Vælg dimensionerne af akslens tværsnit (fig. 1) i henhold til styrkeforholdet. I sektioner fra sektion 1 til sektion 3 og fra sektion 5 til sektion 6 skal akslens udvendige diameter af konstruktionsmæssige årsager have samme størrelse.

I afsnittet fra afsnit 1 til afsnit 2 har akslen et ringformet tværsnit med n=d B /d=0,4. I sektioner fra sektion 3 til sektion 5 vælges akslen kun efter styrkeforhold.

M = 1 kN∙m, [τ] = 80 MPa.

Løsning

Vi opdeler akslen i kraftsektioner og bygger et momentdiagram (fig. 1, b).

Bestem akseldiametrene. I afsnit I, II og V er akslens ydre diameter den samme. For dem er det ikke muligt at forudspecificere sektionen med den højeste tangentielle spændingsværdi, da forskellige sektioner har forskellige typer af tværsnit: sektion I er cirkulær, sektion II og V er massiv rund.

Det er nødvendigt at bestemme separat, afhængigt af styrketilstanden, diametrene for hver type tværsnit for den mest belastede effektsektion (det vil sige den, som den maksimale absolutte værdi af drejningsmomentet virker på). Vi vil endelig acceptere den største opnåede diameter.

For et snit med et ringtværsnit:

Til en aksel med massivt tværsnit

Vi accepterer endelig den største værdi af den resulterende diameter, rundet op til nærmeste hele værdi:

d1 = d2 = d5 = 61 mm;

d B1 = n∙d 1 = 0,4∙61 = 24,4 mm.

Den højeste spænding, der virker i disse områder er:

Skaftdiameter i sektion III (M K3 = 5M = 5 kNm).

Bestem de krævede dimensioner af diametrene på geartrinsakselen ud fra styrkeforholdene. Akselbelastningsdiagrammet er vist i fig. 1.

Indledende data:

Mcr=0,2 kNm.

a = 30 mm; b = 60 mm; c=100 mm.

D1 = 70 mm; D2=120 mm.

[?]p=120 MPa.

Påkrævet:

1. Tegn et givet diagram af akslen på en skala, der angiver dimensioner og belastningsværdier.

2. Bestem de periferiske P og radiale kræfter T ved at tage forholdet mellem dem T = 0,36P.

3. Konstruer diagrammer over bøjningsmomenter i det lodrette og vandrette plan.

4. Konstruer et diagram over de samlede bøjningsmomenter.

5. Konstruer et diagram over drejningsmomenter.

6. Ved hjælp af energiteorien om styrke bestemmes akslens diametre i individuelle sektioner og afrund dem til standardstørrelser.

7. Tegn en skitse.

1. Det angivne akseldiagram er vist i figur 1.

2. Bestem de periferiske P og radiale kræfter T.

Drejningsmomentet på akslen er forårsaget af kræfterne P1 og P2.

Lad os bringe kraften P1 til akselsektionens tyngdepunkt: derefter et par kræfter med et moment

forårsager torsion, og kraft P får akslen til at bøje i det lodrette plan.

Til gengæld forårsager et par kræfter med et moment M2 = P2D2/2 torsion i den modsatte retning, og kraften i sektionens tyngdepunkt forårsager bøjning.

Lad os finde de periferiske kræfter P1 og P2:

Radiale kræfter T bestemmes af formlen:

3. Lad os konstruere diagrammer over bøjningsmomenter.

Diagram over kræfternes virkning i det vandrette plan.

Lad os bestemme støttereaktionerne:

Undersøgelse:

1. sektion (0

ved z=0,1 M=0,002 kNm.

2. sektion (0

M=RB·(0,1+z)+Т2·z.

ved z=0 M=0,002 kN·m, ved z=0,06 M=0,043 kN·m.

3. sektion (0

ved z=0,03 M=0,043 kNm.

Diagram over kræfternes virkning i det lodrette plan.

Undersøgelse:

Vi bygger et diagram over bøjningsmomenter.

1. sektion (0

ved z=0,1 M=0,25 kNm.

2. sektion (0

M=RB·(0,1+z)-R2·z.

ved z=0 M=0,25 kNm

ved z=0,06 M=0,2 kNm.

