De moeilijkste kwadratische vergelijking. Onvolledige kwadratische vergelijkingen oplossen

We blijven het onderwerp bestuderen “ vergelijkingen oplossen". We hebben al een ontmoeting gehad met lineaire vergelijkingen en gaan verder om kennis te maken met kwadratische vergelijkingen.

Eerst zullen we analyseren wat een kwadratische vergelijking is, hoe deze in algemene vorm is geschreven en gerelateerde definities geven. Daarna zullen we aan de hand van voorbeelden in detail analyseren hoe onvolledige kwadratische vergelijkingen worden opgelost. Daarna gaan we verder met het oplossen van de volledige vergelijkingen, verkrijgen we de formule voor de wortels, maken we kennis met de discriminant van de kwadratische vergelijking en bekijken we de oplossingen van typische voorbeelden. Laten we tot slot de relatie tussen wortels en coëfficiënten nagaan.

Paginanavigatie.

Wat is een kwadratische vergelijking? hun soorten

Eerst moet je duidelijk begrijpen wat een kwadratische vergelijking is. Daarom is het logisch om te beginnen praten over kwadratische vergelijkingen met de definitie van een kwadratische vergelijking, evenals gerelateerde definities. Daarna kunt u de belangrijkste soorten kwadratische vergelijkingen overwegen: gereduceerde en niet-gereduceerde, evenals volledige en onvolledige vergelijkingen.

Definitie en voorbeelden van kwadratische vergelijkingen

Definitie.

Kwadratische vergelijking Is een vergelijking van de vorm a x 2 + b x + c = 0, waarbij x een variabele is, a, b en c enkele getallen zijn en a niet nul is.

Laten we meteen zeggen dat kwadratische vergelijkingen vaak vergelijkingen van de tweede graad worden genoemd. Dit komt omdat de kwadratische vergelijking is algebraïsche vergelijking tweedegraads.

De klinkende definitie stelt ons in staat om voorbeelden van kwadratische vergelijkingen te geven. Dus 2 x 2 + 6 x + 1 = 0, 0,2 x 2 + 2,5 x + 0,03 = 0, enz. Zijn kwadratische vergelijkingen.

Definitie.

De nummers a, b en c heten coëfficiënten van de kwadratische vergelijking a x 2 + b x + c = 0, en de coëfficiënt a wordt de eerste, of de hoogste, of de coëfficiënt bij x 2 genoemd, b is de tweede coëfficiënt, of de coëfficiënt bij x, en c is de vrije term.

Laten we bijvoorbeeld een kwadratische vergelijking nemen van de vorm 5x2 −2x − 3 = 0, hier is de leidende coëfficiënt 5, de tweede coëfficiënt is −2 en het snijpunt is −3. Merk op dat wanneer de coëfficiënten b en / of c negatief zijn, zoals in het zojuist gegeven voorbeeld, de korte vorm van de kwadratische vergelijking 5 x 2 −2 x − 3 = 0 is, niet 5 x 2 + (- 2 ) X + (- 3) = 0.

Het is vermeldenswaard dat wanneer de coëfficiënten a en / of b gelijk zijn aan 1 of -1, ze meestal niet expliciet aanwezig zijn in de kwadratische vergelijking, wat te wijten is aan de eigenaardigheden van het schrijven ervan. Bijvoorbeeld, in een kwadratische vergelijking y 2 −y + 3 = 0, is de leidende coëfficiënt één en de coëfficiënt op y is -1.

Gereduceerde en niet-gereduceerde kwadratische vergelijkingen

Afhankelijk van de waarde van de leidende coëfficiënt worden gereduceerde en niet-gereduceerde kwadratische vergelijkingen onderscheiden. Laten we de bijbehorende definities geven.

Definitie.

Een kwadratische vergelijking waarin de leidende coëfficiënt 1 is, wordt genoemd gereduceerde kwadratische vergelijking... Anders is de kwadratische vergelijking ongereduceerd.

Volgens deze definitie zijn kwadratische vergelijkingen x 2 −3 x + 1 = 0, x 2 −x − 2/3 = 0, enz. - gegeven, in elk van hen is de eerste coëfficiënt gelijk aan één. En 5 x 2 −x − 1 = 0, enz. - niet-gereduceerde kwadratische vergelijkingen, hun leidende coëfficiënten verschillen van 1.

Van elke niet-gereduceerde kwadratische vergelijking door beide delen ervan te delen door de leidende coëfficiënt, kun je naar de gereduceerde gaan. Deze actie is een equivalente transformatie, dat wil zeggen dat de op deze manier verkregen gereduceerde kwadratische vergelijking dezelfde wortels heeft als de oorspronkelijke niet-gereduceerde kwadratische vergelijking, of, net als deze, geen wortels heeft.

Laten we bijvoorbeeld analyseren hoe de overgang van een niet-gereduceerde kwadratische vergelijking naar een gereduceerde vergelijking wordt uitgevoerd.

Voorbeeld.

Ga vanuit de vergelijking 3 x 2 + 12 x − 7 = 0 naar de overeenkomstige gereduceerde kwadratische vergelijking.

Oplossing.

Het is voldoende voor ons om beide zijden van de oorspronkelijke vergelijking te delen door de leidende factor 3, deze is niet nul, dus we kunnen deze actie uitvoeren. We hebben (3 x 2 + 12 x − 7): 3 = 0: 3, wat hetzelfde is, (3 x 2): 3+ (12 x): 3−7: 3 = 0, en verder (3: 3) x 2 + (12: 3) x − 7: 3 = 0, vanwaar. Dus we hebben de gereduceerde kwadratische vergelijking, die gelijk is aan de originele.

Antwoord geven:

Volledige en onvolledige kwadratische vergelijkingen

De definitie van een kwadratische vergelijking bevat de voorwaarde a ≠ 0. Deze voorwaarde is nodig om de vergelijking a x 2 + b x + c = 0 exact kwadratisch te laten zijn, aangezien bij a = 0 het in feite een lineaire vergelijking wordt van de vorm b x + c = 0.

De coëfficiënten b en c kunnen zowel afzonderlijk als samen nul zijn. In deze gevallen wordt de kwadratische vergelijking onvolledig genoemd.

Definitie.

De kwadratische vergelijking a x 2 + b x + c = 0 heet incompleet als ten minste één van de coëfficiënten b, c gelijk is aan nul.

Beurtelings

Definitie.

Volledige kwadratische vergelijking Is een vergelijking waarin alle coëfficiënten niet nul zijn.

Dergelijke namen worden niet zomaar gegeven. Dit zal blijken uit de volgende overwegingen.

Als de coëfficiënt b gelijk is aan nul, dan heeft de kwadratische vergelijking de vorm a x 2 + 0 x + c = 0, en is gelijk aan de vergelijking a x 2 + c = 0. Als c = 0, dat wil zeggen, de kwadratische vergelijking heeft de vorm a x 2 + b x + 0 = 0, dan kan deze worden herschreven als a x 2 + b x = 0. En met b = 0 en c = 0, krijgen we de kwadratische vergelijking a · x 2 = 0. De resulterende vergelijkingen verschillen van de volledige kwadratische vergelijking doordat hun linkerzijden geen term met variabele x bevatten, of een vrije term, of beide. Vandaar hun naam - onvolledige kwadratische vergelijkingen.

Dus de vergelijkingen x 2 + x + 1 = 0 en −2 x 2 −5 x + 0.2 = 0 zijn voorbeelden van volledige kwadratische vergelijkingen, en x 2 = 0, −2 x 2 = 0.5 x 2 + 3 = 0, − x 2 −5 · x = 0 zijn onvolledige kwadratische vergelijkingen.

