Maqolada butun sonlarni qoldiq bilan bo'lish tushunchasi tahlil qilinadi. Butun sonlarning qoldiqga bo‘linuvchanligi haqidagi teoremani isbotlab, bo‘linuvchilar va bo‘luvchilar, to‘liqsiz bo‘laklar va qoldiqlar orasidagi bog‘lanishlarni ko‘rib chiqamiz. Butun sonlarni qoldiqlarga bo'lish qoidalarini misollar bilan batafsil ko'rib chiqing. Yechim oxirida biz tekshirishni amalga oshiramiz.

Butun sonlarni qoldiqlarga bo'lish haqida umumiy tushuncha

Butun sonlarni qoldiq bilan boʻlish natural sonlarning qolgan qismiga umumlashtirilgan boʻlinish sifatida qaraladi. Bu natural sonlar butun sonlarning tarkibiy qismi bo'lganligi sababli amalga oshiriladi.

Ixtiyoriy sonning qoldig'iga bo'linish, a butun soni noldan farq qiladigan b soniga bo'linishini aytadi. Agar b = 0 bo'lsa, qoldiq bilan bo'linish amalga oshirilmaydi.

Natural sonlarni qoldiq bilan bo'lish kabi butun a va b sonlarni b noldan farqli bo'lgan holda c va d ga bo'lish amalga oshiriladi. Bunday holda, a va b dividend va bo'luvchi deb ataladi va d - bo'linishning qolgan qismi, c - butun yoki qisman qism.

Agar qolganni manfiy bo'lmagan butun son deb hisoblasak, uning qiymati b sonining modulidan katta emas. Buni shunday yozamiz: 0 ≤ d ≤ b . Ushbu tengsizliklar zanjiri 3 yoki undan ortiq sonlarni solishtirishda qo'llaniladi.

Agar c to'liq bo'lmagan qism bo'lsa, d butun sonni a ga b bo'lishning qolgan qismi bo'lsa, siz qisqacha tuzatishingiz mumkin: a: b \u003d c (d qoladi).

A sonini b ga bo'lishda qolgan nolga teng bo'lishi mumkin, keyin ular a ni b ga to'liq, ya'ni qoldiqsiz bo'linadi, deyishadi. Qoldiqsiz bo'lish bo'linishning alohida holati hisoblanadi.

Agar nolni qandaydir songa bo'lsak, natijada nolga erishamiz. Bo'linishning qolgan qismi ham nolga teng bo'ladi. Buni nolni butun songa bo'lish nazariyasidan ko'rish mumkin.

Endi butun sonlarni qoldiq bilan bo'lish ma'nosini ko'rib chiqing.

Ma'lumki, musbat butun sonlar tabiiydir, keyin qoldiqga bo'linganda, natural sonlarni qoldiqga bo'lishda bir xil ma'no olinadi.

a manfiy butun sonni b musbat butun songa bo‘lish mantiqan to‘g‘ri keladi. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik. Vaziyatni tasavvur qiling-a, bizda b odamlar tomonidan to'lanishi kerak bo'lgan a miqdoridagi narsalar bo'yicha qarzimiz bor. Buning uchun hamma teng hissa qo'shishi kerak. Har biri uchun qarz miqdorini aniqlash uchun xususiy c qiymatiga e'tibor berish kerak. Qolgan d, qarzlarni to'lashdan keyin ob'ektlar soni ma'lum ekanligini ko'rsatadi.

Keling, olma bilan bir misol keltiraylik. Agar 2 kishiga 7 ta olma kerak bo'lsa. Har bir kishi 4 ta olmani qaytarishi kerakligini hisoblasak, to'liq hisob-kitobdan keyin ularda 1 ta olma qoladi. Buni tenglik sifatida yozamiz: (− 7) : 2 = − 4 (o s t. 1) .

Har qanday a sonini butun songa bo'lish mantiqiy emas, lekin bu variant sifatida mumkin.

Qoldiqli butun sonlar uchun bo‘linish teoremasi

Biz a - dividend, keyin b - bo'luvchi, c - qisman qism va d - qoldiq ekanligini aniqladik. Ular bir-biriga bog'langan. Bu munosabatni a = b · c + d tengligidan foydalanib ko'rsatamiz. Ular orasidagi munosabat qoldiqqa bo'linish teoremasi bilan tavsiflanadi.

Teorema

Har qanday butun sonni faqat butun son va nolga teng bo'lmagan b sonida shu tarzda ifodalash mumkin: a = b · q + r , bu erda q va r ba'zi butun sonlardir. Bu erda bizda 0 ≤ r ≤ b .

a = b · q + r ning mavjudligini isbotlaylik.

