Hvad er en trekant typer. Akut trekant
Når de studerer matematik, begynder eleverne at blive fortrolige med forskellige typer geometriske former. I dag vil vi tale om forskellige typer trekanter.
Definition
Geometriske figurer, der består af tre punkter, der ikke er på samme linje, kaldes trekanter.
Segmenterne, der forbinder punkterne, kaldes sider, og punkterne kaldes toppunkter. Hjørner er angivet med store bogstaver, for eksempel: A, B, C.
Siderne er betegnet med navnene på de to punkter, hvorfra de består - AB, BC, AC. Skærende danner siderne vinkler. Den nederste side betragtes som bunden af figuren.
Ris. 1. Trekant ABC.
Typer af trekanter
Trekanter er klassificeret efter vinkler og sider. Hver type trekant har sine egne egenskaber.
Der er tre typer trekanter i hjørnerne:
- spidsvinklet;
- rektangulær;
- stumpvinklet.
Alle vinkler spidsvinklet trekanter er spidse, det vil sige, at gradmålet for hver ikke er mere end 90 0.
Rektangulær en trekant indeholder en ret vinkel. De to andre vinkler vil altid være spidse, da summen af trekantens vinkler ellers vil overstige 180 grader, og det er umuligt. Den side, der er modsat den rette vinkel, kaldes hypotenusen, og de to andre kaldes benene. Hypotenusen er altid større end benet.
Stump trekanten indeholder en stump vinkel. Det vil sige en vinkel større end 90 grader. De to andre vinkler i en sådan trekant vil være spidse.
Ris. 2. Typer af trekanter ved hjørnerne.
En pythagoras trekant er et rektangel, hvis sider er 3, 4, 5.
Desuden er den større side hypotenusen.
Sådanne trekanter bruges ofte til at konstruere simple problemer i geometri. Husk derfor: Hvis to sider af en trekant er lig med 3, så vil den tredje helt sikkert være 5. Dette vil forenkle beregningerne.
Typer af trekanter på siderne:
- ligesidet;
- ligebenet;
- alsidig.
Ligesidet en trekant er en trekant, hvor alle sider er lige store. Alle vinkler i en sådan trekant er lig med 60 0, det vil sige, at den altid er spids.
Ligebenet trekant - en trekant med kun to sider ens. Disse sider kaldes laterale, og den tredje kaldes basen. Derudover er vinklerne ved bunden af en ligebenet trekant lige store og altid spidse.
Alsidig eller en vilkårlig trekant er en trekant, hvor alle længder og alle vinkler ikke er ens med hinanden.
Hvis problemet ikke indeholder nogen afklaringer om figuren, er det generelt accepteret, at vi taler om en vilkårlig trekant.
Ris. 3. Typer af trekanter på siderne.
Summen af alle vinkler i en trekant, uanset dens type, er 1800.
Modsat den større vinkel er den større side. Og også længden af enhver side er altid mindre end summen af dens to andre sider. Disse egenskaber bekræftes af trekantsulighedssætningen.
Der er et koncept om den gyldne trekant. Dette er en ligebenet trekant, hvor to sider er proportionale med basen og lig med et vist tal. I en sådan figur er vinklerne proportionale med forholdet 2:2:1.
Opgave:
Er der en trekant, hvis sider er 6 cm, 3 cm, 4 cm?
Løsning:
For at løse denne opgave skal du bruge uligheden a
Hvad har vi lært?
Fra dette materiale fra 5. klasses matematikkursus lærte vi, at trekanter klassificeres efter deres sider og størrelsen af deres vinkler. Trekanter har visse egenskaber, som kan bruges til at løse problemer.
Trekant . Akut, stump og retvinklet trekant.
Ben og hypotenuse. Ligebenet og ligesidet trekant.
Summen af vinkler i en trekant.
Ekstern vinkel af en trekant. Tegn på lighed af trekanter.
Bemærkelsesværdige linjer og punkter i en trekant: højder, medianer,
halveringsled, median e vinkelrette, ortocenter,
Tyngdepunkt, centrum af en omskrevet cirkel, centrum af en indskrevet cirkel.
Pythagoras sætning. Aspektforhold i en vilkårlig trekant.
Trekant er en polygon med tre sider (eller tre vinkler). Siderne i en trekant er ofte angivet med små bogstaver, der svarer til de store bogstaver, der repræsenterer de modsatte hjørner.
Hvis alle tre vinkler er spidse (fig. 20), så er dette spids trekant
. Hvis en af vinklerne er ret(C, fig. 21), det er retvinklet trekant; sidera, bat danne en ret vinkel kaldes ben; sidecmodsat kaldes den rette vinkel hypotenusen. Hvis en af stumpe vinkler (B, fig. 22), det er stump trekant.
