Funkcionális növekedés. Előadás tanfolyam

Legyen adott függvény. Vegyük az argumentum két értékét: kezdeti és módosított, amit általában jelölnek
, ahol - az az összeg, amennyivel az argumentum megváltozik, amikor az első értékről a másodikra ​​lép, hívják argumentumnövekmény.

Az argumentum értékei és megfelelnek bizonyos függvényértékeknek: kezdeti és módosított
, érték , amellyel a függvény értéke megváltozik, ha az argumentum -kal változik, meghívásra kerül funkciónövekedés.

2. egy függvény határának fogalma egy pontban.

Szám függvény határértékének nevezzük
miközben arra törekedtünk ha bármilyen számra
van ilyen szám
, ez mindenkinek
az egyenlőtlenség kielégítése
, az egyenlőtlenség
.

Második definíció: Egy számot egy függvény határértékének nevezünk, ha bármely szám esetében van a pontnak olyan környéke, hogy ennek a szomszédságnak bármelyikéhez . Jelölve
.

3. végtelenül nagy és végtelenül kicsi függvények egy pontban. Egy pontban végtelenül kicsi függvény olyan függvény, amelynek határértéke az adott ponthoz közeledve nulla. Egy pontban végtelenül nagy függvény olyan függvény, amelynek határértéke, amikor egy adott pontra irányul, egyenlő a végtelennel.

4. fő tételek a határokról és az azokból származó következményekről (bizonyítás nélkül).

következmény: a konstans tényező kivehető a határ előjeléből:

Ha a sorozatok és konvergálnak, és a sorozat határértéke nem nulla, akkor

következmény: a konstans tényező kivehető a határ előjeléből.

11. ha a függvények korlátai vannak
És
és a függvény határértéke nem nulla,

akkor ezek arányának is van egy határa, amely megegyezik a függvények határértékeinek arányával és:

.

12. ha
, azután
, és fordítva is igaz.

13. tétel egy közbenső sorozat határértékéről. Ha a sorozatok
konvergáló, és
És
azután

5. függvényhatár a végtelenben.

Az a számot a függvény határértékének nevezzük a végtelenben, (ha az x végtelenbe hajlik), ha bármely végtelenbe hajló sorozat esetén
számra hajló értéksorozatnak felel meg de.

6. A numerikus sorozat határai.

Szám de számsorozat határértékének nevezzük, ha bármely pozitív szám esetén létezik olyan N természetes szám, hogy mindenre n> N az egyenlőtlenséget
.

Ezt szimbolikusan a következőképpen határozzuk meg:
becsületes .

Az a tény, hogy a szám de a sorozat határa, a következőképpen jelöljük:

.

7. "e" szám. természetes logaritmusok.

Szám "e" a numerikus sorozat határát jelenti, n- melynek tagja
, azaz

.

Természetes logaritmus – alaplogaritmus e. természetes logaritmusokat jelölünk
indoklás nélkül.

Szám
lehetővé teszi a tizedes logaritmusról a természetesre való váltást és fordítva.

, ezt a természetes logaritmusról a decimális logaritmusra való átmenet modulusának nevezik.

8. csodálatos határok
,

.

Az első figyelemre méltó határ:

így at

a közbülső sorozat határtételével

második figyelemre méltó határ:

.

A határ meglétének bizonyítására
bármilyen valós számhoz használd a lemmát:
És
az egyenlőtlenséget
(2) (mikor
vagy
az egyenlőtlenségből egyenlőség lesz.)

.

Most vegyünk egy segédsorozatot egy közös kifejezéssel
győződjön meg arról, hogy csökken, és alulról határos:
ha
, akkor a sorrend csökken. Ha
, akkor a sorozat alulról korlátos. Mutassuk meg:

egyenlőség miatt (2)

azaz
vagy
. Azaz a sorozat csökkenőben van, és azóta a sorozat alulról korlátos. Ha egy sorozat csökkenő és alulról korlátos, akkor van határa. Azután

határértéke és sorozata (1) van, mert

És
.

L. Euler ezt a határt nevezte el .

9. egyirányú korlátok, törés funkció.

az A szám a bal oldali határ, ha bármelyik sorozatra teljesül a következő: .

