Halimbawa 1. Lutasin ang equation |x – 3| = 1.

Solusyon. Isinasalin ang equation na ito sa "wika ng mga distansya," nakukuha natin ang pangungusap na "ang distansya mula sa puntong may coordinate x hanggang sa puntong may coordinate 3 ay 1." Dahil dito, ang paglutas ng equation ay bumaba sa paghahanap ng mga puntos na malayo sa punto na may coordinate 3 sa layo na 1. Bumaling tayo sa geometric na paglalarawan.

_______________________________________________________

Ang mga ugat ng equation ay ang mga numero 2 at 4.

Halimbawa 2. Lutasin ang equation | 2x + 1 | = 3

Binabawasan ang equation na ito sa anyo na | x – (-1/2) | = 3/2, gamitin ang formula ng distansya.

Sagot: -2;1.

Halimbawa 3: Lutasin ang equation |x + 2| = |x – 1|.

Solusyon. Isulat natin ang equation na ito sa anyong |x – (-2)| = |x – 1|. Batay sa mga geometric na pagsasaalang-alang, hindi mahirap unawain na ang ugat ng huling equation ay ang coordinate ng isang punto na katumbas ng layo mula sa mga puntos na may mga coordinate 1 at -2.

Sagot: -0.5.

Halimbawa 4: Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay |x – 1|<2.

Solusyon. Batay sa mga geometric na konsepto, dumating kami sa konklusyon na ang mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na ito ay ang mga coordinate ng mga puntos na matatagpuan sa layo na mas mababa sa 2 mula sa punto na may coordinate 1.

Sagot: (-1;3)

Mga ehersisyo para sa malayang gawain

| x – 2| = 0.4 | 10 – x |< 7 | x + 4 | = | x – 4 |

| x + 3 | = 0.7 | x + 1 | > 1 | x + 2.5| = | x - 3.3|

| x – 2.5|< 0,5 | x + 8 | >0.7 | x | > | x – 2 |

| x – 5 |< | x – 1 | .

Ang artikulong ito ay nakatuon sa mga pamamaraan para sa paglutas ng iba't ibang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman
variable sa ilalim ng modulus sign.

Kung nakatagpo ka ng isang equation o hindi pagkakapantay-pantay na may modulus sa pagsusulit, malulutas mo ito sa pamamagitan ng
nang hindi alam ang anumang espesyal na pamamaraan at ginagamit lamang ang kahulugan ng module. Totoo ba,
Maaaring tumagal ito ng isang oras at kalahati ng mahalagang oras ng pagsusulit.

Iyon ang dahilan kung bakit gusto naming sabihin sa iyo ang tungkol sa mga pamamaraan na nagpapasimple sa paglutas ng mga naturang problema.

Una sa lahat, tandaan natin ito

Tingnan natin ang iba't ibang uri mga equation na may modulus. (Magpapatuloy tayo sa hindi pagkakapantay-pantay mamaya.)

Module sa kaliwa, numero sa kanan

Ito ang pinakasimpleng kaso. Lutasin natin ang equation | x 2 − 5x + 4| = 4.

Mayroon lamang dalawang numero na ang mga module ay katumbas ng apat. Ito ay 4 at −4. Samakatuwid ang equation
ay katumbas ng kumbinasyon ng dalawang simple:

x 2 − 5x+ 4 = 4 o x 2 − 5x + 4 = −4.

Ang pangalawang equation ay walang mga solusyon. Mga unang solusyon: x= 0 at x = 5.

Sagot: 0; 5.

Variable sa ilalim ng module at sa labas ng module

Dito kailangan nating palawakin ang modyul ayon sa kahulugan. . . o isipin!

1. |2 − x| = 5 − 4x

Ang equation ay nahahati sa dalawang kaso, depende sa tanda ng expression sa ilalim ng modulus.
Sa madaling salita, ito ay katumbas ng kumbinasyon ng dalawang sistema:

Solusyon ng unang sistema: x= 1. Ang pangalawang sistema ay walang solusyon.
Sagot: 1.

2 . x 2 + 4|x − 3| − 7x + 11 = 0.

Unang kaso: x≥ 3. Alisin ang module:

Numero x 2, ang pagiging negatibo, ay hindi nakakatugon sa kondisyon x≥ 3 at samakatuwid ay hindi isang ugat ng orihinal na equation.

Alamin natin kung ang numero ay nakakatugon sa kundisyong ito x 1 . Upang gawin ito, binubuo namin ang pagkakaiba at tinutukoy ang tanda nito:

Ibig sabihin, x Ang 1 ay mas malaki sa tatlo at samakatuwid ay ang ugat ng orihinal na equation

Pangalawang kaso: x < 3. Снимаем модуль:

Numero x Ang 3 ay mas malaki kaysa sa , at samakatuwid ay hindi nakakatugon sa kundisyon x < 3. Проверим x 4:

Ibig sabihin, x Ang 4 ay ang ugat ng orihinal na equation.

3. |2x 2 − 3x − 4| = 6x − 1.

Tinatanggal ang module ayon sa kahulugan? Nakakatakot man lang isipin, dahil hindi eksaktong parisukat ang discriminant. Mas mabuting gamitin natin ang sumusunod na pagsasaalang-alang: isang equation ng anyong |A| = B ay katumbas ng kumbinasyon ng dalawang sistema:

Parehong bagay, ngunit medyo naiiba:

Sa madaling salita, nilulutas namin ang dalawang equation, A = B at A = −B, at pagkatapos ay pumili ng mga ugat na nakakatugon sa kundisyon B ≥ 0.

Magsimula na tayo. Una naming lutasin ang unang equation:

Pagkatapos ay lutasin namin ang pangalawang equation:

Ngayon sa bawat kaso sinusuri namin ang tanda ng kanang bahagi:

Samakatuwid, ang mga ito ay angkop lamang x 1 at x 3 .

