Intégration par exemples de pièces avec solution. Calculatrice en ligne. Calculez l'intégrale indéfinie (primitive)

Intégration par parties- une méthode utilisée pour résoudre des intégrales définies et indéfinies, lorsque l'un des intégrandes est facilement intégrable et l'autre est différentiable. Une méthode assez courante pour trouver des intégrales, à la fois indéfinies et définies. Signe principal, lorsque vous avez besoin de l'utiliser, il s'agit d'une certaine fonction constituée du produit de deux fonctions qui ne peuvent pas être intégrées à brûle-pourpoint.

Formule

Afin d’utiliser avec succès cette méthode, vous devez comprendre et apprendre les formules.

Formule d'intégration par parties en non intégrale définie:

$$ \int udv = uv - \int vdu $$

Formule d'intégration par parties dans une intégrale définie :

$$ \int \limits_(a)^(b) udv = uv \bigg |_(a)^(b) - \int \limits_(a)^(b) vdu $$

Exemples de solutions

Considérons en pratique des exemples de solutions d'intégration par parties, qui sont souvent proposées par les enseignants de essais. Veuillez noter que sous le symbole intégral se trouve un produit de deux fonctions. C’est le signe que cette méthode convient à la solution.

Qu’est-ce que l’intégration par parties ? Pour maîtriser ce type d'intégration, rappelons d'abord la dérivée d'un produit :

$((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"$

La question se pose : qu’est-ce que les intégrales ont à voir là-dedans ? Intégrons maintenant les deux côtés de cette équation. Alors écrivons-le :

$\int(((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))\text(d)x=)\int((f)"\cdot g\,\text(d)x+\ int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

Mais qu’est-ce qu’une primitive d’un accident vasculaire cérébral ? C'est juste la fonction elle-même, qui se trouve à l'intérieur du trait. Alors écrivons-le :

$f\cdot g=\int((f)"\cdot g\,\text(d)x+\int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

DANS équation donnée Je propose d'exprimer le terme. Nous avons:

$\int((f)"\cdot g\,\text(d)x=f\cdot g-\int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

C'est ça formule d'intégration par parties. Ainsi, nous échangeons essentiellement la dérivée et la fonction. Si initialement nous avions une intégrale d'un trait multipliée par quelque chose, alors nous obtenons une intégrale de nouveau quelque chose multipliée par un trait. C'est toute la règle. À première vue cette formule peut sembler compliqué et inutile, mais en fait, cela peut grandement simplifier les calculs. Voyons maintenant.

Exemples de calculs intégraux

Problème 1. Calculer :

\[\int(\ln x\,\text(d)x)\]\[\]

Réécrivons l'expression en ajoutant 1 avant le logarithme :

\[\int(\ln x\,\text(d)x)=\int(1\cdot \ln x\,\text(d)x)\]

Nous avons le droit de le faire car ni le nombre ni la fonction ne changeront. Comparons maintenant cette expression avec ce qui est écrit dans la formule. Le rôle de $(f)"$ est 1, on écrit donc :

$\begin(align)& (f)"=1\Rightarrow f=x \\& g=\ln x\Rightarrow (g)"=\frac(1)(x) \\\end(align)$

Toutes ces fonctions sont dans les tableaux. Maintenant que nous avons décrit tous les éléments qui sont inclus dans notre expression, nous allons réécrire cette intégrale en utilisant la formule d'intégration par parties :

\[\begin(align)& \int(1\cdot \ln x\,\text(d)x)=x\ln x-\int(x\cdot \frac(1)(x)\text(d )x)=x\ln x-\int(\text(d)x)= \\& =x\ln x-x+C=x\left(\ln x-1 \right)+C \\\ fin(aligner)\]

Ça y est, l'intégrale a été trouvée.

Problème 2. Calculer :

$\int(x((\text(e))^(-x))\,\text(d)x=\int(x\cdot ((e)^(-x))\,\text(d )x))$

Si nous prenons $x$ comme dérivée, à partir de laquelle nous devons maintenant trouver la primitive, nous obtiendrons $((x)^(2))$, et l'expression finale contiendra $((x)^(2) )( (\text(e))^(-x))$.

