HOMOGEENISTEN LINEAARISET YHTÄLÖJÄRJESTELMÄ

Homogeenisten lineaaristen yhtälöiden järjestelmä on muotoinen järjestelmä

On selvää, että tässä tapauksessa siitä asti kun näiden tarkenteiden yhden sarakkeen kaikki elementit ovat yhtä suuria kuin nolla.

Koska tuntemattomat löydetään kaavoilla , silloin kun Δ ≠ 0, järjestelmällä on ainutlaatuinen nollaratkaisu x = y = z= 0. Monissa tehtävissä on kuitenkin kiinnostava kysymys siitä, onko homogeenisella järjestelmällä muita ratkaisuja kuin nolla.

Lause. Jotta lineaaristen homogeenisten yhtälöiden ratkaisulla olisi nollasta poikkeava ratkaisu, on välttämätöntä ja riittävää, että Δ ≠ 0.

Joten jos determinantti Δ ≠ 0, niin järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu. Jos Δ ≠ 0, niin lineaarisilla homogeenisilla yhtälöillä on ääretön joukko ratkaisuja.

Esimerkkejä.

Matriisin ominaisvektorit ja ominaisarvot

Olkoon neliömatriisi annettu , X- jokin matriisisarake, jonka korkeus on sama kuin matriisin järjestys A. .

Monissa ongelmissa on otettava huomioon yhtälö suhteessa X

missä λ on jokin luku. On selvää, että millä tahansa λ:lla tällä yhtälöllä on nollaratkaisu.

Kutsutaan lukua λ, jolle tällä yhtälöllä on nollasta poikkeavat ratkaisut omaa merkitystä matriiseja A, a X tällaista λ:ta kutsutaan ominaisvektori matriiseja A.

Etsi matriisin ominaisvektori A... Sikäli kuin E∙X = X, niin matriisiyhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon tai ... Laajennetussa muodossa tämä yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen lineaaristen yhtälöiden järjestelmäksi. Todella .

Ja siksi

Joten saimme homogeenisten lineaaristen yhtälöiden järjestelmän koordinaattien määrittämiseksi x 1, x 2, x 3 vektori X... Jotta järjestelmässä olisi nollasta poikkeavia ratkaisuja, on välttämätöntä ja riittävää, että järjestelmän determinantti on yhtä suuri kuin nolla, ts.

Tämä on 3. asteen yhtälö suhteessa λ. Sitä kutsutaan ominaisyhtälö matriiseja A ja sen avulla määritetään ominaisarvot λ.

Jokainen ominaisarvo λ vastaa ominaisvektoria X, jonka koordinaatit määritetään järjestelmästä vastaavalla λ:n arvolla.

Esimerkkejä.

VEKTORIN ALGEBRA. VEKTORIN KÄSITE

Fysiikan eri aloja tutkiessa on suureita, jotka määritetään täysin määrittämällä niiden numeeriset arvot, esimerkiksi pituus, pinta-ala, massa, lämpötila jne. Tällaisia ​​määriä kutsutaan skalaariksi. Niiden lisäksi on kuitenkin myös suureita, joiden määrittämiseen tarvitaan numeerisen arvon lisäksi myös niiden suunta avaruudessa, esimerkiksi kehoon vaikuttava voima, nopeus ja kiihtyvyys. kehosta sen liikkuessa avaruudessa, magneettikentän voimakkuudesta tietyssä avaruuden pisteessä jne. Tällaisia ​​suureita kutsutaan vektoreiksi.

Otetaan käyttöön tiukka määritelmä.

Suunnattu segmentti kutsutaan segmentiksi, jonka päiden suhteen tiedetään, mikä niistä on ensimmäinen ja mikä toinen.

Vektori kutsutaan suunnatuksi segmentiksi, jolla on tietty pituus, ts. se on tietynpituinen segmentti, jossa yksi sen rajapisteistä on alku ja toinen lopuksi. Jos A- vektorin alku, B- sen loppu, sitten vektoria merkitään symbolilla, lisäksi vektoria merkitään usein yhdellä kirjaimella. Kuvassa vektori on merkitty janalla ja sen suunta nuolella.

Moduuli tai pituus vektori on sen määrittävän suuntasegmentin pituus. Sitä merkitään || tai ||.

Niin sanottua nollavektoria, jonka alku ja loppu ovat samat, kutsutaan myös vektoreiksi. Se on osoitettu. Nollavektorilla ei ole tarkkaa suuntaa ja sen moduuli on yhtä suuri kuin nolla || = 0.

Vektoreita ja kutsutaan kollineaarinen jos ne sijaitsevat samalla linjalla tai rinnakkaisilla linjoilla. Lisäksi, jos vektorit ja ovat samassa suunnassa, kirjoitamme päinvastoin.

Kutsutaan vektoreita, jotka sijaitsevat saman tason suuntaisilla suorilla koplanaarinen.

Kaksi vektoria ja kutsutaan yhtä suuri jos ne ovat kollineaarisia, tasasuuntaisia ​​ja yhtä pitkiä. Tässä tapauksessa kirjoita.

Vektorien yhtäläisyyden määritelmästä seuraa, että vektori voidaan siirtää rinnakkain itsensä kanssa asettamalla sen origo mihin tahansa avaruuden pisteeseen.

Esimerkiksi.

LINEAARISET OPERATIOT VEKTOREILLA

1. Vektorin kertominen luvulla.

   Vektorin tulo luvulla λ on uusi vektori, joka:

   Vektorin tulo luvulla λ on merkitty.

   

   Esimerkiksi, on vektori, joka on suunnattu samaan suuntaan kuin vektori ja jonka pituus on puolet vektorin pituudesta.

   Esitellyssä operaatiossa on seuraava ominaisuuksia:

2. Vektorien lisääminen.

   Olkoon ja kaksi mielivaltaista vektoria. Ota mielivaltainen kohta O ja rakentaa vektori. Sen jälkeen pisteestä A aseta vektori sivuun. Kutsutaan vektoria, joka yhdistää ensimmäisen vektorin alun toisen loppuun summa näistä vektoreista ja on merkitty .

   

   Vektorilisäyksen muotoiltua määritelmää kutsutaan suunnikassääntö, koska sama vektorien summa voidaan saada seuraavasti. Siirrä sivuun pisteestä O vektorit ja. Muodostetaan suunnikkakaavio näille vektoreille OABS... Koska vektorit, niin sitten vektori, joka on kärjestä vedetyn suunnikkaan diagonaali O, on ilmeisesti vektorien summa.

   

   Seuraavat asiat on helppo tarkistaa vektorin lisäysominaisuudet.

3. Vektorien ero.

   Kutsutaan vektoria, joka on kollineaarinen tiettyyn vektoriin nähden, yhtä pitkä ja vastakkaiseen suuntaan vastapäätä vektori vektorille ja sitä merkitään. Vastakkaista vektoria voidaan pitää tuloksena kertomalla vektori luvulla λ = –1:.

Diagonaalimatriisit ovat yksinkertaisimpia. Herää kysymys, onko mahdollista löytää kanta, jossa lineaarioperaattorin matriisilla olisi diagonaalinen muoto. Tällainen perusta on olemassa.
Olkoon annettu lineaariavaruus R n ja siinä toimiva lineaarinen operaattori A; tässä tapauksessa operaattori A ottaa R n:n itseensä, eli A: R n → R n.

