Waar is log 4 gelijk aan en wat is een logaritme? Logaritmen oplossen

\(a^(b)=c\) \(\Pijl naar links\) \(\log_(a)(c)=b\)

Laten we het eenvoudiger uitleggen. \(\log_(2)(8)\) is bijvoorbeeld gelijk aan de macht waartoe \(2\) moet worden verheven om \(8\) te krijgen. Hieruit blijkt duidelijk dat \(\log_(2)(8)=3\).

Argument en basis van logaritme

Elke logaritme heeft de volgende “anatomie”:

Het argument van een logaritme wordt meestal op het niveau ervan geschreven, en de basis wordt in subscript geschreven, dichter bij het logaritmeteken. En dit bericht luidt als volgt: "logaritme van vijfentwintig tot grondtal vijf."

Hoe logaritme berekenen?

Om de logaritme te berekenen, moet je de vraag beantwoorden: tot welke macht moet de grondtal worden verheven om het argument te krijgen?

Bijvoorbeeld, bereken de logaritme: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Tot welke macht moet \(4\) worden verheven om \(16\) te krijgen? Uiteraard de tweede. Daarom:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Tot welke macht moet \(\sqrt(5)\) worden verheven om \(1\) te krijgen? Welke macht maakt iemand nummer één? Nul natuurlijk!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Tot welke macht moet \(\sqrt(7)\) worden verheven om \(\sqrt(7)\) te verkrijgen? Ten eerste is elk getal tot de eerste macht gelijk aan zichzelf.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Tot welke macht moet \(3\) worden verheven om \(\sqrt(3)\) te verkrijgen? We weten dat dit een fractionele macht is, wat betekent dat de vierkantswortel de macht is van \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Voorbeeld : Bereken logaritme \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Oplossing :

Antwoord : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Waarom werd de logaritme uitgevonden?

Om dit te begrijpen, gaan we de vergelijking oplossen: \(3^(x)=9\). Match gewoon \(x\) om de gelijkheid te laten werken. Natuurlijk, \(x=2\).

Los nu de vergelijking op: \(3^(x)=8\).Waar is x gelijk aan? Dat is het punt.

De slimsten zullen zeggen: “X is iets minder dan twee.” Hoe schrijf je dit nummer precies? Om deze vraag te beantwoorden werd de logaritme uitgevonden. Dankzij hem kan het antwoord hier worden geschreven als \(x=\log_(3)(8)\).

Ik wil benadrukken dat \(\log_(3)(8)\), zoals elke logaritme is slechts een getal. Ja, het ziet er ongebruikelijk uit, maar het is kort. Want als we het als decimaal zouden willen schrijven, zou het er als volgt uitzien: \(1.892789260714.....\)

Voorbeeld : Los de vergelijking \(4^(5x-4)=10\) op

Oplossing :

Antwoord : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Decimale en natuurlijke logaritmes

Zoals vermeld in de definitie van een logaritme, kan het grondtal ervan elk positief getal zijn, behalve één \((a>0, a\neq1)\). En van alle mogelijke basen zijn er twee die zo vaak voorkomen dat er een speciale korte notatie voor logaritmen mee is uitgevonden:

Natuurlijke logaritme: een logaritme waarvan de basis het getal \(e\) van Euler is (gelijk aan ongeveer \(2,7182818…\)), en de logaritme wordt geschreven als \(\ln(a)\).

Dat is, \(\ln(a)\) is hetzelfde als \(\log_(e)(a)\)

Decimaal logaritme: Een logaritme waarvan het grondtal 10 is, wordt geschreven als \(\lg(a)\).

Dat is, \(\lg(a)\) is hetzelfde als \(\log_(10)(a)\), waarbij \(a\) een getal is.

Fundamentele logaritmische identiteit

Logaritmen hebben veel eigenschappen. Een daarvan heet de “Basis Logaritmische Identiteit” en ziet er als volgt uit:

Deze eigenschap volgt rechtstreeks uit de definitie. Laten we eens kijken hoe deze formule precies tot stand kwam.

Laten we ons een korte notatie van de definitie van logaritme herinneren:

als \(a^(b)=c\), dan \(\log_(a)(c)=b\)

Dat wil zeggen, \(b\) is hetzelfde als \(\log_(a)(c)\). Dan kunnen we \(\log_(a)(c)\) schrijven in plaats van \(b\) in de formule \(a^(b)=c\). Het bleek \(a^(\log_(a)(c))=c\) - de belangrijkste logaritmische identiteit.

U kunt andere eigenschappen van logaritmen vinden. Met hun hulp kunt u de waarden van uitdrukkingen met logaritmen vereenvoudigen en berekenen, die moeilijk direct te berekenen zijn.

Voorbeeld : Zoek de waarde van de uitdrukking \(36^(\log_(6)(5))\)

Oplossing :

Antwoord : \(25\)

Hoe schrijf je een getal als logaritme?

Zoals hierboven vermeld, is elke logaritme slechts een getal. Het omgekeerde is ook waar: elk getal kan als logaritme worden geschreven. We weten bijvoorbeeld dat \(\log_(2)(4)\) gelijk is aan twee. Dan kun je in plaats van twee \(\log_(2)(4)\) schrijven.