Isbot

Agar a va b ikkita son bo‘lsa va a b ga qoldiqsiz bo‘linadigan bo‘lsa, u holda ta’rifdan q soni borligi, a = b · q tengligi to‘g‘ri bo‘lishi kelib chiqadi. U holda tenglikni to'g'ri deb hisoblash mumkin: r = 0 uchun a = b q + r.

Keyin b · q tengsizlik bilan berilgan q ni olish kerak< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .

Bizda a - b · q ifodaning qiymati noldan katta va b sonining qiymatidan katta emas, demak, r = a - b · q degan xulosa kelib chiqadi. Biz a soni a = b · q + r shaklida ifodalanishi mumkinligini olamiz.

Endi b ning manfiy qiymatlari uchun a = b · q + r ni ifodalash imkoniyatini ko'rib chiqishimiz kerak.

Raqamning moduli musbat bo'lib chiqadi, keyin a = b q 1 + r ni olamiz, bu erda q 1 qiymati qandaydir butun son, r - 0 ≤ r shartiga mos keladigan butun son.< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .

O'ziga xoslik isboti

Faraz qilaylik, a = b q + r , q va r 0 ≤ r shartli butun sonlardir.< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1 va r1 ba'zi raqamlar qaerda q 1 ≠ q, 0 ≤ r1< b .

Tengsizlik chap va o'ng tomondan ayirilsa, u holda biz 0 = b · (q - q 1) + r - r 1 ni olamiz, bu r - r 1 = b · q 1 - q ga teng. Modul ishlatilganligi sababli r - r 1 = b · q 1 - q tengligini olamiz.

Berilgan shart 0 ≤ r ekanligini aytadi< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что q va q 1- butun, va q ≠ q 1, keyin q 1 - q ≥ 1. Demak, bizda b · q 1 - q ≥ b . Olingan tengsizliklar r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.

Bundan kelib chiqadiki, a sonini a = b · q + r yozuvidan tashqari boshqa usulda ifodalash mumkin emas.

Dividend, bo'luvchi, qisman qism va qoldiq o'rtasidagi munosabat

a \u003d b c + d tengligidan foydalanib, noma'lum dividendni a bo'luvchisi to'liq bo'lmagan bo'lak c va qolgan d bilan ma'lum bo'lganda topishingiz mumkin.

1-misol

Dividendni aniqlang, agar bo'lishda biz - 21, to'liq bo'lmagan qism 5 va qolgan 12 bo'lsa.

Yechim

Ma'lum bo'luvchi b = - 21, to'liq bo'lmagan qism c = 5 va qolgan d = 12 bo'lgan dividend a ni hisoblash kerak. Biz a = b c + d tengligiga murojaat qilishimiz kerak, bu erdan biz a = (− 21) 5 + 12 ni olamiz. Amaliyotlar tartibini hisobga olgan holda, biz - 21 ni 5 ga ko'paytiramiz, shundan so'ng biz (- 21) 5 + 12 = - 105 + 12 = - 93 ni olamiz.

Javob: - 93 .

Bo'luvchi va qisman qism va qoldiq o'rtasidagi munosabat tenglik yordamida ifodalanishi mumkin: b = (a - d) : c , c = (a - d) : b va d = a - b · c . Ularning yordami bilan biz bo'linuvchi, qisman qism va qoldiqni hisoblashimiz mumkin. Bu ma'lum dividend, bo'luvchi va qisman qismga ega bo'lgan butun a ni b ga bo'lishning qolgan qismini doimiy ravishda topishga olib keladi. d = a - b · c formulasi qo'llaniladi. Keling, yechimni batafsil ko'rib chiqaylik.

2-misol

Butun sonni - 7 ga teng, ma'lum bo'lgan to'liq bo'lmagan qismni 3 ga bo'lishning qolgan qismini toping.

Yechim

Bo'linishning qolgan qismini hisoblash uchun d = a - b c ko'rinishdagi formulani qo'llaymiz. Shartga ko'ra, a = - 19, b = 3, c = - 7 barcha ma'lumotlar mavjud. Bu yerdan biz d \u003d a - bc \u003d - 19 - 3 (- 7) \u003d - 19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (farq - 19 - (- 21) ni olamiz... Bu misol ayirish qoidasi butun manfiy son bilan hisoblanadi.

Javob: 2 .

Barcha musbat sonlar tabiiydir. Bundan kelib chiqadiki, bo'linish natural sonlarning qolgan qismi bilan bo'linishning barcha qoidalariga muvofiq amalga oshiriladi. Tabiiy sonlarning qolgan qismiga bo'linish tezligi muhim ahamiyatga ega, chunki unga nafaqat ijobiy sonlarni bo'lish, balki ixtiyoriy butun sonlarni bo'lish qoidalari ham asoslanadi.

Bo'lishning eng qulay usuli - bu ustun, chunki qoldiq bilan to'liq bo'lmagan yoki shunchaki qismni olish osonroq va tezroq. Keling, yechimni batafsil ko'rib chiqaylik.

