Hvordan omkreds og areal beregnes. Sådan finder du omkredsen og arealet af et rektangel
Lektion og præsentation om emnet: "Omkreds og areal af et rektangel"
Yderligere materialer
Kære brugere, glem ikke at efterlade dine kommentarer, anmeldelser, ønsker. Alt materiale er blevet kontrolleret af et antivirusprogram.
Læremidler og simulatorer i Integral-onlinebutikken til 3. klasse
Træner for 3. klasse "Regler og øvelser i matematik"
Elektronisk lærebog for klasse 3 "Matematik på 10 minutter"
Hvad er rektangel og kvadrat
Rektangel er en firkant med alle rette vinkler. Det betyder, at modsatte sider er lig med hinanden.
Firkant er et rektangel med lige sider og lige vinkler. Det kaldes en regulær firkant.
Firkanter, inklusive rektangler og firkanter, er betegnet med 4 bogstaver - knudepunkter. Latinske bogstaver bruges til at betegne knudepunkter: A, B, C, D...
Eksempel. 
Det lyder sådan her: firkantet ABCD; kvadratisk EFGH.
Hvad er omkredsen af et rektangel? Formel til beregning af omkreds
Omkredsen af et rektangel er summen af længderne af alle sider af rektanglet eller summen af længden og bredden ganget med 2.Omkredsen er angivet med et latinsk bogstav P. Da omkredsen er længden af alle sider af rektanglet, skrives omkredsen i længdeenheder: mm, cm, m, dm, km.
For eksempel er omkredsen af rektangel ABCD betegnet som P ABCD, hvor A, B, C, D er hjørnerne af rektanglet.
Lad os nedskrive formlen for omkredsen af en firkant ABCD:
P ABCD = AB + BC + CD + AD = 2 * AB + 2 * BC = 2 * (AB + BC)
Eksempel.
Givet et rektangel ABCD med sider: AB=CD=5 cm og AD=BC=3 cm.
Lad os definere P ABCD.
Løsning:
1. Lad os tegne et rektangel ABCD med de originale data. 
2. Lad os skrive en formel til at beregne omkredsen af et givet rektangel:
P ABCD = 2 * (AB + BC)
P ABCD = 2 * (5 cm + 3 cm) = 2 * 8 cm = 16 cm
Svar: P ABCD = 16 cm.
Formel til beregning af omkredsen af et kvadrat
Vi har en formel til at bestemme omkredsen af et rektangel.P ABCD = 2 * (AB + BC)
Lad os bruge det til at bestemme omkredsen af et kvadrat. I betragtning af at alle sider af kvadratet er lige, får vi:
P ABCD = 4 * AB
Eksempel.
Givet et kvadrat ABCD med en side lig med 6 cm Lad os bestemme kvadratets omkreds.
Løsning.
1. Lad os tegne en firkant ABCD med de originale data.
2. Lad os huske formlen til at beregne omkredsen af et kvadrat:
P ABCD = 4 * AB
3. Lad os erstatte vores data med formlen:
P ABCD = 4 * 6 cm = 24 cm
Svar: P ABCD = 24 cm.
Problemer med at finde omkredsen af et rektangel
1. Mål bredden og længden af rektanglerne. Bestem deres omkreds. 
2. Tegn et rektangel ABCD med siderne 4 cm og 6 cm Bestem rektanglets omkreds.
3. Tegn en firkantet SEOM med en side på 5 cm Bestem firkantens omkreds.
Hvor bruges beregningen af omkredsen af et rektangel?
1. Der er givet en grund, den skal være omgivet af et hegn. Hvor langt vil hegnet være?
I denne opgave er det nødvendigt at beregne omkredsen af stedet nøjagtigt for ikke at købe overskydende materiale til at bygge et hegn.
2. Forældre besluttede at renovere børneværelset. Du skal kende rummets omkreds og dets område for korrekt at beregne mængden af tapet.
Bestem længden og bredden af det rum, du bor i. Bestem omkredsen af dit værelse.
Hvad er arealet af et rektangel?
Firkant er en numerisk karakteristik af en figur. Arealet måles i kvadratiske længdeenheder: cm 2, m 2, dm 2 osv. (kvadratcentimeter, kvadratmetre, kvadratisk decimeter osv.)I beregninger er det angivet med et latinsk bogstav S.