Onvolledige kwadratische vergelijkingen oplossen

Uit de informatie in de vorige paragraaf volgt dat er: drie soorten onvolledige kwadratische vergelijkingen:

• a · x 2 = 0, de coëfficiënten b = 0 en c = 0 corresponderen ermee;
• a x 2 + c = 0 wanneer b = 0;
• en a x 2 + b x = 0 wanneer c = 0.

Laten we analyseren hoe onvolledige kwadratische vergelijkingen van elk van deze typen worden opgelost.

a x 2 = 0

Laten we beginnen met het oplossen van onvolledige kwadratische vergelijkingen waarin de coëfficiënten b en c gelijk zijn aan nul, dat wil zeggen met vergelijkingen van de vorm a · x 2 = 0. De vergelijking a · x 2 = 0 is gelijk aan de vergelijking x 2 = 0, die wordt verkregen uit het origineel door beide delen ervan te delen door een niet-nul getal a. Het is duidelijk dat de wortel van de vergelijking x 2 = 0 nul is, aangezien 0 2 = 0. Deze vergelijking heeft geen andere wortels, wat inderdaad wordt verklaard voor elk niet-nul getal p, de ongelijkheid p 2> 0 geldt, waaruit volgt dat voor p ≠ 0 de gelijkheid p 2 = 0 nooit wordt bereikt.

Dus de onvolledige kwadratische vergelijking a · x 2 = 0 heeft een enkele wortel x = 0.

Laten we als voorbeeld de oplossing geven van de onvolledige kwadratische vergelijking −4 · x 2 = 0. Vergelijking x 2 = 0 is er equivalent aan, de enige wortel is x = 0, daarom heeft de oorspronkelijke vergelijking ook een unieke wortel nul.

Een korte oplossing kan in dit geval als volgt worden geformuleerd:
−4 x 2 = 0,
x2 = 0,
x = 0.

a x 2 + c = 0

Laten we nu eens kijken hoe onvolledige kwadratische vergelijkingen worden opgelost, waarin de coëfficiënt b nul is, en c ≠ 0, dat wil zeggen vergelijkingen van de vorm a · x 2 + c = 0. We weten dat het overbrengen van een term van de ene kant van de vergelijking naar de andere met het tegenovergestelde teken, evenals het delen van beide kanten van de vergelijking door een getal dat niet nul is, een equivalente vergelijking oplevert. Daarom is het mogelijk om de volgende equivalente transformaties van de onvolledige kwadratische vergelijking a x 2 + c = 0 uit te voeren:

• verplaats c naar de rechterkant, wat de vergelijking a x 2 = −c geeft,
• en beide delen delen door a, krijgen we.

De resulterende vergelijking stelt ons in staat om conclusies te trekken over de wortels ervan. Afhankelijk van de waarden van a en c kan de waarde van de uitdrukking negatief zijn (bijvoorbeeld als a = 1 en c = 2 dan) of positief (bijvoorbeeld als a = −2 en c = 6 , dan), is het niet gelijk aan nul , aangezien door hypothese c ≠ 0. Laten we de gevallen afzonderlijk onderzoeken en.

Als, dan heeft de vergelijking geen wortels. Deze verklaring volgt uit het feit dat het kwadraat van een willekeurig getal een niet-negatief getal is. Hieruit volgt dat wanneer, dan voor elk getal p de gelijkheid niet waar kan zijn.

Als, dan is de situatie met de wortels van de vergelijking anders. In dit geval, als je het je herinnert, wordt de wortel van de vergelijking meteen duidelijk, het is een getal, sinds. Het is gemakkelijk te raden dat het getal inderdaad ook de wortel van de vergelijking is. Deze vergelijking heeft geen andere wortels, wat bijvoorbeeld kan worden aangetoond door de tegenstrijdige methode. Laten we het doen.

Laten we de wortels aangeven van de vergelijking die zojuist klonk als x 1 en −x 1. Stel dat de vergelijking nog een wortel x 2 heeft die verschilt van de aangegeven wortels x 1 en −x 1. Het is bekend dat substitutie van de wortels in een vergelijking in plaats van x de vergelijking verandert in een echte numerieke gelijkheid. Voor x 1 en −x 1 hebben we, en voor x 2 hebben we. De eigenschappen van numerieke gelijkheden stellen ons in staat om term-voor-term af te trekken van echte numerieke gelijkheden, dus het aftrekken van de corresponderende delen van de gelijkheden geeft x 1 2 −x 2 2 = 0. Met de eigenschappen van acties met getallen kun je de resulterende gelijkheid herschrijven als (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) = 0. We weten dat het product van twee getallen nul is als en slechts dan als ten minste één van hen nul is. Daarom volgt uit de verkregen gelijkheid dat x 1 - x 2 = 0 en / of x 1 + x 2 = 0, wat hetzelfde is, x 2 = x 1 en / of x 2 = −x 1. Zo kwamen we tot een tegenstrijdigheid, aangezien we in het begin zeiden dat de wortel van de vergelijking x 2 verschilt van x 1 en −x 1. Dit bewijst dat de vergelijking geen andere wortels heeft dan en.

Laten we de informatie van dit item samenvatten. De onvolledige kwadratische vergelijking a x 2 + c = 0 is gelijk aan de vergelijking die

• heeft geen wortels als,
• heeft twee wortels en, als.

Beschouw voorbeelden van het oplossen van onvolledige kwadratische vergelijkingen van de vorm a · x 2 + c = 0.

Laten we beginnen met de kwadratische vergelijking 9 x 2 + 7 = 0. Na het overbrengen van de vrije term naar de rechterkant van de vergelijking, zal deze de vorm aannemen 9 · x 2 = −7. Als we beide zijden van de resulterende vergelijking delen door 9, komen we uit op. Aangezien er een negatief getal aan de rechterkant is, heeft deze vergelijking geen wortels, daarom heeft de oorspronkelijke onvolledige kwadratische vergelijking 9 · x 2 + 7 = 0 geen wortels.

Los nog een onvolledige kwadratische vergelijking −x 2 + 9 = 0 op. Verplaats de negen naar rechts: −x 2 = −9. Nu delen we beide zijden door -1, we krijgen x 2 = 9. Aan de rechterkant staat een positief getal, waaruit we concluderen dat of. Dan schrijven we het uiteindelijke antwoord op: de onvolledige kwadratische vergelijking −x 2 + 9 = 0 heeft twee wortels x = 3 of x = −3.

a x 2 + b x = 0

Het blijft om de oplossing van het laatste type onvolledige kwadratische vergelijkingen voor c = 0 te behandelen. Met onvolledige kwadratische vergelijkingen van de vorm a x 2 + b x = 0 kun je oplossen factorisatie methode:... Vanzelfsprekend kunnen we, aan de linkerkant van de vergelijking, waarvoor het voldoende is om de gemeenschappelijke factor x weg te werken. Dit stelt ons in staat om van de oorspronkelijke onvolledige kwadratische vergelijking over te gaan naar een equivalente vergelijking van de vorm x · (a · x + b) = 0. En deze vergelijking is gelijk aan de combinatie van twee vergelijkingen x = 0 en a x + b = 0, waarvan de laatste lineair is en een wortel heeft x = −b / a.

Dus de onvolledige kwadratische vergelijking a x 2 + b x = 0 heeft twee wortels x = 0 en x = −b / a.

Om het materiaal te consolideren, zullen we de oplossing van een specifiek voorbeeld analyseren.

Voorbeeld.

Los De vergelijking op.

Oplossing.

Als u x buiten haakjes plaatst, krijgt u de vergelijking. Het is gelijk aan twee vergelijkingen x = 0 en. We lossen de resulterende lineaire vergelijking op:, en na het gemengde getal te delen door een gewone breuk, vinden we. Daarom zijn de wortels van de oorspronkelijke vergelijking x = 0 en.

