Mikä on kolmion kehä ja pinta -ala. Kuinka laskea kolmion kehä ja pinta -ala? Kolmion kehä ja alue

Kolmio on alkeis geometrinen luku, joka sisältää pienimmän mahdollisen määrän komponentteja - kolme.

Sivujen kosketuspisteet ovat sen kulmien kärkipisteet, jotka on merkitty latinalaisilla isoilla kirjaimilla A; B ja C. Pisteiden väliset segmentit ovat kolmion sivut tai sivut, ja ne on merkitty näiden kärkien nimillä: AB; BC; CA tai vastakkaisen kulman isot kirjaimet (pisteet): AB = c; BC = a; CA = b.

Kehä on yhtä suuri kuin kuvan kaikkien sivujen pituus, kolmion osalta se on kolmen sivun summa:

Kolmion korkeus on kohtisuora suorasta viivasta, jolla pohja on, samannimiseen pisteeseen, joka on merkitty tunnuksella h.

Alue on kuvassa olevan pinnan koko, joka on merkitty S: llä. Pohjan ja korkeuden tulo antaa alueen arvon. Se voidaan määrittää myös Heronin kaavalla:

1. S = √ (p (p-a) (p-b) (p-c));
2. p = ½P.

Tämä video näyttää kuinka löytää kolmion alue.

Kolmio koostuu sivuista ja kulmista, sen kulmien summa on aina 180 astetta: A + B + C = 180 °.

1. Tasainen: kaikki kärkipisteet ovat yhtä suuret kuin 60 °, ovat tasasivuisia.
2. Tasakylkiset: Kun kaksi kasvot ovat yhtä suuret, pohjan kulmat ovat yhtä suuret.
3. Monikulmainen: kaikki kärjet ovat erilaisia, myös sen reunat ovat erilaisia.
4. Suorakulmainen: yksi kulma on 90 °, vierekkäisiä reunoja kutsutaan jaloiksi, vastakkaista on hypotenuusa. Se voi olla tasakylkinen (jalat yhtä suuret) tai eri kulmat (jalat ovat erilaisia).
5. Tylppä: yksi kulma on suurempi kuin 90 °. Voi olla tasakylkinen tai monikulmainen.

Kuvaus

Minkä tahansa kolmion kuvaamiseen riittää ilmoittaa:

1. Yksi sivu ja viereiset kulmat.
2. Kaksi puolta ja kulma niiden välissä.
3. Kolme puolta.

Tiedot mistä tahansa pisteestä riittää tietyn luvun muodostamiseen ja kaikkien sen parametrien laskemiseen kosini -lauseen avulla:

c * c = a * a + b * b-2 * a * b * cosC.

Tunnettujen arvojen korvaaminen, saamme yhtälön, jonka ratkaisemalla saamme selville tuntemattomat määrät.

Cos90 ° = 0, joten suorakulmaisen kolmion c * c = a * a + b * b, jossa a ja b ovat jalat, c on hypotenuusa, kulmaa vastapäätä oleva sivu.

Esimerkkejä

Tiedetään, että yksi puoli on 9 cm ja viereiset kulmat ovat 60 astetta. Sitten siitä, että kulmien summa on aina 180 °, saamme: 180 = 60 + 60 + x; x = 180-120 = 60. Kaikki kolme kärkeä ovat kukin 60 °, mikä tarkoittaa, että kaikki sivut ovat yhtä suuret. Kehä on P = 9 + 9 + 9 = 27 cm, puoliympyrä p = 13,5 cm.Korkeuden löytämiseksi sinun on laskettava kohtisuora ylhäältä pohjaan, saamme suorakulmaisen kolmion, jonka hypotenuusa 9 cm, jalka 4,5 cm ja jalka, jonka pituus on tuntematon ja joka vastaa haluttua korkeutta: 9 * 9-4,5 * 4,5 = 60,75 = h 2.

