Funktsional o'sish. Ma'ruza kursi

Funktsiya berilgan bo'lsin. Argumentning ikkita qiymatini olaylik: boshlang'ich va o'zgartirilgan, bu odatda belgilanadi
, qayerda - birinchi qiymatdan ikkinchisiga o'tishda argumentning o'zgarishi miqdori deyiladi argument ortishi.

Argumentning qiymatlari va ma'lum funktsiya qiymatlariga mos keladi: boshlang'ich va tahrirlangan
, qiymat , bu orqali argument ga oʻzgarganda funksiyaning qiymati oʻzgaradi, deyiladi funktsiyaning o'sishi.

2. funksiyaning nuqtadagi chegarasi tushunchasi.

Raqam funksiyaning chegarasi deyiladi
uchun harakat qilganda har qanday raqam uchun bo'lsa
shunday raqam bor
, bu hamma uchun
tengsizlikni qondirish
, tengsizlik
.

Ikkinchi ta'rif: Raqam funktsiyaning chegarasi deb ataladi, chunki u har qanday son uchun nuqtaning shunday qo'shnisi bo'lsa, shu qo'shnilar uchun . Belgilangan
.

3. nuqtada cheksiz katta va cheksiz kichik funksiyalar. Nuqtadagi cheksiz kichik funksiya berilgan nuqtaga yaqinlashganda chegarasi nolga teng bo‘lgan funksiyadir. Nuqtadagi cheksiz katta funksiya berilgan nuqtaga intilgandagi chegarasi cheksizlikka teng bo‘lgan funksiyadir.

4. chegaralar haqidagi asosiy teoremalar va ulardan kelib chiqadigan oqibatlar (isbotsiz).

Xulosa: doimiy omil chegara belgisidan chiqarilishi mumkin:

Agar ketma-ketliklar va yaqinlashadi va ketma-ketlikning chegarasi nolga teng bo'ladi, u holda

Xulosa: doimiy omil chegara belgisidan chiqarilishi mumkin.

11. uchun funksiyalar chegaralari mavjud bo'lsa
Va
va funksiyaning chegarasi nolga teng emas,

u holda funktsiyalar chegaralarining nisbatiga teng bo'lgan ularning nisbati chegarasi ham mavjud va:

.

12. agar
, keyin
, va buning aksi ham to'g'ri.

13. oraliq ketma-ketlikning chegarasi haqidagi teorema. Agar ketma-ketliklar
yaqinlashish va
Va
keyin

5. cheksizlikdagi funksiya chegarasi.

a soni cheksizlikdagi funktsiyaning chegarasi deb ataladi, (cheksizlikka moyil bo'lgan x uchun), agar cheksizlikka moyil bo'lgan har qanday ketma-ketlik uchun
raqamga moyil bo'lgan qiymatlar ketma-ketligiga mos keladi lekin.

6. Raqamli ketma-ketlikning chegaralari.

Raqam lekin har qanday musbat son uchun sonlar ketma-ketligi chegarasi deyiladi hamma uchun N natural soni bor n> N tengsizlik
.

Ramziy ma'noda, bu quyidagicha ta'riflanadi:
adolatli.

Haqiqat shundaki, raqam lekin ketma-ketlikning chegarasi bo'lib, quyidagicha belgilanadi:

.

7. "e" raqami. tabiiy logarifmlar.

Raqam "e" raqamli ketma-ketlikning chegarasini ifodalaydi, n- a'zosi
, ya'ni.

.

Natural logarifm - asosiy logarifm e. natural logarifmlar belgilanadi
sabab ko'rsatmasdan.

Raqam
o'nlik logarifmdan naturalga va aksincha o'tish imkonini beradi.

, u natural logarifmlardan o'nlik logarifmlarga o'tish moduli deb ataladi.

8. ajoyib chegaralar
,

.

Birinchi ajoyib chegara:

shunday da

oraliq ketma-ketlik chegarasi teoremasi bo'yicha

Ikkinchi ajoyib chegara:

.

Cheklov mavjudligini isbotlash uchun
lemmadan foydalaning: har qanday haqiqiy son uchun
Va
tengsizlik
(2) (qachon
yoki
tengsizlik tenglikka aylanadi.)