For at bestemme arealet af et rektangel skal du gange længden af rektanglet med dets bredde. 
Arealet af rektanglet beregnes ved at gange længden af AC med bredden af CM. Lad os skrive dette ned som en formel.
S AKMO = AK * KM
Eksempel.
Hvad er arealet af rektanglet AKMO, hvis siderne er 7 cm og 2 cm?
S AKMO = AK * KM = 7 cm * 2 cm = 14 cm 2.
Svar: 14 cm 2.
Formel til at beregne arealet af et kvadrat
Arealet af et kvadrat kan bestemmes ved at gange siden med sig selv.Eksempel. 
I dette eksempel beregnes arealet af kvadratet ved at gange siden AB med bredden BC, men da de er ens, er resultatet at gange siden AB med AB.
S ABCO = AB * BC = AB * AB
Eksempel.
Bestem arealet af en firkantet AKMO med en side på 8 cm.
S AKMO = AK * KM = 8 cm * 8 cm = 64 cm 2
Svar: 64 cm 2.
Problemer med at finde arealet af et rektangel og et kvadrat
1. Givet et rektangel med sider 20 mm og 60 mm. Beregn dens areal. Skriv dit svar i kvadratcentimeter.2. Der blev købt en dacha-plot, der måler 20 m gange 30 m. Bestem arealet af dacha-plottet og skriv svaret i kvadratcentimeter.
For at finde omkredsen og arealet af et rektangel skal du bruge kende formlerne og vigtigst af alt - kunne anvende dem at løse problemer - fordi de kommer i varierende grad af kompleksitet.
Meget ofte, når du løser problemer på let niveau, er det nok at kende de grundlæggende formler og løse dem blot ved at erstatte de nødvendige værdier.
Hvis problemerne er mere komplekse, og deres betingelser ikke indeholder de nødvendige data til formlen, skal du finde dem ved hjælp af andre algebraiske operationer.
I dette tilfælde kan følgende eksempel gives
du skal finde arealet af et rektangel, hvis dets omkreds er 120 cm og siderne er i forholdet 2 til 3
i første omgang lav en ligning for at finde siderne ved hjælp af perimeterformlen ( P=2(a+b):
2*(2x+3X)=120 løs det, x=12 betyder, at siderne er 24 cm og 36 cm, og nu erstatter vi værdierne i arealformlen S=ab og find det S=24*36=864 cm2.
Arealet af et rektangel er lig med produktet af længde og bredde og beregnes med formlen a*b, hvor a og b er rektanglets sider. Omkredsen af et rektangel er lig med summen af alle dets sider og beregnes med formlen a+b+a+b.
Find arealet af et rektangel - multiplicer længden af rektanglet med dets bredde.
Find omkredsen af et rektangel (summen af længderne af alle sider) - add blot længderne af alle sider, eller add længden af den tværgående side til længden af den langsgående side af rektanglet og gang den resulterende sum med to .
Hvis du forestiller dig, at din have er rektangulær i form, og du skal omgive området med et hegn, så vil du sandsynligvis blive stillet over for spørgsmålet om, hvor langt hegnet vil være for korrekt at beregne forbruget af byggematerialer. Du lægger længderne på hegnets sider sammen og finder PERIMETEREN. Hvis du spørger dig selv, hvor meget jord der skal graves op i dette område, skal du lede efter AREA, og for at gøre dette skal du gange længden med bredden af området, for som bekendt er de modsatte sider af et rektangel er parvis lige store. Glem ikke, at en firkant også er et rektangel; for at finde omkredsen af en firkant skal du gange længden med 4, og arealet - gange længden af siden af sig selv.
Lad os huske skolens matematikkursus. Så omkredsen af et rektangel findes ved formlen for summen af dets to sider ganget med 2. Det vil sige P = 2*(a+b), hvor a og b er rektanglets sider. Arealet findes derfor ved hjælp af formlen S=a*b, hvor a og b også er dets sider.
Hvis du ikke går ind i dybe detaljer, så er det meget simpelt at finde arealet og omkredsen af et geometrisk rektangel. Lad os betegne siderne af et sådant rektangel ved hjælp af latinske bogstaver: a, b, c og d. Lad a = c være længden af rektanglet, og b og d være rektanglets bredde.