Évidemment, le problème n'est pas simplifié, on échange donc les facteurs sous le signe intégral :

$\int(x\cdot ((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=\int(((\text(e))^(-x))\cdot x\,\texte(d)x)$

Introduisons maintenant la notation :

$(f)"=((\text(e))^(-x))\Rightarrow f=\int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x) =-((\text(e))^(-x))$

Différencions $((\text(e))^(-x))$ :

$((\left(((\text(e))^(-x)) \right))^(\prime ))=((\text(e))^(-x))\cdot ((\ gauche(-x \right))^(\prime ))=-((\text(e))^(-x))$

En d’autres termes, le moins est ajouté en premier, puis les deux côtés sont intégrés :

\[\begin(align)& ((\left(((\text(e))^(-x)) \right))^(\prime ))=-((\text(e))^(- x))\Rightarrow ((\text(e))^(-x))=-((\left(((\text(e))^(-x)) \right))^(\prime )) \\& \int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=-\int(((\left(((\text(e))^(- x)) \right))^(\prime ))\text(d)x)=-((\text(e))^(-x))+C \\\end(align)\]

Regardons maintenant la fonction $g$ :

$g=x\Flèche droite (g)"=1$

On calcule l'intégrale :

$\begin(align)& \int(((\text(e))^(-x))\cdot x\,\text(d)x)=x\cdot \left(-((\text(e ))^(-x)) \right)-\int(\left(-((\text(e))^(-x)) \right)\cdot 1\cdot \text(d)x)= \ \& =-x((\text(e))^(-x))+\int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=-x( (\text(e))^(-x))-((\text(e))^(-x))+C=-((\text(e))^(-x))\left(x +1 \right)+C \\\end(align)$

Nous avons donc effectué la deuxième intégration par parties.

Problème 3. Calculer :

$\int(x\cos 3x\,\text(d)x)$

Dans ce cas, que devons-nous prendre pour $(f)"$ et que pour $g$ ? Si $x$ agit comme une dérivée, alors lors de l'intégration nous obtiendrons $\frac(((x)^(2)) )(2 )$, et le premier facteur ne disparaîtra nulle part - ce sera $\frac(((x)^(2)))(2)\cdot \cos 3x$ Par conséquent, échangeons à nouveau les facteurs :

$\begin(align)& \int(x\cos 3x\,\text(d)x)=\int(\cos 3x\cdot x\,\text(d)x) \\& (f)"= \cos 3x\Rightarrow f=\int(\cos 3x\,\text(d)x)=\frac(\sin 3x)(3) \\& g=x\Rightarrow (g)"=1 \\\ fin (aligner) $

Nous réécrivons notre expression originale et la développons selon la formule d'intégration par parties :

\[\begin(align)& \int(\cos 3x\cdot x\ \text(d)x)=\frac(\sin 3x)(3)\cdot x-\int(\frac(\sin 3x) (3)\text(d)x)= \\& =\frac(x\sin 3x)(3)-\frac(1)(3)\int(\sin 3x\,\text(d)x) =\frac(x\sin 3x)(3)+\frac(\cos 3x)(9)+C \\\end(align)\]

Ça y est, le troisième problème est résolu.

En conclusion, revenons sur formule d'intégration par parties. Comment choisir quel facteur sera la dérivée et lequel sera la fonction réelle ? Il n'y a ici qu'un seul critère : l'élément que l'on va différencier doit soit donner une « belle » expression, qui sera ensuite réduite, soit disparaître totalement lors de la différenciation. Ceci conclut la leçon.

La formule d'intégration par parties ressemble à :
.

La méthode d'intégration par parties consiste à appliquer cette formule. À application pratique Il convient de noter que u et v sont des fonctions de la variable d'intégration. Soit la variable d'intégration désignée par x (le symbole après le signe différentiel d à la fin de la notation intégrale). Alors u et v sont des fonctions de x : u(x) et v(x) .
Alors
, .
Et la formule d'intégration par parties prend la forme :
.

Autrement dit, la fonction intégrale doit être constituée du produit de deux fonctions :
,
dont l'un est noté u : g(x) = u, et pour l'autre il faut calculer l'intégrale (plus précisément, il faut trouver la primitive) :
, alors dv = f(x) dx .

Dans certains cas f(x) = 1 .
,
Autrement dit, dans l'intégrale

on peut mettre g(x) = u, x = v .

CV Alors, dans cette méthode
;
.

, la formule d'intégration par parties est à retenir et à appliquer sous deux formes :

Intégrales calculées par intégration par parties

Intégrales contenant des logarithmes et des fonctions trigonométriques inverses (hyperboliques)

Les intégrales contenant des logarithmes et des fonctions trigonométriques ou hyperboliques inverses sont souvent intégrées par parties. Dans ce cas, la partie qui contient les fonctions logarithme ou trigonométrique inverse (hyperbolique) est notée u, la partie restante par dv.
, , , , , , .

