La méthode de Gauss en est un exemple concret. Méthode de Gauss selon Vilenkin
L'un des moyens les plus simples de résoudre le système équations linéaires est une technique basée sur le calcul de déterminants ( La règle de Cramer). Son avantage est qu'il vous permet d'enregistrer immédiatement la solution, c'est particulièrement pratique dans les cas où les coefficients du système ne sont pas des nombres, mais une sorte de paramètres. Son inconvénient est la lourdeur des calculs dans le cas d'un grand nombre d'équations, de plus, la règle de Cramer n'est pas directement applicable aux systèmes dans lesquels le nombre d'équations ne coïncide pas avec le nombre d'inconnues. Dans de tels cas, il est généralement utilisé Méthode de Gauss.
Les systèmes d'équations linéaires qui ont le même ensemble de solutions sont appelés équivalent. Il est évident que l'ensemble des solutions système linéaire ne change pas si des équations sont échangées, ou si l'une des équations est multipliée par un nombre non nul, ou si une équation est ajoutée à une autre.
Méthode de Gauss (méthode exclusion séquentielle inconnu) réside dans le fait qu'à l'aide de transformations élémentaires, le système se réduit à un système pas à pas équivalent. Tout d'abord, à l'aide de la 1ère équation, X 1 de toutes les équations suivantes du système. Ensuite, en utilisant la 2ème équation, nous éliminons X 2 de la 3e et toutes les équations suivantes. Ce processus, appelé méthode de Gauss directe, continue jusqu'à ce qu'il ne reste plus qu'une inconnue du côté gauche de la dernière équation x n. Après cela, il est fait Inverse gaussien– en résolvant la dernière équation, on trouve x n; après cela, en utilisant cette valeur, à partir de l'avant-dernière équation, nous calculons x n-1 etc Dernière nous trouvons X 1 de la première équation.
Il est commode d'effectuer des transformations gaussiennes en effectuant des transformations non pas avec les équations elles-mêmes, mais avec les matrices de leurs coefficients. Considérez la matrice :
appelé étendu matrice système, car en plus de la matrice principale du système, il comprend une colonne de membres libres. La méthode de Gauss consiste à amener la matrice principale du système à une forme triangulaire (ou trapézoïdale dans le cas de systèmes non carrés) à l'aide de transformations de lignes élémentaires (!) de la matrice étendue du système.
Exemple 5.1. Résolvez le système en utilisant la méthode de Gauss :
Solution. Écrivons la matrice augmentée du système et, en utilisant la première ligne, après cela, nous mettrons le reste des éléments à zéro :
nous obtenons des zéros dans les 2e, 3e et 4e lignes de la première colonne :
Maintenant, nous avons besoin que tous les éléments de la deuxième colonne sous la 2e ligne soient égaux à zéro. Pour ce faire, vous pouvez multiplier la deuxième ligne par -4/7 et ajouter à la 3ème ligne. Cependant, afin de ne pas traiter les fractions, nous allons créer une unité dans la 2e ligne de la deuxième colonne et uniquement
Maintenant, pour obtenir une matrice triangulaire, vous devez mettre à zéro l'élément de la quatrième ligne de la 3ème colonne, pour cela vous pouvez multiplier la troisième ligne par 8/54 et l'ajouter à la quatrième. Cependant, afin de ne pas traiter les fractions, nous allons échanger les 3e et 4e lignes et les 3e et 4e colonnes, et seulement après cela, nous réinitialiserons l'élément spécifié. Notez que lorsque les colonnes sont réorganisées, les variables correspondantes sont permutées, et il faut s'en souvenir ; les autres transformations élémentaires avec des colonnes (addition et multiplication par un nombre) ne peuvent pas être effectuées !
La dernière matrice simplifiée correspond à un système d'équations équivalent à celui d'origine :
À partir de là, en utilisant le cours inverse de la méthode de Gauss, nous trouvons à partir de la quatrième équation X 3 = -1 ; à partir du troisième X 4 = -2, à partir de la seconde X 2 = 2 et de la première équation X 1 = 1. Sous forme matricielle, la réponse s'écrit
Nous avons considéré le cas où le système est défini, c'est-à-dire lorsqu'il n'y a qu'une seule solution. Voyons ce qui se passe si le système est incohérent ou indéterminé.
Exemple 5.2. Explorez le système en utilisant la méthode gaussienne :
Solution. Nous écrivons et transformons la matrice augmentée du système
On écrit un système simplifié d'équations :
Ici, dans la dernière équation, il s'est avéré que 0=4, c'est-à-dire contradiction. Par conséquent, le système n'a pas de solution, c'est-à-dire elle incompatible. à
Exemple 5.3. Explorez et résolvez le système en utilisant la méthode gaussienne :
Solution. Nous écrivons et transformons la matrice étendue du système :
À la suite des transformations, seuls des zéros ont été obtenus dans la dernière ligne. Cela signifie que le nombre d'équations a diminué de un :
Ainsi, après simplifications, il reste deux équations, et quatre inconnues, soit deux "extra" inconnus. Laissez "superflu", ou, comme on dit, variables libres, sera X 3 et X 4 . Alors
En supposant X 3 = 2un Et X 4 = b, on a X 2 = 1–un Et X 1 = 2b–un; ou sous forme matricielle
Une solution ainsi écrite s'appelle général, puisque, en donnant les paramètres un Et b différentes significations, vous pouvez tout décrire solutions possibles systèmes. un
Soit un système d'équations algébriques linéaires, qui doit être résolu (trouvez de telles valeurs des inconnues хi qui transforment chaque équation du système en une égalité).
On sait qu'un système d'équations algébriques linéaires peut :
1) N'avoir aucune solution (être incompatible).
2) Avoir une infinité de solutions.
3) Ayez une solution unique.
Comme on s'en souvient, la règle de Cramer et la méthode matricielle sont inadaptées dans les cas où le système a une infinité de solutions ou est incohérent. Méthode de Gauss – le plus puissant et outil universel trouver une solution à tout système d'équations linéaires, qui dans tous les cas conduisez-nous à la réponse! L'algorithme de la méthode dans les trois cas fonctionne de la même manière. Si les méthodes de Cramer et matricielles nécessitent une connaissance des déterminants, alors pour appliquer la méthode de Gauss, la connaissance n'est requise que opérations arithmétiques ce qui le rend accessible même aux élèves du primaire.
Transformations matricielles étendues ( c'est la matrice du système - une matrice composée uniquement des coefficients des inconnues, plus une colonne de termes libres) systèmes d'équations algébriques linéaires dans la méthode de Gauss :
1) Avec troky matrices Peut réarranger lieux.
2) s'il y a (ou il y a) des lignes proportionnelles (comme cas particulier - identiques) dans la matrice, alors il s'ensuit supprimer de la matrice, toutes ces lignes sauf une.
3) si une ligne nulle est apparue dans la matrice lors des transformations, alors il s'ensuit également supprimer.
4) la ligne de la matrice peut multiplier (diviser)à n'importe quel nombre autre que zéro.
5) à la ligne de la matrice, vous pouvez ajouter une autre chaîne multipliée par un nombre, différent de zéro.