Az A szám a megfelelő határérték, ha bármelyik sorozatra teljesül a következő: .

Ha azon a ponton de a függvény vagy annak határa definíciós tartományába tartozó, a függvény folytonosságának feltétele sérül, akkor a pont de töréspontnak vagy függvénytörésnek nevezzük.ha, ahogy a pont törekszik

12. végtelenül csökkenő geometriai progresszió tagjainak összege. A geometriai progresszió olyan sorozat, amelyben a következő és az előző tagok aránya változatlan marad, ezt az arányt nevezzük a progresszió nevezőjének. Az első összege n egy geometriai progresszió tagjait a képlet fejezi ki
ez a képlet kényelmesen használható csökkenő geometriai progresszióhoz – olyan progresszióhoz, amelyben a nevező abszolút értéke kisebb, mint nulla. - az első tag; - progresszió nevezője; - a sorozat felvett tagjának száma. A végtelenül csökkenő progresszió összege az a szám, amelyhez a csökkenő progresszió első tagjainak összege korlátlanul közelít a szám korlátlan növekedésével.
azután. Egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió tagjainak összege a .

Legyen x– argumentum (független változó); y=y(x)- funkció.

Vegyük az argumentum fix értékét x=x 0 és számítsuk ki a függvény értékét y 0 =y(x 0 ) . Most önkényesen állítjuk be növekedés az érv (megváltoztatása) és jelölje azt  x ( x bármilyen előjelű lehet).

A növekményes érvelés egy pont x 0 +  x. Tegyük fel, hogy egy függvényértéket is tartalmaz y=y(x 0 +  X)(Lásd a képen).

Így az argumentum értékének tetszőleges megváltoztatásával a függvény változását kapjuk, amelyet ún növekedés függvényértékek:

és nem önkényes, hanem függ a függvény típusától és mennyiségétől
.

Az argumentum és a függvény növekménye lehet végső, azaz konstans számokkal fejezik ki, ilyenkor néha véges különbségeknek nevezik.

A közgazdaságtanban meglehetősen gyakran veszik figyelembe a véges növekményt. Például a táblázat egy bizonyos állam vasúthálózatának hosszára vonatkozó adatokat mutat be. Nyilvánvaló, hogy a hálózati hossznövekedés kiszámítása úgy történik, hogy az előző értéket kivonjuk a következőből.

A vasúthálózat hosszát függvénynek fogjuk tekinteni, melynek argumentuma az idő (év) lesz.

Önmagában a funkció növekedése (jelen esetben a vasúthálózat hossza) rosszul jellemzi a funkció változását. Példánkban attól, hogy 2,5>0,9 Nem lehet arra következtetni, hogy a hálózat gyorsabban növekedett 2000-2003 évben, mint ben 2004 pl., mert a növekmény 2,5 három éves időszakra vonatkozik, és 0,9 - mindössze egy év alatt. Ezért teljesen természetes, hogy a függvény növekedése egységnyi változáshoz vezet az argumentumban. Az argumentumnövekmény itt pontok: 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1 .

Azt kapjuk, amit a közgazdasági irodalom nevez átlagos éves növekedés.

Elkerülhető a növekménynek az argumentum változási egységébe való beírása, ha az argumentum eggyel eltérő értékeire vesszük a függvényértékeket, ami nem mindig lehetséges.

A matematikai elemzésben, különösen a differenciálszámításban, az argumentum és a függvény infinitezimális (IM) növekményeit veszik figyelembe.

Egy változó függvényének differenciálása (derivált és differenciál) Függvény deriváltja

Az argumentum és a függvény növekszik a pontban x 0 összehasonlítható infinitezimális mennyiségeknek tekinthetők (lásd 4. témakör, BM összehasonlítása), i.e. BM azonos sorrendben.

Ekkor az arányuknak véges határa lesz, amelyet a t függvény deriváltjaként definiálunk x 0 .

A függvénynövekmény és a BM argumentum növekmény arányának határa egy pontban x=x 0 hívott derivált funkciók ezen a ponton.

