Lær mere om eksponenter og eksponentiering. Eksponentiering, regler, eksempler Eksponentieringsformler

Eksponentiering er en operation tæt forbundet med multiplikation, denne operation er resultatet af multiplikation af et tal af sig selv. Lad os repræsentere formlen: a1 * a2 * ... * an = an.

For eksempel, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

Generelt bruges eksponentiering ofte i forskellige formler i matematik og fysik. Denne funktion har et mere videnskabeligt formål end de fire grundlæggende: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division.

At hæve et tal til en magt

At hæve et tal til en magt er ikke en vanskelig operation. Det er relateret til multiplikation ligesom forholdet mellem multiplikation og addition. Optag en - en kort registrering af det n-te antal tal "a" ganget med hinanden.

Overvej eksponentiering af de enkleste eksempler, gå videre til komplekse eksempler.

For eksempel 42. 42 = 4 * 4 = 16 . Fire i kvadrat (til anden potens) er lig med seksten. Hvis du ikke forstår multiplikationen 4 * 4, så læs vores artikel om multiplikation.

Lad os se på et andet eksempel: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Fem terninger (til tredje potens) er lig med hundrede og femogtyve.

Et andet eksempel: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Ni terninger er lig med syv hundrede niogtyve.

Eksponentieringsformler

For at hæve korrekt til en potens, skal du huske og kende formlerne nedenfor. Der er intet ud over det naturlige i dette, det vigtigste er at forstå essensen, og så vil de ikke kun blive husket, men også virke nemme.

At hæve en monomial til en magt

Hvad er et monomial? Dette er produktet af tal og variable i enhver mængde. For eksempel er to et monomial. Og denne artikel handler om at hæve sådanne monomialer til en magt.

Ved at bruge eksponentieringsformler vil det ikke være svært at beregne eksponentieringen af ​​et monomial til en potens.

For eksempel, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Hvis du hæver en monomial til en potens, så hæves hver komponent af monomial til en potens.

Når man hæver en variabel, der allerede har en grad til en potens, ganges graderne. For eksempel, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Hæve til en negativ magt

En negativ eksponent er den reciproke af et tal. Hvad er en gensidighed? For ethvert tal X er den gensidige 1/X. Det vil sige X-1=1/X. Dette er essensen af ​​den negative grad.

Overvej eksemplet (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Hvorfor det? Da der er et minus i graden, overfører vi blot dette udtryk til nævneren og hæver det så til tredje potens. Helt rigtigt?

Hæve til en brøkdel magt

Lad os starte med et specifikt eksempel. 43/2. Hvad betyder power 3/2? 3 - tæller, betyder at hæve et tal (i dette tilfælde 4) til en terning. Tallet 2 er nævneren, dette er udtrækningen af ​​den anden rod af tallet (i dette tilfælde 4).

Så får vi kvadratroden af ​​43 = 2^3 = 8 . Svar: 8.

Så nævneren for en brøkgrad kan være enten 3 eller 4, og til uendeligt et hvilket som helst tal, og dette tal bestemmer graden af ​​kvadratroden udtrukket fra et givet tal. Selvfølgelig kan nævneren ikke være nul.

At hæve en rod til en magt

Hvis roden hæves til en magt, der svarer til selve rodens kraft, så er svaret det radikale udtryk. For eksempel, (√x)2 = x. Og så i alle tilfælde af lighed mellem graden af ​​roden og graden af ​​at hæve roden.

Hvis (√x)^4. Derefter (√x)^4=x^2. For at tjekke løsningen oversætter vi udtrykket til et udtryk med en brøkgrad. Da roden er kvadratisk, er nævneren 2. Og hvis roden hæves til fjerde potens, så er tælleren 4. Vi får 4/2=2. Svar: x = 2.

Under alle omstændigheder er den bedste mulighed blot at konvertere udtrykket til en brøkeksponent. Hvis brøken ikke reduceres, vil et sådant svar være, forudsat at roden af ​​det givne tal ikke tildeles.

Eksponentiering af et komplekst tal

Hvad er et komplekst tal? Et komplekst tal er et udtryk, der har formlen a + b * i; a, b er reelle tal. i er det tal, der i anden kvadrat giver tallet -1.

Overvej et eksempel. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Tilmeld dig kurset "Fremskynd mentaltælling, IKKE hovedregning" for at lære, hvordan du hurtigt og korrekt adderer, subtraherer, multiplicerer, dividerer, kvadrattal og endda slår rødder. På 30 dage lærer du, hvordan du bruger lette tricks til at forenkle aritmetiske operationer. Hver lektion indeholder nye teknikker, klare eksempler og nyttige opgaver.