Dans la méthode de Gauss, les transformations élémentaires ne changent pas la solution du système d'équations.
La méthode de Gauss comprend deux étapes :
- "Déplacement direct" - à l'aide de transformations élémentaires, amenez la matrice étendue du système d'équations algébriques linéaires à une forme échelonnée "triangulaire": les éléments de la matrice étendue situés sous la diagonale principale sont égaux à zéro (déplacement de haut en bas ). Par exemple, à ce genre :
Pour ce faire, effectuez les étapes suivantes :
1) Considérons la première équation d'un système d'équations algébriques linéaires et le coefficient en x 1 est égal à K. La deuxième, la troisième, etc. nous transformons les équations comme suit : nous divisons chaque équation (coefficients pour les inconnues, y compris les termes libres) par le coefficient pour l'inconnue x 1, qui se trouve dans chaque équation, et multiplions par K. Après cela, soustrayez la première de la deuxième équation ( coefficients pour les inconnues et les termes libres). Nous obtenons à x 1 dans la deuxième équation le coefficient 0. De la troisième équation transformée, nous soustrayons la première équation, donc jusqu'à ce que toutes les équations sauf la première, avec x 1 inconnu, n'auront pas de coefficient 0.
2) Passez à l'équation suivante. Soit ceci la deuxième équation et le coefficient en x 2 est égal à M. Avec toutes les équations "subordonnées", nous procédons comme décrit ci-dessus. Ainsi, "sous" l'inconnu x 2 dans toutes les équations seront des zéros.
3) On passe à l'équation suivante et ainsi de suite jusqu'à ce qu'il reste un dernier terme libre inconnu et transformé.
- Le "mouvement inverse" de la méthode de Gauss consiste à obtenir une solution à un système d'équations algébriques linéaires (le mouvement "ascendant"). De la dernière équation "inférieure", nous obtenons une première solution - l'inconnu x n. Pour ce faire, nous résolvons l'équation élémentaire A * x n \u003d B. Dans l'exemple ci-dessus, x 3 \u003d 4. Nous substituons la valeur trouvée dans la prochaine équation «supérieure» et la résolvons par rapport à la prochaine inconnue. Par exemple, x 2 - 4 \u003d 1, c'est-à-dire x 2 \u003d 5. Et ainsi de suite jusqu'à ce que nous trouvions toutes les inconnues.
Exemple.
Nous résolvons le système d'équations linéaires en utilisant la méthode de Gauss, comme certains auteurs le conseillent :
Nous écrivons la matrice étendue du système et, à l'aide de transformations élémentaires, nous l'amenons à une forme en escalier :
Nous regardons le "pas" en haut à gauche. Là, nous devrions avoir une unité. Le problème est qu'il n'y a personne du tout dans la première colonne, donc rien ne peut être résolu en réorganisant les lignes. Dans de tels cas, l'unité doit être organisée à l'aide d'une transformation élémentaire. Cela peut généralement se faire de plusieurs manières. Faisons comme ceci :
1 étape
. À la première ligne, nous ajoutons la deuxième ligne, multipliée par -1. C'est-à-dire que nous avons mentalement multiplié la deuxième ligne par -1 et effectué l'addition des première et deuxième lignes, tandis que la deuxième ligne n'a pas changé.
Maintenant en haut à gauche "moins un", ce qui nous convient parfaitement. Celui qui veut obtenir +1 peut effectuer une action supplémentaire : multiplier la première ligne par -1 (changer son signe).
2 étapes . La première ligne multipliée par 5 a été ajoutée à la deuxième ligne La première ligne multipliée par 3 a été ajoutée à la troisième ligne.
3 étapes . La première ligne a été multipliée par -1, en principe, c'est pour la beauté. Le signe de la troisième ligne a également été modifié et déplacé à la deuxième place, ainsi, à la deuxième "étape, nous avions l'unité souhaitée.
4 étapes . À la troisième ligne, ajoutez la deuxième ligne, multipliée par 2.
5 étapes . La troisième ligne est divisée par 3.
Un signe qui indique une erreur de calcul (moins souvent une faute de frappe) est un « mauvais » résultat net. Autrement dit, si nous obtenons quelque chose comme (0 0 11 | 23) ci-dessous, et, par conséquent, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, alors avec un degré de probabilité élevé, nous pouvons dire qu'une erreur a été commise au primaire métamorphoses.
Nous effectuons un mouvement inverse, dans la conception des exemples, le système lui-même n'est souvent pas réécrit et les équations sont «extraites directement de la matrice donnée». Le mouvement inverse, je vous le rappelle, fonctionne "de bas en haut". DANS cet exemple reçu un cadeau :
x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, donc x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1
Répondre:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.
Résolvons le même système en utilisant l'algorithme proposé. On a
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
Divisez la deuxième équation par 5 et la troisième par 3. Nous obtenons :
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
En multipliant les deuxième et troisième équations par 4, on obtient :
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
Soustrayez la première équation des deuxième et troisième équations, nous avons :
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
Divisez la troisième équation par 0,64 :
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
Multipliez la troisième équation par 0,4
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
Soustrayez la deuxième équation de la troisième équation, nous obtenons la matrice augmentée « en escalier » :
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
Ainsi, depuis une erreur accumulée dans le processus de calculs, nous obtenons x 3 \u003d 0,96, soit environ 1.
x 2 \u003d 3 et x 1 \u003d -1.
En résolvant de cette manière, vous ne serez jamais confus dans les calculs et, malgré les erreurs de calcul, vous obtiendrez le résultat.
Cette méthode de résolution d'un système d'équations algébriques linéaires est facilement programmable et ne tient pas compte des spécificités des coefficients pour les inconnues, car en pratique (dans les calculs économiques et techniques) on a affaire à des coefficients non entiers.
Je te souhaite du succès! Rendez-vous en classe ! Tuteur Dmitry Aistrakhanov.
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Aujourd'hui, nous traitons de la méthode de Gauss pour résoudre des systèmes d'équations algébriques linéaires. Vous pouvez lire sur ce que sont ces systèmes dans l'article précédent consacré à la résolution du même SLAE par la méthode Cramer. La méthode de Gauss ne nécessite aucune connaissance spécifique, seuls le soin et la cohérence sont nécessaires. Malgré le fait que du point de vue des mathématiques, la préparation scolaire suffit à son application, la maîtrise de cette méthode pose souvent des difficultés aux élèves. Dans cet article, nous allons essayer de les réduire à néant !
Méthode de Gauss
M Méthode de Gauss- la plupart méthode universelle Solutions SLAE (à l'exception, eh bien, très grands systèmes). Contrairement à celui discuté précédemment, il convient non seulement aux systèmes qui ont une solution unique, mais aussi aux systèmes qui ont un nombre infini de solutions. Il y a trois options ici.
- Le système a une solution unique (le déterminant de la matrice principale du système n'est pas égal à zéro) ;
- Le système a un nombre infini de solutions ;
- Il n'y a pas de solutions, le système est incohérent.
Donc, nous avons un système (qu'il ait une solution), et nous allons le résoudre en utilisant la méthode gaussienne. Comment ça fonctionne?
La méthode gaussienne se compose de deux étapes - directe et inverse.