Korkeus on yhtä suuri kuin neliöjuuri 60,75 tai 7,79422863406 cm. Kerro pohja korkeudella, jaa puoliksi ja saat alueen: 7,79422863406 * 9/2 = 35,074028853 cm 2. Jos löydät alueen Heronin kaavan mukaan puoliympyrän ja reunojen läpi vastaus on sama:

S = √ (13,5 (13,5-9) (13,5-9) (13,5-9)) = 35,074028853 cm 2.

Seuraava esimerkki on monipuolinen kolmio. Annettu: AB = 12 cm, BC = 10 cm, CA = 8 cm. Kuvan kehä ja alue on löydettävä. P = a + b + c = BC + CA + AB = 10 cm + 8 cm + 12 cm = 30 cm. p = 15 cm. S = √ (p (pa) (pb) (pc)) = √ (15 (15-10) (15-8) (15-12)) = √15 5 7 3 = √1575 = 39.686269666 cm 2.

Harkitse esimerkkiä, kun suorakulmaisen kolmion kaksi jalkaa tunnetaan. Oletetaan, että niiden arvot ovat kaksi ja neljä metriä. Tällöin hypotenuusa on yhtä suuri kuin jalkojen neliöiden summan neliöjuuri √2 2 +4 2 = 4.472135955 m. Kehä 2 + 4 + 4.472135955 = 10.472135955. Pinta -ala on puolet jalkojen tulosta S = 2,4 = 8m 2.

Kun kaksi puolta ja niiden välinen kulma tiedetään, jäljelle jää vain kolmas puoli kosinilauseen perusteella. Olkoon tunnetut sivut 16 ja 28 metriä ja niiden välinen kulma on 60 astetta, sitten kolmas sivu on yhtä suuri kuin tämän lausekkeen neliöjuuri 16 2 +28 2-2 ​​16 28 0,5, joka on 24, 3310501212 m. Kehä on 16 + 28 + 24.3310501212 = 68.3310501212≈68.33 m. Puolikehä on 34.165 m. Korvaten saadut arvot Heronin kaavaan, löydämme alueen S = √ (34.165 (34.165-16) 34.165-28) * (34.165-24.33)) = 193,982314238 m 2.

Jos tiedetään minkä tahansa kolmion kolme parametria - kaksi kulmaa ja sivu tai kaksi sivua ja niiden välinen kulma, ei ole mitään erityisen vaikeaa löytää kolmion tuntemattomia parametreja - kehä, alue tai korkeus. Sinun tarvitsee vain tehdä huolellisesti yksinkertaisia ​​laskelmia.... Joskus voit olla fiksu rikkomalla luvun useaksi helpommin laskettavaksi, esimerkiksi suorakulmaisiksi kolmioiksi. Kussakin tapauksessa kaikki riippuu lähtötiedoista. Kaikki yllä olevat kaavat ja laskelmat pätevät tasalukuihin; pallomaisella pinnalla olevien laskelmien kulku on erilainen.

Video

Tämä video auttaa sinua vahvistamaan tietosi.

Geometriassa ja tosielämässä jokainen henkilö kohtaa vähintään useita kertoja sellaisen geometrisen hahmon kuin kolmio. Se on yksinkertaisin monikulmio, jossa on kolme kulmaa ja kolme vastakkaista puolta. Halutessasi voit jakaa minkä tahansa monikulmion kolmioiksi. Jos siis haluat vähentää monikulmion kehän tai alueen, voit käyttää kolmion laskentakaavoja.

Kolmion pääominaisuudet Tämä on: kehä kolmio ja kolmion pinta -ala ... Muita ominaisuuksia ovat piirretyn ympyrän säde ja rajatun ympyrän säde. Kehää ja aluetta laskettaessa on muistettava, että laskenta tehdään kolmioiden tyypin mukaan: terävät kulmat, tylpät kulmat, suorakulmiot, tasakylkiset, tasasivuiset.

Kolmion kehän laskeminen määritetään yksinkertaisesti käyttämällä yksinkertaista kaavaa, joka tiivistää kaikkien sivujen mitat. Jos siis kolmion sivut merkitään kirjaimilla a, b, c, kun taas kolmion kehä on merkitty kirjaimella p, kehän laskentakaavan mukaan saadaan: p =a +b +c.