3-misol

14671 ni 54 ga bo'ling.

Yechim

Ushbu bo'linish ustunda bajarilishi kerak:

Ya'ni, to'liq bo'lmagan qism 271 ga, qolgan qismi esa 37 ga teng.

Javob: 14671: 54 = 271. (qolgan. 37)

Musbat butun sonni manfiy butunga bo‘lish qoidasi, misollar

Ijobiy sonning qoldig'ini manfiy butun songa bo'lish uchun qoidani shakllantirish kerak.

Ta'rif 1

Musbat butun a ni manfiy butun b songa bo‘lishning to‘liq bo‘lmagan qismi a sonlarning modullarini b ga bo‘lishning to‘liq bo‘lmagan qismiga qarama-qarshi sonni beradi. U holda a b ga bo'linganda qolgan qoldiq bo'ladi.

Demak, musbat butun sonni manfiy butun songa bo‘lishning to‘liq bo‘lmagan qismi musbat bo‘lmagan butun son hisoblanadi.

Biz algoritmni olamiz:

• dividend modulini bo'linuvchining moduliga bo'ling, keyin biz to'liq bo'lmagan qismni olamiz va
• qoldiq;
• qarama-qarshi raqamni yozing.

Musbat butun sonni manfiy songa bo'lish algoritmining misolini ko'rib chiqing.

4-misol

Qolgan 17 ga - 5 ga bo'linishni bajaring.

Yechim

Musbat butun sonni manfiy songa bo‘lish algoritmini qo‘llaymiz. 17 ni - 5 modulga bo'lish kerak. Bu erdan biz to'liq bo'lmagan qism 3 ga, qolgan qismi esa 2 ga teng ekanligini olamiz.

Biz kerakli sonni 17 ni - 5 \u003d - 3 ga bo'lish orqali 2 ga teng qoldiq bilan olamiz.

Javob: 17: (− 5) = − 3 (qolgan 2).

5-misol

45 ni - 15 ga bo'ling.

Yechim

Raqamlarni modulga bo'lish kerak. Biz 45 raqamini 15 ga bo'lamiz, biz qoldiqsiz 3 qismni olamiz. Demak, 45 soni 15 ga qoldiqsiz bo'linadi. Javobda biz - 3 ni olamiz, chunki bo'linish modul bo'yicha amalga oshirilgan.

45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3

Javob: 45: (− 15) = − 3 .

Qoldiq bilan bo'lish qoidasining formulasi quyidagicha.

Ta'rif 2

  a manfiy butun sonni musbat b ga bo'lishda to'liq bo'lmagan c qismini olish uchun siz ushbu sonning teskarisini qo'llashingiz va undan 1 ni ayirishingiz kerak, keyin qolgan d quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi: d = a - b · c.

Qoidaga asoslanib, biz bo'lishda biz manfiy bo'lmagan butun sonni olamiz degan xulosaga kelishimiz mumkin. Yechimning aniqligi uchun a ni b ga qoldiq bilan bo'lish algoritmi qo'llaniladi:

• dividend va bo'luvchining modullarini toping;
• modulni ajratish;
• berilgan songa teskarisini yozing va 1 ni ayiring;
• d = a - b c qolgan uchun formuladan foydalaning.

Ushbu algoritm qo'llaniladigan yechim misolini ko'rib chiqing.

6-misol

To'liq bo'lmagan qismni va bo'linishning qolgan qismini toping - 17 ga 5.

Yechim

Berilgan sonlarni modulga ajratamiz. Biz bo'lishda bo'linish 3 ga, qolgan qismi esa 2 ga teng bo'ladi. Biz 3 ga ega bo'lganimiz uchun buning aksi 3 ga teng. 1 ni ayirish kerak.

− 3 − 1 = − 4 .

Kerakli qiymat - 4 ga teng.

Qolgan miqdorni hisoblash uchun a = − 17 , b = 5 , c = − 4 , keyin d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = bo‘lishi kerak. 3 .

Bu shuni anglatadiki, bo'linishning to'liq bo'lmagan qismi - 4, qoldiq 3 ga teng.

Javob:(− 17) : 5 = − 4 (qolgan 3).

7-misol

1404 manfiy butun sonni musbat 26 ga bo'ling.

Yechim

Ustun va modul bo'yicha bo'linish kerak.

Biz raqamlar modullarining qoldiqsiz bo'linishini oldik. Bu shuni anglatadiki, bo'linish qoldiqsiz bajariladi va kerakli ko'rsatkich = - 54.

Javob: (− 1 404) : 26 = − 54 .

Manfiy butun sonlar qoldig'i bilan bo'lish qoidasi, misollar

Butun manfiy sonlarning qolgan qismi bilan bo'linish qoidasini shakllantirish kerak.

