientlari deb ataladi. Shuningdek, bu holatda berilgan vektorlar bo'yicha chiziqli ifodalanganligi aytiladi, ya'ni. ulardan chiziqli amallar orqali olinadi.

Masalan, agar uchta vektor berilgan bo'lsa, vektorlar ularning chiziqli birikmasi sifatida ko'rib chiqilishi mumkin:

Agar vektor ba'zi vektorlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalansa, u holda deyiladi parchalangan bu vektorlar bo'ylab.

Vektorlar deyiladi chiziqli bog'liq, agar bunday raqamlar mavjud bo'lsa, hammasi nolga teng emas, bu . Ko'rinib turibdiki, berilgan vektorlar chiziqli bog'liq bo'ladi, agar bu vektorlardan birortasi boshqalari bilan chiziqli ifodalangan bo'lsa.

Aks holda, ya'ni. nisbat qachon faqat qachon amalga oshiriladi , bu vektorlar deyiladi chiziqli mustaqil.

Teorema 1. Har qanday ikkita vektor, agar ular kollinear bo'lsa, chiziqli bog'liqdir.

Isbot:

Quyidagi teorema ham xuddi shunday isbotlanishi mumkin.

Teorema 2. Uch vektor chiziqli bog'liq bo'ladi, agar ular koplanar bo'lsa.

Isbot.

ASOS

Asos nolga teng bo'lmagan chiziqli mustaqil vektorlar to'plamidir. Bazis elementlari bilan belgilanadi.

Oldingi bo'limda biz tekislikdagi ikkita kollinear bo'lmagan vektor chiziqli mustaqil ekanligini ko'rdik. Shuning uchun, oldingi banddagi 1-teoremaga ko'ra, tekislikdagi asos bu tekislikdagi har qanday ikkita kollinear bo'lmagan vektordir.

Xuddi shunday, har qanday uchta koplanar bo'lmagan vektor fazoda chiziqli mustaqildir. SHuning uchun fazoda uchta nokomplanar vektor bazis deb ataladi.

Quyidagi tasdiq haqiqatdir.

Teorema. Kosmosda asos berilsin. U holda har qanday vektor chiziqli birikma sifatida ifodalanishi mumkin , qayerda x, y, z- ba'zi raqamlar. Bunday parchalanish o'ziga xosdir.

Isbot.

Shunday qilib, bazis sizga har bir vektorni uchlik sonlar bilan bir xil tarzda bog'lash imkonini beradi - bu vektorning asos vektorlari bo'yicha kengayish koeffitsientlari: . Buning aksi ham to'g'ri, raqamlarning har bir uchligi x, y, z asosdan foydalanib, agar siz chiziqli kombinatsiyani qilsangiz, vektorga mos kelishingiz mumkin .

Agar asos va , keyin raqamlar x, y, z chaqirdi koordinatalar berilgan asosdagi vektorlar. Vektor koordinatalari ni bildiradi.

KARTEZIY KOORDINATLAR TIZIMI

Kosmosda nuqta berilgan bo'lsin O va uchta koplanar bo'lmagan vektor.

Dekart koordinata tizimi fazoda (tekislikda) nuqta va asosning to'plami deb ataladi, ya'ni. nuqta to'plami va shu nuqtadan chiqadigan uchta tekis bo'lmagan vektorlar (2 ta kollinear bo'lmagan vektor).

Nuqta O kelib chiqishi deb ataladi; koordinata o'qlari - abscissa, ordinata va qo'llaniladigan o'qlar yo'nalishi bo'yicha koordinata o'qlari koordinata o'qlari deb ataladi. Koordinata o'qlaridan o'tuvchi tekisliklar koordinata tekisliklari deyiladi.

Tanlangan koordinatalar tizimidagi ixtiyoriy nuqtani ko'rib chiqing M. Nuqta koordinatasi tushunchasini kiritamiz M. Koordinatani nuqta bilan bog'laydigan vektor M. chaqirdi radius vektori ball M.

Tanlangan asosdagi vektor uchlik sonlar bilan bog'lanishi mumkin - uning koordinatalari: .

Nuqta radiusi vektor koordinatalari M. chaqirdi M nuqtaning koordinatalari. ko'rib chiqilayotgan koordinatalar tizimida. M(x,y,z). Birinchi koordinata abscissa, ikkinchisi ordinata, uchinchisi applikatsiya deb ataladi.