Méthode de Gauss directe
Dans un premier temps, nous écrivons la matrice augmentée du système. Pour ce faire, nous ajoutons une colonne de membres libres à la matrice principale.
Tout l'intérêt de la méthode gaussienne est de réduire par des transformations élémentaires cette matriceà une forme étagée (ou comme on dit triangulaire). Sous cette forme, il ne devrait y avoir que des zéros sous (ou au-dessus) la diagonale principale de la matrice.
Ce qui peut être fait:
- Vous pouvez réorganiser les lignes de la matrice ;
- S'il y a des lignes identiques (ou proportionnelles) dans la matrice, vous pouvez toutes les supprimer sauf une ;
- Vous pouvez multiplier ou diviser une chaîne par n'importe quel nombre (sauf zéro) ;
- Les lignes zéro sont supprimées ;
- Vous pouvez ajouter une chaîne multipliée par un nombre non nul à une chaîne.
Méthode de Gauss inverse
Après avoir transformé le système de cette façon, une inconnue xn devient connue, et il est possible de trouver toutes les inconnues restantes dans l'ordre inverse, en substituant les x déjà connus dans les équations du système, jusqu'à la première.
Lorsque l'Internet est toujours à portée de main, vous pouvez résoudre le système d'équations en utilisant la méthode de Gauss en ligne . Tout ce que vous avez à faire est d'entrer les cotes dans le calculateur en ligne. Mais il faut l'avouer, c'est beaucoup plus agréable de se rendre compte que l'exemple n'a pas été résolu Programme d'ordinateur mais avec votre propre cerveau.
Un exemple de résolution d'un système d'équations à l'aide de la méthode de Gauss
Et maintenant - un exemple, pour que tout devienne clair et compréhensible. Soit un système d'équations linéaires donné, et il faut le résoudre par la méthode de Gauss :
Commençons par écrire la matrice augmentée :
Voyons maintenant les transformations. Rappelez-vous que nous devons obtenir une forme triangulaire de la matrice. Multipliez la 1ère rangée par (3). Multipliez la 2e rangée par (-1). Ajoutons la 2ème ligne à la 1ère et obtenons :
Multipliez ensuite la 3ème ligne par (-1). Ajoutons la 3ème ligne à la 2ème :
Multipliez la 1ère rangée par (6). Multipliez la 2e rangée par (13). Ajoutons la 2ème ligne à la 1ère :
Voila - le système est amené à la forme appropriée. Reste à trouver les inconnues :
Le système de cet exemple a une solution unique. Nous examinerons la solution de systèmes avec un ensemble infini de solutions dans un article séparé. Peut-être qu'au début vous ne saurez pas par où commencer avec les transformations matricielles, mais après une pratique appropriée, vous mettrez la main dessus et cliquerez sur le SLAE gaussien comme des noix. Et si vous tombez soudainement sur un SLAU, qui s'avère trop coriace, contactez nos auteurs ! vous pouvez en laissant une application dans la correspondance. Ensemble, nous résoudrons n'importe quel problème!
Carl Friedrich Gauss, le plus grand mathématicien pendant longtemps hésité entre la philosophie et les mathématiques. C'est peut-être précisément un tel état d'esprit qui lui a permis de "partir" si sensiblement dans la science mondiale. Notamment en créant la "Méthode de Gauss"...
Depuis près de 4 ans, les articles de ce site traitent de éducation scolaire, principalement du côté de la philosophie, les principes de (mal)compréhension, introduits dans l'esprit des enfants. Le temps est venu pour plus de détails, d'exemples et de méthodes ... Je crois que c'est l'approche du familier, déroutant et important domaines de la vie donne les meilleurs résultats.
Nous, les humains, sommes tellement arrangés que peu importe combien vous parlez de la pensée abstraite, Mais compréhension Toujours passe par des exemples. S'il n'y a pas d'exemples, alors il est impossible de saisir les principes ... Comme il est impossible d'être au sommet d'une montagne autrement qu'en parcourant toute sa pente depuis le pied.
Pareil pour l'école : pour l'instant histoires vivantes pas assez, nous continuons instinctivement à le considérer comme un lieu où l'on apprend aux enfants à comprendre.
Par exemple, enseigner la méthode de Gauss...
Méthode de Gauss en 5e année de l'école
Je fais une réserve tout de suite : la méthode de Gauss a bien plus application large, par exemple, lors de la résolution systèmes d'équations linéaires. Ce dont nous allons parler se passe en 5ème. Ce commencer, ayant compris lequel, il est beaucoup plus facile de comprendre plus "d'options avancées". Dans cet article, nous parlons de méthode (méthode) de Gauss pour trouver la somme d'une série
Voici un exemple que mon plus jeune fils a apporté de l'école, fréquentant la 5e année d'un gymnase de Moscou.
Démonstration scolaire de la méthode de Gauss
Professeur de mathématiques à l'aide de tableau blanc interactif ( méthodes modernes formation) a montré aux enfants une présentation de l'histoire de la "création de la méthode" par le petit Gauss.
L'instituteur a fouetté le petit Carl (une méthode obsolète, désormais inutilisée dans les écoles) pour avoir été,
au lieu d'ajouter séquentiellement des nombres de 1 à 100 pour trouver leur somme remarqué que des paires de nombres également espacés des bords d'une progression arithmétique s'additionnent pour donner le même nombre. par exemple, 100 et 1, 99 et 2. Après avoir compté le nombre de ces paires, le petit Gauss a presque instantanément résolu le problème proposé par le professeur. Pour lequel il a été soumis à l'exécution devant un public étonné. Pour le reste, penser était irrespectueux.
Qu'a fait le petit Gauss développé Le sens du nombre? Remarqué une caractéristique série de nombres à pas constant (progression arithmétique). ET exactement ça en fit plus tard un grand scientifique, capable de remarquer, possédant sentiment, instinct de compréhension.
C'est la valeur des mathématiques, qui développe capacité à voir général en particulier - la pensée abstraite. Par conséquent, la plupart des parents et des employeurs considèrent instinctivement les mathématiques comme une discipline importante ...
« Les mathématiques devraient être enseignées plus tard, afin de mettre l'esprit en ordre.
M.V. Lomonossov".
Cependant, les adeptes de ceux qui ont fouetté les futurs génies ont transformé la Méthode en quelque chose d'opposé. Comme il y a 35 ans, mon conseiller scientifique: "Apprenez la question." Ou, comme mon plus jeune fils l'a dit hier à propos de la méthode de Gauss : "Peut-être que ça ne vaut pas la peine d'en faire une grande science, hein ?"
Les conséquences de la créativité des "scientifiques" sont visibles au niveau des mathématiques scolaires actuelles, au niveau de son enseignement et à la compréhension de la "Reine des Sciences" par le plus grand nombre.
Cependant, continuons...
Méthodes d'explication de la méthode de Gauss en 5e année de l'école
Un professeur de mathématiques dans un gymnase de Moscou, expliquant la méthode de Gauss à la manière de Vilenkin, a compliqué la tâche.
Et si la différence (étape) d'une progression arithmétique n'était pas un, mais un autre nombre ? Par exemple, 20.
