Vektorning o'qga vektor proyeksiyasi. Vektor proyeksiyasi
9-sinf uchun fizikadan (I.K. Kikoin, A.K. Kikoin, 1999),
vazifa №5
bobga" 1-BOB. HARAKAT HAQIDA UMUMIY MA'LUMOT».
1. Vektorning koordinata o'qiga proyeksiyasi nima deyiladi?
1. A vektorning koordinata o'qiga proyeksiyasi a vektorning boshi va oxirining (bu nuqtalardan o'qga tushirilgan perpendikulyarlarning) shu koordinata o'qiga proyeksiyalari orasidagi segment uzunligi.
2. Jismning siljish vektori uning koordinatalari bilan qanday bog'langan?
2. Koordinata o'qlaridagi siljish vektori s proyeksiyalari jismning mos keladigan koordinatalarining o'zgarishiga teng.
3. Agar nuqtaning koordinatasi vaqt o tishi bilan ortib borsa, u holda siljish vektorining koordinata o qqa proyeksiyasi qanday belgiga ega? Agar u kamaysa nima bo'ladi?
3. Agar nuqta koordinatasi vaqt o'tishi bilan ortib borsa, u holda koordinata o'qiga siljish vektorining proyeksiyasi musbat bo'ladi, chunki bu holda biz vektorning boshi proyeksiyasidan o'qning o'zi yo'nalishi bo'yicha oxiri proyeksiyasiga o'tamiz.
Agar nuqtaning koordinatasi vaqt o'tishi bilan kamayib ketsa, u holda koordinata o'qidagi siljish vektorining proyeksiyasi manfiy bo'ladi, chunki bu holda biz vektorning boshi proyeksiyasidan to yo'naltiruvchi o'qning o'ziga qarshi proyeksiyasiga o'tamiz.
4. Agar siljish vektori X o'qiga parallel bo'lsa, u holda vektorning bu o'qga proyeksiyasining moduli qanday? Xuddi shu vektorning Y o'qiga proyeksiyalash moduli haqida nima deyish mumkin?
4. Agar siljish vektori X o'qiga parallel bo'lsa, u holda bu o'qdagi vektor proyeksiyasining moduli vektorning o'zi moduliga teng, Y o'qiga proyeksiyasi nolga teng.
5. 22-rasmda ko'rsatilgan siljish vektorlarining X o'qiga proyeksiyalar belgilarini aniqlang. Ushbu siljishlar paytida tananing koordinatalari qanday o'zgaradi?
5. Quyidagi barcha holatlarda tananing Y koordinatasi o'zgarmaydi va tananing X koordinatasi quyidagicha o'zgaradi:
a) s 1 ;
s 1 vektorining X o'qiga proyeksiyasi manfiy va modul s 1 vektorining uzunligiga teng. Bunday siljish bilan tananing X koordinatasi vektor uzunligi s 1 ga kamayadi.
b) s 2 ;
s 2 vektorining X o'qiga proyeksiyasi musbat va mutlaq qiymatda s 1 vektor uzunligiga teng. Bunday siljish bilan tananing X koordinatasi vektor uzunligi s 2 ga ortadi.
c) s 3 ;
s 3 vektorining X o'qiga proyeksiyasi manfiy va mutlaq qiymatda s 3 vektorining uzunligiga teng. Bunday siljish bilan tananing X koordinatasi s 3 vektorining uzunligiga kamayadi.
d) s 4 ;
s 4 vektorining X o'qiga proyeksiyasi musbat va mutlaq qiymatda s 4 vektor uzunligiga teng. Bunday siljish bilan tananing X koordinatasi vektor uzunligi s 4 ga ortadi.
e) s 5 ;
s 5 vektorining X o'qiga proyeksiyasi manfiy va mutlaq qiymatda s 5 vektor uzunligiga teng. Bunday siljish bilan tananing X koordinatasi vektor uzunligi s 5 ga kamayadi.