3. sektion (0

ved z=0,03 M=0,2 kNm.

Lad os konstruere et diagram over de samlede bøjningsmomenter. For at gøre dette skal du overveje flere sektioner af akslen og bestemme det samlede bøjningsmoment i dem ved hjælp af formlen:

Herfra får vi:

Momenterne for indre kræfter eller drejningsmomenter findes ved metoden med sektioner. Først er akslen opdelt i sektioner (mellem tilstødende remskiver)

derefter vælges en vilkårlig sektion ved hver sektion. Drejningsmomentet i denne sektion er lig med den algebraiske sum af momenterne af eksterne kræfter, der ligger på den ene side af sektionen. Inden for hver sektion er drejningsmomentet konstant. Tegnet på drejningsmomentet bestemmes af tegnet på de ydre momenter: retningen mod uret betragtes som positiv, når man ser på tværsnittet af akslen langs dens akse. I dette tilfælde kan du overveje enhver del af akslen på den ene side af sektionen.

1) For akslen i fig. 2, drejningsmomenter i sektioner:

1. afsnit:

2. afsnit:

M=0,2 kNm.

3. afsnit:

De resulterende diagrammer er vist i figur 2.

Figur 2 - Diagrammer af bøjnings- og momentmomenter.

For at vælge tværsnittet anvender vi energihypotesen om styrke:

Vi accepterer d1=70 mm, d2=120 mm.

Opgave 4

Til stålaksel med konstant tværsnit

1. Bestem værdien af ​​momenterne M 1, M 2, M 3, M 4;

2. Konstruer et diagram over drejningsmomenter;

3. Bestem akslens diameter ud fra beregninger af styrke og stivhed ved at tage tværsnittet af akslen - en cirkel

P 1 = 50 kW

P 3 = 15 kW

P 4 = 25 kW

w = 18 rad/sek

w = n = = 30*18/3,14 = 172 rpm

[ts 0 ] =0,02 rad/m - snoningsvinkel

G = 8*104 MPa

Vi bestemmer de ydre momenter:

Mi = 9550 = 9550 = 2776 Nm = 2,8 kNm;

M3 = 9550 = 9550 = 832,8 Nm = 0,83 kNm;

M4 = 9550 = 9550 = 1388 Nm = 1,4 kNm;

Lad os skrive den statiske ligning:

UM = M1 + M3 - M2 + M4 = 0

Og ud fra det finder vi værdien af ​​øjeblikket M 2:

M2 = M3 + M1 + M4 = 832,8 +2776 +1388 = 4996,8 Nm = 5 kNm;

Først og fremmest bygger vi et momentdiagram. Momentværdierne for sektionerne er som følger:

Ti = -M1 = -2,8 kNm;

T2 = -M1 - M3 = -2,8 - 0,83 = -3,63 kNm;

T3 = -M1 - M3 + M2 = -3,63 + 5 = 1,37 kNm.

Vi bygger diagrammer:

Skaftet er opdelt i tre sektioner I, II, III.

Vi finder det polære modstandsmoment for akslen, der kræves af styrkebetingelsen:

W p = = = 121 10 -6 m 3 = 121 cm 3

Diameteren af ​​det faste skaft bestemmes ved hjælp af formlen:

W p 0,2d c 3 = 121 cm 3,

d c 3 = = 8,46 cm 9 cm = 90 mm.

Derefter beregnes diametrene for akselsektionerne ud fra stivhedstilstanden, dvs. ved hjælp af formel

d gestus1 = = 0,1 m = 100 mm

d gestus2 = = 0,1068 m = 107 mm

d gestus1 = = 0,0837 m = 84 mm

De største diameterværdier beregnet ud fra stivhedstilstanden skal vælges som de endelige. Den endelige størrelse af akseldiameteren er således: d 1 = 107 mm.

