Le thème monôme et sa forme standard. Définition d'un monôme, concepts associés, exemples

Le concept de monôme

Définition d'un monôme : un monôme est expression algébrique, qui utilise uniquement la multiplication.

Forme standard d'un monôme

Ce qui s'est passé vue générale monôme? Le monôme est écrit sous forme standard, s'il a un facteur numérique en premier lieu et ce facteur, on l'appelle le coefficient du monôme, un seul dans le monôme, les lettres du monôme sont situées dans ordre alphabétique et chaque lettre n'apparaît qu'une seule fois.

Un exemple de monôme sous forme standard :

ici en premier lieu se trouve le nombre, le coefficient du monôme, et ce nombre n'est qu'un dans notre monôme, chaque lettre n'apparaît qu'une seule fois et les lettres sont rangées par ordre alphabétique, dans ce cas c'est l'alphabet latin.

Autre exemple de monôme sous forme standard :

chaque lettre n'apparaît qu'une seule fois, elles sont rangées dans l'ordre alphabétique latin, mais où est le coefficient du monôme, c'est-à-dire facteur de nombre qui devrait venir en premier? Il est là égal à un: 1adm.

Le coefficient monôme peut-il être négatif ? Oui, peut-être, exemple : -5a.

Un coefficient monôme peut-il être fractionnaire ? Oui, peut-être, exemple : 5.2a.

Si le monôme se compose uniquement d'un nombre, c'est-à-dire n'a pas de lettres, comment l'amener à la forme standard ? Tout monôme qui est un nombre est déjà sous forme standard, par exemple : le nombre 5 est un monôme sous forme standard.

Réduction des monômes à la forme standard

Comment mettre monôme à la forme standard? Prenons des exemples.

Soit donné le monôme 2a4b, nous devons le mettre sous la forme standard. Nous multiplions deux de ses facteurs numériques et obtenons 8ab. Maintenant, le monôme est écrit sous la forme standard, c'est-à-dire n'a qu'un seul facteur numérique, écrit en premier lieu, chaque lettre du monôme n'apparaît qu'une seule fois, et ces lettres sont classées par ordre alphabétique. Donc 2a4b = 8ab.

Donné : monôme 2a4a, amenez le monôme à la forme standard. On multiplie les nombres 2 et 4, le produit aa est remplacé par la puissance seconde a 2 . On obtient : 8a 2 . C'est la forme standard de ce monôme. Donc, 2a4a = 8a 2 .

Monômes similaires

Quels sont les monômes similaires ? Si les monômes ne diffèrent que par des coefficients ou sont égaux, ils sont dits similaires.

Un exemple de monômes similaires : 5a et 2a. Ces monômes ne diffèrent que par des coefficients, ce qui signifie qu'ils sont similaires.

Les monômes 5abc et 10cba sont-ils similaires ? Nous apportons le deuxième monôme à la forme standard, nous obtenons 10abc. Maintenant, il est clair que les monômes 5abc et 10abc ne diffèrent que par leurs coefficients, ce qui signifie qu'ils sont similaires.

Ajout de monômes

Quelle est la somme des monômes ? Nous ne pouvons additionner que des monômes similaires. Prenons l'exemple de l'addition de monômes. Quelle est la somme des monômes 5a et 2a ? La somme de ces monômes sera un monôme semblable à eux, dont le coefficient est égal à la somme des coefficients des termes. Ainsi, la somme des monômes est 5a + 2a = 7a.

Plus d'exemples d'ajout de monômes :

2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 b 3 c 4 + 3a 2 b 3 c 4 = 5a 2 b 3 c 4

Encore. On ne peut additionner que des monômes similaires, l'addition se réduit à additionner leurs coefficients.

Soustraction de monômes

Quelle est la différence des monômes ? Nous ne pouvons soustraire que des monômes similaires. Prenons un exemple de soustraction de monômes. Quelle est la différence entre les monômes 5a et 2a ? La différence de ces monômes sera un monôme semblable à eux, dont le coefficient est égal à la différence des coefficients de ces monômes. Ainsi, la différence des monômes est égale à 5a - 2a = 3a.

Plus d'exemples de soustraction de monômes :

10a2 - 3a2 = 7a2
5a 2 b 3 c 4 - 3a 2 b 3 c 4 = 2a 2 b 3 c 4

Multiplication de monômes

Quel est le produit des monômes ? Prenons un exemple :

ceux. le produit des monômes est égal au monôme dont les facteurs sont composés des facteurs des monômes d'origine.

Un autre exemple:

2a 2 b 3 * une 5 b 9 = 2a 7 b 12 .

