Ang isang sistema ng mga linear algebraic equation ay ibinigay. Sistema ng mga equation

Ang equation ay may solusyon: kung hindi bababa sa isa sa mga coefficient ng mga hindi alam ay iba sa zero. Sa kasong ito, ang anumang -dimensional na vector ay tinatawag na solusyon sa equation kung, kapag pinapalitan ang mga coordinate nito, ang equation ay naging isang pagkakakilanlan.

Pangkalahatang katangian ng nalutas na sistema ng mga equation

Ilarawan ang sistema ng mga equation.

Solusyon:

1. Mayroon bang kasalungat na equation na kasangkot?(Kung ang mga coefficient, sa kasong ito ang equation ay may anyo: at tinatawag na kontrobersyal.)

• Kung ang isang sistema ay naglalaman ng isang bagay na magkasalungat, kung gayon ang ganitong sistema ay hindi naaayon at walang solusyon.

2. Hanapin ang lahat ng pinapayagang variable. (Ang hindi kilala ay tinatawagpinahihintulutan para sa isang sistema ng mga equation, kung ito ay kasama sa isa sa mga equation ng system na may isang koepisyent ng +1, ngunit hindi kasama sa mga natitirang equation (ibig sabihin, ito ay kasama sa isang koepisyent na katumbas ng zero).

3. Nalutas ba ang sistema ng mga equation? (Ang sistema ng mga equation ay tinatawag na nalutas, kung ang bawat equation ng system ay naglalaman ng isang nalutas na hindi alam, kung saan walang mga nagkataon)

Ang mga nalutas na hindi alam, kinuha ng isa mula sa bawat equation ng system, ay nabuo buong hanay ng mga nalutas na hindi alam mga sistema. (sa aming halimbawa ito ay)

Ang mga pinapayagang hindi alam na kasama sa kumpletong hanay ay tinatawag din basic(), at hindi kasama sa set - libre ().

Sa yugtong ito, ang pangunahing bagay ay upang maunawaan kung ano ito nalutas na hindi alam(kasama sa batayan at libre).

Pangkalahatang Partikular Pangunahing solusyon

Pangkalahatang solusyon ang isang nalutas na sistema ng mga equation ay isang hanay ng mga expression ng mga nalutas na hindi alam sa pamamagitan ng mga libreng termino at mga libreng hindi alam:

Pribadong desisyon ay tinatawag na isang solusyon na nakuha mula sa isang pangkalahatang solusyon para sa mga tiyak na halaga ng mga libreng variable at hindi alam.

Pangunahing solusyon ay isang partikular na solusyon na nakuha mula sa pangkalahatan para sa mga zero na halaga ng mga libreng variable.

• Ang pangunahing solusyon (vector) ay tinatawag mabulok, kung ang bilang ng mga coordinate nito ay iba sa zero, mas kaunting numero nalutas ang mga hindi alam.
• Ang pangunahing solusyon ay tinatawag hindi nabubulok, kung ang bilang ng mga non-zero na coordinate nito ay katumbas ng bilang ng mga pinapayagang hindi alam ng system na kasama sa kumpletong set.

Teorama (1)

Ang nalutas na sistema ng mga equation ay palaging pare-pareho(dahil mayroon itong hindi bababa sa isang solusyon); Bukod dito, kung ang sistema ay walang mga libreng hindi alam,(iyon ay, sa isang sistema ng mga equation, lahat ng pinapayagan ay kasama sa batayan) pagkatapos ito ay tinukoy(may kakaibang solusyon); kung mayroong hindi bababa sa isang libreng variable, kung gayon ang sistema ay hindi tinukoy(may walang katapusang bilang ng mga solusyon).