Rektangel område:
Rektangel omkreds:
S = a + b + c + d
Omkredsen af et rektangel er længden af alle dets sider. Baseret på det faktum, at denne figur har fire sider eller to par, mens de modsatte sider er lig med hinanden, kan vi komme til den konklusion, at det er passende at tilføje værdierne af to sider af forskellig størrelse og gange resulterende værdi med to.
Det er også nemt at finde området: vi multiplicerer simpelthen siderne i forskellige størrelser.
Arealet beregnes ved at gange den lange side af et rektangel med den korte side. Og omkredsen er (lang side + kort side) * 2
Du kan gå den enkleste måde at finde arealet af et rektangel. Nemlig, gange længden af rektanglet (normalt a) med bredden af rektanglet (normalt B). Men vi leder efter omkredsen ved at tilføje alle sider, eller mere enkelt sagt: 2a+2b
Rektangel Dette er en geometrisk figur, nemlig en firkant med alle rette vinkler. Det viser sig, at modsatte sider er lig med hinanden.
Omkredsen af et rektangel Dette er summen af længderne af alle sider af rektanglet, eller summen af længden og bredden ganget med 2.
Omkreds er længden af alle sider af rektanglet, den måles i længdeenheder: cm, mm, m, dm, km.
P=AB+CD+AD+BC eller P=2*(AB+AD).
Firkant målt i kvadratiske længdeenheder: m2, cm2, dm2 og angivet med det latinske bogstav S.
For at bestemme arealet af et rektangel skal du gange længden af rektanglet med dets bredde.
Arealet af et rektangel beregnes ved at gange dets længde med dets bredde, hvor det resulterende produkt er arealet.
Omkredsen af rektanglet findes ved at summere længden og bredden, den resulterende sum skal også ganges med to, dette vil være den nødvendige omkreds.
Hvis et rektangel har to modsatte sider, så ganger vi dem simpelthen og får arealet, adderer og fordobler dem og får omkredsen. Men oftere i lærebøger gives de på en række forskellige måder - side og omkreds, side og areal, side og diagonal. Hvad skal man gøre i disse tilfælde.
Dette er den ideelle opgave.
Side og diagonal kan specificeres. I dette tilfælde finder vi den anden side ved hjælp af Pythagoras sætning - ligesom det andet ben i en trekant, hvor hypotenusen er rektanglets diagonal.
Som et resultat har vi disse formler til at finde omkredsen af et rektangel:
Og hvis vi blot transformerer de samme formler, får vi formler til at finde området i alle varianter af problemer:
Perimeter er et geometrisk udtryk, der ofte optræder i problemer. For at forstå, hvad en omkreds er, skal du tegne en vilkårlig polygon og bevæbne dig med en lineal. Oversat fra græsk betyder dette udtryk "jeg måler rundt."
Hvordan man beregner omkreds
Omkredsen er angivet med et latinsk bogstav P. Det kan måles i centimeter, millimeter, meter eller decimeter. For at finde omkredsen skal du måle længden af alle sider af polygonen. De resulterende værdier skal tilføjes. Den endelige sum vil være svaret på spørgsmålet: "Hvad er polygonens omkreds?"
Omkreds er længden af de linjer, der begrænser en lukket figur (firkant, rektangel, trekant osv.).
Foran dig er der for eksempel en polygon med siderne 10, 12, 13 og 11 cm Vi lægger ovenstående tal sammen (10+12+13+11) og får summen 46. Dette er polygonens omkreds.
For at gøre det nemmere at beregne omkredsen i geometri er der en række formler. Hver formel svarer til en bestemt figur.
Omkreds og areal af en firkant
Dette er summen af dets fire sider. Som vi ved, er alle sider af en firkant lige store. Derfor kan vi finde ud af omkredsen af et kvadrat ved at gange dets sidelængde med fire:
P= a+a+a+a
For eksempel har vi en firkant med en side på 10 cm.
Svar: 40 cm
P= 10+10+10+10
P=40
Svar: 40 cm
For at forstå, hvad omkreds og areal er, bør du forstå, at omkredsen beregner længden af konturen af en figur, og arealet er størrelsen af hele dens overflade.
For at finde ud af arealet af en firkant skal du bruge en simpel formel:
S er arealet og er siden af firkanten.
For eksempel angiver opgaven, at længden af siden af firkanten er 10 cm.