Trekant ABC (fig. 23) - ligebenet, hvis to dens sider er lige store (-en=
c); disse lige sider kaldes tværgående, kaldes den tredje part basis trekant. Trekant ABC (fig. 24) – ligesidet,
Hvis Alle dens sider er lige store (-en
=
b
=
c). Generelt ( -en ≠ b ≠ c)
vi har scalene trekant .
Grundlæggende egenskaber ved trekanter. I enhver trekant:
1. Modsat den større side ligger den større vinkel, og omvendt.
2. Lige vinkler ligger modsat lige store sider og omvendt.
Især alle vinkler i ligesidet trekanter er lige store.
3. Summen af vinklerne i en trekant er 180 º .
Af de to sidste egenskaber følger det, at hver vinkel i en ligesidet
trekant er 60 º.
4. Fortsætter en af trekantens sider (AC, fig. 25), vi får ydre
vinkel BCD . Den ydre vinkel i en trekant er lig med summen af de indre vinkler,
ikke støder op til det : BCD = A + B.
5. Nogen side af en trekant er mindre end summen af de to andre sider og større
deres forskelligheder (-en < b + c, -en > b – c;b < -en + c, b > -en – c;c < -en + b,c > -en – b).
Tegn på lighed af trekanter.
Trekanter er kongruente, hvis de er henholdsvis lige store:
-en ) to sider og vinklen mellem dem;
b ) to hjørner og den side, der støder op til dem;
c) tre sider.
Tegn på lighed af retvinklede trekanter.
To rektangulær trekanter er ens, hvis en af følgende betingelser er sand:
1) deres ben er lige;
2) benet og hypotenusen af den ene trekant er lig med den andens ben og hypotenusen;
3) hypotenusen og den spidse vinkel i den ene trekant er lig med hypotenusen og den spidse vinkel i den anden;
4) benet og den tilstødende spidse vinkel i den ene trekant er lig med benet og den tilstødende spidse vinkel i den anden;
5) benet og den modsatte spidse vinkel i en trekant er lig med benet og den modsatte spidse vinkel af den anden.
Vidunderlige linjer og punkter i trekanten.
Højde trekant ervinkelret,sænkes fra ethvert toppunkt til den modsatte side ( eller dens fortsættelse). Denne side kaldestrekantens base . De tre højder i en trekant skærer altid hinandenpå et tidspunkt, hedder ortocenter trekant. Ortocenter af en spids trekant (punkt O , Fig. 26) er placeret inde i trekanten, ogortocenter af en stump trekant (punkt O , fig. 27) – uden for; Ortocentret af en retvinklet trekant falder sammen med toppunktet for den rette vinkel.
Median - Det her linjestykke , der forbinder et hvilket som helst toppunkt i en trekant til midten af den modsatte side. Tre medianer af en trekant (AD, BE, CF, fig.28) skærer hinanden på et punkt O , altid liggende inde i trekanten og være hans tyngdepunkt. Dette punkt deler hver median i forholdet 2:1, regnet fra toppunktet.
Bisector - Det her bisector segment vinkel fra top til punkt kryds med den modsatte side. Tre halveringslinjer i en trekant (AD, BE, CF, fig.29) skærer hinanden på et punkt Åh, altid liggende inde i trekanten Og væren midten af den indskrevne cirkel(se afsnittet "Indskrevetog omskrevne polygoner").
Halveringslinjen opdeler den modsatte side i dele, der er proportionale med de tilstødende sider ; for eksempel i fig. 29 AE: CE = AB: BC.
Median vinkelret er en vinkelret tegnet fra midten segmentpunkter (sider). Tre vinkelrette halveringslinjer i trekant ABC(KO, MO, NO, Fig. 30 ) skærer et punkt O, hvilket er centrum afgrænset cirkel (punkter K, M, N – midtpunkterne på trekantens sider ABC).
I en spids trekant ligger dette punkt inde i trekanten; i stump - udenfor; i en rektangulær - i midten af hypotenusen. Ortocenter, tyngdepunkt, circumcenter og indskrevet cirkel kun falder sammen i en ligesidet trekant.
Pythagoras sætning. I en retvinklet trekant, kvadratet af længdenHypotenusen er lig med summen af kvadraterne af benlængderne.
Beviset for Pythagoras sætning følger tydeligt af fig. 31. Overvej en retvinklet trekant ABC med ben a, b og hypotenusen c.
Lad os bygge en firkant AKMB ved hjælp af hypotenusen AB som en side. Derefterfortsæt siderne af den retvinklede trekant ABC for at få en firkant CDEF , hvis side er ligea + b.Nu er det klart, at området af pladsen CDEF er lig med ( a+b) 2 . På den anden side dette areal er lig med summen områder fire rette trekanter og kvadratet AKMB, altså
c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,
herfra,
c 2 + 2 ab= (a+b) 2 ,
og endelig har vi:
c 2 =-en 2 + b 2 .