Määritelmä. Nollasta poikkeavaa vektoria kutsutaan operaattorin A ominaisvektoriksi, jos operaattori A muuntuu sille kollineaariseksi vektoriksi, ts. Lukua λ kutsutaan ominaisvektoria vastaavan operaattorin A ominaisarvoksi tai ominaisarvoksi.
Huomioikaa joitain ominaisarvojen ja ominaisvektorien ominaisuuksia.
1. Mikä tahansa ominaisvektorien lineaarinen yhdistelmä Samaa ominaisarvoa λ vastaavan operaattorin A ominaisuusvektori on sama ominaisarvo.
2. Ominaisvektorit operaattorin A pareittain erilaiset ominaisarvot λ 1, λ 2,…, λ m ovat lineaarisesti riippumattomia.
3. Jos ominaisarvot λ 1 = λ 2 = λ m = λ, niin ominaisarvo λ vastaa enintään m lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria.

Eli jos on n lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria jotka vastaavat erilaisia ​​ominaisarvoja λ 1, λ 2,…, λ n, ne ovat lineaarisesti riippumattomia, joten ne voidaan ottaa avaruuden R n perustaksi. Etsitään lineaarisen operaattorin A matriisin muoto sen ominaisvektorien perusteella, jolle toimimme operaattorin A toimesta kantavektoreiden perusteella: sitten .
Siten lineaarioperaattorin A matriisilla sen ominaisvektorien perusteella on diagonaalimuoto ja operaattorin A ominaisarvot sijaitsevat diagonaalissa.
Onko olemassa muuta perustaa, jossa matriisi on diagonaalinen? Vastaus tähän kysymykseen saadaan seuraavalla lauseella.

Lause. Lineaarisen operaattorin A matriisilla kannassa (i = 1..n) on diagonaalimuoto silloin ja vain, jos kaikki kannan vektorit ovat operaattorin A ominaisvektoreita.

Sääntö ominaisarvojen ja ominaisvektorien löytämiseksi

Anna vektori , missä x 1, x 2, ..., x n ovat vektorin koordinaatit kantaan nähden ja on ominaisarvoa λ vastaavan lineaarisen operaattorin A ominaisvektori, eli. Tämä suhde voidaan kirjoittaa matriisimuotoon

. (*)

Yhtälöä (*) voidaan pitää yhtälönä etsimiseen, eli olemme kiinnostuneita ei-triviaaleista ratkaisuista, koska ominaisvektori ei voi olla nolla. Tiedetään, että homogeenisen lineaarisen yhtälöjärjestelmän ei-triviaaleja ratkaisuja on olemassa silloin ja vain jos det (A - λE) = 0. Jotta λ olisi siis operaattorin A ominaisarvo, on välttämätöntä ja riittävää, että det (A - λE) = 0.
Jos yhtälö (*) kirjoitetaan yksityiskohtaisesti koordinaattimuodossa, saadaan lineaaristen homogeenisten yhtälöiden järjestelmä:

(1)
missä on lineaarisen operaattorin matriisi.

Järjestelmällä (1) on nollasta poikkeava ratkaisu, jos sen determinantti D on nolla

Vastaanotettu yhtälö ominaisarvojen löytämiseksi.
Tätä yhtälöä kutsutaan ominaisyhtälöksi ja sen vasenta puolta kutsutaan matriisin (operaattorin) A karakteristiseksi polynomiksi. Jos ominaispolynomilla ei ole todellisia juuria, niin matriisilla A ei ole ominaisvektoreita eikä sitä voida pelkistää diagonaalimuotoon. .
Olkoon λ 1, λ 2,…, λ n ominaisyhtälön todellisia juuria, ja niiden joukossa voi olla useita juuria. Korvaamalla nämä arvot vuorostaan ​​järjestelmäksi (1), löydämme ominaisvektorit.

Esimerkki 12. Lineaarinen operaattori A toimii R 3:ssa lain mukaan, missä x 1, x 2, .., x n ovat kantavektorin koordinaatit , , ... Etsi tämän operaattorin ominaisarvot ja ominaisvektorit.
Ratkaisu. Rakennamme tämän operaattorin matriisin:
.
Luomme järjestelmän ominaisvektorien koordinaattien määrittämiseksi:

Laadimme ominaisyhtälön ja ratkaisemme sen:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Korvaamalla λ = -1 järjestelmään, meillä on:
tai
Koska , silloin on kaksi riippuvaa muuttujaa ja yksi vapaa muuttuja.
Olkoon sitten x 1 vapaa tuntematon Ratkaisemme tämän järjestelmän millä tahansa tavalla ja löydämme tälle järjestelmälle yleisen ratkaisun: Ratkaisujen perusjärjestelmä koostuu yhdestä ratkaisusta, koska n - r = 3 - 2 = 1.
Ominaisarvoa λ = -1 vastaavalla ominaisvektorijoukolla on muoto:, jossa x 1 on mikä tahansa nollasta poikkeava luku. Valitaan yksi vektori tästä joukosta, esimerkiksi laittamalla x 1 = 1: .
Väittelemällä samalla tavalla, löydämme ominaisarvoa λ = 3 vastaavan ominaisvektorin: .
Avaruudessa R3 kanta koostuu kolmesta lineaarisesti riippumattomasta vektorista, mutta olemme saaneet vain kaksi lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria, joista kantaa R3:ssa ei voida muodostaa. Siksi lineaarioperaattorin matriisia A ei voida pelkistää diagonaalimuotoon.

Esimerkki 13. Annettu matriisi .
1. Todista, että vektori on matriisin A ominaisvektori. Etsi tätä ominaisvektoria vastaava ominaisarvo.
2. Etsi kanta, jossa matriisilla A on diagonaalinen muoto.
Ratkaisu.
1. Jos, niin - ominaisvektori

.
Vektori (1, 8, -1) on ominaisvektori. Ominaisarvo λ = -1.
Matriisin kantassa on diagonaalimuoto, joka koostuu ominaisvektoreista. Yksi heistä on kuuluisa. Etsitään loput.
Etsimme ominaisvektoreita järjestelmästä:

Ominaisuusyhtälö: ;
(3 + λ) [-2 (2-λ) (2 + λ) +3] = 0; (3 + λ) (λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Etsitään ominaisarvoa λ = -3 vastaava ominaisvektori:

Tämän järjestelmän matriisin arvo on kaksi ja se on yhtä suuri kuin tuntemattomien lukumäärä, joten tällä järjestelmällä on vain nollaratkaisu x 1 = x 3 = 0. x 2 voi tässä olla mikä tahansa nollasta poikkeava, esimerkiksi x 2 = 1. Siten vektori (0 , 1,0) on ominaisvektori, joka vastaa arvoa λ = -3. Tarkistetaan:
.
Jos λ = 1, niin saadaan järjestelmä
Matriisin sijoitus on kaksi. Poistamme viimeisen yhtälön.
Olkoon x 3 vapaa tuntematon. Sitten x 1 = -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3.
Asettamalla x 3 = 1, meillä on (-3, -9,1) - ominaisarvoa λ = 1 vastaava ominaisvektori. Varmistus:

.
Koska ominaisarvot ovat todellisia ja erilaisia, niitä vastaavat vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia, joten ne voidaan ottaa R3:n perustaksi. Perusteessa siis , , matriisilla A on muoto:
.
Lineaarisen operaattorin A: R n → R n jokaista matriisia ei voida pelkistää diagonaalimuotoon, koska joidenkin lineaaristen operaattorien lineaarisesti riippumattomat ominaisvektorit voivat olla pienempiä kuin n. Kuitenkin, jos matriisi on symmetrinen, täsmälleen m lineaarisesti riippumatonta vektoria vastaa multiplisisuuden m ominaisyhtälön juuria.

