Find løsningen af \u200b\u200bden første ordre differentialekvation. Løsningen af \u200b\u200bde enkleste differentieringsligninger af den første rækkefølge
En almindelig differentialligning Det kaldes en ligning, der forbinder en uafhængig variabel, en ukendt funktion af denne variabel og dets derivater (eller differentier) af forskellige ordrer.
Rækkefølge af differentialekvationen Rækkefølgen af \u200b\u200bdet ældre derivat indeholdt i det kaldes.
Ud over de almindelige undersøges differentierede ligninger med private derivater også. Disse er ligninger, der forbinder uafhængige variabler, en ukendt funktion af disse variabler og dets private derivater i overensstemmelse med samme variabel. Men vi vil kun overveje almindelige differentielle ligninger. Og derfor vil være for korthed for at sænke ordet "almindeligt".
Eksempler på differentierende ligninger:
(1) 
;
(3) 
;
(4) 
;
Ligning (1) - Fjerde bekendtgørelse, ligning (2) - Tredje bekendtgørelse, ligning (3) og (4) - Anden rækkefølge, ligning (5) - Første orden.
Differentialligning n.-O ordre har ikke nødvendigvis en klart funktion, alle dets derivater fra den første til n.-O-ordre og uafhængig variabel. Det må ikke indeholde udtrykkeligt derivater af nogle ordrer, en funktion, en uafhængig variabel.
For eksempel er der i ligning (1) klart ingen tredje og anden ordensderivater såvel som funktioner; i ligning (2) - den anden rækkefølge og funktion derivat; i ligning (4) - en uafhængig variabel; I ligning (5) - funktioner. Kun i ligning (3) indeholder klart alle derivater, en funktion og en uafhængig variabel.
Ved at løse en differentiel ligning kaldet nogen funktion y \u003d f (x)Ved erstatning, som den adresserer identiteten i ligningen.
Processen med at finde en løsning af differentialekvationen kaldes den integration.
Eksempel 1. Find løsningen af \u200b\u200bdifferentialekvationen.
Afgørelse. Vi skriver denne ligning i formularen. Løsningen består i at finde en funktion af dets derivat. Den indledende funktion er kendt fra den integrerede calculus, der er en primitiv for, det vil sige.
Det er hvad det er løsning af denne differentialligning . Skift i det C.Vi vil modtage forskellige løsninger. Vi fandt ud af, at der er et uendeligt sæt af løsninger af den første ordre differentialekvation.
Den generelle løsning af differentialekvationen n.-O-ordre kaldes dens løsning, udtrykt udtrykkeligt i forhold til en ukendt funktion og indeholdende n. uafhængig vilkårlig konstant, dvs.
Opløsningen af \u200b\u200bdifferentialekvationen i eksempel 1 er almindelig.
Særlig løsning af differentialekvationen Denne opløsning kaldes, hvor specifikke numeriske værdier er fastgjort til en vilkårlig konstant.
Eksempel 2. Find en generel løsning af en differentialekvation og en bestemt løsning til 
.
Afgørelse. Vi integrerer begge dele af ligningen et sådant antal gange svarende til rækkefølgen af \u200b\u200bdifferentialekvationen.
,
.
Som følge heraf fik vi en generel løsning -
denne differentialligning af den tredje rækkefølge.
Find nu en privat løsning under de angivne betingelser. For at gøre dette vil vi erstatte i stedet for vilkårlig koefficienter af deres værdi og få
.
Hvis den oprindelige tilstand i formularen i tillæg til differentialekvationen er angivet, kaldes en sådan opgave cauchy opgave. . Generelt erstatter opløsningen af \u200b\u200bligningen værdierne og og finder værdien af \u200b\u200ben vilkårlig konstant C.og så den særlige løsning af ligningen med den fundne værdi C.. Dette er løsningen af \u200b\u200bcauchy problemet.
Eksempel 3. Løs det cauchy problem for en differentialligning fra eksempel 1 under tilstanden.
Afgørelse. Erstatte en løsning på værdien fra den oprindelige tilstand y. = 3, x. \u003d 1. modtage
Vi skriver ned løsningen af \u200b\u200bdet cauchy problem for denne førsteordens differentialekvation:
Når man løser differentialekvationer, kræves selv de enkleste, gode integrationsfærdigheder og derivater, herunder komplekse funktioner. Dette kan ses i det følgende eksempel.
Eksempel 4. Find en generel løsning af differentialekvationen.
Afgørelse. Ligningen registreres i en sådan form, at du straks kan integrere begge dele af den.
.
Anvend metoden til integration af en variabel udskiftning (substitution). Lad så.
Forpligtet til at tage dx. Og nu - opmærksomhed - vi gør dette i henhold til reglerne for differentiering af en kompleks funktion, siden x. Og der er en kompleks funktion ("Apple" - udvinding af en kvadratisk rod eller, at det samme er konstruktionen af \u200b\u200b"et sekund", og den "hakket" er det mest udtryk under roden):
Find en integreret:
Vender tilbage til variablen x.Vi får:
.
Dette er den samlede løsning af denne differentialligning af den første grad.
Ikke kun de færdigheder fra de foregående afsnit af den højeste matematik vil blive påkrævet i at løse differentialligninger, men også færdigheder fra elementær, det vil sige skolematikematik. Som nævnt kan i differentialekvationen af \u200b\u200benhver ordre ikke være en uafhængig variabel, det vil sige variabel x.. De vil hjælpe med at løse dette problem, er ikke glemt (dog nogen som) med en skolebænk viden om proportioner. Dette er følgende eksempel.
I. Ordinære differentielle ligninger
1.1. Grundlæggende koncepter og definitioner
Differentialekvationen kaldes en ligning, der forbinder en uafhængig variabel x., ønsket funktion y. og dets derivater eller differentier.
Symbolisk differentialekvation er skrevet som følger:
F (x, y, y ") \u003d 0, f (x, y, y") \u003d 0, f (x, y, y, y, y, .., y (n)) \u003d 0
Differentialekvationen kaldes almindelig, hvis den ønskede funktion afhænger af en uafhængig variabel.
Ved at løse en differentiel ligning Denne funktion kaldes, der trækker denne ligning til identitet.
Rækkefølge af differentialekvationen kaldet rækkefølgen af \u200b\u200bdet ældre derivat indkommende i denne ligning
Eksempler.
1. Overvej den første ordre differentialekvation
Ved løsningen af \u200b\u200bdenne ligning er funktionen Y \u003d 5 ln x. Virkelig, erstattet y " I ligningen opnår vi - identitet.
Og det betyder, at funktionen Y \u003d 5 Ln X er løsningen af \u200b\u200bdenne differentialligning.
2. Overvej den anden ordre differentialekvation y "- 5Y" + 6Y \u003d 0. Funktionen er løsningen af \u200b\u200bdenne ligning.
Ja.
At erstatte disse udtryk til ligningen, vi får: - - identitet.
Og det betyder, at funktionen er løsningen af \u200b\u200bdenne differentialligning.
Integrering af differentielle ligninger. Processen med at finde løsninger af differentielle ligninger kaldes.
Den generelle løsning af differentialekvationen kaldte typen af \u200b\u200btype 
som omfatter så mange uafhængige vilkårlige konstanter, hvad er ordren af \u200b\u200bligningen.
Særlig løsning af differentialekvationen Løsningen opnået fra den samlede opløsning kaldes med forskellige numeriske værdier af vilkårlig konstanter. Værdierne for vilkårlig konstanter er under visse indledende værdier af argumentet og funktionen.
Diagrammet for en privat løsning af differentialekvationen kaldes integral kurve..
Eksempler.
1.iti privat løsning af den første ordre differentialekvation
xDX + YDY \u003d 0, hvis en y.\u003d 4 x. = 3.
Afgørelse. Integrering af begge dele af ligningen, vi får
Kommentar. En vilkårlig konstant med den resulterende integration kan repræsenteres i en hvilken som helst form, der er bekvemt for yderligere transformationer. I dette tilfælde under hensyntagen til den kanoniske cirkelligning en vilkårlig konstant med bekvemt til stede i formularen.
- Generel løsning af differentialekvationen.
Privat løsning ligning, der opfylder de oprindelige betingelser y. \u003d 4 x. \u003d 3 er fra den totale substitution af de indledende betingelser i den generelle opløsning: 3 2 + 42 \u003d C2; C \u003d 5.
Substituting c \u003d 5 I den generelle løsning får vi x 2 + y 2 = 5 2 .
Dette er en særlig løsning på en differentialligning opnået fra en generel løsning under specificerede indledende betingelser.
2. Find en generel løsning af differentialekvationen
Ved løsningen af \u200b\u200bdenne ligning er en hvilken som helst funktion af de arter, hvor C er en vilkårlig konstant. Faktisk at erstatte i ligningerne, får vi: ,.
Følgelig har denne differentialligning et uendeligt sæt af opløsninger, da ved forskellige værdier af konstant med ligestilling bestemmer forskellige opløsninger af ligningen.
For eksempel kan du sørge for, at funktionerne kan verificeres. 
er løsninger af ligningen.
Den opgave, hvor den er forpligtet til at finde en bestemt løsning af ligningen y "\u003d f (x, y) tilfredsstillende primær betingelse. y (x 0) \u003d y 0, kaldet cauchy opgaven.
Løsning ligning y "\u003d f (x, y)tilfredsstillelse af den oprindelige tilstand y (x 0) \u003d y 0hedder løsningen af \u200b\u200bcauchy problemet.
Løsningen af \u200b\u200bcauchy-problemet har en simpel geometrisk betydning. Faktisk ifølge disse definitioner at løse opgaven med cauchy y "\u003d f (x, y) I betragtning af det y (x 0) \u003d y 0betyder at finde en integreret ligningskurve y "\u003d f (x, y) som passerer gennem det angivne punkt M 0 (x 0,y 0.).
II. Differentielle ligninger af første ordre
2.1. Basale koncepter
Differentialekvationen af \u200b\u200bden første ordre kaldes arten ligning F (x, y, y ") \u003d 0.
Den første ordens differentialekvation omfatter det første derivat og omfatter ikke højere ordensderivater.
Ligningen. y "\u003d f (x, y) Det kaldes den første ordens ligning, tilladt i forhold til derivatet.
Den generelle løsning af differentialekvationen af \u200b\u200bden første rækkefølge kaldes funktionen af \u200b\u200bden form, der indeholder en vilkårlig konstant.
Eksempel.Overvej den første ordre differentialekvation.
Ved at løse denne ligning er en funktion.
Faktisk erstatter vi i denne ligning, dets betydning, vi får
dvs. 3x \u003d 3x.
Følgelig er funktionen en generel opløsning af ligningen for enhver konstant C.
Find en privat løsning af denne ligning, der opfylder den oprindelige tilstand y (1) \u003d 1 Erstatning af de oprindelige betingelser x \u003d 1, y \u003d 1 I den generelle løsning af ligningen får vi fra hvor C \u003d 0..
Således opnået en særlig løsning fra den generelle substitution til denne ligning opnået C \u003d 0. - Privat løsning.
2.2. Differentielle ligninger med adskillelse af variabler
Differentialekvationen med adskillelsesvariabler kaldes ligningen af \u200b\u200bformularen: y "\u003d f (x) g (y) eller gennem differentier hvor f (x) og g (y)- specificerede funktioner.
For dem y.for hvilken ligningen y "\u003d f (x) g (y) svarende til ligning 
hvor variablen y. Det er kun til stede i venstre side, og variablen X er kun i den rigtige del. De siger "i ligningen y "\u003d f (x) g (y Vi deler variabler. "
Se ligning kaldet ligning med adskilte variabler.
Integrering af begge dele af ligningen ved x., GET G (y) \u003d f (x) + c- Generel løsning af ligningen hvor G (y) og F (x) - nogle primitive funktioner og f (x), C. vilkårlig konstant.
Algoritme til løsning af en differentiel ligning af første orden med adskillelse af variabler
Eksempel 1.
Løse ligning y "\u003d xy
Afgørelse. Afledt funktion y " Udskift on
vi deler variabler
vi integrerer begge dele af ligestilling:
Eksempel 2.
2yy "\u003d 1- 3x 2, hvis en y 0 \u003d 3 til x 0 \u003d 1
Denne ligning med adskilte variabler. Forestil dig det i differentier. For at gøre dette skal du omskrive denne ligning i formularen 
Herfra 
Integrering af begge dele af den sidste ligestilling, vi finder
Erstatning af de oprindelige værdier x 0 \u003d 1, y 0 \u003d 3finde FRA 9=1-1+C.. C \u003d 9.
Derfor vil den ønskede private integral være 
eller 
Eksempel 3.
Gøre ligningen af \u200b\u200bkurven, der passerer gennem punktet M (2; -3) og har en tangent med en vinkelkoefficient
Afgørelse. Ifølge tilstanden
Dette er en ligning med adskillelse af variabler. Deling af variabler, få: 
Integrering af begge dele af ligningen, vi får: 
Brug af de oprindelige betingelser x \u003d 2. og y \u003d - 3 Finde C.:
Følgelig er den ønskede ligning 
2.3. Lineære differentialligninger af første rækkefølge
Den lineære differentialekvation af den første ordre kaldes visningsligningen y "\u003d f (x) y + g (x)
hvor f (x) og g (x) - nogle specificerede funktioner.
Hvis en g (x) \u003d 0den lineære differentialekvation kaldes homogen og har formularen: y "\u003d f (x) y
Hvis ligningen er y "\u003d f (x) y + g (x) kaldet inhomogeneous.
Generel løsning af en lineær homogen differentiel ligning y "\u003d f (x) y Defineret af formlen: hvor FRA - vilkårlig konstant.
Især, hvis C \u003d 0,så er løsningen y \u003d 0. Hvis den lineære homogene ligning har formularen y "\u003d ky Hvor k. - En vis konstant, dens generelle løsning har formularen :.
Generel løsning af en lineær inhomogen differentiel ligning y "\u003d f (x) y + g (x) Defined formel. 
,
de der. Ligeledes summen af \u200b\u200bden samlede løsning af den tilsvarende lineære homogen ligning og den særlige opløsning af denne ligning.
For en lineær inhomogen visning ligning y "\u003d kx + b,
hvor k. og b.- Nogle numre og private løsninger vil være en konstant funktion. Derfor har den generelle løsning formularen.
Eksempel. Løse ligning y "+ 2Y +3 \u003d 0
Afgørelse. Forestil dig en ligning i formularen y "\u003d -2Y - 3 Hvor k \u003d -2, b \u003d -3 Den generelle løsning gives ved formlen.