Kun lasketaan kolmion pinta -ala, kaikki on paljon monimutkaisempaa. Jos siis et ole varma kyvyistäsi, voit käyttää erityistä ohjelmaa, joka laskee kolmion (http://2mb.ru/matematika/kalkulyatory/on-line-raschet-treugolnika/) muutamassa sekunnissa . Mutta jos se on kaikki, ihmettelet, mistä tämä tulos on peräisin, kannattaa tutustua yksityiskohtiin.

Kolmion pinta -alan laskeminen tehdään riippuen siitä, mitä tietoja kolmiosta tiedetään, ja riippuen kolmion tyypistä. On monia kaavoja, joiden avulla voit tehdä laskelman. Yksi kaavoista mahdollistaa alueen laskemisen, kun kolmion kehä tunnetaan, ja sitä kutsutaan Heronin kaavaksi.

Heronin kaava on käyttää puolikehän arvoa kolmion alueen laskemiseen. Onko se puolikehä? osa kehää. Heronin kaava: S =? P (p-a) (p-b) (p-c), jossa S -kirjain merkitsee aluetta.

Kolmion pinta -alan laskeminen, kun yksi puoli (a) ja kolmion korkeus tiedetään (h) tälle puolelle: S = (a * h) / 2.

Tasasivuisen kolmion pinta -alan laskeminen: pituus on nostettava toiseen asteeseen kerrottuna kolmen neliöjuurella ja jaettuna 4: llä.

Suorakulmion pinta -alan laskeminen: jalkojen pituus kerrotaan toisilla ja jaetaan 2. Jalat ovat ne kolmion sivut, jotka muodostavat suorakulman.

On mielenkiintoista, että monta vuotta sitten sellaista matematiikan haaraa kuin "geometria" kutsuttiin "maanmittaukseksi". Ja kuinka löytää kehä ja alue, on ollut tiedossa jo pitkään. Esimerkiksi he sanovat, että näiden kahden määrän ensimmäiset laskimet ovat Egyptin asukkaita. Tämän tiedon ansiosta he pystyivät rakentamaan nykyään tunnettuja rakenteita.

Kyky löytää alue ja kehä voi olla hyödyllinen jokapäiväisessä elämässä. Jokapäiväisessä elämässä näitä arvoja käytetään, kun on tarpeen maalata jotain, istuttaa tai käsitellä puutarhaa, liimata tapetti huoneeseen jne.

Kehä

Useimmiten sinun on tiedettävä monikulmioiden tai kolmioiden kehä. Tämän arvon määrittämiseksi sinun tarvitsee vain tietää kaikkien sivujen pituudet ja kehä on niiden summa. Kehyksen löytäminen, jos alue on tiedossa, on myös mahdollista.

Kolmio

Jos sinun on tiedettävä kolmion kehä, sen laskemiseksi sinun on käytettävä seuraavaa kaavaa P = a + b + c, jossa a, b, c ovat kolmion sivut. Tässä tapauksessa kaikki tavallisen kolmion sivut tasossa lasketaan yhteen.

Ympyrä

Ympyrän kehää kutsutaan yleisesti ympyrän kehäksi. Tämän arvon selvittämiseksi sinun on käytettävä kaavaa: L = π * D = 2 * π * r, missä L on ympärysmitta, r on säde, D on halkaisija ja luku π, kuten tiedät, on suunnilleen 3,14.

Neliö, rombi

Neliön ja rombin kehien kaavat ovat samat, koska yhden ja toisen sivun molemmat puolet ovat yhtä suuret. Koska neliöllä ja rombilla on yhtä suuret sivut, ne (sivut) voidaan merkitä yhdellä kirjaimella "a". Osoittautuu, että neliön ja rombin kehä on:

• P = a + a + a + a tai P = 4a

Suorakulmio, suunnikas

Suorakulmion ja suuntakulman vastakkaiset sivut ovat samat, joten ne voidaan merkitä kahdella eri kirjaimella "a" ja "b". Kaava näyttää tältä:

• P = a + b + a + b = 2a + 2b. Nämä kaksi voidaan poistaa suluista, ja saat seuraavan kaavan: P = 2 (a + b)

Puolisuunnikas

Puolisuunnikossa kaikki sivut ovat erilaisia, joten ne on merkitty latinalaisen aakkoston eri kirjaimilla. Tältä osin puolisuunnikkaan kehän kaava näyttää tältä:

• P = a + b + c + d Tässä kaikki sivut lasketaan yhteen.