Quadratic equation na may kapalit na | x| = t

Lutasin natin ang equation: x 2 + 2|x| − 3 = 0.

Dahil ang x 2 = |x| 2, ito ay maginhawa upang gumawa ng isang kapalit | x| = t. Nakukuha namin:

Sagot: ±1.

Modulus katumbas ng modulus

Pinag-uusapan natin ang mga equation ng form |A| = |B|. Ito ay isang regalo ng kapalaran. Walang mga pagsisiwalat ng module ayon sa kahulugan! Ito ay simple:

Halimbawa, isaalang-alang ang equation: |3 x 2 + 5x − 9| = |6x+ 15|. Ito ay katumbas ng sumusunod na hanay:

Ito ay nananatiling lutasin ang bawat isa sa mga equation ng set at isulat ang sagot.

Dalawa o higit pang mga module

Lutasin natin ang equation: | x − 1| − 2|x − 2| + 3|x − 3| = 4.

Huwag nating abalahin ang bawat module nang hiwalay at buksan ito sa pamamagitan ng kahulugan - magkakaroon ng masyadong maraming mga pagpipilian. Mayroong mas makatwirang paraan - ang paraan ng pagitan.

Ang mga expression sa ilalim ng mga module ay nawawala sa mga punto x = 1, x= 2 at x= 3. Hinahati ng mga puntong ito ang linya ng numero sa apat na puwang (intervals). Markahan natin ang mga puntong ito sa linya ng numero at ilagay ang mga palatandaan para sa bawat isa sa mga expression sa ilalim ng mga module sa mga resultang pagitan. (Ang pagkakasunud-sunod ng mga palatandaan ay tumutugma sa pagkakasunud-sunod ng kaukulang mga module sa equation.)

Kaya kailangan nating isaalang-alang ang apat na kaso - kung kailan x ay matatagpuan sa bawat isa sa mga pagitan.

Kaso 1: x≥ 3. Ang lahat ng mga module ay tinanggal "na may plus":

Natanggap na halaga x= 5 ay nakakatugon sa kondisyon x≥ 3 at samakatuwid ay ang ugat ng orihinal na equation.

Kaso 2: 2 ≤ x≤ 3. Ang huling module ay tinanggal na ngayon "na may minus":

Natanggap na halaga x angkop din - kabilang ito sa pagitan na isinasaalang-alang.

Kaso 3: 1 ≤ x≤ 2. Ang pangalawa at pangatlong module ay tinanggal "na may minus":

Nakuha namin ang tamang pagkakapantay-pantay ng numero para sa alinman x mula sa agwat na isinasaalang-alang ay nagsisilbing mga solusyon sa equation na ito.

Kaso 4: x ≤ 1 ≤ 1. Ang pangalawa at pangatlong module ay tinanggal "na may minus":

Walang bago. Alam na natin yan x= 1 ang solusyon.

Sagot: ∪ (5).

Module sa loob ng isang module

Lutasin natin ang equation: ||3 − x| − 2x + 1| = 4x − 10.

Magsisimula kami sa pamamagitan ng pagbubukas ng panloob na module.

1) x≤ 3. Nakukuha namin ang:

Ang expression sa ilalim ng modulus ay naglalaho sa . Ang puntong ito ay nabibilang sa isinasaalang-alang
sa pagitan. Samakatuwid, kailangan nating suriin ang dalawang subcase.

1.1) Sa kasong ito, makukuha natin ang:

Ito ang kahulugan x ay hindi angkop, dahil hindi ito kabilang sa agwat na isinasaalang-alang.

1.2). Pagkatapos:

Ito ang kahulugan x hindi rin angkop.

Kaya kapag x≤ 3 walang solusyon. Lumipat tayo sa pangalawang kaso.

2) x≥ 3. Mayroon kaming:

Narito tayo ay masuwerte: expression x+ 2 ay positibo sa pagitan na isinasaalang-alang! Samakatuwid, wala nang anumang mga subcase: ang module ay tinanggal "na may plus":

Ito ang kahulugan x ay nasa pagitan na isinasaalang-alang at samakatuwid ay ang ugat ng orihinal na equation.

Ito ay kung paano malulutas ang lahat ng mga problema ng ganitong uri - binubuksan namin ang mga nested module nang paisa-isa, simula sa panloob na isa.

Mga hindi pagkakapantay-pantay sa modulus

Walang panimula na mga bagong ideya ang lumabas dito. Nasa iyo na ang lahat ng kinakailangang kaalaman. Samakatuwid, susuriin natin ang dalawang problema lamang. Ang natitira ay ginagawa sa mga klase at araling-bahay.

1. 2|x − 4| + |3x + 5| ≥ 16.

1) x≥ 4. Mayroon kaming:

Ang nagresultang hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan para sa lahat ng isinasaalang-alang x≥ 4. Sa madaling salita, lahat ng numero mula sa pagitan .

3) . Meron kami:

Dahil − , pagkatapos ay ang lahat ng mga halaga x mula sa nagresultang pagitan ay nagsisilbing mga solusyon sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay.

Ito ay nananatiling pagsamahin ang mga hanay ng mga solusyon na nakuha sa tatlong kaso na isinasaalang-alang.

2. |x 2 − 2x − 3| < 3x − 3.

Ito ang gawain Blg. 6 ng teoretikal na bahagi ng aralin 8 ng aklat ni V. V. Tkachuk na "Matematika para sa mga aplikante." Niresolba ito ng may-akda gamit ang interval method. Tiyaking suriin ang solusyon ng may-akda!

Tandaan na ang paraan ng pagitan dito ay napakasakit sa kadahilanang ang mga ugat ng square trinomial sa ilalim ng modulus ay mga integer. Paano kung ang discriminant ay hindi isang eksaktong parisukat? Palitan, halimbawa, sa ilalim ng modulus −3 ng −5. Ang dami ng computational na gawain ay tataas nang malaki.

