Предел функции не пользуясь правилом лопиталя. Правило Лопиталя для чайников: определение, примеры решения, формулы

Правило Лопиталя (п. Л.) облегчает вычисление пределов функций. Например, надо найти предел функции, которая является отношением функций стремящихся к нулю. Т.е. отношение функций это неопределенность 0/0. Раскрыть ее поможет . В пределе отношение функций можно заменить отношением производных этих функций. Т.е. надо производную числителя разделить на производную знаменателя и от этой дроби взять предел.

1. Неопределенность 0/0. Первое п.Л.

Если = 0, то , если последний существует.

2. Неопределенность вида ∞/∞ Второе п. Л.

Нахождение пределов такого типа называется раскрытием неопределенностей.

Если = ∞, то , если последний существует.

3. Неопределенности 0⋅∞, ∞- ∞, 1 ∞ и 0 0 сводятся к неопределенностям 0/0 и ∞/∞ путем преобразований. Такая запись служит для краткого указания случая при отыскании предела. Каждая неопределенность раскрывается по своему. Правило Лопиталя можно применять несколько раз, пока не избавимся от неопределенности. Применение правила Лопиталя приносит пользу тогда, когда отношение производных удается преобразовать к более удобному виду легче, чем отношение функций.

• 0⋅∞ произведение двух функций, первая стремится к нулю, вторая к бесконечности;
• ∞- ∞ разность функций, стремящихся к бесконечности;
• 1 ∞ степень, ее основание стремится к единице, а показатель к бесконечности;
• ∞ 0 степень, ее основание стремится к бесконечности, а степень к нулю;
• 0 0 степень, ее основание стремится к 0 и показатель тоже стремятся к нулю.

Пример 1. В этом примере неопределенность 0/0

Пример 2. Здесь ∞/∞

В этих примерах производные числителя делим на производные знаменателя и подставляем предельное значение вместо х.

Пример 3. Вид неопределенности 0⋅∞ .

Неопределенность 0⋅∞ преобразуем к ∞/∞, для этого х переносим в знаменатель в виде дроби 1/x , в числителе пишем производную от числителя, а в знаменателе производную от знаменателя.

Пример 4 Вычислить предел функции

Здесь неопределенность вида ∞ 0 Сначала логарифмируем функцию, затем найдем от нее предел

Для получения ответа надо е возвести в степень -1, получим e -1 .

Пример 5. Вычислить предел от если x → 0

Решение. Вид неопределенности ∞ -∞ Приведя дробь к общему знаменателю перейдем от ∞-∞ к 0/0. Применим правило Лопиталя, однако снова получим неопределенность 0/0, поэтому п. Л. надо применить второй раз. Решение имеет вид:

= = = =
= =

Пример 6 Решить

Решение. Вид неопределенности ∞/∞, раскрыв ее получим

В случаях 3), 4), 5) сначала логарифмируют функцию и находят предел логарифма, а затем искомый предел е возводим в полученную степень.

Пример 7. Вычислить предел

Решение. Здесь вид неопределенности 1 ∞ . Обозначим A =

Тогда lnA = = = = 2.

Основание логарифма е, поэтому для получения ответа надо е возвести в квадрат, получим e 2 .

Иногда бывают случаи, когда отношение функций имеет предел, в отличие от отношения производных, которое не имеет его.

Рассмотрим пример:

Т.к. sinx ограничен, а х неограниченно растет, второй член равен 0.

Эта функция не имеет предела, т.к. она постоянно колеблется между 0 и 2, к этому примеру неприменимо п. Л.

• Правило Лопиталя и раскрытие неопределённостей
• Раскрытие неопределённостей видов "ноль делить на ноль" и "бесконечность делить на бесконечность"
• Раскрытие неопределённостей вида "ноль умножить на бесконечность"
• Раскрытие неопределённостей видов "ноль в степени ноль", "бесконечность в степени ноль" и "один в степени бесконечность"
• Раскрытие неопределённостей вида "бесконечность минус бесконечность"

Правило Лопиталя и раскрытие неопределённостей

Раскрытие неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ и некоторых других неопределённостей значительно упрощается с помощью правила Лопиталя.

Суть правила Лопиталя состоит в том, что в случае, когда вычисление предела отношений двух функций даёт неопределённости видов 0/0 или ∞/∞, предел отношения двух функций можно заменить пределом отношения их производных и, таким образом, получить определённный результат.

Вообще, под правилами Лопиталя понимаются несколько теорем, которые могут быть переданы в следующей одной формулировке.

Правило Лопиталя . Если функции f (x ) и g (x ) дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки , причём в этой окрестности

(1)

Иными словами, для неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ предел отношения двух функций равен пределу отношения их производных, если последний существует (конечный или бесконечный).