6. Bosib o'tgan masofa katta bo'lsa, siljish moduli kichik bo'lishi mumkinmi?
6. Balki. Buning sababi, siljish (o'zgartirish vektori) vektor miqdori, ya'ni. tananing dastlabki holatini keyingi pozitsiyalari bilan bog'laydigan yo'naltirilgan to'g'ri chiziq segmentidir. Va tananing oxirgi pozitsiyasi (bo'lgan masofadan qat'iy nazar) tananing dastlabki holatiga o'zboshimchalik bilan yaqin bo'lishi mumkin. Agar tananing oxirgi va boshlang'ich pozitsiyalari mos kelsa, siljish moduli nolga teng bo'ladi.
7. Nima uchun jismning o'tish vektori mexanikada uning bosib o'tgan yo'liga qaraganda muhimroq?
7. Mexanikaning asosiy vazifasi har qanday vaqtda tananing holatini aniqlashdir. Tananing siljish vektorini bilib, biz tananing koordinatalarini aniqlashimiz mumkin, ya'ni. har qanday vaqtda tananing holati va faqat bosib o'tgan masofani bilgan holda, biz tananing koordinatalarini aniqlay olmaymiz, chunki bizda harakat yo'nalishi haqida ma'lumot yo'q, lekin biz faqat ma'lum bir vaqtda bosib o'tgan yo'lning uzunligini hukm qilishimiz mumkin.
Birinchidan, nima ekanligini eslaylik koordinata o'qi, nuqtaning o'qga proyeksiyasi va o'qdagi nuqtaning koordinatalari.
Koordinata o'qi yo‘nalish berilgan to‘g‘ri chiziqdir. Siz uni cheksiz katta modulli vektor sifatida tasavvur qilishingiz mumkin.
Koordinata o'qi har qanday harf bilan belgilanadi: X, Y, Z, s, t ... Odatda, o'qda nuqta (o'zboshimchalik bilan) tanlanadi, bu boshlang'ich deb ataladi va qoida tariqasida O harfi bilan belgilanadi. Boshqalarga bo'lgan masofalar. bizni qiziqtirgan nuqtalar shu nuqtadan o'lchanadi.
Nuqtaning o'qga proyeksiyasi- bu nuqtadan berilgan o'qga tushirilgan perpendikulyarning asosi (8-rasm). Ya'ni, nuqtaning o'qga proyeksiyasi nuqtadir.
Har bir o'qqa nuqta koordinatasi mutlaq qiymati o'qning boshi va nuqtaning ushbu o'qqa proyeksiyasi o'rtasida joylashgan o'q segmentining uzunligiga (tanlangan masshtabda) teng bo'lgan raqamdir. Bu raqam, agar nuqtaning proyeksiyasi boshidan o'q yo'nalishi bo'yicha joylashgan bo'lsa, ortiqcha belgisi bilan va teskari yo'nalishda bo'lsa, minus belgisi bilan olinadi.
Vektorning o'qga skalyar proyeksiyasi- bu raqam, uning mutlaq qiymati vektorning boshlang'ich nuqtasi va oxirgi nuqtasi proektsiyalari orasiga o'ralgan o'qning (tanlangan masshtabda) segmentining uzunligiga teng. Muhim! Odatda ifoda o'rniga vektorning o'qga skalyar proyeksiyasi ular shunchaki aytadilar - vektorning o'qga proyeksiyasi, ya'ni so'z skaler tushirildi. Vektor proyeksiyasi proyeksiyalangan vektor bilan bir xil harf bilan (oddiy, qalin bo'lmagan yozuvda), ushbu vektor proyeksiya qilinadigan o'q nomining pastki belgisi (odatda) bilan belgilanadi. Masalan, vektor x o'qiga proyeksiyalansa a, u holda uning proyeksiyasi a x bilan belgilanadi. Xuddi shu vektorni boshqa o'qqa proyeksiya qilganda, Y o'qini aytaylik, uning proyeksiyasi y sifatida belgilanadi (9-rasm).