A vonásos származék (vagy inkább az I. római szám) szimbolikus megjelölését Newton vezette be. Használhat olyan alsó indexet is, amely megmutatja, hogy melyik változóból számítják ki a származékot, például . A deriváltszámítás alapítója, Leibniz német matematikus által javasolt másik jelölés is széles körben használatos:
. A megnevezés eredetéről a részben többet megtudhat Függvénydifferenciál és argumentumdifferenciál.

Ez a szám értékel sebesség ponton áthaladó függvény megváltoztatása
.

Telepítsük geometriai érzék függvény deriváltja egy pontban. Ebből a célból elkészítjük a függvény grafikonját y=y(x)és jelölje meg rajta a változást meghatározó pontokat y(x) közben

Egy függvény grafikonjának érintője egy pontban M 0
figyelembe vesszük a szekáns határhelyzetét M 0 M azzal a feltétellel
(pont M a függvény grafikonja mentén csúszik egy pontig M 0 ).

Fontolgat
. Magától értetődően,
.

Ha a lényeg M rohanjunk végig a függvény grafikonján a pont felé M 0 , majd az értéket
hajlamos lesz egy bizonyos határra, amit mi jelölünk
. Ahol.

Határszög  egybeesik a függvény grafikonjára húzott érintő dőlésszögével, incl. M 0 , tehát a származék
számszerűen egyenlő érintő lejtő a megadott ponton.

-

függvény deriváltjának geometriai jelentése egy pontban.

Így felírható az érintő és a normál egyenlete ( Normál az érintőre merőleges egyenes) a függvény grafikonjára egy bizonyos ponton x 0 :

Érintő - .

Normál -
.

Érdekesek azok az esetek, amikor ezek a vonalak vízszintesen vagy függőlegesen helyezkednek el (lásd a 3. témakört, a vonal helyzetének speciális esetei a síkon). Azután,

ha
;

ha
.

A derivált definícióját ún különbségtétel funkciókat.

 Ha a függvény a pontban x 0 véges származéka van, úgy hívják megkülönböztethető ezen a ponton. Azt a függvényt, amely valamely intervallum minden pontján differenciálható, ezen az intervallumon differenciálhatónak nevezzük.

 Tétel . Ha a funkció y=y(x) differenciálható t. x 0 , akkor ezen a ponton folyamatos.

Ily módon folytonosság szükséges (de nem elégséges) feltétele annak, hogy a függvény differenciálható legyen.

Legyen x tetszőleges pont, amely egy x 0 fix pont valamely szomszédságában fekszik. az x - x 0 különbséget általában a független változó növekményének (vagy az argumentum növekményének) nevezik az x 0 pontban, és Δx-szel jelöljük. Ily módon

Δx \u003d x - x 0,

honnan az következik

Funkciónövekmény − különbség két függvényérték között.

Hagyja a függvényt nál nél = f(x), a következővel egyenlő argumentumértékkel definiálva x 0 . Növeljük a D-t x, ᴛ.ᴇ. tekintsük a ͵ argumentum értékét egyenlőnek x 0+D x. Tegyük fel, hogy ez az argumentumérték is benne van ennek a függvénynek a hatókörében. Aztán a különbség D y = f(x 0+D X) – f(x0) függvény növekményének nevezzük. Funkciónövekedés f(x) azon a ponton x egy függvény, amelyet általában Δ-vel jelölnek x f az új Δ változón x ként meghatározott

Δ x f(Δ x) = f(x + Δ x) − f(x).

Keresse meg az argumentum növekményét és a függvény növekményét az x 0 pontban, ha

2. példa Határozza meg az f (x) \u003d x 2 függvény növekményét, ha x \u003d 1, ∆x \u003d 0,1

Megoldás: f (x) \u003d x 2, f (x + ∆x) \u003d (x + ∆x) 2

Határozzuk meg a ∆f = f(x+∆x) - f(x) = (x+∆x) 2 - x 2 = x 2 +2x*∆x+∆x 2 - x 2 = 2x*∆x + függvény növekményét ∆x 2 /

Helyettesítsük be az x=1 és ∆x= 0,1 értékeket, így ∆f = 2*1*0,1 + (0,1) 2 = 0,2+0,01 = 0,21

Keresse meg az argumentum növekményét és a függvény növekményét az x 0 pontokban

2.f(x) \u003d 2x 3, x 0 \u003d 3 x \u003d 2,4

3. f(x) \u003d 2x 2 +2 x 0 \u003d 1 x \u003d 0,8

4. f(x) \u003d 3x + 4 x 0 \u003d 4 x \u003d 3,8

Meghatározás: Derivált Szokásos egy függvényt egy pontban a függvény növekményének az argumentum növekményéhez viszonyított arányának határát (ha létezik és véges) hívni, feltéve, hogy ez utóbbi nullára hajlik.