Maar \(\log_(3)(9)\) is ook gelijk aan \(2\), wat betekent dat we ook \(2=\log_(3)(9)\) kunnen schrijven. Hetzelfde geldt voor \(\log_(5)(25)\), en voor \(\log_(9)(81)\), enz. Dat wil zeggen, zo blijkt

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Dus als we dat nodig hebben, kunnen we twee schrijven als een logaritme met elk grondtal waar dan ook (zij het in een vergelijking, in een uitdrukking of in een ongelijkheid). We schrijven het grondtal eenvoudigweg in het kwadraat als een argument.

Hetzelfde geldt voor de triple – deze kan worden geschreven als \(\log_(2)(8)\), of als \(\log_(3)(27)\), of als \(\log_(4)( 64) \)... Hier schrijven we het grondtal in de kubus als argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

En met vier:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

En met min één:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

En met een derde:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Elk getal \(a\) kan worden weergegeven als een logaritme met grondtal \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Voorbeeld : Zoek de betekenis van de uitdrukking \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Oplossing :

Antwoord : \(1\)

Logaritme van een bepaald getal wordt de exponent genoemd waartoe een ander getal moet worden verhoogd basis logaritme om dit getal te verkrijgen. De logaritme met grondtal 10 van 100 is bijvoorbeeld 2. Met andere woorden: 10 moet worden gekwadrateerd om 100 te krijgen (10 2 = 100). Als N– een bepaald getal, B– basis en l– logaritme dus b l = n. Nummer N ook wel basis-antilogaritme genoemd B cijfers l. De antilogaritme van 2 tot grondtal 10 is bijvoorbeeld gelijk aan 100. Dit kan worden geschreven in de vorm van het relatielogboek b n = l en antilog b l = N.

Basiseigenschappen van logaritmen:

Elk ander positief getal dan één kan als basis voor logaritmen dienen, maar helaas blijkt dat als B En N zijn rationale getallen, dan is er in zeldzame gevallen zo’n rationeel getal l, Wat b l = n. Het is echter mogelijk om een ​​irrationeel getal te definiëren l bijvoorbeeld zodanig dat 10 l= 2; dit is een irrationeel getal l kan met elke vereiste nauwkeurigheid worden benaderd door rationale getallen. Dat blijkt uit het gegeven voorbeeld l is ongeveer gelijk aan 0,3010, en deze benadering van de logaritme met grondtal 10 van 2 is te vinden in viercijferige tabellen met decimale logaritmen. Logaritmen met grondtal 10 (of logaritmen met grondtal 10) worden zo vaak gebruikt in berekeningen dat ze heten normaal logaritmen en geschreven als log2 = 0,3010 of log2 = 0,3010, waarbij de expliciete aanduiding van de basis van de logaritme wordt weggelaten. Logaritmen naar de basis e, een transcendentaal getal dat ongeveer gelijk is aan 2,71828, worden genoemd natuurlijk logaritmen. Ze zijn vooral te vinden in werken over wiskundige analyse en de toepassingen ervan in verschillende wetenschappen. Natuurlijke logaritmen worden ook geschreven zonder expliciet het grondtal aan te geven, maar met de speciale notatie ln: bijvoorbeeld ln2 = 0,6931, omdat e 0,6931 = 2.

Tabellen met gewone logaritmen gebruiken.

De reguliere logaritme van een getal is een exponent waartoe 10 moet worden verhoogd om een ​​bepaald getal te verkrijgen. Omdat 10 0 = 1, 10 1 = 10 en 10 2 = 100, krijgen we onmiddellijk log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2, enz. voor toenemende gehele machten 10. Op dezelfde manier geldt 10 –1 = 0,1, 10 –2 = 0,01 en dus log0,1 = –1, log0,01 = –2, enz. voor alle negatieve gehele machten 10. De gebruikelijke logaritmen van de overige getallen zijn ingesloten tussen de logaritmen van de dichtstbijzijnde gehele machten van 10; log2 moet tussen 0 en 1 liggen, log20 moet tussen 1 en 2 liggen, en log0.2 moet tussen -1 en 0 liggen. De logaritme bestaat dus uit twee delen, een geheel getal en een decimaal, tussen 0 en 1. geheel getal genoemd karakteristiek logaritme en wordt bepaald door het getal zelf, het fractionele deel wordt genoemd mantisse en kan worden gevonden in tabellen. Ook geldt: log20 = log(2×10) = log2 + log10 = (log2) + 1. De logaritme van 2 is 0,3010, dus log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Op dezelfde manier geldt log0,2 = log(2о10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0,3010 – 1. Na aftrekken krijgen we log0,2 = – 0,6990. Het is echter handiger om log0.2 weer te geven als 0,3010 – 1 of als 9,3010 – 10; Er kan ook een algemene regel worden geformuleerd: alle getallen die uit een bepaald getal worden verkregen door vermenigvuldiging met een macht van 10, hebben identieke mantisses die gelijk zijn aan de mantisse van het gegeven getal. De meeste tabellen tonen de mantissen met getallen in het bereik van 1 tot en met 10, aangezien de mantissen van alle andere getallen kunnen worden verkregen uit de mantissen in de tabel.