Derfor, hvor C er en vilkårlig konstant.
2.4. Løsningen af \u200b\u200blineære differentialekvationer af den første rækkefølge af Bernoulli
Find en generel løsning af en lineær differentialekvation af første rækkefølge y "\u003d f (x) y + g (x) Det kommer ned for at løse to differentialligninger med adskilte variabler ved substitution y \u003d UV.hvor u. og v. - Ukendte funktioner fra x.. Denne løsningsmetode kaldes Bernoulli-metoden.
Algoritme til løsning af en lineær differentialekvation af første rækkefølge
y "\u003d f (x) y + g (x)
1. Indtast substitution y \u003d UV..
2. Differentier denne ligestilling y "\u003d u" v + UV "
3. Stedfortræder. y. og y " I denne ligning: u "v + UV" \u003df (x) UV + g (x)eller u "V + UV" + F (x) UV \u003d g (x).
4. Grouple medlemmerne af ligningen, så det u. Tag ud for seler:
5. Fra beslaget, svarer det til nul, find en funktion
Dette er ligningen med adskillelse af variabler: 
Vi deler variabler og får: 
Fra 
.
.
6. erstatte værdien v.i ligning (fra krav 4):
og find en funktion af den adskilte variabel ligning:
7. Optag en generel løsning i formularen: 
. .
Eksempel 1.
Find en privat løsning af ligningen y "\u003d -2Y +3 \u003d 0 hvis en y \u003d 1. til x \u003d 0.
Afgørelse. Jeg løser det ved substitution y \u003d UV,.y "\u003d u" v + UV "
Erstatning y.og y " I denne ligning får vi
Grumping af den anden og tredje periode af den venstre del af ligningen, vil jeg opsummere fabrikken u. til Braces.
Ekspression i parentes svarer til nul og efter at have løst den opnåede ligning, finder vi en funktion v \u003d v (x)
Modtaget ligning med adskilte variabler. Vi integrerer begge dele af denne ligning: Find en funktion v.:
Vi erstatter værdien v. Vi får ligningen:
Dette er en ligning med adskilte variabler. Vi integrerer begge dele af ligningen: 
Find en funktion u \u003d u (x, c) 
Find en generel løsning: 
Find en privat løsning, der opfylder de oprindelige betingelser y \u003d 1. til x \u003d 0.:
III. Differentielle ligninger af højere ordrer
3.1. Grundlæggende koncepter og definitioner
Den anden ordens differentialekvation kaldes en ligning indeholdende derivater, der ikke er højere end anden rækkefølge. I det generelle tilfælde skrives den anden ordre differentialekvation i formularen: F (x, y, y ", y") \u003d 0
Den generelle løsning af den anden ordens differentialekvation kaldes funktionen af \u200b\u200bden form, hvori to vilkårlig konstant C 1 og C 2..
En særlig løsning på differentialekvationen af \u200b\u200bden anden rækkefølge kaldes en opløsning opnået fra generel med nogle værdier af vilkårlig konstant C 1 og C 2..
3.2. Lineære homogene anden ordre differentialligninger med permanente koefficienter.
Lineær homogen anden-ordens differentialekvation med konstante koefficienter Kaldte visning ligningen y "+ py" + qy \u003d 0hvor p.og q.- Permanente værdier.
Algoritme til løsning af homogene anden ordre differentialligninger med konstante koefficienter
1. Optag differentialekvationen i formularen: y "+ py" + qy \u003d 0.
2. Lav sin karakteristiske ligning, der angiver y " igennem r2., y " igennem r., y.i 1: r 2 + pr + q \u003d 0
Differentialekvationen er en ligning, der indbefatter en funktion og en eller flere af dets derivater. I de fleste praktiske opgaver er funktionerne fysiske mængder, derivater svarer til hastigheder af ændringer i disse værdier, og ligningen bestemmer forholdet mellem dem.
Denne artikel diskuterer metoderne til at løse nogle typer af almindelige differentialligninger, hvis løsninger kan registreres som elementære funktioner., dvs. polynomial, eksponentiel, logaritmisk og trigonometrisk, såvel som foderfunktioner. Mange af disse ligninger findes i det virkelige liv, selv om de fleste andre differentiale ligninger ikke kan løses ved disse metoder, og for dem er svaret optaget i form af specielle funktioner eller strøm rækker eller er numeriske metoder.
For at forstå denne artikel er det nødvendigt at eje en differentiel og integreret beregning, såvel som at have en ide om private derivater. Det anbefales også at kende det grundlæggende i lineær algebra i brug til differentielle ligninger, især de anden-ordens differentialligninger, selv om der er tilstrækkelig viden om differential og integreret beregning til at løse dem.
Preliminære oplysninger.
- Differentialekvationer har en omfattende klassifikation. Denne artikel fortæller om almindelige differentielle ligninger., Det vil sige de ligninger, hvor funktionen af \u200b\u200ben variabel og dets derivater er inkluderet. Almindelige differentielle ligninger er meget lettere at forstå og bestemme hvad differentielle ligninger i private derivatersom omfatter funktionerne i flere variabler. Denne artikel betragter ikke differentielle ligninger i private derivater, da metoderne til løsning af disse ligninger normalt bestemmes af deres specifikke type.
- Nedenfor er flere eksempler på almindelige differentialligninger.
- d y d x \u003d k y (\\ displayStyle (\\ frac ((\\ mathrm (d)) y) ((\\ mathrm (d)) x)) \u003d ky)
- D 2 x D t 2 + k x \u003d 0 (\\ displayStyle (\\ frac ((\\ mathrm (d)) ^ (2) x) ((\\ mathrm (d)) t ^ (2))) + kx \u003d 0)
- Nedenfor er nogle eksempler på differentielle ligninger i private derivater.
- ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 \u003d 0 (\\ displayStyle (\\ frac (\\ partial ^ (2) f) (\\ delvis x ^ (2))) + (\\ frac (\\ partial ^ (2 ) f) (\\ partial y ^ (2))) \u003d 0)
- ∂ u ∂ t - α ∂ 2 u ∂ x 2 \u003d 0 (\\ displayStyle (\\ frac (\\ partial u) (\\ partial t)) - \\ alpha (\\ frac (\\ partial ^ (2) u) (\\ partial x ^ (2))) \u003d 0)
- Nedenfor er flere eksempler på almindelige differentialligninger.
- Bestille Differentialekvationen bestemmes i rækkefølge af det ældre derivat, som er inkluderet i denne ligning. Den første af ovennævnte almindelige differentialligninger har den første rækkefølge, mens den anden tilhører de anden ordre ligninger. Grad Differentialekvationen er den højeste grad, hvor et af medlemmerne af denne ligning er opført.
- For eksempel har ligningen nedenfor den tredje rækkefølge og anden grad.
- (D 3 YDX 3) 2 + DYDX \u003d 0 (\\ DISPLAYSTYLE \\ VENSTRE ((\\ FRAC ((\\ MATHRM (D)) ^ (3) Y) ((\\ MATHRM (D)) X ^ (3))) \\ Højre) ^ (2) + (\\ frac ((\\ mathrm (d)) y) ((\\ mathrm (d)) x)) \u003d 0)
- For eksempel har ligningen nedenfor den tredje rækkefølge og anden grad.
- Differentialekvation er lineær differential ligning I tilfælde af at funktionen og alle dets derivater er i første grad. Ellers er ligningen ikke-lineær differentialekvation. Lineære differentialekvationer er bemærkelsesværdige for, at der fra deres løsninger kan foretages lineære kombinationer, hvilket også vil være løsninger af denne ligning.
- Nedenfor er flere eksempler på lineære differentialligninger.
- Nedenfor er nogle eksempler på ikke-lineære differentialekvationer. Den første ligning er ikke-lineær på grund af skråningen med sinus.
- D 2 θ DT 2 + GL SIN \u2061 θ \u003d 0 (\\ DISPLAYSTYLE (\\ FRAC ((\\ MATHRM (D)) ^ (2) \\ theta) ((\\ mathrm (d)) t ^ (2))) + ( \\ Frac (g) (l)) \\ sin \\ theta \u003d 0)
- D 2 XDT 2 + (DXDT) 2 + TX2 \u003d 0 (\\ DISPLAYSTYLE (\\ FRAC ((\\ MATHRM (D)) ^ (2) x) ((\\ mathrm (d)) t ^ (2))) + \\ Venstre ((\\ frac ((\\ mathrm (d)) x) ((\\ mathrm (d)) t)) \\ højre) ^ (2) + tx ^ (2) \u003d 0)
- Fælles afgørelse En almindelig differentiel ligning er ikke den eneste, den indeholder vilkårlig konstant integration.. I de fleste tilfælde er antallet af vilkårlig konstanter lig med ordren af \u200b\u200bligningen. I praksis bestemmes værdierne for disse konstanter af det angivne primære betingelser, det vil sige af værdien af \u200b\u200bfunktionen og dets derivater, når x \u003d 0. (\\ displayStyle x \u003d 0.) Antallet af indledende betingelser, der er nødvendige for at finde privat løsning Differentiel ligning, i de fleste tilfælde også lig med rækkefølgen af \u200b\u200bdenne ligning.
- For eksempel vil denne artikel overveje løsningen af \u200b\u200bligningen nedenfor. Dette er en lineær differentiel ligning af anden rækkefølge. Dens generelle løsning indeholder to vilkårlige konstanter. For at finde disse konstanter skal du kende de oprindelige betingelser for x (0) (\\ displayStyle x (0)) og X '(0). (\\ DISPLAYSTYLE X "(0).) Normalt er de oprindelige betingelser fastsat til det punkt x \u003d 0, (\\ displayStyle x \u003d 0,)Selvom det ikke er nødvendigt. Denne artikel vil også overveje, hvordan du finder private løsninger under bestemte indledende betingelser.
- D 2 XDT 2 + K2 x \u003d 0 (\\ DisplayStyle (\\ frac ((\\ mathrm (d)) ^ (2) x) ((\\ mathrm (d)) t ^ (2))) + k ^ (2 ) x \u003d 0)
- X (t) \u003d C 1 COS \u2061 K X + C 2 SIN \u2061 K X (\\ DISPLAYSTYLE X (T) \u003d C_ (1) \\ COS KX + C_ (2) \\ SIN KX)
- For eksempel vil denne artikel overveje løsningen af \u200b\u200bligningen nedenfor. Dette er en lineær differentiel ligning af anden rækkefølge. Dens generelle løsning indeholder to vilkårlige konstanter. For at finde disse konstanter skal du kende de oprindelige betingelser for x (0) (\\ displayStyle x (0)) og X '(0). (\\ DISPLAYSTYLE X "(0).) Normalt er de oprindelige betingelser fastsat til det punkt x \u003d 0, (\\ displayStyle x \u003d 0,)Selvom det ikke er nødvendigt. Denne artikel vil også overveje, hvordan du finder private løsninger under bestemte indledende betingelser.
Trin.
Del 1
Første ordre ligninger.Når du bruger denne service, kan nogle oplysninger overføres til YouTube.
-
Lineære ligninger af første orden. Dette afsnit diskuterer metoderne til løsning af lineære differentialekvationer af den første rækkefølge generelt og særlige tilfælde, når nogle medlemmer er nul. Lad os foregive det y \u003d y (x), (\\ displaystyle y \u003d y (x),) P (x) (\\ displaystyle p (x)) og Q (x) (\\ displayStyle q (x)) er funktioner. x. (\\ displayStyle x.)
D YDX + P (X) Y \u003d q (x) (\\ DisplayStyle (\\ frac ((\\ Mathrm (D)) (((\\ Mathrm (D)) x)) + P (x) Y \u003d q (x) )
P (x) \u003d 0. (\\ displaystyle p (x) \u003d 0.) Ifølge en af \u200b\u200bde vigtigste teorerne af matematisk analyse er integralet af den afledte funktion også en funktion. Således er det nok til blot at integrere ligningen for at finde sin løsning. Det skal bemærkes, at når man beregner en ubestemt integreret, vises en vilkårlig konstant.
- y (x) \u003d ∫ q (x) d x (\\ displaystyle y (x) \u003d \\ int q (x) (\\ mathrm (d)) x)
Q (x) \u003d 0. (\\ displayStyle q (x) \u003d 0.) Vi bruger metoden adskillelse af variabler.. I dette tilfælde overføres forskellige variabler til forskellige retninger af ligningen. For eksempel kan du overføre alle medlemmer med Y (\\ displaystyle y) i en, og alle medlemmer med X (\\ displayStyle x) I den anden side af ligningen. Du kan også overføre medlemmer D x (\\ displayStyle (\\ mathrm (d)) x) og D Y (\\ DISPLAYSTYLE (\\ MATHRM (D)) Y)Som er inkluderet i vilivaternes udtryk, skal det dog huskes, at dette kun er et symbol, der er praktisk, når man differentierer en kompleks funktion. Diskussion af disse medlemmer kaldes differentials., går ud over denne artikel.
- For det første er det nødvendigt at overføre variabler på forskellige sider af ligestillingsskiltet.
- 1 y d y \u003d - p (x) d x (\\ displayStyle (\\ frac (1) (y)) (\\ mathrm (d)) y \u003d -p (x) (\\ mathrm (d)) x)
- Vi integrerer begge sider af ligningen. Efter integration vises vilkårlig konstanter på begge sider, som kan overføres til den højre del af ligningen.
- ln \u2061 y \u003d ∫ - p (x) d x (\\ displaystyle \\ ln y \u003d \\ int -p (x) (\\ mathrm (d)) x)
- y (x) \u003d e - ∫ p (x) D x (\\ displayStyle y (x) \u003d e ^ (- \\ int p (x) (\\ mathrm (d)) x))
- Eksempel 1.1. I sidste trin brugte vi reglen E a + b \u003d e a e b (\\ displayStyle e ^ (a + b) \u003d e ^ (a) e ^ (b)) og erstattet E c (\\ displayStyle e ^ (c)) på den C (\\ displaystyle c)Da det også er en vilkårlig kontinuerlig integration.