La tâche qu'il a confiée aux élèves de cinquième année :
20+40+60+80+ ... +460+480+500
Avant de se familiariser avec la méthode du gymnase, penchons-nous sur le Web : comment font les professeurs des écoles - tuteurs en mathématiques ? ..
Méthode de Gauss : Explication #1
Un tuteur bien connu sur sa chaîne YOUTUBE donne le raisonnement suivant :
"écrivons les nombres de 1 à 100 comme ceci :
d'abord une série de nombres de 1 à 50, et strictement en dessous une autre série de nombres de 50 à 100, mais dans l'ordre inverse"
1, 2, 3, ... 48, 49, 50
100, 99, 98 ... 53, 52, 51
"Veuillez noter : la somme de chaque paire de nombres des rangées du haut et du bas est la même et est égale à 101 ! Comptons le nombre de paires, c'est 50 et multiplions la somme d'une paire par le nombre de paires ! Voilà : la réponse est prête !".
"Si tu n'as pas compris, ne t'inquiète pas !", a répété trois fois le professeur pendant l'explication. "Vous réussirez cette méthode en 9e !"
Méthode de Gauss : Explication #2
Un autre tuteur, moins connu (à en juger par le nombre de vues) adopte une approche plus scientifique, proposant un algorithme de résolution en 5 points qui doit être complété en séquence.
Pour les non-initiés : le 5 fait partie des nombres de Fibonacci traditionnellement considérés comme magiques. La méthode en 5 étapes est toujours plus scientifique que la méthode en 6 étapes, par exemple. ... Et ce n'est pas un accident, très probablement, l'auteur est un adepte caché de la théorie de Fibonacci
Soit une progression arithmétique : 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .
Algorithme pour trouver la somme des nombres d'une série à l'aide de la méthode de Gauss :
4, 10, 16 ... 244, 250, 256
256, 250, 244 ... 16, 10, 4
En même temps, vous devez vous souvenir de plus une règle : un doit être ajouté au quotient résultant : sinon nous obtiendrons un résultat inférieur d'un au nombre réel de paires : 42 + 1 = 43.
C'est la somme souhaitée de la progression arithmétique de 4 à 256 avec une différence de 6 !
Méthode Gauss: explication en 5e année du gymnase de Moscou
Et voici comment il fallait résoudre le problème de trouver la somme d'une série :
20+40+60+ ... +460+480+500
en 5e année du gymnase de Moscou, le manuel de Vilenkin (selon mon fils).
Après avoir montré la présentation, le professeur de mathématiques a montré quelques exemples gaussiens et a donné à la classe la tâche de trouver la somme des nombres d'une série avec un pas de 20.
Cela nécessitait les éléments suivants :
Comme vous pouvez le voir, il est plus compact et technique efficace: le nombre 3 fait aussi partie de la suite de Fibonacci
Mes commentaires sur la version scolaire de la méthode de Gauss
Le grand mathématicien aurait définitivement choisi la philosophie s'il avait prévu en quoi ses disciples feraient de sa « méthode ». professeur d'allemand qui a fouetté Karl avec des tiges. Il aurait vu le symbolisme et la spirale dialectique et la bêtise éternelle des "professeurs" essayer de mesurer l'harmonie de la pensée mathématique vivante avec l'algèbre de l'incompréhension ....
Au fait, savez-vous. que notre système éducatif est enraciné dans l'école allemande des 18e et 19e siècles ?
Mais Gauss a choisi les mathématiques.
Quelle est l'essence de sa méthode ?
DANS simplification. DANS observer et capter modèles simples de nombres. DANS transformer l'arithmétique scolaire sèche en activité intéressante et amusante , activant le désir de continuer dans le cerveau, et ne bloquant pas l'activité mentale coûteuse.
Est-il possible de calculer la somme des nombres d'une progression arithmétique avec l'une des "modifications de la méthode de Gauss" ci-dessus immédiatement? Selon les "algorithmes", le petit Karl aurait eu la garantie d'éviter la fessée, de cultiver une aversion pour les mathématiques et de réprimer ses élans créatifs dans l'œuf.
Pourquoi le tuteur a-t-il conseillé avec tant d'insistance aux élèves de cinquième année de "ne pas avoir peur des malentendus" de la méthode, les convainquant qu'ils résoudraient "de tels" problèmes déjà en 9e année ? Action psychologiquement illettrée. C'était une bonne idée de noter: "À bientôt déjà en 5e année, vous pouvez résoudre des problèmes que vous ne passerez qu'en 4 ans ! Quels braves gens vous êtes !"
Pour utiliser la méthode gaussienne, le niveau 3 de la classe est suffisant quand les enfants normaux savent déjà additionner, multiplier et diviser des nombres à 2 ou 3 chiffres. Des problèmes surgissent en raison de l'incapacité des enseignants adultes qui "n'entrent pas" à expliquer les choses les plus simples dans un langage humain normal, pas seulement mathématique ... Ils ne sont pas capables d'intéresser les mathématiques et découragent complètement même les "capables".
Ou, comme l'a dit mon fils, "en faire une grande science".
Méthode de Gauss, mes explications
Ma femme et moi avons expliqué cette "méthode" à notre enfant, paraît-il, avant même l'école...
La simplicité au lieu de la complexité ou un jeu de questions - réponses
""Regardez, voici les nombres de 1 à 100. Que voyez-vous?"
Il ne s'agit pas de ce que l'enfant voit. L'astuce consiste à le faire paraître.
"Comment pouvez-vous les mettre ensemble?" Le fils a compris que de telles questions ne sont pas posées "comme ça" et que vous devez regarder la question "d'une manière ou d'une autre, différemment de ce qu'il fait habituellement"
Peu importe si l'enfant voit la solution tout de suite, c'est peu probable. Il est important qu'il cessé d'avoir peur de regarder, ou comme je dis: "a déplacé la tâche". C'est le début du chemin vers la compréhension
« Qu'est-ce qui est le plus simple : ajouter, par exemple, 5 et 6 ou 5 et 95 ? Une question directrice... Mais après tout, toute formation revient à "guider" une personne vers une "réponse" - de quelque manière que ce soit acceptable pour elle.
À ce stade, il peut déjà y avoir des suppositions sur la façon "d'économiser" sur les calculs.
Nous n'avons fait qu'un indice : la méthode de comptage « frontal, linéaire » n'est pas la seule possible. Si l'enfant a tronqué cela, il inventera plus tard de nombreuses autres méthodes de ce type, parce que c'est intéressant!!! Et il évitera certainement le "malentendu" des mathématiques, n'en ressentira pas de dégoût. Il a remporté la victoire !
Si bébé découvert que l'addition de paires de nombres qui totalisent une centaine est une tâche insignifiante, alors "progression arithmétique avec différence 1"- une chose plutôt morne et sans intérêt pour un enfant - du coup lui a donné vie . Du chaos est venu l'ordre, et c'est toujours enthousiaste : c'est ainsi que nous sommes!
Une question rapide : pourquoi, après l'insight d'un enfant, devrait-il être à nouveau entraîné dans le cadre d'algorithmes secs, qui sont également fonctionnellement inutiles dans ce cas ?!