Ta'rif 3

a manfiy butun sonni manfiy butun son b ga bo'lishdan to'liq bo'lmagan qismni olish uchun modulli hisob-kitoblarni bajarish kerak, shundan so'ng 1 ni qo'shing, keyin d = a - b · c formulasi yordamida hisoblashimiz mumkin.

Bundan kelib chiqadiki, manfiy butun sonlarni bo'lishning to'liqsiz qismi musbat son bo'ladi.

Biz ushbu qoidani algoritm shaklida shakllantiramiz:

• dividend va bo'luvchining modullarini toping;
• to'liq bo'lmagan qismni olish uchun dividend modulini bo'linuvchi modulga bo'ling.
• qoldiq;
• to'liq bo'lmagan qismga 1 qo'shish;
• d = a - b c formulasi asosida qoldiqni hisoblash.

Keling, ushbu algoritmni misol bilan ko'rib chiqaylik.

8-misol

- 17 ga - 5 ga bo'linganda to'liq bo'lmagan qism va qoldiqni toping.

Yechim

Yechimning to'g'riligi uchun biz qoldiq bilan bo'lish algoritmini qo'llaymiz. Birinchidan, raqamlarni modulga bo'ling. Bu erdan biz to'liq bo'lmagan qism \u003d 3, qolgan qismi esa 2 ni olamiz. Qoidaga ko'ra, to'liq bo'lmagan qism va 1 qo'shilishi kerak. Biz 3 + 1 = 4 ni olamiz. Bu erdan biz berilgan sonlarni bo'lishning to'liq bo'lmagan qismi 4 ga teng ekanligini tushunamiz.

Qolganini hisoblash uchun formulani qo'llaymiz. Shartga ko'ra, bizda a \u003d - 17, b \u003d - 5, c \u003d 4, keyin formuladan foydalanib, biz d \u003d a - bc \u003d - 17 - (-5) 4 \u003d - ni olamiz. 17 - (- 20) = - 17 + 20 = 3 . Istalgan javob, ya'ni qoldiq 3 ga, to'liq bo'lmagan qism esa 4 ga teng.

Javob:(− 17) : (− 5) = 4 (qolgan 3).

Butun sonlarni qoldiqga bo'lish natijasini tekshirish

Raqamlarni qoldiq bilan bo'lishdan so'ng, tekshirishni amalga oshirish kerak. Ushbu tekshirish 2 bosqichni o'z ichiga oladi. Birinchidan, qolgan d ning manfiy emasligi tekshiriladi, shart 0 ≤ d< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

Keling, misollarni ko'rib chiqaylik.

9-misol

Ishlab chiqarilgan bo'linma - 521 tomonidan - 12. Ko'rsatkich 44 ga, qolgan qismi 7 ga teng. Tekshirishni o'tkazing.

Yechim

Qolgan musbat son bo'lgani uchun uning qiymati bo'linuvchining modulidan kichikdir. Bo'luvchi -12 ga teng, shuning uchun uning moduli 12 ga teng. Siz keyingi nazorat punktiga o'tishingiz mumkin.

Shartga ko'ra, biz a = - 521 , b = - 12 , c = 44 , d = 7 ga egamiz. Bu erdan biz b c + d ni hisoblaymiz, bu erda b c + d = - 12 44 + 7 = - 528 + 7 = - 521. Bundan kelib chiqadiki, tenglik haqiqatdir. Tekshirish o'tdi.

10-misol

Tekshirish bo'limi (- 17) : 5 = - 3 (qolgan - 2). Tenglik haqiqatmi?

Yechim

Birinchi bosqichning ma'nosi shundaki, butun sonlarning qoldiq bilan bo'linishini tekshirish kerak. Bu harakatning noto'g'ri bajarilganligini ko'rsatadi, chunki qoldiq berilgan, - 2 ga teng. Qolganlari manfiy raqam emas.

Bizda ikkinchi shart qanoatlantirilgan, ammo bu holat uchun yetarli emas.

Javob: yo'q.

11-misol

Raqam - 19 ga bo'lingan - 3. Qisman qism 7 ga, qolgan qismi esa 1 ga teng. Ushbu hisob to'g'ri yoki yo'qligini tekshiring.

Yechim

Qolgan 1 berilgan. U ijobiy. Qiymat ajratuvchi moduldan kamroq, ya'ni birinchi bosqich bajariladi. Keling, ikkinchi bosqichga o'tamiz.

b · c + d ifodaning qiymatini hisoblaymiz. Shartga ko'ra, bizda b \u003d - 3, c \u003d 7, d \u003d 1 bor, shuning uchun raqamli qiymatlarni almashtirib, biz bc + d \u003d - 3 7 + 1 \u003d - 21 + 1 \u003d - ni olamiz. 20. Bundan kelib chiqadiki, a = b · c + d tenglik bajarilmaydi, chunki shart a = - 19 berilgan.