Solusyon:

1. Sinusuri ba natin kung awtorisado ang system?

• Ang sistema ay nalutas (dahil ang bawat isa sa mga equation ay naglalaman ng isang nalutas na hindi alam)

2. Kasama namin ang mga pinapayagang hindi alam sa set - isa mula sa bawat equation.

3. Isinulat namin ang pangkalahatang solusyon depende sa kung ano ang pinapayagan na hindi alam na isinama namin sa set.

4. Paghahanap ng pribadong solusyon. Para magawa ito, tinutumbasan namin ang mga libreng variable na hindi namin isinama sa set na may mga arbitrary na numero.

Sagot: pribadong solusyon(isa sa mga pagpipilian)

5. Paghahanap ng pangunahing solusyon. Para magawa ito, itinutumbas namin ang mga libreng variable na hindi namin isinama sa set sa zero.

Pangunahing pagbabago ng mga linear equation

Mga sistema linear na equation ay binabawasan sa katumbas na mga sistemang nalutas gamit ang mga elementarya na pagbabago.

Teorama (2)

Kung mayroon man multiply ang equation ng system sa ilang nonzero number, at iwanan ang natitirang mga equation na hindi nagbabago, pagkatapos . (iyon ay, kung i-multiply mo ang kaliwa at kanang bahagi mga equation para sa parehong numero, pagkatapos ay makakakuha ka ng isang equation na katumbas ng ibinigay na isa)

Teorama (3)

Kung magdagdag ng isa pa sa anumang equation ng system, at iwanan ang lahat ng iba pang mga equation na hindi nagbabago, kung gayon nakakakuha tayo ng sistemang katumbas ng isang ito. (iyon ay, kung magdagdag ka ng dalawang equation (sa pamamagitan ng pagdaragdag ng kanilang kaliwa at kanang gilid) makakakuha ka ng katumbas na equation sa data)

Corollary of Theorems (2 at 3)

Kung magdagdag ng isa pang equation sa isang equation na pinarami ng isang tiyak na numero, at iwanan ang lahat ng iba pang mga equation na hindi nagbabago, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang sistema na katumbas ng isang ito.

Mga formula para sa muling pagkalkula ng mga coefficient ng system

Kung mayroon tayong sistema ng mga equation at gusto nating baguhin ito sa isang nalutas na sistema ng mga equation, tutulungan tayo ng pamamaraang Jordan-Gauss dito.

Pagbabago ni Jordan na may isang elemento ng paglutas ay nagpapahintulot sa iyo na makuha para sa isang sistema ng mga equation ang nalutas na hindi alam sa equation na may numero . (halimbawa 2).

Sabihin nating gusto nating gawin ang hindi alam sa mas mababang equation bilang isang nalutas na hindi alam. Upang gawin ito, dapat nating hatiin sa pamamagitan ng , upang ang kabuuan ay .

Kapag hinahati ang isang equation na may isang numero sa pamamagitan ng , ang mga coefficient nito ay muling kinakalkula gamit ang mga formula:

Upang ibukod mula sa equation na may numero, kailangan mong i-multiply ang equation na may numero sa at idagdag sa equation na ito.

Theorem (4) Sa pagbabawas ng bilang ng mga equation ng system.

Kung ang isang sistema ng mga equation ay naglalaman ng isang maliit na equation, kung gayon maaari itong ibukod mula sa sistema, at isang sistema na katumbas ng orihinal na isa ay makukuha.

Theorem (5) Sa hindi pagkakatugma ng sistema ng mga equation.

Kung ang isang sistema ng mga equation ay naglalaman ng isang hindi pare-parehong equation, kung gayon ito ay hindi pare-pareho.

Algoritmo ng pamamaraan ng Jordan-Gauss

Ang algorithm para sa paglutas ng mga sistema ng mga equation gamit ang pamamaraang Jordan-Gauss ay binubuo ng isang bilang ng mga katulad na hakbang, sa bawat isa kung saan ang mga aksyon ay isinasagawa sa sumusunod na pagkakasunud-sunod:

1. Sinusuri upang makita kung hindi tugma ang system. Kung ang isang sistema ay naglalaman ng isang hindi pantay na equation, kung gayon ito ay hindi naaayon.
2. Sinusuri ang posibilidad na bawasan ang bilang ng mga equation. Kung ang sistema ay naglalaman ng isang maliit na equation, ito ay na-cross out.
3. Kung ang sistema ng mga equation ay nalutas, pagkatapos ay isulat ang pangkalahatang solusyon ng sistema at, kung kinakailangan, ang mga partikular na solusyon.
4. Kung ang system ay hindi nalutas, pagkatapos ay sa isang equation na hindi naglalaman ng isang nalutas na hindi alam, isang paglutas ng elemento ay pipiliin at isang Jordan transform ay ginanap sa elementong ito.
5. Pagkatapos ay bumalik sa punto 1

Hanapin: dalawang pangkalahatan at dalawang katumbas na pangunahing solusyon

Solusyon:

Ang mga kalkulasyon ay ipinapakita sa talahanayan sa ibaba:

Sa kanan ng talahanayan ay mga aksyon sa mga equation. Ang mga arrow ay nagpapahiwatig kung aling equation ang idinagdag ng equation na may elemento ng paglutas, na pinarami ng angkop na salik.

Ang unang tatlong hanay ng talahanayan ay naglalaman ng mga coefficient ng mga hindi alam at ang kanang bahagi ng orihinal na sistema. Mga resulta ng unang pagbabago sa Jordan na may elementong pangresolba katumbas ng isa ay ibinibigay sa mga linya 4, 5, 6. Ang mga resulta ng ikalawang pagbabago ng Jordan na may isang elemento ng paglutas na katumbas ng (-1) ay ibinibigay sa mga linya 7, 8, 9. Dahil ang ikatlong equation ay walang halaga, maaari itong balewalain.

Ang pagpapanatili ng iyong privacy ay mahalaga sa amin. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Pakisuri ang aming mga kasanayan sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga tanong.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, address Email atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Kinokolekta namin Personal na impormasyon nagbibigay-daan sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa natatanging alok, mga promosyon at iba pang mga kaganapan at mga paparating na kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung lalahok ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na promosyon, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag ng impormasyon sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, hudisyal na pamamaraan, legal na paglilitis, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga ahensya ng gobyerno sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang mga layunin ng pampublikong kahalagahan.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib, o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa naaangkop na third party na kahalili.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin ang hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Paggalang sa iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga pamantayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

• Mga sistema m linear equation na may n hindi kilala.
  Paglutas ng isang sistema ng mga linear equation- ito ay isang hanay ng mga numero ( x 1 , x 2 , …, x n), kapag ipinalit sa bawat isa sa mga equation ng system, ang tamang pagkakapantay-pantay ay makukuha.
  saan a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n- mga coefficient ng system;
  b i , i = 1, …, m- mga libreng miyembro;
  x j , j = 1, …, n- hindi kilala.
  Ang sistema sa itaas ay maaaring isulat sa matrix form: A X = B,
  
  
  
  
  saan ( A|B) ay ang pangunahing matrix ng system;
  A- pinalawak na matrix ng system;
  X— hanay ng mga hindi alam;
  B— column ng mga libreng miyembro.
  Kung matrix B ay hindi isang null matrix ∅, kung gayon ang sistemang ito Ang mga linear na equation ay tinatawag na inhomogeneous.
  Kung matrix B= ∅, kung gayon ang sistemang ito ng mga linear na equation ay tinatawag na homogenous. Ang isang homogenous na sistema ay laging may zero (walang halaga) na solusyon: x 1 = x 2 = …, x n = 0.
  Pinagsamang sistema ng mga linear na equation ay isang sistema ng mga linear na equation na may solusyon.
  Hindi pare-parehong sistema ng mga linear na equation ay isang hindi malulutas na sistema ng mga linear na equation.
  Isang tiyak na sistema ng mga linear na equation ay isang sistema ng mga linear equation na may natatanging solusyon.
  Hindi tiyak na sistema ng mga linear na equation ay isang sistema ng mga linear equation na may walang katapusang bilang ng mga solusyon.
• Mga sistema ng n linear equation na may n hindi alam
  Kung ang bilang ng mga hindi alam ay katumbas ng bilang ng mga equation, kung gayon ang matrix ay parisukat. Ang determinant ng isang matrix ay tinatawag na pangunahing determinant ng isang sistema ng mga linear equation at tinutukoy ng simbolo na Δ.
  Paraan ng Cramer para sa mga sistema ng paglutas n linear equation na may n hindi kilala.
  Ang panuntunan ni Cramer.
  Kung ang pangunahing determinant ng isang sistema ng mga linear na equation ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang sistema ay pare-pareho at tinukoy, at ang tanging solusyon ay kinakalkula gamit ang mga formula ng Cramer:
  kung saan ang Δ i ay mga determinant na nakuha mula sa pangunahing determinant ng system na Δ sa pamamagitan ng pagpapalit i ika-column sa column ng mga libreng miyembro. .
• Mga sistema ng m linear equation na may n hindi alam
  Kronecker–Capelli theorem.
  
