La séquence numérique et sa limite représentent l'un des les problèmes les plus importants mathématiques tout au long de l'histoire de cette science. Des connaissances constamment mises à jour, de nouveaux théorèmes et preuves formulés - tout cela nous permet de considérer cette notion de nouveaux postes et sous différents

Une séquence de nombres, selon l'une des définitions les plus courantes, est une fonction mathématique dont la base est un ensemble de nombres naturels disposés selon l'un ou l'autre modèle.

Il existe plusieurs options pour créer des souches de numéros.

Premièrement, cette fonction peut être spécifiée de la manière dite « explicite », lorsqu'il existe une certaine formule à l'aide de laquelle chacun de ses membres peut être déterminé en substituant simplement un numéro de série dans une séquence donnée.

La deuxième méthode est dite « récurrente ». Son essence est que les premiers termes d'une séquence numérique sont spécifiés, ainsi qu'une formule récurrente spéciale, à l'aide de laquelle, connaissant le terme précédent, vous pouvez trouver le suivant.

Enfin, la plupart d'une manière générale l'affectation des séquences est ce qu'on appelle quand sans travail spécial Il est possible non seulement d'identifier tel ou tel membre sous un certain numéro d'ordre, mais aussi, connaissant plusieurs membres successifs, d'arriver à une formule générale pour une fonction donnée.

La séquence numérique peut être décroissante ou croissante. Dans le premier cas, chaque membre suivant est inférieur au précédent, et dans le second, au contraire, il est supérieur.

Face à ce sujet, on ne peut s'empêcher d'aborder la question des limites des séquences. La limite d'une suite est un nombre lorsque, pour toute quantité, y compris une quantité infinitésimale, il existe numéro de série, après quoi l'écart des membres successifs de la séquence par rapport à point donné sous forme numérique devient inférieure à la valeur spécifiée lors de la formation de cette fonction.

La notion de limite d'une séquence numérique est activement utilisée lors de la réalisation de certains calculs intégraux et différentiels.

Les suites mathématiques possèdent tout un ensemble de propriétés assez intéressantes.

Premièrement, n'importe quel séquence de nombres il existe un exemple de fonction mathématique, par conséquent, les propriétés caractéristiques des fonctions peuvent être appliquées en toute sécurité aux séquences. L'exemple le plus frappant de telles propriétés est la fourniture de séries arithmétiques croissantes et décroissantes, qui sont unies par un notion générale- des séquences monotones.

Deuxièmement, il existe un groupe assez important de séquences qui ne peuvent être classées ni croissantes ni décroissantes - ce sont des séquences périodiques. En mathématiques, elles sont généralement considérées comme les fonctions dans lesquelles existe ce qu'on appelle la durée de la période, c'est-à-dire qu'à partir d'un certain moment (n), l'égalité suivante y n = y n+T commence à s'appliquer, où T sera le même durée de la période.

Berceau. Couches. Pleurer.
Mot. Étape. Froid. Médecin.
Courir partout. Jouets. Frère.
Cour Balançoire. Jardin d'enfants.
École. Deux. Troïka. Cinq.
Balle. Étape. Gypse. Lit.
Lutte. Sang. Nez cassé.
Cour Amis. Faire la fête. Forcer.
Institut. Printemps. Des buissons.
Été. Session. Queues.
Bière. Vodka. Gin avec de la glace.
Café. Session. Diplôme.
Romantisme. Amour. Étoile.
Mains. Lèvres. Une nuit sans dormir.
Mariage. Belle-mère. Beau-père. Piège.
Argument. Club. Amis. Tasse.
Maison. Emploi. Maison. Famille.
Soleil. Été. Neige. Hiver.
Fils. Couches. Berceau.
Stresser. Maîtresse. Lit.
Entreprise. Argent. Plan. Urgence.
TV. Série.
Maison de campagne. Cerises. Courgettes.
Cheveux gris. Migraine. Lunettes.
Petit fils. Couches. Berceau.
Stresser. Pression. Lit.
Cœur. Rognons. Os. Médecin.
Discours. Cercueil. Adieu. Pleurer.