Ipapakita namin sa iyo ang isa pang paraan upang malutas ang problemang ito, isa na hindi nakadepende sa mga kalokohan ng discriminant.

Ang ating hindi pagkakapantay-pantay ay may anyo na |A|< B. Очевидны следующие утверждения.

Kung B ≤ 0, kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay ay walang mga solusyon.

Kung B > 0, kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng dobleng hindi pagkakapantay-pantay −B< A < B или, что то же самое, системе

Sa madaling salita, kinukuha namin ang intersection ng hanay ng mga solusyon ng isang naibigay na sistema na may hanay ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay B> 0, iyon ay, nalulutas namin ang system

Sa ating problema, nakukuha natin:

Ilarawan natin ang mga hanay ng mga solusyon sa mga hindi pagkakapantay-pantay na ito sa figure. Ang mga solusyon sa unang (dobleng) hindi pagkakapantay-pantay ay ipinapakita sa itim; berdeng kulay - mga solusyon ng pinagsama-samang; asul na kulay - mga solusyon sa huling hindi pagkakapantay-pantay ng system.

Ang solusyon sa system ay ang intersection ng mga set na ito, iyon ay, isang set sa itaas kung saan mayroong mga linya ng lahat ng tatlong kulay. Naka-shade ito.

Tutulungan ka ng online na calculator ng matematika na ito lutasin ang isang equation o hindi pagkakapantay-pantay sa moduli. Programa para sa paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay sa moduli hindi lamang nagbibigay ng sagot sa problema, ito ay humahantong detalyadong solusyon na may mga paliwanag, ibig sabihin. ipinapakita ang proseso ng pagkuha ng resulta.

Ang programang ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang para sa mga mag-aaral sa high school sa mga paaralang pangkalahatang edukasyon kapag naghahanda para sa mga pagsusulit at pagsusulit, kapag sinusubukan ang kaalaman bago ang Pinag-isang Estado na Pagsusulit, at para sa mga magulang na kontrolin ang solusyon ng maraming problema sa matematika at algebra. O baka masyadong mahal para sa iyo na kumuha ng tutor o bumili ng mga bagong aklat-aralin? O gusto mo lang bang matapos ang iyong araling-bahay sa matematika o algebra sa lalong madaling panahon? Sa kasong ito, maaari mo ring gamitin ang aming mga programa na may mga detalyadong solusyon.

Sa ganitong paraan, maaari kang magsagawa ng iyong sariling pagsasanay at/o pagsasanay sa iyong mga nakababatang kapatid na lalaki o babae, habang tumataas ang antas ng edukasyon sa larangan ng paglutas ng mga problema.

Maglagay ng equation o hindi pagkakapantay-pantay sa moduli

Natuklasan na ang ilang mga script na kinakailangan upang malutas ang problemang ito ay hindi na-load, at ang programa ay maaaring hindi gumana.
Maaaring pinagana mo ang AdBlock.
Sa kasong ito, huwag paganahin ito at i-refresh ang pahina.

kasi Maraming mga tao na handang lutasin ang problema, ang iyong kahilingan ay nakapila.
Sa ilang segundo ang solusyon ay lilitaw sa ibaba.
Mangyaring maghintay sec...

kung ikaw napansin ang isang error sa solusyon, pagkatapos ay maaari mong isulat ang tungkol dito sa Feedback Form.
Huwag kalimutan ipahiwatig kung aling gawain magpasya ka kung ano pumasok sa mga patlang.

Ang aming mga laro, puzzle, emulator:

Isang maliit na teorya.

Mga equation at hindi pagkakapantay-pantay sa moduli

Sa isang pangunahing kurso sa algebra ng paaralan, maaari kang makatagpo ng pinakasimpleng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay sa moduli. Upang malutas ang mga ito, maaari kang gumamit ng geometric na pamamaraan batay sa katotohanan na ang \(|x-a| \) ay ang distansya sa linya ng numero sa pagitan ng mga puntos na x at a: \(|x-a| = \rho (x;\; a) \). Halimbawa, upang malutas ang equation \(|x-3|=2\) kailangan mong maghanap ng mga puntos sa linya ng numero na malayo sa punto 3 sa layong 2. Mayroong dalawang ganoong mga punto: \(x_1=1 \) at \(x_2=5\) .

Paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay \(|2x+7|

Ngunit ang pangunahing paraan upang malutas ang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay sa moduli ay nauugnay sa tinatawag na "revelation of the modulus by definition":
kung \(a \geq 0 \), kung gayon \(|a|=a \);
kung \(a Bilang panuntunan, ang isang equation (hindi pagkakapantay-pantay) na may moduli ay binabawasan sa isang hanay ng mga equation (hindi pagkakapantay-pantay) na hindi naglalaman ng modulus sign.

Bilang karagdagan sa kahulugan sa itaas, ang mga sumusunod na pahayag ay ginagamit:
1) Kung \(c > 0\), kung gayon ang equation na \(|f(x)|=c \) ay katumbas ng set ng mga equation: \(\left[\begin(array)(l) f(x )=c \\ f(x)=-c \end(array)\kanan.
2) Kung \(c > 0 \), kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay \(|f(x)| 3) Kung \(c \geq 0 \), kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay \(|f(x)| > c \) ay katumbas ng isang hanay ng mga hindi pagkakapantay-pantay : \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) Kung magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay \(f(x) HALIMBAWA 1. Lutasin ang equation \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\).

Kung \(x-1 \geq 0\), kung gayon ang \(|x-1| = x-1\) at ang ibinigay na equation ay kukuha ng anyo
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 +2x -8 = 0 \).
Kung \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 -2x -4 = 0 \).
Kaya, ang ibinigay na equation ay dapat isaalang-alang nang hiwalay sa bawat isa sa dalawang ipinahiwatig na mga kaso.
1) Hayaan \(x-1 \geq 0 \), i.e. \(x\geq 1\). Mula sa equation na \(x^2 +2x -8 = 0\) nakita namin ang \(x_1=2, \; x_2=-4\). Ang kundisyon \(x \geq 1 \) ay natutugunan lamang ng halagang \(x_1=2\).
2) Hayaan \(x-1 Sagot: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

HALIMBAWA 2. Lutasin ang equation \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\).

