Exemples illustratifs de solutions aux expressions logarithmiques. Propriétés des logarithmes et exemples de leurs solutions

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Comme vous le savez, lors de la multiplication d'expressions avec des puissances, leurs exposants s'additionnent toujours (ab *a c = a b+c). Cette loi mathématique a été dérivée par Archimède et plus tard, au VIIIe siècle, le mathématicien Virasen a créé un tableau d'exposants entiers. Ce sont eux qui ont servi à la découverte ultérieure des logarithmes. Des exemples d'utilisation de cette fonction peuvent être trouvés presque partout où vous devez simplifier une multiplication fastidieuse par une simple addition. Si vous passez 10 minutes à lire cet article, nous vous expliquerons ce que sont les logarithmes et comment les utiliser. Dans un langage simple et accessible.

Définition en mathématiques

Un logarithme est une expression de la forme suivante : log a b=c, c'est-à-dire le logarithme de tout nombre non négatif(c'est-à-dire tout positif) « b » par sa base « a » est considéré comme la puissance de « c » à laquelle la base « a » doit être élevée pour obtenir finalement la valeur « b ». Analysons le logarithme à l'aide d'exemples, disons qu'il existe une expression log 2 8. Comment trouver la réponse ? C’est très simple, il faut trouver une puissance telle que de 2 à la puissance recherchée on obtienne 8. Après avoir fait quelques calculs dans sa tête, on obtient le chiffre 3 ! Et c’est vrai, car 2 à la puissance 3 donne la réponse 8.

Types de logarithmes

Pour de nombreux élèves et étudiants, ce sujet semble compliqué et incompréhensible, mais en fait les logarithmes ne sont pas si effrayants, l'essentiel est de comprendre leur signification générale et de mémoriser leurs propriétés et certaines règles. Il y en a trois espèce individuelle expressions logarithmiques :

1. Logarithme népérien ln a, où la base est le nombre d'Euler (e = 2,7).
2. Décimal a, où la base est 10.
3. Logarithme de n'importe quel nombre b en base a>1.

Chacun d'eux est décidé de manière standard, qui comprend la simplification, la réduction et la réduction ultérieure à un logarithme à l'aide de théorèmes logarithmiques. Pour obtenir les valeurs correctes des logarithmes, vous devez vous rappeler leurs propriétés et la séquence d'actions lors de leur résolution.

Règles et quelques restrictions

En mathématiques, il existe plusieurs règles-contraintes qui sont acceptées comme un axiome, c'est-à-dire qu'elles ne sont pas sujettes à discussion et sont la vérité. Par exemple, il est impossible de diviser des nombres par zéro, et il est également impossible d’extraire la racine paire de nombres négatifs. Les logarithmes ont également leurs propres règles, à la suite desquelles vous pouvez facilement apprendre à travailler même avec des expressions logarithmiques longues et volumineuses :

• La base « a » doit toujours être supérieure à zéro et non égale à 1, sinon l'expression perdra son sens, car « 1 » et « 0 » à quelque degré que ce soit sont toujours égaux à leurs valeurs ;
• si a > 0, alors a b >0, il s'avère que « c » doit également être supérieur à zéro.

Comment résoudre des logarithmes ?

Par exemple, la tâche est de trouver la réponse à l'équation 10 x = 100. C'est très simple, vous devez choisir une puissance en élevant le nombre dix auquel nous obtenons 100. Ceci, bien sûr, est 10 2 = 100.

Représentons maintenant cette expression sous forme logarithmique. On obtient log 10 100 = 2. Lors de la résolution de logarithmes, toutes les actions convergent pratiquement pour trouver la puissance à laquelle il faut entrer dans la base du logarithme pour obtenir un nombre donné.