  
  Upang ang isang naibigay na sistema ng mga linear na equation ay maging pare-pareho, kinakailangan at sapat na ang ranggo ng system matrix ay katumbas ng ranggo ng pinalawig na matrix ng system, rang(Α) = rang(Α|B).
  Kung rang(Α) ≠ rang(Α|B), kung gayon ang sistema ay malinaw na walang mga solusyon.
  Kung rang(Α) = rang(Α|B), pagkatapos ay dalawang kaso ang posible:
  1) ranggo(Α) = n(bilang ng mga hindi alam) - ang solusyon ay natatangi at maaaring makuha gamit ang mga formula ng Cramer;
  2) ranggo (Α)< n - mayroong walang katapusang maraming mga solusyon.
• Pamamaraan ng Gauss para sa paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation
  
  
  Gumawa tayo ng pinahabang matrix ( A|B) ng isang ibinigay na sistema mula sa mga coefficient ng mga hindi alam at kanang bahagi.
  Ang Gaussian method o ang paraan ng pag-aalis ng mga hindi alam ay binubuo ng pagbabawas ng extended matrix ( A|B) gamit ang mga elementaryang pagbabago sa mga hilera nito sa isang diagonal na anyo (sa itaas na triangular na anyo). Pagbabalik sa sistema ng mga equation, ang lahat ng hindi alam ay natutukoy.
  Ang mga pagbabago sa elementarya sa mga string ay kinabibilangan ng mga sumusunod:
  1) magpalit ng dalawang linya;
  2) pagpaparami ng string sa isang numero maliban sa 0;
  3) pagdaragdag ng isa pang string sa isang string, na pinarami ng isang arbitrary na numero;
  4) pagtatapon ng zero line.
  Ang isang pinahabang matrix na nabawasan sa diagonal na anyo ay tumutugma sa isang linear na sistema na katumbas ng ibinigay, ang solusyon kung saan ay hindi nagiging sanhi ng mga paghihirap. .
• Sistema ng homogenous linear equation.
  Ang isang homogenous na sistema ay may anyo:
  
  tumutugma dito equation ng matrix A X = 0.
  1) Ang isang homogenous na sistema ay palaging pare-pareho, dahil r(A) = r(A|B), palaging may zero na solusyon (0, 0, …, 0).
  2) Upang ang isang homogenous na sistema ay magkaroon ng isang non-zero na solusyon, ito ay kinakailangan at sapat na iyon r = r(A)< n , na katumbas ng Δ = 0.
  3) Kung r< n , pagkatapos ay malinaw na Δ = 0, pagkatapos ay lumitaw ang mga libreng hindi alam c 1 , c 2 , …, c n-r, ang sistema ay mayroon mga di-maliit na solusyon, at mayroong walang katapusang marami sa kanila.
  4) Pangkalahatang solusyon X sa r< n maaaring isulat sa anyong matrix tulad ng sumusunod:
  X = c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n-r X n-r,
  nasaan ang mga solusyon X 1 , X 2 , …, X n-r bumuo ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon.
  5) Ang pangunahing sistema ng mga solusyon ay maaaring makuha mula sa pangkalahatang solusyon ng isang homogenous na sistema:
  