.

Endi umumiy atama bilan yordamchi ketma-ketlikni ko'rib chiqing
kamayishi va pastdan chegaralanganligiga ishonch hosil qiling:
agar
, keyin ketma-ketlik pasayadi. Agar
, keyin ketma-ketlik pastdan chegaralanadi. Keling, buni ko'rsatamiz:

tenglik tufayli (2)

ya'ni
yoki
. Ya'ni, ketma-ketlik kamayib bormoqda va shundan beri ketma-ketlik pastdan chegaralangan. Agar ketma-ketlik pasayib, pastdan chegaralangan bo'lsa, unda uning chegarasi bor. Keyin

chegarasi va ketma-ketligi bor (1), chunki

Va
.

Bu chegarani L. Eyler deb atadi .

9. bir tomonlama chegaralar, uzilish funksiyasi.

Agar har qanday ketma-ketlik uchun quyidagi amal bajarilsa, A soni chap chegara hisoblanadi: .

A soni to'g'ri chegara, agar quyidagi ketma-ketlik uchun amal qilsa: .

Agar nuqtada lekin funksiyani aniqlash sohasiga yoki uning chegarasiga mansub bo‘lsa, funksiyaning uzluksizlik sharti buziladi, keyin nuqta lekin uzilish nuqtasi yoki funksiyaning uzilishi deyiladi, agar nuqta intilayotganidek

12. cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning hadlari yig‘indisi. Geometrik progressiya - keyingi va oldingi a'zolar orasidagi nisbat o'zgarishsiz qoladigan ketma-ketlik, bu nisbat progressiyaning maxraji deb ataladi. Birinchisining yig'indisi n geometrik progressiyaning a'zolari formula bilan ifodalanadi
bu formuladan kamayuvchi geometrik progressiya uchun foydalanish qulay - uning maxrajining mutlaq qiymati noldan kichik bo'lgan progressiya. - birinchi a'zo; - progressiyaning maxraji; - ketma-ketlikning olingan a'zosining raqami. Cheksiz kamayib boruvchi progressiya yig'indisi - bu kamayuvchi progressiyaning birinchi a'zolari yig'indisi sonning cheksiz ortishi bilan cheksiz yaqinlashadigan son.
keyin. Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning hadlari yig'indisi .

Bo'lsin X– argument (mustaqil o‘zgaruvchi); y=y(x)- funksiya.

Argumentning belgilangan qiymatini oling x=x 0 va funksiyaning qiymatini hisoblang y 0 =y(x 0 ) . Biz endi o'zboshimchalik bilan o'rnatdik oshirish argumentning (o'zgarishi) va uni belgilang  X ( X har qanday belgi bo'lishi mumkin).

Incremental argument - bu nuqta X 0 +  X. Aytaylik, unda funksiya qiymati ham mavjud y=y(x 0 +  X)(rasmga qarang).

Shunday qilib, argument qiymatining o'zboshimchalik bilan o'zgarishi bilan funktsiyaning o'zgarishi olinadi, bu deyiladi. oshirish funktsiya qiymatlari:

va ixtiyoriy emas, balki funksiya va miqdorning turiga bog'liq
.

Argument va funktsiyaning o'sishi bo'lishi mumkin final, ya'ni. doimiy sonlar sifatida ifodalanadi, bu holda ular ba'zan chekli farqlar deb ataladi.

Iqtisodiyotda chekli o'sishlar juda tez-tez ko'rib chiqiladi. Masalan, jadvalda ma'lum bir davlatning temir yo'l tarmog'ining uzunligi to'g'risidagi ma'lumotlar ko'rsatilgan. Shubhasiz, tarmoq uzunligi o'sishi oldingi qiymatni keyingisidan ayirish yo'li bilan hisoblanadi.

Biz temir yo'l tarmog'ining uzunligini funktsiya sifatida ko'rib chiqamiz, uning argumenti vaqt (yillar) bo'ladi.