В равенстве (1) величина , к которой стремится переменная, может быть либо конечным числом, либо бесконечностью, либо минус бесконечностью.

К неопределённостям видов 0/0 и ∞/∞ могут быть сведены и неопределённости других видов.

Раскрытие неопределённостей видов "ноль делить на ноль" и "бесконечность делить на бесконечность"

Пример 1. Вычислить

x =2 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому применим правило Лопиталя:

Пример 2. Вычислить

Решение. Подстановка в заданную функцию значения x

Пример 3. Вычислить

Решение. Подстановка в заданную функцию значения x =0 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому применим правило Лопиталя:

Пример 4. Вычислить

Решение. Подстановка в заданную функцию значения икса, равного плюс бесконечности, приводит к неопределённости вида ∞/∞. Поэтому применим правило Лопиталя:

Замечание. Если предел отношения производных представляет собой неопределённость вида 0/0 или ∞/∞, то можно снова применить правило Лопиталя, т.е. перейти к пределу отношения вторых производных, и т.д.

Пример 5. Вычислить

Решение. Находим

Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных дают неопределённость вида ∞/∞.

Пример 6. Вычислить

Инструкция

Непосредственное вычисление пределов связано, в первую очередь, с пределами рациональных Qm(x)/Rn(x), где Q и R многочлены. Если вычисляется предел при х →a (a – число), то может возникнуть неопределенность, например . Для ее устранения поделите числитель и знаменатель на (х-а). Операцию повторяйте до тех пор, пока неопределенность не пропадет. Деление многочленов осуществляется практически так же, как и деление чисел. Оно основано на том, что деление и умножение – обратные операции. Пример приведен на рис. 1.

Применение первого замечательного предела. Формула для первого замечательного предела приведена на рис. 2а. Для его применения приведите выражение вашего примера к соответствующему виду. Это всегда можно сделать чисто алгебраически или заменой переменной. Главное - не забывайте, что если синус от kx, то и знаменатель тоже kx. Пример рассмотрен на рис. 2e.Кроме того, если учесть, что tgx=sinx/cosx, cos0=1, то, как следствие, появляется (см. рис. 2b). arcsin(sinx)=x и arctg(tgx)=x. Поэтому имеются еще два следствия (рис 2с. и 2d). Возник еще достаточно широкий набор способов .

Применение второго замечательно предела (см. рис. 3а)Пределы такого типа используются для устранения типа . Для решения соответствующих задач просто преобразуйте условие до структуры, соответствующей виду предела. Помните, что при возведении в степень выражения, уже находящегося в какой-либо степени, их перемножаются. Соответствующий приведен на рис. 2е.Примените подстановку α=1/х и получите следствие из второго замечательного предела (рис. 2b). Прологарифмировав по основанию а обе части этого следствия, придете ко второму следствию, в и при а=е (см. рис. 2с). Сделаете замену а^x-1=y. Тогда x=log(a)(1+y). При стремлении х к нулю, у также стремится к нулю. Поэтому возникает и третье следствие (см. рис. 2d).

Применение эквивалентных бесконечно малых.Бесконечно малые функции эквивалентны при х →а, если предел их отношения α(х)/γ(х) равен единице. При вычислении пределов с помощью таких бесконечно малых просто запишите γ(x)=α(x)+o(α(x)). o(α(x)) – это бесконечно малая более высокого порядка малости, чем α(x). Для нее lim(x→a)o(α(x))/α(x)=0. Для выяснения эквивалентности используйте те же замечательные пределы . Метод позволяет существенно упростить процесс , сделав его более прозрачным.

Источники:

• Шипачев В.С. Высшая математика. Учеб. для вузов. - 3-е изд., стер. - М.: Высш. школа, 1996. - 496 с.: ил.

Функция является одним из фундаментальных математических понятий. Ее предел – это такое значение, при котором аргумент стремится к определ енной величине. Вычислить его можно, используя некоторые приемы, например, правило Бернулли-Лопиталя.

Инструкция

Чтобы вычислить предел в заданной точке x0, следует подставить это значение аргумента в выражение функции, стоящее под знаком lim. Вовсе не обязательно, чтобы эта принадлежала области определ ения функции. Если предел определ ен и равен однозначному числу, то говорят, что функция сходится. Если же он не может быть определ ен, или бесконечен в конкретной точке, то расхождение.

Решение.Подставьте в выражение значение х = -2:lim (х² – 6 х - 14)/(2 х² + 3 х - 6) = -1/2.

Не всегда решение является настолько очевидным и простым, особенно если выражение слишком громоздкое. В этом случае сначала следует упростить его сокращения, группировки или замены переменной:lim_(х→-8) (10 х - 1)/(2 х + ∛x) = [у= ∛x] = lim_(у→-2) (10 у³ - 1)/(2 у³ + у) = 9/2.