De meeste tabellen geven logaritmen met vier of vijf decimalen, hoewel er zevencijferige tabellen zijn en tabellen met nog meer decimalen. De eenvoudigste manier om dergelijke tabellen te leren gebruiken is met voorbeelden. Om log3.59 te vinden, merken we allereerst op dat het getal 3.59 tussen 10 0 en 10 1 ligt, dus het kenmerk ervan is 0. We vinden het getal 35 (aan de linkerkant) in de tabel en gaan langs de rij naar de kolom met bovenaan het nummer 9; het snijpunt van deze kolom en rij 35 is 5551, dus log3,59 = 0,5551. Om de mantisse van een getal met vier significante cijfers te vinden, moet u interpolatie gebruiken. In sommige tabellen wordt interpolatie vergemakkelijkt door de verhoudingen die zijn gegeven in de laatste negen kolommen aan de rechterkant van elke pagina van de tabellen. Laten we nu log736.4 vinden; het getal 736.4 ligt tussen 10 2 en 10 3, daarom is het kenmerk van de logaritme 2. In de tabel vinden we een rij aan de linkerkant waarvan 73 staat en kolom 6. Op het snijpunt van deze rij en deze kolom staat het getal 8669. Onder de lineaire delen vinden we kolom 4. Op het snijpunt van rij 73 en kolom 4 staat het getal 2. Door 2 op te tellen bij 8669 krijgen we de mantisse - deze is gelijk aan 8671. Dus log736.4 = 2,8671.

Natuurlijke logaritmes.

De tabellen en eigenschappen van natuurlijke logaritmen zijn vergelijkbaar met de tabellen en eigenschappen van gewone logaritmen. Het belangrijkste verschil tussen beide is dat het gehele deel van de natuurlijke logaritme niet significant is bij het bepalen van de positie van de komma, en daarom speelt het verschil tussen de mantisse en het kenmerk geen speciale rol. Natuurlijke logaritmes van getallen 5.432; 54,32 en 543,2 zijn respectievelijk gelijk aan 1,6923; 3,9949 en 6,2975. De relatie tussen deze logaritmen zal duidelijk worden als we de verschillen ertussen in ogenschouw nemen: log543,2 – log54,32 = 6,2975 – 3,9949 = 2,3026; het laatste getal is niets meer dan de natuurlijke logaritme van het getal 10 (zo geschreven: ln10); log543.2 – log5.432 = 4,6052; het laatste getal is 2ln10. Maar 543,2 = 10×54,32 = 10 2×5,432. Dus volgens de natuurlijke logaritme van een bepaald getal A je kunt de natuurlijke logaritmes van getallen vinden die gelijk zijn aan de producten van het getal A voor welke graad dan ook N nummers 10 als naar ln A voeg ln10 vermenigvuldigd met toe N, d.w.z. ln( Aґ10N) = logboek A + N ln10 = ln A + 2,3026N. Bijvoorbeeld ln0,005432 = ln(5,432×10 –3) = ln5,432 – 3ln10 = 1,6923 – (3´2,3026) = – 5,2155. Daarom bevatten tabellen met natuurlijke logaritmen, net als tabellen met gewone logaritmen, meestal alleen logaritmen van getallen van 1 tot 10. In het systeem van natuurlijke logaritmen kun je praten over antilogaritmen, maar vaker praten ze over een exponentiële functie of een exponent. Als X= loggen j, Dat j = ex, En j de exponent van genoemd X(voor typografisch gemak schrijven ze vaak j= exp X). De exponent speelt de rol van de antilogaritme van het getal X.

Met behulp van tabellen met decimale en natuurlijke logaritmen kunt u tabellen met logaritmen maken met elk grondtal behalve 10 en e. Als log b een = X, Dat bx = A, en dus loggen cbx= loggen c een of X loggen c b= loggen c een, of X= loggen c een/loggen c b= loggen b een. Gebruik daarom deze inversieformule uit de basislogaritmetabel C je kunt tabellen met logaritmen in elk ander grondtal bouwen B. Vermenigvuldiger 1/logboek c b genaamd overgangsmodule vanaf de basis C naar de basis B. Niets belet bijvoorbeeld het gebruik van de inversieformule of de overgang van het ene systeem van logaritmen naar het andere, het vinden van natuurlijke logaritmen uit de tabel met gewone logaritmen of het maken van de omgekeerde overgang. Log105.432 = log e 5,432/logboek e 10 = 1,6923/2,3026 = 1,6923 0,4343 = 0,7350. Het getal 0,4343, waarmee de natuurlijke logaritme van een bepaald getal moet worden vermenigvuldigd om een ​​gewone logaritme te verkrijgen, is de modulus van de overgang naar het systeem van gewone logaritmes.

Speciale tafels.