Määritelmä. Symmetrinen matriisi on neliömatriisi, jossa elementit, jotka ovat symmetrisiä päälävistäjän suhteen, ovat yhtä suuret, eli missä.
Huomautukset. 1. Kaikki symmetrisen matriisin ominaisarvot ovat todellisia.
2. Pareittain eri ominaisarvoja vastaavan symmetrisen matriisin ominaisvektorit ovat ortogonaalisia.
Tarkastellaan yhtenä tutkitun laitteen monista sovelluksista toisen kertaluvun käyrän muodon määrittämisen ongelmaa.

". Ensimmäisessä osassa esitetään vähimmäisvaatimukset kemometrian ymmärtämiseksi ja toisessa osassa - faktoja, jotka sinun tulee tietää monimuuttuja-analyysin menetelmien syvemmälle ymmärtämiseksi. Esitystä havainnollistetaan Excel-työkirjassa suoritetuilla esimerkeillä Matrix.xls joka on tämän asiakirjan mukana.

Viittaukset esimerkkeihin sijoitetaan tekstiin Excel-objekteina. Nämä esimerkit ovat luonteeltaan abstrakteja, eivätkä ne liity millään tavalla analyyttisen kemian ongelmiin. Todellisia esimerkkejä matriisialgebran käytöstä kemometriassa tarkastellaan muissa erilaisille kemometrisille sovelluksille omistetuissa teksteissä.

Suurin osa analyyttisen kemian mittauksista ei ole suoria, vaan epäsuora... Tämä tarkoittaa, että kokeessa saadaan halutun analyytin C arvon (konsentraatio) sijaan toinen arvo x(signaaliin) liittyvä, mutta ei yhtä suuri kuin C, ts. x(C) ≠ C. Pääsääntöisesti riippuvuuden tyyppi x(C) ei tiedossa, mutta onneksi analyyttisessä kemiassa useimmat mittaukset ovat suhteellisia. Tämä tarkoittaa, että kun C-pitoisuus kasvaa a kertaa, signaali X kasvaa saman verran. x(a C) = x(C). Lisäksi signaalit ovat myös additiivisia, joten signaali näytteestä, joka sisältää kahta ainetta, joiden pitoisuus on C 1 ja C 2, on yhtä suuri kuin kunkin komponentin signaalien summa, ts. x(C1 + C2) = x(C 1) + x(C 2). Suhteellisuus ja additiivisuus yhdessä antavat lineaarisuus... Lineaarisuuden periaatetta havainnollistaa monia esimerkkejä, mutta riittää mainita kaksi silmiinpistävintä esimerkkiä - kromatografia ja spektroskopia. Analyyttisen kemian kokeen toinen ominaisuus on monikanavainen... Nykyaikaiset analyyttiset laitteet mittaavat samanaikaisesti useiden kanavien signaaleja. Esimerkiksi valonläpäisyintensiteettiä mitataan usealla aallonpituudella kerralla, ts. spektri. Siksi kokeessa käsittelemme monia signaaleja x 1 , x 2 ,...., x n, joka kuvaa tutkittavassa järjestelmässä olevien aineiden pitoisuuksien joukkoa C 1, C 2, ..., C m.

Riisi. 1 spektri

Analyyttiselle kokeelle on siis ominaista lineaarisuus ja moniulotteisuus. Siksi on kätevää pitää kokeellista dataa vektoreina ja matriiseina ja käsitellä niitä matriisialgebran laitteistolla. Tämän lähestymistavan hedelmällisyyttä havainnollistaa alla oleva esimerkki, joka näyttää kolme spektriä, jotka on tallennettu 200 aallonpituudelle välillä 4000 - 4796 cm – 1. Ensimmäinen ( x 1) ja toinen ( x 2) spektrit saatiin standardinäytteille, joissa tiedetään kahden aineen A ja B pitoisuus: ensimmäisessä näytteessä [A] = 0,5, [B] = 0,1 ja toisessa näytteessä [A] = 0,2, [B ] = 0,6. Mitä voidaan sanoa uudesta, tuntemattomasta näytteestä, jonka spektri on määritetty x 3 ?

Tarkastellaan kolmea kokeellista spektriä x 1 , x 2 ja x 3 kolmena vektorina, joiden ulottuvuus on 200. Lineaarialgebran avulla voidaan helposti osoittaa, että x 3 = 0.1 x 1 +0.3 x 2; siksi kolmas näyte sisältää ilmeisesti vain aineita A ja B pitoisuuksina [A] = 0,5 × 0,1 + 0,2 × 0,3 = 0,11 ja [B] = 0,1 × 0,1 + 0,6 × 0,3 = 0,19.

1. Perustiedot

1.1 Matriisit

Matriisi kutsutaan esimerkiksi suorakaiteen muotoiseksi lukutaulukoksi

Riisi. 2 Matriisi

Matriisit on merkitty lihavoituin isoin kirjaimin ( A), ja niiden elementit - vastaavat pienet kirjaimet indekseillä, ts. a ij. Ensimmäinen indeksi numeroi rivit ja toinen sarakkeet. Kemometriassa on tapana merkitä indeksin maksimiarvo samalla kirjaimella kuin itse indeksi, mutta isolla kirjaimella. Siksi matriisi A voidaan kirjoittaa myös muodossa ( a ij , i = 1,..., minä; j = 1,..., J). Esimerkissä esitetylle matriisille minä = 4, J= 3 ja a 23 = −7.5.

Numeroiden pari minä ja J kutsutaan matriisin dimensioksi ja sitä merkitään minä× J... Esimerkki matriisista kemometriassa on spektrijoukko, joka on saatu minä näytteet päällä J aallonpituudet.

1.2. Yksinkertaiset matriisitoiminnot

Matriisit voivat kerrotaan numeroilla... Tässä tapauksessa jokainen elementti kerrotaan tällä numerolla. Esimerkiksi -

Riisi. 3 Matriisi kertominen numerolla

Kaksi saman ulottuvuuden matriisia voi olla elementtikohtaista taita ja vähentää... Esimerkiksi,

Riisi. 4 Matriisilisäys

Lukulla kertomisen ja yhteenlaskemisen tuloksena saadaan samankokoinen matriisi.

Nollamatriisi on matriisi, joka koostuu nollista. Se on merkitty O... Se on selvää A+O = A, A−A = O ja 0 A = O.