Часто ситуации невозможности определ ения предел а, особенно если аргумент стремится к бесконечности или нулю. Подстановка не приносит ожидаемого результата, приводя к неопредел енности вида или [∞/∞]. Тогда применимо Лопиталя-Бернулли, которое предполагает нахождение первой производной. Например, вычислите предел lim (х² – 5 х -14)/(2 х²+ х - 6) при х→-2.

Решение.lim (х² – 5 х -14)/(2 х² + х - 6) = .

Найдите производную:lim (2 х - 5)/(4 х + 1) = 9/7.

lim (sinx/x) = 1 при x → 0, верно и обратное: lim (x/sinx) = 1; x → 0.Аргумент может быть любой конструкцией, главное, чтобы ее значение стремилось к нулю:lim (x³ – 5 x² + x)/sin(x³ – 5 x² + x) = 1; x → 0.

Видео по теме

Теория пределов – довольно обширная область математического анализа. Это понятие применимо к функции и представляет собой конструкцию из трех элементов: обозначение lim, выражение под знаком предела и предельное значение аргумента.

Инструкция

Чтобы вычислить предел, необходимо , чему равна функция в точке, соответствующей предельному значению аргумента. В некоторых случаях не имеет конечного решения, а подстановка значения, к которому стремится переменная, дает вида «ноль на ноль» или «бесконечность на бесконечность». В этом случае применимо , выведенное Бернулли и Лопиталем, которое подразумевает взятие первой производной.

Как и любое математическое , предел может содержать под своим знаком выражение функции, слишком громоздкое или неудобное для простой подстановки. Тогда необходимо прежде упростить его, пользуясь обычными методами, группировка, вынесение общего множителя и замена переменной, при которой меняется и предельное значение аргумента.

Вам повезло, выражение функции имеет смысл при данном предельном значении аргумента. Это простейший случай вычисления предела. Теперь решите следующую задачу, в которой фигурирует неоднозначное понятие бесконечности:lim_(x→∞) (5 - x).

Правило Бернулли-Лопиталя:lim_(x→-2) (x^5 – 4 x³)/(x³ + 2 х²) = (-32 + 32)/(-8 + 8) = .Продифференцируйте выражение функции:lim (5 x^4 – 12 x²)/(3 x² + 4 x) = (5 16 – 12 4)/(3 4 - 8) = 8.

Замена переменной:lim_(x→125) (x + 2 ∛x)/(x + 5) = = lim_(y→5) (y³ + 2 y)/(y³ + 3) = (125 + 10)/(125 + 5) = 27/26.

Греческой буквой π (пи, pi) принято обозначать отношение длины окружности к ее диаметру. Это число , первоначально появившись в трудах древних геометров, впоследствии оказалось очень важным в очень многих отраслях математики. А значит, его нужно уметь вычислять.

Инструкция

π - иррациональное число . Это , что его невозможно представить в виде дроби с целым и знаменателем. Более того, π - трансцендентное число , то есть оно не может служить никакого алгебраического уравнения. Таким образом, точное значение числа π записать невозможно. Однако есть методы, позволяющие вычислить его с любой требующейся степенью точности.

Древнейшие , которыми пользовались геометры Греции и Египта, говорят, что π примерно равно квадратному корню из 10 или дроби 256/81. Но эти формулы дают значение π, равное 3,16, а этого явно недостаточно.

С развитием дифференциального исчисления и других новых математических дисциплин в распоряжении ученых появился новый инструмент - степенные ряды. Готфрид Вильгельм Лейбниц в 1674 году обнаружил, что ряд
1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9... + (1/(2n+1)*(-1)^n
в пределе сходится , равной π/4. Вычислять эту сумму просто, однако, чтобы достичь достаточной точности, понадобится много шагов, поскольку ряд сходится очень медленно.

Впоследствии были обнаружены и другие степенные ряды, позволяющие вычислять π быстрее, чем при помощи ряда Лейбница. Например, известно, что tg(π/6) = 1/√3, следовательно, arctg(1/√3) = π/6.
Функция арктангенса раскладывается в степенной ряд, и для заданного значения мы в результате получаем:
π = 2√3*(1 - (1/3)*(1/3) + (1/5)*(1/3)^2 - (1/7)*(1/3)^3… + 1/((2n + 1)*(-3)^n)…)
При помощи этой и других аналогичных формул число π было вычислено уже с точностью до миллионов знаков после запятой.

Обратите внимание

Существует много способов вычисления числа Пи. Самым простым и понятным является численный метод Монте-Карло, суть которого сводится к простейшему перебору точек на площади. double y=radius*radius-x*x; return y; } Программа выводит значения числа Пи в зависимости от радиуса и количества точек. Единственное, что остается читателю, это скомпилировать её самостоятельно и запустить с параметрами, которые желает он.