Logaritmen zijn oorspronkelijk zo uitgevonden dat ze met behulp van hun eigenschappen kunnen loggen ab= loggen A+ logboek B en loggen A/B= loggen A–logboek B, verander producten in sommen en quotiënten in verschillen. Met andere woorden, als log A en loggen B bekend zijn, kunnen we met behulp van optellen en aftrekken gemakkelijk de logaritme van het product en het quotiënt vinden. In de astronomie worden echter vaak logwaarden gegeven A en loggen B moet log vinden ( A + B) of log( A – B). Natuurlijk zou je dit eerst kunnen vinden uit tabellen met logaritmen A En B, voer vervolgens de aangegeven optelling of aftrekking uit en zoek, opnieuw verwijzend naar de tabellen, de vereiste logaritmen, maar voor een dergelijke procedure zou het drie keer nodig zijn om naar de tabellen te verwijzen. Z. Leonelli publiceerde in 1802 tabellen van de zogenaamde. Gaussiaanse logaritmen– logaritmen voor het optellen van sommen en verschillen – waardoor het mogelijk werd zich te beperken tot één toegang tot tabellen.

In 1624 stelde I. Kepler tabellen met proportionele logaritmen voor, d.w.z. logaritmes van getallen A/X, Waar A– een positieve constante waarde. Deze tabellen worden voornamelijk gebruikt door astronomen en navigators.

Proportionele logaritmes op A= 1 worden gebeld cologaritmen en worden gebruikt bij berekeningen als men met producten en quotiënten te maken heeft. Cologaritme van een getal N gelijk aan de logaritme van het omgekeerde getal; die. colo N= log1/ N= – loggen N. Als log2 = 0,3010, dan colog2 = – 0,3010 = 0,6990 – 1. Het voordeel van het gebruik van cologaritmen is dat bij het berekenen van de waarde van de logaritme van uitdrukkingen als p.q/R drievoudige som van positieve decimalen log P+ logboek Q+colog R is gemakkelijker te vinden dan het gemengde som- en verschillogboek P+ logboek Q–logboek R.

Verhaal.

Het principe dat ten grondslag ligt aan elk systeem van logaritmen is al heel lang bekend en kan worden teruggevoerd op de oude Babylonische wiskunde (circa 2000 voor Christus). In die tijd werd interpolatie tussen tabelwaarden van positieve gehele machten van gehele getallen gebruikt om de samengestelde rente te berekenen. Veel later gebruikte Archimedes (287–212 v.Chr.) de machten van 108 om een ​​bovengrens te vinden voor het aantal zandkorrels dat nodig was om het toen bekende heelal volledig te vullen. Archimedes vestigde de aandacht op de eigenschap van exponenten die ten grondslag ligt aan de effectiviteit van logaritmen: het product van machten komt overeen met de som van de exponenten. Aan het einde van de Middeleeuwen en het begin van de moderne tijd begonnen wiskundigen zich steeds meer te richten op de relatie tussen geometrische en rekenkundige progressies. M. Stiefel in zijn essay Rekenkunde met gehele getallen(1544) gaf een tabel met positieve en negatieve machten van het getal 2:

Stiefel merkte op dat de som van de twee getallen in de eerste rij (de exponentrij) gelijk is aan de exponent van twee, overeenkomend met het product van de twee overeenkomstige getallen in de onderste rij (de exponentrij). In verband met deze tabel formuleerde Stiefel vier regels die gelijkwaardig zijn aan de vier moderne regels voor bewerkingen met exponenten of de vier regels voor bewerkingen met logaritmen: de som op de bovenste regel komt overeen met het product op de onderste regel; aftrekken op de bovenste regel komt overeen met delen op de onderste regel; vermenigvuldiging op de bovenste regel komt overeen met machtsverheffen op de onderste regel; de verdeling op de bovenste regel komt overeen met het rooten op de onderste regel.

Blijkbaar brachten regels die vergelijkbaar waren met de regels van Stiefel ertoe dat J. Naper het eerste systeem van logaritmen formeel in zijn werk introduceerde Beschrijving van de verbazingwekkende tabel met logaritmen, gepubliceerd in 1614. Maar Napiers gedachten waren bezig met het probleem van het omzetten van producten in bedragen sinds Napier, meer dan tien jaar vóór de publicatie van zijn werk, nieuws uit Denemarken ontving dat zijn assistenten bij het Tycho Brahe Observatorium een ​​methode hadden waarmee hij het is mogelijk om producten om te zetten in sommen. De methode die werd besproken in het bericht dat Napier ontving, was gebaseerd op het gebruik van trigonometrische formules zoals

daarom bestonden de tabellen van Naper voornamelijk uit logaritmen van trigonometrische functies. Hoewel het concept van grondtal niet expliciet was opgenomen in de door Napier voorgestelde definitie, werd de rol die gelijkwaardig was aan het grondtal van het systeem van logaritmen in zijn systeem gespeeld door het getal (1 – 10 –7) 10 7, ongeveer gelijk aan 1/ e.