O'z-o'zidan funktsiyaning o'sishi (bu holda, temir yo'l tarmog'ining uzunligi) funktsiyaning o'zgarishini yomon tavsiflaydi. Bizning misolimizda, bundan 2,5>0,9 tarmoq tezroq o'sgan degan xulosaga kelish mumkin emas 2000-2003 yillarga qaraganda 2004 g., chunki o'sish 2,5 uch yillik davrni nazarda tutadi va 0,9 - bir yil ichida. Shuning uchun funktsiyaning ortishi argumentning birlik o'zgarishiga olib kelishi tabiiydir. Bu erda argument o'sishi davrlardir: 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1 .

Iqtisodiy adabiyotlarda nima deyiladi, biz olamiz o'rtacha yillik o'sish.

Agar argumentning birdan farq qiladigan qiymatlari uchun funktsiya qiymatlarini oladigan bo'lsak, bu har doim ham mumkin emas, agar argumentni o'zgartirish birligiga o'sish sur'atidan qochish mumkin.

Matematik tahlilda, xususan, differensial hisoblashda argument va funktsiyaning cheksiz kichik (IM) o'sishlari ko'rib chiqiladi.

Bir o'zgaruvchili funktsiyani differentsiallash (hosil va differentsial) Funktsiyaning hosilasi

Argument va funksiya nuqtada oshadi X 0 solishtirish mumkin bo'lgan cheksiz kichik miqdorlar sifatida ko'rib chiqilishi mumkin (4-mavzu, BMni taqqoslashga qarang), ya'ni. Xuddi shu tartibdagi BM.

Shunda ularning nisbati chekli chegaraga ega bo'ladi, u funksiyaning t dagi hosilasi sifatida aniqlanadi X 0 .

Funktsiya o'sishining bir nuqtada BM argumenti o'sishiga nisbati chegarasi x=x 0 chaqirdi hosila bu nuqtada funktsiyalarni bajaradi.

Konturli lotinning ramziy belgilanishi (aniqrog'i, I Rim raqami) Nyuton tomonidan kiritilgan. Siz shuningdek, lotin qaysi o'zgaruvchidan hisoblanganligini ko'rsatadigan pastki belgidan foydalanishingiz mumkin, masalan, . Hosilalarni hisoblash asoschisi nemis matematigi Leybnits tomonidan taklif qilingan yana bir belgi ham keng qo'llaniladi:
. Bo'limda ushbu belgining kelib chiqishi haqida ko'proq bilib olasiz Funksiya differensiali va argument differensiali.

Bu raqam baholaydi tezlik nuqtadan o'tuvchi funktsiyani o'zgartirish
.

Keling, o'rnatamiz geometrik ma'no nuqtadagi funktsiyaning hosilasi. Shu maqsadda funksiya grafigini tuzamiz y=y(x) va unda o'zgarishni aniqlaydigan nuqtalarni belgilang y(x) oraliqda

Nuqtadagi funksiya grafigiga tangens M 0
sekantning cheklovchi holatini ko'rib chiqamiz M 0 M shartiga ko'ra
(nuqta M funksiya grafigi bo‘ylab nuqtaga siljiydi M 0 ).

O'ylab ko'ring
. Shubhasiz,
.

Agar nuqta M funktsiya grafigi bo'ylab nuqta tomon shoshiling M 0 , keyin qiymat
ma'lum chegaraga moyil bo'ladi, biz buni belgilaymiz
. Qayerda.

Chegara burchagi  funksiya grafigiga chizilgan tangensning moyillik burchagiga to'g'ri keladi, shu jumladan. M 0 , shuning uchun hosila
ga son jihatdan teng tangens qiyalik belgilangan nuqtada.

-

nuqtadagi funksiya hosilasining geometrik ma’nosi.

Shunday qilib, tangens va normal tenglamalarni yozish mumkin ( normal qaysidir nuqtada funksiya grafigiga tangensga perpendikulyar chiziq X 0 :

Tangens -.

Oddiy -
.

Ushbu chiziqlar gorizontal yoki vertikal ravishda joylashgan holatlar qiziqish uyg'otadi (3-mavzuga qarang, chiziqning tekislikdagi holatining maxsus holatlari). Keyin,

agar
;

agar
.

Hosilning ta'rifi deyiladi farqlash funktsiyalari.

 Agar funktsiya nuqtada bo'lsa X 0 chekli hosilasi bor, deyiladi farqlanishi mumkin ayni paytda. Qaysidir oraliqning hamma nuqtalarida differentsiallanuvchi funksiya shu oraliqda differentsiallanuvchi deyiladi.