Na het verkrijgen van de nodige oefening, kunnen de oplossingen van dergelijke vergelijkingen kort worden geschreven:

Antwoord geven:

x = 0,.

Discriminant, de formule voor de wortels van een kwadratische vergelijking

Er is een wortelformule voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen. Laten we opschrijven kwadratische formule: , waar D = b 2 −4 een c- zogenaamde kwadratische discriminant... De notatie betekent in wezen dat.

Het is handig om te weten hoe de wortelformule is verkregen en hoe deze wordt toegepast bij het vinden van de wortels van kwadratische vergelijkingen. Laten we het uitzoeken.

Afleiding van de formule voor de wortels van een kwadratische vergelijking

Stel dat we de kwadratische vergelijking a x 2 + b x + c = 0 moeten oplossen. Laten we een aantal equivalente transformaties uitvoeren:

• We kunnen beide zijden van deze vergelijking delen door een niet-nul getal a, als resultaat krijgen we de gereduceerde kwadratische vergelijking.
• nutsvoorzieningen selecteer een volledig vierkant aan de linkerkant:. Daarna zal de vergelijking de vorm aannemen.
• In dit stadium is het mogelijk om de overdracht van de laatste twee termen naar de rechterkant uit te voeren met het tegenovergestelde teken dat we hebben.
• En we transformeren ook de uitdrukking aan de rechterkant:.

Als resultaat komen we tot een vergelijking die equivalent is aan de oorspronkelijke kwadratische vergelijking a x 2 + b x + c = 0.

We hebben al vergelijkingen opgelost die vergelijkbaar zijn in vorm in de vorige paragrafen toen we ze analyseerden. Dit stelt ons in staat om de volgende conclusies te trekken met betrekking tot de wortels van de vergelijking:

• als, dan heeft de vergelijking geen echte oplossingen;
• als, dan heeft de vergelijking dus de vorm waarvan de enige wortel zichtbaar is;
• als, dan of, wat hetzelfde is of, dat wil zeggen, de vergelijking heeft twee wortels.

Dus de aanwezigheid of afwezigheid van de wortels van de vergelijking, en dus de oorspronkelijke kwadratische vergelijking, hangt af van het teken van de uitdrukking aan de rechterkant. Het teken van deze uitdrukking wordt op zijn beurt bepaald door het teken van de teller, aangezien de noemer 4 · a 2 altijd positief is, dat wil zeggen het teken van de uitdrukking b 2 −4 · a · c. Deze uitdrukking b 2 −4 a c heette de discriminant van de kwadratische vergelijking en gemarkeerd met de letter NS... Vanaf hier is de essentie van de discriminant duidelijk - door zijn waarde en teken wordt geconcludeerd of de kwadratische vergelijking echte wortels heeft, en zo ja, wat is hun nummer - één of twee.

Terugkerend naar de vergelijking, herschrijf deze met de discriminantnotatie:. En we trekken conclusies:

• als D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• als D = 0, dan heeft deze vergelijking een enkele wortel;
• tenslotte, als D> 0, dan heeft de vergelijking twee wortels of, die op grond van de vorm kan worden herschreven in de vorm of, en na uitbreiding en reductie van de breuken tot een gemeenschappelijke noemer, verkrijgen we.

We hebben dus formules afgeleid voor de wortels van een kwadratische vergelijking, ze hebben de vorm, waarbij de discriminant D wordt berekend met de formule D = b 2 −4 · a · c.

Met hun hulp, met een positieve discriminant, kun je beide reële wortels van de kwadratische vergelijking berekenen. Wanneer de discriminant gelijk is aan nul, geven beide formules dezelfde wortelwaarde die overeenkomt met de enige oplossing van de kwadratische vergelijking. En met een negatieve discriminant worden we, wanneer we de formule voor de wortels van een kwadratische vergelijking proberen te gebruiken, geconfronteerd met het extraheren van de vierkantswortel van een negatief getal, wat ons buiten het bereik van het schoolcurriculum brengt. Met een negatieve discriminant heeft de kwadratische vergelijking geen echte wortels, maar een paar complex geconjugeerd wortels, die kunnen worden gevonden door dezelfde wortelformules die door ons zijn verkregen.

Algoritme voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen met wortelformules

In de praktijk kun je bij het oplossen van kwadratische vergelijkingen meteen de wortelformule gebruiken, waarmee je hun waarden kunt berekenen. Maar dit gaat meer over het vinden van complexe wortels.

In een cursus algebra op school gaat het echter meestal niet om complexe, maar om reële wortels van een kwadratische vergelijking. In dit geval is het raadzaam om eerst de discriminant te vinden voordat je de formules voor de wortels van de kwadratische vergelijking gebruikt, zorg ervoor dat deze niet-negatief is (anders kunnen we concluderen dat de vergelijking geen echte wortels heeft), en pas daarna die de waarden van de wortels berekenen.

De bovenstaande redenering stelt ons in staat om te schrijven: kwadratische vergelijkingenoplosser... Om de kwadratische vergelijking a x 2 + b x + c = 0 op te lossen, heb je nodig:

• bereken met de discriminantformule D = b 2 −4 · a · c de waarde ervan;
• concluderen dat de kwadratische vergelijking geen echte wortels heeft als de discriminant negatief is;
• bereken de enige wortel van de vergelijking met de formule als D = 0;
• vind twee echte wortels van een kwadratische vergelijking met behulp van de wortelformule als de discriminant positief is.

Hier merken we alleen op dat wanneer de discriminant gelijk is aan nul, de formule ook kan worden gebruikt, deze dezelfde waarde zal geven als.

U kunt doorgaan met voorbeelden van het gebruik van het algoritme voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen.

Voorbeelden van het oplossen van kwadratische vergelijkingen

Overweeg oplossingen voor drie kwadratische vergelijkingen met positieve, negatieve en nuldiscriminanten. Na hun oplossing te hebben behandeld, zal het naar analogie mogelijk zijn om elke andere kwadratische vergelijking op te lossen. Laten we beginnen.

Voorbeeld.

Zoek de wortels van de vergelijking x 2 + 2 x − 6 = 0.

Oplossing.

In dit geval hebben we de volgende coëfficiënten van de kwadratische vergelijking: a = 1, b = 2 en c = −6. Volgens het algoritme moet je eerst de discriminant berekenen, hiervoor vervangen we de aangegeven a, b en c in de discriminantformule, we hebben D = b 2 −4 a c = 2 2 −4 1 (−6) = 4 + 24 = 28... Aangezien 28> 0, dat wil zeggen dat de discriminant groter is dan nul, heeft de kwadratische vergelijking twee reële wortels. We vinden ze met behulp van de wortelformule, we krijgen, hier kun je de uitdrukkingen vereenvoudigen die worden verkregen door te doen het teken van de wortel buiten beschouwing laten met de daaropvolgende reductie van de breuk:

Antwoord geven:

Laten we verder gaan met het volgende typische voorbeeld.

Voorbeeld.

Los de kwadratische vergelijking −4x2 + 28x − 49 = 0 op.

Oplossing.

We beginnen met het vinden van de discriminant: D = 28 2 −4 (−4) (−49) = 784−784 = 0... Daarom heeft deze kwadratische vergelijking een enkele wortel, die we vinden als, dat wil zeggen,

Antwoord geven:

x = 3,5.

Het blijft om de oplossing van kwadratische vergelijkingen met negatieve discriminant te overwegen.

Voorbeeld.

Los de vergelijking 5 y 2 + 6 y + 2 = 0 op.