Comment ce résultat est-il arrivé ? Chaque facteur a "a" dans le degré: dans le premier - "a" dans le degré 2, et dans le second - "a" dans le degré 5. Cela signifie que le produit aura "a" dans le degré 7, car en multipliant les mêmes lettres, leurs exposants s'additionnent :

UNE 2 * une 5 = une 7 .

Il en va de même pour le facteur "b".

Le coefficient du premier facteur est égal à deux et le second à un, nous obtenons donc 2 * 1 = 2.

C'est ainsi que le résultat 2a 7 b 12 a été calculé.

À partir de ces exemples, on peut voir que les coefficients des monômes sont multipliés et que les mêmes lettres sont remplacées par les sommes de leurs degrés dans le produit.

Il existe de nombreuses expressions mathématiques différentes en mathématiques, et certaines d'entre elles ont leurs propres noms fixes. Nous devons nous familiariser avec l'un de ces concepts - c'est un monôme.

Un monôme est une expression mathématique qui consiste en un produit de nombres, de variables, chacune pouvant être incluse dans le produit dans une certaine mesure. Afin de mieux comprendre le nouveau concept, vous devez vous familiariser avec plusieurs exemples.

Exemples de monômes

Expressions 4, x^2 , -3*a^4, 0.7*c, ¾*y^2 sont des singletons. Comme vous pouvez le voir, un nombre ou une variable seul (avec ou sans puissance) est aussi un monôme. Mais, par exemple, les expressions 2+с, 3*(y^2)/x, a^2 –x^2 sont déjà ne sont pas des monômes parce qu'ils ne correspondent pas à la définition. La première expression utilise "somme", ce qui n'est pas autorisé, la seconde utilise "division" et la troisième utilise la différence.

Considérer quelques exemples supplémentaires.

Par exemple, l'expression 2*a^3*b/3 est aussi un monôme, bien que la division y soit présente. Mais dans ce cas, la division se produit par un nombre, et donc l'expression correspondante peut être réécrite comme suit : 2/3*a^3*b. Un autre exemple : Laquelle des expressions 2/x et x/2 est un monôme et laquelle ne l'est pas ? répondre correctement que la première expression n'est pas un monôme, mais la seconde.

Forme standard d'un monôme

Observez les deux monômes suivants : ¾*a^2*b^3 et 3*a*1/4*b^3*a. En fait, ce sont deux monômes identiques. N'est-il pas vrai que la première expression semble plus pratique que la seconde ?

La raison en est que la première expression est écrite sous une forme standard. La forme standard d'un polynôme est un produit composé d'un facteur numérique et de puissances de diverses variables. Le facteur numérique est appelé coefficient monomial.

Pour amener le monôme à sa forme standard, il suffit de multiplier tous les facteurs numériques présents dans le monôme et de mettre le nombre résultant en premier lieu. Multipliez ensuite toutes les puissances qui ont la même base de lettres.

Réduire un monôme à sa forme standard

Si dans notre exemple dans la deuxième expression nous multiplions tous les facteurs numériques 3 * 1/4 puis multiplions a * a, alors nous obtenons le premier monôme. Cette action s'appelle ramener le monôme à sa forme standard.

Si deux monômes ne diffèrent que par un coefficient numérique ou sont égaux l'un à l'autre, alors ces monômes sont appelés similaires en mathématiques.

Les monômes sont l'un des principaux types d'expressions étudiés dans cours d'école algèbre. Dans ce matériel, nous vous dirons quelles sont ces expressions, définirons leur forme standard et montrerons des exemples, ainsi que traiterons des concepts connexes, tels que le degré d'un monôme et son coefficient.

Qu'est-ce qu'un monôme

Les manuels scolaires donnent généralement la définition suivante de ce concept :

Définition 1

Les monomères comprennent nombres, variables, ainsi que leurs degrés avec un indicateur naturel et différents typesœuvres réalisées à partir d'eux.

Sur la base de cette définition, nous pouvons donner des exemples de telles expressions. Ainsi, tous les nombres 2 , 8 , 3004 , 0 , - 4 , - 6 , 0 , 78 , 1 4 , - 4 3 7 feront référence à des monômes. Toutes les variables, par exemple, x , a , b , p , q , t , y , z seront également des monômes par définition. Cela inclut également les puissances des variables et des nombres, par exemple, 6 3 , (− 7 , 41) 7 , x 2 et à 15, ainsi que des expressions comme 65 x , 9 (− 7) x y 3 6 , x x y 3 x y 2 z etc. Veuillez noter qu'un monôme peut inclure soit un nombre ou une variable, soit plusieurs, et ils peuvent être mentionnés plusieurs fois dans le cadre d'un polynôme.