Voici des exemples de telles intégrales, qui sont calculées par la méthode d'intégration par parties :

Intégrales contenant le produit d'un polynôme et sin x, cos x ou e x
, , ,
En utilisant la formule d'intégration par parties, on trouve les intégrales de la forme : où P(x) est un polynôme en x. Lors de l'intégration, le polynôme P(x) est noté u, et e ax dx, parce que hache dx ou

péché hache dx
, , .

- par dv.

Voici des exemples de telles intégrales :

Exemples de calcul d'intégrales par la méthode d'intégration par parties

Exemples d'intégrales contenant des logarithmes et des fonctions trigonométriques inverses

Exemple

Calculez l'intégrale :
Solution détaillée Ici, l'intégrande contient un logarithme. Faire des substitutions,
tu = dans x.
Alors
,
.

dv = x
.
Alors
.
2 DX On calcule l'intégrale restante : A la fin des calculs, il faut ajouter la constante C, puisque

Solution plus courte

Vous pouvez imaginer une solution plus loin version courte. Pour ce faire, vous n'avez pas besoin de faire des substitutions avec u et v, mais vous pouvez regrouper les facteurs et appliquer la formule d'intégration par parties sous la deuxième forme.

Répondre

Exemples d'intégrales contenant le produit d'un polynôme et sin x, cos x ou ex

Exemples de calcul d'intégrales par la méthode d'intégration par parties

Exemples d'intégrales contenant des logarithmes et des fonctions trigonométriques inverses
.

Solution

Introduisons l'exposant sous le signe différentiel :
e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x).

Intégrons par parties.
.
Nous utilisons également la méthode d'intégration par parties.
.
.
.
Finalement, nous l'avons fait.

La méthode d'intégration par parties est principalement utilisée lorsque l'intégrande est constitué du produit de deux facteurs d'un certain type. La formule d'intégration par parties ressemble à :

Il permet de réduire le calcul d'une intégrale donnée
au calcul de l'intégrale
, qui s'avère plus simple que celui-ci.

La plupart des intégrales calculées par la méthode d'intégration par parties peuvent être divisées en trois groupes :

1. Intégrales de la forme
,
,
, Où
– polynôme,
– un nombre non égal à zéro

Dans ce cas, à travers désigne un polynôme

.

2. Intégrales de la forme
,
,
,
,
, Où
– polynôme.

Dans ce cas, à travers
indiquer
, et le reste de l'intégrande via :

3. Intégrales de la forme
,
, Où
– des chiffres.

Dans ce cas, à travers indiquer
et appliquez la formule d'intégration par parties deux fois, revenant ainsi à l'intégrale d'origine, après quoi l'intégrale d'origine est exprimée à partir de l'égalité.

Commentaire: Dans certains cas, pour trouver une intégrale donnée, la formule d'intégration par parties doit être appliquée plusieurs fois. Aussi, la méthode d'intégration par parties est combinée avec d'autres méthodes.

Exemple 26.

Trouver des intégrales en utilisant la méthode par parties : a)
; b)
.

Solution.

b)

3.1.4. Intégration de fonctions fractionnaires-rationnelles

Fonction rationnelle fractionnaire(fraction rationnelle) est une fonction égale au rapport de deux polynômes :
, Où
– polynôme de degré
,
– polynôme de degré .

La fraction rationnelle s'appelle correct, si le degré du polynôme au numérateur est inférieur au degré du polynôme au dénominateur, c'est-à-dire
, sinon (si
) la fraction rationnelle est appelée faux.

Toute fraction rationnelle impropre peut être représentée comme la somme d'un polynôme
et correct fraction rationnelle, en divisant le numérateur par le dénominateur selon la règle de division des polynômes :

,

Où
– partie entière de la division, – fraction rationnelle propre,
– le reste de la division.

Fractions rationnelles propres de la forme :

JE. ;

II.
;

III.
;

IV.
,

Où ,,
,
,,,
– des nombres réels et
(c'est-à-dire que le trinôme carré au dénominateur des fractions III et IV n'a pas de racines - le discriminant est négatif) sont appelés fractions rationnelles simples I, II, III et IV genres.

Intégrer des fractions simples

Les intégrales des fractions les plus simples de quatre types sont calculées comme suit.

JE)
.

II) ,
.