Pour déterminer avec précision la valeur d'un diplôme inconnu, vous devez apprendre à travailler avec un tableau des diplômes. Cela ressemble à ceci :

Comme vous pouvez le constater, certains exposants peuvent être devinés intuitivement si vous avez un esprit technique et une connaissance de la table de multiplication. Cependant, pour des valeurs plus importantes, vous aurez besoin d’une table de puissance. Il peut être utilisé même par ceux qui ne connaissent rien aux sujets mathématiques complexes. La colonne de gauche contient des nombres (base a), la rangée supérieure de nombres est la valeur de la puissance c à laquelle le nombre a est élevé. A l'intersection, les cellules contiennent les valeurs numériques qui sont la réponse (a c =b). Prenons par exemple la toute première cellule avec le chiffre 10 et mettons-la au carré, nous obtenons la valeur 100, qui est indiquée à l'intersection de nos deux cellules. Tout est si simple et facile que même le plus véritable humaniste comprendra !

Équations et inégalités

Il s'avère que sous certaines conditions, l'exposant est le logarithme. Par conséquent, toute expression numérique mathématique peut être écrite sous la forme d’une égalité logarithmique. Par exemple, 3 4 = 81 peut être écrit comme le logarithme en base 3 de 81 égal à quatre (log 3 81 = 4). Pour les puissances négatives les règles sont les mêmes : 2 -5 = 1/32 on l'écrit sous forme de logarithme, on obtient log 2 (1/32) = -5. L’une des sections les plus fascinantes des mathématiques est celle des « logarithmes ». Nous examinerons ci-dessous des exemples et des solutions d'équations, immédiatement après avoir étudié leurs propriétés. Voyons maintenant à quoi ressemblent les inégalités et comment les distinguer des équations.

L'expression suivante est donnée : log 2 (x-1) > 3 - c'est une inégalité logarithmique, puisque la valeur inconnue « x » est sous le signe logarithmique. Et aussi dans l'expression deux quantités sont comparées : le logarithme du nombre souhaité en base deux est supérieur au nombre trois.

La différence la plus importante entre les équations logarithmiques et les inégalités est que les équations avec des logarithmes (par exemple, le logarithme 2 x = √9) impliquent une ou plusieurs valeurs numériques spécifiques dans la réponse, tandis que lors de la résolution d'une inégalité, la plage des valeurs acceptables les valeurs et les points sont déterminés en brisant cette fonction. En conséquence, la réponse n’est pas un simple ensemble de nombres individuels, comme dans la réponse à une équation, mais une série continue ou un ensemble de nombres.

Théorèmes de base sur les logarithmes

Lors de la résolution de tâches primitives consistant à trouver les valeurs du logarithme, ses propriétés peuvent ne pas être connues. Cependant, lorsqu'il s'agit d'équations ou d'inégalités logarithmiques, il est tout d'abord nécessaire de bien comprendre et d'appliquer dans la pratique toutes les propriétés de base des logarithmes. Nous examinerons des exemples d'équations plus tard ; examinons d'abord chaque propriété plus en détail.

1. L'identité principale ressemble à ceci : a logaB =B. Cela s'applique uniquement lorsque a est supérieur à 0, non égal à un, et B est supérieur à zéro.
2. Le logarithme du produit peut être représenté par la formule suivante : log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Dans ce cas, la condition obligatoire est : d, s 1 et s 2 > 0 ; une≠1. Vous pouvez donner une preuve de cette formule logarithmique, avec des exemples et une solution. Soit log a s 1 = f 1 et log a s 2 = f 2, puis a f1 = s 1, a f2 = s 2. On obtient que s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (propriétés de degrés ), puis par définition : log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, ce qui devait être prouvé.
3. Le logarithme du quotient ressemble à ceci : log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Le théorème sous forme de formule prend la forme suivante : log a q b n = n/q log a b.

Cette formule est appelée « propriété du degré du logarithme ». Cela ressemble aux propriétés des diplômes ordinaires, et ce n’est pas surprenant, car toutes les mathématiques sont basées sur des postulats naturels. Regardons la preuve.