Eksponentiering online

Ved hjælp af vores lommeregner kan du beregne eksponentieringen af ​​et tal til en potens:

Eksponentieringsgrad 7

At hæve til en magt begynder kun at passere skolebørn i syvende klasse.

Eksponentiering er en operation tæt forbundet med multiplikation, denne operation er resultatet af multiplikation af et tal af sig selv. Lad os repræsentere formlen: a1 * a2 * … * an=an .

For eksempel, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Eksempler på løsninger:

Præsentation af eksponentiering

Præsentation om eksponentiering, designet til elever i syvende klasse. Præsentationen kan afklare nogle uforståelige pointer, men sådanne pointer vil der nok ikke være takket være vores artikel.

Resultat

Vi har kun overvejet toppen af ​​isbjerget, for at forstå matematik bedre - tilmeld dig vores kursus: Fremskynd mentaltælling - IKKE hovedregning.

Fra kurset lærer du ikke kun snesevis af tricks til forenklet og hurtig multiplikation, addition, multiplikation, division, udregning af procenter, men også udarbejde dem i specielle opgaver og pædagogiske spil! Mental tælling kræver også meget opmærksomhed og koncentration, som er aktivt trænet i at løse interessante problemer.

Lommeregneren hjælper dig med hurtigt at hæve et tal til en magt online. Grundlaget for graden kan være et hvilket som helst tal (både heltal og reelle). Eksponenten kan også være heltal eller reel, og også både positiv og negativ. Det skal huskes, at hæve til en ikke-heltals potens ikke er defineret for negative tal, og derfor vil lommeregneren rapportere en fejl, hvis du stadig forsøger at gøre dette.

Gradberegner

Hæv til en magt

Eksponentiering: 94722

Hvad er en naturlig magt af et tal?

Tallet p kaldes den n'te potens af tallet a, hvis p er lig med tallet a ganget med sig selv n gange: p \u003d a n \u003d a ... a
n - kaldet eksponent, og tallet a - grads basis.

Hvordan hæver man et tal til en naturlig magt?

For at forstå, hvordan man hæver forskellige tal til naturlige kræfter, kan du overveje et par eksempler:

Eksempel 1. Hæv tallet tre til fjerde potens. Det vil sige, at det er nødvendigt at beregne 3 4
Løsning: som nævnt ovenfor, 3 4 = 3 3 3 3 = 81 .
Svar: 3 4 = 81 .

Eksempel 2. Hæv tallet fem til femte potens. Det vil sige, at det er nødvendigt at beregne 5 5
Løsning: tilsvarende 5 5 = 5 5 5 5 5 = 3125 .
Svar: 5 5 = 3125 .

For at hæve et tal til en naturlig potens er det således nok bare at gange det med sig selv n gange.

Hvad er en negativ potens af et tal?

Den negative potens -n af a er en divideret med a til potensen af ​​n: a -n = .

I dette tilfælde eksisterer en negativ eksponent kun for andre tal end nul, da der ellers ville opstå division med nul.

Hvordan hæver man et tal til et negativt heltal?

For at hæve et ikke-nul tal til en negativ potens, skal du beregne værdien af ​​dette tal til den samme positive potens og dividere en med resultatet.

Eksempel 1. Hæv tallet to til minus fjerde potens. Det vil sige, at det er nødvendigt at beregne 2 -4

Løsning: som nævnt ovenfor, 2 -4 = = = 0,0625.

Svar: 2 -4 = 0.0625 .

Power formler bruges i processen med at reducere og forenkle komplekse udtryk, ved løsning af ligninger og uligheder.

Nummer c er n-te potens af et tal -en Hvornår:

Operationer med grader.

1. Hvis du multiplicerer grader med den samme base, summeres deres indikatorer:

en ma n = a m + n.

2. I opdelingen af ​​grader med samme base trækkes deres indikatorer fra:

3. Graden af ​​produktet af 2 eller flere faktorer er lig med produktet af graderne af disse faktorer:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Graden af ​​en brøk er lig med forholdet mellem graderne af udbyttet og divisoren:

(a/b) n = a n/b n .

5. Når en potens hæves til en potens, ganges eksponenterne:

(am) n = a m n .

Hver formel ovenfor er korrekt i retningerne fra venstre mod højre og omvendt.

For eksempel. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operationer med rødder.

1. Roden af ​​produktet af flere faktorer er lig med produktet af rødderne af disse faktorer:

2. Roden af ​​forholdet er lig med forholdet mellem udbyttet og divisor af rødderne:

3. Når du hæver en rod til en potens, er det nok at hæve rodtallet til denne potens:

4. Hvis vi øger graden af ​​roden ind nén gang og samtidig hæve til n potens er et radikalt tal, så ændres værdien af ​​roden ikke:

5. Hvis vi mindsker graden af ​​roden ind n rod på samme tid n grad fra det radikale tal, så ændres værdien af ​​roden ikke:

Grad med negativ eksponent. Graden af ​​et tal med en ikke-positiv (heltal) eksponent er defineret som én divideret med graden af ​​det samme tal med en eksponent lig med den absolutte værdi af den ikke-positive eksponent:

Formel en m:a n = a m - n kan bruges ikke kun til m> n, men også kl m< n.