Fra standardområdet: d 1 = 120 mm

Opgave 5

En remskive og et hjul er stift monteret på akslen,

Bestem kræfterne F 2 .F 2r = 0,4 F 1 hvis værdien af ​​kraften F 1 er givet

Lad os forestille os et fysisk system:

Vi løser problemet i følgende rækkefølge:

1. Vi skildrer i figuren kroppen, hvis ligevægt overvejes, med aktive og reaktive kræfter, der virker på den og vælger et system af koordinatakser;

2. Ud fra ligevægtstilstanden for et legeme med en fast akse bestemmer vi værdierne af kræfterne F 2, F r2;

3. sammensætte seks ligevægtsligninger;

4. løse ligninger og bestemme bærernes reaktioner;

5. Kontroller rigtigheden af ​​løsningen af ​​problemet.

1. Vi afbilder akslen med alle de kræfter, der virker på den, samt koordinatakserne

Overvej systemet af kræfter, der virker i systemet

Vi bestemmer belastningens komponenter fra siden af ​​remskiven

P 1 \u003d (2F 1 + F 1) \u003d 3 F 1 \u003d 3 * 280 \u003d 840 N \u003d 0,84 kN

2. Bestem F2 og Fr2. Fra ligevægtstilstanden for et legeme med en fast akse:

F2 = = = 507,5 H

Fr2 = 0,4F2 = 0,4*507,5 = 203 H

3. Opstil seks ligevægtsligninger:

YY = -P 1 - F 2 + A y + B y = 0 (1)

УX = -F 2r + A x + B x = 0 (2)

UM yC = -P 1 * 32 + A y * 20 - B y * 10 = 0 (3)

UM yB = - P 1 * 42 + A y * 30 - F 2 * 10 = 0 (4)

UM xC = A x * 20 - V x * 10 = 0 (5)

UM xB = A x * 30 + F 2r * 10 = 0 (6)

Overvej ligning (3) og (4)

840 * 32 + A y * 20 - B y * 10 = 0

840 * 42 + A y * 30 - 507,5 *10 = 0

Fra sidste ligning:

A y = 40355/30 = 1345 N

Fra den første ligning:

26880 + 26900 = 10*V y? Vy = 20/10 = 2 N

Overvej ligning (5) og (6)

A x * 20 - B x * 10 = 0

A x * 30 + 203 * 10 = 0

Fra den sidste ligning A x = 2030/30 = 67,7 N

Fra den første ligning: 1353,3 = 10*V y? Vy = 1353/10 = 135,3 N

Vi kontrollerer ved hjælp af ligning (1) og (2):

ÅÅ = -840 - 507,5 + 1345 + 2 = 0

УX = -203 + 67,7 + 135,3 = 0

Beregningerne er foretaget korrekt. De endelige reaktioner af støtte A og B er:

A = = = 1346,7 N

B = = = 135,3 N

Ved beregning af styrke i torsion (såvel som i spænding) kan tre problemer løses:

a) verifikationsberegning - kontroller om akslen kan modstå den påførte belastning;

b) designberegning - bestemme akslens dimensioner baseret på dens styrke;

c) beregning baseret på bæreevne - bestemme det maksimalt tilladte drejningsmoment.

1) ved hjælp af diagrammet over akslen og de torsionsmomenter, der virker på den, er et diagram over de indre drejningsmomenter konstrueret i individuelle sektioner;

2) vælg materialet til den beregnede aksel og bestem den tilladte spænding for dette materiale, for eksempel ifølge formel (5.9), ;

3) for akselsektionen med den maksimale modulværdi af drejningsmomentet, skriv vridningsstyrketilstanden ned

Designberegningen udføres ud fra styrkeforholdet ud fra følgende forhold:

For et solidt cirkulært snit kan vi herfra skrive et udtryk til bestemmelse af akslens diameter ud fra dens styrke:

Til ringformet sektion

Efter at have bestemt akslens dimensioner ud fra styrketilstanden, kontrolleres akslen for stivhed.

Stivhedsbetingelsen kræver, at den maksimale relative vridningsvinkel er mindre end eller i ekstreme tilfælde lig med den tilladte vridningsvinkel pr. længdeenhed af akslen, dvs.