Pourquoi faire une réécriture stupide des numéros d'ordre dans un cahier : pour que même les capables n'aient pas une seule chance de comprendre ? Statistiquement, bien sûr, mais l'éducation de masse est centrée sur les "statistiques"...
Où est passé zéro ?
Et pourtant, additionner des nombres qui totalisent 100 est bien plus acceptable pour l'esprit que de donner 101...
La "méthode de Gauss scolaire" exige exactement ceci : plier sans réfléchiréquidistant du centre de la progression d'une paire de nombres, Malgré tout.
Et si vous regardiez ?
Pourtant, zéro la plus grande invention l'humanité, qui a plus de 2 000 ans. Et les professeurs de mathématiques continuent de l'ignorer.
Il est beaucoup plus facile de convertir une série de nombres commençant à 1 en une série commençant à 0. La somme ne changera pas, n'est-ce pas ? Vous devez arrêter de "penser dans les manuels" et commencer à chercher ... Et de voir que les paires de somme 101 peuvent être complètement remplacées par des paires de somme 100 !
0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51
Comment abolir la « règle plus 1 » ?
Pour être honnête, j'ai entendu parler d'une telle règle pour la première fois par ce tuteur YouTube ...
Que dois-je encore faire lorsque je dois déterminer le nombre de membres d'une série ?
En regardant la séquence :
1, 2, 3, .. 8, 9, 10
et lorsqu'il est complètement fatigué, puis sur une ligne plus simple :
1, 2, 3, 4, 5
et je me dis : si vous soustrayez un de 5, vous obtenez 4, mais je suis assez clair voir 5 numéros ! Par conséquent, vous devez en ajouter un ! Sens du nombre développé en école primaire, suggère : même s'il y a tout un Google de membres de la série (10 à la puissance centième), le schéma restera le même.
Fuck les règles? ..
Alors que dans quelques - trois ans pour remplir tout l'espace entre le front et l'arrière de la tête et arrêter de penser ? Et si on gagnait du pain et du beurre ? Après tout, nous entrons par rangs égaux dans l'ère de l'économie numérique !
En savoir plus sur la méthode scolaire de Gauss : "pourquoi en faire de la science ? .."
Ce n'est pas en vain que j'ai posté une capture d'écran du carnet de mon fils...
« Qu'y avait-il dans la leçon ?
"Eh bien, j'ai tout de suite compté, levé la main, mais elle n'a pas demandé. Donc, pendant que les autres comptaient, j'ai commencé à faire DZ en russe pour ne pas perdre de temps. Puis, quand les autres ont fini d'écrire (?? ?), elle m'a appelé au tableau. J'ai dit la réponse.
"C'est vrai, montrez-moi comment vous l'avez résolu", a déclaré le professeur. J'ai montré. Elle a dit: "Faux, vous devez compter comme je l'ai montré!"
"C'est bien que je n'ai pas mis un diable. Et je me suis fait écrire le "processus de décision" à leur manière dans un cahier. Pourquoi en faire une grande science ? .."
Le crime principal d'un professeur de mathématiques
à peine après ce cas Carl Gauss a éprouvé un grand respect pour le professeur de mathématiques. Mais s'il savait comment disciples de ce professeur pervertir l'essence de la méthode... il aurait hurlé d'indignation et, par l'intermédiaire de l'Organisation Mondiale de la Propriété Intellectuelle OMPI, aurait obtenu l'interdiction d'utiliser sa bonne réputation dans les manuels scolaires ! ..
Quoi erreur principale approche scolaire? Ou, comme je l'ai dit, un crime professeurs d'école maths vs enfants ?
Algorithme mal compris
Que font les méthodologistes scolaires, dont la grande majorité ne sait pas penser ?
Créer des méthodes et des algorithmes (voir). Ce une réaction défensive qui protège les enseignants de la critique ("Tout est fait selon..."), et les enfants de la compréhension. Et donc - du désir de critiquer les enseignants!(La deuxième dérivée de la "sagesse" bureaucratique, une approche scientifique du problème). Une personne qui n'en saisit pas le sens blâmera plutôt son propre malentendu, et non la bêtise du système scolaire.
Ce qui se passe : les parents blâment les enfants, et les enseignants... pareil pour les enfants qui « ne comprennent pas les mathématiques !..
Êtes-vous avisé?
Qu'a fait le petit Carl ?
Approche absolument non conventionnelle d'une tâche de modèle. C'est la quintessence de Son approche. Ce la principale chose qui devrait être enseignée à l'école est de penser non pas avec des manuels, mais avec votre tête. Bien sûr, il y a aussi une composante instrumentale qui peut être utilisée... à la recherche de plus simple et méthodes efficaces comptes.
Méthode de Gauss selon Vilenkin
À l'école, ils enseignent que la méthode de Gauss consiste à
Quoi, si le nombre d'éléments dans la ligne est impair, comme dans la tâche qui a été confiée au fils ? ..
Le "truc" est que dans ce cas vous devriez trouver le numéro "extra" de la série et l'ajouter à la somme des paires. Dans notre exemple, ce nombre est 260.
Comment découvrir ? Réécrire toutes les paires de nombres dans un cahier !(C'est pourquoi l'enseignant a fait faire aux enfants ce travail stupide, en essayant d'enseigner la "créativité" en utilisant la méthode gaussienne... Et c'est pourquoi une telle "méthode" est pratiquement inapplicable aux grandes séries de données, Et c'est pourquoi ce n'est pas une gaussienne méthode).
Un peu de créativité dans la routine scolaire...
Le fils a agi différemment.
(20 + 500, 40 + 480 ...).
0+500, 20+480, 40+460 ...
Facile, non ?
Mais dans la pratique, cela devient encore plus facile, ce qui vous permet de réserver 2 à 3 minutes pour la télédétection en russe, tandis que le reste "compte". De plus, il retient le nombre d'étapes de la méthodologie : 5, ce qui ne permet pas de reprocher à l'approche d'être non scientifique.
Évidemment, cette approche est plus simple, plus rapide et plus polyvalente, dans le style de la Méthode. Mais ... le professeur non seulement n'a pas fait l'éloge, mais m'a aussi fait réécrire " le droit chemin"(Voir capture d'écran). C'est-à-dire qu'elle a fait une tentative désespérée pour étouffer l'impulsion créative et la capacité de comprendre les mathématiques dans l'œuf ! Apparemment, afin d'être embauchée plus tard comme tutrice ... Elle a attaqué le mauvais .. .
Tout ce que j'ai décrit si longuement et fastidieusement peut être expliqué à un enfant normal en une demi-heure maximum. Accompagné d'exemples.
Et pour qu'il ne l'oublie jamais.
Et ça va pas vers la compréhension...pas seulement les mathématiques.
Avouez-le : combien de fois dans votre vie avez-vous ajouté en utilisant la méthode de Gauss ? Et moi jamais !
Mais instinct de compréhension, qui se développe (ou s'éteint) dans le processus d'apprentissage méthodes mathématiquesà l'école... Oh !.. C'est vraiment une chose irremplaçable !
Surtout à l'ère de la numérisation universelle, dans laquelle nous sommes entrés tranquillement sous la stricte direction du Parti et du gouvernement.
Quelques mots pour la défense des enseignants...