  ,
  kung sunud-sunod nating itinakda ang mga halaga ng parameter na katumbas ng (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1).
  Pagpapalawak ng pangkalahatang solusyon sa mga tuntunin ng pangunahing sistema ng mga solusyon ay isang talaan ng isang pangkalahatang solusyon sa anyo ng isang linear na kumbinasyon ng mga solusyon na kabilang sa pangunahing sistema.
  Teorama. Upang magkaroon ng non-zero na solusyon ang isang sistema ng linear homogeneous equation, kinakailangan at sapat na Δ ≠ 0.
  Kaya, kung ang determinant Δ ≠ 0, kung gayon ang sistema ay may natatanging solusyon.
  Kung Δ ≠ 0, kung gayon ang sistema ng mga linear homogenous na equation ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.
  Teorama. Upang ang isang homogenous na sistema ay magkaroon ng isang nonzero na solusyon, ito ay kinakailangan at sapat na iyon r(A)< n .
  Patunay:
  1) r hindi na pwede pa n(ang ranggo ng matrix ay hindi lalampas sa bilang ng mga haligi o hilera);
  2) r< n , dahil Kung r = n, pagkatapos ay ang pangunahing determinant ng system Δ ≠ 0, at, ayon sa mga formula ng Cramer, mayroong isang natatanging walang kuwentang solusyon x 1 = x 2 = … = x n = 0, na sumasalungat sa kondisyon. Ibig sabihin, r(A)< n .
  Bunga. Upang magkaroon ng isang homogenous na sistema n linear equation na may n Ang mga hindi kilala ay may non-zero na solusyon, ito ay kinakailangan at sapat na Δ = 0.

Solusyon. A= . Hanapin natin ang r(A). kasi matris At may order na 3x4, pagkatapos ang pinakamataas na pagkakasunud-sunod ng mga menor de edad ay 3. Bukod dito, ang lahat ng mga third-order na menor de edad ay katumbas ng zero (suriin ito mismo). ibig sabihin, r(A)< 3. Возьмем главный pangunahing menor de edad = -5-4 = -9 ≠ 0. Samakatuwid r(A) =2.

Isaalang-alang natin matris SA = .

Minor pangatlo utos ≠ 0. Kaya r(C) = 3.

Dahil r(A) ≠ r(C) , kung gayon ang sistema ay hindi naaayon.

Halimbawa 2. Tukuyin ang pagiging tugma ng isang sistema ng mga equation

Lutasin ang sistemang ito kung ito ay magiging pare-pareho.

Solusyon.

A = , C = . Malinaw na ang r(A) ≤ 3, r(C) ≤ 4. Dahil ang detC = 0, kung gayon ang r(C)< 4. Isaalang-alang natin menor de edad pangatlo utos, na matatagpuan sa kaliwang sulok sa itaas ng matrix A at C: = -23 ≠ 0. Kaya r(A) = r(C) = 3.

Numero hindi kilala sa sistema n=3. Nangangahulugan ito na ang sistema ay may natatanging solusyon. Sa kasong ito, ang ikaapat na equation ay kumakatawan sa kabuuan ng unang tatlo at maaaring balewalain.

Ayon sa mga formula ni Cramer nakukuha natin ang x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23.

2.4. Paraan ng matrix. Pamamaraan ng Gaussian

sistema n linear na equation Sa n hindi alam ay maaaring malutas pamamaraan ng matrix ayon sa formula X = A -1 B (sa Δ ≠ 0), na nakukuha mula sa (2) sa pamamagitan ng pagpaparami ng parehong bahagi sa A -1.