Oplossing.

Dit zijn de coëfficiënten van de kwadratische vergelijking: a = 5, b = 6 en c = 2. Als we deze waarden in de discriminantformule plaatsen, hebben we: D = b 2 −4 a c = 6 2 −4 5 2 = 36−40 = −4... De discriminant is negatief, daarom heeft deze kwadratische vergelijking geen echte wortels.

Als je complexe wortels moet aangeven, passen we de bekende formule voor de wortels van de kwadratische vergelijking toe en voeren we uit: complexe nummerbewerkingen:

Antwoord geven:

er zijn geen echte wortels, complexe wortels zijn als volgt:.

Nogmaals, we merken op dat als de discriminant van de kwadratische vergelijking negatief is, ze op school meestal meteen een antwoord opschrijven waarin ze aangeven dat er geen echte wortels zijn en dat complexe wortels niet worden gevonden.

Wortelformule voor even tweede coëfficiënten

De formule voor de wortels van een kwadratische vergelijking, waarbij D = b 2 −4 ln5 = 2 7 ln5). Laten we het eruit halen.

Laten we zeggen dat we een kwadratische vergelijking van de vorm a x 2 + 2 n x + c = 0 moeten oplossen. Laten we de wortels ervan vinden met behulp van de formule die ons bekend is. Bereken hiervoor de discriminant D = (2 n) 2 −4 a c = 4 n 2 −4 a c = 4 (n 2 −a c), en dan gebruiken we de formule voor wortels:

Laten we de uitdrukking n 2 - a · c aanduiden als D 1 (soms wordt het aangeduid met D "). Dan heeft de formule voor de wortels van de beschouwde kwadratische vergelijking met de tweede coëfficiënt 2 n de vorm , waarbij D 1 = n 2 - a · c.

Het is gemakkelijk te zien dat D = 4 · D 1, of D 1 = D / 4. Met andere woorden, D 1 is het vierde deel van de discriminant. Het is duidelijk dat het teken van D 1 hetzelfde is als het teken van D. Dat wil zeggen, het teken van D 1 is ook een indicator van de aanwezigheid of afwezigheid van de wortels van een kwadratische vergelijking.

Dus om de kwadratische vergelijking met de tweede coëfficiënt 2 n op te lossen, heb je nodig

• Bereken D 1 = n 2 −a · c;
• Als D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Als D 1 = 0, bereken dan de enige wortel van de vergelijking met de formule;
• Als D 1> 0, zoek dan twee echte wortels met de formule.

Overweeg een voorbeeld op te lossen met behulp van de basisformule die in deze paragraaf is verkregen.

Voorbeeld.

Los de kwadratische vergelijking 5x2 −6x − 32 = 0 op.

Oplossing.

De tweede coëfficiënt van deze vergelijking kan worden weergegeven als 2 · (−3). Dat wil zeggen, je kunt de oorspronkelijke kwadratische vergelijking herschrijven in de vorm 5 x 2 + 2 (−3) x − 32 = 0, hier a = 5, n = −3 en c = −32, en het vierde deel van de discriminerend: D 1 = n 2 −a c = (- 3) 2 −5 (−32) = 9 + 160 = 169... Omdat de waarde positief is, heeft de vergelijking twee reële wortels. Laten we ze vinden met behulp van de bijbehorende hoofdformule:

Merk op dat het mogelijk was om de gebruikelijke formule voor de wortels van een kwadratische vergelijking te gebruiken, maar in dit geval zou meer rekenwerk moeten worden gedaan.

Antwoord geven:

De weergave van kwadratische vergelijkingen vereenvoudigen

Soms kan het geen kwaad om, voordat u begint met het berekenen van de wortels van een kwadratische vergelijking met formules, de vraag te stellen: "Is het mogelijk om de vorm van deze vergelijking te vereenvoudigen?" Mee eens dat het qua berekeningen gemakkelijker zal zijn om de kwadratische vergelijking 11 x 2 −4 x − 6 = 0 op te lossen dan 1100 x 2 −400 x − 600 = 0.

Gewoonlijk wordt een vereenvoudiging van de vorm van een kwadratische vergelijking bereikt door beide delen ervan te vermenigvuldigen of te delen door een getal. In de vorige paragraaf zijn we er bijvoorbeeld in geslaagd om de vergelijking 1100x2 −400x − 600 = 0 te vereenvoudigen door beide zijden te delen door 100.

Een soortgelijke transformatie wordt uitgevoerd met kwadratische vergelijkingen, waarvan de coëfficiënten dat niet zijn. In dit geval worden beide zijden van de vergelijking meestal gedeeld door de absolute waarden van de coëfficiënten. Laten we bijvoorbeeld de kwadratische vergelijking 12 x 2 −42 x + 48 = 0 nemen. de absolute waarden van zijn coëfficiënten: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Door beide zijden van de oorspronkelijke kwadratische vergelijking te delen door 6, komen we uit op de equivalente kwadratische vergelijking 2 x 2 −7 x + 8 = 0.

En de vermenigvuldiging van beide zijden van de kwadratische vergelijking wordt meestal gedaan om fractionele coëfficiënten kwijt te raken. In dit geval wordt de vermenigvuldiging uitgevoerd door de noemers van zijn coëfficiënten. Als bijvoorbeeld beide zijden van de kwadratische vergelijking worden vermenigvuldigd met de LCM (6, 3, 1) = 6, dan zal deze een eenvoudigere vorm aannemen x 2 + 4 x − 18 = 0.

Ter afsluiting van deze paragraaf merken we op dat we bijna altijd de min bij de leidende coëfficiënt van de kwadratische vergelijking wegwerken door de tekens van alle termen te veranderen, wat overeenkomt met het vermenigvuldigen (of delen) van beide delen door −1. Bijvoorbeeld, gewoonlijk gaat men uit de kwadratische vergelijking −2x2 −3x + 7 = 0 over naar de oplossing 2x2 + 3x − 7 = 0.

Relatie tussen wortels en coëfficiënten van een kwadratische vergelijking

De formule voor de wortels van een kwadratische vergelijking drukt de wortels van een vergelijking uit in termen van zijn coëfficiënten. Op basis van de wortelformule kunt u andere afhankelijkheden krijgen tussen de wortels en de coëfficiënten.

De bekendste en meest toepasselijke formules zijn van Vieta's stelling van de vorm en. In het bijzonder, voor de gegeven kwadratische vergelijking, is de som van de wortels gelijk aan de tweede coëfficiënt met het tegenovergestelde teken, en is het product van de wortels gelijk aan de vrije term. Bijvoorbeeld, door de vorm van de kwadratische vergelijking 3 x 2 −7 x + 22 = 0, kan men onmiddellijk zeggen dat de som van de wortels 7/3 is en het product van de wortels 22/3.

Met behulp van de reeds geschreven formules kun je een aantal andere relaties krijgen tussen de wortels en de coëfficiënten van de kwadratische vergelijking. U kunt bijvoorbeeld de som van de kwadraten van de wortels van een kwadratische vergelijking uitdrukken door zijn coëfficiënten:.

Bibliografie.

• Algebra: studie. voor 8cl. algemene educatie. instellingen / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; red. S.A. Teljakovski. - 16e druk. - M.: Onderwijs, 2008 .-- 271 p. : ziek. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• A.G. Mordkovich Algebra. 8e leerjaar. Om 14.00 uur Deel 1. Leerboek voor studenten van onderwijsinstellingen / A. G. Mordkovich. - 11e druk, gewist. - M.: Mnemozina, 2009 .-- 215 d.: Ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

Voor de trinomiale \ (3x ^ 2 + 2x-7 \) is de discriminant bijvoorbeeld \ (2 ^ 2-4 \ cdot3 \ cdot (-7) = 4 + 84 = 88 \). En voor de trinomiale \ (x ^ 2-5x + 11 \), wordt het \ ((- 5) ^ 2-4 \ cdot1 \ cdot11 = 25-44 = -19 \).