Il est injuste et erroné de placer toute la responsabilité de ce style d'enseignement uniquement sur les enseignants. Le système est opérationnel.
Quelques les enseignants comprennent l'absurdité de ce qui se passe, mais que faire ? Loi sur l'éducation, normes d'éducation de l'État fédéral, méthodes, cartes technologiques leçons... Tout doit être fait « selon et basé sur » et tout doit être documenté. Écartez-vous - fait la queue pour le renvoi. Ne soyons pas hypocrites : le salaire des professeurs de Moscou est très bon... S'ils se font virer, où doivent-ils aller ?..
C'est pourquoi ce site pas sur l'éducation. Il est sur éducation individuelle, seul manière possible sortir de la foule Génération Z ...
Nous continuons à considérer des systèmes d'équations linéaires. Cette leçon est la troisième sur le sujet. Si vous avez une vague idée de ce qu'est un système d'équations linéaires en général, vous vous sentez comme une théière, alors je vous recommande de commencer par les bases à la page suivante, c'est utile pour étudier la leçon.
La méthode de Gauss est facile ! Pourquoi? Le célèbre mathématicien allemand Johann Carl Friedrich Gauss, de son vivant, a été reconnu comme le plus grand mathématicien de tous les temps, un génie, et même le surnom de "Roi des mathématiques". Et tout ce qui est ingénieux, comme vous le savez, est simple ! Soit dit en passant, non seulement les ventouses, mais aussi les génies tombent dans l'argent - le portrait de Gauss figurait sur un billet de 10 marks allemands (avant l'introduction de l'euro), et Gauss sourit toujours mystérieusement aux Allemands à partir de timbres-poste ordinaires.
La méthode de Gauss est simple dans la mesure où IL SUFFIT DE CONNAÎTRE UN ÉLÈVE DE CINQUIÈME ANNÉE pour la maîtriser. Doit être capable d'additionner et de multiplier! Ce n'est pas un hasard si la méthode d'élimination successive des inconnues est souvent envisagée par les professeurs des cours optionnels de mathématiques. C'est un paradoxe, mais la méthode de Gauss pose les plus grandes difficultés aux élèves. Rien d'étonnant - tout est question de méthodologie, et je vais essayer de parler sous une forme accessible de l'algorithme de la méthode.
Premièrement, nous systématisons un peu les connaissances sur les systèmes d'équations linéaires. Un système d'équations linéaires peut :
1) Avoir une solution unique. 2) Avoir une infinité de solutions. 3) N'ont pas de solutions (être incompatible).
La méthode de Gauss est l'outil le plus puissant et le plus polyvalent pour trouver une solution n'importe quel systèmes d'équations linéaires. Comme nous nous en souvenons Règle de Cramer et méthode matricielle ne conviennent pas dans les cas où le système a une infinité de solutions ou est incohérent. Une méthode d'élimination successive des inconnues De toute façon conduisez-nous à la réponse! Dans cette leçon, nous considérerons à nouveau la méthode de Gauss pour le cas n°1 (seule solution au système), un article est réservé aux situations des points n°2-3. Je note que l'algorithme de la méthode lui-même fonctionne de la même manière dans les trois cas.
Retour à le système le plus simple de la leçon Comment résoudre un système d'équations linéaires ? et résolvez-le en utilisant la méthode gaussienne.
La première étape consiste à écrire système matriciel étendu: . Selon quel principe les coefficients sont enregistrés, je pense que tout le monde peut le voir. La ligne verticale à l'intérieur de la matrice n'a aucune signification mathématique - c'est juste un barré pour faciliter la conception.
Référence : Je recommande de se souvenir conditions algèbre linéaire. Matrice du système est une matrice composée uniquement de coefficients pour les inconnues, dans cet exemple, la matrice du système : . Matrice système étendue est la même matrice du système plus une colonne de membres libres, dans ce cas : . N'importe laquelle des matrices peut être appelée simplement une matrice par souci de brièveté.
Une fois la matrice étendue du système écrite, il est nécessaire d'effectuer certaines actions avec elle, également appelées transformations élémentaires.
Il existe les transformations élémentaires suivantes :
1) Cordes matrices Peut réarranger lieux. Par exemple, dans la matrice considérée, vous pouvez réorganiser en toute sécurité les première et deuxième lignes : 
2) S'il y a (ou est apparu) des lignes proportionnelles (comme cas particulier - identiques) dans la matrice, alors il s'ensuit supprimer de la matrice, toutes ces lignes sauf une. Considérons, par exemple, la matrice 
. Dans cette matrice, les trois dernières lignes sont proportionnelles, il suffit donc d'en laisser une seule : 
.
3) Si une ligne zéro est apparue dans la matrice lors des transformations, alors il s'ensuit également supprimer. Je ne tracerai pas, bien sûr, la ligne zéro est la ligne dans laquelle seulement des zéros.
4) La ligne de la matrice peut être multiplier (diviser) pour n'importe quel nombre non nul. Considérons, par exemple, la matrice . Ici, il est conseillé de diviser la première ligne par -3, et de multiplier la deuxième ligne par 2 : 
. Cette action est très utile, car elle simplifie les transformations ultérieures de la matrice.
5) Cette transformation cause le plus de difficultés, mais en fait il n'y a rien de compliqué non plus. À la ligne de la matrice, vous pouvez ajouter une autre chaîne multipliée par un nombre, différent de zéro. Considérez notre matrice de étude de cas: . Tout d'abord, je vais décrire la transformation en détail. Multipliez la première ligne par -2 : 
, Et à la deuxième ligne on ajoute la première ligne multipliée par -2: 
. Maintenant, la première ligne peut être divisée "back" par -2 : . Comme vous pouvez le voir, la ligne qui est AJOUTÉE LI – n'a pas changé. Toujours la ligne est modifiée, À LAQUELLE AJOUTÉE Utah.
En pratique, bien sûr, ils ne peignent pas avec autant de détails, mais écrivent plus court : 
Encore une fois: à la deuxième ligne ajouté la première ligne multipliée par -2. La ligne est généralement multipliée oralement ou sur un brouillon, tandis que le déroulement mental des calculs ressemble à ceci:
« Je réécris la matrice et réécris la première ligne : 
»
Première colonne en premier. Ci-dessous, je dois obtenir zéro. Par conséquent, je multiplie l'unité ci-dessus par -2 :, et ajoute la première à la deuxième ligne : 2 + (-2) = 0. J'écris le résultat dans la deuxième ligne : 
»
« Maintenant la deuxième colonne. Au dessus de -1 fois -2 : . J'ajoute le premier à la deuxième ligne : 1 + 2 = 3. J'écris le résultat à la deuxième ligne : 
»
« Et la troisième colonne. Au dessus de -5 fois -2 : . J'ajoute la première ligne à la deuxième ligne : -7 + 10 = 3. J'écris le résultat dans la deuxième ligne : 
»
Veuillez réfléchir attentivement à cet exemple et comprendre l'algorithme de calcul séquentiel, si vous comprenez cela, alors la méthode de Gauss est pratiquement "dans votre poche". Mais, bien sûr, nous travaillons toujours sur cette transformation.