Matriisi voi olla transponoida... Tämän toimenpiteen aikana matriisia käännetään, ts. rivit ja sarakkeet vaihdetaan. Transponointi ilmaistaan ​​viivalla, A"tai indeksi A t. Niin jos A = {a ij , i = 1,..., minä; j = 1,...,J), sitten A t = ( a ji , j = 1,...,J; i = 1, ..., minä). Esimerkiksi

Riisi. 5 Transponoi matriisi

On selvää, että ( A t) t = A, (A+B) t = A t + B t.

1.3. Matriisin kertolasku

Matriisit voivat moninkertaistaa, mutta vain jos niillä on sopivat mitat. Miksi näin on, selviää määritelmästä. Matriisin tulo A, ulottuvuus minä× K, ja matriiseja B, ulottuvuus K× J kutsutaan matriisiksi C, ulottuvuus minä× J joiden alkiot ovat numeroita

Siten tuottaa AB on välttämätöntä, että sarakkeiden lukumäärä vasemmassa matriisissa A oli yhtä suuri kuin oikean matriisin rivien lukumäärä B... Esimerkki matriisituotteesta -

Kuva 6 Matriisituote

Matriisikertolasääntö voidaan muotoilla seuraavasti. Matriisielementin löytäminen C seisoo risteyksessä i- rivi ja j- sarake ( c ij) on kerrottava elementti kerrallaan i ensimmäisen matriisin rivi A päällä j toisen matriisin sarake B ja laske kaikki tulokset yhteen. Joten esitetyssä esimerkissä kolmannen rivin ja toisen sarakkeen elementti saadaan kolmannen rivin elementtikohtaisten tulojen summana A ja toinen sarake B

Kuva 7 Matriisituoteelementti

Matriisien tulo riippuu järjestyksestä, ts. AB ≠ BA, joskin vain ulottuvuussyistä. Sen sanotaan olevan ei-kommutatiivista. Matriisituotteet ovat kuitenkin assosiatiivisia. Se tarkoittaa sitä ABC = (AB)C = A(eKr). Lisäksi se on myös distributiivinen, ts. A(B+C) = AB+AC... Se on selvää AO = O.

1.4. Neliömatriisit

Jos matriisin sarakkeiden lukumäärä on yhtä suuri kuin sen rivien lukumäärä ( minä = J = N), tällaista matriisia kutsutaan neliöksi. Tässä osiossa tarkastelemme vain sellaisia ​​matriiseja. Näistä matriiseista voidaan erottaa matriiseja, joilla on erityisiä ominaisuuksia.

Yksittäinen matriisi (merkitty minä, ja joskus E) on matriisi, jossa kaikki alkiot ovat yhtä suuria kuin nolla, paitsi diagonaaliset alkiot, jotka ovat yhtä suuret kuin 1, ts.

Ilmeisesti AI = IA = A.

Matriisia kutsutaan diagonaalinen jos kaikki sen elementit, paitsi diagonaaliset ( a ii) ovat nolla. Esimerkiksi

Riisi. 8 Diagonaalinen matriisi

Matriisi A kutsutaan huipulle kolmion muotoinen jos kaikki sen diagonaalin alapuolella olevat alkiot ovat yhtä suuria kuin nolla, ts. a ij= 0, varten i>j... Esimerkiksi

Riisi. 9 Ylempi kolmiomatriisi

Alempi kolmiomatriisi määritellään samalla tavalla.

Matriisi A nimeltään symmetrinen, jos A t = A... Toisin sanoen a ij = a ji... Esimerkiksi

Riisi. 10 Symmetrinen matriisi

Matriisi A nimeltään ortogonaalinen, jos

A t A = AA t = minä.

Matriisia kutsutaan normaali jos

1.5. Jälki ja determinantti

Jonka jälkeen neliömatriisi A(merkitty Tr ( A) tai Sp ( A)) on sen diagonaalielementtien summa,

Esimerkiksi,

Riisi. 11 Matriisijäljitys

Se on selvää

Sp (α A) = α Sp ( A) ja

Sp ( A+B) = Sp ( A) + Sp ( B).

Sen voi osoittaa

Sp ( A) = Sp ( A t), Sp ( minä) = N,

ja myös sitä

Sp ( AB) = Sp ( BA).

Toinen neliömatriisin tärkeä ominaisuus on sen määräävä tekijä(merkitty det ( A)). Determinantin määrittäminen yleisessä tapauksessa on melko vaikeaa, joten aloitamme yksinkertaisimmasta vaihtoehdosta - matriisista A mitat (2 × 2). Sitten

(3 × 3) matriisilla determinantti on

Matriisin tapauksessa ( N× N) determinantti lasketaan summana 1 2 3 ... N= N! termejä, joista jokainen on yhtä suuri

Indeksit k 1 , k 2 ,..., k N määritellään kaikiksi mahdollisiksi järjestetyiksi permutaatioiksi r numerot sarjassa (1, 2, ..., N). Matriisin determinantin laskenta on monimutkainen toimenpide, joka käytännössä suoritetaan erityisohjelmien avulla. Esimerkiksi,

Riisi. 12 Matriisideterminantti

Huomioimme vain ilmeiset ominaisuudet:

det ( minä) = 1, det ( A) = det ( A t),

det ( AB) = det ( A) det ( B).

1.6. Vektorit

Jos matriisi koostuu vain yhdestä sarakkeesta ( J= 1), niin tällaista objektia kutsutaan vektori... Tarkemmin sanottuna sarakevektori. Esimerkiksi

Voidaan tarkastella myös esimerkiksi yhdestä rivistä koostuvia matriiseja

Tämä objekti on myös vektori, mutta rivivektori... Dataa analysoitaessa on tärkeää ymmärtää, minkä vektoreiden kanssa olemme tekemisissä - sarakkeiden tai rivien kanssa. Joten yhdelle näytteelle otettua spektriä voidaan pitää rivivektorina. Tällöin spektrin intensiteettien joukkoa tietyllä aallonpituudella kaikille näytteille on käsiteltävä pylväsvektorina.

Vektorin ulottuvuus on sen elementtien lukumäärä.

On selvää, että mikä tahansa sarakevektori voidaan muuntaa rivivektoriksi transponoimalla, ts.

Niissä tapauksissa, joissa vektorin muotoa ei ole erikseen määritelty, vaan yksinkertaisesti sanotaan vektori, ne tarkoittavat sarakevektoria. Noudatamme myös tätä sääntöä. Vektori on merkitty pienellä suoralla lihavoitulla kirjaimella. Nollavektori on vektori, jonka kaikki elementit ovat nollia. Se on nimetty 0 .

1.7. Perusoperaatiot vektoreilla

Vektoreita voidaan lisätä ja kertoa luvuilla samalla tavalla kuin matriiseja. Esimerkiksi,

Riisi. 13 Vektorioperaatiot

Kaksi vektoria x ja y kutsutaan kolineaarinen jos on sellainen luku α, että

1.8 Vektorien tuotteet

Kaksi saman ulottuvuuden vektoria N voidaan moninkertaistaa. Olkoon kaksi vektoria x = (x 1 , x 2 ,...,x N) t ja y = (y 1 , y 2 ,...,y N) t. Kertomissäännön "rivi sarakkeelta" ohjaamana voimme muodostaa niistä kaksi tuotetta: x t y ja xy t. Ensimmäinen pala

nimeltään skalaari tai sisäinen... Sen tulos on luku. Se käyttää myös merkintää ( x,y)= x t y... Esimerkiksi,

Riisi. 14 Sisätuote (pistetuote)

Toinen pala

nimeltään ulkoinen... Sen tulos on ulottuvuusmatriisi ( N× N). Esimerkiksi,

Riisi. 15 Ulkopuoliset työt

Vektoreita, joiden skalaaritulo on nolla, kutsutaan ortogonaalinen.