- D y d x - 2 y synd \u2061 x \u003d 0 (\\ displayStyle (\\ frac ((\\ mathrm (d)) y) ((\\ mathrm (d)) x)) - 2y \\ sin x \u003d 0)
- 1 2 YDY \u003d SIN \u2061 XDX 1 2 LN \u2061 Y \u003d - COS \u2061 X + C LN \u2061 Y \u003d - 2 COS \u2061 X + C Y (X) \u003d C E - 2 COS \u2061 X (\\ DisplayStyle (\\ Begynd (justeret) ( \\ Frac (1) (2Y)) (\\ MATHRM (D)) Y & \u003d \\ SIN X (\\ FRAC (1) (2)) \\ LN Y & \u003d - \\ COS X + c \\\\\\\\ ln y & \u003d - 2 \\ cos x + c \\\\ y (x) & \u003d ce ^ (- 2 \\ cos x) \\ ende (justeret)))
P (x) ≠ 0, q (x) ≠ 0. (\\ DisplayStyle P (x) \\ NEQ 0, \\ Q (x) \\ nq 0.) For at finde en generel løsning introducerede vi integrering af multiplikator i form af en funktion fra X (\\ displayStyle x)At reducere venstre del til det samlede derivat og dermed løse ligningen.
- Multiplicere begge sider på μ (x) (\\ displayStyle \\ mu (x))
- μ d y d x + μ p y \u003d μ q (\\ displayStyle \\ mu (\\ frac ((\\ mathrm (d)) y) ((\\ mathrm (d)) x)) + \\ mu py \u003d \\ mu q)
- For at reducere den venstre del til det samlede derivat skal følgende transformationer foretages:
- Ddx (μ y) \u003d d μ dxy + μ dydx \u003d μ dydx + μ py (\\ displayStyle (\\ frac (\\ Mathrm (D)) ((\\ Mathrm (D)) X)) (\\ MU Y) \u003d (\\ Frac ((\\ mathrm (d)) \\ mu) ((\\ mathrm (d)) x)) y + \\ mu (\\ frac ((\\ mathrm (d)) y) ((\\ mathrm (d)) x) ) \u003d \\ Mu (\\ frac ((\\ mathrm (d)) y) ((\\ mathrm (d)) x)) + \\ mu py)
- Den sidste ligestilling betyder det d μ d x \u003d μ p (\\ displayStyle (\\ frac ((\\ mathrm (d)) \\ mu) ((\\ mathrm (d)) x)) \u003d \\ mu p). Dette er en integreret multiplikator, som er tilstrækkelig til at løse enhver lineær ligning af første rækkefølge. Nu kan du trække formlen for at løse denne ligning vedrørende μ, (\\ displayStyle \\ mu,) Selvom til træning er det nyttigt at gøre alle mellemliggende beregninger.
- μ (x) \u003d e ∫ p (x) d x (\\ displayStyle \\ mu (x) \u003d e ^ (\\ int p (x) (\\ mathrm (d)) x)
- Eksempel 1.2. Dette eksempel diskuterer, hvordan man finder en privat løsning af en differentialligning med specificerede indledende betingelser.
- Tdydt + 2 y \u003d t 2, y (2) \u003d 3 (\\ displaystyle t (\\ frac ((\\ mathrm (d)) y) ((\\ mathrm (d)) t)) + 2y \u003d t ^ (2) , \\ quad y (2) \u003d 3)
- d y d t + 2 t y \u003d t (\\ displayStyle (\\ frah (((d)) t)) + (\\ frac (2) (t)) y \u003d t)
- μ (x) \u003d e ∫ p (t) dt \u003d e2 ln \u2061 t \u003d t 2 (\\ displayStyle \\ mu (x) \u003d e ^ (\\ int p (t) (\\ mathrm (d)) t) \u003d e ^ (2 \\ ln t) \u003d t ^ (2))
- DDT (t 2 y) \u003d t 3 t 2 y \u003d 1 4 t 4 + c y (t) \u003d 1 4 t 2 + c t 2 (\\ displayStyle (\\ begynder (justeret) (\\ frac (\\ mathrm (d)) ( (\\ Mathrm (d)) t)) (t ^ (2) Y) δ \u003d t ^ (3) \\\\ t ^ (2) Y & \u003d (\\ frac (1) (4)) t ^ (4) + C \\\\ y (t) δ (\\ frac (1) (4)) t ^ (2) + (\\ frac (c) (t ^ (2))) \\ ende (justeret))))
- 3 \u003d Y (2) \u003d 1 + C4, C \u003d 8 (\\ DisplayStyle 3 \u003d Y (2) \u003d 1 + (\\ frac (C) (4)), \\ Quad C \u003d 8)
- Y (t) \u003d 1 4 t 2 + 8 t 2 (\\ displayStyle Y (t) \u003d (\\ frac (1) (4)) t ^ (2) + (\\ frac (8) (t ^ (2)) ))
Løsningen af \u200b\u200blineære ligninger af den første rækkefølge (optagelse af intuita - det nationale åbne universitet). -
Ikke-lineære første ordre ligninger. Dette afsnit diskuterer metoderne til at løse nogle ikke-lineære differentialligninger af den første rækkefølge. Selv om der ikke er nogen generel metode til at løse sådanne ligninger, kan nogle af dem løses ved hjælp af nedenstående metoder.
D y d x \u003d f (x, y) (\\ displayStyle (\\ frac ((\\ mathrm (d)) y) ((\\ mathrm (d)) x)) \u003d f (x, y))
d y d x \u003d h (x) g (y). (\\ DisplayStyle (\\ frac ((\\ mathrm (d)) y) ((\\ mathrm (d)) x)) \u003d h (x) g (y).) Hvis funktion f (x, y) \u003d h (x) g (y) (\\ displaystyle f (x, y) \u003d h (x) g (y)) kan opdeles i funktioner i en variabel, en sådan ligning kaldes differentialligning med deling af variabler. I dette tilfælde kan du drage fordel af ovenstående metode:- ∫ dyh (y) \u003d ∫ g (x) dx (\\ displayStyle \\ int (\\ frac ((\\ mathrm (d)) y) (h (y))) \u003d \\ int g (x) (\\ mathrm (d) ) x)
- Eksempel 1.3.
- DYDX \u003d X 3 Y (1 + x 4) (\\ DisplayStyle (\\ FRAC ((\\ MATHRM (D)) Y) ((\\ MATHRM (D)) X)) \u003d (\\ frac (x ^ (3)) ( y (1 + x ^ (4)))))
- ∫ YDY \u003d ∫ X 3 1 + X 4 DX 12 Y2 \u003d 1 4 LN \u2061 (1 + x 4) + C y (x) \u003d 1 2 Ln \u2061 (1 + x 4) + C (\\ DisplayStyle (\\ Begynd (justeret) \\ int y (\\ mathrm (d)) y & \u003d \\ int (\\ frac (x ^ (3)) (1 + x ^ (4))) (\\ mathrm (d)) x \\\\ Frac (1) (2)) Y ^ (2) & \u003d (\\ frac (1) (4)) \\ ln (1 + x ^ (4)) + c \\\\ y (x) & \u003d (\\ frac ( 1) (2)) \\ ln (1 + x ^ (4)) + C \\ End (justeret)))
D y d x \u003d g (x, y) h (x, y). (\\ DisplayStyle (\\ frac ((\\ mathrm (d)) y) ((\\ mathrm (d)) x)) \u003d (\\ frac (g (x, y)) (h (x, y)))). ) Lad os foregive det G (x, y) (\\ displayStyle g (x, y)) og h (x, y) (\\ displaystyle h (x, y)) er funktioner. X (\\ displayStyle x) og y. (\\ DISPLAYSTYLE Y.) Derefter ensartet differentialligning kaldet en sådan ligning i hvilken G (\\ displaystyle g) og H (\\ displaystyle h) er homogene funktioner. samme grad. Det vil sige, funktioner skal tilfredsstille tilstanden G (α x, α y) \u003d α k g (x, y), (\\ displayStyle g (\\ alpha x, \\ alpha y) \u003d \\ alpha ^ (k) g (x, y),) Hvor K (\\ displaystyle k) kaldet homogenitetsgrad. Enhver homogen differentiel ligning kan foretages ved passende udskift variabler ( v \u003d y / x (\\ displaystyle v \u003d y / x) eller v \u003d x / y (\\ displaystyle v \u003d x / y)) Konverter til ligning med adskillelse af variabler.
- Eksempel 1.4. Ovennævnte beskrivelse af homogenitet kan virke uklare. Overvej dette koncept på eksemplet.
- DYDX \u003d Y 3 - X 3 Y 2 X (\\ DisplayStyle (\\ Frac (((\\ Mathrm (D)) ((\\ Mathrm (D)) X)) \u003d (\\ Frac (Y ^ (3) -X ^ (3 )) (Y ^ (2) x)))
- Til at begynde med skal det bemærkes, at denne ligning ikke er lineært slægtning y. (\\ DISPLAYSTYLE Y.) Vi ser også, at variablerne i dette tilfælde ikke kan opdeles. Samtidig er denne differentialligning homogen, da tælleren, og nævneren er homogen med en grad 3. Derfor kan vi erstatte variabler v \u003d y / x. (\\ DISPLAYSTYLE V \u003d Y / X.)
- DYDX \u003d YX - X2 Y2 \u003d V - 1 V 2 (\\ DISPLAYSTYLE (\\ FRAC ((\\ MATHRM (D) Y) ((\\ MATHRM (D)) X)) \u003d (\\ FRAC (Y) (X) ) - (\\ frac (x ^ (2)) (Y ^ (2))) \u003d V - (\\ frac (1) (V ^ (2))))
- Y \u003d VX, DYDX \u003d DVDXX + V (\\ DISCORSTYLE Y \u003d VX, \\ QUAD (\\ FRAC ((D)) X)) \u003d (\\ FRAC ((\\ MATHRM (D )) v) ((\\ mathrm (d)) x)) x + v)
- D v D x x \u003d - 1 v 2. (\\ DisplayStyle (\\ frac ((\\ mathrm (d)) v) ((\\ mathrm (d)) x)) x \u003d - (\\ frac (1) (v ^ (2))).) Som følge heraf har vi en ligning for V (\\ displaystyle v) med adskillelse af variabler.
- V (x) \u003d - 3 ln \u2061 x + c 3 (\\ displayStyle v (x) \u003d (\\ sqrt [(3)] (- 3 \\ ln x + c))))
- y (x) \u003d x - 3 ln \u2061 x + c 3 (\\ displaystyle y (x) \u003d x (\\ sqrt [(3)] (- 3 \\ ln x + c))))
D y d x \u003d p (x) y + q (x) y n. (\\ DisplayStyle (\\ frac ((\\ mathrm (d)) ((\\ mathrm (d)) x)) \u003d p (x) y + q (x) y ^ (n).) det differential ligning Bernoulli - En særlig type ikke-lineær ligning i den første grad, hvis opløsning kan registreres ved hjælp af elementære funktioner.
- Multiplicer begge sider af ligningen på (1 - N) Y - N (\\ DISPLAYSTYLE (1-N) Y ^ (- N)):
- (1 - N) Y - NDYDX \u003d P (x) (1 - N) Y 1 - N + (1 - N) q (x) (\\ DisplayStyle (1-N) Y ^ (- N) (\\ Frac ( (\\ mathrm (d)) y) ((\\ mathrm (d)) x)) \u003d p (x) (1-n) y ^ (1-n) + (1-n) q (x))
- Brug på venstre side, differentieringen af \u200b\u200bden komplekse funktion, og vi omdanner ligningen til en lineær ligning i forhold til Y 1 - N, (\\ DISPLAYSTYLE Y ^ (1-N),) som kan løses ved fremgangsmåderne ovenfor.
- DY 1 - NDX \u003d P (x) (1 - N) Y 1 - N + (1 - N) q (x) (\\ DisplayStyle (\\ frac ((\\ Mathrm (D)) Y ^ (1-N)) ((\\ Mathrm (d)) x)) \u003d p (x) (1-n) y ^ (1-n) + (1-n) q (x))
M (x, y) + n (x, y) DYDX \u003d 0. (\\ DISPLAYSTYLE M (X, Y) + N (X, Y) (\\ Frac ((\\ Mathrm (D)) Y) ((\\ Mathrm (d)) x)) \u003d 0.) det ligning i fulde differentier. Det er nødvendigt at finde den såkaldte potentiel funktion φ (x, y), (\\ displaystyle \\ Varphi (x, y),)som opfylder tilstanden D φ d x \u003d 0. (\\ displayStyle (\\ frac ((\\ mathrm (d)) \\ Varphi) ((\\ mathrm (d)) x)) \u003d 0.)
- For at udføre denne betingelse er det nødvendigt komplet derivat. Det komplette derivat tager højde for afhængigheden af \u200b\u200bandre variabler. At beregne det fulde derivat φ (\\ displaystyle \\ Varphi) ved X, (\\ displayStyle x,) Vi antager det Y (\\ displaystyle y) kan også afhænge af x. (\\ displayStyle x.)
- D φ dx \u003d ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ ∂ \\ mathrm (d)) \\ VARPHI) ((\\ MATHRM (D)) X)) \u003d (\\ frac (\\ partial \\ Varphi ) (\\ Delvis x)) + (\\ frac (\\ partial \\ Varphi) (\\ Mathrm (D)) \\) ((\\ Mathrm (D)) X)))
- Sammenligning af vilkår giver os M (x, y) \u003d ∂ φ ∂ x (\\ displaystyle m (x, y) \u003d (\\ frac (\\ partial \\ Varphi) (\\ partial x))) og N (x, y) \u003d ∂ φ ∂ y. (\\ DisplayStyle n (x, y) \u003d (\\ frac (\\ partial \\ Varphi) (\\ partial y)).) Dette er et typisk resultat for ligninger med flere variabler, hvor blandede derivater af glatte funktioner er lig med hinanden. Nogle gange kaldes en sådan sag theorem Clerrer.. I dette tilfælde er differentialekvationen ligningen i fuldstændige differentier, hvis følgende betingelse er opfyldt:
- ∂ m ∂ y \u003d ∂ n ∂ x (\\ displayStyle (\\ frac (\\ partial m) (\\ partial y)) \u003d (\\ frac (\\ partial n) (\\ partial x)))
- Metoden til løsning af ligninger i komplette differentier svarer til at finde potentielle funktioner i nærværelse af flere derivater, som vi vil se. Først, integrere. M (\\ displaystyle m) ved x. (\\ displayStyle x.) For så vidt. M (\\ displaystyle m) er en funktion I. X (\\ displayStyle x), I. y, (\\ displaystyle y,) Når vi integrerer, får vi en ufuldstændig funktion Φ, (\\ displayStyle \\ Varphi,) angivet som. φ ~ (\\ displayStyle (\\ TILILDE (\\ VARPHI))). Resultatet omfatter også Y (\\ displaystyle y) Permanent integration.