Les transformations élémentaires ne changent pas la solution du système d'équations
! ATTENTION: manipulations réfléchies ne peut pas utiliser, si on vous propose une tâche où les matrices sont données "par elles-mêmes". Par exemple, avec "classique" matrices en aucun cas vous ne devez réorganiser quelque chose à l'intérieur des matrices ! Revenons à notre système. Elle est pratiquement brisée en morceaux.
Écrivons la matrice augmentée du système et, à l'aide de transformations élémentaires, réduisons-la à vue en escalier:
(1) La première ligne a été ajoutée à la deuxième ligne, multipliée par -2. Et encore : pourquoi multiplie-t-on la première ligne par -2 ? Afin d'obtenir zéro en bas, cela signifie se débarrasser d'une variable dans la deuxième ligne.
(2) Divisez la deuxième rangée par 3.
Le but des transformations élémentaires
–
convertir la matrice en forme d'étape : 
. Dans la conception de la tâche, ils dessinent directement «l'échelle» avec un simple crayon et encerclent également les chiffres situés sur les «marches». Le terme « vue étagée » lui-même n'est pas entièrement théorique ; dans la littérature scientifique et pédagogique, il est souvent appelé vue trapézoïdale ou vue triangulaire.
Par transformations élémentaires, nous avons obtenu équivalent système d'équations d'origine :
Maintenant, le système doit être "sans torsion" dans la direction opposée - de bas en haut, ce processus s'appelle méthode de Gauss inverse.
Dans l'équation inférieure, nous avons déjà le résultat fini : .
Considérez la première équation du système et substituez-y la valeur déjà connue de "y":
Considérons la situation la plus courante, lorsque la méthode gaussienne est requise pour résoudre un système de trois équations linéaires à trois inconnues.
Exemple 1
Résolvez le système d'équations en utilisant la méthode de Gauss : 
Écrivons la matrice augmentée du système : 
Maintenant, je vais immédiatement tirer le résultat auquel nous arriverons au cours de la solution: 
Et je le répète, notre objectif est d'amener la matrice à une forme étagée en utilisant des transformations élémentaires. Par où commencer à agir ?
Tout d'abord, regardez le numéro en haut à gauche : 
Devrait presque toujours être ici unité. D'une manière générale, -1 (et parfois d'autres nombres) conviendra également, mais d'une manière ou d'une autre, il arrive traditionnellement qu'une unité y soit généralement placée. Comment organiser une unité ? Nous regardons la première colonne - nous avons une unité finie ! Première transformation : permutez les première et troisième lignes : 
Maintenant, la première ligne restera inchangée jusqu'à la fin de la solution. Maintenant bien.
Unité à gauche coin supérieur organisé. Vous devez maintenant obtenir des zéros à ces endroits : 
Les zéros sont obtenus simplement à l'aide d'une transformation "difficile". Premièrement, nous traitons la deuxième ligne (2, -1, 3, 13). Que faut-il faire pour obtenir zéro en première position ? Besoin de à la deuxième ligne ajouter la première ligne multipliée par -2. Mentalement ou sur un brouillon, on multiplie la première ligne par -2 : (-2, -4, 2, -18). Et nous effectuons systématiquement (encore une fois mentalement ou sur un brouillon) des ajouts, à la deuxième ligne, nous ajoutons la première ligne, déjà multipliée par -2:
Le résultat est écrit dans la deuxième ligne : 
De même, nous traitons la troisième ligne (3, 2, -5, -1). Pour obtenir zéro en première position, il faut à la troisième ligne ajouter la première ligne multipliée par -3. Mentalement ou sur un brouillon, on multiplie la première ligne par -3 : (-3, -6, 3, -27). ET à la troisième ligne on ajoute la première ligne multipliée par -3:
Le résultat est écrit dans la troisième ligne :
En pratique, ces actions sont généralement effectuées verbalement et écrites en une seule étape : 
Pas besoin de tout compter d'un coup et en même temps. L'ordre des calculs et "l'insertion" des résultats cohérent et généralement comme ceci : d'abord, nous réécrivons la première ligne, et nous soufflons tranquillement - CONSTANTE et ATTENTIVEMENT:
Et j'ai déjà considéré le déroulement mental des calculs eux-mêmes ci-dessus.
Dans cet exemple, c'est facile à faire, on divise la deuxième ligne par -5 (puisque tous les nombres qui s'y trouvent sont divisibles par 5 sans reste). En même temps, nous divisons la troisième ligne par -2, car plus le nombre est petit, plus la solution est simple :
Au stade final des transformations élémentaires, un zéro de plus doit être obtenu ici : 
Pour ça à la troisième ligne, nous ajoutons la deuxième ligne, multipliée par -2:
Essayez d'analyser cette action vous-même - multipliez mentalement la deuxième ligne par -2 et effectuez l'addition.
La dernière action effectuée est la coiffure du résultat, divisez la troisième ligne par 3.
À la suite de transformations élémentaires, un système initial équivalent d'équations linéaires a été obtenu : 
Cool.
Maintenant, le cours inverse de la méthode gaussienne entre en jeu. Les équations "se déroulent" de bas en haut.
Dans la troisième équation, nous avons déjà le résultat fini :
Regardons la deuxième équation : . La signification de "z" est déjà connue, ainsi :
Et enfin, la première équation : . "Y" et "Z" sont connus, la matière est petite :
Répondre: 
Comme cela a été noté à plusieurs reprises, pour tout système d'équations, il est possible et nécessaire de vérifier la solution trouvée, heureusement, ce n'est pas difficile et rapide.
Exemple 2
Ceci est un exemple d'auto-résolution, un exemple de finition et une réponse à la fin de la leçon.
Il convient de noter que votre ligne de conduite peut ne pas coïncider avec ma ligne de conduite, et c'est une caractéristique de la méthode de Gauss. Mais les réponses doivent être les mêmes !
Exemple 3
Résoudre un système d'équations linéaires en utilisant la méthode de Gauss 
Nous regardons le "pas" en haut à gauche. Là, nous devrions avoir une unité. Le problème est qu'il n'y a personne du tout dans la première colonne, donc rien ne peut être résolu en réorganisant les lignes. Dans de tels cas, l'unité doit être organisée à l'aide d'une transformation élémentaire. Cela peut généralement se faire de plusieurs manières. J'ai fait ça : (1) À la première ligne, nous ajoutons la deuxième ligne, multipliée par -1. C'est-à-dire que nous avons mentalement multiplié la deuxième ligne par -1 et effectué l'addition des première et deuxième lignes, tandis que la deuxième ligne n'a pas changé.
Maintenant en haut à gauche "moins un", ce qui nous convient parfaitement. Qui veut obtenir +1 peut effectuer un geste supplémentaire : multiplier la première ligne par -1 (changer son signe).
(2) La première ligne multipliée par 5 a été ajoutée à la deuxième ligne La première ligne multipliée par 3 a été ajoutée à la troisième ligne.
(3) La première ligne a été multipliée par -1, en principe, c'est pour la beauté. Le signe de la troisième ligne a également été modifié et déplacé à la deuxième place, ainsi, à la deuxième "étape, nous avions l'unité souhaitée.