Des types de nombres tels que les entiers, les rationnels, les naturels appartiennent également aux monômes. Il peut également inclure des valeurs réelles et nombres complexes. Ainsi, des expressions comme 2 + 3 i x z 4 , 2 x , 2 π x 3 seront aussi des monômes.

Quelle est la forme standard d'un monôme et comment y convertir une expression

Par commodité, tous les monômes conduisent d'abord à type particulier appelé norme. Soyons précis sur ce que cela signifie.

Définition 2

La forme standard du monôme ils l'appellent une telle forme dans laquelle il est le produit d'un facteur numérique et de puissances naturelles de différentes variables. Le facteur numérique, également appelé coefficient monomial, est généralement écrit en premier à partir du côté gauche.

Pour plus de clarté, nous sélectionnons plusieurs monômes de la forme standard : 6 (c'est un monôme sans variables), 4 · a , − 9 · x 2 · y 3 , 2 3 5 · x 7 . Cela inclut également l'expression x y(ici le coefficient sera égal à 1), −x3(ici le coefficient est - 1).

Nous donnons maintenant des exemples de monômes qui doivent être mis sous forme standard : 4 une une 2 une 3(ici il faut combiner les mêmes variables), 5 x (− 1) 3 y 2(ici, vous devez combiner les facteurs numériques à gauche).

Habituellement, dans le cas où un monôme comporte plusieurs variables écrites en lettres, les lettres facteurs sont écrites par ordre alphabétique. Par exemple, l'entrée préférée 6 un b 4 c z 2, comment b 4 6 a z 2 c. Cependant, l'ordre peut être différent si le but du calcul l'exige.

Tout monôme peut être réduit à une forme standard. Pour ce faire, vous devez effectuer toutes les transformations identiques nécessaires.

La notion de degré d'un monôme

La notion de degré d'un monôme qui l'accompagne est très importante. Écrivons la définition de ce concept.

Définition 3

Degré d'un monôme, écrit sous forme standard, est la somme des exposants de toutes les variables incluses dans son enregistrement. S'il n'y a pas une seule variable en elle et que le monôme lui-même est différent de 0, alors son degré sera nul.

Donnons des exemples des degrés du monôme.

Exemple 1

Ainsi, le monôme a est de degré 1 car a = a 1 . Si nous avons un monôme 7 , alors il aura un degré zéro, car il n'a pas de variables et est différent de 0 . Et voici l'entrée 7 une 2 x y 3 une 2 sera un monôme du 8e degré, car la somme des exposants de tous les degrés des variables qu'il contient sera égale à 8 : 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .

Le monôme standardisé et le polynôme original auront le même degré.

Exemple 2

Montrons comment calculer le degré d'un monôme 3 x 2 ans 3 x (− 2) x 5 ans. Sous forme standard, il peut être écrit comme − 6 x 8 et 4. Nous calculons le degré: 8 + 4 = 12 . Par conséquent, le degré du polynôme d'origine est également égal à 12 .

Le concept de coefficient monôme

Si nous avons un monôme standardisé qui comprend au moins une variable, alors nous en parlons comme un produit avec un facteur numérique. Ce facteur est appelé coefficient numérique ou coefficient monôme. Écrivons la définition.

Définition 4

Le coefficient d'un monôme est le facteur numérique d'un monôme réduit à la forme standard.

Prenons, par exemple, les coefficients de divers monômes.

Exemple 3

Ainsi, dans l'expression 8 à 3 le coefficient sera le nombre 8, et dans (− 2 , 3) ​​​​x y z elles vont − 2 , 3 .

Une attention particulière doit être portée aux ratios égal à un et moins un. En règle générale, ils ne sont pas explicitement indiqués. On pense que dans un monôme de la forme standard, dans lequel il n'y a pas de facteur numérique, le coefficient est 1, par exemple, dans les expressions a, x z 3, a t x, car elles peuvent être considérées comme 1 a, x z 3 - Comment 1 × z 3 etc.

De même, dans les monômes qui n'ont pas de facteur numérique et qui commencent par un signe moins, on peut considérer le coefficient - 1.

Exemple 4

Par exemple, les expressions − x, − x 3 y z 3 auront un tel coefficient, puisqu'elles peuvent être représentées par − x = (− 1) x, − x 3 y z 3 = (− 1) x 3 y z 3 etc.