Neliö

Alue on osa kuvaa, joka on sen ääriviivojen sisällä.

Suorakulmio

Suorakulmion pinta -alan laskemiseksi kerro sivun (pituus) arvo toisen (leveys) arvolla. Jos pituus- ja leveysarvot on merkitty kirjaimilla "a" ja "b", pinta -ala lasketaan kaavalla:

• S = a * b

Neliö

Kuten jo tiedät, neliön sivut ovat yhtä suuret, joten voit laskea pinta -alan yksinkertaisesti ottamalla neliön toisen puolen:

• S = a * a = a 2

Rhombus

Kaava rombin alueen löytämiseksi on hieman erilainen: S = a * h a, missä h a on rombin korkeuden pituus, joka vedetään sivulle.

Lisäksi rombin alue löytyy kaavoista:

• S = a 2 * sin α, kun taas a on kuvion sivu ja kulma α on sivujen välinen kulma;
• S = 4r 2 / sin α, jossa r on rombiin merkityn ympyrän säde ja kulma α on sivujen välinen kulma.

Ympyrä

Ympyrän alue on myös helppo tunnistaa. Voit tehdä tämän käyttämällä kaavaa:

• S = πR 2, missä R on säde.

Puolisuunnikas

Voit laskea puolisuunnikkaan alueen käyttämällä tätä kaavaa:

• S = 1/2 * a * b * h, missä a, b ovat puolisuunnikkaan pohjat, h on korkeus.

Kolmio

Voit etsiä kolmion alueen käyttämällä yhtä useista kaavoista:

• S = 1/2 * a * b sin α (missä a, b ovat kolmion sivut ja α on niiden välinen kulma);
• S = 1/2 a * h (missä a on kolmion pohja, h on siihen laskettu korkeus);
• S = abc / 4R (jossa a, b, c ovat kolmion sivut ja R on rajatun ympyrän säde);
• S = p * r (missä p on puoliympyrä, r on merkityn ympyrän säde);
• S = √ (p * (p-a) * (p-b) * (p-c)) (missä p on puoliympyrä, a, b, c ovat kolmion sivut).

Suunnikas

Tämän kuvan alueen laskemiseksi sinun on korvattava arvot jollakin seuraavista kaavoista:

• S = a * b * sin α (missä a, b ovat suuntakulman kantoja, α on sivujen välinen kulma);
• S = a * h a (missä a on suuntakuvion sivu, h a on sivusuunnassa a lasketun rinnan suuntaisen suunnan korkeus);
• S = 1/2 * d * D * sin α (missä d ja D ovat yhdensuuntaisen suunnan diagonaalit, α on niiden välinen kulma).

Kolmio on kaksiulotteinen muoto, jossa on kolme reunaa ja sama määrä pisteitä. Tämä on yksi geometrian perusmuodoista. Kohteessa on kolme kulmaa, joiden kokonaisasteen mitta on aina 180 °. Pisteet on yleensä merkitty latinalaisilla kirjaimilla, esimerkiksi ABC.

Teoria

Kolmiot voidaan luokitella eri tavoin.

Jos kaikkien sen kulmien asteen mitta on alle 90 astetta, sitä kutsutaan teräväkulmaiseksi, jos yksi niistä on yhtä suuri kuin tämä arvo - suorakulmainen ja muissa tapauksissa - tylppä.

Kun kolmion kaikki sivut ovat samankokoisia, sitä kutsutaan tasasivuiseksi. Kuvassa tämä on merkitty segmenttiin kohtisuoralla merkillä. Tässä tapauksessa kulmat ovat aina yhtä suuret kuin 60 °.

Jos kolmion vain kaksi sivua ovat yhtä suuret, sitä kutsutaan tasakylkiseksi. Tässä tapauksessa pohjan kulmat ovat yhtä suuret.