Séquence de vie

SÉQUENCE - nombres ou éléments disposés dans un ordre organisé. Les séquences peuvent être finies (ayant un nombre limité d'éléments) ou infinies, comme la séquence complète de nombres naturels 1, 2, 3, 4….… …

Dictionnaire encyclopédique scientifique et technique

Définition:Séquence numérique est appelé un numérique donné sur l'ensemble N de nombres naturels Pour les séquences numériques, généralement au lieu de. f(n)écrire un et notons la séquence comme suit : ( un ). Nombres un 1 , un 2 , …, un,… appelé éléments de la séquence.

Habituellement, la séquence de numéros est déterminée par la tâche nème élément ou une formule récurrente par laquelle chaque élément suivant est déterminé par le précédent. Une manière descriptive de spécifier une séquence numérique est également possible. Par exemple:

• Tous les membres de la séquence sont égaux à "1". Cela signifie, nous parlons deà propos de la séquence stationnaire 1, 1, 1, …, 1, ….

• La séquence est composée de tous les nombres premiers classés par ordre croissant. Ainsi, la séquence donnée est 2, 3, 5, 7, 11,…. Avec cette méthode de spécification de la séquence dans dans cet exemple il est difficile de répondre à quoi, disons, est égal au 1000ème élément de la séquence.

Avec la méthode récurrente, indiquez une formule qui permet d'exprimer nème membre de la séquence en passant par les précédents, et spécifiez 1 à 2 membres initiaux de la séquence.

• oui 1 = 3; oui n =oui n-1 + 4 , Si n = 2, 3, 4,…

Ici oui 1 = 3; oui 2 = 3 + 4 = 7;oui 3 = 7 + 4 = 11; ….

• oui 1 = 1; oui 2 = 1; o n =oui n-2 + oui n-1 , Si n = 3, 4,…

Ici: oui 1 = 1; oui 2 = 1; oui 3 = 1 + 1 = 2; oui 4 = 1 + 2 = 3; oui 5 = 2 + 3 = 5; oui 6 = 3 + 5 = 8;

Séquence exprimée par la formule de récurrence oui n =oui n-1 + 4 peut également être spécifié analytiquement : o n= y 1 +4*(n-1)

Vérifions : y2=3+4*(2-1)=7, y3=3+4*(3-1)=11

Ici, nous n'avons pas besoin de connaître le membre précédent de la séquence numérique pour calculer le nième élément ; il suffit de préciser son numéro et la valeur du premier élément.

Comme nous pouvons le voir, cette méthode de spécification d'une séquence numérique est très similaire à la méthode analytique de spécification de fonctions. En fait, une séquence de nombres est un type spécial de fonction numérique, donc un certain nombre de propriétés des fonctions peuvent également être prises en compte pour les séquences.

Les séquences de nombres sont un sujet très intéressant et éducatif. Ce sujet se retrouve dans des tâches de complexité accrue que les auteurs proposent aux étudiants matériel didactique, dans les problèmes des olympiades mathématiques, examens d'entrée vers le haut Établissements d'enseignement et ainsi de suite. Et si vous souhaitez explorer plus en détail différents types séquences de nombres, cliquez ici. C'est bien si tout est clair et simple pour vous, mais essayez de répondre.

Séquence numérique.
Comment ?

Dans cette leçon, nous apprendrons beaucoup de choses intéressantes sur la vie des membres d'une grande communauté appelée Vkontakte. séquences de nombres. Le sujet à l'étude concerne non seulement le cours d'analyse mathématique, mais touche également aux bases mathématiques discrètes. De plus, le matériel sera nécessaire à la maîtrise d'autres sections de la tour, notamment lors de l'étude série de nombres Et série fonctionnelle. Vous pouvez dire banalement que c'est important, vous pouvez dire de manière encourageante que c'est simple, vous pouvez dire beaucoup plus de phrases routinières, mais aujourd'hui c'est la première semaine d'école inhabituellement paresseuse, donc ça me brise terriblement d'écrire le premier paragraphe =) Je J'avais déjà sauvegardé le fichier dans mon cœur et je m'apprêtais à dormir, quand soudain... ma tête s'est illuminée par l'idée d'une confession sincère, ce qui a incroyablement allégé mon âme et m'a poussé à continuer à taper du doigt sur le clavier. .