1.9. Vektori normi

Vektorin skalaarituloa sinänsä kutsutaan skalaarinelioksi. Tämä arvo

määrittelee neliön pituus vektori x... Pituuden ilmaisemiseksi (kutsutaan myös normi vektori), merkintää käytetään

Esimerkiksi,

Riisi. 16 Vektorinorm

Yksikköpituuden vektori (|| x|| = 1) kutsutaan normalisoiduksi. Nollasta poikkeava vektori ( x ≠ 0 ) voidaan normalisoida jakamalla se pituudella, ts. x = ||x|| (x /||x||) = ||x|| e... Tässä e = x /||x|| on normalisoitu vektori.

Vektoreita kutsutaan ortonormaaleiksi, jos ne ovat kaikki normalisoituja ja pareittain ortogonaalisia.

1.10. Kulma vektorien välillä

Pistetulo määrittelee ja injektioφ kahden vektorin välillä x ja y

Jos vektorit ovat ortogonaalisia, niin cosφ = 0 ja φ = π / 2, ja jos ne ovat kollineaarisia, niin cosφ = 1 ja φ = 0.

1.11. Matriisin vektoriesitys

Jokainen matriisi A koko minä× J voidaan esittää vektoreiden joukkona

Tässä jokainen vektori a j on j sarake ja rivivektori b i on i-matriisin rivi A

1.12. Lineaarisesti riippuvaiset vektorit

Saman ulottuvuuden vektorit ( N) voidaan lisätä ja kertoa luvulla, kuten matriisit. Tuloksena on samankokoinen vektori. Olkoon useita saman ulottuvuuden vektoreita x 1 , x 2 ,...,x K ja sama määrä lukuja α α 1, α 2, ..., α K... Vektori

y= α 1 x 1 + α 2 x 2 + ... + α K x K

nimeltään lineaarinen yhdistelmä vektorit x k .

Jos on sellaisia ​​nollasta poikkeavia lukuja α k ≠ 0, k = 1,..., K, mitä y = 0 , sitten tällainen vektoreiden joukko x k nimeltään lineaarisesti riippuvainen... Muuten vektoreita kutsutaan lineaarisesti riippumattomiksi. Esimerkiksi vektorit x 1 = (2, 2) t ja x 2 = (−1, −1) t ovat lineaarisesti riippuvaisia, koska x 1 +2x 2 = 0

1.13. Matrix sijoitus

Harkitse joukkoa K vektorit x 1 , x 2 ,...,x K mitat N... Tämän vektorijärjestelmän järjestys on lineaarisesti riippumattomien vektoreiden enimmäismäärä. Esimerkiksi setissä

on esimerkiksi vain kaksi lineaarisesti riippumatonta vektoria x 1 ja x 2, joten sen sijoitus on 2.

Ilmeisesti jos joukossa on enemmän vektoreita kuin niiden ulottuvuus ( K>N), ne ovat välttämättä lineaarisesti riippuvaisia.

Matriisin arvon mukaan(merkitty arvolla ( A)) kutsutaan sen vektorijärjestelmän arvoksi, josta se koostuu. Vaikka mikä tahansa matriisi voidaan esittää kahdella tavalla (vektorit, sarakkeet tai rivit), tämä ei vaikuta järjestyksen arvoon, koska

1.14. käänteinen matriisi

Neliömatriisi A kutsutaan nondegenerateksi, jos sillä on ainutlaatuinen käänteinen matriisi A-1 määräytyy ehtojen mukaan

AA −1 = A −1 A = minä.

Käänteismatriisia ei ole olemassa kaikille matriiseille. Tarpeellinen ja riittävä ehto rappeutumattomuudelle on

det ( A) ≠ 0 tai sijoitus ( A) = N.

Matriisiinversio on monimutkainen prosessi, jota varten on olemassa erityisiä ohjelmia. Esimerkiksi,

Riisi. 17 Matriisin inversio

Esitetään kaavat yksinkertaisimmalle tapaukselle - 2 × 2 matriisit

Jos matriisit A ja B ei-degeneroitunut siis

(AB) −1 = B −1 A −1 .

1.15. Pseudoinverse matriisi

Jos matriisi A on rappeutunut ja käänteismatriisia ei ole olemassa, niin joissain tapauksissa voidaan käyttää pseudo-inversio matriisi, joka on määritelty sellaiseksi matriisiksi A+ tuo

AA + A = A.

Pseudo-inversio matriisi ei ole ainoa, ja sen tyyppi riippuu rakennusmenetelmästä. Esimerkiksi suorakulmaisessa matriisissa voit käyttää Moore-Penrose-menetelmää.

Jos sarakkeiden määrä on pienempi kuin rivien määrä, niin

A + =(A t A) −1 A t

Esimerkiksi,

Riisi. 17a Matriisin pseudoinversio

Jos sarakkeiden määrä on suurempi kuin rivien määrä, niin

A + =A t ( AA t) −1

1.16. Vektorin kertominen matriisilla

Vektori x voidaan kertoa matriisilla A sopiva mitta. Tässä tapauksessa sarakevektori kerrotaan oikealla Kirves ja rivivektori on vasemmalla x t A... Jos vektorin ulottuvuus J, ja matriisin ulottuvuus minä× J niin tuloksena on ulottuvuuden vektori minä... Esimerkiksi,

Riisi. 18 Vektori matriisikertolaskulla

Jos matriisi A- neliö ( minä× minä), sitten vektori y = Kirves on sama mitta kuin x... Se on selvää

A(α 1 x 1 + α 2 x 2) = α 1 Kirves 1 + α 2 Kirves 2 .

Siksi matriiseja voidaan pitää vektorien lineaarisina muunnoksina. Erityisesti Ix = x, Härkä = 0 .

2. Lisätiedot

2.1. Lineaariyhtälöjärjestelmät

Anna olla A- matriisin koko minä× J, a b- ulottuvuuden vektori J... Harkitse yhtälöä

Kirves = b

vektorin suhteen x, mitat minä... Itse asiassa tämä on järjestelmä minä lineaariset yhtälöt kanssa J tuntematon x 1 ,...,x J... Ratkaisu on olemassa jos ja vain jos

sijoitus ( A) = sijoitus ( B) = R,

missä B on laajennettu ulottuvuusmatriisi minä×( J + 1), joka koostuu matriisista A pehmustettu pylväällä b, B = (A b). Muuten yhtälöt ovat epäjohdonmukaisia.

Jos R = minä = J, niin ratkaisu on ainutlaatuinen

x = A −1 b.