Si un monôme n'a pas du tout un seul multiplicateur littéral, alors il est également possible de parler d'un coefficient dans ce cas. Les coefficients de tels monômes-nombres seront ces nombres eux-mêmes. Ainsi, par exemple, le coefficient du monôme 9 sera égal à 9.

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Dans cette leçon, nous allons donner une définition rigoureuse d'un monôme, considérer divers exemples du manuel. Rappelons les règles de multiplication des puissances avec la même base. Donnons une définition de la forme standard d'un monôme, du coefficient d'un monôme et de sa partie littérale. Considérons deux opérations typiques de base sur les monômes, à savoir la réduction à la forme standard et le calcul d'un valeur numérique monôme pour les valeurs données des variables littérales qui y sont incluses. Formulons la règle pour réduire le monôme à la forme standard. Apprenons à résoudre des problèmes typiques avec n'importe quel monôme.

Sujet:monômes. Opérations arithmétiques sur les monômes

Leçon:Le concept de monôme. Forme standard d'un monôme

Prenons quelques exemples :

3. ;

Allons trouver caractéristiques communes pour les expressions données. Dans les trois cas, l'expression est le produit de nombres et de variables élevés à une puissance. Sur cette base, nous donnons définition d'un monôme : un monôme est une expression algébrique constituée d'un produit de puissances et de nombres.

Donnons maintenant des exemples d'expressions qui ne sont pas des monômes :

Cherchons la différence entre ces expressions et les précédentes. Elle consiste dans le fait que dans les exemples 4 à 7 il y a des opérations d'addition, de soustraction ou de division, alors que dans les exemples 1 à 3, qui sont des monômes, ces opérations ne le sont pas.

Voici quelques exemples supplémentaires :

L'expression numéro 8 est un monôme, puisqu'elle est le produit d'une puissance et d'un nombre, tandis que l'exemple 9 n'est pas un monôme.

Découvrons maintenant actions sur les monômes .

1. Simplification. Prenons l'exemple #3 ;et exemple #2 /

Dans le deuxième exemple, nous ne voyons qu'un seul coefficient - , chaque variable n'apparaît qu'une seule fois, c'est-à-dire la variable " UN" est représenté dans une seule instance, comme "", de même, les variables "" et "" n'apparaissent qu'une seule fois.

Dans l'exemple n ° 3, au contraire, il y a deux coefficients différents - et , nous voyons la variable "" deux fois - comme "" et comme "", de même, la variable "" apparaît deux fois. C'est, expression donnée devrait être simplifiée, nous arrivons donc à la première action effectuée sur les monômes est d'amener le monôme à la forme standard . Pour ce faire, nous apportons l'expression de l'exemple 3 à la forme standard, puis nous définissons cette opération et apprenons comment apporter n'importe quel monôme à la forme standard.

Prenons donc un exemple :

La première étape de l'opération de normalisation consiste toujours à multiplier tous les facteurs numériques :

;

Le résultat de cette action sera appelé coefficient monôme .

Ensuite, vous devez multiplier les degrés. Nous multiplions les degrés de la variable " X"selon la règle de multiplication des puissances avec la même base, qui stipule que lorsqu'ils sont multipliés, les exposants s'additionnent :

Multiplions maintenant les puissances à»:

;

Voici donc une expression simplifiée :

;

Tout monôme peut être réduit à une forme standard. formulons règle de normalisation :

Multipliez tous les facteurs numériques ;

Mettez le coefficient résultant en premier lieu;

Multipliez tous les degrés, c'est-à-dire obtenez la partie lettre;

Autrement dit, tout monôme est caractérisé par un coefficient et une partie de lettre. Pour l'avenir, nous notons que les monômes ayant la même partie de lettre sont appelés similaires.

Maintenant, vous devez gagner technique de réduction des monômes à la forme standard . Prenons des exemples tirés du manuel :

Tâche : apportez le monôme à la forme standard, nommez le coefficient et la partie alphabétique.

Pour terminer la tâche, nous utilisons la règle consistant à amener le monôme à la forme standard et les propriétés des degrés.

1. ;

3. ;

Commentaires sur le premier exemple: Pour commencer, déterminons si cette expression est vraiment un monôme, pour cela nous vérifions si elle contient des opérations de multiplication de nombres et de puissances et si elle contient des opérations d'addition, de soustraction ou de division. On peut dire que cette expression est un monôme, puisque la condition ci-dessus est satisfaite. De plus, selon la règle d'amener le monôme à la forme standard, nous multiplions les facteurs numériques:

- nous avons trouvé le coefficient du monôme donné ;

; ; ; c'est-à-dire que la partie littérale de l'expression est reçue : ;

notez la réponse : ;

Commentaires sur le deuxième exemple: Suivant la règle, on exécute :

1) multiplier les facteurs numériques :

2) multiplier les puissances :

Les variables et sont présentées en un seul exemplaire, c'est-à-dire qu'elles ne peuvent être multipliées par rien, elles sont réécrites sans modification, le degré est multiplié:

notez la réponse :

;

DANS cet exemple le coefficient du monôme est égal à un, et la partie littérale est .