Tekislikdagi Dekart koordinatalari ham xuddi shunday aniqlanadi. Bu erda nuqta faqat ikkita koordinataga ega - abscissa va ordinata.

Ko'rinib turibdiki, berilgan koordinatalar tizimi uchun har bir nuqta ma'lum koordinatalarga ega. Boshqa tomondan, raqamlarning har bir uchligi uchun koordinatalar sifatida ushbu raqamlarga ega bo'lgan bitta nuqta mavjud.

Agar tanlangan koordinatalar sistemasida asos qilib olingan vektorlar birlik uzunlikka ega bo‘lsa va juft perpendikulyar bo‘lsa, u holda koordinatalar sistemasi deyiladi. Dekart to'rtburchaklar.

Buni ko'rsatish oson.

Vektorning yo'nalish kosinuslari uning yo'nalishini to'liq aniqlaydi, lekin uning uzunligi haqida hech narsa aytmaydi.

Algebraik vektor proyeksiyasi har qanday o'qda vektor uzunligi va eksa va vektor orasidagi burchak kosinusining mahsulotiga teng:

To'g'ri a b = |b|cos(a,b) yoki

Bu yerda a b vektorlarning skalyar mahsuloti, |a| - a vektorining moduli.

Ko'rsatma. Pp a b vektorining proyeksiyasini onlayn topish uchun a va b vektorlarining koordinatalarini ko'rsatish kerak. Bunda vektor tekislikda (ikki koordinata) va fazoda (uch koordinata) berilishi mumkin. Olingan yechim Word faylida saqlanadi. Agar vektorlar nuqtalarning koordinatalari orqali berilgan bo'lsa, unda siz ushbu kalkulyatordan foydalanishingiz kerak.

Vektor proyeksiyalarining tasnifi

Ta'rifi bo'yicha proyeksiyalar turlari vektor proyeksiyasi

1. AB vektorining o'qqa (vektor) geometrik proyeksiyasi A"B vektori deb ataladi, uning boshi A' - A boshining o'qqa (vektor), oxiri B' proyeksiyasi. uchidan B bir xil o'qga.
2. AB vektorining o'qga (vektor) algebraik proyeksiyasi A"B" vektorining o'qi bilan bir xil yo'nalishga ega bo'lishiga qarab + yoki - belgisi bilan olingan A"B" vektorining uzunligi deb ataladi ( vektor).

Koordinatalar tizimi bo'yicha proyeksiyalar turlari

Vektor proyeksiyasining xossalari

1. Vektorning geometrik proyeksiyasi vektor (uning yo'nalishi bor).
2. Vektorning algebraik proyeksiyasi sondir.

Vektor proyeksiyasi teoremalari

Teorema 1. Har qanday o'qdagi vektorlar yig'indisining proyeksiyasi bir xil o'qdagi vektorlar hadlarining proyeksiyasiga teng.

AC"=AB"+B"C"

Teorema 2. Vektorning har qanday o'qqa algebraik proyeksiyasi vektor uzunligi va eksa va vektor orasidagi burchak kosinusining ko'paytmasiga teng:

Pr a b = |b| cos(a,b)