Jos R < minä, silloin on olemassa monia erilaisia ​​ratkaisuja, jotka voidaan ilmaista lineaarisen yhdistelmän avulla J−R vektorit. Homogeeninen yhtälöjärjestelmä Kirves = 0 neliömatriisi A (N× N) on ei-triviaali ratkaisu ( x ≠ 0 ) jos ja vain jos det ( A) = 0. Jos R= sijoitus ( A)<N sitten olemassa N−R lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja.

2.2. Bilineaariset ja neliömuodot

Jos A on neliömatriisi, ja x ja y ovat vastaavan ulottuvuuden vektoreita, sitten muodon skalaaritulo x t Ay nimeltään bilineaarinen matriisin määrittelemä muoto A... klo x = y ilmaisu x t Kirves nimeltään neliöllinen muodossa.

2.3. Positiiviset määrätyt matriisit

Neliömatriisi A nimeltään positiivisesti määritelty jos jollekin nollasta poikkeavalle vektorille x ≠ 0 ,

x t Kirves > 0.

Samalla tavalla määritelty negatiivisesti (x t Kirves < 0), ei-negatiivinen (x t Kirves≥ 0) ja ei positiivista (x t Kirves≤ 0) tietyt matriisit.

2.4. Cholesky-hajoaminen

Jos symmetrinen matriisi A on positiivinen määrätty, silloin on olemassa ainutlaatuinen kolmimatriisi U positiivisia elementtejä, joille

A = U t U.

Esimerkiksi,

Riisi. 19 Cholesky-hajoaminen

2.5. Polaarinen hajoaminen

Anna olla A on muuttumaton neliömatriisi N× N... Sitten on yksi yhteen napainen esitys

A = SR,

missä S on ei-negatiivinen symmetrinen matriisi, ja R on ortogonaalinen matriisi. Matriisit S ja R voidaan määritellä selkeästi:

S 2 = AA t tai S = (AA t) ½ ja R = S −1 A = (AA t) −1 A.

Esimerkiksi,

Riisi. 20 Polaarinen hajoaminen

Jos matriisi A on rappeutunut, laajennus ei ole ainutlaatuinen - nimittäin: S yksin, mutta silti R ehkä paljon. Polaarinen hajoaminen edustaa matriisia A puristuksen/venytyksen yhdistelmänä S ja kääntyminen R.

2.6. Ominaisvektorit ja ominaisarvot

Anna olla A on neliömatriisi. Vektori v nimeltään ominaisvektori matriiseja A, jos

Av = λ v,

jossa kutsutaan numeroa λ omaa merkitystä matriiseja A... Siten matriisin suorittama muunnos A yli vektorin v, pelkistetään yksinkertaiseksi venyttämiseksi tai puristamiseksi kertoimella λ. Ominaisuusvektori määritetään kertomiseen saakka vakiolla α ≠ 0, ts. jos v on ominaisvektori, silloin α v on myös ominaisvektori.

2.7. Ominaisarvot

Matriisi A, mitta ( N× N) ei voi olla suurempi kuin N ominaisarvot. He tyydyttävät ominaisyhtälö

det ( A − λ minä) = 0,

joka on algebrallinen yhtälö N järjestyksessä. Erityisesti 2 × 2 -matriisissa ominaisyhtälöllä on muoto

Esimerkiksi,

Riisi. 21 Ominaisarvot

Ominaisuusarvojen joukko λ 1, ..., λ N matriiseja A nimeltään spektri A.

Spektrillä on erilaisia ​​ominaisuuksia. Erityisesti

det ( A) = λ 1 × ... × λ N, Sp ( A) = λ 1 + ... + λ N.

Satunnaisen matriisin ominaisarvot voivat olla kompleksilukuja, mutta jos matriisi on symmetrinen ( A t = A), sen ominaisarvot ovat todellisia.

2.8. Omat vektorit

Matriisi A, mitta ( N× N) ei voi olla suurempi kuin N ominaisvektorit, joista jokainen vastaa omaa arvoaan. Ominaisuusvektorin määrittäminen v n sinun on ratkaistava homogeeninen yhtälöjärjestelmä

(A − λ n minä)v n = 0 .

Sillä on ei-triviaali ratkaisu, koska det ( A -λ n minä) = 0.

Esimerkiksi,

Riisi. 22 ominaisvektoria

Symmetrisen matriisin ominaisvektorit ovat ortogonaalisia.

Jos matriisilla A on sellainen luku l, että AX = lX.

Lisäksi numeroa l kutsutaan omaa merkitystä operaattoria (matriisi A), joka vastaa vektoria X.

Toisin sanoen ominaisvektori on vektori, joka lineaarioperaattorin vaikutuksesta muuttuu kollineaariseksi vektoriksi, ts. kerrottuna vain jollain numerolla. Sitä vastoin sopimattomia vektoreita on vaikeampi muuntaa.

Kirjoitetaan ominaisvektorin määritelmä yhtälöjärjestelmän muotoon:

Siirretään kaikki ehdot vasemmalle puolelle:

Jälkimmäinen järjestelmä voidaan kirjoittaa matriisimuotoon seuraavasti:

(A - lE) X = O

Tuloksena olevalla järjestelmällä on aina nollaratkaisu X = O. Sellaisia ​​järjestelmiä, joissa kaikki vapaat termit ovat yhtä suuret kuin nolla, kutsutaan homogeeninen... Jos tällaisen järjestelmän matriisi on neliö ja sen determinantti ei ole yhtä suuri kuin nolla, niin Cramerin kaavoilla saamme aina ainutlaatuisen ratkaisun - nollan. Voidaan todistaa, että järjestelmässä on nollasta poikkeavia ratkaisuja, jos ja vain, jos tämän matriisin determinantti on yhtä suuri kuin nolla, ts.

| A - LE | = = 0

Tätä yhtälöä tuntemattomalla l:llä kutsutaan ominaisyhtälö (ominaispolynomi) matriisin A (lineaarinen operaattori).

Voidaan osoittaa, että lineaarioperaattorin karakteristinen polynomi ei riipu kantan valinnasta.

Etsitään esimerkiksi matriisin A = antaman lineaarioperaattorin ominaisarvot ja ominaisvektorit.

Tätä varten laadimme ominaisyhtälön | A - lЕ | = = (1 - l) 2 - 36 = 1 - 21 + l 2 - 36 = 12 - 21 - 35 = 0; D = 4 + 140 = 144; ominaisarvot l 1 = (2 - 12) / 2 = -5; l 2 = (2 + 12) / 2 = 7.

Ominaisuusvektorien löytämiseksi ratkaisemme kaksi yhtälöjärjestelmää

(A + 5E) X = O

(A - 7E) X = O

Ensimmäiselle niistä laajennettu matriisi ottaa muodon

,

mistä x2 = c, x1 + (2/3) c = 0; x 1 = - (2/3) s, so. X (1) = (- (2/3) s; s).

Toiselle niistä laajennettu matriisi saa muodon

,

mistä x 2 = c 1, x 1 - (2/3) c 1 = 0; x 1 = (2/3) s 1, so. X(2) = ((2/3) s 1; s 1).

Siten tämän lineaarisen operaattorin ominaisvektorit ovat kaikki muotoa (- (2/3) с; с) olevat vektorit ominaisarvolla (-5) ja kaikki vektorit muotoa ((2/3) с 1; с 1) ominaisarvolla 7...