Onafhankelijk van Naper en bijna gelijktijdig met hem werd een systeem van logaritmen, dat qua type vrij gelijkaardig was, uitgevonden en gepubliceerd door J. Bürgi in Praag, gepubliceerd in 1620 Rekenkundige en geometrische progressietabellen. Dit waren tabellen met antilogaritmes met het grondtal (1 + 10 –4) ԑ10 4, een redelijk goede benadering van het getal e.

In het Naper-systeem werd de logaritme van het getal 10 7 als nul beschouwd, en naarmate de getallen afnamen, namen de logaritmen toe. Toen G. Briggs (1561–1631) Napier bezocht, waren beiden het erover eens dat het handiger zou zijn om het getal 10 als grondtal te gebruiken en de logaritme van één als nul te beschouwen. Naarmate de getallen toenamen, zouden hun logaritmen toenemen. Zo verkregen we het moderne systeem van decimale logaritmen, waarvan Briggs de tabel in zijn werk publiceerde Logaritmische rekenkunde(1620). Logaritmen naar de basis e, hoewel niet precies degene die door Naper zijn geïntroduceerd, worden ze vaak Naper's genoemd. De termen "karakteristiek" en "mantisse" werden voorgesteld door Briggs.

De eerste logaritmen gebruikten om historische redenen benaderingen van de getallen 1/ e En e. Iets later begon het idee van natuurlijke logaritmen geassocieerd te worden met de studie van gebieden onder een hyperbool xy= 1 (Fig. 1). In de 17e eeuw Er werd aangetoond dat het gebied dat door deze curve wordt begrensd, de as is X en ordinaten X= 1 en X = A(in figuur 1 is dit gebied bedekt met dikkere en dunnere punten) neemt de rekenkundige progressie toe wanneer A exponentieel toeneemt. Het is precies deze afhankelijkheid die ontstaat in de regels voor bewerkingen met exponenten en logaritmen. Dit gaf aanleiding tot het noemen van Naperiaanse logaritmen ‘hyperbolische logaritmen’.

Logaritmische functie.

Er was een tijd dat logaritmen uitsluitend als rekenmiddel werden beschouwd, maar in de 18e eeuw werd, vooral dankzij het werk van Euler, het concept van een logaritmische functie gevormd. Grafiek van een dergelijke functie j= loggen X, waarvan de ordinaten toenemen in een rekenkundige progressie, terwijl de abscis toeneemt in een geometrische progressie, wordt weergegeven in Fig. 2, A. Grafiek van een inverse of exponentiële functie y = e x, waarvan de ordinaten toenemen in geometrische progressie, en waarvan de abscis toeneemt in rekenkundige progressie, wordt respectievelijk weergegeven in Fig. 2, B. (curven j= loggen X En j = 10X qua vorm vergelijkbaar met rondingen j= loggen X En j = ex.) Er zijn ook alternatieve definities van de logaritmische functie voorgesteld, b.v.

kpi; en op dezelfde manier zijn de natuurlijke logaritmes van het getal -1 complexe getallen van de vorm (2 k + 1)pi, Waar k- een geheel getal. Soortgelijke uitspraken gelden voor algemene logaritmen of andere systemen van logaritmen. Bovendien kan de definitie van logaritmen worden gegeneraliseerd met behulp van de identiteiten van Euler om complexe logaritmen van complexe getallen op te nemen.

Een alternatieve definitie van een logaritmische functie wordt gegeven door functionele analyse. Als F(X) – continue functie van een reëel getal X, met de volgende drie eigenschappen: F (1) = 0, F (B) = 1, F (uv) = F (u) + F (v), Dat F(X) wordt gedefinieerd als de logaritme van het getal X gebaseerd op B. Deze definitie heeft een aantal voordelen ten opzichte van de definitie die aan het begin van dit artikel wordt gegeven.

Toepassingen.

Logaritmen werden oorspronkelijk uitsluitend gebruikt om berekeningen te vereenvoudigen, en deze toepassing is nog steeds een van de belangrijkste. De berekening van producten, quotiënten, machten en wortels wordt niet alleen vergemakkelijkt door de ruime beschikbaarheid van gepubliceerde tabellen met logaritmen, maar ook door het gebruik van zogenaamde. rekenliniaal - een rekeninstrument waarvan het werkingsprincipe is gebaseerd op de eigenschappen van logaritmen. De liniaal is uitgerust met logaritmische schalen, d.w.z. afstand van nummer 1 tot een willekeurig nummer X gekozen om gelijk te zijn aan log X; Door de ene schaal ten opzichte van de andere te verschuiven, is het mogelijk om de sommen of verschillen van logaritmen uit te zetten, waardoor het mogelijk wordt om direct van de schaal de producten of quotiënten van de overeenkomstige getallen af ​​te lezen. U kunt ook profiteren van de voordelen van het weergeven van getallen in logaritmische vorm. logaritmisch papier voor het plotten van grafieken (papier met logaritmische schalen erop gedrukt op beide coördinatenassen). Als een functie voldoet aan een machtswet van de vorm y = kxn, dan ziet de logaritmische grafiek eruit als een rechte lijn, omdat loggen j= loggen k + N loggen X– vergelijking lineair ten opzichte van log j en loggen X. Integendeel, als de logaritmische grafiek van een functionele afhankelijkheid op een rechte lijn lijkt, dan is deze afhankelijkheid een machtsafhankelijkheid. Semi-logboekpapier (waarbij de y-as een logaritmische schaal heeft en de x-as een uniforme schaal) is handig wanneer u exponentiële functies moet identificeren. Vergelijkingen van de vorm y = kb rx vindt plaats wanneer een hoeveelheid, zoals een bevolking, een hoeveelheid radioactief materiaal of een banksaldo, afneemt of toeneemt in een tempo dat evenredig is met de hoeveelheid bevolking, radioactief materiaal of geld dat momenteel beschikbaar is. Als een dergelijke afhankelijkheid op semi-logaritmisch papier wordt uitgezet, ziet de grafiek eruit als een rechte lijn.