 Teorema . Agar funktsiya y=y(x) t da farqlanadi. X 0 , keyin bu nuqtada uzluksiz bo'ladi.

Shunday qilib, davomiylik funktsiyani differentsiallash uchun zarur (lekin etarli emas) shart.

X qo'zg'almas nuqtaning qaysidir qo'shnisida yotuvchi ixtiyoriy nuqta bo'lsin 0 . x - x 0 farqi odatda mustaqil o'zgaruvchining x 0 nuqtasidagi o'sishi (yoki argumentning o'sishi) deb ataladi va Dx bilan belgilanadi. Shunday qilib,

Dx \u003d x - x 0,

bundan kelib chiqadi

Funktsiya ortishi - ikkita funktsiya qiymati o'rtasidagi farq.

Funktsiyaga ruxsat bering da = f(x) ga teng argument qiymati bilan aniqlanadi X 0 . Keling, D ni oshiramiz X, ᴛ.ᴇ. argumentning qiymatini ͵ ga teng deb hisoblang x 0+D X. Faraz qilaylik, bu argument qiymati ham ushbu funktsiya doirasiga kiritilgan. Keyin farq D y = f(x 0+D X) – f(x0) funktsiyaning ortishi deyiladi. Funktsiyaning o'sishi f(x) nuqtada x odatda D bilan belgilanadigan funksiyadir x f yangi o'zgaruvchida D x sifatida belgilangan

Δ x f(Δ x) = f(x + Δ x) − f(x).

Argumentning ortishi va funktsiyaning x 0 nuqtasidagi ortishi topilsin

2-misol. f (x) \u003d x 2, agar x \u003d 1, ∆x \u003d 0,1 bo'lsa, funktsiyaning o'sishini toping.

Yechish: f (x) \u003d x 2, f (x + ∆x) \u003d (x + ∆x) 2

∆f = f(x+∆x) - f(x) = (x+∆x) 2 - x 2 = x 2 +2x*∆x+∆x 2 - x 2 = 2x*∆x + funktsiyaning o'sishini toping. ∆x 2 /

x=1 va ∆x= 0,1 qiymatlarini almashtiramiz, biz ∆f = 2*1*0,1 + (0,1) 2 = 0,2+0,01 = 0,21 ni olamiz.

Argumentning ortishi va funksiyaning x 0 nuqtalardagi o‘sishini toping

2.f(x) \u003d 2x 3. x 0 \u003d 3 x \u003d 2.4

3. f(x) \u003d 2x 2 +2 x 0 \u003d 1 x \u003d 0,8

4. f(x) \u003d 3x + 4 x 0 \u003d 4 x \u003d 3,8

Ta'rif: hosila Nuqtadagi funktsiyani funktsiya o'sishining argument o'sishiga nisbati chegarasi (agar u mavjud bo'lsa va chekli bo'lsa) deb atash odatiy holdir, agar ikkinchisi nolga moyil bo'lsa.

Ko'pincha lotin uchun quyidagi belgi qo'llaniladi:

Shunday qilib,

Hosilini topish deyiladi farqlash . Tanishtirdi differensiallanuvchi funksiyaning ta'rifi: Qaysidir oraliqning har bir nuqtasida hosilasi bo‘lgan f funksiya shu oraliqda differentsiallanuvchi deyiladi.

Funktsiya nuqtaning qaysidir qo'shnisida aniqlansin.Funktsiyaning hosilasini shunday son deb atash odat tusiga kirganki, funktsiya qo'shnilikdagi U(x 0) sifatida ifodalanishi mumkin

f(x 0 + h) = f(x 0) + Oh + o(h)

agar mavjud bo'lsa.

Funktsiyaning nuqtadagi hosilasining ta'rifi.

Funktsiyaga ruxsat bering f(x) oraliqda aniqlanadi (a;b), va bu intervalning nuqtalari.

Ta'rif. Hosila funksiyasi f(x) bir nuqtada funktsiya o'sishining nisbati chegarasini argumentning o'sishiga nisbati deb atash odatiy holdir. Belgilangan.