For eksempel. -en4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Til formel en m:a n = a m - n blev fair kl m=n, du har brug for tilstedeværelsen af ​​nulgraden.

Grad med nul eksponent. Potensen af ​​ethvert ikke-nul tal med en nuleksponent er lig med en.

For eksempel. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

En grad med en brøkeksponent. At hæve et reelt tal EN til en vis grad m/n, skal du udtrække roden n grad af m potens af dette tal EN.

Hvornår tallet multiplicerer sig selv for mig selv, arbejde hedder grad.

Så 2,2 = 4, kvadrat eller anden potens af 2
2.2.2 = 8, terning eller tredje potens.
2.2.2.2 = 16, fjerde grad.

Desuden er 10,10 = 100, anden potens er 10.
10.10.10 = 1000, tredje grad.
10.10.10.10 = 10000 fjerde grad.

Og a.a = aa, anden potens af a
a.a.a = aaa, tredje potens af a
a.a.a.a = aaaa, fjerde potens af en

Det oprindelige nummer kaldes rod grader af det tal, fordi det er det tal, som graderne blev skabt ud fra.

Det er dog ikke særlig bekvemt, især i tilfælde af høje kræfter, at nedskrive alle de faktorer, der udgør kræfterne. Derfor anvendes en forkortet notationsmetode. Gradens rod skrives kun én gang, og til højre og lidt højere ved siden af, men med en lidt mindre skrift er der skrevet hvor mange gange roden fungerer som en faktor. Dette nummer eller bogstav kaldes eksponent eller grad tal. Så en 2 er lig med a.a eller aa, fordi roden af ​​a skal ganges med sig selv to gange for at få styrken af ​​aa. Også et 3 betyder aaa, det vil sige her gentages a tre gange som en multiplikator.

Eksponenten for den første potens er 1, men den skrives normalt ikke ned. Så en 1 skrives som en.

Du skal ikke forveksle grader med koefficienter. Koefficienten viser, hvor ofte værdien tages som En del hel. Eksponenten angiver, hvor ofte værdien tages som faktor i arbejdet.
Så 4a = a + a + a + a. Men en 4 = a.a.a.a

Den eksponentielle notation har den særlige fordel, at den giver os mulighed for at udtrykke ukendt grad. Til dette formål skrives eksponenten i stedet for et tal brev. I processen med at løse problemet kan vi få en værdi, der som bekendt er nogle grad af en anden størrelsesorden. Men indtil videre ved vi ikke, om det er en firkant, en terning eller en anden højere grad. Så i udtrykket a x betyder eksponenten, at dette udtryk har nogle grad, selvom det ikke er defineret hvilken grad. Så b m og d n hæves til potenserne m og n. Når eksponenten er fundet, nummer erstattet et brev. Så hvis m=3, så er b m = b 3 ; men hvis m = 5, så er b m =b 5 .

Metoden til at skrive værdier med eksponenter er også en stor fordel ved brug udtryk. Således er (a + b + d) 3 (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), det vil sige terningen af ​​trinomialet (a + b + d) . Men hvis vi skriver dette udtryk efter cubed, vil det se ud
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Hvis vi tager en række potenser, hvis eksponenter stiger eller falder med 1, finder vi, at produktet stiger med fælles faktor eller reduceret med fælles divisor, og denne faktor eller divisor er det oprindelige tal, der hæves til en potens.

Så i serien aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
eller a 5 , a 4 , a 3 , a 2 , a 1 ;
indikatorer, hvis de tælles fra højre mod venstre, er 1, 2, 3, 4, 5; og forskellen mellem deres værdier er 1. Hvis vi starter til højre formere sig på a, vil vi med succes få flere værdier.

Så a.a = a 2, det andet led. Og en 3 .a = en 4
a 2 .a = a 3 , tredje led. a 4 .a = a 5 .

Hvis vi starter venstre dele på en,
vi får en 5:a = a 4 og en 3:a = a 2 .
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1

Men sådan en opdelingsproces kan fortsættes videre, og vi får et nyt værdisæt.

Så a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

Den fulde række vil være: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Eller a 5 , a 4 , a 3 , a 2 , a, 1, 1/a, 1/a 2 , 1/a 3 .

Her værdier til højre fra enhed er baglæns værdier til venstre for en. Derfor kan disse grader kaldes omvendte potenser en. Man kan også sige, at magterne til venstre er det omvendte af magterne til højre.