Bu bo'linish xato bilan qilinganligini anglatadi.

Javob: yo'q.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Sonlarning bo'linuvchanlik belgilari- bular, bo'linmasdan, bu raqam berilgan songa qoldiqsiz bo'linish yoki bo'linishini nisbatan tez aniqlashga imkon beradigan qoidalar.
Ba'zi bo'linish belgilari juda oddiy, ba'zilari qiyinroq. Ushbu sahifada siz tub sonlarning boʻlinuvchanlik belgilarini, masalan, 2, 3, 5, 7, 11 va qoʻshma sonlarning boʻlinuvchanlik belgilarini, masalan, 6 yoki 12 ni topasiz.
Umid qilamanki, bu ma'lumot siz uchun foydali bo'ladi.
Baxtli o'rganish!

2 ga bo'linish belgisi

Bu bo'linishning eng oddiy belgilaridan biridir. Bu shunday eshitiladi: agar natural sonning yozuvi juft raqam bilan tugasa, u juft bo'ladi (qoldiqsiz 2 ga bo'linadi), agar raqamning yozuvi toq raqam bilan tugasa, bu raqam toq bo'ladi.
Boshqacha qilib aytganda, agar raqamning oxirgi raqami bo'lsa 2 , 4 , 6 , 8 yoki 0 - son 2 ga bo'linadi, agar bo'lmasa, u bo'linmaydi
Masalan, raqamlar: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 2 ga bo'linadi, chunki ular juft.
Raqamlar: 23 5 , 137 , 2303
2 ga bo'linmaydi, chunki ular toq.

3 ga bo'linish belgisi

Bu boʻlinish belgisi mutlaqo boshqacha qoidalarga ega: agar son raqamlari yigʻindisi 3 ga boʻlinadigan boʻlsa, u holda son ham 3 ga boʻlinadi; Agar raqamning raqamlari yig'indisi 3 ga bo'linmasa, u holda raqam 3 ga bo'linmaydi.
Shunday qilib, raqam 3 ga bo'linishini tushunish uchun uni tashkil etuvchi raqamlarni qo'shish kifoya.
Bu shunday ko'rinadi: 3987 va 141 3 ga bo'linadi, chunki birinchi holatda 3+9+8+7= 27 (27:3=9 - 3 ga qoldiqsiz bo'linadi), ikkinchisida 1+4+1= 6 (6:3=2 - 3 ga ham qoldiqsiz bo'linadi).
Lekin raqamlar: 235 va 566 3 ga bo'linmaydi, chunki 2+3+5= 10 va 5+6+6= 17 (va biz bilamizki, 10 ham, 17 ham 3 ga qoldiqsiz bo'linmaydi).

4-belgiga bo'linish

Ushbu bo'linish testi yanada murakkabroq bo'ladi. Agar sonning oxirgi 2 ta raqami 4 ga bo'linadigan sonni tashkil qilsa yoki u 00 bo'lsa, u holda son 4 ga bo'linadi, aks holda bu raqam 4 ga qoldiqsiz bo'linmaydi.
Masalan: 1 00 va 3 64 4 ga bo'linadi, chunki birinchi holatda raqam tugaydi 00 , va ikkinchisida 64 , bu o'z navbatida 4 ga qoldiqsiz bo'linadi (64:4=16)
Raqamlar 3 57 va 8 86 4 ga bo'linmaydi, chunki ikkalasi ham 57 na 86 4 ga bo'linmaydi va shuning uchun bo'linishning ushbu mezoniga mos kelmaydi.

5 ga bo'linish belgisi

Va yana, bizda bo'linishning juda oddiy belgisi bor: agar natural sonning yozuvi 0 yoki 5 raqami bilan tugasa, bu raqam 5 ga qoldiqsiz bo'linadi. Agar raqamning yozuvi boshqa raqam bilan tugasa, u holda qoldiqsiz son 5 ga bo'linmaydi.
Bu raqamlar bilan tugaydigan har qanday raqamlarni anglatadi 0 va 5 , masalan, 1235 5 va 43 0 , qoida ostiga tushadi va 5 ga bo'linadi.
Va, masalan, 1549 3 va 56 4 5 yoki 0 bilan tugamaydi, ya'ni ularni 5 ga qoldiqsiz bo'linib bo'lmaydi.