Hisoblash uchun eksaga vektor proyeksiyasi(masalan, X o'qi) boshlang'ich nuqtasining koordinatasini uning oxirgi nuqtasi koordinatasidan ayirish kerak, ya'ni
va x \u003d x k - x n.
Biz eslashimiz kerak: vektorning o'qga skalyar proyeksiyasi (yoki oddiygina, vektorning o'qga proyeksiyasi) sondir (vektor emas)! Bundan tashqari, agar x k qiymati x n qiymatidan katta bo'lsa, proyeksiya ijobiy bo'lishi mumkin, agar x k qiymati x n qiymatidan kichik bo'lsa salbiy va x k x n ga teng bo'lsa, nolga teng bo'lishi mumkin (10-rasm).
Vektorning o'qga proyeksiyasini vektorning moduli va shu o'q bilan qilgan burchagini bilish orqali ham topish mumkin.
11-rasm a x = a Cos a ekanligini ko'rsatadi
Ya'ni vektorning o'qga proyeksiyasi vektor moduli va burchak kosinusining ko'paytmasiga teng. eksa yo'nalishi va vektor yo'nalishi o'rtasida. Agar burchak o'tkir bo'lsa, u holda Cos a > 0 va a x > 0, agar u o'tmas bo'lsa, u holda o'tmas burchakning kosinasi manfiy bo'ladi va vektorning o'qqa proyeksiyasi ham manfiy bo'ladi.
O'qdan soat sohasi farqli o'laroq hisoblangan burchaklar musbat, yo'nalishda esa salbiy hisoblanadi. Biroq, kosinus juft funktsiya bo'lgani uchun, ya'ni Cos a = Cos (− a), u holda proyeksiyalarni hisoblashda burchaklarni soat yo'nalishi bo'yicha ham, soat miliga teskari yo'nalishda ham hisoblash mumkin.
Masalalarni yechishda proyeksiyalarning quyidagi xossalari ko'pincha qo'llaniladi: agar
a = b + c +…+ d, keyin a x = b x + c x +…+ d x (boshqa o'qlar uchun xuddi shunday),
a= m b, keyin a x = mb x (boshqa o'qlar uchun ham xuddi shunday).
a x = a Cos a formulasi bo'ladi juda tez-tez muammolarni hal qilishda uchrashish, shuning uchun uni bilish kerak. Proyeksiyani aniqlash qoidasini bilishingiz kerak yurakdan!
Eslab qoling!
Vektorning o'qga proyeksiyasini topish uchun ushbu vektorning modulini o'qning yo'nalishi va vektor yo'nalishi orasidagi burchakning kosinusiga ko'paytirish kerak.
Yana bir bor - TEZ!
Yopiq kuchlar ko'pburchaklarini qurish yo'li bilan yaqinlashuvchi kuchlar muvozanatiga oid masalalarni yechish noqulay konstruktsiyalar bilan bog'liq. Bunday muammolarni hal qilishning universal usuli - berilgan kuchlarning koordinata o'qlari bo'yicha proyeksiyalarini aniqlashga o'tish va bu proyeksiyalar bilan ishlash. O'q to'g'ri chiziq deb ataladi, unga ma'lum bir yo'nalish beriladi.
Vektorning o'qga proyeksiyasi skalyar qiymat bo'lib, u vektorning boshidan va oxiridan unga tushirilgan perpendikulyarlar tomonidan kesilgan o'q segmenti bilan belgilanadi.
Agar proyeksiyaning boshidan oxirigacha bo'lgan yo'nalish o'qning musbat yo'nalishiga to'g'ri kelsa, vektorning proyeksiyasi ijobiy hisoblanadi. Agar proyeksiyaning boshidan oxirigacha bo'lgan yo'nalish o'qning musbat yo'nalishiga qarama-qarshi bo'lsa, vektorning proyeksiyasi salbiy hisoblanadi.