- φ (x, y) \u003d ∫ m (x, y) dx \u003d φ ~ (x, y) + c (y) (\\ displaystyle \\ Varphi (x, y) \u003d \\ int m (x, y) (\\ mathrm (D)) X \u003d (\\ Tilde (\\ Varphi)) (x, y) + c (y))
- Efter det for at få C (y) (\\ displayStyle c (y)) Du kan tage et privat derivat af den opnåede funktion y, (\\ displaystyle y,) svarer til resultatet N (x, y) (\\ displaystyle n (x, y)) og integrere. Du kan også i første omgang integrere N (\\ displaystyle n)og derefter tage et privat derivat X (\\ displayStyle x)Hvad vil du give dig mulighed for at finde en vilkårlig funktion D (x). (\\ DISPLAYSTYLE D (X).) Begge metoder er egnede, og normalt er en enklere funktion valgt til integration.
- N (x, y) \u003d ∂ φ ∂ y \u003d ∂ φ ~ ∂ y + dcdy (\\ displayStyle n (x, y) \u003d (\\ frac (\\ partial \\ Varphi) (\\ partial y)) \u003d (\\ frac (\\ Delvis (\\ Tilde (\\ Varphi))) (\\ partial y)) + (\\ frac ((\\ mathrm (d)) c) ((\\ mathrm (d)) y)))
- Eksempel 1.5. Du kan tage private derivater og sørge for, at ligningen nedenfor er ligningen i komplette differentier.
- 3 x 2 + y 2 + 2 xydydx \u003d 0 (\\ displayStyle 3x ^ (2) + Y ^ (2) + 2xy (\\ frac (((\\ mathrm (d)) y) ((\\ mathrm (d)) x )) \u003d 0)
- φ \u003d ∫ (3 x 2 + y 2) dx \u003d x 3 + xy 2 + c (y) ∂ φ ∂ y \u003d n (x, y) \u003d 2 xy + dcdy (\\ displayStyle (\\ starter (justeret) \\ Varphi & \u003d \\ int (3x ^ (2) + y ^ (2)) (\\ mathrm (d)) x \u003d x ^ (3) + xy ^ (2) + c (y) \\\\ (\\ frac (\\ delvis \\ Varphi) (\\ partial y)) & \u003d n (x, y) \u003d 2xy + (\\ frac ((((d)) y)) \\ end (justeret)) )
- d c d y \u003d 0, c (y) \u003d c (\\ displayStyle (\\ frac ((\\ mathrm (d) c) ((\\ mathrm (d)) y)) \u003d 0, \\ quad c (y) \u003d c)
- X3 + X Y 2 \u003d C (\\ DISPLAYSTYLE X ^ (3) + XY ^ (2) \u003d C)
- Hvis differentialekvationen ikke er en ligning i komplette differentier, kan du i nogle tilfælde finde en integreret multiplikator, som gør det muligt at omdanne det til ligningen i fuldstændige differentier. Sådanne ligninger anvendes dog sjældent i praksis, og selvom den integrerende multiplikator eksisterer, find det sker ikke så letDerfor betragtes disse ligninger ikke i denne artikel.
Del 2
Anden rækkefølge ligninger.-
Ensartede lineære differentialekvationer med konstante koefficienter. Disse ligninger anvendes i vid udstrækning i praksis, så deres løsning er prioriteret. I dette tilfælde taler vi ikke om homogene funktioner, men det i den højre del af ligningen er 0. Næste afsnit viser, hvordan den tilsvarende relevante heterogene Differentialligninger. Under En (\\ displaystyle a) og B (\\ displaystyle b) er konstanter.
D 2 YDX 2 + adydx + by \u003d 0 (\\ displayStyle (\\ frac ((\\ mathrm (d)) ^ (2) y) ((\\ mathrm (d)) x ^ (2))) + a (\\ frac ((\\ Mathrm (d)) y) ((\\ mathrm (d)) x)) + by \u003d 0)
Karakteristisk ligning. Denne differentialligning er bemærkelsesværdigt, fordi den kan meget let løses, hvis du lægger vægt på, hvilke egenskaber der skal have sine løsninger. Det kan ses fra ligningen det Y (\\ displaystyle y) Og dets derivater er proportionale med hinanden. Fra tidligere eksempler, som blev overvejet i afsnittet om førsteordens ligninger, ved vi, at kun en eksponentiel funktion har en sådan ejendom. Derfor kan du fremsætte anzac. (rimelig antagelse) om, hvordan løsningen på denne ligning vil være.
- Løsningen vil have en type eksponentiel funktion. E r x, (\\ displayStyle e ^ (rx),) Hvor R (\\ displaystyle r) - Permanent, hvis værdi bør findes. Erstatte denne funktion til ligningen og få følgende udtryk
- E R X (R2 + A R + B) \u003d 0 (\\ DisplayStyle E ^ (RX) (R ^ (2) + Ar + b) \u003d 0)
- Denne ligning tyder på, at produktet af den eksponentielle funktion og polynomialet skal være nul. Det er kendt, at eksponenten ikke kan nul i nogen grad. Herfra konkluderer vi, at nul er lig med politiet. Således reducerede vi problemet med at løse en differentialekvation til en meget enklere opgave at løse en algebraisk ligning, som kaldes en karakteristisk ligning for denne differentialligning.
- R2 + a r + b \u003d 0 (\\ displayStyle r ^ (2) + ar + b \u003d 0)
- R ± \u003d - A ± A 2 - 4 B 2 (\\ DisplayStyle R _ (\\ PM) \u003d (\\ frac (-a \\ pm (\\ sqrt (A ^ (2) -4b)))) (2)))
- Vi fik to rødder. Da denne differentialekvation er lineær, er den samlede løsning en lineær kombination af private løsninger. Da dette er den anden ordre ligning, ved vi det her virkelig Den generelle beslutning, og andre eksisterer ikke. Mere alvorlig begrundelse for dette er sætningen om eksistensen og unikheden af \u200b\u200bden afgørelse, der findes i lærebøger.
- Nyttig måde at kontrollere, om to løsninger er lineært uafhængige, ligger i beregningen vRONOSKAN.. Vronskan. W (\\ displaystyle w) - Dette er det afgørende for matrixen, i kolonnerne, hvor der er funktioner og deres på hinanden følgende derivater. SEOREM AF LINEAR ALGEBRA siger, at funktionerne er lineært afhængige i den pondosiske, hvis Vrontoskan er nul. I dette afsnit kan vi kontrollere, om to løsninger er lineært uafhængige - for dette skal du sørge for, at vronoskanen ikke er nul. Vronoskan er vigtig for at løse inhomogene differentialligninger med konstante koefficienter ved variation af parametre.
- W \u003d | Y 1 Y 2 Y 1 'Y 2' | (\\ DISPLAYSTYLE W \u003d (\\ BEGIN (VMATRIX) Y_ (1) & Y_ (2) \\\\ Y_ (1) & Y_ (2) "\\ END (VMATRIX)))
- Med hensyn til lineær algebra danner sætet af alle opløsninger af denne differentieringsligning et vektorrum, hvis dimension er lig med rækkefølgen af \u200b\u200bdifferentialekvationen. I dette rum kan du vælge grundlaget fra lineært uafhængigt fra hinanden løsninger. Dette er muligt på grund af det faktum, at y (x) (\\ displaystyle y (x)) Handling lineær operatør. Afledte er en Lineær operatør, da det omdanner rummet af differentierbare funktioner i rummet af alle funktioner. Ligninger kaldes homogene i tilfælde, hvor for enhver lineær operatør L (\\ displaystyle l) Det er nødvendigt at finde løsningen af \u200b\u200bligningen L [y] \u003d 0. (\\ displayStyle l [y] \u003d 0.)
Vi vender nu til overvejelse af flere specifikke eksempler. Sagen om flere rødder af den karakteristiske ligning vil blive betragtet som lidt senere, i afsnittet på en nedgradering.
Hvis rødder R ± (\\ displaystyle r _ (\\ pm)) er forskellige gyldige tal, differentialekvationen har følgende beslutning
- Y (X) \u003d C 1 ER + X + C 2 ER - X (\\ DISPLAYSTYLE Y (X) \u003d C_ (1) E ^ (R _ (+) x) + C_ (2) E ^ (r _ (- ) X))
To komplekse rødder. Fra det vigtigste sætning af algebra følger det, at løsninger til løsning af polynomiske ligninger med gyldige koefficienter er forankret, hvilket er virkelige eller dannet konjugatpar. Derfor, hvis et komplekst nummer R \u003d α + i β (\\ displaystyle r \u003d \\ alpha + i \\ beta) er roden til den karakteristiske ligning, så R * \u003d α - i β (\\ displaystyle r ^ (*) \u003d \\ alpha -i \\ beta) Er også roden af \u200b\u200bdenne ligning. Således kan du skrive en beslutning i formularen C 1 E (α + Iβ) X + C2 E (α - Iβ) x, (\\ DisplayStyle C_ (1) E ^ ((\\ Alpha + I \\ Beta) X) + C_ (2) E ^ ( (\\ alpha -i \\ beta) x),) Dette er dog et komplekst nummer, og det er uønsket i at løse praktiske problemer.
- I stedet kan du bruge formula Euler. e i x \u003d cos \u2061 x + jeg synd \u2061 x (\\ displaystyle e ^ (ix) \u003d \\ cos x + jeg \\ sin x)som giver dig mulighed for at skrive en løsning i form af trigonometriske funktioner:
- E α X (C 1 COS \u2061 β X + IC 1 SIN \u2061 β X + C 2 COS \u2061 β X - IC 2 SIN \u2061 β X) (\\ DisplayStyle E ^ (\\ Alpha X) (C_ (1) \\ COS \\ Beta x + ic_ (1) \\ sin \\ beta x + c_ (2) \\ cos \\ beta x-ic_ (2) \\ sin \\ beta x))
- Nu kan du i stedet for konstant C 1 + C 2 (\\ DISPLAYSTYLE C_ (1) + C_ (2)) Optage C 1 (\\ DISPLAYSTYLE C_ (1)), og ekspression I (C 1 - C 2) (\\ DisplayStyle I (C_ (1) -C_ (2))) erstattet af C 2. (\\ DISPLAYSTYLE C_ (2).) Derefter får vi følgende løsning:
- Y (x) \u003d E α x (C 1 COS \u2061 β X + C 2 SIN \u2061 β x) (\\ DISPLAYSTYLE Y (X) \u003d E ^ (\\ Alpha X) (C_ (1) \\ COS \\ BETA X + C_ (2) \\ sin \\ beta x))
- Der er en anden måde at skrive en løsning i form af amplitude og fase, som er bedre egnet til fysiske problemer.
- Eksempel 2.1. Vi finder løsningen givet under differentialekvationen med de angivne indledende betingelser. For at gøre dette skal du tage beslutningen. såvel som dets derivat, og erstat dem i de indledende betingelser, som giver dig mulighed for at bestemme vilkårlig konstants.
- D 2 XDT 2 + 3 DXDT + 10 x \u003d 0, x (0) \u003d 1, x '(0) \u003d - 1 (\\ displayStyle (\\ frac ((\\ mathrm (d)) ^ (2) x) (( \\ Mathrm (D)) t ^ (2))) + 3 (\\ frac ((\\ mathrm (d) x) ((\\ mathrm (d)) t)) + 10x \u003d 0, \\ quad x (0) \u003d 1, \\ x "(0) \u003d - 1)
- R2 + 3 R + 10 \u003d 0, R ± \u003d - 3 ± 9 - 40 2 \u003d - 3 2 ± 31 2 I (\\ DisplayStyle R ^ (2) + 3R + 10 \u003d 0, \\ quad r _ (\\ pm ) \u003d (\\ Frac (-3 \\ pm (\\ sqrt (9-40))) (2)) \u003d - (\\ frac (3) (2)) \\ pm (\\ frac (\\ sqrt (31)) (2 )) I)
- X (t) \u003d E - 3 T / 2 (C 1 COS \u2061 31 2 T + C 2 SIN \u2061 31 2 t) (\\ DISPLAYSTYLE X (T) \u003d E ^ (- 3T / 2) \\ Venstre (C_ (1 ) \\ Cos (\\ frac (\\ sqrt (31)) (2)) t + c_ (2) \\ sin (\\ frac (\\ sqrt (31)) (2)) t \\ ret)))
- X (0) \u003d 1 \u003d C 1 (\\ DISPLAYSTYLE X (0) \u003d 1 \u003d C_ (1))
- X '(t) \u003d - 3 2 E - 3 T / 2 (C 1 COS \u2061 31 2 T + C 2 SIN \u2061 31 2 T) + E - 3 T / 2 (- 31 2 C 1 SIN \u2061 31 2 T + 31 2 C 2 COS \u2061 31 2 T) (\\ DISPLAYSTYLE (\\ BEGIN (ALIGNED) X "(T) & \u003d - (\\ FRAC (3) (2)) E ^ (- 3T / 2) \\ Venstre (C_ (1) \\ cos (\\ frac (\\ sqrt (31)) (2)) t + c_ (2) \\ sin (\\ frac (\\ sqrt (31)) (2)) t \\ højre) \\\\ & + e ^ (- 3T / 2) \\ VENSTRE (- (\\ FRAC (\\ SQRT (31)) (2)) C_ (1) \\ SIN (\\ FRIC (\\ SQRT (31)) (2)) t + (\\ frac (\\ Sqrt (31)) (2)) c_ (2) \\ cos (\\ frac (\\ sqrt (31)) (2)) t \\ højre) \\ End (justeret)))
- X '(0) \u003d - 1 \u003d - 3 2 C1 + 31 2 C2, C2 \u003d 1 31 (\\ DisplayStyle X "(0) \u003d - 1 \u003d - (\\ frac (3) (2)) C_ ( 1) + (\\ frac (\\ sqrt (31)) (2)) c_ (2), \\ quad c_ (2) \u003d (\\ frac (1) (\\ sqrt (31))))
- X (t) \u003d E - 3 T / 2 (COS \u2061 31 2 T + 1 31 SIN \u2061 31 2 T) (\\ DISPLAYSTYLE X (T) \u003d E ^ (- 3T / 2) \\ VENSTRE (\\ COS (\\ FRAC (\\ SQRT (31)) (2)) t + (\\ frac (1) (\\ SQRT (31))) \\ SIN (\\ FRIC (\\ SQRT (31)) (2)) t \\ ret))
Løsningen af \u200b\u200bde forskellige ligninger af n-th-orden med permanente koefficienter (Intuita-optagelse er det nationale åbne universitet). - Løsningen vil have en type eksponentiel funktion. E r x, (\\ displayStyle e ^ (rx),) Hvor R (\\ displaystyle r) - Permanent, hvis værdi bør findes. Erstatte denne funktion til ligningen og få følgende udtryk
-
Sænk rækkefølge. Et fald i rækkefølge er en metode til løsning af differentialekvationer i tilfælde, hvor en lineært uafhængig opløsning er kendt. Denne metode reduceres ved rækkefølgen af \u200b\u200bligningen til en, som gør det muligt at løse ligningen ved anvendelse af fremgangsmåderne beskrevet i det foregående afsnit. Lad det kende løsningen. Hovedideen til at sænke ordren er at søge efter løsninger i nedenstående formular, hvor det er nødvendigt at bestemme funktionen V (x) (\\ displaystyle v (x)), erstatter det i differentialekvationen og fundet V (x). (\\ DISPLAYSTYLE V (X).) Overvej, hvordan et fald i rækkefølge kan bruges til at løse en differentiel ligning med konstante koefficienter og flere rødder.