Halimbawa 1. Lutasin ang isang sistema ng mga equation

pamamaraan ng matrix (sa seksyon 2.2 ang sistemang ito ay nalutas gamit ang mga formula ng Cramer)

Solusyon. Δ = 10 ≠ 0 A = - non-degenerate matrix.

= (suriin ito sa iyong sarili sa pamamagitan ng paggawa ng mga kinakailangang kalkulasyon).

A -1 = (1/Δ)х= .

X = A -1 V = x= .

Sagot: .

Mula sa praktikal na pananaw pamamaraan ng matrix at mga formula Kramer ay nauugnay sa isang malaking halaga ng mga kalkulasyon, kaya ang kagustuhan ay ibinibigay Pamamaraan ng Gaussian, na binubuo sa sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam. Upang gawin ito, ang sistema ng mga equation ay nabawasan sa isang katumbas na sistema na may isang tatsulok na pinalawak na matrix (lahat ng mga elemento sa ibaba ng pangunahing dayagonal ay katumbas ng zero). Ang mga pagkilos na ito ay tinatawag na pasulong na paggalaw. Mula sa nagresultang triangular na sistema, ang mga variable ay matatagpuan gamit ang sunud-sunod na mga pagpapalit (reverse).

Halimbawa 2. Lutasin ang system gamit ang Gauss method

(Sa itaas, ang sistemang ito ay nalutas gamit ang Cramer formula at ang matrix method).

Solusyon.

Direktang galaw. Isulat natin ang pinahabang matrix at, gamit ang elementarya na pagbabago, bawasan ito sa triangular na anyo:

~ ~ ~ ~ .

Nakukuha namin sistema

Baliktad na galaw. Mula sa huling equation nakita namin X 3 = -6 at palitan ang halagang ito sa pangalawang equation:

X 2 = - 11/2 - 1/4X 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

X 1 = 2 -X 2 + X 3 = 2+4-6 = 0.

Sagot: .

2.5. Pangkalahatang solusyon ng isang sistema ng mga linear na equation

Hayaang magbigay ng isang sistema ng mga linear equation = b i(i=). Hayaan ang r(A) = r(C) = r, i.e. ang sistema ay nagtutulungan. Anumang minor ng order r maliban sa zero ay pangunahing menor de edad. Nang walang pagkawala ng pangkalahatan, ipagpalagay namin na ang batayang minor ay matatagpuan sa unang r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) na mga hilera at column ng matrix A. Pagtatapon sa huling m-r equation system, sumusulat kami ng isang pinaikling sistema:

na katumbas ng orihinal. Pangalanan natin ang mga hindi alam x 1 ,….x r basic, at x r +1 ,…, x r libre at ilipat ang mga terminong naglalaman ng mga libreng hindi alam sa kanang bahagi ng mga equation ng truncated system. Kumuha kami ng isang sistema na may paggalang sa mga pangunahing hindi alam:

na para sa bawat hanay ng mga halaga ng mga libreng hindi alam x r +1 = С 1 ,…, x n = С n-r may isang solusyon lamang x 1 (C 1 ,…, C n-r),…, x r (C 1 ,…, C n-r), natagpuan ng panuntunan ni Cramer.

Kaukulang Solusyon ang pinaikling, at samakatuwid ang orihinal na sistema ay may anyo:

X(C 1 ,…, C n-r) = - pangkalahatang solusyon ng system.

Kung sa pangkalahatang solusyon ay nagtatalaga kami ng ilang mga numerical na halaga sa mga libreng hindi alam, nakakakuha kami ng isang solusyon sa linear system, na tinatawag na isang bahagyang solusyon.

Halimbawa. Magtatag ng compatibility at maghanap ng pangkalahatang solusyon ng system

Solusyon. A = , C = .

Kaya Paano r(A)= r(C) = 2 (tingnan ito para sa iyong sarili), kung gayon ang orihinal na sistema ay pare-pareho at may walang katapusang bilang ng mga solusyon (dahil r< 4).