S= 100cm 2
Svar: 100 cm 2
Omkreds og areal af et rektangel
De sider af et rektangel, der er modsat hinanden og har samme længde, kaldes modsatte. Disse er længde og bredde, de er konventionelt betegnet med de latinske bogstaver a og b. Formlen til beregning af omkredsen af et rektangel ser sådan ud:
P= (a+b)*2
Ved hjælp af denne formel finder vi først summen af bredden og længden og gange det derefter med to.
For eksempel har vi et rektangel med en længde på 6 cm og en bredde på 2 cm.
P= (6+2) * 2
P= 16
Svar: 16 cm
For at finde ud af arealet af et rektangel skal du gange længden med bredden. Formlen ser således ud:
Eksempelvis siger opgavebetingelserne, at rektanglet har en længde på 5 cm og en bredde på 2 cm. Vi ændrer bogstaverne a og b til de angivne tal.
S= 5*2
S= 10 cm 2
Svar: 10 cm 2
Omkreds af en cirkel (omkreds)
Hver cirkel har et centrum. Afstanden fra centrum af cirklen til ethvert punkt på cirklen kaldes cirklens radius. Ofte forveksler eleverne begreberne "cirkel" og "cirkel" og forsøger at bestemme arealet af en cirkel. Dette er en alvorlig fejl. Du bør adskille begreberne "cirkel" og "cirkel" i dit hoved. En cirkel har ikke og kan ikke have areal, den har kun længde.
For at finde omkredsen af en cirkel skal du beregne dens omkreds. Der er en formel til at finde omkredsen af en cirkel:
L = 2πr
L- omkreds
π er tallet "pi", en matematisk konstant. Det er lig med forholdet mellem omkredsen af en cirkel og længden af dens diameter. Det gamle navn for tallet "pi" er Ludolphs nummer. Dette tal er irrationelt; dets decimalrepræsentation efter prikken slutter aldrig.
π = 3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502
For at lette beregningen bruges normalt værdien 3,14
R er radius af cirklen
D– Cirkeldiameter
Så for at bestemme omkredsen af en cirkel skal vi finde produktet af radius og 2π. Hvis problemet angiver en diameter, så
Foran os er der for eksempel en cirkel med en radius på 3 cm Lad os finde dens omkreds.
L= 2*3,14*3
L=6 π
L=6*3,14
L= 18,84 cm
PTil= 18,84 cm
Svar: 18,84 cm
Forskellen mellem omkreds og areal
Arealet er størrelsen af overfladen af en figur, og omkredsen er summen af dens grænser.
Arealet måles altid i kvadratenheder (cm 2, m 2, mm 2). Omkredsen måles i længdeenheder - centimeter, millimeter, meter, decimeter.
Blandt den uudtømmelige række af geometriske former er der dem, der er mest anvendelige i vores liv, for eksempel et parallelogram, en cirkel, en oval osv. Geometriske former er overalt, i forbindelse med dette er der ofte behov for at bestemme deres numeriske karakteristika: areal, omkreds, volumen.
Et rektangel har mange karakteristiske træk, på grundlag af hvilke regler for beregning af dets forskellige numeriske karakteristika er blevet udviklet. Altså et rektangel:- det er en flad geometrisk figur;
- det er en firkant;
- Dette er en figur, hvor modsatte sider er lige store og parallelle, alle vinkler er rette, dvs. ved 90°.
- der er et rektangel ABCD;
- sider AB og CD er 5 cm;
- sider BC og AD er 7 cm.
Ved løsning er det nødvendigt at tage højde for, at løse problemet med at finde arealet af et rektangel kun fra længden af dets sider det er forbudt.
Dette er nemt at verificere. Lad rektanglets omkreds være 20 cm. Dette vil være sandt, hvis dets sider er 1 og 9, 2 og 8, 3 og 7 cm. Alle disse tre rektangler vil have den samme omkreds, lig med tyve centimeter. (1 + 9) * 2 = 20 er nøjagtig det samme som (2 + 8) * 2 = 20 cm.
Som du kan se, kan vi vælge uendeligt mange muligheder dimensionerne af rektanglets sider, hvis omkreds vil være lig med den angivne værdi.
Arealet af rektangler med en given omkreds på 20 cm, men med forskellige sider, vil være anderledes. For det givne eksempel - henholdsvis 9, 16 og 21 kvadratcentimeter.