Faisons une pause dans nos souvenirs d'été et regardons ce monde passionnant et positif du nouveau réseau social:

Concept de séquence de nombres

Tout d’abord, réfléchissons au mot lui-même : qu’est-ce que la séquence ? La séquence, c'est quand quelque chose suit quelque chose. Par exemple, une séquence d'actions, une séquence de saisons. Ou quand quelqu'un se trouve derrière quelqu'un. Par exemple, une séquence de personnes faisant la queue, une séquence d’éléphants sur le chemin menant à un point d’eau.

Clarifions tout de suite traits caractéristiques séquences. Premièrement, membres de la séquence sont situés strictement dans dans un certain ordre . Donc, si deux personnes dans la file d'attente sont échangées, alors ce sera déjà le cas. autre sous-séquence. Deuxièmement, tout le monde membre de séquence Vous pouvez attribuer un numéro de série :

C'est la même chose avec les chiffres. Laisser à tout le monde valeur naturelle selon une règle correspond à un nombre réel. Ensuite, ils disent qu'une séquence numérique est donnée.

Oui, dans problèmes mathématiques contrairement aux situations de la vie, la séquence contient presque toujours une infinité de Nombres.

Dans ce cas:
appelé premier membre séquences ;
– deuxième membre séquences ;
– troisième membre séquences ;
…
– nième ou membre commun séquences ;
…

En pratique, la séquence est généralement donnée formule de terme commun, Par exemple:
– séquence de nombres pairs positifs :

Ainsi, l'enregistrement détermine de manière unique tous les membres de la séquence - c'est la règle (formule) selon laquelle les valeurs naturelles les numéros sont mis en correspondance. Par conséquent, la séquence est souvent brièvement désignée par un terme commun, et au lieu de « x », d'autres lettres latines peuvent être utilisées, par exemple :

Séquence de nombres impairs positifs :

Autre séquence courante :

Comme beaucoup l’ont sans doute remarqué, la variable « en » joue le rôle d’une sorte de compteur.

En fait, nous avons traité des séquences de nombres au collège. Rappelons-nous progression arithmétique. Je ne réécrirai pas la définition, abordons l'essentiel à exemple spécifique. Soit le premier terme, et – étape progression arithmétique. Alors:
– le deuxième terme de cette progression ;
– le troisième terme de cette progression ;
- quatrième;
- cinquième ;
…
Et évidemment, le nième terme est donné récurrent formule

Note : dans une formule récurrente, chaque terme suivant est exprimé en termes du terme précédent ou même en termes de tout un ensemble de termes précédents.

La formule résultante est de peu d'utilité dans la pratique - pour arriver, disons, à , vous devez parcourir tous les termes précédents. Et en mathématiques, une expression plus pratique pour le nième terme d'une progression arithmétique a été dérivée : . Dans notre cas :

Remplacez les nombres naturels dans la formule et vérifiez l'exactitude de la séquence numérique construite ci-dessus.

Des calculs similaires peuvent être effectués pour progression géométrique, dont le nième terme est donné par la formule , où est le premier terme, et – dénominateur progression. Dans les tâches mathématiques, le premier terme est souvent égal à un.

la progression définit la séquence ;
progression définit la séquence ;
progression définit la séquence ;
progression définit la séquence .

J’espère que tout le monde sait que –1 à une puissance impaire est égal à –1, et à une puissance paire – un.

La progression s'appelle infiniment décroissant, si (deux derniers cas).

Ajoutons à notre liste deux nouveaux amis, dont l'un vient de frapper sur la matrice du moniteur :

La séquence dans le jargon mathématique est appelée « clignotant » :

Ainsi, les membres de la séquence peuvent être répétés. Ainsi, dans l'exemple considéré, la séquence est constituée de deux nombres infiniment alternés.

Arrive-t-il que la séquence consiste en numéros identiques? Certainement. Par exemple, il demande nombre infini"trois". Pour les esthètes, il existe un cas où « en » apparaît encore formellement dans la formule :

Invitons un simple ami à danser :

Que se passe-t-il lorsque « en » augmente jusqu'à l'infini ? Évidemment, les membres de la séquence seront infiniment proche approcher zéro. C’est la limite de cette suite qui s’écrit ainsi :

Si la limite d’une suite est nulle, alors on l’appelle infinitésimal.