Unang paraan(pagpapalawak ng module ayon sa kahulugan).
Ang pangangatwiran tulad ng sa halimbawa 1, dumating tayo sa konklusyon na ang ibinigay na equation ay kailangang isaalang-alang nang hiwalay kung ang dalawang kundisyon ay natutugunan: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) o \(x^2-6x+7

1) Kung \(x^2-6x+7 \geq 0 \), kung gayon \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) at ang ibinigay na equation ay nasa anyong \(x ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Rightarrow 3x^2-23x+30=0 \). Nang malutas ang quadratic equation na ito, nakukuha natin ang: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
Alamin natin kung ang value na \(x_1=6\) ay nakakatugon sa kundisyon \(x^2-6x+7 \geq 0\). Upang gawin ito, palitan ang tinukoy na halaga sa quadratic inequality. Nakukuha namin ang: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), i.e. Ang \(7 \geq 0 \) ay isang tunay na hindi pagkakapantay-pantay. Nangangahulugan ito na ang \(x_1=6\) ay ang ugat ng ibinigay na equation.
Alamin natin kung ang value na \(x_2=\frac(5)(3)\) ay nakakatugon sa kundisyon \(x^2-6x+7 \geq 0\). Upang gawin ito, palitan ang ipinahiwatig na halaga sa quadratic inequality. Nakukuha namin ang: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), i.e. Ang \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) ay isang hindi tamang hindi pagkakapantay-pantay. Nangangahulugan ito na ang \(x_2=\frac(5)(3)\) ay hindi ugat ng ibinigay na equation.

2) Kung ang \(x^2-6x+7 Value \(x_3=3\) ay nakakatugon sa kondisyon na \(x^2-6x+7 Value \(x_4=\frac(4)(3) \) ay hindi nakakatugon ang kundisyon \ (x^2-6x+7 Kaya, ang ibinigay na equation ay may dalawang ugat: \(x=6, \; x=3 \).

Pangalawang paraan. Kung ang equation na \(|f(x)| = h(x) \) ay ibinigay, pagkatapos ay may \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(array)\right \)
Pareho sa mga equation na ito ay nalutas sa itaas (gamit ang unang paraan ng paglutas ng ibinigay na equation), ang kanilang mga ugat ay ang mga sumusunod: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4 )(3)\). Ang kundisyon \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) ng apat na halagang ito ay natutugunan lamang ng dalawa: 6 at 3. Nangangahulugan ito na ang ibinigay na equation ay may dalawang ugat: \(x=6 , \; x=3 \ ).

Pangatlong paraan(graphic).
1) Bumuo tayo ng graph ng function na \(y = |x^2-6x+7| \). Una, gumawa tayo ng parabola \(y = x^2-6x+7\). Mayroon kaming \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). Ang graph ng function na \(y = (x-3)^2-2\) ay maaaring makuha mula sa graph ng function na \(y = x^2\) sa pamamagitan ng paglilipat nito ng 3 scale units sa kanan (kasama ang x-axis) at 2 scale unit pababa ( kasama ang y-axis). Ang tuwid na linya x=3 ay ang axis ng parabola kung saan tayo interesado. Bilang mga control point para sa mas tumpak na pag-plot, madaling kunin ang point (3; -2) - ang vertex ng parabola, point (0; 7) at point (6; 7) na simetriko dito kaugnay ng axis ng parabola .
Upang makabuo na ngayon ng graph ng function na \(y = |x^2-6x+7| \), kailangan mong iwanang hindi nagbabago ang mga bahaging iyon ng ginawang parabola na hindi nasa ibaba ng x-axis, at salamin ang bahaging iyon ng parabola na nasa ibaba ng x-axis na may kaugnayan sa x axis.
2) Bumuo tayo ng graph ng linear function na \(y = \frac(5x-9)(3)\). Maginhawang kumuha ng mga puntos (0; –3) at (3; 2) bilang mga control point.

Mahalaga na ang puntong x = 1.8 ng intersection ng tuwid na linya na may abscissa axis ay matatagpuan sa kanan ng kaliwang punto ng intersection ng parabola na may abscissa axis - ito ang punto \(x=3-\ sqrt(2) \) (dahil \(3-\sqrt(2 ) 3) Sa paghusga sa drawing, ang mga graph ay nagsalubong sa dalawang punto - A(3; 2) at B(6; 7). Pinapalitan ang abscissas ng mga ito puntos x = 3 at x = 6 sa ibinigay na equation, kumbinsido kami na sa parehong mga kaso, ang tamang pagkakapantay-pantay ng numero ay nakuha Nangangahulugan ito na ang aming hypothesis ay nakumpirma - ang equation ay may dalawang ugat: x = 3 at x = 6. Sagot: 3;

Magkomento. Ang graphical na pamamaraan, para sa lahat ng kagandahan nito, ay hindi masyadong maaasahan. Sa halimbawang isinasaalang-alang, ito ay nagtrabaho lamang dahil ang mga ugat ng equation ay mga integer.

HALIMBAWA 3. Lutasin ang equation \(|2x-4|+|x+3| = 8\)

Unang paraan
Ang expression na 2x–4 ay nagiging 0 sa puntong x = 2, at ang expression na x + 3 ay nagiging 0 sa puntong x = –3. Hinahati ng dalawang puntong ito ang linya ng numero sa tatlong pagitan: \(x

Isaalang-alang ang unang pagitan: \((-\infty; \; -3) \).
Kung x Isaalang-alang ang pangalawang pagitan: \([-3; \; 2) \).
Kung \(-3 \leq x Isaalang-alang ang ikatlong pagitan: \(

nagsasalita sa simpleng wika, ang modulus ay "isang numero na walang minus". At ito ay sa duality na ito (sa ilang mga lugar wala kang kailangang gawin sa orihinal na numero, ngunit sa iba ay kailangan mong alisin ang ilang uri ng minus) na kung saan ang buong kahirapan ay namamalagi para sa mga nagsisimulang mag-aaral.

meron pa ba geometric na kahulugan. Kapaki-pakinabang din na malaman, ngunit babalikan lamang natin ito sa kumplikado at ilang mga espesyal na kaso, kung saan ang geometric na diskarte ay mas maginhawa kaysa sa algebraic (spoiler: hindi ngayon).

