Exemple 1. Résoudre l'équation |x – 3| = 1.

Solution. En traduisant cette équation dans le « langage des distances », nous obtenons la phrase « la distance entre le point de coordonnée x et le point de coordonnée 3 est 1 ». Par conséquent, résoudre l'équation revient à trouver des points éloignés du point de coordonnée 3 à une distance de 1. Passons à l'illustration géométrique.

_______________________________________________________

Les racines de l'équation sont les nombres 2 et 4.

Exemple 2. Résoudre l'équation | 2x + 1 | = 3

Réduire cette équation à la forme | x – (-1/2) | = 3/2, utilisez la formule de distance.

Réponse : -2;1.

Exemple 3 : Résoudre l'équation |x + 2| = |x – 1|.

Solution. Écrivons cette équation sous la forme |x – (-2)| = |x – 1|. Sur la base de considérations géométriques, il n'est pas difficile de comprendre que la racine de la dernière équation est la coordonnée d'un point équidistant des points de coordonnées 1 et -2.

Réponse : -0,5.

Exemple 4 : Résoudre l'inégalité |x – 1|<2.

Solution. Sur la base de concepts géométriques, nous arrivons à la conclusion que les solutions à cette inégalité sont les coordonnées de points situés à une distance inférieure à 2 du point de coordonnée 1.

Réponse : (-1;3)

Exercices pour le travail indépendant

| x – 2| = 0,4 | 10-x |< 7 | x + 4 | = | x – 4 |

| x + 3 | = 0,7 | x + 1 | > 1 | x + 2,5| = | x-3,3|

| x – 2,5|< 0,5 | x + 8 | >0,7 | X | > | x – 2 |

| x – 5 |< | x – 1 | .

Cet article est consacré aux techniques de résolution de diverses équations et inégalités contenant
variable sous le signe du module.

Si vous rencontrez une équation ou une inégalité avec un module lors de l'examen, vous pouvez la résoudre en
sans connaître aucune méthode spéciale et en utilisant uniquement la définition du module. Est-ce vrai,
Cela peut prendre une heure et demie du précieux temps d’examen.

C'est pourquoi nous souhaitons vous présenter des techniques qui simplifient la résolution de tels problèmes.

Tout d'abord, rappelons-nous que

Regardons les différents types équations avec module. (Nous reviendrons plus tard sur les inégalités.)

Module à gauche, numéro à droite

C'est le cas le plus simple. Résolvons l'équation | x 2 − 5x + 4| = 4.

Il n'existe que deux nombres dont les modules sont égaux à quatre. Ce sont 4 et −4. Donc l'équation
équivaut à la combinaison de deux simples :

x 2 − 5x+ 4 = 4 ou x 2 − 5x + 4 = −4.

La deuxième équation n'a pas de solution. Premières solutions : x= 0 et x = 5.

Réponse : 0 ; 5.

Variable aussi bien sous module qu'extérieur module

Ici, nous devons étendre le module par définition. . . ou réfléchissez!

1. |2 − x| = 5 − 4x

L'équation se divise en deux cas, selon le signe de l'expression sous le module.
Autrement dit, cela équivaut à une combinaison de deux systèmes :

Solution du premier système : x= 1. Le deuxième système n’a pas de solutions.
Réponse : 1.

2 . x 2 + 4|x − 3| − 7x + 11 = 0.

Premier cas : x≥ 3. Retirez le module :

Nombre x 2, étant négatif, ne satisfait pas à la condition x≥ 3 et n'est donc pas une racine de l'équation d'origine.

Voyons si le nombre satisfait à cette condition x 1. Pour ce faire, on compose la différence et on détermine son signe :

Moyens, x 1 est supérieur à trois et est donc la racine de l'équation d'origine

Deuxième cas: x < 3. Снимаем модуль:

Nombre x 3 est supérieur à , et ne satisfait donc pas à la condition x < 3. Проверим x 4:

Moyens, x 4 est la racine de l’équation originale.

3. |2x 2 − 3x − 4| = 6x − 1.

Supprimer le module par définition ? C'est effrayant d'y penser, car le discriminant n'est pas un carré exact. Utilisons mieux la considération suivante : une équation de la forme |A| = B est équivalent à la combinaison de deux systèmes :

Même chose, mais un peu différent :

En d’autres termes, nous résolvons deux équations, A = B et A = −B, puis sélectionnons les racines qui satisfont à la condition B ≥ 0.

Commençons. Nous résolvons d’abord la première équation :

Ensuite, nous résolvons la deuxième équation :

Maintenant, dans chaque cas, nous vérifions le signe du côté droit :

Ils conviennent donc uniquement x 1 et x 3 .