III) Pour l'intégration fraction la plus simple Tapez III, sélectionnez un carré complet au dénominateur et remplacez
. Après substitution, l’intégrale est divisée en deux intégrales. La première intégrale est calculée en isolant la dérivée du dénominateur au numérateur, ce qui donne une intégrale tabulaire, et la deuxième intégrale est convertie sous la forme
, parce que
, qui donne également l'intégrale tabulaire.

;

IV) Pour intégrer la fraction la plus simple de type IV, sélectionnez un carré complet au dénominateur et remplacez
. Après substitution, l’intégrale est divisée en deux intégrales. La première intégrale est calculée par substitution
, et le second utilisant des relations de récurrence.

Exemple 27.

Trouver les intégrales de fractions simples :

UN)
;
b)
.

Solution.

;
.

V)

UN) ;

Toute fraction rationnelle propre dont le dénominateur peut être factorisé peut être représentée comme une somme de fractions simples. La décomposition en somme de fractions simples est réalisée par la méthode des coefficients indéfinis. C'est le suivant :
correspond à une fraction de la forme – chaque facteur du dénominateur

correspond au montant
;

fractions de la forme
correspond à une fraction de la forme correspond à une fraction de la forme

– chaque facteur carré du dénominateur

fractions de la forme où sont les coefficients indéterminés. Pour trouver des coefficients indéfinis, le côté droit sous la forme d'une somme de fractions simples est ramené à un dénominateur commun et transformé. Le résultat est une fraction avec le même dénominateur que celui du côté gauche de l’équation. Ensuite, les dénominateurs sont écartés et les numérateurs sont égalisés. Le résultat est une égalité identique dans laquelle le côté gauche est un polynôme à coefficients connus, et

côté droit

– un polynôme à coefficients indéterminés.

Il existe deux manières de déterminer les coefficients inconnus : la méthode des coefficients inconnus et la méthode des valeurs partielles. Méthode des coefficients indéterminés. Parce que les polynômes sont identiquement égaux, alors les coefficients aux mêmes puissances sont égaux . Égalisation des coefficients aux mêmes degrés dans les polynômes des côtés gauche et droit, on obtient le système

équations linéaires

. Lors de la résolution du système, nous déterminons les coefficients incertains. Méthode des valeurs privées. Parce que les polynômes sont identiquement égaux, alors en les substituant Vous pouvez remplacer n'importe quel nombre dans les côtés gauche et droit, mais il est plus pratique de remplacer les racines des dénominateurs des fractions.

Après avoir trouvé les valeurs des coefficients inconnus, la fraction originale est écrite comme une somme de fractions simples dans l'intégrande et l'intégration évoquée précédemment est effectuée sur chaque fraction simple.

Schéma d'intégration fractions rationnelles :

1. Si l'intégrande est impropre, alors il est nécessaire de le présenter comme la somme d'un polynôme et d'une fraction rationnelle propre (c'est-à-dire diviser le polynôme numérateur par le polynôme dénominateur avec un reste). Si l’intégrande est correcte, on passe immédiatement au deuxième point du diagramme.

2. Factorisez le dénominateur d’une fraction rationnelle appropriée, si possible.

3. Décomposer une fraction rationnelle propre en la somme de fractions rationnelles simples en utilisant la méthode des coefficients indéfinis.

4. Intégrez la somme résultante des fractions polynomiales et simples.

Exemple 28.

Trouver les intégrales de fractions rationnelles :

;
;
b)
.

Solution.

;
.

Parce que l'intégrande est une fraction rationnelle impropre, alors on sélectionne la partie entière, c'est-à-dire Imaginons-le comme la somme d'un polynôme et d'une fraction rationnelle propre. Divisez le polynôme du numérateur par le polynôme du dénominateur à l’aide d’un coin.

L’intégrale originale prendra la forme :
.

Décomposons une fraction rationnelle propre en une somme de fractions simples en utilisant la méthode des coefficients indéfinis :

, on obtient :

En résolvant le système d'équations linéaires, on obtient les valeurs des coefficients incertains : UN = 1; DANS = 3.

Alors le développement recherché a la forme :
.

=
.

b)
.

.

Laissons de côté les dénominateurs et assimilons les côtés gauche et droit :

Égalisation des coefficients aux mêmes degrés , on obtient le système :

En résolvant un système de cinq équations linéaires, on trouve les coefficients indéterminés :

.

Retrouvons l'intégrale d'origine, en tenant compte du développement résultant :

.

V)
.

Développons l'intégrande (fraction rationnelle propre) en une somme de fractions simples en utilisant la méthode des coefficients indéfinis. On cherche la décomposition sous la forme :

.