De logaritmische functie ontstaat in verband met een grote verscheidenheid aan natuurlijke vormen. Bloemen in zonnebloembloeiwijzen zijn gerangschikt in logaritmische spiralen, weekdierschelpen zijn gedraaid Nautilus, bergschapenhoorns en papegaaiensnavels. Al deze natuurlijke vormen kunnen dienen als voorbeelden van een curve die bekend staat als een logaritmische spiraal, omdat de vergelijking ervan in een polair coördinatensysteem r = ae bq, of ln R= loggen A + bq. Een dergelijke kromme wordt beschreven door een bewegend punt, waarvan de afstand tot de pool toeneemt in geometrische progressie, en de hoek die wordt beschreven door zijn straalvector toeneemt in rekenkundige progressie. De alomtegenwoordigheid van een dergelijke curve, en dus van de logaritmische functie, wordt goed geïllustreerd door het feit dat deze voorkomt in zulke verre en totaal verschillende gebieden als de contouren van een excentrische nok en de baan van sommige insecten die naar het licht vliegen.

Het waarborgen van uw privacy is belangrijk voor ons. Om deze reden hebben wij een privacybeleid ontwikkeld waarin wordt beschreven hoe wij uw gegevens gebruiken en opslaan. Bekijk onze privacypraktijken en laat het ons weten als u vragen heeft.

Verzameling en gebruik van persoonlijke informatie

Persoonlijke informatie verwijst naar gegevens die kunnen worden gebruikt om een ​​specifieke persoon te identificeren of ermee contact op te nemen.

U kunt op elk moment worden gevraagd om uw persoonlijke gegevens te verstrekken wanneer u contact met ons opneemt.

Hieronder vindt u enkele voorbeelden van de soorten persoonlijke informatie die we kunnen verzamelen en hoe we dergelijke informatie kunnen gebruiken.

Welke persoonlijke informatie verzamelen wij:

• Wanneer u een aanvraag indient op de site, kunnen we verschillende informatie verzamelen, waaronder uw naam, telefoonnummer, e-mailadres, enz.

Hoe wij uw persoonlijke gegevens gebruiken:

• Met de persoonlijke informatie die we verzamelen, kunnen we contact met u opnemen over unieke aanbiedingen, promoties en andere evenementen en aankomende evenementen.
• Van tijd tot tijd kunnen we uw persoonlijke gegevens gebruiken om belangrijke mededelingen en mededelingen te verzenden.
• We kunnen persoonlijke informatie ook gebruiken voor interne doeleinden, zoals het uitvoeren van audits, data-analyse en diverse onderzoeken om de diensten die wij leveren te verbeteren en u aanbevelingen te doen met betrekking tot onze diensten.
• Als u deelneemt aan een prijstrekking, wedstrijd of soortgelijke promotie, kunnen wij de door u verstrekte informatie gebruiken om dergelijke programma's te beheren.

Openbaarmaking van informatie aan derden

Wij maken de van u ontvangen gegevens niet bekend aan derden.

Uitzonderingen:

• Indien nodig - in overeenstemming met de wet, gerechtelijke procedure, in gerechtelijke procedures en/of op basis van publieke verzoeken of verzoeken van overheidsinstanties op het grondgebied van de Russische Federatie - om uw persoonlijke gegevens openbaar te maken. We kunnen ook informatie over u openbaar maken als we vaststellen dat een dergelijke openbaarmaking noodzakelijk of gepast is voor veiligheids-, wetshandhavings- of andere doeleinden van openbaar belang.
• In het geval van een reorganisatie, fusie of verkoop kunnen we de persoonlijke informatie die we verzamelen overdragen aan de toepasselijke opvolger van een derde partij.

Bescherming van persoonlijke informatie

We nemen voorzorgsmaatregelen – inclusief administratieve, technische en fysieke – om uw persoonlijke gegevens te beschermen tegen verlies, diefstal en misbruik, evenals tegen ongeoorloofde toegang, openbaarmaking, wijziging en vernietiging.

Het respecteren van uw privacy op bedrijfsniveau

Om ervoor te zorgen dat uw persoonlijke gegevens veilig zijn, communiceren we privacy- en beveiligingsnormen met onze medewerkers en handhaven we de privacypraktijken strikt.