Ang pamamaraang Gaussian ay may ilang mga disadvantages: imposibleng malaman kung ang sistema ay pare-pareho o hindi hanggang ang lahat ng mga pagbabagong kinakailangan sa pamamaraang Gaussian ay naisagawa; Ang pamamaraan ni Gauss ay hindi angkop para sa mga sistemang may mga titik na koepisyent.

Isaalang-alang natin ang iba pang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation. Ginagamit ng mga pamamaraang ito ang konsepto ng ranggo ng matrix at binabawasan ang solusyon ng anumang pare-parehong sistema sa solusyon ng isang sistema kung saan nalalapat ang panuntunan ng Cramer.

Halimbawa 1. Hanapin ang pangkalahatang solusyon sa sumusunod na sistema ng mga linear equation gamit ang pangunahing sistema mga solusyon ng pinababang homogenous system at isang partikular na solusyon ng inhomogeneous system.

1. Paggawa ng matrix A at pinalawig na system matrix (1)

2. Galugarin ang system (1) para sa pagkakaisa. Upang gawin ito, nakita namin ang mga ranggo ng mga matrice A at https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Kung ito ay lumabas na , pagkatapos ay ang system (1) hindi magkatugma. Kung makuha natin iyon , kung gayon ang sistemang ito ay pare-pareho at malulutas namin ito. (Ang compatibility study ay batay sa Kronecker-Capelli theorem).

a. Nahanap namin rA.

Hanapin rA, isasaalang-alang namin ang sunud-sunod na hindi zero na mga menor de edad ng una, pangalawa, atbp. na mga order ng matrix A at ang mga menor de edad na nakapaligid sa kanila.

M1=1≠0 (kumuha ng 1 mula sa kaliwa itaas na sulok matrice A).

Border kami M1 ang pangalawang row at pangalawang column ng matrix na ito. . Patuloy kami sa hangganan M1 ang pangalawang linya at ang pangatlong column..gif" width="37" height="20 src=">. Ngayon, border namin ang non-zero minor M2′ pangalawang utos.

Meron kami: (dahil ang unang dalawang column ay pareho)

(dahil ang pangalawa at pangatlong linya ay proporsyonal).

Nakikita natin yan rA=2, a ay ang batayang minor ng matrix A.

b. Nahanap namin.

Medyo basic minor M2′ matrice A border na may column ng mga libreng termino at lahat ng row (mayroon lang kaming huling row).

. Sinusundan nito iyon M3′′ nananatiling pangunahing minor ng matrix https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

kasi M2′- batayang minor ng matrix A mga sistema (2) , kung gayon ang sistemang ito ay katumbas ng sistema (3) , na binubuo ng unang dalawang equation ng system (2) (para sa M2′ ay nasa unang dalawang hanay ng matrix A).

(3)

Dahil ang pangunahing menor de edad https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

Sa sistemang ito mayroong dalawang libreng hindi alam ( x2 At x4 ). kaya lang FSR mga sistema (4) binubuo ng dalawang solusyon. Upang mahanap ang mga ito, nagtatalaga kami ng mga libreng hindi alam sa (4) mga halaga muna x2=1 , x4=0 , at pagkatapos - x2=0 , x4=1 .

Sa x2=1 , x4=0 makuha namin:

.

Ang sistemang ito ay mayroon na ang tanging bagay solusyon (maaari itong matagpuan gamit ang panuntunan ng Cramer o anumang iba pang pamamaraan). Ang pagbabawas ng una mula sa pangalawang equation, nakukuha natin:

Ang magiging solusyon niya x1= -1 , x3=0 . Ibinigay ang mga halaga x2 At x4 , na idinagdag namin, nakukuha namin ang unang pangunahing solusyon ng system (2) : .

Ngayon naniniwala kami sa (4) x2=0 , x4=1 . Nakukuha namin ang:

.

Niresolba namin ang sistemang ito gamit ang teorema ng Cramer:

.

Nakukuha namin ang pangalawang pangunahing solusyon ng system (2) : .