De discriminant wordt aangegeven met de letter \ (D \) en wordt vaak gebruikt bij het oplossen. Door de waarde van de discriminant kunt u ook begrijpen hoe de grafiek er ongeveer uitziet (zie hieronder).

Discriminant en wortels van een kwadratische vergelijking

De discriminantwaarde geeft de hoeveelheid van de kwadratische vergelijking weer:
- als \ (D \) positief is - zal de vergelijking twee wortels hebben;
- als \ (D \) gelijk is aan nul - slechts één wortel;
- als \ (D \) negatief is, zijn er geen wortels.

Dit hoeft niet te worden geleerd, het is gemakkelijk om tot deze conclusie te komen, gewoon wetende wat van de discriminant (dat wil zeggen, \ (\ sqrt (D) \) de formule invoert voor het berekenen van de wortels van de kwadratische vergelijking: \ ( x_ (1) = \) \ ( \ frac (-b + \ sqrt (D)) (2a) \) en \ (x_ (2) = \) \ (\ frac (-b- \ sqrt (D)) (2a) \) Laten we elk geval in meer detail bekijken.

Als de discriminant positief is

In dit geval is de wortel ervan een positief getal, wat betekent dat \ (x_ (1) \) en \ (x_ (2) \) een andere betekenis hebben, omdat in de eerste formule \ (\ sqrt (D) \) wordt opgeteld en in de tweede wordt het afgetrokken. En we hebben twee verschillende wortels.

Voorbeeld : Vind de wortels van de vergelijking \ (x ^ 2 + 2x-3 = 0 \)
Oplossing :

Antwoord geven : \ (x_ (1) = 1 \); \ (x_ (2) = - 3 \)

Als de discriminant nul is

En hoeveel wortels zullen er zijn als de discriminant nul is? Laten we redeneren.

De basisformules zien er als volgt uit: \ (x_ (1) = \) \ (\ frac (-b + \ sqrt (D)) (2a) \) en \ (x_ (2) = \) \ (\ frac ( -b- \ sqrt (D)) (2a) \). En als de discriminant nul is, dan is de wortel ervan ook nul. Dan blijkt:

\ (x_ (1) = \) \ (\ frac (-b + \ sqrt (D)) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b + \ sqrt (0)) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b + 0) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b) (2a) \)

\ (x_ (2) = \) \ (\ frac (-b- \ sqrt (D)) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b- \ sqrt (0)) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b-0) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b) (2a) \)

Dat wil zeggen, de waarden van de wortels van de vergelijking zullen hetzelfde zijn, omdat het optellen of aftrekken van nul niets verandert.

Voorbeeld : Vind de wortels van de vergelijking \ (x ^ 2-4x + 4 = 0 \)
Oplossing :

\ (x ^ 2-4x + 4 = 0 \)		We schrijven de coëfficiënten op:
\ (a = 1; \) \ (b = -4; \) \ (c = 4; \)		Bereken de discriminant met de formule \ (D = b ^ 2-4ac \)
\ (D = (- 4) ^ 2-4 \ cdot1 \ cdot4 = \) \(=16-16=0\)		Vind de wortels van de vergelijking
\ (x_ (1) = \) \ (\ frac (- (- 4) + \ sqrt (0)) (2 \ cdot1) \)\ (= \) \ (\ frac (4) (2) \) \ (= 2 \) \ (x_ (2) = \) \ (\ frac (- (- 4) - \ sqrt (0)) (2 \ cdot1) \)\ (= \) \ (\ frac (4) (2) \) \ (= 2 \)		We hebben twee identieke wortels, dus het heeft geen zin om ze apart te schrijven - we schrijven ze als één op.

Antwoord geven : \ (x = 2 \)

Kwadratische vergelijkingen verschijnen vaak bij het oplossen van verschillende problemen in de natuurkunde en wiskunde. In dit artikel zullen we bekijken hoe we deze gelijkheden op een universele manier "via de discriminant" kunnen oplossen. In het artikel worden ook voorbeelden gegeven van het gebruik van de opgedane kennis.

Over welke vergelijkingen hebben we het?

De onderstaande afbeelding toont een formule waarin x een onbekende variabele is en de Latijnse symbolen a, b, c enkele bekende getallen vertegenwoordigen.

Elk van deze symbolen wordt een coëfficiënt genoemd. Zoals je kunt zien, staat het getal "a" voor de kwadraatvariabele x. Dit is het maximale vermogen van de gepresenteerde uitdrukking, daarom wordt het een kwadratische vergelijking genoemd. De andere naam wordt vaak gebruikt: vergelijking van de tweede orde. De waarde a zelf is de kwadraatcoëfficiënt (staande bij de variabele in het kwadraat), b is de lineaire coëfficiënt (deze staat naast de variabele verheven tot de eerste macht), en ten slotte is het getal c de vrije term.

Merk op dat de vorm van de vergelijking in de bovenstaande afbeelding een veel voorkomende klassieke vierkante uitdrukking is. Daarnaast zijn er nog andere vergelijkingen van de tweede orde waarin de coëfficiënten b, c nul kunnen zijn.

Wanneer het probleem wordt gesteld om de beschouwde gelijkheid op te lossen, betekent dit dat dergelijke waarden van de variabele x moeten worden gevonden die hieraan voldoen. Hier is het eerste dat u moet onthouden het volgende: aangezien de maximale graad van x 2 is, kan dit type uitdrukking niet meer dan 2 oplossingen hebben. Dit betekent dat als bij het oplossen van de vergelijking 2 waarden van x worden gevonden die hieraan voldoen, we er zeker van kunnen zijn dat er geen derde getal is, in plaats van x zou de gelijkheid ook waar zijn. Oplossingen van een vergelijking in de wiskunde worden wortels genoemd.

Methoden voor het oplossen van vergelijkingen van de tweede orde

Het oplossen van dit soort vergelijkingen vereist kennis van enige theorie erover. In de cursus algebra op school komen 4 verschillende manieren van oplossen aan bod. Laten we ze opsommen:

• factorisatie gebruiken;
• met behulp van de formule voor een volledig vierkant;
• door de grafiek van de overeenkomstige kwadratische functie toe te passen;
• met behulp van de discriminantvergelijking.

Het voordeel van de eerste methode ligt in zijn eenvoud, maar kan niet op alle vergelijkingen worden toegepast. De tweede methode is universeel, maar enigszins omslachtig. De derde methode valt op door zijn duidelijkheid, maar is niet altijd handig en toepasbaar. En ten slotte is het gebruik van de discriminantvergelijking een universele en vrij eenvoudige manier om de wortels van absoluut elke tweede-ordevergelijking te vinden. Daarom zullen we er in het artikel alleen rekening mee houden.

Formule voor het verkrijgen van de wortels van de vergelijking

Laten we kijken naar de algemene vorm van de kwadratische vergelijking. Laten we het opschrijven: a * x² + b * x + c = 0. Alvorens de methode te gebruiken om het "via de discriminant" op te lossen, moet gelijkheid altijd worden teruggebracht tot de geschreven vorm. Dat wil zeggen, het moet uit drie termen bestaan ​​(of minder als b of c 0 is).

Als er bijvoorbeeld een uitdrukking is: x²-9 * x + 8 = -5 * x + 7 * x², dan moet je eerst alle termen naar één kant van de gelijkheid verplaatsen en de termen die de variabele x bevatten toevoegen aan de dezelfde bevoegdheden.