Kahulugan. Hayaang markahan ang puntong $a$ sa linya ng numero. Pagkatapos ang module na $\left| Ang x-a \right|$ ay ang distansya mula sa puntong $x$ hanggang sa puntong $a$ sa linyang ito.

Kung gumuhit ka ng isang larawan, makakakuha ka ng ganito:

Sa isang paraan o iba pa, mula sa kahulugan ng isang module ang pangunahing katangian nito ay agad na sumusunod: ang modulus ng isang numero ay palaging isang di-negatibong dami. Ang katotohanang ito ay magiging isang pulang thread na tumatakbo sa aming buong salaysay ngayon.

Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay. Paraan ng pagitan

Ngayon tingnan natin ang mga hindi pagkakapantay-pantay. Napakarami ng mga ito, ngunit ang ating gawain ngayon ay ang malutas kahit ang pinakasimpleng mga ito. Ang mga bumaba sa mga linear na hindi pagkakapantay-pantay, pati na rin sa paraan ng pagitan.

Mayroon akong dalawang malalaking aralin sa paksang ito (sa pamamagitan ng paraan, napaka, VERY kapaki-pakinabang - Inirerekumenda kong pag-aralan ang mga ito):

1. Paraan ng pagitan para sa mga hindi pagkakapantay-pantay (lalo na panoorin ang video);
2. Ang mga fractional rational inequalities ay isang napakalawak na aral, ngunit pagkatapos nito ay wala ka nang anumang katanungan.

Kung alam mo ang lahat ng ito, kung ang pariralang "lumipat tayo mula sa hindi pagkakapantay-pantay tungo sa equation" ay hindi nagdudulot sa iyo ng malabong pagnanais na itama ang iyong sarili sa dingding, kung gayon handa ka na: maligayang pagdating sa impiyerno sa pangunahing paksa ng aralin.

1. Mga hindi pagkakapantay-pantay ng form na "Modulus is less than function"

Ito ay isa sa mga pinakakaraniwang problema sa mga module. Ito ay kinakailangan upang malutas ang isang hindi pagkakapantay-pantay ng form:

\[\kaliwa| f\right| \ltg\]

Ang mga function na $f$ at $g$ ay maaaring maging anuman, ngunit kadalasan ang mga ito ay mga polynomial. Mga halimbawa ng gayong hindi pagkakapantay-pantay:

\[\begin(align) & \left| 2x+3 \kanan| \lt x+7; \\ & \kaliwa| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \kaliwa| ((x)^(2))-2\kaliwa| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(align)\]

Ang lahat ng mga ito ay maaaring malutas nang literal sa isang linya ayon sa sumusunod na pamamaraan:

\[\kaliwa| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \tama.\kanan)\]

Madaling makita na aalisin natin ang module, ngunit bilang kapalit ay nakakakuha tayo ng dobleng hindi pagkakapantay-pantay (o, na parehong bagay, isang sistema ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay). Ngunit ang paglipat na ito ay ganap na isinasaalang-alang ang lahat posibleng mga problema: kung ang numero sa ilalim ng modulus ay positibo, gumagana ang pamamaraan; kung negatibo, gumagana pa rin ito; at kahit na may pinakamaraming hindi sapat na function bilang kapalit ng $f$ o $g$, gagana pa rin ang paraan.

Naturally, ang tanong ay lumitaw: hindi ba ito mas simple? Sa kasamaang palad, hindi ito posible. Ito ang buong punto ng modyul.

Gayunpaman, sapat na sa pamimilosopo. Lutasin natin ang ilang problema:

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| 2x+3 \kanan| \lt x+7\]

Solusyon. Kaya, mayroon kaming bago sa amin ng isang klasikong hindi pagkakapantay-pantay ng anyo na "mas mababa ang modulus" - kahit na wala nang mababago. Nagtatrabaho kami ayon sa algorithm:

\[\begin(align) & \left| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \kaliwa| 2x+3 \kanan| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Huwag magmadali upang buksan ang mga panaklong na sinusundan ng isang "minus": posible na dahil sa iyong pagmamadali ay makakagawa ka ng isang nakakasakit na pagkakamali.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Ang problema ay nabawasan sa dalawang elementarya na hindi pagkakapantay-pantay. Tandaan natin ang kanilang mga solusyon sa parallel number lines:

Intersection ng marami

Ang intersection ng mga set na ito ang magiging sagot.

Sagot: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Solusyon. Ang gawaing ito ay medyo mas mahirap. Una, ihiwalay natin ang module sa pamamagitan ng paglipat ng pangalawang termino sa kanan:

\[\kaliwa| ((x)^(2))+2x-3 \kanan| \lt -3\left(x+1 \right)\]

Malinaw, mayroon kaming hindi pagkakapantay-pantay ng form na "mas maliit ang module", kaya't tinanggal namin ang module gamit ang kilalang algorithm:

\[-\kaliwa(-3\kaliwa(x+1 \kanan) \kanan) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\kaliwa(x+1 \kanan)\]

Ngayon pansinin: may magsasabi na medyo pervert ako sa lahat ng panaklong ito. Ngunit hayaan mong ipaalala ko sa iyo muli na ang aming pangunahing layunin ay wastong lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay at makuha ang sagot. Sa ibang pagkakataon, kapag ganap mong napag-aralan ang lahat ng inilarawan sa araling ito, maaari mo itong ilihis sa iyong sarili ayon sa gusto mo: buksan ang mga panaklong, magdagdag ng mga minus, atbp.