Oxirgi chegara ma'lum bir yakuniy qiymatni olganida, u holda mavjudlik haqida gapiradi nuqtadagi yakuniy hosila. Agar chegara cheksiz bo'lsa, biz buni aytamiz hosila ma'lum bir nuqtada cheksizdir. Agar chegara mavjud bo'lmasa, unda funktsiyaning hosilasi bu nuqtada mavjud emas.

Funktsiya f(x) chekli hosilasi bo'lgan nuqtada differensiallanuvchi deyiladi.

Funktsiya bo'lsa f(x) ma'lum bir intervalning har bir nuqtasida differensiallanadi (a;b), u holda funksiya shu intervalda differentsiallanuvchi deb ataladi. Dᴀᴋᴎᴍ ᴏsᴩᴀᴈᴏᴍ, har qanday nuqta x bo'shliqdan (a;b) funktsiya hosilasining qiymatini shu nuqtada bog'lashimiz mumkin, ya'ni funksiya hosilasi deb ataladigan yangi funktsiyani aniqlash imkoniyati mavjud. f(x) intervalda (a;b).

Hosilani topish amali differensiallash deyiladi.

Hayotda har doim ham biz har qanday miqdorning aniq qiymatlari bilan qiziqmaymiz. Ba'zan bu qiymatning o'zgarishini bilish qiziq, masalan, avtobusning o'rtacha tezligi, harakat miqdorining vaqt oralig'iga nisbati va boshqalar. Muayyan nuqtadagi funktsiyaning qiymatini boshqa nuqtalardagi bir xil funktsiyaning qiymatlari bilan solishtirish uchun "funktsiyaning o'sishi" va "argumentning o'sishi" kabi tushunchalardan foydalanish qulay.

“Funksiya ortishi” va “argument ortishi” tushunchalari

Faraz qilaylik, x ixtiyoriy nuqta bo'lib, u x0 nuqtaning qaysidir qo'shnisida joylashgan. Argumentning x0 nuqtasidagi o'sishi x-x0 farqidir. O'sish quyidagicha belgilanadi: ∆x.

• ∆x=x-x0.

Ba'zan bu qiymat mustaqil o'zgaruvchining x0 nuqtasidagi o'sishi deb ham ataladi. Bu formuladan kelib chiqadi: x = x0 + ∆x. Bunday hollarda x0 mustaqil o'zgaruvchining boshlang'ich qiymati ∆x ortishini olganligi aytiladi.

Agar argumentni o'zgartirsak, u holda funktsiyaning qiymati ham o'zgaradi.

• f(x) - f(x0) = f(x0 + ∆x) - f(x0).

f funktsiyaning x0 nuqtadagi o'sishi, mos keladigan o'sish ∆x f(x0 + ∆x) - f(x0) farqidir. Funktsiyaning o'sishi ∆f sifatida belgilanadi. Shunday qilib, ta'rif bo'yicha biz quyidagilarni olamiz:

• ∆f= f(x0 + ∆x) - f(x0).

Ba'zan, ∆f bog'liq o'zgaruvchining o'sishi deb ham ataladi va agar funktsiya, masalan, y=f(x) bo'lsa, uni belgilash uchun ∆y ishlatiladi.

Geometrik o'sish hissi

Keyingi rasmga qarang.

Ko'rib turganingizdek, o'sish nuqtaning ordinatasi va abtsissasining o'zgarishini ko'rsatadi. Va funktsiya o'sishining argumentning o'sishiga nisbati nuqtaning boshlang'ich va oxirgi pozitsiyalaridan o'tuvchi sekantning moyillik burchagini aniqlaydi.

Funksiya va argumentlarni ko'paytirish misollarini ko'rib chiqing

1-misol Agar f(x) = x 2 , x0=2 bo'lsa, ∆x argumenti va ∆f funksiyaning x0 nuqtadagi o'sishini toping a) x=1,9 b) x =2,1

Yuqoridagi formulalardan foydalanamiz:

a) ∆x=x-x0 = 1,9 - 2 = -0,1;

• ∆f=f(1,9) - f(2) = 1,9 2 - 2 2 = -0,39;

b) ∆x=x-x0=2,1-2=0,1;

• ∆f=f(2.1) - f(2) = 2.1 2 - 2 2 = 0.41.