Shunday qilib, kuchning koordinata o'qiga proyeksiyasi kuch moduli va kuch vektori bilan o'qning musbat yo'nalishi orasidagi burchak kosinusining mahsulotiga teng.
O'qga kuchlarni proyeksiya qilishning bir qator holatlarini ko'rib chiqing:
Kuch vektori F(15-rasm) x o'qining musbat yo'nalishi bilan o'tkir burchak hosil qiladi.
Proyeksiyani topish uchun kuch vektorining boshidan va oxiridan o'qga perpendikulyarlarni tushiramiz oh; olamiz
1. F x = F kosa
Bu holda vektorning proyeksiyasi ijobiydir
Quvvat F(16-rasm) o'qning musbat yo'nalishi bilan X to'g'ri burchak a.
Keyin F x= F cos a, lekin a = 180 0 - ph bo'lgani uchun,
F x= F cosa = F cos180 0 - ph =- F cos phi.
Kuch proyeksiyasi F aks boshiga oh bu holda salbiy.
Quvvat F(17-rasm) o'qga perpendikulyar oh.
F kuchning o'qga proyeksiyasi X nol
F x= F cos 90° = 0.
Samolyotda joylashgan kuch qanday qilib(18-rasm), ikkita koordinata o'qiga proyeksiya qilish mumkin Oh va OU.
Kuch F tarkibiy qismlarga bo'linishi mumkin: F x va F y . Vektor moduli F x vektor proyeksiyasiga teng F aks boshiga ho'kiz, va vektorning moduli F y vektorning proyeksiyasiga teng F aks boshiga oy.
D dan OAB: F x= F kosa, F x= F sina.
D dan SLA: F x= F cos phi, F x= F sin phi.
Kuch modulini Pifagor teoremasi yordamida topish mumkin:
Vektor yig'indisi yoki natijaning istalgan o'qdagi proyeksiyasi bir xil o'qdagi vektorlar hadlari proyeksiyalarining algebraik yig'indisiga teng.
Birlashtiruvchi kuchlarni ko'rib chiqing F 1 , F 2 , F 3 va F 4, (19-rasm, a). Bu kuchlarning geometrik yig'indisi yoki natijasi F kuch poligonining yopilish tomoni bilan aniqlanadi
Kuchli ko'pburchakning tepalaridan eksa ustiga tushing x perpendikulyarlar.
To'g'ridan-to'g'ri tugallangan qurilishdan olingan kuchlarning prognozlarini hisobga olgan holda, bizda mavjud
F= F 1x+ F 2x+ F 3x+ F 4x
bu yerda n - vektorlar hadlari soni. Ularning proyeksiyalari tegishli belgi bilan yuqoridagi tenglamaga kiradi.
Tekislikda kuchlarning geometrik yig'indisi ikkita koordinata o'qiga, fazoda esa mos ravishda uchta o'qga proyeksiyalanishi mumkin.
Ta'rif 1. Tekislikda A nuqtaning l o'qiga parallel proyeksiyasi nuqta - l o'qining A nuqta orqali o'tkazilgan to'g'ri chiziq bilan kesishish nuqtasi proyeksiya yo'nalishini belgilaydigan vektorga parallel.
Ta'rif 2. Vektorning l o'qiga parallel proyeksiyasi (vektor bo'yicha) vektorning bazisga nisbatan koordinatasi. l o'qi, bu erda nuqtalar va nuqtalar mos ravishda A va B nuqtalarning l o'qiga parallel proyeksiyalaridir (1-rasm).
Ta'rifga ko'ra, bizda bor
Ta'rif 3. agar va l o'qining asosi kartezian, ya'ni vektorning l o'qiga proyeksiyasi ortogonal deyiladi (2-rasm).