6 ga bo'linish belgisi

Oldimizda 2 va 3 sonlarining ko‘paytmasi bo‘lgan qo‘shma son 6. Demak, 6 ga bo‘linish belgisi ham qo‘shma sondir: son 6 ga bo‘linishi uchun u ikki bo‘linuvchanlik belgisiga mos kelishi kerak. bir vaqtning o'zida: 2 ga bo'linish belgisi va 3 ga bo'linish belgisi. Shu bilan birga, 4 kabi qo'shma sonning individual bo'linuvchanlik belgisi borligini e'tiborga oling, chunki u 2 sonining o'z-o'zidan ko'paytirilishidir. . Ammo 6 ga bo'linish testiga qayting.
138 va 474 raqamlari juft bo‘lib, 3 ga bo‘linish belgilariga mos keladi (1+3+8=12, 12:3=4 va 4+7+4=15, 15:3=5), ya’ni ular 6 ga bo'linadi. Lekin 123 va 447, garchi ular 3 ga bo'linsa (1+2+3=6, 6:3=2 va 4+4+7=15, 15:3=5), lekin ular toq, va shuning uchun 2 ga bo'linish mezoniga mos kelmaydi va shuning uchun 6 ga bo'linish mezoniga mos kelmaydi.

7 ga bo'linish belgisi

Ushbu bo'linish mezoni murakkabroq: agar bu sonning o'nlab sonidan ikki marta ko'paygan oxirgi raqamini ayirish natijasi 7 ga bo'linadigan yoki 0 ga teng bo'lsa, raqam 7 ga bo'linadi.
Bu juda chalkash tuyuladi, lekin amalda bu oddiy. O'zingiz ko'ring: raqam 95 9 soni 7 ga bo'linadi, chunki 95 -2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 ga 7 ga qoldiqsiz bo'linadi). Bundan tashqari, agar o'zgartirishlar paytida olingan raqam bilan bog'liq qiyinchiliklar mavjud bo'lsa (uning kattaligi tufayli u 7 ga bo'linishi yoki bo'linmasligini tushunish qiyin, bu jarayonni siz xohlagancha ko'p marta davom ettirish mumkin).
Masalan, 45 5 va 4580 1 ning 7 ga bo'linish belgilari bor. Birinchi holda, hamma narsa juda oddiy: 45 -2*5=45-10=35, 35:7=5. Ikkinchi holda, biz buni qilamiz: 4580 -2*1=4580-2=4578. Yo'qligini tushunish biz uchun qiyin 457 8 dan 7 gacha, shuning uchun jarayonni takrorlaymiz: 457 -2*8=457-16=441. Va yana biz bo'linish belgisidan foydalanamiz, chunki oldimizda hali ham uch xonali raqam bor 44 1. Shunday qilib, 44 -2*1=44-2=42, 42:7=6, ya'ni. 42 soni 7 ga qoldiqsiz bo'linadi, ya'ni 45801 soni ham 7 ga bo'linadi.
Va bu erda raqamlar 11 1 va 34 5 7 ga bo'linmaydi, chunki 11 -2*1=11-2=9 (9 7 ga teng bo'linmaydi) va 34 -2*5=34-10=24 (24 7 ga teng boʻlinmaydi).

8 ga bo'linish belgisi

8 ga bo'linish belgisi shunday eshitiladi: agar oxirgi 3 ta raqam 8 ga bo'linadigan sonni tashkil qilsa yoki u 000 bo'lsa, berilgan son 8 ga bo'linadi.
Raqamlar 1 000 yoki 1 088 8 ga bo'linadi: birinchisi bilan tugaydi 000 , ikkinchisi 88 :8=11 (8 ga qoldiqsiz bo'linadi).
Va bu erda raqamlar 1 100 yoki 4 757 8 ga bo'linmaydi, chunki raqamlar 100 va 757 8 ga qoldiqsiz bo'linmaydi.

9 ga bo'linish belgisi

Bu boʻlinuvchanlik belgisi 3 ga boʻlinuvchanlik belgisiga oʻxshaydi: agar son raqamlari yigʻindisi 9 ga boʻlinadigan boʻlsa, u holda son ham 9 ga boʻlinadi; Agar raqamning raqamlari yig'indisi 9 ga bo'linmasa, u holda raqam 9 ga bo'linmaydi.
Masalan: 3987 va 144 9 ga bo'linadi, chunki birinchi holatda 3+9+8+7= 27 (27:9=3 - 9 ga qoldiqsiz bo'linadi), ikkinchisida 1+4+4= 9 (9:9=1 - 9 ga qoldiqsiz ham bo'linadi).
Ammo 235 va 141 raqamlari 9 ga boʻlinmaydi, chunki 2+3+5= 10 va 1+4+1= 6 (va biz bilamizki, 10 ham, 6 ham 9 ga qoldiqsiz bo'linmaydi).

10, 100, 1000 va boshqa bit birliklariga bo'linish belgilari

Men bu boʻlinish mezonlarini birlashtirdim, chunki ularni xuddi shunday taʼriflash mumkin: agar sonning oxiridagi nollar soni berilgan bit birligidagi nollar sonidan katta yoki teng boʻlsa, son bit birligiga boʻlinadi.
Boshqacha qilib aytganda, masalan, bizda shunday raqamlar mavjud: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 . ularning barchasi 1 ga bo'linadi 0 ; 46400 va 867 000 1 ga ham bo'linadi 00 ; va ulardan faqat bittasi - 867 000 1 ga bo'linadi 000 .
Bit birligidan kichik nol bilan tugaydigan har qanday raqamlar bu bit birligiga bo'linmaydi, masalan, 600 30 va 7 93 baham ko'rmang 1 00 .