We hebben dus machten van twee. Als je het getal uit de onderste regel neemt, kun je gemakkelijk de macht vinden waartoe je twee moet verhogen om dit getal te krijgen. Om bijvoorbeeld 16 te krijgen, moet je twee tot de vierde macht verheffen. En om 64 te krijgen, moet je twee tot de zesde macht verheffen. Dit is te zien aan de tabel.

En nu eigenlijk de definitie van de logaritme:

Het grondtal een logaritme van x is de macht waartoe a moet worden verheven om x te krijgen.

Notatie: log a x = b, waarbij a het grondtal is, x het argument, b is waar de logaritme feitelijk gelijk aan is.

Bijvoorbeeld: 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (de logaritme met grondtal 2 van 8 is drie omdat 2 3 = 8). Met hetzelfde succes logt u 2 64 = 6, aangezien 2 6 = 64.

De bewerking van het vinden van de logaritme van een getal tot een bepaald grondtal wordt logaritme genoemd. Laten we dus een nieuwe regel aan onze tabel toevoegen:

Helaas worden niet alle logaritmes zo eenvoudig berekend. Probeer bijvoorbeeld log 2 5 te vinden. Het getal 5 staat niet in de tabel, maar de logica schrijft voor dat de logaritme ergens in het interval zal liggen. Omdat 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Dergelijke getallen worden irrationeel genoemd: de getallen na de komma kunnen tot in het oneindige worden geschreven en worden nooit herhaald. Als de logaritme irrationeel blijkt te zijn, is het beter om het zo te laten: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Het is belangrijk om te begrijpen dat een logaritme een uitdrukking is met twee variabelen (het grondtal en het argument). Veel mensen verwarren in eerste instantie waar de basis ligt en waar het argument ligt. Om vervelende misverstanden te voorkomen, kijk maar naar de afbeelding:

[Onderschrift voor de foto]

Voor ons ligt niets meer dan de definitie van een logaritme. Herinneren: logaritme is een macht, waarin de basis moet worden ingebouwd om een ​​argument te verkrijgen. Het is de basis die tot een macht wordt verheven - deze is in de afbeelding rood gemarkeerd. Het blijkt dat de basis altijd onderaan ligt! Ik vertel mijn leerlingen deze prachtige regel al bij de allereerste les – en er ontstaat geen verwarring.

We hebben de definitie gevonden - het enige dat we nog moeten leren is logaritmen tellen, d.w.z. verwijder het "log" -teken. Om te beginnen merken we op dat uit de definitie twee belangrijke feiten volgen:

1. Het argument en de grondtal moeten altijd groter zijn dan nul. Dit volgt uit de definitie van een graad door een rationale exponent, waartoe de definitie van een logaritme wordt gereduceerd.
2. De basis moet verschillend zijn van één, aangezien één in zekere zin nog steeds één is. Hierdoor is de vraag “tot welke macht je moet verheven zijn om er twee te krijgen” zinloos. Zo'n graad bestaat niet!

Dergelijke beperkingen worden genoemd bereik van aanvaardbare waarden(ODZ). Het blijkt dat de ODZ van de logaritme er als volgt uitziet: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Merk op dat er geen beperkingen zijn voor het getal b (de waarde van de logaritme). De logaritme kan bijvoorbeeld heel goed negatief zijn: log 2 0,5 = −1, omdat 0,5 = 2 −1.

Nu beschouwen we echter alleen numerieke uitdrukkingen, waarbij het niet vereist is om de VA van de logaritme te kennen. Met alle beperkingen is al rekening gehouden door de auteurs van de problemen. Maar wanneer logaritmische vergelijkingen en ongelijkheden een rol gaan spelen, zullen DL-vereisten verplicht worden. De onderbouwing en argumentatie kunnen immers zeer sterke constructies bevatten die niet noodzakelijkerwijs overeenkomen met bovenstaande restricties.

Laten we nu eens kijken naar het algemene schema voor het berekenen van logaritmen. Het bestaat uit drie stappen:

1. Druk het grondtal a en het argument x uit als een macht waarvan het minimaal mogelijke grondtal groter is dan één. Onderweg is het beter om decimalen te verwijderen;
2. Los de vergelijking op voor variabele b: x = a b ;
3. Het resulterende getal b zal het antwoord zijn.

Dat is alles! Als de logaritme irrationeel blijkt te zijn, zal dit al in de eerste stap zichtbaar zijn. De eis dat de basis groter moet zijn dan één is erg belangrijk: dit verkleint de kans op fouten en vereenvoudigt de berekeningen aanzienlijk. Hetzelfde geldt voor decimale breuken: als je ze onmiddellijk omzet in gewone breuken, zullen er veel minder fouten optreden.

Laten we eens kijken hoe dit schema werkt aan de hand van specifieke voorbeelden:

Taak. Bereken de logaritme: log 5 25

1. Laten we ons de basis en het argument voorstellen als een macht van vijf: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
2. Laten we de vergelijking maken en oplossen:
   log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
3. Wij kregen het antwoord: 2.