Aspektforhold i en vilkårlig trekant.
I det generelle tilfælde (for en vilkårlig trekant) har vi:
c 2 =-en 2 + b 2 – 2ab· cos C,
hvor C – vinkel mellem siderne-en Og b .
En bestemt trekant, hvor alle sider ikke er af samme længde, kaldes normalt alsidig.
En trekant med to lige store sider betegnes som ligebenet. Identiske sider kaldes normalt tværgående, tredje part - basis. Den følgende definition vil være lige så sand trekantbaser er siden af en ligebenet trekant, der ikke er lig med de to andre sider.
I ligebenet trekant vinklerne ved bunden er lige store. Højde, median, halveringslinje af en ligebenet trekant, trukket til sin base, er justeret.
Trekant, med alle lige sider, betegnes som ligesidet eller korrekt. I en ligesidet trekant er alle vinkler 60°, og midten af de indskrevne og omskrevne cirkler er justeret.
Typer af trekanter afhængigt af vinkelparametre.
En trekant, hvor kun vinkler mindre end 90 0 (spids) kaldes spidsvinklet.
En trekant med en vinkel på 90 0 kaldes rektangulær. Siderne af en trekant, der danner en ret vinkel, er normalt betegnet ben, og siden modsat den rette vinkel er hypotenusen.
En trekant er en figur, der består af tre punkter forbundet med hinanden. Afhængigt af vinklerne kan en trekant være:
- Rektangulær, hvis en af vinklerne er 90 grader;
- Stump, hvis en af vinklerne er stump, dvs. mere end 90 grader;
- Akutvinklet, hvis alle trekantens vinkler er spidse.
For at løse problemer med spidse trekanter skal du ofte bruge sinus- eller cosinussætningen.
Selv i det antikke Grækenland studerede matematikere trekanter. Det var grækerne, der udviklede grundlaget for moderne geometri, som omfatter mange teoremer om trekanter. For eksempel kommer forfatteren af Pythagoras sætning fra det antikke Grækenland.
Egenskaber
I en spids trekant er hver vinkel mindre end 90 grader. Men summen af vinklerne i en trekant er altid lig med 180. I enhver figur er hjørnerne angivet med store bogstaver.
Et af elementerne i en trekant, sammen med siderne og vinklerne, er den ydre vinkel. En udvendig vinkel er en vinkel, der støder op til en indre vinkel i en trekant.
Enhver trekant har 6 ydre vinkler, 2 for hver indre. Enhver udvendig vinkel i en spids trekant vil altid være en stump vinkel.
Linjer i en spids trekant
En spids trekant har en række egenskaber.
Medianen vil være lig med halvdelen af længden af den side af den geometriske figur, hvorpå den er sænket. Desuden kan dette segment tegnes fra ethvert toppunkt.
Ris. 1. Medianer i en spids trekant
Det er kendt, at hvis man tegner tre højder i en spids trekant, vil de skære hinanden i et punkt, som kaldes ortocentret. Disse segmenter er sænket i rette vinkler til modsatte sider. Højderne i en spids trekant deler denne figur i lignende trekanter.
Ris. 2. Højder i en spids trekant
Halvere i en spids trekant halverer ikke kun vinklerne. Disse segmenter skærer hinanden i et punkt, der er midten af den indskrevne cirkel.
Halveringslinjen deler også siden af en spids trekant i to dele, som er proportionale med de tilsvarende sider. Denne udtalelse skal huskes for at løse nogle problemer.
Ris. 3. Halvere i en spids trekant
Ejendomme
Hvis vi opsummerer de numeriske værdier af to sider af en spids trekant, vil vi helt sikkert få et tal, der vil være større end det tredje segment af denne geometriske figur.
Midterlinjen i en spids trekant er parallel med en af siderne på denne figur og er lig med halvdelen af dens halvdel.
Hvad har vi lært?
I en spids trekant er hver vinkel mindre end 90 grader. Den samlede sum af vinklerne er her også 180 grader. Vi må ikke glemme trekantens karakteristiske linjer. For med deres hjælp er det nemt at beregne siderne af en given trekantet figur eller midten af en bestemt cirkel. Og hvis vinkler er angivet i betingelserne for geometriproblemer, kan du bruge trigonometriske funktioner.
Test om emnet
Artiklens vurdering
Gennemsnitlig vurdering: 4.5. Samlede vurderinger modtaget: 114.
I dag skal vi til Geometriens land, hvor vi vil stifte bekendtskab med forskellige typer trekanter.
Overvej de geometriske former og find den "ekstra" blandt dem (fig. 1).
Ris. 1. Illustration f.eks
Vi ser, at figurerne nr. 1, 2, 3, 5 er firkantede. Hver af dem har sit eget navn (fig. 2).