Soit log a b = t, il s'avère que a t = b. Si on élève les deux parties à la puissance m : a tn = b n ;

mais puisque a tn = (a q) nt/q = b n, donc log a q b n = (n*t)/t, alors log a q b n = n/q log a b. Le théorème a été prouvé.

Exemples de problèmes et d’inégalités

Les types de problèmes les plus courants sur les logarithmes sont des exemples d’équations et d’inégalités. On les trouve dans presque tous les livres de problèmes et constituent également une partie obligatoire des examens de mathématiques. Pour l'admission à l'université ou le passage examens d'entrée en mathématiques, vous devez savoir comment résoudre correctement de tels problèmes.

Malheureusement, il n'existe pas de plan ou de schéma unique pour résoudre et déterminer la valeur inconnue du logarithme, mais certaines règles peuvent être appliquées à chaque inégalité mathématique ou équation logarithmique. Il convient tout d’abord de savoir si l’expression peut être simplifiée ou conduire à aspect général. Vous pouvez simplifier les expressions logarithmiques longues si vous utilisez correctement leurs propriétés. Faisons rapidement connaissance avec eux.

Au moment de décider équations logarithmiques, nous devons déterminer quel type de logarithme nous avons : un exemple d'expression peut contenir logarithme népérien ou décimal.

Voici les exemples ln100, ln1026. Leur solution se résume au fait qu’ils doivent déterminer la puissance à laquelle la base 10 sera respectivement égale à 100 et 1026. Pour résoudre des logarithmes naturels, vous devez appliquer des identités logarithmiques ou leurs propriétés. Examinons des exemples de résolution de problèmes logarithmiques de différents types.

Comment utiliser les formules logarithmiques : avec des exemples et des solutions

Voyons donc des exemples d'utilisation des théorèmes de base sur les logarithmes.

1. La propriété du logarithme d'un produit peut être utilisée dans des tâches où il est nécessaire de développer grande valeur nombres b en facteurs plus simples. Par exemple, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. La réponse est 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - comme vous pouvez le voir, en utilisant la quatrième propriété de la puissance du logarithme, nous avons réussi à résoudre une expression apparemment complexe et insoluble. Il vous suffit de factoriser la base puis de retirer les valeurs des exposants du signe du logarithme.

Devoirs de l'examen d'État unifié

On trouve souvent des logarithmes dans examens d'entrée, notamment de nombreux problèmes logarithmiques lors de l'examen d'État unifié (examen d'État pour tous les bacheliers). Habituellement, ces tâches sont présentes non seulement dans la partie A (la plus simple pièce d'essai examen), mais aussi dans la partie C (les tâches les plus complexes et les plus volumineuses). L'examen exige des informations précises et connaissance parfaite sujets "Logarithmes naturels".

Les exemples et les solutions aux problèmes sont tirés des sources officielles Options d'examen d'État unifié. Voyons comment ces tâches sont résolues.

Étant donné log 2 (2x-1) = 4. Solution :
réécrivons l'expression en la simplifiant un peu log 2 (2x-1) = 2 2, par la définition du logarithme on obtient que 2x-1 = 2 4, donc 2x = 17 ; x = 8,5.

• Il est préférable de réduire tous les logarithmes à la même base afin que la solution ne soit pas lourde et déroutante.
• Toutes les expressions sous le signe du logarithme sont indiquées comme positives, par conséquent, lorsque l'exposant d'une expression qui est sous le signe du logarithme et que sa base est retiré comme multiplicateur, l'expression restant sous le logarithme doit être positive.

Type de cours : leçon de généralisation et de systématisation des connaissances

Objectifs:

• mettre à jour les connaissances des étudiants sur les logarithmes et leurs propriétés dans le cadre du redoublement général et de la préparation à l'examen d'État unifié ;
• favoriser le développement de l'activité mentale des étudiants, leurs compétences dans l'application des connaissances théoriques lors de l'exécution d'exercices ;
• promouvoir le développement qualités personnellesétudiants, compétences de maîtrise de soi et auto-évaluation de leurs activités ; cultivez le travail acharné, la patience, la persévérance et l’indépendance.