11 ga bo'linish belgisi

Raqam 11 ga bo'linish yoki bo'linmasligini bilish uchun siz ushbu sonning toq va juft raqamlari yig'indisi orasidagi farqni olishingiz kerak. Agar bu farq 0 ga teng bo'lsa yoki 11 ga qoldiqsiz bo'linsa, sonning o'zi 11 ga qoldiqsiz bo'linadi.
Buni aniqroq qilish uchun men misollarni ko'rib chiqishni taklif qilaman: 2 35 4 11 ga bo'linadi, chunki ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 ham 11 ga bo'linadi, chunki ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
Va bu erda 1 1 1 yoki 4 35 4 11 ga bo'linmaydi, chunki birinchi holatda biz (1 + 1) olamiz - 1 =1, ikkinchisida ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

12 ga bo'linish belgisi

12 raqami kompozitsion. Uning bo'linuvchanlik belgisi bir vaqtning o'zida 3 ga va 4 ga bo'linish belgilariga mos kelishidir.
Masalan, 300 va 636 4 ga boʻlinish belgilariga (oxirgi 2 ta raqam nol yoki 4 ga boʻlinadi) va 3 ga boʻlinish belgilariga (raqamlar va birinchi va ikkinchi raqamlar yigʻindisi 3 ga boʻlinadi) mos keladi. ), shuning uchun ular 12 ga qoldiqsiz bo'linadi.
Lekin 200 yoki 630 12 ga bo'linmaydi, chunki birinchi holatda raqam faqat 4 ga bo'linish belgisiga, ikkinchisida - faqat 3 ga bo'linish belgisiga mos keladi. Lekin ikkala belgi bir vaqtning o'zida emas.

13 ga bo'linish belgisi

13 ga boʻlinish belgisi shundan iboratki, agar bu sonning 4 ga koʻpaytirilgan birliklariga qoʻshilgan oʻnlab sonlar soni 13 ga karrali yoki 0 ga teng boʻlsa, sonning oʻzi 13 ga boʻlinadi.
Misol uchun 70 2. Shunday qilib 70 +4*2=78, 78:13=6 (78 13 ga teng boʻlinadi), shuning uchun 70 2 13 ga qoldiqsiz bo'linadi. Yana bir misol - bu raqam 114 4. 114 +4*4=130, 130:13=10. 130 soni 13 ga qoldiqsiz bo'linadi, ya'ni berilgan son 13 ga bo'linish belgisiga mos keladi.
Agar raqamlarni olsak 12 5 yoki 21 2, keyin biz olamiz 12 +4*5=32 va 21 Mos ravishda +4*2=29 va 32 ham, 29 ham 13 ga qoldiqsiz boʻlinmaydi, yaʼni berilgan sonlar 13 ga qoldiqsiz boʻlinmaydi.

Raqamlarning bo'linuvchanligi

Yuqoridagilardan ko'rinib turibdiki, har qanday natural sonni o'zining individual bo'linuvchanlik belgisi yoki agar son bir necha xil sonlarga karrali bo'lsa, "qo'shma" belgisi bilan moslash mumkin, deb taxmin qilish mumkin. Ammo amaliyot shuni ko'rsatadiki, asosan raqam qanchalik katta bo'lsa, uning xususiyati shunchalik murakkabroq. Ehtimol, bo'linish mezonini tekshirishga sarflangan vaqt bo'linishning o'ziga teng yoki undan kattaroq bo'lishi mumkin. Shuning uchun biz odatda eng oddiy bo'linish mezonlaridan foydalanamiz.

Oddiy misolni ko'rib chiqing:
15:5=3
Ushbu misolda biz natural sonni 15 ga ajratdik butunlay 3, qoldiq yo'q.

Ba'zan natural sonni to'liq bo'lib bo'lmaydi. Masalan, muammoni ko'rib chiqing:
Shkafda 16 ta o'yinchoq bor edi. Guruhda beshta bola bor edi. Har bir bola bir xil miqdordagi o'yinchoqlarni oldi. Har bir bolada nechta o'yinchoq bor?

Yechim:
16 raqamini 5 ga ustunga bo'ling va quyidagilarni oling:

Biz bilamizki, 16 ga 5 ga bo'linmaydi. 5 ga bo'linadigan eng yaqin kichik son 15 qoldiq 1 ga bo'ladi. 15 raqamini 5⋅3 deb yozishimiz mumkin. Natijada (16 - dividend, 5 - bo'luvchi, 3 - qisman qism, 1 - qoldiq). Qabul qildi formula qoldiq bilan bo'linish qaysini qilish mumkin yechimni tekshirish.

a= b⋅ c+ d
a - bo'linadigan
b - ajratuvchi,
c - to'liq bo'lmagan qism,
d - qoldiq.