Fazoda vektorning o'qqa proyeksiyasining 2-ta'rifi o'z kuchini saqlab qoladi, faqat proyeksiya yo'nalishi ikkita kollinear bo'lmagan vektor tomonidan berilgan (3-rasm).
Vektorning o'qga proyeksiyasining ta'rifidan kelib chiqadiki, vektorning har bir koordinatasi bu vektorning mos keladigan bazis vektori bilan aniqlangan o'qga proyeksiyasidir. Bunday holda, dizayn yo'nalishi, agar dizayn kosmosda amalga oshirilsa (ko'rib chiqilsa) boshqa ikkita bazis vektor bilan yoki dizayn tekislikda ko'rib chiqilsa, boshqa bazis vektor bilan belgilanadi (4-rasm).
Teorema 1. Vektorning l o'qiga ortogonal proyeksiyasi vektor moduli va l o'qining musbat yo'nalishi orasidagi burchak kosinusining ko'paytmasiga teng va, ya'ni.
Boshqa tomondan
Biz topamiz
AC ni tenglikka (2) almashtirib, biz hosil qilamiz
Raqamlardan beri x va ikkala ko'rib chiqilgan holatda ham bir xil belgi ((5-rasm, a) ; (5-rasm, b) , keyin tenglik (4) nazarda tutiladi.
Izoh. Kelajakda biz vektorning o'qga faqat ortogonal proyeksiyasini ko'rib chiqamiz va shuning uchun yozuvdagi "orth" (ortogonal) so'zi olib tashlanadi.
Kelajakda muammolarni yechishda foydalaniladigan bir qancha formulalarni taqdim etamiz.
a) vektorning o'qga proyeksiyasi.
Agar, u holda (5) formula bo'yicha vektorga ortogonal proyeksiya ko'rinishga ega bo'ladi
c) nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa.
Oddiy vektorli b berilgan tekislik, M nuqta berilgan,
d - M nuqtadan b tekislikgacha bo'lgan masofa (6-rasm).
Agar N b tekislikning ixtiyoriy nuqtasi bo'lsa va M va N nuqtalarning o'qga proyeksiyalari bo'lsa, u holda
- G) Kesishuvchi chiziqlar orasidagi masofa.
a va b kesishuvchi to‘g‘rilar berilgan bo‘lsin, ularga perpendikulyar vektor bo‘lsin, A va B mos ravishda a va b to‘g‘rilarning ixtiyoriy nuqtalari (7-rasm), A va B nuqtalarning proyeksiyalari bo‘lsin, keyin
e) nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa.
Mayli l- yo'nalish vektori bilan berilgan chiziq, M - berilgan nuqta,
N - uning chiziqqa proyeksiyasi l, keyin - kerakli masofa (8-rasm).
Agar A chiziqning ixtiyoriy nuqtasi bo'lsa l, keyin MNA to'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuza MA va oyoqlarini topish mumkin. Ma'nosi,
e) Chiziq va tekislik orasidagi burchak.
Berilgan chiziqning yo'nalish vektori bo'lsin l, - berilgan tekislikning normal vektori b, - to'g'ri chiziqning proyeksiyasi l b tekisligiga (9-rasm).
Ma'lumki, chiziq orasidagi burchak q l va uning b tekislikka proyeksiyasi chiziq bilan tekislik orasidagi burchak deyiladi. Bizda ... bor
Metrik masalalarni vektor-koordinata usulida yechishga misollar keltiramiz.
proyeksiya o'qdagi vektor vektor deyiladi, bu vektorning bu o'qdagi skaler proyeksiyasini va bu o'qning birlik vektorini ko'paytirish yo'li bilan olinadi. Misol uchun, agar x bo'lsa skalyar proyeksiya vektor a x o'qi bo'yicha, keyin x i- uning bu o'qdagi vektor proyeksiyasi.