Magsimula tayo sa pamamagitan lamang ng pag-alis dobleng minus kaliwa:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\kaliwa(x+1 \kanan)\]

Ngayon buksan natin ang lahat ng mga bracket sa double inequality:

Lumipat tayo sa dobleng hindi pagkakapantay-pantay. Sa pagkakataong ito ang mga kalkulasyon ay magiging mas seryoso:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( align)\kanan.\]

Ang parehong mga hindi pagkakapantay-pantay ay parisukat at maaaring malutas sa pamamagitan ng paraan ng agwat (kaya nga sinasabi ko: kung hindi mo alam kung ano ito, mas mahusay na huwag kumuha ng mga module pa). Lumipat tayo sa equation sa unang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(align)\]

Tulad ng nakikita mo, ang output ay isang hindi kumpletong quadratic equation, na maaaring malutas sa isang elementarya na paraan. Ngayon tingnan natin ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ng sistema. Doon ay kailangan mong ilapat ang teorama ni Vieta:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(align)\]

Minarkahan namin ang mga nagresultang numero sa dalawang magkatulad na linya (hiwalay para sa unang hindi pagkakapantay-pantay at hiwalay para sa pangalawa):

Muli, dahil nilulutas namin ang isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay, interesado kami sa intersection ng mga shaded set: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Ito ang sagot.

Sagot: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Sa palagay ko pagkatapos ng mga halimbawang ito ang scheme ng solusyon ay napakalinaw:

1. Ihiwalay ang module sa pamamagitan ng paglipat ng lahat ng iba pang termino sa kabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay. Kaya nakakakuha tayo ng hindi pagkakapantay-pantay ng form na $\left| f\right| \ltg$.
2. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay na ito sa pamamagitan ng pag-alis ng module ayon sa scheme na inilarawan sa itaas. Sa ilang mga punto, kakailanganing lumipat mula sa dobleng hindi pagkakapantay-pantay patungo sa isang sistema ng dalawang independiyenteng mga expression, na ang bawat isa ay maaari nang lutasin nang hiwalay.
3. Sa wakas, ang natitira na lang ay pag-intersect ang mga solusyon ng dalawang independiyenteng expression na ito - at iyon lang, makukuha natin ang huling sagot.

Ang isang katulad na algorithm ay umiiral para sa mga hindi pagkakapantay-pantay ng sumusunod na uri, kapag ang modulus ay mas malaki kaysa sa function. Gayunpaman, mayroong isang pares ng mga seryosong "ngunit". Pag-uusapan natin ang mga "ngunit" na ito ngayon.

2. Mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyong “Modulus is greater than function”

Ganito ang hitsura nila:

\[\kaliwa| f\right| \gtg\]

Katulad ng nauna? parang. Gayunpaman, ang gayong mga problema ay nalutas sa isang ganap na naiibang paraan. Sa pormal, ang scheme ay ang mga sumusunod:

\[\kaliwa| f\right| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Sa madaling salita, isinasaalang-alang namin ang dalawang kaso:

1. Una, binabalewala lang natin ang module at lutasin ang karaniwang hindi pagkakapantay-pantay;
2. Pagkatapos, sa esensya, pinalawak namin ang module na may minus sign, at pagkatapos ay i-multiply ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa −1, habang mayroon akong sign.

Sa kasong ito, ang mga pagpipilian ay pinagsama sa isang square bracket, i.e. Mayroon kaming bago sa amin ng isang kumbinasyon ng dalawang mga kinakailangan.

Pakitandaan muli: hindi ito isang sistema, ngunit isang kabuuan, samakatuwid sa sagot ang mga set ay pinagsama kaysa sa intersecting. Ito pangunahing pagkakaiba mula sa nakaraang punto!

Sa pangkalahatan, maraming estudyante ang lubos na nalilito sa mga unyon at intersection, kaya't ayusin natin ang isyung ito nang minsanan:

• Ang "∪" ay isang tanda ng unyon. Sa esensya, ito ay isang naka-istilong titik na "U" na nagmula sa amin sa Ingles at isang pagdadaglat para sa "Union", i.e. "Mga Asosasyon".
• Ang "∩" ay ang intersection sign. Ang crap na ito ay hindi nagmula saanman, ngunit lumitaw lamang bilang isang counterpoint sa "∪".

Para mas madaling matandaan, iguhit lang ang mga paa sa mga palatandaang ito para gumawa ng salamin (huwag mo lang akong akusahan ngayon na nagpo-promote ng pagkagumon sa droga at alkoholismo: kung seryoso mong pinag-aaralan ang araling ito, ikaw ay adik na sa droga):

Isinalin sa Russian, nangangahulugan ito ng sumusunod: ang unyon (kabuuan) ay kinabibilangan ng mga elemento mula sa parehong mga hanay, samakatuwid ito ay hindi mas mababa sa bawat isa sa kanila; ngunit ang intersection (system) ay kinabibilangan lamang ng mga elementong iyon na sabay-sabay sa unang set at pangalawa. Samakatuwid, ang intersection ng mga set ay hindi kailanman mas malaki kaysa sa source set.

Kaya naging mas malinaw? Iyan ay mahusay. Magpatuloy tayo sa pagsasanay.