Javob: Har bir bola 3 ta o'yinchoq oladi va bitta o'yinchoq qoladi.

Bo'limning qolgan qismi

Qolgan har doim bo'luvchidan kichik bo'lishi kerak.

Agar bo'lish paytida qolgan nolga teng bo'lsa, dividend bo'linadi. butunlay yoki bo'luvchiga qoldiq yo'q.

Agar bo'lishda qoldiq bo'luvchidan katta bo'lsa, bu topilgan son eng katta emasligini anglatadi. Dividendni bo'ladigan kattaroq raqam bor, qolgani esa bo'luvchidan kamroq bo'ladi.

"Qaldiq bilan bo'lish" mavzusi bo'yicha savollar:
Qoldiq bo'luvchidan katta bo'lishi mumkinmi?
Javob: yo'q.

Qolgan bo'luvchiga teng bo'lishi mumkinmi?
Javob: yo'q.

To'liq bo'lmagan qism, bo'luvchi va qoldiq bo'yicha dividendni qanday topish mumkin?
Javob: to'liq bo'lmagan qism, bo'linuvchi va qoldiqning qiymatlarini formulaga almashtiramiz va dividendni topamiz. Formula:
a=b⋅c+d

1-misol:
Qoldiq bilan bo'linishni bajaring va tekshiring: a) 258:7 b) 1873:8

Yechim:
a) ustunga bo'ling:

258 - bo'linadigan,
7 - ajratuvchi,
36 - to'liq bo'lmagan qism,
6 - qoldiq. 6-bo'luvchidan kichik qoldiq<7.

7⋅36+6=252+6=258

b) ustunga bo'ling:

1873 yil - bo'linadigan,
8 - ajratuvchi,
234 - to'liq bo'lmagan qism,
1 - qolgan. 1-bo'luvchidan kichik qoldiq<8.

Formulani almashtiring va misolni to'g'ri hal qilganimizni tekshiring:
8⋅234+1=1872+1=1873

2-misol:
Natural sonlarni bo'lishda qanday qoldiqlar olinadi: a) 3 b) 8?

Javob:
a) Qoldiq bo'luvchidan kichik, shuning uchun 3 dan kichik. Bizning holatimizda qolgan 0, 1 yoki 2 bo'lishi mumkin.
b) Qoldiq bo'luvchidan kichik, demak, 8 dan kichik. Bizning holatlarimizda qoldiq 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 yoki 7 bo'lishi mumkin.

3-misol:
Natural sonlarni bo‘lish orqali eng katta qoldiq qancha olinadi: a) 9 b) 15?

Javob:
a) Qoldiq bo'luvchidan kichik, shuning uchun 9 dan kichik. Lekin biz eng katta qoldiqni ko'rsatishimiz kerak. Ya'ni, bo'luvchiga eng yaqin raqam. Bu raqam 8 ta.
b) Qoldiq bo'luvchidan kichik, shuning uchun 15 dan kichik. Lekin biz eng katta qoldiqni ko'rsatishimiz kerak. Ya'ni, bo'luvchiga eng yaqin raqam. Bu raqam 14 ta.

4-misol:
Dividendni toping: a) a: 6 \u003d 3 (rem. 4) b) c: 24 \u003d 4 (rem. 11)

Yechim:
a) formuladan foydalanib yeching:
a=b⋅c+d
(a - dividend, b - bo'luvchi, c - qisman qism, d - qoldiq).
a:6=3(dam.4)
(a - dividend, 6 - bo'luvchi, 3 - to'liq bo'lmagan qism, 4 - qoldiq.) Formuladagi raqamlarni almashtiring:
a=6⋅3+4=22
Javob: a=22

b) formuladan foydalanib yeching:
a=b⋅c+d
(a - dividend, b - bo'luvchi, c - qisman qism, d - qoldiq).
s:24=4(dam.11)
(c - dividend, 24 - bo'luvchi, 4 - to'liq bo'lmagan qism, 11 - qoldiq.) Formuladagi raqamlarni almashtiring:
c=24⋅4+11=107
Javob: s=107

Vazifa:

Tel 4 m. 13 sm bo'laklarga bo'linishi kerak. Bu qismlar nechta bo'ladi?

Yechim:
Avval siz metrlarni santimetrga aylantirishingiz kerak.
4m.=400sm.
Siz ustunga bo'lishingiz mumkin yoki sizning fikringizcha biz quyidagilarni olamiz:
400:13=30(qolgan 10)
Keling, tekshiramiz:
13⋅30+10=390+10=400

Javob: 30 dona chiqadi va 10 sm sim qoladi.