Taak. Bereken de logaritme:

[Onderschrift voor de foto]

Taak. Bereken de logaritme: log 4 64

1. Laten we ons de basis en het argument voorstellen als een macht van twee: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
2. Laten we de vergelijking maken en oplossen:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Wij kregen het antwoord: 3.

Taak. Bereken de logaritme: log 16 1

1. Laten we ons de basis en het argument voorstellen als een macht van twee: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0;
2. Laten we de vergelijking maken en oplossen:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Wij kregen het antwoord: 0.

Taak. Bereken de logaritme: log 7 14

1. Laten we ons de basis en het argument voorstellen als een macht van zeven: 7 = 7 1 ; 14 kan niet worden weergegeven als een macht van zeven, aangezien 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Uit de vorige paragraaf volgt dat de logaritme niet telt;
3. Het antwoord is geen verandering: log 7 14.

Een kleine opmerking over het laatste voorbeeld. Hoe weet je zeker dat een getal niet de exacte macht is van een ander getal? Het is heel eenvoudig: verwerk het gewoon in hoofdfactoren. En als dergelijke factoren niet kunnen worden samengevoegd tot machten met dezelfde exponenten, dan is het oorspronkelijke getal geen exacte macht.

Taak. Zoek uit of de getallen exacte machten zijn: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - exacte graad, omdat er is maar één vermenigvuldiger;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - is geen exacte macht, aangezien er twee factoren zijn: 3 en 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - exacte graad;
35 = 7 · 5 - wederom geen exacte macht;
14 = 7 · 2 - wederom geen exacte graad;

Merk ook op dat de priemgetallen zelf altijd exacte machten van zichzelf zijn.

Decimale logaritme

Sommige logaritmen zijn zo gebruikelijk dat ze een speciale naam en een speciaal symbool hebben.

De decimale logaritme van x is de logaritme met grondtal 10, d.w.z. De macht waartoe het getal 10 moet worden verheven om het getal x te verkrijgen. Benaming: lg x.

Logboek 10 = 1; logboek 100 = 2; LG 1000 = 3 - enz.

Vanaf nu, wanneer een zin als "Zoek lg 0.01" in een leerboek verschijnt, weet dan dat dit geen typefout is. Dit is een decimale logaritme. Als u echter niet bekend bent met deze notatie, kunt u deze altijd herschrijven:
log x = log 10 x

Alles wat waar is voor gewone logaritmen, geldt ook voor decimale logaritmen.

Natuurlijke logaritme

Er is nog een logaritme met een eigen aanduiding. In sommige opzichten is het zelfs belangrijker dan decimaal. We hebben het over de natuurlijke logaritme.

De natuurlijke logaritme van x is de logaritme met grondtal e, d.w.z. de macht waartoe het getal e moet worden verheven om het getal x te verkrijgen. Benaming: ln x .

Velen zullen vragen: wat is het getal e? Dit is een irrationeel getal; de exacte waarde ervan kan niet worden gevonden en opgeschreven. Ik geef alleen de eerste cijfers:
e = 2,718281828459...

We zullen niet in detail treden over wat dit nummer is en waarom het nodig is. Onthoud gewoon dat e de basis is van de natuurlijke logaritme:
ln x = log e x

Dus ln e = 1; ln e2 = 2; ln e 16 = 16 - enz. Aan de andere kant is ln 2 een irrationeel getal. Over het algemeen is de natuurlijke logaritme van elk rationeel getal irrationeel. Behalve natuurlijk één: ln 1 = 0.

Voor natuurlijke logaritmen zijn alle regels geldig die gelden voor gewone logaritmen.

Wat is een logaritme?

Aandacht!
Er zijn extra
materialen in speciale sectie 555.
Voor degenen die heel "niet erg..." zijn
En voor degenen die “heel graag...”)

Wat is een logaritme? Hoe logaritmes op te lossen? Deze vragen brengen veel afgestudeerden in verwarring. Traditioneel wordt het onderwerp logaritmen als complex, onbegrijpelijk en eng beschouwd. Vooral vergelijkingen met logaritmen.

Dit is absoluut niet waar. Absoluut! Geloof je mij niet? Prima. Nu kunt u in slechts 10 - 20 minuten:

1. Je zult het begrijpen wat is een logaritme.

2. Leer een hele klasse exponentiële vergelijkingen op te lossen. Ook al heb je er niets over gehoord.

3. Leer eenvoudige logaritmen berekenen.

Bovendien hoef je hiervoor alleen de tafel van vermenigvuldiging te kennen en hoe je een getal tot een macht kunt verheffen...

Ik heb het gevoel dat je twijfelt... Nou, oké, let op de tijd! Gaan!

Los eerst deze vergelijking in je hoofd op:

Als je deze site leuk vindt...

Ik heb trouwens nog een paar interessante sites voor je.)

U kunt oefenen met het oplossen van voorbeelden en uw niveau ontdekken. Testen met onmiddellijke verificatie. Laten we leren - met interesse!)

Je kunt kennis maken met functies en afgeleiden.