A származékra leggyakrabban a következő jelölést használják:

Ily módon

A derivált megtalálását ún különbségtétel . Bemutatott differenciálható függvény meghatározása: Azt az f függvényt, amelynek valamely intervallum minden pontjában deriváltja van, ezen az intervallumon differenciálhatónak nevezzük.

Legyen egy függvény definiálva a pont valamelyik szomszédságában Egy függvény deriváltját szokás olyan számnak nevezni, hogy a szomszédságban lévő függvény U(x 0) így ábrázolható

f(x 0 + h) = f(x 0) + Ah + o(h)

ha létezik.

Egy függvény deriváltjának meghatározása egy pontban.

Hagyja a függvényt f(x) intervallumon határozzuk meg (a;b), és ennek az intervallumnak a pontjai.

Meghatározás. Származékos függvény f(x) egy ponton a függvény növekményének és az argumentum növekményének arányának határát szokás hívni. Kijelölve.

Amikor az utolsó határ egy meghatározott végső értéket vesz fel, akkor létezésről beszélünk végső derivált egy pontban. Ha a határ végtelen, akkor ezt mondjuk deriváltja egy adott pontban végtelen. Ha a határ nem létezik, akkor a függvény deriváltja ezen a ponton nem létezik.

Funkció f(x) Azt mondjuk, hogy egy olyan pontban differenciálható, amikor véges deriváltja van.

Abban az esetben, ha a függvény f(x) valamely intervallum minden pontján differenciálható (a;b), akkor a függvényt ezen az intervallumon differenciálhatónak nevezzük. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, bármely pont x a résből (a;b) a függvény deriváltjának értékét ezen a ponton tudjuk társítani, vagyis lehetőségünk van egy új függvény definiálására, amit a függvény deriváltjának nevezünk. f(x) az intervallumon (a;b).

A derivált megtalálásának műveletét differenciálásnak nevezzük.

Az életben nem mindig érdekel minket a mennyiségek pontos értéke. Néha érdekes tudni ennek az értéknek a változását, például a busz átlagos sebességét, a mozgás mennyiségének az időintervallumhoz viszonyított arányát stb. Egy függvény értékének bizonyos pontokon történő összehasonlításához ugyanazon függvény más pontokon lévő értékeivel, célszerű olyan fogalmakat használni, mint a "függvény növekménye" és az "argumentum növekménye".

A "függvény növekmény" és az "argumentum növekmény" fogalma

Tegyük fel, hogy x egy tetszőleges pont, amely az x0 pont valamely szomszédságában található. Az argumentum növekménye az x0 pontban az x-x0 különbség. A növekményt a következőképpen jelöljük: ∆x.

• ∆x=x-x0.

Néha ezt az értéket a független változó növekményének is nevezik az x0 pontban. A képletből következik: x = x0 + ∆x. Ilyen esetekben azt mondjuk, hogy az x0 független változó kezdeti értéke ∆x növekményt kapott.

Ha megváltoztatjuk az argumentumot, akkor a függvény értéke is megváltozik.

• f(x) - f(x0) = f(x0 + ∆х) - f(x0).

Az f függvény növekménye az x0 pontban, a megfelelő ∆x növekmény az f(x0 + ∆x) - f(x0) különbség. Egy függvény növekményét ∆f-ként jelöljük. Így definíció szerint a következőket kapjuk:

• ∆f= f(x0 + ∆x) - f(x0).

Néha ∆f-et a függő változó növekményének is nevezik, és ∆y-val jelöljük, ha a függvény például y=f(x) volt.

A növekedés geometriai értelme

Nézd meg a következő képet.