Dans la théorie de l'analyse mathématique, il est donné définition stricte de la limite de séquenceà travers le quartier dit d'Epsilon. Le prochain article sera consacré à cette définition, mais regardons pour l’instant sa signification :

Représentons sur la droite numérique les termes de la suite et le voisinage symétrique par rapport à zéro (limite) :


Pincez maintenant la zone bleue avec les bords de vos paumes et commencez à la réduire en la tirant vers la limite (point rouge). Un nombre est la limite d'une séquence si POUR TOUT quartier présélectionné (aussi petit que vous le souhaitez) sera à l'intérieur une infinité de membres de la séquence, et À L'EXTÉRIEUR d'elle - uniquement final nombre de membres (voire aucun). Autrement dit, le voisinage epsilon peut être microscopique, et même plus petit, mais la « queue infinie » de la séquence doit tôt ou tard pleinement entrer dans la zone.

La séquence est également infinitésimale : à la différence que ses membres ne sautent pas d'avant en arrière, mais s'approchent de la limite exclusivement par la droite.

Naturellement, la limite peut être égale à tout autre nombre fini, exemple élémentaire :

Ici, la fraction tend vers zéro et, par conséquent, la limite est égale à « deux ».

Si la séquence il y a une limite finie, alors on l'appelle convergent(en particulier, infinitésimalà ). Sinon - divergent, dans ce cas, deux options sont possibles : soit la limite n'existe pas du tout, soit elle est infinie. Dans ce dernier cas, la séquence est appelée infiniment grand. Galopons à travers les exemples du premier paragraphe :

Séquences sont infiniment grand, alors que leurs membres avancent avec confiance vers le « plus l’infini » :

Une progression arithmétique avec le premier terme et le premier pas est également infiniment grande :

À propos, toute progression arithmétique diverge également, à l'exception du cas avec un pas nul - quand . La limite d'une telle suite existe et coïncide avec le premier terme.

Les séquences ont un sort similaire :

Toute progression géométrique infiniment décroissante, comme son nom l'indique clairement, infiniment petit:

Si le dénominateur de la progression géométrique est , alors la suite est infiniment grande :

Si, par exemple, alors la limite n'existe pas du tout, puisque les membres sautent inlassablement soit vers « plus l'infini », soit vers « moins l'infini ». UN bon sens et les théorèmes de Matan suggèrent que si quelque chose s’efforce quelque part, alors c’est le seul endroit précieux.

Après une petite révélation il devient clair que la « lumière clignotante » est à l'origine du lancer incontrôlable, qui d'ailleurs diverge d'elle-même.
En effet, pour une séquence, il est facile de choisir un -voisinage qui, disons, ne serre que le nombre –1. En conséquence, un nombre infini de membres de la séquence (« plus un ») resteront en dehors de ce voisinage. Mais par définition, la « queue infinie » de la séquence à partir d’un certain moment (entier naturel) doit pleinement allez dans N'IMPORTE QUEL voisinage de votre limite. Conclusion : il n’y a aucune limite.

Factorielle est infiniment grand séquence:

De plus, il grandit à pas de géant, c'est donc un nombre qui comporte plus de 100 chiffres (chiffres) ! Pourquoi exactement 70 ? Là-dessus, mon microcalculateur d'ingénierie implore pitié.

Avec un tir de contrôle, tout est un peu plus compliqué, et nous venons d'arriver à la partie pratique du cours, dans laquelle nous analyserons des exemples de combat :

Mais il faut maintenant être capable de résoudre les limites des fonctions, au moins au niveau de deux leçons de base : Limites. Exemples de solutions Et Des limites merveilleuses. Parce que de nombreuses méthodes de résolution seront similaires. Mais avant tout, analysons différences fondamentales limite de séquence à partir de la limite de fonction :

Dans la limite de la séquence, la variable « dynamique » « en » peut tendre à seulement à "plus l'infini"– vers des effectifs naturels croissants .
Dans la limite de la fonction, « x » peut être dirigé n’importe où – vers « plus/moins l’infini » ou vers un nombre réel arbitraire.

Sous-séquence discret(discontinu), c'est-à-dire qu'il est constitué de membres individuels isolés. Un, deux, trois, quatre, cinq, le lapin est sorti se promener. L'argument d'une fonction est caractérisé par la continuité, c'est-à-dire que « X » tend doucement, sans incident, vers l'une ou l'autre valeur. Et, par conséquent, les valeurs de la fonction s'approcheront également continuellement de leur limite.