Vektor proyeksiyalarining turlari

1. OX o'qiga proyeksiya qilish.
2. OY o'qiga proyeksiya qilish.
3. vektorga proyeksiya qilish.

OX o'qiga proyeksiya	OY o'qiga proyeksiya	Vektorga proyeksiya
Agar A'B' vektorining yo'nalishi OX o'qi yo'nalishiga to'g'ri kelsa, u holda A'B' vektorining proyeksiyasi ijobiy belgiga ega bo'ladi.	Agar A'B' vektorining yo'nalishi OY o'qi yo'nalishiga to'g'ri kelsa, u holda A'B' vektorining proyeksiyasi musbat ishoraga ega bo'ladi.	Agar A'B' vektorning yo'nalishi NM vektorining yo'nalishiga to'g'ri kelsa, u holda A'B' vektorining proyeksiyasi ijobiy belgiga ega bo'ladi.
Agar vektor yo'nalishi OX o'qi yo'nalishiga qarama-qarshi bo'lsa, u holda A'B' vektorining proyeksiyasi manfiy ishoraga ega bo'ladi.	Agar A'B' vektorining yo'nalishi OY o'qi yo'nalishiga qarama-qarshi bo'lsa, u holda A'B' vektorining proyeksiyasi manfiy ishoraga ega.	Agar A'B' vektorning yo'nalishi NM vektor yo'nalishiga qarama-qarshi bo'lsa, u holda A'B' vektorining proyeksiyasi manfiy ishoraga ega.
Agar AB vektori OX o'qiga parallel bo'lsa, u holda A'B' vektorning proyeksiyasi AB vektorining moduliga teng bo'ladi.	Agar AB vektori OY o'qiga parallel bo'lsa, u holda A'B' vektorning proyeksiyasi AB vektorining moduliga teng bo'ladi.	Agar AB vektori NM vektoriga parallel bo'lsa, A'B' vektorning proyeksiyasi AB vektorining moduliga teng bo'ladi.
Agar AB vektori OX oʻqiga perpendikulyar boʻlsa, u holda A'B' proyeksiyasi nolga teng (nol-vektor).	Agar AB vektori OY o'qiga perpendikulyar bo'lsa, u holda A'B' ning proyeksiyasi nolga teng (nol vektor).	Agar AB vektori NM vektorga perpendikulyar bo'lsa, u holda A'B' ning proyeksiyasi nolga teng (nol vektor).

1. Savol: Vektorning proyeksiyasi manfiy ishoraga ega bo'lishi mumkinmi? Javob: Ha, vektor proyeksiyalari manfiy bo'lishi mumkin. Bunday holda, vektor qarama-qarshi yo'nalishga ega (OX o'qi va AB vektori qanday yo'naltirilganligini ko'ring)
2. Savol: Vektorning proyeksiyasi vektorning moduli bilan mos kelishi mumkinmi? Javob: Ha, mumkin. Bu holda vektorlar parallel (yoki bir xil chiziqda yotadi).
3. Savol: Vektorning proyeksiyasi nolga teng bo'lishi mumkinmi (nol-vektor). Javob: Ha, mumkin. Bunday holda vektor mos keladigan o'qga (vektor) perpendikulyar bo'ladi.

1-misol. Vektor (1-rasm) OX o'qi bilan 60 o burchak hosil qiladi (u a vektor bilan berilgan). Agar OE masshtab birligi bo'lsa, u holda |b|=4, shuning uchun .

Haqiqatan ham vektorning uzunligi (geometrik proyeksiya b) 2 ga teng va yo'nalish OX o'qi yo'nalishiga to'g'ri keladi.

2-misol. Vektor (2-rasm) OX o'qi bilan burchak hosil qiladi (a vektor bilan) (a,b) = 120 o . Uzunlik |b| b vektor 4 ga teng, shuning uchun pr a b=4 cos120 o = -2.

Darhaqiqat, vektorning uzunligi 2 ga teng, yo'nalish esa o'qning yo'nalishiga qarama-qarshidir.

Ushbu maqolada vektorning o'qga proyeksiyasi bilan shug'ullanamiz va vektorning sonli proyeksiyasini qanday topishni o'rganamiz. Birinchidan, vektorning o'qga proyeksiyasining ta'rifini beramiz, yozuvni kiritamiz, shuningdek, grafik tasvirni beramiz. Shundan so'ng biz vektorning o'qga sonli proyeksiyasining ta'rifini aytamiz, uni topish yo'llarini ko'rib chiqamiz va vektorning o'qga sonli proyeksiyasini topish talab qilinadigan bir nechta misollarning echimlarini ko'rsatamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Vektorning o'qga proyeksiyasi - ta'rifi, belgilanishi, rasmlari, misoli.

Umumiy ma'lumotlardan boshlaylik.

O'q - bu yo'nalish ko'rsatilgan to'g'ri chiziq. Shunday qilib, vektorning o'qga proyeksiyasi va vektorning yo'naltirilgan chiziqqa proyeksiyasi bir xildir.