Amint látja, a növekmény a pont ordinátájának és abszcisszájának változását mutatja. A függvény növekményének és az argumentum növekményének aránya pedig meghatározza a pont kezdeti és végső helyzetén áthaladó szekáns dőlésszögét.

Vegyünk példákat a függvény- és argumentumnövekményre

1. példa Keresse meg a ∆x argumentum növekményét és a ∆f függvény növekményét az x0 pontban, ha f(x) = x 2, x0=2 a) x=1,9 b) x =2,1

Használjuk a fenti képleteket:

a) ∆х=х-х0 = 1,9 - 2 = -0,1;

• ∆f=f(1,9) - f(2) = 1,9 2 - 2 2 = -0,39;

b) ∆x=x-x0=2,1-2=0,1;

• ∆f=f(2,1) - f(2) = 2,1 2 - 2 2 = 0,41.

2. példa Számítsa ki az f(x) = 1/x függvény ∆f növekményét az x0 pontban, ha az argumentum növekménye egyenlő ∆x-szel.

Ismét a fent kapott képleteket használjuk.

• ∆f = f(x0 + ∆x) - f(x0) =1/(x0-∆x) - 1/x0 = (x0 - (x0+∆x))/(x0*(x0+∆x)) = - ∆x/((x0*(x0+∆x)).

az orvosi és biológiai fizikában

1. ELŐADÁS

DERIVATÍV ÉS DIFFERENCIÁLIS FUNKCIÓK.

MAGÁNSZÁRMAZÉKOK.

1. A származék fogalma, mechanikai és geometriai jelentése.

de ) Az argumentum és a függvény növekménye.

Legyen adott az y=f(х) függvény, ahol х a függvény tartományából származó argumentum értéke. Ha az xo és x argumentum két értékét választjuk ki a függvény tartományának egy bizonyos intervallumából, akkor az argumentum két értéke közötti különbséget az argumentum növekményének nevezzük: x - xo =∆x .

Az x argumentum értéke x 0-n és növekményén keresztül határozható meg: x = x o + ∆x.

Egy függvény két értéke közötti különbséget a függvény növekményének nevezzük: ∆y = ∆f = f(x o + ∆x) - f(x o).

Az argumentum és a függvény növekménye grafikusan ábrázolható (1. ábra). Az argumentum növekménye és a függvény növekménye lehet pozitív vagy negatív. Amint az 1. ábrából következik, geometriailag a ∆х argumentum növekményét az abszcissza növekménye, a ∆у függvény növekményét pedig az ordináta növekménye reprezentálja. A függvény növekményének kiszámítását a következő sorrendben kell elvégezni:

az argumentumnak egy ∆x növekményt adunk, és megkapjuk az - x + Δx értéket;

2) keresse meg a függvény értékét az argumentum értékéhez (х+∆х) – f(х+∆х);

3) keresse meg a ∆f=f(х + ∆х) - f(х) függvény növekményét!

Példa: Határozza meg az y=x 2 függvény növekményét, ha az argumentum x o =1-ről x=3-ra változott. Egy x o pont esetén az f (x o) \u003d x² o függvény értéke; egy pontra (xo + ∆x) az f (xo + ∆x) \u003d (xo + ∆x) 2 \u003d x² o +2x o ∆x + ∆x 2 függvény értéke, ahonnan ∆f = f ( xo + ∆x)–f(x o) \u003d (x o + ∆x) 2 -x² o \u003d x² o + 2x o ∆x + ∆x 2 -x² o \u003d 2x o ∆x + ∆x + 2; ∆f \u003d 2x körülbelül ∆x + ∆x 2; ∆х = 3–1 = 2; ∆f =2 1 2+4 = 8.

b)A derivált fogalmához vezető problémák. A származék definíciója, fizikai jelentése.

Az argumentum és a függvény növekményének fogalma szükséges ahhoz, hogy bemutassuk a derivált fogalmát, amely történetileg bizonyos folyamatok sebességének meghatározásának igényéből fakadt.

Fontolja meg, hogyan határozhatja meg az egyenes vonalú mozgás sebességét. Hagyja, hogy a test egyenes vonalban mozogjon a törvény szerint: ∆S= ·∆t. Egyenletes mozgáshoz:= ∆S/∆t.