Fra styrketilstanden kan man finde det polære modstandsmoment af sektionen, der er nødvendig for at sikre styrke, og derfra akslens diameter:

Men Wp = 0,2d 3, Derfor

Fra formel (5.11) kan du finde det nødvendige polære inertimoment for sektionen og ud fra det diameteren af ​​akslen

I denne formel skal den tilladte relative vridningsvinkel udtrykkes i radianer; hvis denne vinkel er angivet i grader, så forholdet til bestemmelse IP vil se sådan ud:

Men IP = 0,1d 4, derfor

Af de to diametre beregnet ved hjælp af formlerne (5.12) og (5.13) vælges den største som den endelige diameter, som normalt afrundes til hele millimeter.

I tilfælde af at beregne dimensionerne af en aksel med et ringformet tværsnit for et givet forhold mellem det indre d indvendige og udvendige diametre d, de der. for en given parameter k = d vn /d, formlerne (5.12) og (5.13) har formlen:

Eksempel 4.

Vælg diameteren på den massive aksels transmissionseffekt N= 450 hk ved rotationshastighed n= 300 rpm. Snoningsvinklen bør ikke overstige en grad pr. 2 meter skaftlængde; MPa, MPa.

Løsning.

Drejningsmomentet bestemmes ud fra ligningen

Diameteren af ​​akslen i henhold til styrketilstanden bestemmes ud fra ligningen

Skaftdiameteren i henhold til stivhedstilstanden bestemmes ud fra ligningen

Vi vælger den større størrelse 0,112 m.

Eksempel 5.

Der er to lige stærke aksler lavet af samme materiale, af samme længde, der overfører det samme drejningsmoment; en af ​​dem er solid og den anden er hul med en hulrumskoefficient. Hvor mange gange tungere er et massivt skaft end et hult skaft?

Løsning.

Aksler af samme styrke fremstillet af samme materiale anses for at være de aksler, hvor der ved samme drejningsmoment opstår de samme maksimale tangentielle spændinger, dvs.

Betingelsen for lige styrke bliver til tilstanden med lige store modstandsmomenter:

Hvor får vi det fra:

Forholdet mellem vægten af ​​to aksler er lig med forholdet mellem deres tværsnitsarealer:

Ved at erstatte forholdet mellem diametre i denne ligning fra betingelsen med samme styrke, opnår vi

Som dette resultat viser, er et hult skaft, der har samme styrke, dobbelt så let som et solidt. Dette forklares af det faktum, at på grund af den lineære lov om fordeling af tangentielle spændinger langs akslens radius er de indre lag relativt let belastede.

Eksempel 6.

Find effekten i kW, der overføres af akslen, hvis diameteren af ​​den massive aksel d=0,15 m, antallet af akselomdrejninger pr. minut n=120, forskydningsmodulet og vridningsvinklen for akselsektionen med en længde på 7,5 m er lig med 1/15 radianer.

Løsning.

Fra formlen

Lad os bestemme den transmitterede effekt

Eksempel 7.

Bestem med hvor mange procent den maksimale belastning på akslen under vridning vil stige, hvis der laves et centralt hul i akslen (C = 0,4).

Løsning.

Hvis vi antager, får vi følgende udtryk for spændingerne af massive og hule aksler:

Den ønskede spændingsforskel

Eksempel 8.

Udskift solid diameter aksel d=300 mm med et hult skaft af samme styrke med en udvendig diameter på =350 mm. Find den indvendige diameter af den hule aksel og sammenlign vægten af ​​disse aksler.

Løsning.

De højeste tangentielle spændinger i begge aksler skal være lig med hinanden:

Herfra bestemmer vi koefficienten MED

Hulaksel indvendig diameter

Forholdet mellem vægtene er lig med forholdet mellem tværsnitsarealerne:

Af de givne eksempler 5 og 6 er det klart, at produktionen af ​​hulaksler, dvs. aksler, hvori den let belastede indvendige del er fjernet, er et meget effektivt middel til at reducere materialeomkostninger og følgelig lette vægten af ​​akslerne. I dette tilfælde afviger de højeste spændinger, der opstår i en hul aksel, kun lidt fra de maksimale spændinger i en massiv aksel med samme ydre diameter.

Så i eksempel 5, på grund af boring ved , som letter akslen med 16 %, steg de maksimale spændinger i de ydre fibre af hulakslen kun med 2,6 %. I eksempel 6 viste et lige stærkt hult skaft, men med en lidt større ydre diameter sammenlignet med et massivt skaft, sig at være 53,4 % lettere end et massivt skaft. Disse eksempler demonstrerer klart rationaliteten i at bruge hule aksler, som er meget udbredt inden for nogle områder af moderne maskinteknik, især inden for motorbygning.