Équations quadratiques avec remplacement | x| = t

Résolvons l'équation : x 2 + 2|x| − 3 = 0.

Depuis x 2 = |x| 2, il est pratique de faire un remplacement | x| = t. On obtient :

Réponse : ±1.

Module égal au module

On parle d'équations de la forme |A| = |B|. C'est un cadeau du destin. Aucune divulgation de module par définition ! C'est simple :

Par exemple, considérons l'équation : |3 x 2 + 5x − 9| = |6x+ 15|. Il équivaut à l'ensemble suivant :

Il reste à résoudre chacune des équations de l'ensemble et à noter la réponse.

Deux modules ou plus

Résolvons l'équation : | x − 1| − 2|x − 2| + 3|x − 3| = 4.

Ne nous occupons pas de chaque module séparément et ouvrons-le par définition - il y aura trop d'options. Il existe une méthode plus rationnelle : la méthode des intervalles.

Les expressions sous les modules disparaissent à certains endroits x = 1, x= 2 et x= 3. Ces points divisent la droite numérique en quatre espaces (intervalles). Marquons ces points sur la droite numérique et plaçons des signes pour chacune des expressions sous les modules sur les intervalles résultants. (L'ordre des signes coïncide avec l'ordre des modules correspondants dans l'équation.)

Nous devons donc considérer quatre cas : lorsque x est situé dans chacun des intervalles.

Cas 1: x≥ 3. Tous les modules sont supprimés « avec un plus » :

Valeur reçue x= 5 satisfait la condition x≥ 3 et est donc la racine de l’équation originale.

Cas 2: 2 ≤ x≤ 3. Le dernier module est désormais supprimé « avec un moins » :

Valeur reçue x convient également - il appartient à l'intervalle en question.

Cas 3: 1 ≤ x≤ 2. Les deuxième et troisième modules sont supprimés « avec un moins » :

Nous avons obtenu l’égalité numérique correcte pour tout x de l’intervalle considéré servent de solutions à cette équation.

Cas 4: x ≤ 1 ≤ 1. Les deuxième et troisième modules sont supprimés « avec un moins » :

Rien de nouveau. Nous le savons déjà x= 1 est la solution.

Réponse : ∪ (5).

Module dans un module

Résolvons l'équation : ||3 − x| − 2x + 1| = 4x − 10.

On commence par ouvrir le module interne.

1) x≤ 3. On obtient :

L'expression sous le module disparaît à . Ce point appartient au considéré
entre. Nous devons donc analyser deux sous-cas.

1.1) Dans ce cas on obtient :

C'est le sens x ne convient pas, car il n’appartient pas à l’intervalle considéré.

1.2) . Alors:

C'est le sens x ne convient pas non plus.

Alors, quand x≤ 3 aucune solution. Passons au deuxième cas.

2) x≥ 3. On a :

Ici, nous avons de la chance : expression x+ 2 est positif dans l'intervalle considéré ! Il n'y aura donc plus de sous-cas : le module est supprimé « avec un plus » :

C'est le sens x est dans l’intervalle considéré et est donc la racine de l’équation d’origine.

C'est ainsi que tous les problèmes de ce type sont résolus : nous ouvrons les modules imbriqués un par un, en commençant par celui interne.

Inégalités de module

Aucune idée fondamentalement nouvelle ne surgit ici. Vous disposez déjà de toutes les connaissances nécessaires. Nous n’analyserons donc que deux problèmes. Le reste se fait en cours et en devoirs.

1. 2|x − 4| + |3x + 5| ≥ 16.

1) x≥ 4. On a :

L’inégalité résultante est satisfaite pour tous les cas considérés x≥ 4. Autrement dit, tous les nombres de l'intervalle .

3) . Nous avons:

Puisque − , alors toutes les valeurs xà partir de l’intervalle résultant servent de solutions à l’inégalité d’origine.

Reste à combiner les ensembles de solutions obtenues dans les trois cas considérés.

2. |x 2 − 2x − 3| < 3x − 3.

Il s'agit de la tâche n°6 de la partie théorique de la leçon 8 du livre de V. V. Tkachuk « Mathématiques pour les candidats ». L'auteur le résout en utilisant la méthode des intervalles. Assurez-vous d'examiner la solution de l'auteur !

Notez que la méthode des intervalles ici est très indolore car les racines du trinôme carré sous le module sont des nombres entiers. Et si le discriminant n’est pas un carré exact ? Remplacez, par exemple, sous module −3 par −5. La quantité de travail de calcul augmentera alors considérablement.

Nous allons vous montrer une autre façon de résoudre ce problème, qui ne dépend pas des caprices du discriminant.