Ris. 2. Firkanter
Det betyder, at den "ekstra" figur er en trekant (fig. 3).
Ris. 3. Illustration f.eks
En trekant er en figur, der består af tre punkter, der ikke ligger på samme linje, og tre segmenter, der forbinder disse punkter i par.
Punkterne kaldes hjørner af trekanten, segmenter - hans fester. Siderne af trekanten dannes Der er tre vinkler i spidserne af en trekant.
Hovedtrækkene i en trekant er tre sider og tre hjørner. Ifølge størrelsen af vinklen er trekanter akut, rektangulær og stump.
En trekant kaldes spidsvinklet, hvis alle tre dens vinkler er spidse, det vil sige mindre end 90° (fig. 4).
Ris. 4. Akut trekant
En trekant kaldes rektangulær, hvis en af dens vinkler er 90° (fig. 5).
Ris. 5. Ret trekant
En trekant kaldes stump, hvis en af dens vinkler er stump, det vil sige mere end 90° (fig. 6).
Ris. 6. Stump trekant
Baseret på antallet af lige sider er trekanter ligesidede, ligebenede, skalaen.
En ligebenet trekant er en, hvor to sider er lige store (fig. 7).
Ris. 7. Ligebenet trekant
Disse sider kaldes tværgående, tredje side - basis. I en ligebenet trekant er grundvinklerne lige store.
Der er ligebenede trekanter akut og stump(Fig. 8) .
Ris. 8. Akutte og stumpe ligebenede trekanter
En ligesidet trekant er en, hvor alle tre sider er lige store (fig. 9).
Ris. 9. Ligesidet trekant
I en ligesidet trekant alle vinkler er lige store. Ligesidede trekanter Altid spidsvinklet.
En scalene er en trekant, hvor alle tre sider har forskellig længde (fig. 10).
Ris. 10. Skala trekant
Fuldfør opgaven. Fordel disse trekanter i tre grupper (fig. 11).
Ris. 11. Illustration til opgaven
Lad os først fordele efter størrelsen af vinklerne.
Akutte trekanter: nr. 1, nr. 3.
Retvinklede trekanter: nr. 2, nr. 6.
Stumpe trekanter: nr. 4, nr. 5.
Vi vil fordele de samme trekanter i grupper efter antallet af lige store sider.
Skala trekanter: nr. 4, nr. 6.
Ligebenede trekanter: nr. 2, nr. 3, nr. 5.
Ligesidet trekant: nr. 1.
Se på billederne.
Tænk på, hvilket stykke ledning hver trekant var lavet af (fig. 12).
Ris. 12. Illustration til opgaven
Du kan tænke sådan her.
Det første stykke tråd er opdelt i tre lige store dele, så du kan lave en ligesidet trekant af det. Han er vist tredje på billedet.
Det andet stykke tråd er opdelt i tre forskellige dele, så det kan bruges til at lave en skala-trekant. Det er vist først på billedet.
Det tredje stykke tråd er opdelt i tre dele, hvor to dele har samme længde, hvilket betyder, at der kan laves en ligebenet trekant af det. På billedet er han vist nummer to.
I dag i klassen lærte vi om forskellige typer trekanter.
Bibliografi
- M.I. Moreau, M.A. Bantova m.fl. Matematik: Lærebog. 3. klasse: i 2 dele, del 1. - M.: “Oplysning”, 2012.
- M.I. Moreau, M.A. Bantova m.fl. Matematik: Lærebog. 3. klasse: i 2 dele, del 2. - M.: “Oplysning”, 2012.
- M.I. Moro. Matematiktimer: Metodiske anbefalinger til lærere. 3. klasse. - M.: Uddannelse, 2012.
- Reguleringsdokument. Monitorering og evaluering af læringsudbytte. - M.: "Enlightenment", 2011.
- "School of Russia": Programmer for folkeskolen. - M.: "Enlightenment", 2011.
- S.I. Volkova. Matematik: Prøvearbejde. 3. klasse. - M.: Uddannelse, 2012.
- V.N. Rudnitskaya. Tests. - M.: "Eksamen", 2012.
- Nsportal.ru ().
- Prosv.ru ().
- Do.gendocs.ru ().
Lektier
1. Udfyld sætningerne.
a) En trekant er en figur, der består af ... der ikke ligger på samme linje, og ... som forbinder disse punkter parvis.
b) Punkterne kaldes … , segmenter - hans … . Trekantens sider dannes ved trekantens spidser ….
c) I henhold til vinklens størrelse er trekanter ... , ... , ... .
d) Baseret på antallet af lige store sider er trekanter ... , ... , ... .
2. Tegn
a) retvinklet trekant;
b) spids trekant;
c) stump trekant;
d) ligesidet trekant;
e) scalene trekant;
e) ligebenet trekant.
3. Lav en opgave om lektionens emne til dine venner.