Équipement: ordinateur, projecteur, présentation (Annexe 1), des fiches avec les devoirs (vous pouvez joindre un fichier avec la tâche dans l'agenda électronique).

Progression de la leçon

I. Moment organisationnel. Salutations, préparez-vous pour la leçon.

II. Discussion des devoirs.

III. Énoncez le sujet et le but de la leçon. Motivation.(Diapositive 1) Présentation.

Nous poursuivons notre révision générale du cours de mathématiques en préparation à l'examen d'État unifié. Et aujourd'hui, dans la leçon, nous parlerons des logarithmes et de leurs propriétés.

Les tâches de calcul de logarithmes et de conversion d'expressions logarithmiques sont nécessairement présentes dans les matériels de contrôle et de mesure des niveaux de base et de profil. Par conséquent, le but de notre leçon est de restaurer les idées sur le sens du concept « logarithme » et de mettre à jour les compétences de conversion d'expressions logarithmiques. Notez le sujet de la leçon dans vos cahiers.

IV. Actualisation des connaissances.

1. /Oralement/ Rappelons d’abord ce qu’on appelle un logarithme. (Diapositive 2)

(Le logarithme d'un nombre positif b en base a (où a > 0, a?1) est l'exposant auquel le nombre a doit être élevé pour obtenir le nombre b)

Journal a b = n<->une n = b, (une> 0, une 1, b> 0)

Ainsi, «LOGARITHME» est un «EXPONSEUR»!

(Diapositive 3) Alors a n = b peut être réécrit sous la forme = b – identité logarithmique de base.

Si la base a = 10, alors le logarithme est dit décimal et est noté lgb.

Si a = e, alors le logarithme est dit naturel et noté lnb.

2. /Par écrit/ (Diapositive 4) Remplissez les espaces pour obtenir les bonnes équations :

Enregistrer? x + Enregistrer un ? = Journal ? (?y)

Connectez-vous un? - Enregistrer? y = Journal ? (x/?)

Enregistrer un x ? = pLog? (?)

Examen:

1 ; 1 ; une,y,x ; x, une, une, y ; p, a, x.

Ce sont des propriétés des logarithmes. Et un autre groupe de propriétés : (Diapositive 5)

Examen:

une,1,n,x ; n,x,p,a; x,b,a,y; une,x,b; une,1,b.

V. Travail oral

(Diapositive 6) N°1. Calculer:

a) b) c) d) ; d) .

Réponses : a) 4; b) – 2 ; c) 2 ; d) 7 ; e) 27.

(Diapositive 7) N°2. Trouver X :

UN) ; b) (Réponses : a) 1/4 ; b)9).

N°3. Est-il logique de considérer un tel logarithme :

UN) ; b) ; V) ? (Non)

VI. Travail indépendant en groupe, étudiants forts - consultants. (Diapositive 8)

N ° 1. Calculez: .

#2 : Simplifier :

N ° 3. Trouvez la valeur de l'expression si

N ° 4. Simplifiez l'expression:

N ° 5. Calculez:

N° 6. Calculer :

N ° 7. Calculez:

N° 8. Calculer :

Une fois terminé, vérifiez et discutez à l'aide de la solution préparée ou à l'aide d'une caméra documentaire.

VII. Résoudre une tâche d’une complexité accrue(élève fort au tableau, le reste dans les cahiers) (Diapositive 9)

Trouvez le sens de l’expression :

VIII. Devoirs(sur cartes) différencié.(Diapositive 10)

N°1. Calculer:

Instructions

Écrivez l'expression logarithmique donnée. Si l'expression utilise le logarithme de 10, alors sa notation est raccourcie et ressemble à ceci : lg b est le logarithme décimal. Si le logarithme a le nombre e comme base, alors écrivez l'expression : ln b – logarithme népérien. Il est entendu que le résultat de any est la puissance à laquelle le nombre de base doit être élevé pour obtenir le nombre b.