Notre inégalité a la forme |A|< B. Очевидны следующие утверждения.

Si B ≤ 0, alors l’inégalité n’a pas de solution.

Si B > 0, alors l'inégalité est équivalente à la double inégalité −B< A < B или, что то же самое, системе

En d’autres termes, on prend l’intersection de l’ensemble des solutions d’un système donné avec l’ensemble des solutions de l’inégalité B > 0, c’est-à-dire qu’on résout le système

Dans notre problème nous obtenons :

Représentons les ensembles de solutions à ces inégalités dans la figure. Les solutions à la première (double) inégalité sont indiquées en noir ; couleur verte - solutions de granulats; couleur bleue - solutions à la dernière inégalité du système.

La solution du système est l’intersection de ces ensembles, c’est-à-dire un ensemble au-dessus duquel se trouvent des lignes des trois couleurs. C'est ombragé.

Cette calculatrice mathématique en ligne vous aidera résoudre une équation ou une inégalité avec des modules. résoudre des équations et des inégalités avec des modules non seulement donne la réponse au problème, mais cela conduit solution détaillée avec explications, c'est-à-dire affiche le processus d’obtention du résultat.

Ce programme peut être utile aux lycéens des écoles d'enseignement général lors de la préparation des tests et des examens, lors du test des connaissances avant l'examen d'État unifié et aux parents pour contrôler la solution de nombreux problèmes de mathématiques et d'algèbre.

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|x|

x^2 + 2|x-1| -6 = 0
Résoudre une équation ou une inégalité
Il a été découvert que certains scripts nécessaires à la résolution de ce problème n'étaient pas chargés et que le programme pouvait ne pas fonctionner.

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Un peu de théorie.

Équations et inégalités avec modules

Dans un cours de base d’algèbre scolaire, vous rencontrerez peut-être les équations et inégalités les plus simples avec des modules. Pour les résoudre, vous pouvez utiliser une méthode géométrique basée sur le fait que \(|x-a| \) est la distance sur la droite numérique entre les points x et a : \(|x-a| = \rho (x;\; a) \). Par exemple, pour résoudre l'équation \(|x-3|=2\), vous devez trouver des points sur la droite numérique qui sont éloignés du point 3 à une distance de 2. Il existe deux de ces points : \(x_1=1 \) et \(x_2=5\) .
Résoudre l’inégalité \(|2x+7|
Mais la principale manière de résoudre des équations et des inégalités avec des modules est associée à ce que l'on appelle la « révélation du module par définition » :

En plus de la définition ci-dessus, les déclarations suivantes sont utilisées :
1) Si \(c > 0\), alors l'équation \(|f(x)|=c \) est équivalente à l'ensemble des équations : \(\left[\begin(array)(l) f(x )=c \\ f(x)=-c \end(array)\right.
2) Si \(c > 0 \), alors l'inégalité \(|f(x)| 3) Si \(c \geq 0 \), alors l'inégalité \(|f(x)| > c \) est équivalent à un ensemble d'inégalités : \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) Si les deux côtés de l'inégalité \(f(x) EXEMPLE 1. Résolvez l'équation \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\).

Si \(x-1 \geq 0\), alors \(|x-1| = x-1\) et l'équation donnée prend la forme
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 +2x -8 = 0 \).
Si \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 -2x -4 = 0 \).
Ainsi, l'équation donnée doit être considérée séparément dans chacun des deux cas indiqués.
1) Soit \(x-1 \geq 0 \), c'est-à-dire \(x\geq 1\). A partir de l'équation \(x^2 +2x -8 = 0\) nous trouvons \(x_1=2, \; x_2=-4\).
La condition \(x \geq 1 \) n'est satisfaite que par la valeur \(x_1=2\).

2) Soit \(x-1 Réponse : \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

EXEMPLE 2. Résolvez l'équation \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\). Première façon
(extension de module par définition).

En raisonnant comme dans l'exemple 1, nous arrivons à la conclusion que l'équation donnée doit être considérée séparément si deux conditions sont remplies : \(x^2-6x+7 \geq 0 \) ou \(x^2-6x+7
1) Si \(x^2-6x+7 \geq 0 \), alors \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) et l'équation donnée prend la forme \(x ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Rightarrow 3x^2-23x+30=0 \). Après avoir résolu cette équation quadratique, nous obtenons : \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \). Voyons si la valeur \(x_1=6\) satisfait à la condition \(x^2-6x+7 \geq 0\). Pour ce faire, remplacez la valeur spécifiée dans inégalité quadratique
. On obtient : \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), c'est-à-dire \(7 \geq 0 \) est une vraie inégalité.