Voidaan osoittaa, että operaattorin A matriisi sen ominaisvektoreista koostuvassa kannassa on diagonaalinen ja muotoa:

,

missä l i ovat tämän matriisin ominaisarvot.

Päinvastoin on myös totta: jos matriisi A jossakin kannassa on diagonaalinen, niin kaikki tämän kannan vektorit ovat tämän matriisin ominaisvektoreita.

Voidaan myös todistaa, että jos lineaarisella operaattorilla on n pareittain erilaista ominaisarvoa, niin vastaavat ominaisvektorit ovat lineaarisesti riippumattomia ja tämän operaattorin matriisilla vastaavassa kannassa on diagonaalimuoto.

Selvitetään tämä edellisellä esimerkillä. Otetaan mielivaltaiset nollasta poikkeavat arvot с ja с 1, mutta niin, että vektorit X (1) ja X (2) ovat lineaarisesti riippumattomia, ts. muodostaisi pohjan. Olkoon esimerkiksi c = c 1 = 3, sitten X (1) = (-2; 3), X (2) = (2; 3).

Varmistetaan näiden vektorien lineaarinen riippumattomuus:

12 ≠ 0. Tässä uudessa kannassa matriisi A saa muotoa A * =.

Tämän tarkistamiseksi käytämme kaavaa A * = C -1 AC. Ensin löydämme C -1.

С -1 = ;

Neliölliset muodot

Neliöllinen muoto n muuttujan f (x 1, x 2, xn) kutsutaan summaksi, jonka jokainen termi on joko yhden muuttujan neliö tai kahden eri muuttujan tulo tietyllä kertoimella: f (x 1) , x 2, xn) = (a ij = a ji).

Näistä kertoimista koostuvaa matriisia A kutsutaan matriisi neliöllinen muoto. Se on aina symmetrinen matriisi (eli matriisi, joka on symmetrinen päädiagonaalin suhteen, a ij = a ji).

Matriisimerkinnässä neliömuoto on f (X) = X T AX, missä

Todellakin

Esimerkiksi kirjoitetaan neliömuoto matriisimuodossa.

Tätä varten löydämme neliömuotoisen matriisin. Sen diagonaaliset elementit ovat yhtä suuria kuin muuttujien neliöiden kertoimet ja loput alkiot ovat yhtä suuria kuin puolet neliömuodon vastaavista kertoimista. Siksi

Olkoon muuttujien X matriisisarake saatu matriisi-sarakkeen Y ei-degeneroituneella lineaarisella muunnoksella, ts. X = CY, missä С on kertaluvun n rappeutumaton matriisi. Sitten neliömuoto f (X) = X T AX = (CY) TA (CY) = (Y T C T) A (CY) = Y T (C T AC) Y.

Siten ei-degeneroituneella lineaarisella muunnoksella C neliömuodon matriisi saa muodon: A * = C T AC.

Etsitään esimerkiksi neliömuoto f (y 1, y 2), joka saadaan neliömuodosta f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 lineaarimuunnoksen avulla.

Kvadraattista muotoa kutsutaan kanoninen(Sillä on kanoninen näkemys) jos kaikki sen kertoimet a ij = 0 kun i ≠ j, eli
f (x 1, x 2, x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 =.

Sen matriisi on diagonaalinen.

Lause(Tässä ei ole todisteita). Mikä tahansa neliömuoto voidaan pelkistää kanoniseen muotoon käyttämällä ei-degeneroitunutta lineaarimuunnosa.

Esimerkiksi tuomme kanoniseen muotoon neliömuodon
f (x 1, x 2, x 3) = 2 x 1 2 + 4 x 1 x 2 - 3 x 2 2 - x 2 x 3.

Voit tehdä tämän valitsemalla ensin kokonaisen neliön muuttujalla x 1:

f (x 1, x 2, x 3) = 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 x 2 2 - x 2 x 3.

Nyt valitsemme täydellisen neliön muuttujalla x 2:

f (x 1, x 2, x 3) = 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 + 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2) + (5/100) x 3 2 =
= 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 + (1/20) x 3 2.

Sitten ei-degeneroitu lineaarinen muunnos y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 + (1/10) x 3 ja y 3 = x 3 pelkistää tämän toisen asteen muodon kanoniseen muotoon f (y 1, y 2 , y 3) = 2 v 1 2 - 5 v 2 2 + (1/20) y 3 2.

Huomaa, että toisen asteen muodon kanoninen muoto määritetään moniselitteisesti (sama neliömuoto voidaan pelkistää kanoniseksi muotoon eri tavoin). Eri tavoin saaduilla kanonisilla muodoilla on kuitenkin useita yhteisiä ominaisuuksia. Erityisesti niiden termien lukumäärä, joissa on neliömuodon positiiviset (negatiiviset) kertoimet, ei riipu menetelmästä, jolla muoto pelkistetään tähän muotoon (esimerkiksi tarkasteltavassa esimerkissä on aina kaksi negatiivista ja yksi positiivinen kerroin) . Tätä ominaisuutta kutsutaan toisen asteen muotojen hitauslaiksi.

Varmistetaan tämä pelkistämällä sama neliömuoto kanoniseen muotoon eri tavalla. Aloitetaan muunnos muuttujalla x 2:

f (x 1, x 2, x 3) = 2 x 1 2 + 4 x 1 x 2 - 3 x 2 2 - x 2 x 3 = -3 x 2 2 - x 2 x 3 + 4 x 1 x 2 + 2 x 1 2 = - 3 (x 2 2 +
+ 2 * x 2 ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2) + 3 ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3 (x 2 + (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 + 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2 x 1 2 = f (y 1, y 2, y 3) = -3y 1 2 -
+ 3y 2 2 + 2y 3 2, missä y 1 = - (2/3) x 1 + x 2 + (1/6) x 3, y 2 = (2/3) x 1 + (1/6) x 3 ja y 3 = x 1. Tässä negatiivinen kerroin -3 y 1:lle ja kaksi positiivista kerrointa 3 ja 2 y 2:lle ja y 3:lle (ja toista menetelmää käytettäessä saimme negatiivisen kertoimen (-5) y 2:lle ja kaksi positiivista: 2 y 1:lle ja 1/20 v 3).

On myös huomattava, että asteen matriisin neliömuoto, ns asteen muodon arvo, on yhtä suuri kuin kanonisen muodon nollasta poikkeavien kertoimien lukumäärä eikä muutu lineaarisissa muunnoksissa.

Kutsutaan neliömuotoa f (X). positiivisesti (negatiivisesti) varma jos kaikille muuttujien arvoille, jotka eivät ole yhtä suuria kuin nolla, se on positiivinen, ts. f (X)> 0 (negatiivinen, ts.
f (X)< 0).

Esimerkiksi neliömuoto f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 on positiivinen määrätty, koska on neliöiden summa, ja neliömuoto f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 on negatiivinen määrätty, koska edustaa sitä voidaan esittää muodossa f 2 (X) = - (x 1 - x 2) 2.

Useimmissa käytännön tilanteissa toisen asteen muodon tarkkuuden toteaminen on hieman vaikeampaa, joten tähän käytetään jotakin seuraavista lauseista (muotoilemme ne ilman todisteita).