Pour la raison discrétion au sein des séquences, il y a leurs propres éléments de signature, tels que des factorielles, des « lumières clignotantes », des progressions, etc. Et maintenant je vais essayer d'analyser les limites propres aux séquences.

Commençons par les progressions :

Exemple 1

Trouver la limite de la séquence

Solution: quelque chose de similaire à une progression géométrique infiniment décroissante, mais est-ce bien cela ? Pour plus de clarté, écrivons les premiers termes :

Depuis, nous parlons de montant termes d'une progression géométrique infiniment décroissante, qui est calculée par la formule.

Prenons une décision :

On utilise la formule de la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante : . Dans ce cas : – le premier terme, – le dénominateur de la progression.

Exemple 2

Écrivez les quatre premiers termes de la suite et trouvez sa limite

Ceci est un exemple pour décision indépendante. Pour éliminer l'incertitude au numérateur, vous devrez appliquer la formule de la somme des premiers termes d'une progression arithmétique :
, où est le premier et a est le nième terme de la progression.

Puisque dans les séquences « en » tend toujours vers « plus l'infini », il n'est pas surprenant que l'incertitude soit l'une des plus populaires.
Et de nombreux exemples sont résolus exactement de la même manière que les limites de fonction!

Ou peut-être quelque chose de plus compliqué comme ? Consultez l'exemple n°3 de l'article Méthodes pour résoudre les limites.

D'un point de vue formel, la différence ne résidera que dans une seule lettre - ici « x » et ici « en ».
La technique est la même : le numérateur et le dénominateur doivent être divisés par « en » au plus haut degré.

De plus, l’incertitude au sein des séquences est assez courante. Comment résoudre des limites comme peut être trouvé dans les exemples n° 11 à 13 du même article.

Pour comprendre la limite, référez-vous à l'exemple n°7 de la leçon Des limites merveilleuses(deuxième merveilleuse limite est également valable pour le cas discret). La solution sera à nouveau comme une copie carbone avec une seule lettre de différence.

Les quatre exemples suivants (n° 3 à 6) sont également « à double face », mais en pratique, pour une raison quelconque, ils sont plus caractéristiques des limites de séquence que des limites de fonctions :

Exemple 3

Trouver la limite de la séquence

Solution: d'abord la solution complète, puis des commentaires étape par étape :

(1) Au numérateur, nous utilisons la formule deux fois.

(2) Nous présentons des termes similaires au numérateur.

(3) Pour éliminer l'incertitude, divisez le numérateur et le dénominateur par (« en » au plus haut degré).

Comme vous pouvez le constater, rien de compliqué.

Exemple 4

Trouver la limite de la séquence

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même, formules de multiplication abrégées pour aider.

Dans les s indicatif Les séquences utilisent une méthode similaire pour diviser le numérateur et le dénominateur :

Exemple 5

Trouver la limite de la séquence

Solution Organisons-le selon le même schéma :

Un théorème similaire est d'ailleurs vrai pour les fonctions : le produit d'une fonction bornée et d'une fonction infinitésimale est une fonction infinitésimale.

Exemple 9

Trouver la limite de la séquence

Supposons que chaque nombre naturel correspond à un certain nombre réel : le nombre 1 correspond à un 1, le nombre 2 - un 2, le nombre n - un n. Dans ce cas, on dit qu'une suite numérique est donnée, qui s'écrit comme suit : a 1, a 2, ..., an, où a 1 est le premier terme, et 2 est le deuxième terme, ..., et n est nième mandat séquences.

Il existe trois manières principales de définir une séquence.

1. Analytique. La suite est donnée par la formule du nième terme ; par exemple, la formule a n = n/(n+1) spécifie la séquence a 1, a 2, ..., a n, pour laquelle

et 1 = 1/(1+1) = 1/2 ; et 2 = 2/(2+1) = 2/3... ;

ceux. séquence 1/2, 2/3, 3/4, …, n/(n + 1).

2. Récurrent. Tout membre d'une séquence est exprimé à travers ses membres précédents. À cette méthode Pour spécifier une séquence, le premier membre de la séquence et une formule qui vous permet de calculer n'importe quel membre de la séquence à partir des membres précédents connus doivent être indiqués.