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| 3x+1 \right| \gt 5-4x\]

Solusyon. Nagpapatuloy kami ayon sa scheme:

\[\kaliwa| 3x+1 \right| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ tama.\]

Nalutas namin ang bawat hindi pagkakapantay-pantay sa populasyon:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Minarkahan namin ang bawat resultang set sa linya ng numero, at pagkatapos ay pagsamahin ang mga ito:

Unyon ng mga hanay

Halatang halata na ang magiging sagot ay $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Sagot: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| ((x)^(2))+2x-3 \kanan| \gt x\]

Solusyon. Well? Wala - lahat ay pareho. Lumipat tayo mula sa isang hindi pagkakapantay-pantay na may isang modulus patungo sa isang set ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| ((x)^(2))+2x-3 \kanan| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(align) \right.\]

Niresolba natin ang bawat hindi pagkakapantay-pantay. Sa kasamaang palad, ang mga ugat doon ay hindi magiging napakahusay:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(align)\]

Ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ay medyo ligaw din:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(align)\]

Ngayon ay kailangan mong markahan ang mga numerong ito sa dalawang axes - isang axis para sa bawat hindi pagkakapantay-pantay. Gayunpaman, dapat na markahan ang mga puntos sa tamang pagkakasunod-sunod: paano mas malaking bilang, lalo pang inililipat namin ang punto sa kanan.

At narito ang isang setup na naghihintay sa amin. Kung malinaw ang lahat sa mga numerong $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (ang mga termino sa numerator ng una ang fraction ay mas mababa kaysa sa mga termino sa numerator ng pangalawa , kaya mas mababa din ang kabuuan), na may mga numerong $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ hindi rin magkakaroon ng mga paghihirap (positive number obviously more negative), tapos sa huling mag-asawa ang lahat ay hindi masyadong malinaw. Alin ang mas malaki: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ o $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Ang paglalagay ng mga puntos sa mga linya ng numero at, sa katunayan, ang sagot ay depende sa sagot sa tanong na ito.

Kaya't ihambing natin:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrix)\]

Inihiwalay namin ang ugat, nakuha di-negatibong mga numero sa magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay, samakatuwid may karapatan kaming i-square ang magkabilang panig:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrix)\]

Sa palagay ko ay walang utak na $4\sqrt(13) \gt 3$, kaya $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, ang mga huling puntos sa mga palakol ay ilalagay tulad nito:

Isang kaso ng mga pangit na ugat

Ipaalala ko sa iyo na nilulutas namin ang isang set, kaya ang sagot ay isang unyon, hindi isang intersection ng mga shaded set.

Sagot: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

Tulad ng nakikita mo, mahusay ang aming scheme para sa pareho mga simpleng gawain, at para sa mga napakahirap. Ang tanging "mahina na punto" sa diskarteng ito ay kailangan mong ihambing nang tama ang makatwirang mga numero(at maniwala ka sa akin: ito ay hindi lamang ang mga ugat). Ngunit ang isang hiwalay (at napakaseryosong) aralin ay ilalaan sa mga isyu sa paghahambing. At magpatuloy kami.

3. Mga hindi pagkakapantay-pantay sa mga hindi negatibong "buntot"

Ngayon makarating tayo sa pinakakagiliw-giliw na bahagi. Ito ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyo:

\[\kaliwa| f\right| \gt \left| g\right|\]

Sa pangkalahatan, ang algorithm na pag-uusapan natin ngayon ay tama lamang para sa module. Gumagana ito sa lahat ng hindi pagkakapantay-pantay kung saan may mga garantisadong di-negatibong expression sa kaliwa at kanan:

Ano ang gagawin sa mga gawaing ito? Tandaan lamang:

Sa mga hindi pagkakapantay-pantay na may hindi negatibong "mga buntot", ang magkabilang panig ay maaaring itaas sa anumang natural na kapangyarihan. Walang karagdagang mga paghihigpit.

Una sa lahat, magiging interesado kami sa pag-squaring - sinusunog nito ang mga module at ugat:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(align)\]

Huwag lamang malito ito sa pagkuha ng ugat ng isang parisukat:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]

Hindi mabilang na mga pagkakamali ang nagawa kapag nakalimutan ng isang mag-aaral na mag-install ng module! Ngunit ito ay isang ganap na naiibang kuwento (ito ay, kumbaga, hindi makatwiran na mga equation), kaya hindi na natin ito sasagutin ngayon. Mas mahusay na lutasin natin ang ilang mga problema:

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \right|\]

Solusyon. Agad nating pansinin ang dalawang bagay:

1. Ito ay hindi isang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay. Ang mga puntos sa linya ng numero ay mabutas.
2. Ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ay malinaw na hindi negatibo (ito ay isang pag-aari ng module: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Samakatuwid, maaari nating parisukat ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay upang maalis ang modulus at malutas ang problema gamit ang karaniwang paraan ng pagitan:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\end(align)\]

Sa huling hakbang, dinaya ko ng kaunti: Binago ko ang pagkakasunud-sunod ng mga termino, sinasamantala ang pantay ng module (sa katunayan, pinarami ko ang expression na $1-2x$ sa −1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ kanan)\kanan)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Malutas namin gamit ang paraan ng agwat. Lumipat tayo mula sa hindi pagkakapantay-pantay patungo sa equation:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Minarkahan namin ang nahanap na mga ugat sa linya ng numero. Muli: ang lahat ng mga punto ay may kulay dahil ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit!

Pag-alis ng modulus sign

Hayaan akong ipaalala sa iyo para sa mga lalo na matigas ang ulo: kinukuha namin ang mga palatandaan mula sa huling hindi pagkakapantay-pantay, na isinulat bago lumipat sa equation. At pinipinta namin ang mga lugar na kinakailangan sa parehong hindi pagkakapantay-pantay. Sa aming kaso ito ay $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

OK tapos na ang lahat Ngayon. Ang problema ay nalutas.

Sagot: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \kanan|\]

Solusyon. Ginagawa namin ang lahat ng pareho. Hindi ako magkokomento - tingnan lamang ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon.

Kuwadrado ito:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left |. ((x)^(2))+3x+4 \kanan|. \\ at ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \kanan))^(2)); \\ at ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ kanan))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Paraan ng pagitan:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Rightarrow x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Mayroon lamang isang ugat sa linya ng numero:

Ang sagot ay isang buong pagitan

Sagot: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Isang maliit na tala tungkol sa huling gawain. Tulad ng tumpak na nabanggit ng isa sa aking mga mag-aaral, ang parehong mga submodular na expression sa hindi pagkakapantay-pantay na ito ay malinaw na positibo, kaya ang modulus sign ay maaaring tanggalin nang walang pinsala sa kalusugan.