Cela signifie que \(x_1=6\) est la racine de l'équation donnée.

Voyons si la valeur \(x_2=\frac(5)(3)\) satisfait à la condition \(x^2-6x+7 \geq 0\). Pour ce faire, remplacez la valeur indiquée par l'inégalité quadratique. On obtient : \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), soit \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) est une inégalité incorrecte. Cela signifie que \(x_2=\frac(5)(3)\) n'est pas une racine de l'équation donnée. Si l'équation est donnée \(|f(x)| = h(x) \), alors avec \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(array)\right \)
Ces deux équations ont été résolues ci-dessus (en utilisant la première méthode de résolution de l'équation donnée), leurs racines sont les suivantes : \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4 )(3)\). La condition \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) de ces quatre valeurs n'est satisfaite que par deux : 6 et 3. Cela signifie que l'équation donnée a deux racines : \(x=6 , \; x=3 \ ).

Troisième voie(graphique).
1) Construisons un graphique de la fonction \(y = |x^2-6x+7| \). Tout d’abord, construisons une parabole \(y = x^2-6x+7\).
Nous avons \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). Le graphique de la fonction \(y = (x-3)^2-2\) peut être obtenu à partir du graphique de la fonction \(y = x^2 \) en le décalant de 3 unités d'échelle vers la droite (le long de l'axe des x) et par 2 unités d'échelle vers le bas (le long de l'axe des y).
La droite x=3 est l’axe de la parabole qui nous intéresse. Comme points de contrôle pour un tracé plus précis, il est pratique de prendre le point (3 ; -2) - le sommet de la parabole, le point (0 ; 7) et le point (6 ; 7) qui lui sont symétriques par rapport à l'axe de la parabole .

Pour maintenant construire un graphique de la fonction \(y = |x^2-6x+7| \), vous devez laisser inchangées les parties de la parabole construite qui ne se trouvent pas en dessous de l'axe des x et refléter cette partie de la parabole située en dessous de l'axe des x par rapport à l'axe des x.

2) Construisons un graphique de la fonction linéaire \(y = \frac(5x-9)(3)\). Il est pratique de prendre les points (0 ; –3) et (3 ; 2) comme points de contrôle. Il est important que le point x = 1,8 de l'intersection de la droite avec l'axe des abscisses soit situé à droite du point gauche d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses - c'est le point \(x=3-\ sqrt(2) \) (puisque \(3-\sqrt(2 ) 3) À en juger par le dessin, les graphiques se coupent en deux points - A(3; 2) et B(6; 7). En remplaçant les abscisses de ces points x = 3 et x = 6 dans l'équation donnée, nous sommes convaincus que dans les deux cas, l'égalité numérique correcte est obtenue. Cela signifie que notre hypothèse a été confirmée - l'équation a deux racines : x = 3 et. x = 6. Réponse : 3 ;

Commentaire

EXEMPLE 2. Résolvez l'équation \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\).
. La méthode graphique, malgré toute son élégance, n'est pas très fiable. Dans l’exemple considéré, cela a fonctionné uniquement parce que les racines de l’équation sont des nombres entiers.

EXEMPLE 3. Résolvez l'équation \(|2x-4|+|x+3| = 8\)
L'expression 2x–4 devient 0 au point x = 2, et l'expression x + 3 devient 0 au point x = –3. Ces deux points divisent la droite numérique en trois intervalles : \(x
Considérons le premier intervalle : \((-\infty; \; -3) \).

Si x Considérons le deuxième intervalle : \([-3; \; 2) \). Si \(-3 \leq x Considérons le troisième intervalle : \(, le module est « un nombre sans moins ». Et c'est dans cette dualité (dans certains endroits, vous n'avez rien à faire avec le numéro d'origine, mais dans d'autres, vous devrez supprimer une sorte de moins) et c'est là que réside toute la difficulté pour les étudiants débutants.

Il y a plus définition géométrique. Il est également utile de le savoir, mais nous n'y reviendrons que dans des cas complexes et particuliers, où l'approche géométrique est plus pratique que l'approche algébrique (spoiler : pas aujourd'hui).

Définition. Soit le point $a$ sur la droite numérique. Puis le module $\left| x-a \right|$ est la distance du point $x$ au point $a$ sur cette ligne.

Si vous faites un dessin, vous obtiendrez quelque chose comme ceci :

D'une manière ou d'une autre, de la définition d'un module découle immédiatement sa propriété clé : le module d'un nombre est toujours une quantité non négative. Ce fait constituera le fil rouge qui parcourra tout notre récit d’aujourd’hui.