Eksempel 9.

På et afsnit af et solidt rundt skaft D=10 cm drejningsmoment påført T= 8 kNm. Kontroller styrken og stivheden af ​​akslen, hvis τ adm =50 MPa, TIL t adm =0,5 grader/m og forskydningsmodul G=0,8∙105 MPa.

Løsning.

Betingelse af sikker styrke

Efter at have udtrykt K t i dimensionen deg/m, får vi

som overstiger den tilladte relative vridningsvinkel K t adm =0,5 deg/m med 16 %.

Som følge heraf er akslens styrke sikret τ m ax = 40,75 MPa< 50 МПа, а жёсткость не обеспечена.

Eksempel 10

Ringformet stålaksel D=10 cm, d=8 cm belastes med et moment, der forårsager τ max =τ adm =70 MPa. Hvad sker der, hvis dette skaft udskiftes med et massivt rundt skaft med en diameter på 8 cm (materialet er bevaret).

Løsning.

Maksimal forskydningsspænding i akslen

Til en ringformet sektion og til et massivt skaft . Ifølge betingelsen for en ringformet aksel τ max = 70 MPa, er det indlysende, at for en massiv aksel vil de maksimale spændinger være større lige så mange gange, som dens modstandsmoment er mindre.

Eksempel 11.

For en massiv aksel (eksempel 10) skal du bestemme, om der er opstået plastiske deformationer, hvis det vides, at n adm = 1,8?

Løsning.

Til plastmaterialer n adm =τ max /τ adm, derfor τ у =70∙1,8=126 MPa.

Driftsspændingerne oversteg flydespændingen, hvilket resulterede i plastiske deformationer.

Eksempel 12.

Vridningsmomenter påføres stålakslen (se fig. 5.10): M 1, M 2, M 3, M 4. Påkrævet:

1) opbyg et diagram over drejningsmomenter;

2) for en given værdi, bestemme diameteren af ​​akslen baseret på styrke og afrund dens værdi til nærmeste større, henholdsvis lig med: 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100 mm;

3) konstruer et diagram af snoningsvinkler;

4) find den største relative drejningsvinkel.

Givet: M 1 = M 3 = 2 kNm, M 2 = M 4 = 1,6 kNm, a = b = c= 1,2 m, = 80 MPa.

Fig.5.10

Løsning.

1. Konstruer et diagram over drejningsmomenter.

Ved konstruktion af diagrammer M kr vil vi acceptere følgende tegnregel: drejningsmomentet anses for positivt, hvis, når man ser på enden af ​​den afskårne del af bjælken, det øjeblik, der virker på den, ser ud til at være rettet med uret.

De drejningsmomenter, der opstår i bjælkernes tværsnit, bestemmes ud fra de eksterne drejningsmomenter ved hjælp af snitmetoden. Baseret på snitmetoden er drejningsmomentet i et vilkårligt tværsnit af en bjælke numerisk lig med den algebraiske sum af de ydre vridningsmomenter påført bjælken på den ene side af det pågældende snit.

For bjælker, der har en fast (indstøbt) ende og en fri ende, er det praktisk at udtrykke drejningsmomenterne for alle tværsnit i form af eksterne momenter påført på den side af den pågældende sektion, hvor den frie ende er placeret. Dette giver dig mulighed for at bestemme drejningsmomenter uden at beregne det reaktive drejningsmoment, der forekommer i tætningen.

For at konstruere et diagram over drejningsmomenter er det nødvendigt at finde værdierne af drejningsmomenter på hver sektion af akslen.

Afsnit I ( KD):

Afsnit II ( SD):

III afsnit ( NE):

Afsnit IV ( VA):

Baseret på betydningen af ​​disse øjeblikke bygger vi et diagram M kr i den valgte skala. Positive værdier M vi sætter cr enerne op, de negative - ned fra nullinjen i diagrammet (se fig. 5.11). mm. Moment – ​​40 Nm. Forskydningsmodul af rørmateriale