Trouvons plusieurs termes de la suite a 1 = 1, a 2 = 1..., a n +2 = a n + a n +1.

un 3 = un 1 + un 2 = 1 + 1 = 2 ;

un 4 = un 2 + un 3 = 1 + 2 = 3, etc.

En conséquence, nous obtenons la séquence : 1, 1, 2, 3, 5….

3. Verbal. Il s'agit d'une affectation de séquence par description. Par exemple, une séquence d'approximations décimales pour le déficit du nombre e.

Les séquences peuvent être croissantes ou décroissantes.

Une séquence (a n), dont chaque membre est inférieur au suivant, c'est-à-dire si un n< а n +1 для любого n, называется возрастающей последовательностью.

Une séquence (a n), dont chaque membre est supérieur au suivant, c'est-à-dire si a n > a n +1 pour tout n, on parle de séquence décroissante.

Par exemple:

a) 1, 4, 9, 16, 25, …, n 2, … – séquence croissante ;

b) -1, -2, -3, -4, ..., -n, ... – la séquence est décroissante ;

c) -1, 2, -3, 4, -5, 6, …, (-1) n ∙ n, … – séquence non croissante et non décroissante ;

d) 3, 3, 3, 3, 3, 3, …, 3, … – séquence constante (stationnaire).

Si chaque membre de la séquence (a n), à partir du second, est égal au précédent, ajouté au même nombre d, alors une telle séquence est appelée progression arithmétique. Le nombre d est appelé la différence de progression.

Ainsi, la progression arithmétique est donnée par l'égalité : a n +1 = a n + d. Par exemple,

un 5 = un 4 + d.

Pour d > 0, la progression arithmétique augmente, pour d< 0 убывает.

La suite 3, 5, 7, 9, 11, 13... est une progression arithmétique,
où a 1 = 3, d = 2 (5 – 3, 7 – 5, 9 – 7, etc.).

Parfois, on ne considère pas la suite entière, qui est une progression arithmétique, mais seulement ses premiers termes. On parle dans ce cas de progression arithmétique finie.

La progression arithmétique a trois propriétés.

1. Formule du nième terme d'une progression arithmétique :

une n = une 1 + ré(n – 1)

2. Formules pour la somme des n premiers termes d'une progression arithmétique :

a) S n = ((a 1 + a n)/2) ∙ n ;

b) S n = ((2a 1 + d(n – 1))/2) ∙ n.

Ici S 1 = a 1, S n = a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n.

3. Propriété caractéristique d'une progression arithmétique : la séquence est séquence arithmétique si et seulement si chacun de ses termes, sauf le premier (et le dernier dans le cas d'une progression arithmétique finie), est égal à la moyenne arithmétique des termes précédents et suivants :

un n = (un n -1 + un n +1) / 2.

Si le premier terme de la suite (b n) est non nul et que chaque terme, à partir du second, est égal au précédent multiplié par le même nombre non nul q, alors une telle séquence est appelée une progression géométrique. Le nombre q est appelé le dénominateur de la progression.

Ainsi, la progression géométrique est donnée par l'égalité b n +1 = b n ∙ q . Par exemple, b 7 = b 6 ∙ q.

La séquence 100, 30, 9, 27/10, ... est une progression géométrique, où b 1 = 100, q = 3/10.

La progression géométrique est caractérisée par trois propriétés

1. Formule du nième terme d'une progression géométrique :

b n = b 1 ∙ q n -1 .

2. Formules pour la somme des n premiers termes d'une progression géométrique :

a) S n = (b n q – b 1) / (q – 1) ;

b) S n = (b 1 (q n – 1)) / (q – 1).

3. Propriété caractéristique de la progression géométrique : une suite est une suite géométrique si et seulement si chacun de ses termes, sauf le premier (et le dernier dans le cas d'une progression géométrique finie), est lié aux termes précédents et suivants par la formule :

b n 2 = b n -1 ∙ b n +1 .