Polske rødder. Ensartet differentialekvation med konstante koefficienter. Husk, at den anden ordens ligning skulle have to lineære uafhængige beslutninger. Hvis den karakteristiske ligning har flere rødder, mange løsninger ikke Danner plads, da disse løsninger er lineært afhængige. I dette tilfælde er det nødvendigt at anvende et fald for at finde den anden lineære uafhængige løsning.
- Antag, at den karakteristiske ligning har flere rødder R (\\ displaystyle r). Antag at den anden løsning kan skrives som y (x) \u003d e r x v (x) (\\ displaystyle y (x) \u003d e ^ (rx) v (x)), og erstat det i differentialekvationen. Samtidig, de fleste medlemmer, med undtagelse af fundamentet med den anden derivatfunktion V, (\\ displayStyle V,) Reduceret.
- V "(x) e r x \u003d 0 (\\ displaystyle v" "(x) e ^ (rx) \u003d 0)
- Eksempel 2.2. Lad ligningen givet nedenfor, som har flere rødder R \u003d - 4. (\\ displaystyle r \u003d -4.) Substitutionen reducerer de fleste medlemmer.
- D 2 YDX 2 + 8 DYDX + 16 Y \u003d 0 (\\ DISPLAYSTYLE (\\ FRAC ((\\ MATHRM (D)) ^ (2) Y) ((\\ MATHRM (D)) X ^ (2))) + 8 ( \\ Frac ((\\ mathrm (d)) y) ((\\ mathrm (d)) x)) + 16y \u003d 0)
- Y \u003d V (x) E - 4 XY '\u003d V' (x) E - 4 x - 4 V (x) E - 4 XY "\u003d V" (x) E - 4 x - 8 V \u200b\u200b'(x ) E - 4 x + 16 v (x) E - 4 x (\\ DisplayStyle (\\ BEGIN (ALIGNED) Y & \u003d V (X) E ^ (- 4X) \\\\ Y "& \u003d V" (x) E ^ (- 4x) -4v (x) e ^ (- 4x) \\\\ y "" & \u003d v "" (x) e ^ (- 4x) -8V "(x) E ^ (- 4x) + 16V (x ) E ^ (-4x) \\ End (justeret)))
- V "E - 4 x - 8 V \u200b\u200b'E - 4 x + 16 ve - 4 x + 8 V' E - 4 x - 32 VE - 4 x + 16 ve - 4 x \u003d 0 (\\ DisplayStyle (\\ BEGIN (Justeret) V "" E ^ (- 4x) & - (\\ CANCEL (8V "E ^ (- 4X))) + (\\ CANCEL (16VE ^ (- 4X))) \\\\ & + (\\ CANCEL (8V "E ^ (- 4x))) - (\\ CANCEL (32VE ^ (- 4X))) + (\\ CANCEL (16VE ^ (- 4X))) \u003d 0 \\ END (ALIGNED))))
- Ligesom vores anzatsha for en differentiel ligning med konstante koefficienter kan nul kun være lig med det andet derivat. Vi integrerer to gange og får det ønskede udtryk for V (\\ displaystyle v):
- V (x) \u003d c 1 + c 2 x (\\ displayStyle v (x) \u003d c_ (1) + c_ (2) x)
- Derefter kan den generelle opløsning af differentialekvationen med konstante koefficienter i tilfælde af, at den karakteristiske ligning har flere rødder, registreres i den følgende form. For nemheds skyld kan du huske, at det er nok at formere det andet udtryk for at opnå lineær uafhængighed. X (\\ displayStyle x). Dette sæt af løsninger er lineært uafhængigt, og vi fandt således alle løsninger af denne ligning.
- Y (x) \u003d (C 1 + C2 x) E R x (\\ DisplayStyle Y (X) \u003d (C_ (1) + C_ (2) X) E ^ (RX))
D 2 YDX 2 + P (x) DYDX + Q (X) Y \u003d 0. (\\ DISPLAYSTYLE (\\ FRAC ((\\ MATHRM (D)) ^ (2) Y) ((\\ Mathrm (D)) x ^ ( 2))) + p (x) (\\ frac ((\\ mathrm (d)) y) ((\\ mathrm (d)) x)) + q (x) y \u003d 0.) Faldet i orden gælder, hvis beslutningen er kendt y 1 (x) (\\ displaystyle y_ (1) (x))som kan findes eller gives i tilstanden af \u200b\u200bopgaven.
- Vi leder efter en beslutning i formularen y (x) \u003d v (x) y 1 (x) (\\ displaystyle y (x) \u003d v (x) y_ (1) (x)) Og vi erstatter det i denne ligning:
- V "Y 1 + 2 V 'Y 1' + P (X) V 'Y 1 + V (Y 1" + P (x) Y 1' + q (x)) \u003d 0 (\\ DisplayStyle V "" Y_ ( 1) + 2V "Y_ (1)" + P (X) V "Y_ (1) + V (Y_ (1)" "+ P (x) Y_ (1)" + q (x)) \u003d 0)
- For så vidt. Y 1 (\\ DISPLAYSTYLE Y_ (1)) er en løsning på en differentiel ligning, alle medlemmer med V (\\ displaystyle v) Reduceret. Som følge heraf forbliver det lineær første ordre ligning. For at se det tydeligt, vil vi erstatte variabler w (x) \u003d v '(x) (\\ displaystyle w (x) \u003d v "(x)):
- Y 1 W '+ (2 Y 1' + P (X) Y 1) W \u003d 0 (\\ DISPLAYSTYLE Y_ (1) W "+ (2Y_ (1)" + P (x) Y_ (1)) W \u003d 0 )
- W (x) \u003d EXP \u2061 (∫ (2 Y 1 '(x) Y 1 (x) + P (x)) DX) (\\ DisplayStyle W (x) \u003d \\ EXP \\ VENSTRE (\\ INT \\ VENLESS ((\\ Frac (2y_ (1) "(x)) (y_ (1) (x))) + p (x) \\ højre) (\\ mathrm (d)) x \\ højre))
- v (x) \u003d ∫ W (x) D x (\\ displayStyle v (x) \u003d \\ int w (x) (\\ mathrm (d)) x)
- Hvis integralerne kan beregnes, opnår vi en generel løsning i form af en kombination af elementære funktioner. Ellers kan opløsningen efterlades i integreret form.
- Antag, at den karakteristiske ligning har flere rødder R (\\ displaystyle r). Antag at den anden løsning kan skrives som y (x) \u003d e r x v (x) (\\ displaystyle y (x) \u003d e ^ (rx) v (x)), og erstat det i differentialekvationen. Samtidig, de fleste medlemmer, med undtagelse af fundamentet med den anden derivatfunktion V, (\\ displayStyle V,) Reduceret.
-
Cauchy Euler Equation. Den cauchy Euler-ligning er et eksempel på den anden ordre differentialekvation med variabler. koefficienter, der har nøjagtige løsninger. Denne ligning anvendes i praksis, for eksempel at løse LapLace-ligningen i sfæriske koordinater.
X 2 D 2 YDX 2 + AXDYDX + by \u003d 0 (\\ displayStyle x ^ (2) (\\ frac ((\\ mathrm (d)) ^ (2) y) ((\\ mathrm (d)) x ^ (2) )) + AX \u200b\u200b(\\ FRAC ((\\ MATHRM (D)) Y) ((\\ MATHRM (D)) X)) + BY \u003d 0)
Karakteristisk ligning. Som det kan ses, indeholder hvert element i denne differentieringsligning en effektmultiplikator, hvis grad er lig med rækkefølgen af \u200b\u200bdet tilsvarende derivat.
- Således kan du forsøge at kigge efter en løsning i formularen y (x) \u003d x n, (\\ displaystyle y (x) \u003d x ^ (n),) Hvor de skal bestemme N (\\ displaystyle n)Tilsvarende, som vi søgte efter en opløsning i form af en eksponentiel funktion for en lineær differentialekvation med konstante koefficienter. Efter differentiering og substitution får vi
- x N (n2 + (A - 1) n + b) \u003d 0 (\\ displayStyle x ^ (n) (n ^ (2) + (A - 1) n + b) \u003d 0)
- For at udnytte den karakteristiske ligning bør det antages at x ≠ 0 (\\ displayStyle x \\ nq 0). Punkt x \u003d 0 (\\ displayStyle x \u003d 0) hedder regelmæssigt specielt punkt Differentialekvation. Sådanne punkter er vigtige for at løse differentialligninger ved hjælp af strøm rækker. Denne ligning har to rødder, der kan være forskellige og gyldige, flere eller komplekse konjugat.
- n ± \u003d 1 - a ± (A - 1) 2 - 4 B 2 (\\ DisplayStyle n _ (\\ pm) \u003d (\\ frac (1-A \\ PM (\\ SQRT ((A-1) ^ (2) - 4b))) (2)))
To forskellige gyldige rødder. Hvis rødder N ± (\\ displayStyle n _ (\\ pm)) Gyldig og anderledes, så er løsningen af \u200b\u200bdifferentialekvationen følgende form:
- Y (x) \u003d C 1 x n + + C2 x N - (\\ DisplayStyle Y (x) \u003d C_ (1) x ^ (n _ (+)) + C_ (2) x ^ (n _ (-))
To komplekse rødder. Hvis den karakteristiske ligning har en rod N ± \u003d α ± β i (\\ displayStyle n _ (\\ pm) \u003d \\ alpha \\ pm \\ beta i)Løsningen er en omfattende funktion.
- For at konvertere en løsning på en gyldig funktion, vil vi erstatte variabler x \u003d e t, (\\ displayStyle x \u003d e ^ (t),) dvs. t \u003d ln \u2061 x, (\\ displaystyle t \u003d \\ ln x,) og brug Euler Formula. Sådanne handlinger blev udført tidligere ved bestemmelse af vilkårlig konstanter.
- Y (t) \u003d E α T (C1 E β IT + C2 E - β IT) (\\ DisplayStyle Y (t) \u003d E ^ (\\ Alpha T) (C_ (1) E ^ (\\ beta IT) + C_ (2) E ^ (- \\ BETA IT)))
- Derefter kan den generelle løsning skrives som
- Y (x) \u003d x α (C1 COS \u2061 (β ln \u2061 x) + C2 SIN \u2061 (β ln \u2061 x)) (\\ displayStyle y (x) \u003d x ^ (\\ alpha) (c_ (1) \\ Cos (\\ beta \\ ln x) + c_ (2) \\ sin (\\ beta \\ ln x)))
Polske rødder. For at få en anden lineært uafhængig beslutning er det nødvendigt at reducere ordren igen.
- Det kræver en hel del computing, men princippet forbliver det samme: vi erstatter y \u003d v (x) y 1 (\\ displaystyle y \u003d v (x) y_ (1)) Til ligningen er den første løsning, hvoraf det er Y 1 (\\ DISPLAYSTYLE Y_ (1)). Efter forkortelser opnås følgende ligning:
- V "+ 1 x v '\u003d 0 (\\ displaystyle v" "+ (\\ frac (1) (x)) v" \u003d 0)
- Dette er en lineær ligning af første ordre relativt V '(x). (\\ DISPLAYSTYLE V "(X).) Hans beslutning er V (x) \u003d c 1 + c 2 ln \u2061 x. (\\ displayStyle v (x) \u003d c_ (1) + c_ (2) \\ ln x.) Således kan opløsningen skrives i den følgende form. Det er ret nemt at huske - for at opnå en anden lineær uafhængig løsning, er et ekstra medlem simpelthen påkrævet med Ln \u2061 x (\\ displaystyle \\ ln x).
- Y (x) \u003d x N (C 1 + C2 Ln \u2061 x) (\\ DisplayStyle Y (x) \u003d x ^ (n) (c_ (1) + c_ (2) \\ ln x))
- Således kan du forsøge at kigge efter en løsning i formularen y (x) \u003d x n, (\\ displaystyle y (x) \u003d x ^ (n),) Hvor de skal bestemme N (\\ displaystyle n)Tilsvarende, som vi søgte efter en opløsning i form af en eksponentiel funktion for en lineær differentialekvation med konstante koefficienter. Efter differentiering og substitution får vi
-
Inhomogene lineære differentialligninger med konstante koefficienter. Inhomogene ligninger er L [y (x)] \u003d f (x), (\\ displaystyle l \u003d f (x),) Hvor f (x) (\\ displaystyle f (x)) - såkaldt gratis Dick.. Ifølge teorien om differentierende ligninger er den generelle løsning af denne ligning en superposition privat løsning y p (x) (\\ displaystyle y_ (p) (x)) og yderligere løsning y c (x). (\\ DISPLAYSTYLE Y_ (C) (X).) I dette tilfælde betyder en bestemt løsning ikke den løsning, der er specificeret ved de indledende betingelser, men snarere en sådan opløsning, der skyldes tilstedeværelsen af \u200b\u200bheterogenitet (frit element). En yderligere løsning er løsningen af \u200b\u200bden tilsvarende homogene ligning, hvori f (x) \u003d 0. (\\ displaystyle f (x) \u003d 0.) Den generelle løsning er overlejringen af \u200b\u200bdisse to løsninger, da L [y p + y c] \u003d l [y p] + l [y c] \u003d f (x) (\\ displaystyle l \u003d l + l \u003d f (x)), og siden. L [y c] \u003d 0, (\\ displaystyle l \u003d 0,) En sådan superposition er faktisk en generel løsning.