Commentaires sur le troisième exemple : un comme dans les exemples précédents, nous effectuons les actions suivantes :

1) multiplier les facteurs numériques :

;

2) multiplier les puissances :

;

écrivez la réponse : ;

Dans ce cas, le coefficient du monôme est égal à "", et la partie littérale .

Considérez maintenant deuxième opération standard sur les monômes . Puisqu'un monôme est une expression algébrique composée de variables littérales pouvant prendre des valeurs numériques spécifiques, nous avons une expression numérique arithmétique qui doit être calculée. Autrement dit, l'opération suivante sur les polynômes est calculer leur valeur numérique spécifique .

Prenons un exemple. Le monôme est donné :

ce monôme a déjà été réduit à la forme standard, son coefficient est égal à un, et la partie littérale

Nous avons dit précédemment qu'une expression algébrique ne peut pas toujours être calculée, c'est-à-dire que les variables qui y entrent peuvent ne prendre aucune valeur. Dans le cas d'un monôme, les variables qui y sont incluses peuvent être n'importe lesquelles, c'est une caractéristique du monôme.

Alors dans exemple donné il faut calculer la valeur du monôme en , , , .

Degré d'un monôme

Pour un monôme, il y a le concept de son degré. Voyons ce que c'est.

Définition.

Degré d'un monôme la forme standard est la somme des exposants de toutes les variables incluses dans son enregistrement ; s'il n'y a pas de variables dans l'entrée du monôme et qu'elle est différente de zéro, alors son degré est considéré comme égal à zéro ; le nombre zéro est considéré comme un monôme dont le degré n'est pas défini.

La définition du degré d'un monôme permet de donner des exemples. Le degré du monôme a est égal à un, puisque a est a 1 . Le degré du monôme 5 est nul, puisqu'il est non nul et que sa notation ne contient aucune variable. Et le produit 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 est un monôme du huitième degré, puisque la somme des exposants de toutes les variables a, x et y est 2+1+3+2=8.

Soit dit en passant, le degré d'un monôme non écrit sous forme standard est égal au degré du monôme de forme standard correspondant. Pour illustrer ce qui vient d'être dit, on calcule le degré du monôme 3 x 2 ans 3 x (−2) x 5 ans. Ce monôme sous forme standard a la forme −6·x 8 ·y 4 , son degré est 8+4=12 . Ainsi, le degré du monôme original est 12 .

Coefficient monôme

Un monôme sous forme standard, ayant au moins une variable dans sa notation, est un produit avec un seul facteur numérique - un coefficient numérique. Ce coefficient est appelé coefficient monôme. Formalisons le raisonnement ci-dessus sous la forme d'une définition.

Définition.

Coefficient monôme est le facteur numérique du monôme écrit sous la forme standard.

Nous pouvons maintenant donner des exemples de coefficients de divers monômes. Le nombre 5 est le coefficient du monôme 5 a 3 par définition, de même le monôme (−2.3) x y z a le coefficient −2.3 .

Les coefficients des monômes égaux à 1 et −1 méritent une attention particulière. Le point ici est qu'ils ne sont généralement pas explicitement présents dans le dossier. On pense que le coefficient des monômes de la forme standard, qui n'ont pas de facteur numérique dans leur notation, est égal à un. Par exemple, les monômes a , x z 3 , a t x , etc. ont le coefficient 1, puisque a peut être considéré comme 1 a, x z 3 comme 1 x z 3, etc.

De même, le coefficient des monômes, dont les entrées dans la forme standard n'ont pas de facteur numérique et commencent par un signe moins, est considéré comme moins un. Par exemple, les monômes −x , −x 3 y z 3, etc. ont le coefficient −1 , puisque −x=(−1) x , −x 3 y z 3 =(−1) x 3 y z 3 et ainsi de suite.

Soit dit en passant, le concept du coefficient d'un monôme est souvent appelé monômes de la forme standard, qui sont des nombres sans facteur de lettre. Les coefficients de tels monômes-nombres sont considérés comme étant ces nombres. Ainsi, par exemple, le coefficient du monôme 7 est considéré égal à 7.

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