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Introduction………………………………………………………………………………3

1. Partie théorique……………………………………………………………….4

Concepts et termes de base……………………………………………………………......4

1.1 Types de séquences……………………………………………………………...6

1.1.1.Séquences de numéros limitées et illimitées…..6

1.1.2.Monotonie des séquences…………………………………6

1.1.3.Séquences infiniment grandes et infinitésimales…….7

1.1.4.Propriétés des séquences infinitésimales…………………8

1.1.5.Séquences convergentes et divergentes et leurs propriétés.....9

1.2 Limite de séquence………………………………………………….11

1.2.1.Théorèmes sur les limites des suites……………………………15

1.3. Progression arithmétique…………………………………………………………17

1.3.1. Propriétés de la progression arithmétique…………………………………..17

1.4Progression géométrique……………………………………………………………..19

1.4.1. Propriétés de la progression géométrique…………………………………….19

1.5. Nombres de Fibonacci……………………………………………………………..21

1.5.1 Connexion des nombres de Fibonacci avec d'autres domaines de connaissances………………….22

1.5.2. Utiliser la série de nombres de Fibonacci pour décrire la nature vivante et inanimée…………………………………………………………………………………………….23

2. Recherches personnelles…………………………………………………….28

Conclusion………………………………………………………………………………….30

Liste des références……………………………………………………………....31

Introduction.

Les séquences de nombres sont un sujet très intéressant et éducatif. Ce sujet se retrouve dans les tâches de complexité accrue qui sont proposées aux étudiants par les auteurs de matériel didactique, dans les problèmes des Olympiades de mathématiques, des examens d'entrée aux établissements d'enseignement supérieur et de l'examen d'État unifié. Je souhaite apprendre comment les séquences mathématiques sont liées à d'autres domaines de connaissances.

Cible travaux de recherche: Développez vos connaissances sur la séquence de nombres.

1. Considérez la séquence ;

2. Considérez ses propriétés ;

3. Considérez la tâche analytique de la séquence ;

4. Démontrer son rôle dans le développement d'autres domaines de connaissances.

5. Démontrer l’utilisation de la série de nombres de Fibonacci pour décrire la nature vivante et inanimée.

1. Partie théorique.

Concepts et termes de base.

Définition. Une séquence numérique est une fonction de la forme y = f(x), x О N, où N est l'ensemble des nombres naturels (ou une fonction d'un argument naturel), noté y = f(n) ou y1, y2, …, oui,…. Les valeurs y1, y2, y3,... sont appelées respectivement premier, deuxième, troisième,... membres de la séquence.

Un nombre a est appelé la limite de la séquence x = (x n ), si pour un nombre positif arbitrairement petit arbitrairement prédéterminé ε il existe un tel nombre naturel N que pour tout n>N l'inégalité |x n - a|< ε.

Si le nombre a est la limite de la séquence x = (x n ), alors ils disent que x n tend vers a, et écrivent

.

Une suite (yn) est dite croissante si chaque membre (sauf le premier) est supérieur au précédent :

y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….

Une suite (yn) est dite décroissante si chaque membre (sauf le premier) est inférieur au précédent :

y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > … .

Les séquences croissantes et descendantes sont combinées terme général– des séquences monotones.

Une séquence est dite périodique s'il existe un nombre naturel T tel que, à partir d'un certain n, l'égalité yn = yn+T est vraie. Le nombre T est appelé la durée de la période.

Une progression arithmétique est une suite (an) dont chaque terme, à partir du second, est égal à la somme du terme précédent et du même nombre d, est appelée progression arithmétique, et le nombre d est la différence d'un progression arithmétique.

Ainsi, une progression arithmétique est une suite numérique (an) définie de manière récurrente par les relations

a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, …)

Une progression géométrique est une suite dans laquelle tous les termes sont différents de zéro et dont chaque terme, à partir du second, est obtenu à partir du terme précédent en multipliant par le même nombre q.

Ainsi, une progression géométrique est une suite numérique (bn) définie de manière récurrente par les relations

b1 = b, bn = bn–1 q (n = 2, 3, 4…).

1.1 Types de séquences.

1.1.1 Séquences restreintes et non restreintes.

Une séquence (bn) est dite bornée ci-dessus s'il existe un nombre M tel que pour tout nombre n l'inégalité bn≤ M est vraie ;

Une séquence (bn) est dite bornée ci-dessous s'il existe un nombre M tel que pour tout nombre n l'inégalité bn≥ M est vraie ;

Par exemple:

1.1.2 Monotonie des séquences.

Une séquence (bn) est dite non croissante (non décroissante) si pour tout nombre n l'inégalité bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1) est vraie ;

Une séquence (bn) est dite décroissante (croissante) si pour tout nombre n l'inégalité bn > bn+1 (bn

Les séquences décroissantes et croissantes sont dites strictement monotones, les séquences non croissantes sont dites monotones au sens large.