Résoudre les inégalités. Méthode d'intervalle

Examinons maintenant les inégalités. Il y en a un grand nombre, mais notre tâche est maintenant de pouvoir résoudre au moins le plus simple d'entre eux. Ceux qui se résument à inégalités linéaires, ainsi qu'à la méthode des intervalles.

J'ai deux grandes leçons sur ce sujet (d'ailleurs, très, TRÈS utiles - je recommande de les étudier) :

1. Méthode d'intervalle pour les inégalités (surtout regarder la vidéo) ;
2. Les inégalités rationnelles fractionnaires sont une leçon très approfondie, mais après cela, vous n’aurez plus aucune question.

Si vous savez tout cela, si l'expression « passons de l'inégalité à l'équation » ne vous donne pas une vague envie de vous cogner contre le mur, alors vous êtes prêt : bienvenue en enfer dans le sujet principal de la leçon :)

1. Inégalités de la forme « Le module est inférieur à la fonction »

C'est l'un des problèmes les plus courants avec les modules. Il faut résoudre une inégalité de la forme :

\[\gauche| f\droit| \ltg\]

Les fonctions $f$ et $g$ peuvent être n'importe quoi, mais ce sont généralement des polynômes. Exemples de telles inégalités :

\[\begin(align) & \left| 2x+3 \droite| \ltx+7; \\ & \gauche| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \gauche| ((x)^(2))-2\gauche| x \droite|-3 \droite| \lt 2. \\\fin(aligner)\]

Tous peuvent être résolus littéralement en une seule ligne selon le schéma suivant :

\[\gauche| f\droit| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \droit.\droit)\]

Il est facile de voir qu'on se débarrasse du module, mais en retour on obtient une double inégalité (ou, ce qui revient au même, un système de deux inégalités). Mais cette transition prend en compte absolument tout problèmes possibles: si le nombre sous le module est positif, la méthode fonctionne ; si négatif, cela fonctionne toujours ; et même avec la fonction la plus inadéquate à la place de $f$ ou $g$, la méthode fonctionnera toujours.

Naturellement, la question se pose : ne pourrait-il pas être plus simple ? Malheureusement, ce n'est pas possible. C’est tout l’intérêt du module.

Cependant, assez de philosopher. Résolvons quelques problèmes :

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\gauche| 2x+3 \droite| \ltx+7\]

Solution. Nous avons donc devant nous une inégalité classique de la forme « le module est moindre » – il n’y a même rien à transformer. Nous travaillons selon l'algorithme :

\[\begin(align) & \left| f\droit| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \gauche| 2x+3 \droite| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Ne vous précipitez pas pour ouvrir les parenthèses précédées d’un « moins » : il est fort possible que dans votre précipitation vous commettiez une erreur offensante.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Le problème se réduisait à deux inégalités élémentaires. Notons leurs solutions sur des droites numériques parallèles :

Intersection d'ensembles

L’intersection de ces ensembles sera la réponse.

Réponse : $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\gauche| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Solution. Cette tâche est un peu plus difficile. Tout d’abord, isolons le module en déplaçant le deuxième terme vers la droite :

\[\gauche| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\gauche(x+1 \droite)\]

Evidemment, on a encore une inégalité de la forme « le module est plus petit », on se débarrasse donc du module en utilisant l'algorithme déjà connu :

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Maintenant attention : quelqu'un va dire que je suis un peu pervers avec toutes ces parenthèses. Mais permettez-moi de vous rappeler encore une fois que notre objectif principal est résoudre correctement l'inégalité et obtenir la réponse. Plus tard, lorsque vous maîtriserez parfaitement tout ce qui est décrit dans cette leçon, vous pourrez le pervertir vous-même à votre guise : ouvrir les parenthèses, ajouter des moins, etc.

Commençons par nous débarrasser double moins gauche:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\gauche(x+1 \droite)\]

Ouvrons maintenant toutes les parenthèses dans la double inégalité :

Passons à la double inégalité. Cette fois les calculs seront plus sérieux :

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( aligner)\right.\]

Les deux inégalités sont quadratiques et peuvent être résolues en utilisant la méthode des intervalles (c'est pourquoi je dis : si vous ne savez pas ce que c'est, il vaut mieux ne pas encore aborder les modules). Passons à l'équation de la première inégalité :

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\gauche(x+5 \droite)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\fin (aligner)\]

Comme vous pouvez le voir, le résultat est une équation quadratique incomplète, qui peut être résolue de manière élémentaire. Examinons maintenant la deuxième inégalité du système. Là, vous devrez appliquer le théorème de Vieta :

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\fin (aligner)\]

On marque les nombres résultants sur deux droites parallèles (séparées pour la première inégalité et séparées pour la seconde) :

Encore une fois, puisque nous résolvons un système d'inégalités, nous nous intéressons à l'intersection des ensembles ombrés : $x\in \left(-5;-2 \right)$. C'est la réponse.