Vektorning o'qga proyeksiyasini ikki ma'noda ko'rib chiqish mumkin: geometrik va algebraik. Geometrik ma'noda vektorning o'qqa proyeksiyasi vektor, algebraik ma'noda esa sondir. Ko'pincha bu farq aniq emas, balki kontekstdan tushuniladi. Biz bu farqni e'tiborsiz qoldirmaymiz: vektorning geometrik ma'noda proyeksiyasi haqida gap ketganda "" atamasidan, algebraik ma'nodagi vektorning proyeksiyasi haqida gap ketganda "" atamasidan foydalanamiz (keyingi paragraf). Ushbu maqola vektorning o'qga sonli proyeksiyasiga bag'ishlangan).

Endi vektorning o'qdagi proyeksiyasining ta'rifiga murojaat qilamiz. Buning uchun takrorlash zarar qilmaydi.

Tekislikda yoki uch o'lchamli fazoda bizga L o'qi va nolga teng bo'lmagan vektor beriladi. A va B nuqtalarning L chiziqqa proyeksiyalarini mos ravishda A 1 va B 1 deb belgilaymiz va vektor quramiz. Oldinga qarab, vektor vektorning L o'qiga proyeksiyasi deylik.

Ta'rif.

Vektorning o'qga proyeksiyasi- boshi va oxiri mos ravishda berilgan vektorning boshi va oxiri proyeksiyalari bo'lgan vektor.

Vektorning L o'qiga proyeksiyasi quyidagicha belgilanadi.

L o'qiga vektor proyeksiyasini qurish uchun A va B nuqtalardan L yo'naltirilgan chiziqqa perpendikulyarlarni tushirish kerak - bu perpendikulyarlarning asoslari kerakli proyeksiyaning boshi va oxirini beradi.

Vektorning o'qga proyeksiyasiga misol keltiramiz.

To'g'ri burchakli koordinatalar sistemasi Oksi tekislikka kiritilsin va qandaydir nuqta berilsin. M 1 nuqtaning radius vektorini tasvirlaymiz va uning proyeksiyalarini Ox va Oy koordinata o'qlarida quramiz. Shubhasiz, ular mos ravishda koordinatali vektorlardir.

Bir vektorning nolga teng bo'lmagan boshqa vektorga proyeksiyasi yoki vektorning vektor yo'nalishiga proyeksiyasi haqida tez-tez eshitiladi. Bunday holda, vektorning yo'nalishi vektor yo'nalishiga to'g'ri keladigan ba'zi bir o'qga proyeksiyasi nazarda tutiladi (umuman, yo'nalishlari vektor yo'nalishi bilan mos keladigan cheksiz ko'p o'qlar mavjud). Yo'nalishi vektorni aniqlaydigan to'g'ri chiziqqa vektorning proyeksiyasi quyidagicha belgilanadi.

E'tibor bering, agar va vektorlari orasidagi burchak o'tkir bo'lsa, va vektorlari ko'p yo'nalishli bo'ladi. Agar va vektorlari orasidagi burchak o'tmas bo'lsa, va vektorlari qarama-qarshi yo'naltirilgan bo'ladi. Agar vektor nolga teng yoki vektorga perpendikulyar bo'lsa, u holda vektorning yo'nalishi vektorni belgilaydigan to'g'ri chiziqqa proyeksiyasi nol vektor hisoblanadi.

Vektorning o'qga sonli proyeksiyasi - ta'rifi, belgilanishi, topishga misollar.

Vektorning o'qga proyeksiyasining son xarakteristikasi bu vektorning berilgan o'qga sonli proyeksiyasidir.

Ta'rif.

Vektorning o'qga sonli proyeksiyasi- berilgan vektor uzunligi va bu vektor orasidagi burchak kosinusining ko'paytmasiga teng bo'lgan son va eksa yo'nalishini aniqlaydigan vektor.

Vektorning L o'qiga sonli proyeksiyasi (yuqorida o'q bo'lmagan holda), vektor tomonidan aniqlangan o'qga vektorning sonli proyeksiyasi sifatida belgilanadi.

Ushbu yozuvlarda vektor sifatida yo'naltirilgan to'g'ri chiziqqa vektorning sonli proyeksiyasining ta'rifi shaklni oladi. , bu yerda vektor uzunligi, vektorlar orasidagi burchak va.

Shunday qilib, bizda birinchi bor vektorning sonli proyeksiyasini hisoblash formulasi: . Ushbu formula vektor uzunligi va vektorlar orasidagi burchak ma'lum bo'lganda ishlatiladi. Shubhasiz, ushbu formuladan vektorlarning koordinatalari berilgan to'rtburchaklar koordinatalar tizimiga nisbatan ma'lum bo'lganda ham qo'llanilishi mumkin, ammo bu holda biz quyida oladigan boshqa formuladan foydalanish qulayroqdir.