Pour trouver la somme de deux fonctions, il suffit de les différencier une à une et d'additionner les résultats : (u+v)" = u"+v";

Pour trouver la dérivée du produit de deux fonctions, il faut multiplier la dérivée de la première fonction par la seconde et ajouter la dérivée de la deuxième fonction multipliée par la première fonction : (u*v)" = u"*v +v"*u;

Pour trouver la dérivée du quotient de deux fonctions, il faut soustraire du produit de la dérivée du dividende multiplié par la fonction diviseur le produit de la dérivée du diviseur multiplié par la fonction du dividende, et diviser tout cela par la fonction diviseur au carré. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2 ;

Si une fonction complexe est donnée, alors il est nécessaire de multiplier la dérivée de la fonction interne et la dérivée de la fonction externe. Soit y=u(v(x)), alors y"(x)=y"(u)*v"(x).

En utilisant les résultats obtenus ci-dessus, vous pouvez différencier presque toutes les fonctions. Alors regardons quelques exemples :

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3 ;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Il existe également des problèmes liés au calcul de la dérivée en un point. Soit la fonction y=e^(x^2+6x+5), vous devez trouver la valeur de la fonction au point x=1.
1) Trouvez la dérivée de la fonction : y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Calculer la valeur de la fonction dans point donné y"(1)=8*e^0=8

Vidéo sur le sujet

Conseils utiles

Apprenez le tableau des dérivées élémentaires. Cela permettra de gagner beaucoup de temps.

Sources :

• dérivée d'une constante

Alors, quelle est la différence entre une équation irrationnelle et une équation rationnelle ? Si la variable inconnue est sous le signe racine carrée, alors l’équation est considérée comme irrationnelle.

Instructions

La principale méthode pour résoudre de telles équations est la méthode de construction des deux côtés équations dans un carré. Cependant. c'est naturel, la première chose à faire est de vous débarrasser du panneau. Cette méthode n’est pas techniquement difficile, mais elle peut parfois entraîner des problèmes. Par exemple, l'équation est v(2x-5)=v(4x-7). En mettant les deux côtés au carré, vous obtenez 2x-5=4x-7. Résoudre une telle équation n’est pas difficile ; x=1. Mais le numéro 1 ne sera pas donné équations. Pourquoi? Remplacez-en un dans l'équation au lieu de la valeur de x et les côtés droit et gauche contiendront des expressions qui n'ont pas de sens, bien sûr. Cette valeur n'est pas valide pour une racine carrée. Donc 1 est une racine étrangère, et donc équation donnée n'a pas de racines.

Ainsi, une équation irrationnelle est résolue en utilisant la méthode de la quadrature de ses deux côtés. Et après avoir résolu l'équation, il est nécessaire de couper les racines superflues. Pour ce faire, remplacez les racines trouvées dans l'équation d'origine.

Considérez-en un autre.
2х+vх-3=0
Bien entendu, cette équation peut être résolue en utilisant la même équation que la précédente. Déplacer les composés équations, qui n'ont pas de racine carrée, dans côté droit puis utilisez la méthode du carré. résoudre l’équation rationnelle et les racines résultantes. Mais aussi un autre, plus élégant. Entrez une nouvelle variable ; vх=y. En conséquence, vous recevrez une équation de la forme 2y2+y-3=0. C'est-à-dire l'habituel équation quadratique. Retrouver ses racines ; y1=1 et y2=-3/2. Ensuite, résolvez deux équations vx=1 ; vх=-3/2. La deuxième équation n’a pas de racines ; à partir de la première, nous trouvons que x=1. N'oubliez pas de vérifier les racines.