D 2 ydx 2 + adydx + by \u003d f (x) (\\ displayStyle (\\ frac ((\\ mathrm (d)) ^ (2) y) ((\\ mathrm (d)) x ^ (2))) + a (\\ Frac ((\\ mathrm (d)) y) ((\\ mathrm (d)) x)) + by \u003d f (x))
Metode til usikre koefficienter. Metoden med ubestemte koefficienter anvendes i tilfælde, hvor et fritt sigt er en kombination af eksponentiel, trigonometriske, hyperbolske eller effektfunktioner. Kun disse funktioner er garanteret at have et begrænset antal lineære uafhængige derivater. I dette afsnit finder vi en privat løsning af ligningen.
- Sammenlign medlemmer B. f (x) (\\ displaystyle f (x)) Med medlemmer uden at være opmærksom på permanente multiplikatorer. Tre tilfælde er mulige.
- Der er ingen identiske medlemmer. I dette tilfælde en privat løsning y p (\\ displaystyle y_ (p)) vil være en lineær kombination af medlemmer fra y p (\\ displaystyle y_ (p))
- f (x) (\\ displaystyle f (x)) indeholder et medlem x n (\\ displayStyle x ^ (n)) og medlem ud Y c, (\\ displaystyle y_ (c),) hvor N (\\ displaystyle n) det er nul eller et positivt heltal, og dette medlem svarer til en separat rod af den karakteristiske ligning. I dette tilfælde y p (\\ displaystyle y_ (p)) vil bestå af en kombination af funktion x n + 1 h (x), (\\ displayStyle x ^ (n + 1) h (x),) Dens lineære uafhængige derivater, såvel som andre medlemmer f (x) (\\ displaystyle f (x)) og deres lineære uafhængige derivater.
- f (x) (\\ displaystyle f (x)) indeholder et medlem h (x), (\\ displayStyle h (x),) hvilket er et arbejde x n (\\ displayStyle x ^ (n)) og medlem ud Y c, (\\ displaystyle y_ (c),) hvor N (\\ displaystyle n) svarende til 0 eller et positivt heltal, og dette medlem svarer til pasta. Roden til den karakteristiske ligning. I dette tilfælde y p (\\ displaystyle y_ (p)) er en lineær kombination af funktion x n + s h (x) (\\ displayStyle x ^ (n + s) h (x)) (Hvor S (\\ displaystyle s) - Rørets stråling) og dens lineære uafhængige derivater, såvel som andre medlemmer af funktionen f (x) (\\ displaystyle f (x)) og dets lineære uafhængige derivater.
- Vi skriver y p (\\ displaystyle y_ (p)) I form af en lineær kombination af medlemmer, der er anført ovenfor. Takket være disse koefficienter i en lineær kombination kaldes denne metode "metoden for usikre koefficienter". Når udseendet af den indeholdte i y c (\\ displaystyle y_ (c)) Medlemmer af dem kan kasseres på grund af tilstedeværelsen af \u200b\u200bvilkårlig konstant i y c. (\\ DISPLAYSTYLE Y_ (C).) Derefter erstatter vi y p (\\ displaystyle y_ (p)) I ligning og svarende til lignende medlemmer.
- Bestemme koefficienterne. På dette stadium opnås et system af algebraiske ligninger, som normalt kan løses uden problemer. Løsningen af \u200b\u200bdette system giver dig mulighed for at få y p (\\ displaystyle y_ (p)) Og dermed løse ligningen.
- Eksempel 2.3. Overvej en ikke-ensartet differentialekvation, et frit medlem, som indeholder et begrænset antal lineært uafhængige derivater. Den særlige løsning af en sådan ligning kan findes ved fremgangsmåden til usikre koefficienter.
- D 2 YDT 2 + 6 Y \u003d 2 E 3 t - cos \u2061 5 t (\\ displayStyle (\\ frac ((\\ mathrm (d)) ^ (2) y) ((\\ mathrm (d)) t ^ (2) )) + 6Y \u003d 2E ^ (3T) - \\ cos 5t)
- YC (T) \u003d C 1 COS \u2061 6 T + C 2 SIN \u2061 6 T (\\ DISPLAYSTYLE Y_ (C) (T) \u003d C_ (1) \\ COS (\\ SQRT (6)) T + C_ (2) \\ Synd (\\ Sqrt (6)) t)
- Y P (t) \u003d A E 3 T + B COS \u2061 5 T + C SIN \u2061 5 T (\\ DISPLAYSTYLE Y_ (P) (T) \u003d AE ^ (3T) + B \\ COS 5T + C \\ SIN 5T)
- 9 A E 3 T - 25 B COS \u2061 5 T - 25 C SIN \u2061 5 T + 6 A E 3 T + 6 B COS \u2061 5 T + 6 C SIN \u2061 5 T \u003d 2 E 3 T - COS \u2061 5 T (\\ DisplayStyle (\\ BEGIN (ALIGNED) 9AE ^ (3T) -25B \\ COS 5T & -25C \\ SIN 5T + 6AE ^ (3T) \\\\ & + 6B \\ COS 5T + 6C \\ SIN 5T \u003d 2E ^ (3T) - \\ cos 5T \\ End (justeret)))
- (9 A + 6 A \u003d 2, A \u003d 2 15-25 B + 6 B \u003d - 1, B \u003d 1 19-25 C + 6C \u003d 0, C \u003d 0 (\\ DisplayStyle (\\ BEGIN (CASES) 9A + 6A \u003d 2, & A \u003d (\\ DFRAC (2) (15)) \\\\ - 25B + 6b \u003d -1, & b \u003d (\\ DFRAC (1) (19)) \\\\ - 25C + 6C \u003d 0, & C \u003d 0 \\ End (tilfælde)))
- Y (t) \u003d C 1 COS \u2061 6 T + C 2 SIN \u2061 6 T + 2 15 E 3 T + 1 19 COS \u2061 5 T (\\ DISPLAYSTYLE Y (T) \u003d C_ (1) \\ COS (\\ SQRT (6 )) T + C_ (2) \\ SIN (\\ SQRT (6)) t + (\\ frac (2) (15)) E ^ (3T) + (\\ frac (1) (19)) \\ cos 5t)
Lagrange metode. Lagrange-metode eller metode til variation af vilkårlig konstanter er en mere generel metode til at løse inhomogene differentialligninger, især i tilfælde, hvor et frit element ikke indeholder et begrænset antal lineære uafhængige derivater. For eksempel med gratis medlemmer Tan \u2061 x (\\ displaystyle \\ tan x) eller X - N (\\ DISPLAYSTYLE X ^ (- N)) For at finde en privat løsning er det nødvendigt at bruge LaGrange-metoden. Lagrange-metoden kan endda bruges til at løse differentialligninger med variable koefficienter, selv om den i dette tilfælde med undtagelse af cauchy-Euler-ligningen anvendes mindre ofte, da den yderligere løsning normalt ikke udtrykkes gennem elementære funktioner.
- Antag, at beslutningen har følgende formular. Dens derivat er vist i anden linje.
- Y (x) \u003d V 1 (x) Y 1 (x) + V2 (x) Y2 (x) (\\ DisplayStyle Y (X) \u003d V_ (1) (x) Y_ (1) (x) + V_ (2) (x) y_ (2) (x))
- Y '\u003d V 1' Y 1 + V 1 Y 1 '+ V2' Y2 + V2 Y 2 '(\\ DisplayStyle Y "\u003d V_ (1)" Y_ (1) + V_ (1) Y_ (1) "+ V_ (2)" Y_ (2) + V_ (2) Y_ (2) ")
- Da den påståede løsning indeholder to Ukendte værdier skal pålægges ekstra tilstand. Vælg denne ekstra tilstand som følger:
- V 1 'Y 1 + V 2' Y 2 \u003d 0 (\\ DISPLAYSTYLE V_ (1) "Y_ (1) + V_ (2)" Y_ (2) \u003d 0)
- Y '\u003d V 1 Y 1' + V 2 Y 2 '(\\ DISPLAYSTYLE Y "\u003d V_ (1) Y_ (1)" + V_ (2) Y_ (2) ")
- Y "\u003d V 1 'Y 1' + V 1 Y 1" + V 2 'Y 2' + V2 Y 2 "(\\ DISPLAYSTYLE Y" "\u003d V_ (1)" Y_ (1) "+ V_ (1) Y_ (1) "" + V_ (2) "Y_ (2)" + V_ (2) Y_ (2) "")
- Nu kan vi få den anden ligning. Efter substitution og omfordeling af medlemmer kan grupperes sammen med medlemmer med V 1 (\\ displaystyle v_ (1)) og medlemmer af S. V 2 (\\ displaystyle v_ (2)). Disse medlemmer reduceres, fordi Y 1 (\\ DISPLAYSTYLE Y_ (1)) og Y 2 (\\ DISPLAYSTYLE Y_ (2)) er løsninger af den tilsvarende homogene ligning. Som følge heraf får vi følgende systemer af ligninger
- V 1 'Y 1 + V 2' Y 2 \u003d 0 V 1 'Y 1' + V 2 'Y 2' \u003d F (x) (\\ DisplayStyle (\\ BEGIN (ALIGNED) V_ (1) "Y_ (1) + V_ (2) "Y_ (2) & \u003d 0 \\\\ v_ (1)" Y_ (1) "+ V_ (2)" Y_ (2) "δ (justeret)))))
- Dette system kan konverteres til en matrix type ligning A X \u003d B, (\\ DISPLAYSTYLE A (\\ MATHBF (X)) \u003d (\\ MATHBF (B)),) Opløsningen er X \u003d A - 1 b. (\\ DISPLAYSTYLE (\\ MATHBF (X)) \u003d A ^ (- 1) (\\ MathBF (B)).) Til matrixen 2 × 2 (\\ DisplayStyle 2 \\ Times 2) Den invers matrix er placeret ved at dividere determinanten, omarrangere de diagonale elementer og en ændring i tegnet af ikke-aldrende elementer. Faktisk er dets afgørende for denne matrix vronoskan.
- (V 1 'v 2') \u003d 1 W (Y 2 '- Y 2 - Y 1' Y 1) (0 f (x)) (\\ DisplayStyle (\\ Begynd (PMATRIX) V_ (1) "\\\\ v_ ( 2) "\\ END (PMATRIX)) \u003d (\\ frac (1) (W)) (\\ BEGIN (PMATRIX) Y_ (2)" & - Y_ (2) \\\\ - Y_ (1) "& Y_ (1) \\ End (pmatrix)) (\\ begynder (pmatrix) 0 \\\\ f (x) \\ end (pmatrix))
- Udtryk for V 1 (\\ displaystyle v_ (1)) og V 2 (\\ displaystyle v_ (2)) LED nedenfor. Som i metoden til sænkning af ordren vises i dette tilfælde en vilkårlig konstant i integration, som indbefatter en yderligere opløsning i den generelle opløsning af differentialekvationen.
- V 1 (x) \u003d - ∫ 1 w f (x) y 2 (x) dx (\\ displaystyle v_ (1) (x) \u003d - \\ int (\\ frac (1) (w)) f (x) y_ ( 2) (x) (\\ mathrm (d)) x)
- V 2 (x) \u003d ∫ 1 W f (x) y 1 (x) dx (\\ displaystyle v_ (2) (x) \u003d \\ int (\\ frac (1) (w)) f (x) y_ (1) (x) (\\ mathrm (d)) x)
Forelæsning af National Open University Intuitu kaldet "Lineære Differential Equations n-th-bestilling med konstante koefficienter." - Sammenlign medlemmer B. f (x) (\\ displaystyle f (x)) Med medlemmer uden at være opmærksom på permanente multiplikatorer. Tre tilfælde er mulige.
Praktisk brug
Differentialligninger etablerer en forbindelse mellem en funktion og en eller flere af dets derivater. Da sådanne forbindelser er yderst distribuerede, har differentialekvationer været meget udbredt på forskellige felter, og da vi lever i fire dimensioner, er disse ligninger ofte differentielle ligninger i privat derivater. Dette afsnit diskuterer nogle af de vigtigste ligninger af denne type.
- Eksponentiel vækst og forfald. Radioaktivt henfald. Sammensat interesse. Kemisk reaktionshastighed. Koncentrationen af \u200b\u200blægemidler i blodet. Ubegrænset befolkningstilvækst. Newton Richmana lov. I den virkelige verden er der mange systemer, hvor væksten eller forfaldet til enhver tid er proportional med tallet i øjeblikket eller kan være godt tilnærmede af modellen. Dette forklares af, at løsningen af \u200b\u200bdenne differentialligning, den eksponentielle funktion, er en af \u200b\u200bde vigtigste funktioner i matematik og andre videnskaber. I en mere generel sag, med en kontrolleret befolkningstilvækst, kan systemet omfatte yderligere medlemmer, der begrænser væksten. I den permanente ligning nedenfor K (\\ displaystyle k) Det kan både være mere og mindre nul.
- d y d x \u003d k x (\\ displayStyle (\\ frac ((\\ mathrm (d)) y) ((\\ mathrm (d)) x)) \u003d kx)
- Harmoniske oscillationer. Både i klassisk, og i kvantemekanik er en harmonisk oscillator et af de vigtigste fysiske systemer på grund af dets enkelhed og udbredt anvendelse til tilnærmelse af mere komplekse systemer, såsom et simpelt pendul. I klassiske mekanik beskrives harmoniske oscillationer af ligningen, der binder materialets position med sin acceleration gennem cykelloven. Samtidig kan du også tage hensyn til dæmpning og drivkraft. I udtrykket nedenfor X ˙ (\\ displayStyle (\\ dot (x))) - tid derivat fra X, (\\ displayStyle x,) β (\\ displaystyle \\ beta) - en parameter, der beskriver dæmpningskraft, ω 0 (\\ displayStyle \\ omega _ (0)) - Systemets vinkelfrekvens, F (t) (\\ displaystyle f (t)) - Time-afhængig drivkraft. Den harmoniske oscillator er også til stede i elektromagnetiske oscillatoriske kredsløb, hvor det kan implementeres med større nøjagtighed end i mekaniske systemer.
- x ¨ + 2 β x ˙ + Ω 0 2 x \u003d f (t) (\\ displayStyle (\\ ddot (x)) + 2 \\ beta (\\ dot (x)) + \\ \\ \\ _ (0) ^ (2 ) x \u003d f (t))
- Bessel ligning. Besseldifferentialekvationen anvendes i mange fysikområder, herunder at løse bølgekvationen, Laplace-ligningerne og Schrödinger-ligningen, især i nærværelse af cylindrisk eller sfærisk symmetri. Denne anden-ordens differentialekvation med variable koefficienter er ikke en cauchy euler-ligning, så dens løsninger kan ikke registreres i form af elementære funktioner. Løsningerne af Bessel-ligningen er Bessel-funktionerne, der er godt undersøgt på grund af det faktum, at de bruges i mange områder. I udtrykket nedenfor α (\\ displayStyle \\ alpha) - Konstant, der svarer til bestille Bessel funktioner.