Belgilamoq vektor proyeksiyasi xuddi vektorning o'zi kabi, lekin vektor proyeksiya qilinadigan o'qning indeksi bilan. Demak, vektorning vektor proyeksiyasi a x o'qida belgilang a x ( yog'li eksa nomining vektorini va pastki belgisini bildiruvchi harf) yoki (vektorni bildiruvchi qalin bo'lmagan harf, lekin tepada o'q (!) va o'q nomining pastki belgisi).
Skalyar proyeksiya eksa boshiga vektor deyiladi raqam, uning mutlaq qiymati vektorning boshlang'ich nuqtasi va oxirgi nuqtasi proektsiyalari orasiga o'ralgan o'qning (tanlangan masshtabda) segmentining uzunligiga teng. Odatda ifoda o'rniga skalyar proyeksiya shunchaki ayting - proyeksiya. Proyeksiya proyeksiyalangan vektor bilan bir xil harf bilan (oddiy, qalin bo'lmagan yozuvda), bu vektor proyeksiya qilinadigan o'q nomining pastki belgisi (odatda) bilan belgilanadi. Masalan, vektor x o'qiga proyeksiyalansa a, u holda uning proyeksiyasi a x bilan belgilanadi. Xuddi shu vektorni boshqa o'qqa proyeksiya qilganda, o'q Y bo'lsa, uning proyeksiyasi y sifatida belgilanadi.
Proyeksiyani hisoblash uchun vektor o'qda (masalan, X o'qi) boshlang'ich nuqtasi koordinatasini uning oxirgi nuqtasi koordinatasidan ayirish kerak, ya'ni
va x \u003d x k - x n.
Vektorning o'qga proyeksiyasi sondir. Bundan tashqari, agar x k qiymati x n qiymatidan katta bo'lsa, proyeksiya ijobiy bo'lishi mumkin,
manfiy, agar x k ning qiymati x n qiymatidan kichik bo'lsa
va agar x k x n ga teng bo'lsa, nolga teng.
Vektorning o'qga proyeksiyasini vektorning moduli va shu o'q bilan qilgan burchagini bilish orqali ham topish mumkin.
Rasmdan a x = a Cos a ekanligini ko'rish mumkin
ya'ni vektorning o'qqa proyeksiyasi vektor moduli va o'q yo'nalishi orasidagi burchak kosinusining ko'paytmasiga teng. vektor yo'nalishi. Agar burchak o'tkir bo'lsa, u holda
Cos a > 0 va a x > 0, agar o'tmas bo'lsa, u holda o'tmas burchakning kosinasi manfiy bo'ladi va vektorning o'qga proyeksiyasi ham manfiy bo'ladi.
O'qdan soat sohasi farqli o'laroq hisoblangan burchaklar musbat, yo'nalishda esa salbiy hisoblanadi. Biroq, kosinus juft funktsiya, ya'ni Cos a = Cos (− a) bo'lganligi sababli, proyeksiyalarni hisoblashda burchaklarni soat yo'nalishi bo'yicha ham, soat miliga teskari yo'nalishda ham hisoblash mumkin.
Vektorning o'qga proyeksiyasini topish uchun ushbu vektorning modulini o'qning yo'nalishi va vektor yo'nalishi orasidagi burchakning kosinusiga ko'paytirish kerak.
Vektor koordinatalari berilgan vektorga teng tanlangan koordinatalar tizimidagi bazis vektorlarining yagona mumkin bo'lgan chiziqli birikmasining koeffitsientlari.
vektorning koordinatalari qayerda.
Vektorlarning nuqta mahsuloti
VEKTORLARNING SCOAL MAHSULOTI[- chekli o'lchovli vektor fazosi ko'paytiriladigan bir xil tarkibiy qismlarning mahsuloti yig'indisi sifatida aniqlanadi vektorlar.
Masalan, S. p. a = (a 1 , ..., a n) va b = (b 1 , ..., b n):
(a , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n