Ngunit ito ay isang ganap na naiibang antas ng pag-iisip at ibang diskarte - maaari itong kondisyon na tinatawag na paraan ng mga kahihinatnan. Tungkol dito - sa isang hiwalay na aralin. Ngayon ay lumipat tayo sa huling bahagi ng aralin ngayon at tingnan ang isang pangkalahatang algorithm na palaging gumagana. Kahit na ang lahat ng mga nakaraang diskarte ay walang kapangyarihan :)

4. Paraan ng enumeration ng mga opsyon

Paano kung ang lahat ng mga pamamaraan na ito ay hindi makakatulong? Kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi maaaring bawasan sa hindi negatibong mga buntot, kung imposibleng ihiwalay ang module, kung sa pangkalahatan ay may sakit, kalungkutan, mapanglaw?

Pagkatapos ay ang "mabigat na artilerya" ng lahat ng matematika ay dumating sa eksena-ang paraan ng brute force. Kaugnay ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa modulus, ganito ang hitsura:

1. Isulat ang lahat ng mga submodular na expression at itakda ang mga ito na katumbas ng zero;
2. Lutasin ang mga resultang equation at markahan ang mga ugat na matatagpuan sa isang linya ng numero;
3. Ang tuwid na linya ay hahatiin sa ilang mga seksyon, kung saan ang bawat module ay may isang nakapirming palatandaan at samakatuwid ay katangi-tanging inihayag;
4. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay sa bawat naturang seksyon (maaari mong hiwalay na isaalang-alang ang mga ugat-hangganan na nakuha sa hakbang 2 - para sa pagiging maaasahan). Pagsamahin ang mga resulta - ito ang magiging sagot :)

Kaya paano? mahina? Madali lang! Sa loob lamang ng mahabang panahon. Tingnan natin sa pagsasanay:

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| x+2 \kanan| \lt \left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Solusyon. Ang crap na ito ay hindi kumukulo sa mga hindi pagkakapantay-pantay tulad ng $\left| f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ o $\left| f\right| \lt \left| g \right|$, kaya kumilos tayo nang maaga.

Sinusulat namin ang mga submodular na expression, itinutumbas ang mga ito sa zero at hanapin ang mga ugat:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Rightarrow x=1. \\\end(align)\]

Sa kabuuan, mayroon kaming dalawang ugat na naghahati sa linya ng numero sa tatlong seksyon, kung saan ang bawat module ay natatangi:

Paghati sa linya ng numero sa pamamagitan ng mga zero ng submodular function

Tingnan natin ang bawat seksyon nang hiwalay.

1. Hayaan ang $x \lt -2$. Pagkatapos ang parehong mga submodular na expression ay negatibo, at ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay muling isusulat tulad ng sumusunod:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align)\]

Nakakuha kami ng medyo simpleng paghihigpit. I-intersect natin ito sa paunang pagpapalagay na $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Malinaw, ang variable na $x$ ay hindi maaaring sabay na mas mababa sa −2 at mas malaki sa 1.5. Walang mga solusyon sa lugar na ito.

1.1. Isaalang-alang natin nang hiwalay ang borderline case: $x=-2$. Ipalit na lang natin ang numerong ito sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay at suriin: totoo ba ito?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \left| -3\kanan|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Malinaw na ang kadena ng mga kalkulasyon ay humantong sa amin sa isang hindi tamang hindi pagkakapantay-pantay. Samakatuwid, ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay mali rin, at ang $x=-2$ ay hindi kasama sa sagot.

2. Hayaan ngayon $-2 \lt x \lt 1$. Magbubukas na ang kaliwang module na may "plus", ngunit ang kanan ay magbubukas pa rin ng "minus". Meron kami:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(align)\]

Muli kaming bumalandra sa orihinal na kinakailangan:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

At muli, ang hanay ng mga solusyon ay walang laman, dahil walang mga numero na parehong mas mababa sa −2.5 at mas malaki sa −2.

2.1. At muli isang espesyal na kaso: $x=1$. Pinapalitan namin ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \left| 3\kanan| \lt \left| 0\kanan|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Katulad ng nakaraang "espesyal na kaso", ang numerong $x=1$ ay malinaw na hindi kasama sa sagot.

3. Ang huling piraso ng linya: $x \gt 1$. Narito ang lahat ng mga module ay binuksan na may plus sign:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

At muli naming i-intersect ang natagpuang set na may orihinal na pagpilit:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

Sa wakas! Nakahanap kami ng pagitan na magiging sagot.

Sagot: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Sa wakas, isang pangungusap na maaaring magligtas sa iyo mula sa mga hangal na pagkakamali kapag nilulutas ang mga tunay na problema:

Ang mga solusyon sa mga hindi pagkakapantay-pantay na may moduli ay karaniwang kumakatawan sa mga tuluy-tuloy na hanay sa linya ng numero - mga pagitan at mga segment. Ang mga nakahiwalay na punto ay hindi gaanong karaniwan. At kahit na mas madalas, nangyayari na ang hangganan ng solusyon (ang dulo ng segment) ay tumutugma sa hangganan ng saklaw na isinasaalang-alang.

Dahil dito, kung ang mga hangganan (ang parehong "mga espesyal na kaso") ay hindi kasama sa sagot, kung gayon ang mga lugar sa kaliwa at kanan ng mga hangganan na ito ay halos tiyak na hindi isasama sa sagot. At kabaliktaran: ang hangganan ay pumasok sa sagot, na nangangahulugan na ang ilang mga lugar sa paligid nito ay magiging mga sagot din.

Isaisip ito kapag sinusuri ang iyong mga solusyon.