2-misol f(x) = 1/x funksiya uchun x0 nuqtada ∆f o'sish argumenti ∆x ga teng bo'lsa, hisoblang.

Shunga qaramay, biz yuqorida olingan formulalardan foydalanamiz.

• ∆f = f(x0 + ∆x) - f(x0) =1/(x0-∆x) - 1/x0 = (x0 - (x0+∆x))/(x0*(x0+∆x)) = - ∆x/((x0*(x0+∆x)).

tibbiy va biologik fizikada

1-MA'RUZA

HOSILA VA DIFFERENTSIAL FUNKSIYALAR.

XUSUSIY DORIVVATLAR.

1. Hosila tushunchasi, uning mexanik va geometrik ma'nosi.

lekin ) Argument va funksiya ortishi.

y=f(x) funksiya berilgan bo‘lsin, bu yerda x funksiya sohasidan olingan argumentning qiymati. Agar funktsiya sohasining ma'lum bir oralig'idan xo va x argumentining ikkita qiymatini tanlasak, u holda argumentning ikkita qiymati o'rtasidagi farq argumentning o'sishi deb ataladi: x - xo =∆x .

X argumentining qiymatini x 0 va uning ortishi orqali aniqlash mumkin: x = x o + ∆x.

Funktsiyaning ikkita qiymati orasidagi farq funktsiyaning o'sishi deb ataladi: ∆y = ∆f = f(x o + ∆x) - f(x o).

Argument va funktsiyaning o'sishini grafik tarzda tasvirlash mumkin (1-rasm). Argument ortishi va funksiya ortishi ijobiy yoki salbiy boʻlishi mumkin. 1-rasmdan ko'rinib turibdiki, geometrik jihatdan ∆x argumentining o'sishi abtsissaning o'sishi bilan, ∆u funksiyaning o'sishi esa ordinataning o'sishi bilan ifodalanadi. Funktsiya o'sishini hisoblash quyidagi tartibda amalga oshirilishi kerak:

argumentga ∆x ortishini beramiz va - x + Dx qiymatini olamiz;

2) argument qiymati (x+∆x) – f(x+∆x) uchun funksiya qiymatini toping;

3) ∆f=f(x + ∆x) - f(x) funksiyaning o'sish qismini toping.

Misol: Argument x o =1 dan x=3 ga o‘zgargan bo‘lsa, y=x 2 funksiyaning o‘sishini aniqlang. x o nuqtasi uchun f (x o) \u003d x² o funktsiyasining qiymati; nuqta uchun (xo + ∆x) funktsiyaning qiymati f (xo + ∆x) \u003d (xo + ∆x) 2 \u003d x² o +2x o ∆x + ∆x 2, bu erdan ∆f = f ( xo + ∆x)–f(x o) \u003d (x o + ∆x) 2 -x² o \u003d x² o + 2x o ∆x + ∆x 2 -x² o \u003d 2x o ∆x + ∆x 2; ∆f \u003d 2x taxminan ∆x + ∆x 2; ∆x = 3–1 = 2; ∆f =2 1 2+4 = 8.

b)Hosila tushunchasiga olib keladigan muammolar. Hosila tushunchasi, uning fizik ma'nosi.

Argument va funktsiyaning o'sishi tushunchasi tarixan ma'lum jarayonlar tezligini aniqlash zaruratidan kelib chiqqan hosila tushunchasini kiritish uchun zarurdir.

To'g'ri chiziqli harakat tezligini qanday aniqlash mumkinligini ko'rib chiqing. Tana qonun bo'yicha to'g'ri chiziq bo'ylab harakatlansin: ∆S= ·∆t. Bir tekis harakat uchun:= ∆S/∆t.

O'zgaruvchan harakat uchun ∆S/∆t qiymati  cf qiymatini aniqlaydi. , ya'ni qarang. =∆S/∆t.Ammo o'rtacha tezlik jismning harakat xususiyatlarini aks ettirishga va t vaqtidagi haqiqiy tezlik haqida tasavvur berishga imkon bermaydi. Vaqt oralig'ida pasayish bilan, ya'ni. ∆t→0 da o'rtacha tezlik o'z chegarasiga - oniy tezlikka intiladi:

 inst. =
 qarang. =
∆S/∆t.