Mga solusyon β1 , β2 at make up FSR mga sistema (2) . Pagkatapos ay ang pangkalahatang solusyon nito

γ= C1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Dito C1 , C2 – di-makatwirang mga pare-pareho.

4. Maghanap tayo ng isa pribado solusyon heterogenous na sistema(1) . Tulad ng sa talata 3 , sa halip na ang sistema (1) Isaalang-alang natin ang isang katumbas na sistema (5) , na binubuo ng unang dalawang equation ng system (1) .

(5)

Ilipat natin ang mga libreng hindi alam sa kanang bahagi x2 At x4.

(6)

Bigyan natin ng libreng hindi alam x2 At x4 mga arbitrary na halaga, halimbawa, x2=2 , x4=1 at ilagay ang mga ito sa (6) . Kunin natin ang sistema

Ang sistemang ito ay may natatanging solusyon (dahil ang determinant nito M2′0). Ang paglutas nito (gamit ang Cramer's theorem o Gauss's method), makuha natin x1=3 , x3=3 . Ibinigay ang mga halaga ng mga libreng hindi alam x2 At x4 , nakukuha namin partikular na solusyon ng isang inhomogeneous system(1)α1=(3,2,3,1).

5. Ngayon ang natitira na lang ay isulat ito pangkalahatang solusyon α ng isang inhomogeneous system(1) : ito ay katumbas ng kabuuan pribadong solusyon ang sistemang ito at pangkalahatang solusyon ng pinababang homogenous na sistema nito (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Ibig sabihin nito: (7)

6. Pagsusulit. Upang suriin kung nalutas mo nang tama ang system (1) , kailangan natin ng pangkalahatang solusyon (7) kapalit sa (1) . Kung ang bawat equation ay nagiging pagkakakilanlan ( C1 At C2 dapat sirain), kung gayon ang solusyon ay matatagpuan nang tama.

Magpapalit tayo (7) halimbawa, ang huling equation lamang ng system (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Nakukuha namin ang: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Saan –1=–1. Nagkaroon kami ng pagkakakilanlan. Ginagawa namin ito sa lahat ng iba pang mga equation ng system (1) .

Magkomento. Ang tseke ay kadalasang medyo mahirap. Maaaring irekomenda ang sumusunod na "partial check": sa pangkalahatang solusyon ng system (1) magtalaga ng ilang mga halaga sa mga di-makatwirang constant at palitan lamang ang nagresultang bahagyang solusyon sa mga itinapon na equation (ibig sabihin, sa mga equation mula sa (1) , na hindi kasama sa (5) ). Kung nakakuha ka ng mga pagkakakilanlan, kung gayon parang, solusyon ng system (1) natagpuan nang tama (ngunit ang naturang tseke ay hindi nagbibigay ng kumpletong garantiya ng kawastuhan!). Halimbawa, kung sa (7) ilagay C2=- 1 , C1=1, pagkatapos ay makukuha natin ang: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Ang pagpapalit sa huling equation ng system (1), mayroon tayong: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , ibig sabihin, –1=–1. Nagkaroon kami ng pagkakakilanlan.

Halimbawa 2. Maghanap ng isang pangkalahatang solusyon sa isang sistema ng mga linear equation (1) , na nagpapahayag ng mga pangunahing hindi alam sa mga tuntunin ng mga libre.

Solusyon. Tulad ng sa halimbawa 1, bumuo ng mga matrice A at https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> ng mga matrice na ito. Ngayon, iiwan na lang namin ang mga equation ng system (1) , ang mga coefficient nito ay kasama sa pangunahing minor na ito (i.e., mayroon tayong unang dalawang equation) at isaalang-alang ang isang sistemang binubuo ng mga ito, katumbas ng system (1).

Ilipat natin ang mga libreng hindi alam sa kanang bahagi ng mga equation na ito.

sistema (9) Nilulutas namin ang pamamaraang Gaussian, isinasaalang-alang ang kanang bahagi bilang mga libreng termino.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Opsyon 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Opsyon 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Opsyon 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Opsyon 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">