Változó mozgás esetén a ∆S/∆t érték határozza meg az értéket vö. , azaz vö. =∆S/∆t. De az átlagsebesség nem teszi lehetővé a test mozgásának jellemzőinek tükrözését, és nem ad képet a valódi sebességről t időpontban. Az időintervallum csökkenésével, pl. ∆t→0-nál az átlagsebesség a határáig tart - a pillanatnyi sebességhez:

 inst. =
 vö. =
∆S/∆t.

A kémiai reakció pillanatnyi sebességét a következőképpen határozzuk meg:

 inst. =
 vö. =
∆х/∆t,

ahol x a kémiai reakció során t idő alatt képződő anyag mennyisége. A különböző folyamatok sebességének meghatározásához hasonló feladatok vezettek a függvény deriváltja fogalmának matematikai bevezetéséhez.

Legyen adott egy f(x) folytonos függvény, amely az ]a,b[ intervallumon definiálható, és ennek növekménye ∆f=f(x+∆x)–f(x).
∆x függvénye, és a függvény átlagos változási sebességét fejezi ki.

arányhatár , ha ∆x→0, feltéve, hogy ez a határ létezik, a függvény deriváltjának nevezzük :

y" x =

.

A származékot jelöljük:
- (y kötőjel az x-en); f " (x) - (ef prím x-en) ; y" - (y vonal); dy / dх – (de y a de x-en); - (y egy ponttal).

A derivált definíciója alapján azt mondhatjuk, hogy az egyenes vonalú mozgás pillanatnyi sebessége az út időbeli deriváltja:

 inst. \u003d S "t \u003d f " (t).

Ebből arra következtethetünk, hogy a függvény deriváltja az x argumentumhoz képest az f(x) függvény pillanatnyi változási sebessége:

y" x \u003d f " (х)= inst.

Ez a származék fizikai jelentése. A derivált megtalálásának folyamatát differenciálásnak nevezzük, ezért a „függvény megkülönböztetése” kifejezés egyenértékű a „függvény deriváltjának keresése” kifejezéssel.

ban ben)A származék geometriai jelentése.

P
az y = f(x) függvény deriváltjának egyszerű geometriai jelentése van, amely egy görbe vonal érintőjének fogalmához kapcsolódik valamely M pontban. Ugyanakkor az érintő, i.e. egy egyenest analitikusan a következőképpen fejezzük ki: y = kx = tg x, ahol – az érintő (egyenes) dőlésszöge az X tengelyhez. Ábrázoljunk egy folytonos görbét y \u003d f (x) függvényként, vegyünk egy M pontot a görbén és egy M 1 pontot a közelében, és rajzoljunk egy átjárható rajtuk. Lejtése sec-ig = tg β = .Ha az M 1 pontot közelebb hozzuk M-hez, akkor a ∆x argumentum növekménye nullára hajlik, és a β=α-nál lévő szekáns egy érintő helyzetét veszi fel. A 2. ábrából az következik: tgα =
tgβ =
\u003d y "x. De tgα egyenlő a függvény grafikonjának érintőjének meredekségével:

k = tgα =
\u003d y" x \u003d f " (X). Tehát a függvény grafikonjának érintőjének meredeksége egy adott pontban megegyezik a derivált értékével az érintkezési pontban. Ez a származék geometriai jelentése.

G)Általános szabály a származék megtalálására.

A derivált definíciója alapján a függvény differenciálásának folyamata a következőképpen ábrázolható:

f(x+∆x) = f(x)+∆f;

keresse meg a függvény növekményét: ∆f= f(x + ∆x) - f(x);

adja meg a függvény növekményének arányát az argumentum növekedéséhez:

;

Példa: f(x)=x2; f " (x)=?.

Azonban, amint az ebből az egyszerű példából is látható, ennek a szekvenciának a használata a származékok felvételekor fáradságos és összetett folyamat. Ezért a különféle függvényekhez általános differenciálási képleteket vezetnek be, amelyeket "A függvények megkülönböztetésének alapképletei" táblázat formájában mutatnak be.