(4) La deuxième ligne multipliée par 2 a été ajoutée à la troisième ligne.
(5) La troisième rangée a été divisée par 3.
Un mauvais signe qui indique une erreur de calcul (moins souvent une faute de frappe) est un « mauvais » résultat net. Autrement dit, si nous avons quelque chose comme ci-dessous, et, en conséquence, 
, alors avec un degré de probabilité élevé, on peut affirmer qu'une erreur a été commise au cours des transformations élémentaires.
Nous facturons le mouvement inverse, dans la conception des exemples, le système lui-même n'est souvent pas réécrit et les équations sont «extraites directement de la matrice donnée». Le mouvement inverse, je vous le rappelle, fonctionne de bas en haut. Oui, voici un cadeau :
Répondre: 
.
Exemple 4
Résoudre un système d'équations linéaires en utilisant la méthode de Gauss 
Ceci est un exemple de solution indépendante, c'est un peu plus compliqué. Ce n'est pas grave si quelqu'un s'embrouille. Solution complète et échantillon de conception à la fin de la leçon. Votre solution peut différer de la mienne.
Dans la dernière partie, nous considérons certaines caractéristiques de l'algorithme de Gauss. La première caractéristique est que parfois certaines variables manquent dans les équations du système, par exemple : 
Comment écrire correctement la matrice augmentée du système ? J'ai déjà parlé de ce moment dans la leçon. La règle de Cramer. Méthode matricielle. Dans la matrice élargie du système, on met des zéros à la place des variables manquantes : 
Soit dit en passant, c'est un exemple assez simple, puisqu'il y a déjà un zéro dans la première colonne, et il y a moins de transformations élémentaires à effectuer.
La deuxième caractéristique est celle-ci. Dans tous les exemples considérés, nous avons placé soit -1, soit +1 sur les « marches ». Pourrait-il y avoir d'autres numéros ? Dans certains cas, ils le peuvent. Considérez le système : 
.
Ici, sur le "pas" en haut à gauche, nous avons un deux. Mais nous remarquons le fait que tous les nombres de la première colonne sont divisibles par 2 sans reste - et encore deux et six. Et le diable en haut à gauche nous conviendra ! À la première étape, vous devez effectuer les transformations suivantes : ajoutez la première ligne multipliée par -1 à la deuxième ligne ; à la troisième ligne ajouter la première ligne multipliée par -3. Ainsi, nous obtiendrons les zéros souhaités dans la première colonne.
Ou alors comme ça exemple conditionnel: 
. Ici, le triple du deuxième « barreau » nous convient aussi, puisque 12 (l'endroit où il faut obtenir zéro) est divisible par 3 sans reste. Il est nécessaire d'effectuer la transformation suivante: à la troisième ligne, ajoutez la deuxième ligne, multipliée par -4, à la suite de quoi le zéro dont nous avons besoin sera obtenu.
La méthode de Gauss est universelle, mais il y a une particularité. Apprendre en toute confiance à résoudre des systèmes par d'autres méthodes (méthode de Cramer, méthode matricielle) peut être littéralement la première fois - il existe un algorithme très strict. Mais pour avoir confiance dans la méthode de Gauss, vous devez « remplir votre main » et résoudre au moins 5 à 10 systèmes à dix. Par conséquent, au début, il peut y avoir confusion, erreurs de calcul, et il n'y a rien d'inhabituel ou de tragique à cela.
Temps d'automne pluvieux à l'extérieur de la fenêtre .... Par conséquent, pour tout le monde, un exemple plus complexe pour une solution indépendante:
Exemple 5
Résolvez un système de 4 équations linéaires à quatre inconnues en utilisant la méthode de Gauss. 
Une telle tâche dans la pratique n'est pas si rare. Je pense que même une théière qui a étudié cette page en détail comprend intuitivement l'algorithme permettant de résoudre un tel système. Fondamentalement le même - juste plus d'action.
Les cas où le système n'a pas de solutions (incohérent) ou a une infinité de solutions sont considérés dans la leçon. Systèmes incompatibles et systèmes avec une solution commune. L'algorithme considéré de la méthode de Gauss peut également s'y fixer.
Je te souhaite du succès!
Solutions et réponses :
Exemple 2 :
Solution
:
Écrivons la matrice étendue du système et, à l'aide de transformations élémentaires, amenons-la à une forme échelonnée.
Transformations élémentaires effectuées :
(1) La première ligne a été ajoutée à la deuxième ligne, multipliée par -2. La première ligne a été ajoutée à la troisième ligne, multipliée par -1.
Attention!
Ici, il peut être tentant de soustraire le premier de la troisième ligne, je déconseille fortement de soustraire - le risque d'erreur augmente considérablement. Nous venons de plier!
(2) Le signe de la deuxième ligne a été modifié (multiplié par -1). Les deuxième et troisième lignes ont été permutées.
note
que sur les «étapes», nous nous contentons non seulement d'un, mais aussi de -1, ce qui est encore plus pratique.
(3) À la troisième ligne, ajoutez la deuxième ligne, multipliée par 5.
(4) Le signe de la deuxième ligne a été modifié (multiplié par -1). La troisième ligne était divisée par 14.
Mouvement inverse :
Répondre
:
.
Exemple 4 :
Solution
:
Nous écrivons la matrice étendue du système et, à l'aide de transformations élémentaires, nous l'amenons à une forme en escalier :
Conversions effectuées : (1) La deuxième ligne a été ajoutée à la première ligne. Ainsi, l'unité souhaitée est organisée sur le "pas" supérieur gauche. (2) La première ligne multipliée par 7 a été ajoutée à la deuxième ligne La première ligne multipliée par 6 a été ajoutée à la troisième ligne.
Avec la deuxième "étape" tout est pire , les "candidats" pour cela sont les nombres 17 et 23, et nous avons besoin soit d'un, soit de -1. Les transformations (3) et (4) auront pour but d'obtenir l'unité désirée (3) La deuxième ligne a été ajoutée à la troisième ligne, multipliée par -1. (4) La troisième ligne, multipliée par -3, a été ajoutée à la deuxième ligne. La chose nécessaire à la deuxième étape est reçue . (5) A la troisième ligne s'ajoute la seconde, multipliée par 6. (6) La deuxième ligne a été multipliée par -1, la troisième ligne a été divisée par -83.
Mouvement inverse :
Répondre :
Exemple 5 :
Solution
:
Écrivons la matrice du système et, à l'aide de transformations élémentaires, amenons-la à une forme par étapes :
Conversions effectuées : (1) Les première et deuxième lignes ont été permutées. (2) La première ligne a été ajoutée à la deuxième ligne, multipliée par -2. La première ligne a été ajoutée à la troisième ligne, multipliée par -2. La première ligne a été ajoutée à la quatrième ligne, multipliée par -3. (3) La deuxième ligne multipliée par 4 a été ajoutée à la troisième ligne La deuxième ligne multipliée par -1 a été ajoutée à la quatrième ligne. (4) Le signe de la deuxième ligne a été modifié. La quatrième ligne a été divisée par 3 et placée à la place de la troisième ligne. (5) La troisième ligne a été ajoutée à la quatrième ligne, multipliée par -5.
Mouvement inverse :
Répondre :