En réduisant à un dénominateur commun, on obtient :

Laissons de côté les dénominateurs et assimilons les côtés gauche et droit :

Pour trouver des coefficients incertains, nous appliquons la méthode des valeurs partielles. Ajoutons valeurs partielles, auxquelles les facteurs disparaissent, c'est-à-dire que nous substituons ces valeurs dans la dernière expression et obtenons trois équations :

;
;

;
;

;
.

Alors le développement recherché a la forme :

Retrouvons l'intégrale d'origine, en tenant compte du développement résultant :

Le concept d'intégrale primitive et indéfinie. Théorème sur la collection de primitives. Propriétés de l'intégrale indéfinie. Tableau des intégrales.

La fonction F(x) est dite primitive de la fonction f(x), sur un intervalle donné, si sur cet intervalle la fonction F(x) est continue, et en chaque point interne de l'intervalle l'égalité suivante est vraie : F' (x) = f(x)

Théorème 1. Si une fonction F(x) a une primitive F(x) sur un intervalle, alors toutes les fonctions de la forme F(x)+C seront des primitives pour elle sur le même intervalle. À l’inverse, toute primitive Ф(x) pour la fonction y = f(x) peut être représentée par Ф(x) = F(x)+C, où F(x) est l’une des fonctions primitives et C est une fonction arbitraire. constante.

Preuve:

Par définition d'une primitive on a F'(x) = f(x). En considérant que la dérivée de la constante est égale à zéro, on obtient

(F(x)+C)’ = F’(x)+C’ = F’(x) = f(x). Cela signifie que F(x)+C est une primitive pour y = f(x). Montrons maintenant que si la fonction y = f(x) est donnée sur un certain intervalle et que F(x) est une de ses primitives. , alors Ф (x) peut être représenté par

En fait, par la définition d'une primitive nous avons

Ф'(x) = F(x)+C et F'(x) = f(x).

Mais deux fonctions qui ont des dérivées égales sur un intervalle ne diffèrent l'une de l'autre que par un terme constant. Cela signifie que Ф(x) = F(x)+C, ce qui devait être prouvé.

Définition.

L'ensemble de toutes les primitives de la fonction y = f(x) sur un intervalle donné est appelé l'intégrale indéfinie de cette fonction et est noté ∫f(x)dx = F(x)+C

La fonction f(x) est appelée l'intégrande et le produit f(x)*dx est appelé l'intégrande.

On dit souvent : « prendre l'intégrale indéfinie » ou « calculer l'intégrale indéfinie », signifiant par là ceci : trouver l'ensemble de toutes les primitives de l'intégrande,

Propriétés de l'intégrale indéfinie

1. (f(x)dx) = f(x)

2. ∫f′(x)dx = f(x) + c

3. ∫a ⋅ f(x)dx = a∫f(x)dx, a ≠ 0

4. ∫(f1(x) + f2(x))dx = ∫f1(x)dx + ∫f2(x)dx

Tableau des intégrales

Intégration par substitution et par parties dans l'intégrale indéfinie.

Méthode d'intégration par substitution consiste à introduire une nouvelle variable d’intégration (c’est-à-dire la substitution). Dans ce cas, l'intégrale donnée est réduite à une nouvelle intégrale, qui lui est tabulaire ou réductible (dans le cas d'une substitution « réussie »). Méthodes courantes il n'y a pas de sélection de substitutions.

Soit qu'il soit nécessaire de calculer l'intégrale ∫f(x)dx. Faisons la substitution x =φ(t), où φ(t) est une fonction qui a une dérivée continue. Alors dx=φ"(t) dt et sur la base de la propriété d'invariance de la formule d'intégration pour l'intégrale indéfinie, nous obtenons la formule d'intégration par substitution ∫f(x)dx = ∫f(φ(t)) * φ'( t)dt Cette formule est également appelée formule de substitution des variables dans l'intégrale indéfinie. Après avoir trouvé l'intégrale du côté droit de cette égalité, nous devons passer de la nouvelle variable d'intégration t à la variable x.

Méthode d'intégration par parties

Soient u=u(x) et ν=v(x) des fonctions qui ont des dérivées continues. Alors d(uv)=u dv+v du.

En intégrant cette égalité, on obtient ∫d(uv) = ∫udv + ∫vdu ou

∫udv =uv - ∫vdu

La formule résultante est appelée formule d’intégration par parties. Il permet de réduire le calcul de l'intégrale ∫udv au calcul de l'intégrale ∫vdu, qui peut s'avérer nettement plus simple que celui d'origine.