Résoudre les identités est assez simple. Pour ce faire, il faut réaliser des transformations identiques jusqu'à ce que l'objectif fixé soit atteint. Ainsi, à l’aide du plus simple opérations arithmétiques la tâche à accomplir sera résolue.

Vous aurez besoin

• - papier;
• - stylo.

Instructions

Les plus simples de ces transformations sont les multiplications algébriques abrégées (telles que le carré de la somme (différence), la différence des carrés, la somme (différence), le cube de la somme (différence)). De plus, il existe de nombreuses formules trigonométriques, qui correspondent essentiellement aux mêmes identités.

En effet, le carré de la somme de deux termes est égal au carré du premier plus deux fois le produit du premier par le second et plus le carré du second, soit (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Simplifiez les deux

Principes généraux de la solution

Répétez le manuel sur l'analyse mathématique ou mathématiques supérieures, qui est une intégrale définie. Comme on le sait, la solution intégrale définie il existe une fonction dont la dérivée donne un intégral. Cette fonction est appelée primitive. Sur la base de ce principe, les principales intégrales sont construites.
Déterminez par le type de l'intégrande laquelle des intégrales de table convient dans ce cas. Il n'est pas toujours possible de le déterminer immédiatement. Souvent, la forme tabulaire ne devient perceptible qu'après plusieurs transformations visant à simplifier l'intégrande.

Méthode de remplacement des variables

Si l'intégrande est une fonction trigonométrique dont l'argument est un polynôme, essayez d'utiliser la méthode de changement de variables. Pour ce faire, remplacez le polynôme dans l'argument de l'intégrande par une nouvelle variable. Sur la base de la relation entre les nouvelles et anciennes variables, déterminer les nouvelles limites de l'intégration. Différenciation expression donnée trouver un nouveau différentiel dans . Vous obtiendrez donc nouveau look de l’intégrale précédente, proche ou même correspondant à n’importe quelle intégrale tabulaire.

Résolution d'intégrales du deuxième type

Si l'intégrale est une intégrale du deuxième type, une forme vectorielle de l'intégrande, vous devrez alors utiliser les règles pour le passage de ces intégrales aux intégrales scalaires. L’une de ces règles est la relation Ostrogradsky-Gauss. Cette loi permet de passer du flux rotorique d'une certaine fonction vectorielle à l'intégrale triple sur la divergence d'un champ vectoriel donné.

Substitution des limites d'intégration

Après avoir trouvé la primitive, il faut substituer les limites d'intégration. Tout d’abord, remplacez la valeur de la limite supérieure dans l’expression de la primitive. Vous obtiendrez un numéro. Ensuite, soustrayez du nombre obtenu un autre nombre obtenu à partir de la limite inférieure dans la primitive. Si l'une des limites de l'intégration est l'infini, alors en la substituant dans la fonction primitive, il faut aller à la limite et trouver vers quoi tend l'expression.
Si l'intégrale est bidimensionnelle ou tridimensionnelle, vous devrez alors représenter géométriquement les limites de l'intégration pour comprendre comment évaluer l'intégrale. En effet, dans le cas, par exemple, d'une intégrale tridimensionnelle, les limites de l'intégration peuvent être des plans entiers qui limitent le volume à intégrer.

Le problème B7 donne une expression qui doit être simplifiée. Le résultat doit être un nombre régulier qui peut être noté sur la feuille de réponses. Toutes les expressions sont classiquement divisées en trois types :

1. Logarithmique,
2. Indicatif,
3. Combiné.

Expressions exponentielles et logarithmiques dans forme pure ne se produisent pratiquement jamais. Cependant, il est absolument nécessaire de savoir comment ils sont calculés.

En général, le problème B7 est résolu assez simplement et est à la portée du diplômé moyen. Le manque d'algorithmes clairs est compensé par sa standardisation et sa monotonie. Vous pouvez apprendre à résoudre de tels problèmes simplement en grande quantité entraînement.