Полезный совет

Но неутомимые ученые продолжали и продолжали вычислять десятичные знаки числа пи, что является на самом деле дико нетривиальной задачей, потому что просто так в столбик его не вычислить: число это не только иррациональное, но и трансцендентное (это вот как раз такие числа, которые не вычисляются путем простых уравнений). Ученые Токийского университета сумели поставить мировой рекорд в вычислениях числа Пи до 12411-триллионного знака.

Источники:

• История числа Пи

Математические методы применяются во многих областях науки. Это утверждение касается, в частности, дифференциального исчисления. Например, если вычислить вторую производную функции расстояния от переменной времени, то можно найти ускорение материальной точки.

Инструкция

Правила и методы дифференцирования сохраняются для производных высших порядков. Это касается некоторых элементарных функций, операций сложения, и деления, а также сложных функций вида u(g(х)): u’ = С’ = 0 – производная константы; u’ = х’ = 1 – простейшая одного аргумента; u’ = (х^а)’ = а х^(а-1); u’ = (а^х)’ = а^х ln а – показательная функция;

Арифметические операции пары функций u(х) и g(х): (u + g)’ = u’ + g’; (u g)’ = u’ g + g’ u; (u/g)’ = (u’ g – g’ u)/g².

Довольно трудно вторую производную сложной функции. Для этого методы численного дифференцирования, хотя результат получается приближенным, присутствует так называемая погрешность аппроксимации α:u’’(х) = (u(х + h) – 2 u(х) + u(х - h))/h² + α(h²) – интерполяционный многочлен Ньютона;u’’(х) = (-u(х + 2 h) + 16 u(х + h) – 30 u(х) + 16 u(х - h) – u(х – 2 h))/(12 h²) + α(h²) – Стрилинга.

В этих формулах присутствует некая величин h. Она называется аппроксимации, выбор которого должен быть оптимальным, чтобы минимизировать погрешность вычисления. Подбор правильного значения h называется регуляцией по шагу:|u(х + h) – u(х)| > ε, где ε бесконечно мало.

Метод вычисления второй производной применяется при полного дифференциала второго порядка. При этом она частным образом рассчитывается для каждого аргумента и участвует в конечном выражении в виде множителя соответствующего дифференциала dх, dy и т.д.:d² u = ∂u’/∂х d²х + ∂u’/∂y d²у + ∂u’/∂z d²z.

Пример: найдите вторую производную функции u = 2 х sin х – 7 х³ + х^5/tg х.

Решениеu’ = 2 sin x + 2 х соs х – 21 х² + 5 х^4/tg х – х²/sin² х;u’’ = 4 соs х – 2 х sin х – 42 х + 20 х³/tg х – 5 х^4/sin² х – 2 х/sin² х + 2 х² соs х/sin³ х.

Методы дифференциального исчисления используются при исследовании характера поведения функции в математическом анализе. Однако это не единственная сфера их применения, часто требуется найти производную , чтобы рассчитать предельные величины в экономике, вычислить скорость или ускорение в физике.

Решение пределов функции онлайн . Найти предельное значение функции либо функциональной последовательности в точке, вычислить предельное значение функции на бесконечности. определить сходимость числового ряда и многое другое можно выполнить благодаря нашему онлайн сервису - . Мы позволяем находить лимиты функций онлайн быстро и безошибочно. Вы сами вводите переменную функции и предел, к которому она стремится, анаш сервис проводит все вычисления за вас, выдавая точный и простой ответ. Причем для нахождения предела онлайн вы можете вводить как числовые ряды, так и аналитические функции, содержащие константы в буквенном выражении. В этом случае найденный предел функции будет содержать эти константы как постоянные аргументы в выражении. Нашим сервисом решаются любые сложные задачи по нахождению пределов онлайн , достаточно указать функцию и точку в которой необходимо вычислить предельное значение функции . Вычисляя пределы онлайн , можно пользоваться различными методами и правилами их решения, при этом сверяя полученный результат с решением пределов онлайн на www.сайт, что приведет с успешному выполнению задачи - вы избежите собственных ошибок и описок. Либо вы полностью можете довериться нам и использовать наш результат в своей работе, не затрачивая лишних усилий и времени на самостоятельные вычисления предела функции. Мы допускаем ввод таких предельных значений, как бесконечность. Необходимо ввести общий член числовой последовательности и www.сайт вычислит значение предела онлайн на плюс или минус бесконечности.

Одним из основных понятий математического анализа является лимит функции и предел последовательности в точке и на бесконечности, важно уметь правильно решать пределы . С нашим сервисом это не составит никакого труда. Производится решение пределов онлайн в течение нескольких секунд, ответ точный и полный. Изучение математического анализа начинается с предельного перехода , пределы используются практически во всех разделах высшей математики, поэтому полезно иметь под рукой сервер для решения лимитов онлайн , каковым является сайт.