Lause... Neliömuoto on positiivinen (negatiivinen) määrätty silloin ja vain, jos kaikki sen matriisin ominaisarvot ovat positiivisia (negatiivisia).

Lause(Sylvesterin kriteeri). Neliömuoto on positiivinen, jos ja vain jos kaikki tämän muodon matriisin päämollit ovat positiivisia.

Major (nurkka) molli N:nnen kertaluvun matriisin А k:nnettä kertalukua kutsutaan matriisin determinantiksi, joka koostuu matriisin А () ensimmäisestä k rivistä ja sarakkeesta.

Huomaa, että negatiivisissa määritetyissä kvadraattisissa muodoissa iso-mollin merkit vuorottelevat ja ensimmäisen asteen mollin on oltava negatiivinen.

Tarkastellaan esimerkiksi toisen asteen muotoa f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 merkin tarkkuuden suhteen.

= (2 - l) *
* (3 - l) - 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 = 1 2 - 5 l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
... Siksi neliömuoto on positiivinen määrätty.

Menetelmä 2. Matriisin ensimmäisen kertaluvun pää-molli А D 1 = a 11 = 2> 0. Toisen kertaluvun pää-molli D 2 = = 6 - 4 = 2> 0. Siksi Sylvesterin kriteerin mukaan neliömuoto on positiivinen määrätty.

Tutkitaan toista neliömuotoa merkkimäärityksestä, f (x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Menetelmä 1. Muodostetaan matriisi, jonka neliömuoto on A =. Tunnusomaisella yhtälöllä on muoto = (-2 - l) *
* (- 3 - l) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5 l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
... Siksi neliömuoto on negatiivinen definitiivinen.

Menetelmä 2. Matriisin ensimmäisen kertaluvun päämolli A D 1 = a 11 =
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. Sylvesterin kriteerin mukaan neliömuoto on siis negatiivinen definitiivinen (suurten mollien merkit vuorottelevat, alkaen miinuksesta).

Ja toisena esimerkkinä tutkitaan neliömuotoa f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 merkin määrittämistä varten.

Menetelmä 1. Muodostetaan matriisi, jonka neliömuoto on A =. Tunnusomaisella yhtälöllä on muoto = (2 - l) *
* (- 3 - l) - 4 = (-6 - 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + l - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;
.

Toinen näistä luvuista on negatiivinen ja toinen on positiivinen. Ominaisuusarvojen merkit ovat erilaisia. Näin ollen neliömuoto ei voi olla negatiivinen eikä positiivinen definiitti, ts. tämä neliömuoto ei ole tarkka (se voi ottaa minkä tahansa merkin arvoja).

Menetelmä 2. Matriisin ensimmäisen kertaluvun pää-molli A D 1 = a 11 = 2> 0. Toisen kertaluvun suur-molli D 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).

Kuinka lisätä matemaattisia kaavoja verkkosivustolle?

Jos sinun on joskus lisättävä yksi tai kaksi matemaattista kaavaa verkkosivulle, helpoin tapa tehdä tämä on artikkelissa kuvattu: matemaattiset kaavat voidaan helposti lisätä sivustoon kuvien muodossa, jotka Wolfram Alpha luo automaattisesti. Yksinkertaisuuden lisäksi tämä monipuolinen menetelmä auttaa parantamaan sivustosi näkyvyyttä hakukoneissa. Se on toiminut pitkään (ja uskon, että se toimii ikuisesti), mutta se on jo moraalisesti vanhentunut.

Jos käytät säännöllisesti matemaattisia kaavoja sivustollasi, suosittelen käyttämään MathJaxia, erityistä JavaScript-kirjastoa, joka näyttää matemaattiset merkinnät verkkoselaimissa käyttäen MathML-, LaTeX- tai ASCIIMathML-merkintöjä.

On kaksi tapaa aloittaa MathJaxin käyttö: (1) yksinkertaisella koodilla voit nopeasti liittää sivustoosi MathJax-skriptin, joka ladataan automaattisesti etäpalvelimelta oikeaan aikaan (palvelinluettelo); (2) Lataa MathJax-skripti etäpalvelimelta palvelimellesi ja yhdistä se sivustosi kaikille sivuille. Toinen menetelmä, joka on monimutkaisempi ja aikaa vievämpi, nopeuttaa sivustosi sivujen latautumista, ja jos MathJax-ylemmän palvelimen jostain syystä tilapäisesti ei ole käytettävissä, tämä ei vaikuta omaan sivustoosi millään tavalla. Näistä eduista huolimatta valitsin ensimmäisen menetelmän, koska se on yksinkertaisempi, nopeampi eikä vaadi teknisiä taitoja. Seuraa esimerkkiäni, ja 5 minuutissa voit käyttää kaikkia MathJaxin ominaisuuksia sivustollasi.

Voit yhdistää MathJax-kirjaston komentosarjan etäpalvelimelta käyttämällä kahta versiota koodista, joka on otettu MathJax-pääsivustolta tai dokumentaatiosivulta:

Yksi näistä koodiversioista on kopioitava ja liitettävä verkkosivusi koodiin, mieluiten tunnisteiden väliin ja tai heti tagin jälkeen ... Ensimmäisen vaihtoehdon mukaan MathJax latautuu nopeammin ja hidastaa sivua vähemmän. Mutta toinen vaihtoehto seuraa ja lataa automaattisesti MathJaxin uusimmat versiot. Jos lisäät ensimmäisen koodin, se on päivitettävä säännöllisesti. Jos lisäät toisen koodin, sivut latautuvat hitaammin, mutta sinun ei tarvitse jatkuvasti seurata MathJax-päivityksiä.

Helpoin tapa yhdistää MathJax on Bloggerissa tai WordPressissä: lisää sivustosi hallintapaneeliin widget, joka on suunniteltu lisäämään kolmannen osapuolen JavaScript-koodia, kopioi siihen ensimmäinen tai toinen versio yllä esitetystä latauskoodista ja aseta widget lähemmäs mallin alku (muuten, tämä ei ole ollenkaan välttämätöntä, koska MathJax-skripti ladataan asynkronisesti). Siinä kaikki. Opi nyt MathML-, LaTeX- ja ASCIIMathML-merkintäsyntaksi, ja olet valmis upottamaan matemaattisia kaavoja verkkosivustosi verkkosivuille.

Mikä tahansa fraktaali rakennetaan tietyn säännön mukaan, jota sovelletaan johdonmukaisesti rajoittamattoman määrän kertoja. Jokaista tällaista aikaa kutsutaan iteraatioksi.

Iteratiivinen algoritmi Menger-sienen rakentamiseksi on melko yksinkertainen: alkuperäinen kuutio, jonka sivu on 1, on jaettu sen pintojen suuntaisilla tasoilla 27 yhtä suureen kuutioon. Yksi keskuskuutio ja 6 vierekkäistä kuutiota poistetaan siitä. Tuloksena on sarja, joka koostuu jäljellä olevista 20 pienemmästä kuutiosta. Tekemällä saman jokaisen näistä kuutioista, saamme sarjan, joka koostuu jo 400 pienemmästä kuutiosta. Jatkamalla tätä prosessia loputtomasti, saamme Menger-sienen.