- x 2 d2 ydx 2 + xDYDX + (x 2 - α 2) Y \u003d 0 (\\ DisplayStyle X ^ (2) (\\ frac ((\\ Mathrm (D)) ^ (2) Y) ((\\ Mathrm (D )) x ^ (2))) + x (\\ frac ((\\ mathrm (d)) y) ((\\ mathrm (d)) x)) + (x ^ (2) - \\ alpha ^ (2)) y \u003d 0)
- Maxwell ligninger. Sammen med Lorentz magt udgør Maxwell-ligningen grundlaget for klassisk elektrodynamik. Disse er fire differentielle ligninger i private derivater til elektrisk E (r, t) (\\ displayStyle (\\ matemathbf (e)) ((\\ mathbf (r)), t)) og magnetisk B (R, T) (\\ DisplayStyle (\\ MathBF (B)) ((\\ MathBF (R)), T)) Felter. I udtrykkene nedenfor ρ \u003d ρ (r, t) (\\ displaystyle \\ rho \u003d \\ rho ((\\ mathbf (r)), t)) - ladetæthed, J \u003d j (r, t) (\\ displayStyle (\\ matemathbf (j)) \u003d (\\ mathbf (j)) ((\\ mathbf (r)), t)) - Aktuel tæthed, og ε 0 (\\ displaystyle \\ epsilon _ (0)) og μ 0 (\\ displayStyle \\ mu _ (0)) - den elektriske og magnetiske konstant.
- ∇ ⋅ E \u003d ρ 0 0 ∇ ⋅ B \u003d 0 × × E \u003d - ∂ B ∂ T ∇ × B \u003d μ 0 J + μ 0 É 0 ∂ E ∂ T (\\ DisplayStyle (\\ BEGIN (ALIGNED) \\ NABLA \\ CDOT (\\ MathBF (E)) & \u003d (\\ FRAC (\\ RHO) (\\ Epsilon _ (0))) \\\\\\ nabla \\ CDOT (\\ MathBF (B)) & \u003d 0 \\\\\\ nabla \\ Times (\\ MathBF (E)) & \u003d - (\\ FRAC (\\ Delvis (\\ MathBF (B))) (\\ Delvis T)) \\\\\\ Nabla \\ Times (\\ MathBF (B)) & \u003d \\ Mu _ (0) (\\ MathBF (j)) + \\ Mu _ (0) \\ Epsilon _ (0) (\\ FRAC (\\ Delvis (\\ MathBF (E))) (\\ Delvis T)) \\ END (Aligned)))
- Schrödinger ligning. I kvantemekanik er Schrödinger-ligningen den vigtigste egenskabsekvation, som beskriver bevægelsen af \u200b\u200bpartikler i overensstemmelse med ændringen i bølgefunktionen Ψ \u003d ψ (r, t) (\\ displaystyle \\ psi \u003d \\ psi ((\\ mathbf (r)), t)) med tiden. Bevægelsesligningen er beskrevet af adfærd hamiltonian. H ^ (\\ displayStyle (\\ hat (h))) - operatørsom beskriver systemets energi. En af de velkendte eksempler på Schrödingerligningen i fysik er ligningen for en ikke-relativistisk partikel, hvortil potentialet er gyldig. V (r, t) (\\ displaystyle v ((\\ matemathbf (r)), t)). Mange systemer er beskrevet af den tidsafhængige Schrödingerligning, mens der i den venstre del af ligningen omkostninger E ψ, (\\ displayStyle e \\ psi,) Hvor E (\\ DisplayStyle E) - energipartikler. I udtryk nedenfor ℏ (\\ DisplayStyle \\ HBar) - Den reducerede konstant planke.
- Jeg \\ \\ DISPLAYSTYLE I \\ HBAR (\\ FRIC (\\ PUNKTIAL \\ PSI) (\\ partial t)) \u003d (\\ hat (h)) \\ psi)
- i ℏ ∂ ψ ∂ t \u003d (- ℏ 2 2 m ∇ 2 + v (r, t)) ψ (\\ displayStyle I \\ HB (\\ frac (\\ partial \\ psi) (\\ partial t)) \u003d \\ venstre (- (\\ FRAC (\\ Hbar ^ (2)) (2m)) \\ Nabla ^ (2) + V ((\\ MathBF (R)), T) \\ højre) \\ psi)
- Wave ligning. Uden bølger er det umuligt at præsentere fysik og teknikker, de er til stede i alle typer systemer. I det generelle tilfælde beskrives bølgerne nedenfor af ligningen i hvilken u \u003d u (r, t) (\\ displaystyle u \u003d u ((\\ mathbf (r)), t)) er en ønsket funktion, og C (\\ displaystyle c) - eksperimentelt bestemt konstant. Daember var den første, der fandt ud af, at for et endimensionelt tilfælde ved at løse bølgeekvationen er nogen Funktion med argument X - C t (\\ DisplayStyle X-CT)som beskriver bølgen af \u200b\u200ben vilkårlig form, der formeres til højre. En generel løsning til et endimensionel tilfælde er en lineær kombination af denne funktion med en anden funktion med et argument X + c t (\\ displayStyle x + ct)som beskriver bølgen forplantning til venstre. Denne løsning er præsenteret i anden linje.
- ∂ 2 u ∂ t 2 \u003d c 2 ∇ 2 u (\\ displayStyle (\\ frac (\\ partial ^ (2) u) (\\ partial t ^ (2))) \u003d c ^ (2) \\ nabela ^ (2) u )
- u (x, t) \u003d f (x - c t) + g (x + c t) (\\ displaystyle u (x, t) \u003d f (x-ct) + g (x + ct))
- Navier ligninger. Navier-Stokes-ligninger beskriver bevægelsen af \u200b\u200bvæsker. Da væsker er til stede på næsten alle områder af videnskab og teknologi, er disse ligninger yderst vigtige for vejrforudsigelse, konstruktion af fly, studere havstrømme og løsninger til mange andre anvendte opgaver. Navier-Stokes-ligningerne er ikke-lineære differentialekvationer i private derivater, og i de fleste tilfælde er det meget vanskeligt at løse dem, da ikke-linearitet fører til turbulens, og for at opnå en stabil løsning med numeriske metoder, er det nødvendigt at bryde ind i meget Små celler, der kræver betydelig computerkapacitet. Til praktiske formål i hydrodynamik til at simulere turbulente strømme anvendes teknikker såsom tidsværdi. Svære opgaver er endnu vigtigere spørgsmål, såsom eksistens og unikhed af løsninger til ikke-lineære ligninger i private derivater, og beviset for eksistensen og unikheden af \u200b\u200bløsningen til Navier-Stokes-ligningerne i tre dimensioner er blandt millennium matematiske opgaver. Nedenfor er ligningen af \u200b\u200bstrømmen af \u200b\u200binkompressibel væske og kontinuitetsligningen.
- ∂ U ∂ t + (u ⋅ ∇) u - ν ∇ 2 u \u003d - ∇ h, ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) \u003d 0 (\\ displayStyle (\\ frac (\\ partial (\\ mathbf (u)) ) (\\ Partial t)) + ((\\ mathbf (u)) \\ cdot \\ nabela) (\\ mathbf (u)) - \\ n \\ nabla ^ (2) (\\ mathbf (u)) \u003d - \\ nabla h, \\ Quad (\\ FRIK (\\ partial \\ rho) (\\ partial t)) + \\ nabla \\ cdot (\\ rho (\\ mathbf (u))) \u003d 0)
- Mange forskellige ligninger er simpelthen umulige at løse ovennævnte metoder, især nævnt i sidste afsnit. Dette gælder for de tilfælde, hvor ligningen indeholder variable koefficienter og ikke er en cauchy euler-ligning, eller når ligningen er ikke-lineær, med undtagelse af flere meget sjældne tilfælde. Ovennævnte metoder gør det imidlertid muligt at løse mange vigtige differentialligninger, der ofte findes på forskellige områder af videnskab.
- I modsætning til differentiering, som giver dig mulighed for at finde et derivat af en hvilken som helst funktion, kan integreret af mange udtryk ikke udtrykkes i elementære funktioner. Derfor må du ikke spilde tid i forsøg på at beregne integralet, hvor det er umuligt. Kig på det integrerede bord. Hvis løsningen af \u200b\u200bdifferentialekvationen ikke kan udtrykkes gennem elementære funktioner, kan det undertiden indsendes i en integreret form, og i dette tilfælde betyder det ikke noget, om det er muligt at beregne denne integral analytisk.
Advarsler.
- Udseende Differentialekvation kan være vildledende. For eksempel er to differentialligninger af den første ordre angivet nedenfor. Den første ligning løses let ved hjælp af de metoder, der er beskrevet i denne artikel. Ved første øjekast, en mindre erstatning Y (\\ displaystyle y) på den Y 2 (\\ DISPLAYSTYLE Y ^ (2)) I den anden ligning gør det ikke lineært, og det bliver meget svært at beslutte.
- D y d x \u003d x 2 + y (\\ displayStyle (\\ frac ((\\ mathrm (d)) y) ((\\ mathrm (d)) x)) \u003d x ^ (2) + y)
- D y d x \u003d x 2 + y 2 (\\ displayStyle (\\ frac ((\\ mathrm (d) y) ((\\ mathrm (d)) x)) \u003d x ^ (2) + y ^ (2))
Differentielle ligninger af den første rækkefølge. Eksempler på opløsninger.
Differentielle ligninger med adskillelse af variabler
Differentialligninger (DU). Disse to ord fører normalt til rædsel fra den gennemsnitlige gennemsnitlige mand. Differentialekvationer synes noget eksemplarisk og svært at mestre og mange studerende. Uuuuuu ... Differentialligninger, hvordan ville jeg gå igennem alt dette?!
En sådan mening og et sådant humør er forkert, for faktisk Differentialligninger er enkle og endda spændende. Hvad skal du vide og være i stand til at lære at løse differentialekvationer? For at kunne studere diffussen, skal du være i stand til at integrere godt og differentiere. Jo bedre de studerede emner Afledningsfunktion af en variabel og Usikker integreretDen måde, det bliver lettere at forstå differentielle ligninger. Jeg vil sige mere, hvis du har mere eller mindre anstændige integration færdigheder, så emnet er næsten mestret! Jo flere integraler af forskellige typer du kan bestemme - jo bedre. Hvorfor? Vi bliver nødt til at integrere meget. Og differentiere. Også stærkt anbefale Lær at finde.
I 95% af tilfældene findes 3 typer af førsteklasses differentialekvationer i kontrolpapirerne: ligninger med adskillelse af variablersom vi overvejer i denne lektion ensartede ligninger. og lineære inhomogene ligninger.. Begyndere til at studere de diffusser, jeg råder dig til at blive bekendt med lektionerne i en sådan rækkefølge, og efter at have studeret de to første artikler, vil det ikke skade for at konsolidere dine færdigheder på et ekstra værksted - ligninger reduceret til homogent.
Der er endnu mere sjældne typer af differentialligninger: ligninger i komplette differentier, Bernoulli-ligninger og nogle andre. De vigtigste af de sidste to arter er ligninger i fuldstændige differentier, da jeg ud over denne du overvejer det nye materiale - privat integration..
Hvis du har på lager kun en dag eller toT. til ultrafast forberedelse. der er blitz-kursus I PDF-format.
Så retningslinjerne er placeret - gik:
Forbind først de sædvanlige algebraiske ligninger. De indeholder variabler og tal. Det enkleste eksempel :. Hvad betyder det at løse den sædvanlige ligning? Det betyder at finde mange tal.som opfylder denne ligning. Det er nemt at se, at børnenes ligning har den eneste rod :. For et strejf, lav en check, vi erstatter roden fundet i vores ligning:
- Den rigtige ligestilling opnås, det betyder, at opløsningen er fundet korrekt.
Diffures er arrangeret om samme måde!
Differentialligning første ordre generelt indeholder:
1) Uafhængig variabel
2) den afhængige variabel (funktion);
3) Den første derivatfunktion :.
I nogle ligninger af 1. ordre kan der ikke være nogen "IX" eller (og) "Igrek", men det er ikke vigtigt - vigtig at gøre i du var første derivat, og havde ikke Derivater af højere ordrer - mv.
Hvad betyder ?Løs differentieret ligning - det betyder at finde mange af alle funktionersom opfylder denne ligning. Sådanne mange funktioner har ofte formularen (- vilkårlig konstant), som kaldes den generelle løsning af differentialekvationen.
Eksempel 1.
Løs differentieret ligning
Komplet ammunition. Hvor skal man begynde afgørelse?
Først og fremmest skal du omskrive et andet derivat i en anden form. Jeg kan huske en besværlig betegnelse, som mange af jer sandsynligvis syntes latterligt og unødvendigt. I diffusorerne er det netop det!
Ved det andet på arbejdspladsen er det umuligt split variabler? Hvad betyder det at opdele variabler? Groft sagt, i venstre side Vi skal forlade kun "igrek", men i den rigtige del organisere kun "IKERS". Adskillelsen af \u200b\u200bvariabler udføres ved hjælp af "skole" manipulationer: indsendelse til parenteserne, overførslen af \u200b\u200bkomponenterne fra den del til delen med tegnændringen, overførslen af \u200b\u200bmultiplikatorer fra den del til delen i henhold til Regelreglen osv.
Differentials og er fulde faktor og aktive deltagere i fjendtligheder. I eksemplet af eksemplet er variablerne let divideret med fræsning af multiplikatorer ved forholdsregel:
Variabler adskilles. I venstre side - kun "uvidenhed", i den rigtige del - kun "Xers".
Næste fase - integration af differentialekvation. Alt er simpelt, inspireret af integralerne på begge dele:
Selvfølgelig skal integralerne tages. I dette tilfælde er de tabel:
Som vi husker, er en konstant tilskrevet nogen primitiv. Her er to integraler, men konstant nok til at skrive en gang ud en gang (Fordi konstant + konstant stadig er lig med en anden konstant). I de fleste tilfælde er den placeret på højre side.
Strengt taget, efter at integralerne er taget, anses differentialekvationen som løst. Det eneste, vi "Igrek" er ikke udtrykt gennem "X", det vil sige, at beslutningen er præsenteret i implicit. form. Løsningen af \u200b\u200bdifferentialekvationen i en implicit form kaldes fælles integreret af differentialekvation. Det vil sige, det er en fælles integreret.