Réponse : $x\in \left(-5;-2 \right)$

Je pense qu'après ces exemples, le schéma de solution est extrêmement clair :

1. Isolez le module en déplaçant tous les autres termes du côté opposé de l’inégalité. On obtient donc une inégalité de la forme $\left| f\droit| \ltg$.
2. Résolvez cette inégalité en supprimant le module selon le schéma décrit ci-dessus. À un moment donné, il faudra passer d’une double inégalité à un système de deux expressions indépendantes, dont chacune peut déjà être résolue séparément.
3. Finalement, il ne reste plus qu'à recouper les solutions de ces deux expressions indépendantes - et c'est tout, nous obtiendrons la réponse finale.

Un algorithme similaire existe pour les inégalités du type suivant, lorsque le module est supérieur à la fonction. Il y a cependant quelques « mais » sérieux. Nous allons parler de ces « mais » maintenant.

2. Inégalités de la forme « Le module est supérieur à la fonction »

Ils ressemblent à ceci :

\[\gauche| f\droit| \gtg\]

Similaire au précédent ? Il semble. Et pourtant, ces problèmes sont résolus d’une manière complètement différente. Formellement, le schéma est le suivant :

\[\gauche| f\droit| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Autrement dit, nous considérons deux cas :

1. Premièrement, nous ignorons simplement le module et résolvons l'inégalité habituelle ;
2. Ensuite, en substance, nous développons le module avec le signe moins, puis multiplions les deux côtés de l'inégalité par −1, pendant que j'ai le signe.

Dans ce cas, les options sont combinées avec un crochet, c'est-à-dire Nous avons devant nous une combinaison de deux exigences.

Attention encore : ceci n'est pas un système, mais une totalité, donc dans la réponse, les ensembles sont combinés plutôt que se croisant. Ce différence fondamentale du point précédent !

En général, de nombreux étudiants sont complètement confus avec les syndicats et les intersections, alors réglons ce problème une fois pour toutes :

• "∪" est un signe d'union. Il s'agit essentiellement d'une lettre « U » stylisée qui nous vient de langue anglaise et est une abréviation de « Union », c'est-à-dire "Associations".
• "∩" est le signe d'intersection. Cette connerie ne vient de nulle part, mais est simplement apparue comme un contrepoint au « ∪ ».

Pour que ce soit encore plus facile à retenir, dessinez simplement des jambes vers ces panneaux pour fabriquer des lunettes (ne m'accusez pas maintenant de promouvoir la toxicomanie et l'alcoolisme : si vous étudiez sérieusement cette leçon, alors vous êtes déjà toxicomane) :

Traduit en russe, cela signifie ce qui suit : l'union (la totalité) comprend des éléments des deux ensembles, elle n'est donc en rien inférieure à chacun d'eux ; mais l'intersection (le système) ne comprend que les éléments qui se trouvent simultanément dans le premier ensemble et dans le second. Par conséquent, l’intersection des ensembles n’est jamais plus grande que les ensembles sources.

Alors c'est devenu plus clair ? C'est super. Passons à la pratique.

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\gauche| 3x+1 \droite| \gt 5-4x\]

Solution. On procède selon le schéma :

\[\gauche| 3x+1 \droite| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ droite.\]

Nous résolvons chaque inégalité dans la population :

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Nous marquons chaque ensemble résultant sur la droite numérique, puis les combinons :

Union d'ensembles

Il est bien évident que la réponse sera $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Réponse : $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\gauche| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\]

Solution. Bien? Rien, tout est pareil. On passe d'une inégalité avec un module à un ensemble de deux inégalités :

\[\gauche| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\fin (aligner) \right.\]

Nous résolvons toutes les inégalités. Malheureusement, les racines n'y seront pas très bonnes :

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13 ; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\fin (aligner)\]

La deuxième inégalité est également un peu farfelue :

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21 ; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\fin (aligner)\]

Vous devez maintenant marquer ces nombres sur deux axes – un axe pour chaque inégalité. Cependant, les points doivent être marqués dans dans le bon ordre: comment plus grand nombre, plus on déplace le point vers la droite.

Et ici, une configuration nous attend. Si tout est clair avec les nombres $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (les termes au numérateur du premier fraction sont inférieurs aux termes du numérateur de la seconde, donc la somme est également inférieure), avec les nombres $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ il n'y aura pas non plus de difficultés (nombre positif évidemment plus négatif), alors avec les derniers couples tout n'est pas si clair. Quel est le plus grand : $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ ou $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$ ? Le placement des points sur les droites numériques et, en fait, la réponse dépendront de la réponse à cette question.