Kolmiota, joka ei sovi kahteen edelliseen vaihtoehtoon, kutsutaan monipuoliseksi.

Kun kahden kolmion sanotaan olevan yhtä suuret, se tarkoittaa, että niillä on sama koko ja muoto. Niillä on myös samat kulmat.

Jos vain asteen mitat osuvat yhteen, lukuja kutsutaan vastaaviksi. Sitten vastaavien sivujen suhde voidaan ilmaista tietyllä luvulla, jota kutsutaan kuvasuhteeksi.

Kolmion kehä alueen tai sivujen läpi

Kuten minkä tahansa monikulmion kohdalla, kehä on kaikkien sivujen pituuksien summa.

Kolmion kaava näyttää tältä: P = a + b + c, missä a, b ja c ovat sivujen pituudet.

On olemassa toinen tapa ratkaista tämä ongelma. Se koostuu kolmion kehän löytämisestä alueen läpi. Ensin sinun on tiedettävä yhtälö, joka yhdistää nämä kaksi määrää.

S = p × r, missä p on puoliperimetri ja r on kohteeseen merkityn ympyrän säde.

Yhtälön muuttaminen tarvittavaan muotoon on melko yksinkertaista. Saamme:

Älä unohda, että todellinen kehä on 2 kertaa suurempi kuin vastaanotettu.

Tällaiset esimerkit on helppo ratkaista.

Jotta löydämme kolmion alueen ja kehän, tarvitsemme:

1. alueella. Kolmion alueen, esimerkiksi ABC, löytämiseksi on useita tapoja, eli kaavoja, tässä on ensimmäinen niistä: S = 1/2 * A * h, missä A on sivun pituus kolmio, h on sivulle A. piirretty korkeus. Toinen kaava: S = 1/2 * a * b * sin a, missä a ja b ovat kolmion sivujen pituudet, sin a on sivun sini sivujen a ja b välinen kulma.

2. Kehyksen suhteen. Jotta löydettäisiin kolmion, esimerkiksi ABC: n, kehä, meidän on mitattava kolmion kaikkien sivujen pituus eli AB, BC, AC. Taita ne sitten ylös. Tässä on lopullinen kaava P = AB + BC + AC.

Ehdotetussa tehtävässä meitä pyydetään kertomaan, kuinka löytää kolmion kehä ja alue. Tätä varten sinulla on oltava käsitys siitä, mikä on kolmion geometrinen muoto.

Kolmio

Matematiikassa kolmio on geometrinen kuvio, joka muodostuu kolmesta segmentistä, jotka yhdistävät kolme pistettä, jotka eivät ole yhdellä suoralla. Lisäksi näitä pisteitä kutsutaan kolmion kärjiksi ja segmenttejä, jotka yhdistävät ne kolmion sivuilla.

Kolmion kehä ja alue

• Kolmion kehän löytäminen. Löytääksesi kolmion kehän, sinun on tiedettävä kaikkien sen sivujen pituus. Sitten kehä löydetään lisäämällä ne.
• Kolmion alueen löytäminen pohjan ja korkeuden läpi. Tietäen kolmion pohjan ja korkeuden, voimme löytää sen alueen kaavalla:

S = 1/2 * a * h, missä a on pohja ja h on korkeus.

• Etsitään kolmion pinta -ala kahden sivun poikki ja niiden välinen kulma. Jos tiedämme kolmion kaksi sivua ja niiden välisen kulman, voimme löytää sen alueen seuraavan kaavan avulla:

S = 1/2 * a * b * sin a (sivujen välinen kulma).

• Kolmion alueen etsiminen sen kolmen sivun läpi. Jos tunnemme kolmion kolme sivua, voimme löytää sen alueen, jolle löydämme ensin kehän, ja ratkaista sen käyttämällä kaavaa:

S = √ (p (p-a) (p-b) (p-c)).

Siten otimme huomioon kolmion geometrisen muodon, kaavan sen kehän löytämiseksi ja kaikki mahdolliset kaavat sen alueen löytämiseksi.