In dit geval leidt deze bewerking tot de volgende uitdrukking: -6 * x²-4 * x + 8 = 0, wat overeenkomt met de vergelijking 6 * x² + 4 * x-8 = 0 (hier vermenigvuldigden we de linker- en rechterkant van de gelijkheid door -1) ...

In het bovenstaande voorbeeld is a = 6, b = 4, c = -8. Merk op dat alle termen van de beschouwde gelijkheid altijd onder elkaar worden opgeteld, dus als het "-" teken verschijnt, betekent dit dat de corresponderende coëfficiënt negatief is, zoals het getal c in dit geval.

Nadat we dit punt hebben onderzocht, gaan we nu naar de formule zelf, die het mogelijk maakt om de wortels van een kwadratische vergelijking te verkrijgen. Het heeft de vorm die wordt weergegeven op de onderstaande foto.

Zoals je aan deze uitdrukking kunt zien, kun je twee wortels krijgen (let op het "±" -teken). Om dit te doen, volstaat het om de coëfficiënten b, c en a erin te vervangen.

discriminerend concept

In de vorige paragraaf werd een formule gegeven waarmee je elke tweede-ordevergelijking snel kunt oplossen. Daarin wordt de radicale uitdrukking de discriminant genoemd, dat wil zeggen D = b²-4 * a * c.

Waarom is dit deel van de formule gemarkeerd en heeft het zelfs een eigen naam? Het feit is dat de discriminant alle drie de coëfficiënten van de vergelijking in een enkele uitdrukking verbindt. Dit laatste feit betekent dat het volledige informatie over de wortels bevat, wat kan worden uitgedrukt in de volgende lijst:

1. D> 0: gelijkheid heeft 2 verschillende oplossingen, beide reële getallen.
2. D = 0: De vergelijking heeft slechts één wortel en is een reëel getal.

De taak van het bepalen van de discriminant

Laten we een eenvoudig voorbeeld geven van hoe de discriminant te vinden. Laat de volgende gelijkheid gegeven worden: 2 * x² - 4 + 5 * x-9 * x² = 3 * x-5 * x² + 7.

Laten we het naar de standaardvorm brengen, we krijgen: (2 * x²-9 * x² + 5 * x²) + (5 * x-3 * x) + (- 4-7) = 0, vanwaar komen we tot de gelijkheid : -2 * x² + 2 * x-11 = 0. Hier a = -2, b = 2, c = -11.

Nu kunt u de genoemde formule voor de discriminant gebruiken: D = 2² - 4 * (- 2) * (- 11) = -84. Het resulterende getal is het antwoord op de taak. Aangezien de discriminant in het voorbeeld kleiner is dan nul, kunnen we zeggen dat deze kwadratische vergelijking geen echte wortels heeft. Alleen complexe getallen zullen zijn oplossing zijn.

Een voorbeeld van ongelijkheid door de discriminant

Laten we problemen van een iets ander type oplossen: gezien de gelijkheid -3 * x²-6 * x + c = 0. Het is noodzakelijk om dergelijke waarden van c te vinden waarvoor D> 0.

In dit geval zijn slechts 2 van de 3 coëfficiënten bekend, dus het zal niet mogelijk zijn om de exacte waarde van de discriminant te berekenen, maar het is bekend dat deze positief is. Het laatste feit gebruiken we bij het opstellen van de ongelijkheid: D = (-6) ²-4 * (- 3) * c> 0 => 36 + 12 * c> 0. De oplossing van de verkregen ongelijkheid leidt tot het resultaat: c> -3.

Laten we het ontvangen nummer controleren. Bereken hiervoor D voor 2 gevallen: c = -2 en c = -4. Het getal -2 voldoet aan het verkregen resultaat (-2> -3), de bijbehorende discriminant heeft de waarde: D = 12> 0. Op zijn beurt voldoet het getal -4 niet aan de ongelijkheid (-4. Dus alle getallen c die groter zijn dan -3 zullen aan de voorwaarde voldoen.

Een voorbeeld van het oplossen van een vergelijking

Laten we een probleem presenteren, dat niet alleen bestaat in het vinden van de discriminant, maar ook in het oplossen van de vergelijking. Je moet de wortels vinden voor de gelijkheid -2 * x² + 7-9 * x = 0.

In dit voorbeeld is de discriminant gelijk aan de volgende waarde: D = 81-4 * (- 2) * 7 = 137. Dan worden de wortels van de vergelijking als volgt gedefinieerd: x = (9 ± √137) / (- 4). Dit zijn de exacte waarden van de wortels, als je de geschatte wortel berekent, dan krijg je de getallen: x = -5.176 en x = 0.676.

Geometrisch probleem

Laten we een probleem oplossen dat niet alleen de vaardigheid vereist om de discriminant te berekenen, maar ook het gebruik van abstracte denkvaardigheden en kennis van het maken van kwadratische vergelijkingen.

Bob had een dekbed van 5 x 4 meter. De jongen wilde een doorlopende strook mooie stof rond de omtrek naaien. Hoe dik deze strook zal zijn als bekend is dat Bob 10 m² stof heeft.

Laat de strook een dikte van xm hebben, dan is het gebied van de stof langs de lange zijde van de deken (5 + 2 * x) * x, en aangezien er 2 lange zijden zijn, hebben we: 2 * x * (5 + 2 * x). Aan de korte kant is het gebied van de genaaide stof 4 * x, aangezien er 2 van deze zijden zijn, krijgen we de waarde 8 * x. Merk op dat 2 * x is toegevoegd aan de lange zijde naarmate de lengte van de deken met dat aantal is toegenomen. Het totale oppervlak van de stof die aan de deken is genaaid, is 10 m². Daarom krijgen we gelijkheid: 2 * x * (5 + 2 * x) + 8 * x = 10 => 4 * x² + 18 * x-10 = 0.

Voor dit voorbeeld is de discriminant: D = 18²-4 * 4 * (- 10) = 484. De wortel is 22. Met behulp van de formule vinden we de vereiste wortels: x = (-18 ± 22) / (2 * 4) = (- 5; 0,5). Het is duidelijk dat van de twee wortels alleen het getal 0,5 geschikt is voor de probleemstelling.

Zo wordt de strook stof die Bob op zijn deken naait 50 cm breed.

Kopjevskaja landelijke middelbare school

10 manieren om kwadratische vergelijkingen op te lossen

Hoofd: Galina Anatolyevna Patrikeyeva,

wiskunde leraar

het dorp Kopyevo, 2007

1. De geschiedenis van de ontwikkeling van kwadratische vergelijkingen

1.1 Kwadratische vergelijkingen in het oude Babylon

1.2 Hoe Diophantus kwadratische vergelijkingen heeft samengesteld en opgelost

1.3 Kwadratische vergelijkingen in India

1.4 Kwadratische vergelijkingen van al-Khorezmi

1.5 Kwadratische vergelijkingen in Europa XIII - XVII eeuw

1.6 Over de stelling van Vieta

2. Methoden voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen

Conclusie

Literatuur

1. De geschiedenis van de ontwikkeling van kwadratische vergelijkingen

1.1 Kwadratische vergelijkingen in het oude Babylon

De noodzaak om vergelijkingen op te lossen, niet alleen van de eerste, maar ook van de tweede graad, zelfs in de oudheid, werd veroorzaakt door de noodzaak om problemen op te lossen in verband met het vinden van land- en grondwerken van militaire aard, evenals met de ontwikkeling van de astronomie en wiskunde zelf. Kwadratische vergelijkingen waren in staat om rond 2000 voor Christus op te lossen. NS. Babyloniërs.