Alors comparons :

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrice)\]

Nous avons isolé la racine, obtenu nombres non négatifs des deux côtés de l’inégalité, on a donc le droit de mettre au carré les deux côtés :

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrice)\]

Je pense que c'est une évidence que $4\sqrt(13) \gt 3$, donc $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, les points finaux sur les axes seront placés comme ceci :

Un cas de racines laides

Permettez-moi de vous rappeler que nous résolvons une collection, la réponse sera donc une union, pas une intersection d'ensembles ombrés.

Réponse : $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

Comme vous pouvez le constater, notre programme fonctionne très bien pour les deux tâches simples, et pour les plus difficiles. Le seul « point faible » de cette approche est qu’il faut comparer correctement nombres rationnels(et croyez-moi : il n’y a pas que les racines). Mais une leçon distincte (et très sérieuse) sera consacrée aux questions de comparaison. Et nous passons à autre chose.

3. Inégalités avec des « queues » non négatives

Passons maintenant à la partie la plus intéressante. Ce sont des inégalités de la forme :

\[\gauche| f\droit| \gt\gauche| g\droite|\]

D'une manière générale, l'algorithme dont nous allons parler maintenant n'est correct que pour le module. Cela fonctionne dans toutes les inégalités où il y a des expressions garanties non négatives à gauche et à droite :

Que faire de ces tâches ? N'oubliez pas :

Dans les inégalités avec des « queues » non négatives, les deux côtés peuvent être élevés à n’importe quelle puissance naturelle. Il n’y aura aucune restriction supplémentaire.

Tout d'abord, nous nous intéresserons à la quadrature - elle brûle les modules et les racines :

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\fin (aligner)\]

Ne confondez pas cela avec la racine d’un carré :

\[\sqrt(((f)^(2)))=\gauche| f \right|\ne f\]

D’innombrables erreurs ont été commises lorsqu’un étudiant a oublié d’installer un module ! Mais c'est une histoire complètement différente (ce sont pour ainsi dire des équations irrationnelles), nous n'entrerons donc pas dans les détails maintenant. Résolvons mieux quelques problèmes :

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\gauche| x+2 \droite|\ge \gauche| 1-2x \droite|\]

Solution. Remarquons immédiatement deux choses :

1. Il ne s’agit pas d’une inégalité stricte. Les points sur la droite numérique seront perforés.
2. Les deux côtés de l'inégalité sont évidemment non négatifs (c'est une propriété du module : $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Par conséquent, nous pouvons mettre au carré les deux côtés de l’inégalité pour nous débarrasser du module et résoudre le problème en utilisant la méthode habituelle des intervalles :

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\fin (aligner)\]

A la dernière étape, j'ai un peu triché : j'ai changé la séquence des termes, profitant de la régularité du module (en fait, j'ai multiplié l'expression $1-2x$ par −1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ droite)\droite)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Nous résolvons en utilisant la méthode des intervalles. Passons de l'inégalité à l'équation :

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\fin (aligner)\]

Nous marquons les racines trouvées sur la droite numérique. Encore une fois : tous les points sont ombrés car l’inégalité originelle n’est pas stricte !

Se débarrasser du signe du module

Je vous le rappelle pour les plus têtus : on reprend les signes de la dernière inégalité, qui a été notée avant de passer à l'équation. Et nous peignons les zones requises dans la même inégalité. Dans notre cas, il s'agit de $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Eh bien, c'est tout. Le problème est résolu.

Réponse : $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\gauche| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \droite|\]

Solution. Nous faisons tout pareil. Je ne ferai pas de commentaire - regardez simplement la séquence d'actions.

Mettez-le au carré :

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \droit| \droite))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ à droite))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Méthode d'intervalle :

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Flèche droite x=-1,5 ; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\fin (aligner)\]

Il n’y a qu’une seule racine sur la droite numérique :

La réponse est tout un intervalle

Réponse : $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Une petite note sur la dernière tâche. Comme l'un de mes étudiants l'a noté avec précision, les deux expressions sous-modulaires de cette inégalité sont évidemment positives, de sorte que le signe du module peut être omis sans nuire à la santé.