S 1 = 1 * 9 = 9 cm 2
S 2 = 2 * 8 = 16 cm 2
S 3 = 3 * 7 = 21 cm 2
Som du kan se, er der et uendeligt antal muligheder for arealet af en figur for en given omkreds.
For at beregne arealet af et rektangel fra dets omkreds skal du kende enten forholdet mellem dets sider eller længden af en af dem. Den eneste figur, der har en utvetydig afhængighed af sit område på sin omkreds, er en cirkel. Kun for cirkel og en mulig løsning.
I denne lektion:
- Problem 4. Ændring af længden af siderne, mens rektanglets areal bevares
Opgave 1. Find siderne af et rektangel fra området
Omkredsen af rektanglet er 32 centimeter, og summen af arealerne af kvadraterne bygget på hver af dets sider er 260 kvadratcentimeter. Find rektanglets sider.Løsning.
2(x+y)=32
I henhold til problemets betingelser vil summen af arealerne af kvadraterne konstrueret på hver af dens sider (hhv. fire kvadrater) være lig med
2x2 +2y2 =260
x+y=16
x=16-y
2(16-y)2+2y2=260
2(256-32y+y2)+2y2=260
512-64y+4y 2 -260=0
4y 2 -64y+252=0
D=4096-16x252=64
x 1 = 9
x 2 = 7
Lad os nu tage højde for det baseret på det faktum, at x+y=16 (se ovenfor) ved x=9, så y=7 og omvendt, hvis x=7, så y=9
Svar: Rektangelets sider er 7 og 9 centimeter
Opgave 2. Find siderne af et rektangel fra omkredsen
Omkredsen af rektanglet er 26 cm, og summen af arealerne af firkanterne bygget på dets to tilstødende sider er 89 kvadratmeter. cm Find rektanglets sider.
Løsning.
Lad os betegne siderne af rektanglet som x og y.
Så er omkredsen af rektanglet:
2(x+y)=26
Summen af arealerne af kvadraterne bygget på hver af dens sider (der er henholdsvis to kvadrater, og disse er kvadrater med bredde og højde, da siderne støder op til hinanden) vil være lig med
x2+y2=89
Vi løser det resulterende ligningssystem. Ud fra den første ligning udleder vi det
x+y=13
y=13-y
Nu udfører vi en substitution i den anden ligning, og erstatter x med dets ækvivalent.
(13-y)2+y2=89
169-26y+y2+y2-89=0
2y 2 -26y+80=0
Vi løser den resulterende andengradsligning.
D=676-640=36
x 1 = 5
x 2 = 8
Lad os nu tage højde for det baseret på det faktum, at x+y=13 (se ovenfor) ved x=5, så y=8 og omvendt, hvis x=8, så y=5
Svar: 5 og 8 cm
Opgave 3. Find arealet af et rektangel ud fra forholdet mellem dets sider
Find arealet af et rektangel, hvis dets omkreds er 26 cm, og dets sider er proportionale med 2 til 3.
Løsning.
Lad os betegne rektanglets sider med proportionalitetskoefficienten x.
Derfor vil længden af den ene side være lig med 2x, den anden - 3x.
Derefter:
2(2x+3x)=26
2x+3x=13
5x=13
x=13/5
Nu, baseret på de opnåede data, bestemmer vi arealet af rektanglet:
2x*3x=2*13/5*3*13/5=40,56 cm 2
Opgave 4. Ændring af længden af siderne, mens rektanglets areal bevares
Længden af rektanglet øges med 25%. Hvor mange procent skal bredden reduceres, så dens areal ikke ændres?Løsning.
Arealet af rektanglet er
S = ab
I vores tilfælde steg en af faktorerne med 25 %, hvilket betyder a 2 = 1,25a. Så det nye område af rektanglet skal være lig med
S2 = 1,25ab
For således at returnere rektanglets areal til den oprindelige værdi, så
S2 = S/1,25
S2 = 1,25ab / 1,25
Da den nye størrelse a ikke kan ændres, så
S2 = (1,25a) b/1,25
1 / 1,25 = 0,8
Værdien af den anden side skal således reduceres med (1 - 0,8) * 100% = 20%
Svar: bredden skal reduceres med 20%.