Als we de moderne algebraïsche notatie toepassen, kunnen we zeggen dat er in hun spijkerschriftteksten, naast onvolledige, staan, zoals bijvoorbeeld volledige kwadratische vergelijkingen:

x 2 + x = ¾; x 2 - x = 14,5

De regel voor het oplossen van deze vergelijkingen, uiteengezet in de Babylonische teksten, valt in wezen samen met de moderne, maar het is niet bekend hoe de Babyloniërs tot deze regel kwamen. Bijna alle spijkerschriftteksten die tot nu toe zijn gevonden, geven alleen problemen met oplossingen in de vorm van recepten, zonder instructies over hoe ze zijn gevonden.

Ondanks het hoge ontwikkelingsniveau van de algebra in Babylon, missen de spijkerschriftteksten het concept van een negatief getal en algemene methoden voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen.

1.2 Hoe Diophantus kwadratische vergelijkingen samenstelde en oploste.

In de "Rekenkunde" van Diophantus is er geen systematische uiteenzetting van algebra, maar het bevat een gesystematiseerde reeks problemen, vergezeld van verklaringen en opgelost door vergelijkingen van verschillende gradaties op te stellen.

Bij het opstellen van vergelijkingen kiest Diophantus vakkundig onbekenden om de oplossing te vereenvoudigen.

Hier is bijvoorbeeld een van zijn taken.

Probleem 11."Zoek twee getallen, wetende dat hun som 20 is en het product 96 is"

Diophantus betoogt als volgt: uit de voorwaarde van het probleem volgt dat de gezochte getallen niet gelijk zijn, want als ze gelijk zouden zijn, dan zou hun product niet gelijk zijn aan 96, maar aan 100. Dus een van hen zal meer dan de helft zijn van hun som, dat wil zeggen ... 10 + x, de andere is minder, d.w.z. 10 - x... Het verschil tussen hen 2x .

Vandaar de vergelijking:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Vanaf hier x = 2... Een van de vereiste nummers is 12 , ander 8 ... Oplossing x = -2 want Diophantus bestaat niet, aangezien de Griekse wiskunde alleen positieve getallen kende.

Als we dit probleem oplossen door een van de vereiste getallen als het onbekende te kiezen, komen we tot de oplossing van de vergelijking

j (20 - j) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Het is duidelijk dat Diophantus de oplossing vereenvoudigt door het halve verschil van de gezochte getallen als het onbekende te kiezen; hij slaagt erin het probleem terug te brengen tot het oplossen van een onvolledige kwadratische vergelijking (1).

1.3 Kwadratische vergelijkingen in India

Problemen voor kwadratische vergelijkingen komen al voor in het astronomische traktaat "Aryabhattiam", samengesteld in 499 door de Indiase wiskundige en astronoom Aryabhatta. Een andere Indiase geleerde, Brahmagupta (VII eeuw), schetste de algemene regel voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen, teruggebracht tot een enkele canonieke vorm:

ah 2 + B x = c, a> 0. (1)

In vergelijking (1), de coëfficiënten, behalve een, kan negatief zijn. De Brahmagupta-regel is in wezen hetzelfde als de onze.

In het oude India was openbare concurrentie voor het oplossen van moeilijke problemen gebruikelijk. Een van de oude Indiase boeken zegt over dergelijke wedstrijden: "Zoals de zon de sterren verduistert met zijn schittering, zo zal een geleerd man de glorie van een ander verduisteren in volksvergaderingen, waarbij hij algebraïsche problemen voorstelt en oplost." De opdrachten waren vaak in poëtische vorm gekleed.

Hier is een van de taken van de beroemde Indiase wiskundige van de twaalfde eeuw. Bhaskara's.

Probleem 13.

"Frisky kudde apen En twaalf over de wijnstokken ...

Na het eten van de kracht, plezier maken. Ze begonnen te springen, hangend ...

Er zijn achtste deel van hen in een vierkant. Hoeveel apen waren er,

Ik vermaakte me op de open plek. Vertel je het me, in dit pak?"

Bhaskara's oplossing geeft aan dat hij op de hoogte was van de tweewaardige wortels van kwadratische vergelijkingen (Fig. 3).

Vergelijking die overeenkomt met probleem 13:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara schrijft onder het mom:

x 2 - 64x = -768

en, om de linkerkant van deze vergelijking tot een vierkant te maken, voegt aan beide zijden toe 32 2 , dan krijgen:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x1 = 16, x2 = 48.

1.4 Kwadratische vergelijkingen voor al - Khorezmi

De algebraïsche verhandeling al - Khorezmi geeft een classificatie van lineaire en kwadratische vergelijkingen. De auteur telt 6 soorten vergelijkingen en drukt ze als volgt uit:

1) "Vierkanten zijn gelijk aan wortels", d.w.z. bijl 2 + c = B NS.

2) "Vierkanten zijn gelijk aan een getal", d.w.z. bijl 2 = c.

3) "De wortels zijn gelijk aan het getal", d.w.z. ah = c.

4) "Vierkanten en getallen zijn gelijk aan wortels", bijv bijl 2 + c = B NS.

5) "Vierkanten en wortels zijn gelijk aan een getal", d.w.z. ah 2 + bx = s.

6) "Wortels en getallen zijn gelijk aan vierkanten", d.w.z. bx + c = bijl 2.

Voor al - Khorezmi, die het gebruik van negatieve getallen vermeed, zijn de termen van elk van deze vergelijkingen optellingen, niet afgetrokken. In dit geval worden vergelijkingen die geen positieve oplossingen hebben zeker niet in aanmerking genomen. De auteur schetst de manieren om deze vergelijkingen op te lossen, met behulp van de technieken van al - jabr en al - muqabal. Zijn beslissing valt natuurlijk niet helemaal samen met de onze. Afgezien van het feit dat het puur retorisch is, moet worden opgemerkt dat bijvoorbeeld bij het oplossen van een onvolledige kwadratische vergelijking van het eerste type

al - Khorezmi houdt, net als alle wiskundigen tot de 17e eeuw, geen rekening met de nuloplossing, waarschijnlijk omdat het er niet toe doet in specifieke praktische problemen. Bij het oplossen van volledige kwadratische vergelijkingen, zet al - Khorezmi, met behulp van bepaalde numerieke voorbeelden, de regels voor het oplossen uiteen, en vervolgens geometrische bewijzen.

Probleem 14.“Het vierkant en het getal 21 zijn gelijk aan 10 wortels. Zoek de wortel " (impliceert de wortel van de vergelijking x 2 + 21 = 10x).

De oplossing van de auteur luidt ongeveer als volgt: deel het aantal wortels doormidden, je krijgt 5, vermenigvuldigt 5 met zichzelf, trekt 21 af van het product, er is 4. Haal de wortel uit 4, je krijgt 2. Trek 2 af van 5 , krijg je 3, dit zal de gewenste root zijn. Of voeg 2 tot 5 toe, wat 7 geeft, dit is ook een wortel.

De verhandeling al - Khorezmi is het eerste boek dat tot ons is gekomen, waarin de classificatie van kwadratische vergelijkingen systematisch wordt gepresenteerd en formules voor hun oplossing worden gegeven.

1.5 Kwadratische vergelijkingen in Europa XIII - XVII cc

Formules voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen naar het model van al - Khorezmi in Europa werden voor het eerst gepresenteerd in het "Book of Abacus", geschreven in 1202 door de Italiaanse wiskundige Leonardo Fibonacci. Dit omvangrijke werk, dat de invloed van de wiskunde weerspiegelt, zowel in de landen van de islam als in het oude Griekenland, onderscheidt zich door zowel volledigheid als duidelijkheid van presentatie. De auteur ontwikkelde onafhankelijk enkele nieuwe algebraïsche voorbeelden van het oplossen van problemen en was de eerste in Europa die de introductie van negatieve getallen benaderde. Zijn boek droeg niet alleen bij aan de verspreiding van algebraïsche kennis in Italië, maar ook in Duitsland, Frankrijk en andere Europese landen. Veel problemen uit het "Boek van de Abacus" werden overgebracht naar bijna alle Europese leerboeken van de 16e - 17e eeuw. en gedeeltelijk XVIII.