Misol.

Agar vektor uzunligi 8 ga, vektorlar orasidagi burchak esa ga teng bo'lsa, vektor sifatida yo'naltirilgan chiziqqa vektorning sonli proyeksiyasini hisoblang.

Yechim.

Bizda mavjud muammoning holatidan . Vektorning kerakli sonli proyeksiyasini aniqlashga imkon beruvchi formulani qo'llashgina qoladi:

Javob:

Biz buni bilamiz , bu erda vektorlarning skalyar ko'paytmasi va. Keyin formula , vektor sifatida yo'naltirilgan to'g'ri chiziqqa vektorning sonli proyeksiyasini topish imkonini beruvchi shaklni oladi. . Ya'ni, vektorning o'qga sonli proyeksiyasining boshqa ta'rifini shakllantirishimiz mumkin, bu ushbu bo'lim boshida berilgan ta'rifga teng.

Ta'rif.

Vektorning o'qga sonli proyeksiyasi, uning yo'nalishi vektor yo'nalishiga to'g'ri keladi, vektorlarning skaler mahsuloti va vektor uzunligiga nisbati.

Vektorlarning koordinatalari ma'lum bo'lganda, yo'nalishi vektor yo'nalishiga to'g'ri keladigan to'g'ri chiziqqa vektorning sonli proyeksiyasini topish uchun shaklning olingan formulasidan foydalanish qulay. Buni misollar yechish orqali ko'rsatamiz.

Misol.

Ma'lumki, vektor o'qning yo'nalishini o'rnatadi L . Vektorning L o'qiga sonli proyeksiyasini toping.

Yechim.

Koordinata shaklidagi formula , qayerda va . Biz undan vektorning L o'qiga kerakli sonli proyeksiyasini topish uchun foydalanamiz:

Javob:

Misol.

Uch o'lchovli fazoda Oxyz to'rtburchaklar koordinata tizimiga nisbatan ikkita vektor berilgan. va . Yo‘nalishi vektor yo‘nalishiga to‘g‘ri keladigan L o‘qdagi vektorning sonli proyeksiyasini toping.

Yechim.

Vektor koordinatalari bo'yicha va ushbu vektorlarning skalyar mahsulotini hisoblashingiz mumkin: . Vektorning koordinatalaridagi uzunligi quyidagi formula bilan hisoblanadi . Keyin koordinatalarda vektorning L o'qiga sonli proyeksiyasini aniqlash formulasi shaklga ega. .

Keling, uni qo'llaymiz:

Javob:

Endi vektorning L o'qiga yo'nalishi vektorni aniqlaydigan sonli proyeksiyasi bilan vektorning L o'qiga proyeksiyasining uzunligi o'rtasidagi bog'lanishni olaylik. Buning uchun L o'qni chizib, vektorlarni chetga qo'ying va L ustida yotgan nuqtadan vektorning oxiridan L chiziqqa perpendikulyar tushiring va vektorning L o'qiga proyeksiyasini tuzing. Vektorlar orasidagi burchakning o'lchamiga qarab va quyidagi beshta variant mumkin:

Birinchi holda, , demak, , keyin ekanligi aniq .

Ikkinchi holda, belgilangan to'g'ri burchakli uchburchakda, burchakning kosinus ta'rifidan biz bor , shuning uchun, .

Uchinchi holatda, , va , shuning uchun, va .

To'rtinchi holatda, burchak kosinusining ta'rifidan kelib chiqadi , qayerda .

Ikkinchi holda, shuning uchun, keyin
.

Vektorning o'qga sonli proyeksiyasining quyidagi ta'rifi olingan natijalarni birlashtiradi.

Ta'rif.

Vektorning L o'qiga sonli proyeksiyasi, vektor sifatida yo'naltirilgan , bo'ladi

Misol.

Vektorning yo'nalishi vektor tomonidan o'rnatilgan L o'qiga proyeksiyasining uzunligi ga teng. Agar vektorlar orasidagi burchak radianlarga teng bo'lsa, vektorning L o'qiga sonli proyeksiyasi qanday bo'ladi.