Kimyoviy reaksiyaning oniy tezligi xuddi shu tarzda aniqlanadi:

 inst. =
 qarang. =
∆x/∆t,

Bu yerda x - t vaqt ichida kimyoviy reaksiya jarayonida hosil bo'lgan moddaning miqdori. Turli jarayonlarning tezligini aniqlash bo'yicha shunga o'xshash vazifalar matematikaga funktsiya hosilasi tushunchasining kiritilishiga olib keldi.

]a,b[ oraliqda aniqlangan uzluksiz f(x) funksiya berilsin va uning ∆f=f(x+∆x)–f(x) o’smasi bo’lsin.
∆x funksiyasi bo‘lib, funksiyaning o‘rtacha o‘zgarish tezligini ifodalaydi.

nisbat chegarasi , ∆x→0 bo'lganda, bu chegara mavjud bo'lganda, funktsiyaning hosilasi deyiladi :

y" x =

.

hosila quyidagicha ifodalanadi:
- (x ustida y chiziqcha); f " (x) - (x bo'yicha asosiy) ; y" - (y zarbasi); dy / dx – (de y on de x); - (nuqta bilan y).

Hosilaning ta'rifiga asoslanib, to'g'ri chiziqli harakatning oniy tezligi vaqtga nisbatan yo'lning hosilasi ekanligini aytishimiz mumkin:

 inst. \u003d S "t \u003d f " (t).

Shunday qilib, funktsiyaning x argumentiga nisbatan hosilasi f(x) funktsiyasining oniy o'zgarish tezligi degan xulosaga kelishimiz mumkin:

y" x \u003d f " (x)= inst.

Bu lotinning jismoniy ma'nosidir. Hosilni topish jarayoni differensiallash deyiladi, shuning uchun “funksiyani differentsiallash” ifodasi “funksiyaning hosilasini toping” iborasiga ekvivalentdir.

ichida)Hosilning geometrik ma'nosi.

P
y = f(x) funksiyaning hosilasi M nuqtada egri chiziqqa tegish tushunchasi bilan bog’liq oddiy geometrik ma’noga ega. Shu bilan birga, tangens, ya'ni. to'g'ri chiziq analitik tarzda y = kx = tg x shaklida ifodalanadi, bu erda – tangensning (to'g'ri chiziq) X o'qiga moyillik burchagi.Uzluksiz egri chiziqni y \u003d f (x) funksiya sifatida tasvirlaymiz, egri chiziqdan M nuqta va unga yaqin joylashgan M 1 nuqtani olib, chizamiz. ular orqali o'tadi. Uning qiyaligi sek = tg b = .Agar M 1 nuqtani M ga yaqinlashtirsak, u holda argumentning o'sishi ∆x bo'ladi. nolga intiladi va b=a dagi sekant tangens pozitsiyasini egallaydi. 2-rasmdan quyidagicha: tga =
tgb =
\u003d y "x. Ammo tga funksiya grafigiga teginish qiyaligiga teng:

k = tga =
\u003d y" x \u003d f " (X). Demak, funksiya grafigiga berilgan nuqtadagi tangensning qiyaligi uning aloqa nuqtasidagi hosilasi qiymatiga teng. Bu hosilaning geometrik ma'nosi.

G)Hosilni topishning umumiy qoidasi.

Hosila ta'rifiga asoslanib, funktsiyani farqlash jarayonini quyidagicha ifodalash mumkin:

f(x+∆x) = f(x)+∆f;

funksiyaning o‘sish qismini toping: ∆f= f(x + ∆x) - f(x);

funktsiya o'sishining argument o'sishiga nisbatini tuzing:

;

Misol: f(x)=x 2 ; f " (x)=?.

Biroq, bu oddiy misoldan ham ko'rinib turibdiki, hosilalarni olishda ushbu ketma-ketlikni qo'llash mashaqqatli va murakkab jarayondir. Shuning uchun har xil funktsiyalar uchun umumiy farqlash formulalari kiritiladi, ular "Funksiyalarni farqlashning asosiy formulalari" jadvali shaklida taqdim etiladi.