Expressions logarithmiques

La grande majorité des problèmes B7 impliquent des logarithmes sous une forme ou une autre. Ce sujet est traditionnellement considéré comme difficile, car son étude a généralement lieu en 11e année - l'ère de la préparation massive aux examens finaux. En conséquence, de nombreux diplômés ont une compréhension très vague des logarithmes.

Mais dans cette tâche, personne n’a besoin de connaissances théoriques approfondies. Nous ne rencontrerons que les expressions les plus simples qui nécessitent un raisonnement simple et peuvent être facilement maîtrisées de manière autonome. Vous trouverez ci-dessous les formules de base que vous devez connaître pour gérer les logarithmes :

De plus, vous devez pouvoir remplacer les racines et les fractions par des puissances par un exposant rationnel, sinon dans certaines expressions il n'y aura tout simplement rien à retirer sous le signe du logarithme. Formules de remplacement :

Tâche. Trouver le sens des expressions :
log 6 270 − log 6 7,5
log 5 775 − log 5 6,2

Les deux premières expressions sont converties en différence de logarithmes :
log 6 270 − log 6 7,5 = log 6 (270 : 7,5) = log 6 36 = 2 ;
log 5 775 − log 5 6,2 = log 5 (775 : 6,2) = log 5 125 = 3.

Pour calculer la troisième expression, vous devrez isoler les puissances - à la fois dans la base et dans l'argument. Tout d'abord, trouvons le logarithme interne :

Puis - externe :

Les constructions de la forme log a log b x semblent complexes et incomprises pour beaucoup. En attendant, ce n'est qu'un logarithme du logarithme, c'est-à-dire log a (log b x ). Tout d'abord, le logarithme interne est calculé (mettre log b x = c), puis le logarithme externe : log a c.

Expressions démonstratives

Nous appellerons expression exponentielle toute construction de la forme a k, où les nombres a et k sont des constantes arbitraires et a > 0. Les méthodes pour travailler avec de telles expressions sont assez simples et sont discutées dans les cours d'algèbre de 8e année.

Vous trouverez ci-dessous les formules de base que vous devez absolument connaître. L’application de ces formules dans la pratique ne pose généralement pas de problèmes.

1. une n · une m = une n + m ;
2. une n / une m = une n − m ;
3. (une n ) m = une n · m ;
4. (une · b ) n = une n · b n ;
5. (une : b ) n = une n : b n .

Si vous rencontrez une expression complexe avec des puissances et que vous ne savez pas comment l'aborder, utilisez une technique universelle - la décomposition en facteurs simples. Par conséquent gros chiffres dans les bases des diplômes sont remplacés par des éléments simples et compréhensibles. Il ne reste plus qu'à appliquer les formules ci-dessus - et le problème sera résolu.

Tâche. Trouvez les valeurs des expressions : 7 9 · 3 11 : 21 8, 24 7 : 3 6 : 16 5, 30 6 : 6 5 : 25 2.

Solution. Décomposons toutes les bases des pouvoirs en facteurs simples :
7 9 3 11 : 21 8 = 7 9 3 11 : (7 3) 8 = 7 9 3 11 : (7 8 3 8) = 7 9 3 11 : 7 8 : 3 8 = 7 3 3 = 189.
24 7 : 3 6 : 16 5 = (3 2 3) 7 : 3 6 : (2 4) 5 = 3 7 2 21 : 3 6 : 2 20 = 3 2 = 6.
30 6 : 6 5 : 25 2 = (5 3 2) 6 : (3 2) 5 : (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6 : 3 5 : 2 5 : 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .

Tâches combinées

Si vous connaissez les formules, toutes les expressions exponentielles et logarithmiques peuvent être résolues littéralement sur une seule ligne. Cependant, dans le problème B7, les puissances et les logarithmes peuvent être combinés pour former des combinaisons assez fortes.