Svaret i denne formular er ret acceptabelt, men er der en bedre mulighed? Lad os prøve at få fælles afgørelse.
Det var så lidt, husk den første tekniske teknikDet er meget almindeligt og bruges ofte i praktiske opgaver: hvis en logaritme vises på højre side efter integration, så er den konstante i mange tilfælde (men ikke altid!) Det er også tilrådeligt at optage under logaritme..
Dvs. I STEDETrecords skrive normalt 
.
Hvorfor har du brug for det? Og for at gøre det nemmere at udtrykke "Igarek". Vi bruger logaritm ejendommen 
. I dette tilfælde:
Nu kan logaritmer og moduler fjernes:
Funktionen vises eksplicit. Dette er en generel løsning.
Svar: Fælles afgørelse: 
.
Svarene på mange differentialekvationer er ret nemme at kontrollere. I vores tilfælde sker dette ganske enkelt, tag løsningen og differentiere det:
Derefter erstatter vi og derivatet i den oprindelige ligning:
- Den rigtige ligestilling er opnået, det betyder, at den generelle løsning opfylder ligningen, som det var nødvendigt at kontrollere.
Giver de konstante forskellige værdier, kan du blive uendeligt meget private løsninger Differentialekvation. Det er klart, at nogen af \u200b\u200bfunktionerne ,,, osv. Opfylder differentialekvationen.
Nogle gange kaldes en generel beslutning funktionsfamilie.. I dette eksempel er den generelle løsning 
- Dette er en familie af lineære funktioner, eller snarere en familie af direkte proportionalitet.
Efter en detaljeret tygge i det første eksempel er det hensigtsmæssigt at reagere på flere naive spørgsmål om differentierende ligninger:
1) I dette eksempel formåede vi at opdele variabler. Er det altid muligt at gøre dette? Nej ikke altid. Og endnu oftere kan variabler ikke opdeles. For eksempel i homogene første ordre ligninger, Du skal først erstatte. I andre typer ligninger, for eksempel i en lineær inhomogen første ordensligning, skal du bruge forskellige teknikker og metoder til at finde en generel løsning. Ligninger med adskillelse af variabler, som vi overvejer i den første lektion - den enkleste type differentielle ligninger.
2) Er det altid muligt at integrere differentialekvationen? Nej ikke altid. Det er meget nemt at komme op med en "trimmet" ligning, der ikke kan integreres, desuden er der ubøjete integraler. Men sådanne kan løses omtrent ved hjælp af særlige metoder. Daelaber og Cauchi garanti ... ... Ugh, Lurkmore.to diveka læst, næsten tilføjet "fra det lys."
3) I dette eksempel fik vi en løsning i form af en fælles integral 
. Er det altid muligt fra den generelle integral at finde en generel løsning, det vil sige at udtrykke "Igarek" eksplicit? Nej ikke altid. For eksempel: . Nå, hvordan man udtrykker "igrek"?! I sådanne tilfælde skal svaret skrives som en fælles integral. Derudover kan du undertiden finde en generel beslutning, men det er skrevet så besværligt og klodset, hvilket er bedre at forlade svaret i form af en fælles integral
4) ... måske, mens nok. I det første eksempel mødte vi et andet vigtigt punktMen for ikke at dække "Teapots" lavine af ny information, vil jeg forlade det indtil den næste lektion.
Vi vil ikke skynde os. En anden simpel doom og en mere prøve beslutning:
Eksempel 2.
Find en privat løsning af en differentialligning, der opfylder den oprindelige tilstand
Afgørelse: Under den tilstand, du skal finde privat løsning Du tilfredsstillende en given indledende tilstand. Dette spørgsmål kaldes også cauchy opgave..
Først finder vi en generel løsning. Der er ingen "x" variabel i ligningen, men det bør ikke være flov, det vigtigste er det første derivat i det.
Sprænge derivatet i den rigtige form:
Selvfølgelig kan variabler opdeles, drenge - venstre, piger - højre:
Vi integrerer ligningen: 
Den fælles integral er opnået. Her malet jeg en konstant med en pludselig stjerne, faktum er, at det meget snart bliver til en anden konstant.
Prøv nu det samlede integreret at konvertere til den generelle løsning (udtrykkeligt "Igrek" eksplicit). Vi husker den gamle, venlig, skole: 
. I dette tilfælde:
Konstanten i indikatoren ser på en eller anden måde mærkbar, så det er normalt nedstiget fra himlen til jorden. Hvis det i detaljer sker det sådan. Brug af graders ejendom, omskrive funktionen som følger:
Hvis det er en konstant, så - også nogle konstante, realiserer for sit brev:
Husk nedrivningen af \u200b\u200bkonstanten - dette den anden tekniske tekniksom ofte bruges til at løse differentialligninger.
Så den generelle løsning :. Sådan er en smuk familie af eksponentielle funktioner.
På det sidste trin skal du finde en privat løsning, der opfylder den angivne oprindelige tilstand. Dette er også enkelt.
Hvad er opgaven? Nødt til at afhente at Værdien af \u200b\u200bkonstanten skal implementeres.
Du kan arrangere forskelligt, men det vil nok måske være sådan. Generelt er løsningen i stedet for "IKSA", vi erstatter nul, og i stedet for "Games" to:
Dvs.
Standardversion af designet:
Nu i den generelle løsning erstatter vi fundamentet:
- Dette er den særlige beslutning, du har brug for.
Svar: Privat løsning:
Udføre en check. Kontrol af en privat løsning omfatter to faser:
Først skal du kontrollere, og om den grundlæggende fundet specielle løsning opfylder den oprindelige tilstand? I stedet for "IKSA" erstatter vi nul og se, hvad der sker:
- Ja, en deuce er virkelig opnået, hvilket betyder, at den oprindelige betingelse udføres.
Det andet trin er allerede kendt. Vi tager den modtagne private løsning og finder et derivat:
Vi erstatter i den oprindelige ligning:
- Pålidelig lighed er opnået.
Konklusion: Privat løsning fundet rigtigt.
Gå til mere meningsfulde eksempler.
Eksempel 3.
Løs differentieret ligning
Afgørelse: Omskrive derivatet i den form, vi har brug for: 
Vi vurderer, om det er muligt at opdele variablerne? Kan. Vi bærer anden sigt til højre side med tegnændringen: 
Og kaste multiplikatorer ved forholdsregel: 
Variabler er adskilt, integrerer begge dele: 
Skal advare, dagen nærmer sig. Hvis du har lært dårligt usikre integraler, Der er få eksempler, de har ingen steder at gå - du bliver nødt til at mestre dem nu.
Integralet af venstre side er let at finde, med integralet fra Kothannse, vi behandles den standard teknik, som vi overvejede i lektionen Integrering af trigonometriske funktioner Sidste år: 
I højre side viste vi logaritmen, og ifølge min første tekniske anbefaling bør konstanten også registreres under logaritme.
Nu forsøger vi at forenkle det samlede integrerede. Da vi har nogle logaritmer, er det helt muligt (og nødvendigt) at slippe af med dem. Via. berømte egenskaber. Maksimal "pakke" logaritmer. Sick meget detaljer: 
Emballage er afsluttet for at være barbarisk opmuntret: 
Er det muligt at udtrykke "Igrek"? Kan. Vi skal bygge begge dele i pladsen.
Men det er ikke nødvendigt at gøre dette.
Tredje tekniske råd: Hvis du skal få en generel løsning, skal du hæve eller uddrage rødder, så i de fleste tilfælde Du bør afstå fra disse handlinger og efterlade et svar i form af en fælles integral. Faktum er, at den generelle beslutning vil se bare forfærdelig - med store rødder, tegn og andet affald.
Derfor vil svaret skrive i form af en fælles integral. En god tone anses for at præsentere den i form, det vil sige i den rigtige del, hvis det er muligt, kun efterlade en konstant. Det er ikke nødvendigt at gøre dette, men altid gavnligt at behage professorer ;-)
Svar: Generelt Integral:
! Bemærk: Den overordnede integral af en ligning kan skrives ikke til den eneste måde. Således, hvis dit resultat ikke faldt sammen med et forud kendt svar, betyder det ikke, at du fejlagtigt løste ligningen.
Den generelle integral er også kontrolleret ganske let, det vigtigste er at kunne finde afledt af den funktion, der er angivet implicit. Differentierende svaret: 
Vi multiplicerer begge vilkår på: 
Og opdele på: 
Den oprindelige differentialekvation opnås nøjagtigt, det betyder, at det fælles integral er fundet korrekt.
Eksempel 4.
Find en privat løsning af en differentialligning, der opfylder den oprindelige tilstand. Udføre check.
Dette er et eksempel på en uafhængig løsning.
Jeg minder dig om, at algoritmen består af to faser:
1) at finde en generel løsning
2) Find den ønskede private løsning.
Kontrollen udføres også i to trin (se prøve i eksempel nr. 2), du har brug for:
1) Sørg for, at den fundne private løsning opfylder den oprindelige tilstand;
2) Kontroller, at den private løsning overhovedet opfylder differentialekvationen.
Komplet løsning og svar i slutningen af \u200b\u200blektionen.
Eksempel 5.
Find en privat løsning af differentialekvationen 
tilfredsstillelse af den oprindelige tilstand. Udføre check.
Afgørelse:Vi vil først finde en generel løsning. Ligningen indeholder allerede klare differentier og, hvilket betyder, at løsningen forenkles. Vi deler variabler: 
Vi integrerer ligningen: 
Integreret venstre - Tabular, Integreret Højre - Tag ved at opsummere en funktion under tegnet af differentieret:
Generel integral modtog, om det er umuligt at meddele en generel løsning med succes? Kan. Drej logaritmerne på begge dele. Fordi de er positive, så tegn på det unødvendige modul: 
(Jeg håber, at alle forstår omdannelsen, sådanne ting skal vide)
Så den generelle løsning:
Vi finder en privat løsning, der opfylder den angivne oprindelige tilstand.
Generelt, løsningen i stedet for "IKSA", erstatter vi nul, og i stedet for "Games" logaritmen af \u200b\u200bto: 
Mere velkendt design:
Vi erstatter den fundne værdi af konstanten i den generelle løsning.
Svar: Privat løsning:
Kontroller: Først skal du kontrollere, om den oprindelige betingelse er foretaget:
- alt er godt.
Kontroller nu, og om den pågældende løsning generelt er tilfredsstillende. Differentialekvationen. Find et derivat:
Vi ser på den oprindelige ligning: 
- Det er repræsenteret i differentier. Der er to måder at kontrollere. Du kan udtrykke differentieret fra derivatet fundet:
Vi erstatter den fundne private løsning og differencen opnået i den oprindelige ligning 
: 
Vi bruger den vigtigste logaritmiske identitet: 
Den rigtige ligestilling er opnået, det betyder, at den private løsning er fundet korrekt.
Den anden måde at tjekke spejle og er mere vant: Fra ligningen 
Udtrykke derivatet, for dette deler vi alle ting på: 
Og i den konverterede du erstatter vi den modtagne private løsning og derivatet fundet. Som et resultat af forenklinger bør det også være sandt ligestilling.
Eksempel 6.
Løse differentialekvation. Repræsentation i form af en fælles integral.
Dette er et eksempel på en uafhængig løsning, en komplet løsning og respons i slutningen af \u200b\u200blektionen.
Hvilke vanskeligheder ligger, mens der løser differentialekvationer med adskillelse af variabler?
1) Ikke altid indlysende (især "tekande"), at variabler kan opdeles. Overvej et betinget eksempel :. Her skal du lave multiplikatorer til parenteser: og adskille rødderne :. Hvordan man handler yderligere - forståeligt.
2) Vanskeligheder i selve integrationen. Integraler opstår ofte ikke den enkleste, og hvis der er fejl i færdigheder i at finde usikker integreret, med mange diffusorer bliver nødt til at stramme. Derudover er kompilatorerne af samlinger og metoder populære hos ", når en differentialekvation er enkel, så lad integralerne være mere komplicerede."
3) Konvertering med konstant. Som alle bemærkede, med en konstant i differentierende ligninger, er det muligt at behandle ganske frivilligt, og nogle transformationer er ikke altid forståelige for nybegynderen. Overvej et andet betinget eksempel: 
. Det anbefales at multiplicere alle vilkårene 2: 
. Den resulterende konstant er også en vis konstant, der kan betegnes af: 
. Ja, og da logaritmen er lige snart, er det tilrådeligt at omskrive konstanten i form af en anden konstant: 
.
Ulykken er, at indekserne ofte ikke gider og bruger det samme bogstav. Som følge heraf tager beslutningen om afgørelsen følgende formular: 
Hvilken slags kætteri? Straks fejl! Strengt taget - Ja. Men fra et meningsfuldt synspunkt - ingen fejl, fordi som et resultat af omdannelsen af \u200b\u200bden varierende konstant, opnås en variabel konstant stadig.
Eller et andet eksempel, antager, at under opløsningen af \u200b\u200bligningen blev der opnået en fælles integral. Et sådant svar ser grimt ud, så hvert af fundamentet er tilrådeligt at ændre tegnet: 
. Formelt, her igen en fejl - højre skal registreres. Men uformelt indebærer, at "minus ce" er alle de samme konstante ( som med samme succes tager nogen betydninger!)Derfor er at sætte "minus" ikke fornuftigt, og du kan bruge det samme bogstav.
Jeg vil forsøge at undgå en uforsigtig tilgang, og sætter stadig forskellige indekser fra konstanter, når de konverterer dem.
Eksempel 7.
Løse differentialekvation. Udføre check.
Afgørelse: Denne ligning tillader adskillelse af variabler. Vi deler variabler: 
Vi integrerer: 
Konstanten her er ikke nødvendig for at bestemme under logaritme, da intet er muligt fra dette vil ikke fungere.
Svar: Generelt Integral:
Check: Differentiering af svaret (implicit funktion): 
Vi slipper af fraktioner, for dette multiplicerer vi begge vilkår på: 
Den oprindelige differentialekvation blev opnået, hvilket betyder, at den generelle integral er fundet korrekt.
Eksempel 8.
Find en privat beslutning af dig.
,
Dette er et eksempel på en uafhængig løsning. Den eneste tip - der vil være en fælles integral, og mere korrekt skal du være i stand til at finde ikke en bestemt løsning, men privat integral. Komplet løsning og svar i slutningen af \u200b\u200blektionen.