De algemene regel voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen teruggebracht tot een enkele canonieke vorm:

x 2 + bx = en,

met alle mogelijke combinaties van odds tekens B , met werd pas in 1544 in Europa geformuleerd door M. Stiefel.

De afleiding van de formule voor het oplossen van de kwadratische vergelijking in algemene vorm is beschikbaar in Viet, maar Viet herkende alleen positieve wortels. Italiaanse wiskundigen Tartaglia, Cardano, Bombelli behoorden tot de eersten in de 16e eeuw. Naast positieve worden ook negatieve wortels in aanmerking genomen. Pas in de 17e eeuw. Dankzij het werk van Girard, Descartes, Newton en andere wetenschappers krijgt de methode voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen een moderne vorm.

1.6 Over de stelling van Vieta

Een stelling die de relatie uitdrukt tussen de coëfficiënten van een kwadratische vergelijking en zijn wortels, genaamd Vieta, werd voor het eerst door hem geformuleerd in 1591 als volgt: "Als B + NS vermenigvuldigd met EEN - EEN 2 , is gelijk aan BD, dan EEN gelijk aan V en gelijk NS ».

Om Vieta te begrijpen, moet men onthouden dat EEN, zoals elke klinker, betekende voor hem het onbekende (onze NS), klinkers V, NS- coëfficiënten voor het onbekende. In de taal van de moderne algebra betekent de bovenstaande formulering van Vieta: als

(een + B ) x - x 2 = ab ,

x 2 - (een + B ) x + a B = 0,

x 1 = a, x 2 = B .

Door de relatie tussen de wortels en de coëfficiënten van vergelijkingen uit te drukken door middel van algemene formules geschreven met symbolen, vestigde Viet uniformiteit in de methoden voor het oplossen van vergelijkingen. De symboliek van Vieta is echter nog verre van zijn moderne vorm. Hij herkende geen negatieve getallen en daarom beschouwde hij bij het oplossen van vergelijkingen alleen gevallen waarin alle wortels positief zijn.

2. Methoden voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen

Kwadratische vergelijkingen vormen de basis waarop het prachtige bouwwerk van de algebra rust. Kwadratische vergelijkingen worden veel gebruikt bij het oplossen van trigonometrische, exponentiële, logaritmische, irrationele en transcendente vergelijkingen en ongelijkheden. We weten allemaal hoe we kwadratische vergelijkingen moeten oplossen vanaf school (graad 8), tot het afstuderen.

Op een eenvoudigere manier. Plaats hiervoor z buiten de haakjes. Je krijgt dan: z (аz + b) = 0. De factoren kunnen worden geschreven: z = 0 en аz + b = 0, aangezien beide kunnen resulteren in nul. In de notatie az + b = 0, verplaatsen we de tweede naar rechts met een ander teken. We krijgen dus z1 = 0 en z2 = -b / a. Dit zijn de wortels van het origineel.

Als er een onvolledige vergelijking is van de vorm az² + с = 0, worden ze in dit geval gevonden door simpelweg de vrije term over te brengen naar de rechterkant van de vergelijking. Verander ook het teken wanneer u dit doet. Het resultaat is az² = -с. Express z² = -c / a. Neem de wortel en noteer twee oplossingen - positieve en negatieve vierkantswortel.

Opmerking

Als er fractionele coëfficiënten in de vergelijking staan, vermenigvuldig dan de hele vergelijking met de juiste factor zodat je de breuken weglaat.

De kennis van het oplossen van kwadratische vergelijkingen is noodzakelijk voor zowel schoolkinderen als studenten, soms kan het ook een volwassene helpen in het dagelijks leven. Er zijn verschillende specifieke oplossingsmethoden.

Kwadratische vergelijkingen oplossen

Een kwadratische vergelijking van de vorm a * x ^ 2 + b * x + c = 0. De coëfficiënt x is de gewenste variabele, a, b, c zijn numerieke coëfficiënten. Onthoud dat het "+" teken kan veranderen in een "-" teken.

Om deze vergelijking op te lossen, is het noodzakelijk om de stelling van Vieta te gebruiken of de discriminant te vinden. De meest gebruikelijke manier is om de discriminant te vinden, omdat het voor sommige waarden van a, b, c niet mogelijk is om de stelling van Vieta te gebruiken.

Om de discriminant (D) te vinden, moet je de formule D = b ^ 2 - 4 * a * c schrijven. De D-waarde kan groter dan, kleiner dan of gelijk aan nul zijn. Als D groter of kleiner is dan nul, dan zijn er twee wortels, als D = 0, dan blijft er maar één wortel over, meer precies, we kunnen zeggen dat D in dit geval twee equivalente wortels heeft. Vul de bekende coëfficiënten a, b, c in de formule in en bereken de waarde.

Nadat u de discriminant hebt gevonden, gebruikt u de formules om x te vinden: x (1) = (- b + sqrt (D)) / 2 * a; x (2) = (- b-sqrt (D)) / 2 * a, waarbij sqrt een functie is om de vierkantswortel van een gegeven getal te extraheren. Door deze uitdrukkingen te berekenen, vindt u twee wortels van uw vergelijking, waarna de vergelijking als opgelost wordt beschouwd.

Als D kleiner is dan nul, dan heeft het nog steeds wortels. Op school wordt dit gedeelte praktisch niet bestudeerd. Universitaire studenten moeten zich ervan bewust zijn dat er een negatief getal bij de wortel staat. Ze komen er vanaf door het denkbeeldige deel te markeren, dat wil zeggen, -1 onder de wortel is altijd gelijk aan het denkbeeldige element "i", dat wordt vermenigvuldigd met de wortel met hetzelfde positieve getal. Als D = sqrt (-20) bijvoorbeeld, blijkt na conversie D = sqrt (20) * i. Na deze transformatie wordt de oplossing van de vergelijking teruggebracht tot dezelfde bevinding van de wortels, zoals hierboven beschreven.

De stelling van Vieta is om de waarden x (1) en x (2) te selecteren. Er worden twee identieke vergelijkingen gebruikt: x (1) + x (2) = -b; x (1) * x (2) = c. Bovendien is een heel belangrijk punt het teken voor de coëfficiënt b, onthoud dat dit teken tegengesteld is aan dat in de vergelijking. Op het eerste gezicht lijkt het heel eenvoudig om x (1) en x (2) te berekenen, maar bij het oplossen kom je er achter dat de getallen moeten worden gekozen.

Elementen voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen

Volgens de regels van de wiskunde kunnen sommige worden ontleed in factoren: (a + x (1)) * (bx (2)) = 0, als het je is gelukt om deze kwadratische vergelijking op deze manier te transformeren met behulp van de formules van de wiskunde, dan schrijf gerust het antwoord op. x (1) en x (2) zijn gelijk aan de aangrenzende coëfficiënten tussen haakjes, maar met het tegenovergestelde teken.

Vergeet ook niet onvolledige kwadratische vergelijkingen. Het kan zijn dat u enkele termen mist, als dat zo is, dan zijn alle coëfficiënten gewoon gelijk aan nul. Als er niets voor x ^ 2 of x staat, dan zijn de coëfficiënten a en b gelijk aan 1.