Mais il s’agit d’un niveau de pensée complètement différent et d’une approche différente - on peut conditionnellement l’appeler la méthode des conséquences. À ce sujet - dans une leçon séparée. Passons maintenant à la dernière partie de la leçon d’aujourd’hui et examinons un algorithme universel qui fonctionne toujours. Même lorsque toutes les approches précédentes étaient impuissantes :)

4. Méthode d'énumération des options

Et si toutes ces techniques n’aidaient pas ? Si l'inégalité ne peut être réduite à des queues non négatives, s'il est impossible d'isoler le module, si en général il y a de la douleur, de la tristesse, de la mélancolie ?

C’est alors que « l’artillerie lourde » de toutes les mathématiques entre en scène : la méthode de la force brute. Par rapport aux inégalités de module, cela ressemble à ceci :

1. Écrivez toutes les expressions sous-modulaires et définissez-les égales à zéro ;
2. Résolvez les équations résultantes et marquez les racines trouvées sur une droite numérique ;
3. La ligne droite sera divisée en plusieurs sections, à l'intérieur desquelles chaque module aura un signe fixe et sera donc révélé de manière unique ;
4. Résolvez l'inégalité sur chacune de ces sections (vous pouvez considérer séparément les racines-limites obtenues à l'étape 2 - pour des raisons de fiabilité). Combinez les résultats - ce sera la réponse :)

Alors comment ? Faible? Facilement! Seulement pour longtemps. Voyons en pratique :

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\gauche| x+2 \droite| \lt \gauche| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Solution. Cette merde ne se résume pas à des inégalités comme $\left| f\droit| \lt g$, $\gauche| f\droit| \gt g$ ou $\left| f\droit| \lt \gauche| g \right|$, donc nous agissons en avant.

Nous écrivons des expressions sous-modulaires, les assimilons à zéro et trouvons les racines :

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Rightarrow x=1. \\\fin (aligner)\]

Au total, nous avons deux racines qui divisent la droite numérique en trois sections, au sein desquelles chaque module se révèle de manière unique :

Partitionnement de la droite numérique par des zéros de fonctions sous-modulaires

Examinons chaque section séparément.

1. Soit $x \lt -2$. Alors les deux expressions sous-modulaires sont négatives et l’inégalité d’origine sera réécrite comme suit :

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align)\]

Nous avons une limitation assez simple. Recoupons-le avec l'hypothèse initiale selon laquelle $x \lt -2$ :

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Évidemment, la variable $x$ ne peut pas être simultanément inférieure à −2 et supérieure à 1,5. Il n'y a pas de solutions dans ce domaine.

1.1. Considérons séparément le cas limite : $x=-2$. Remplaçons simplement ce nombre dans l'inégalité d'origine et vérifions : est-ce vrai ?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \gauche| -3\droite|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\fin (aligner)\]

Il est évident que l’enchaînement des calculs nous a conduit à une inégalité incorrecte. Par conséquent, l'inégalité d'origine est également fausse et $x=-2$ n'est pas inclus dans la réponse.

2. Soit maintenant $-2 \lt x \lt 1$. Le module de gauche s'ouvrira déjà avec un « plus », mais celui de droite s'ouvrira toujours avec un « moins ». Nous avons:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\fin(aligner)\]

Encore une fois, nous rejoignons l’exigence initiale :

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Et encore une fois, l’ensemble des solutions est vide, puisqu’il n’existe pas de nombres à la fois inférieurs à −2,5 et supérieurs à −2.

2.1. Et encore un cas particulier : $x=1$. On substitue à l'inégalité originelle :

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \gauche| 3\droite| \lt \gauche| 0 \right|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0,5 ; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\fin (aligner)\]

Semblable au « cas particulier » précédent, le nombre $x=1$ n'est clairement pas inclus dans la réponse.

3. Le dernier morceau de la ligne : $x \gt 1$. Ici, tous les modules sont ouverts avec un signe plus :

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

Et encore une fois, nous croisons l'ensemble trouvé avec la contrainte d'origine :

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

Eh bien, enfin ! Nous avons trouvé un intervalle qui sera la réponse.

Réponse : $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Enfin, une remarque qui peut vous éviter des erreurs stupides lors de la résolution de vrais problèmes :

Les solutions aux inégalités avec modules représentent généralement des ensembles continus sur la droite numérique - intervalles et segments. Les points isolés sont beaucoup moins fréquents. Et encore moins souvent, il arrive que la limite de la solution (la fin du segment) coïncide avec la limite de la plage considérée.

Par conséquent, si les limites (les mêmes « cas particuliers ») ne sont pas incluses dans la réponse, alors les zones situées à gauche et à droite de ces limites ne seront presque certainement pas incluses dans la réponse. Et vice versa : la frontière est entrée dans la réponse, ce qui signifie que certaines zones autour d'elle seront également des réponses.

Gardez cela à l’esprit lorsque vous examinez vos solutions.