Les séquences délimitées au-dessus et en dessous sont appelées limitées.

La séquence de tous ces types est dite monotone.

1.1.3 Séquences infiniment grandes et petites.

Une séquence infinitésimale est une fonction ou une séquence numérique qui tend vers zéro.

Une suite an est dite infinitésimale si

Une fonction est dite infinitésimale au voisinage du point x0 si ℓimx→x0 f(x)=0.

Une fonction est dite infinitésimale à l'infini si ℓimx→.+∞ f(x)=0 ou ℓimx→-∞ f(x)=0

Infinitésimal est également une fonction qui est la différence entre une fonction et sa limite, c'est-à-dire si ℓimx→.+∞ f(x)=a, alors f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ f((x)-a)=0.

Une séquence infiniment grande est une fonction ou une séquence numérique qui tend vers l'infini.

Une suite an est dite infiniment grande si

ℓimn→0 an=∞.

Une fonction est dite infiniment grande au voisinage du point x0 si ℓimx→x0 f(x)= ∞.

Une fonction est dite infiniment grande à l’infini si

ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ ou ℓimx→-∞ f(x)= ∞ .

1.1.4 Propriétés des séquences infinitésimales.

La somme de deux séquences infinitésimales est elle aussi une séquence infinitésimale.

La différence entre deux séquences infinitésimales est elle-même aussi une séquence infinitésimale.

La somme algébrique de tout nombre fini de séquences infinitésimales est elle-même également une séquence infinitésimale.

Le produit d’une suite bornée et d’une suite infinitésimale est une suite infinitésimale.

Le produit de tout nombre fini de séquences infinitésimales est une séquence infinitésimale.

Toute séquence infinitésimale est bornée.

Si une suite stationnaire est infinitésimale, alors tous ses éléments, à partir de certains, sont égaux à zéro.

Si toute la séquence infinitésimale est constituée d’éléments identiques, alors ces éléments sont des zéros.

Si (xn) est une suite infiniment grande ne contenant aucun terme nul, alors il existe une suite (1/xn) qui est infinitésimale. Si, cependant, (xn) contient zéro élément, alors la séquence (1/xn) peut toujours être définie à partir d'un certain nombre n, et sera toujours infinitésimale.

Si (an) est une séquence infinitésimale ne contenant aucun terme nul, alors il existe une séquence (1/an) qui est infiniment grande. Si (an) contient néanmoins zéro élément, alors la séquence (1/an) peut toujours être définie à partir d'un certain nombre n, et sera toujours infiniment grande.

1.1.5 Séquences convergentes et divergentes et leurs propriétés.

Une séquence convergente est une séquence d'éléments d'un ensemble X qui a une limite dans cet ensemble.

Une suite divergente est une suite qui n’est pas convergente.

Toute séquence infinitésimale est convergente. Sa limite est nulle.

Supprimer un nombre fini d'éléments d'une séquence infinie n'affecte ni la convergence ni la limite de cette séquence.

Toute suite convergente est bornée. Cependant, toutes les séquences limitées ne convergent pas.

Si la suite (xn) converge, mais n'est pas infinitésimale, alors, à partir d'un certain nombre, on définit une suite (1/xn), qui est bornée.

La somme des séquences convergentes est également une séquence convergente.

La différence des séquences convergentes est également une séquence convergente.

Le produit de suites convergentes est aussi une suite convergente.

Le quotient de deux séquences convergentes est défini à partir d'un élément, sauf si la deuxième séquence est infinitésimale. Si le quotient de deux suites convergentes est défini, alors c’est une suite convergente.

Si une suite convergente est bornée en dessous, alors aucun de ses infimums ne dépasse sa limite.

Si une séquence convergente est bornée au-dessus, alors sa limite ne dépasse aucune de ses limites supérieures.

Si pour un nombre quelconque les termes d'une suite convergente ne dépassent pas les termes d'une autre suite convergente, alors la limite de la première suite ne dépasse pas non plus la limite de la seconde.