Så 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. Og 1:(1/a 3) = a 3 .

Den samme optagelsesplan kan anvendes på polynomier. Så for a + b får vi et sæt,
(a + b) 3, (a + b) 2, (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2, 1/(a + b) 3 .

For nemheds skyld bruges en anden form for at skrive omvendte potenser.

Ifølge denne form er 1/a eller 1/a 1 = a -1 . Og 1/aaa eller 1/a 3 = a -3 .
1/aa eller 1/a2 = a -2. 1/aaaa eller 1/a 4 = a -4 .

Og for at få eksponenterne til at fuldføre serier med 1 som den samlede forskel, betragtes a/a eller 1 som sådan, der ikke har nogen grad og skrives som 0 .

Derefter under hensyntagen til de direkte og omvendte beføjelser
i stedet for aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
du kan skrive en 4 , a 3 , a 2 , a 1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
Eller a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .

Og en række af kun separate grader vil have formen:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Gradens rod kan udtrykkes med mere end ét bogstav.

Således er aa.aa eller (aa) 2 anden potens af aa.
Og aa.aa.aa eller (aa) 3 er den tredje potens af aa.

Alle grader af tallet 1 er de samme: 1.1 eller 1.1.1. vil være lig med 1.

Eksponentiering er at finde værdien af ​​ethvert tal ved at gange det tal med sig selv. Eksponentieringsregel:

Multiplicer værdien med sig selv så mange gange som angivet i tallets potens.

Denne regel er fælles for alle eksempler, der kan opstå i eksponentieringsprocessen. Men det vil være korrekt at forklare, hvordan det gælder i særlige tilfælde.

Hvis kun et led hæves til en potens, så ganges det med sig selv så mange gange som eksponenten angiver.

Den fjerde potens a er en 4 eller aaaa. (Art. 195.)
Den sjette potens af y er y 6 eller yyyyyy.
Den n-te potens af x er x n eller xxx..... n gange gentaget.

Hvis det er nødvendigt at hæve et udtryk af flere udtryk til en magt, princippet om, at graden af ​​produktet af flere faktorer er lig med produktet af disse faktorer hævet til en potens.

Så (ay) 2 =a 2 y 2; (ay) 2 = ay.ay.
Men ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2 .
Så (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Derfor kan vi, når vi finder graden af ​​et produkt, enten operere på hele produktet på én gang, eller vi kan operere på hver faktor separat og derefter gange deres værdier med grader.

Eksempel 1. Den fjerde potens af dhy er (dhy) 4 , eller d 4 h 4 y 4 .

Eksempel 2. Den tredje potens af 4b er (4b) 3 , eller 4 3 b 3 , eller 64b 3 .

Eksempel 3. Den n. potens af 6ad er (6ad) n eller 6 n a n d n .

Eksempel 4. Den tredje potens af 3m.2y er (3m.2y) 3 eller 27m 3 .8y 3.

Graden af ​​et binomium, der består af led forbundet med + og -, beregnes ved at gange dets led. Ja,

(a + b) 1 = a + b, den første potens.
(a + b) 1 = a2 + 2ab + b2, anden potens (a + b).
(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, tredje grad.
(a + b) 4 \u003d a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, fjerde grad.

Kvadrat a - b, der er en 2 - 2ab + b 2 .

Kvadraten a + b + h er a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2

Øvelse 1. Find terningen a + 2d + 3

Øvelse 2. Find fjerde potens b + 2.

Øvelse 3. Find den femte potens af x + 1.

Opgave 4. Find sjette grad 1 - b.

Sum kvadrater beløb Og forskel binomialer er så almindelige i algebra, at det er nødvendigt at kende dem meget godt.

Hvis vi gange a + h med sig selv eller a - h med sig selv,
vi får: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 også, (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .

Dette viser, at i hvert tilfælde er første og sidste led kvadraterne af a og h, og mellemleddet er to gange produktet af a og h. Derfor kan kvadratet af summen og forskellen af ​​binomialerne findes ved hjælp af følgende regel.

Kvadratet af et binomium, som begge er positive, er lig med kvadratet af det første led + to gange produktet af begge led, + kvadratet af det sidste led.

Firkant forskel binomial er lig med kvadratet af det første led minus to gange produktet af begge led plus kvadratet af det andet led.

Eksempel 1. Kvadrat 2a + b, der er 4a 2 + 4ab + b 2 .

Eksempel 2. Kvadraten ab + cd er a 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2 .

Eksempel 3. Firkanten 3d - h er 9d 2 + 6dh + h 2.

Eksempel 4. Firkanten a - 1 er en 2 - 2a + 1.

For en metode til at finde højere potenser af binomialer, se de følgende afsnit.

I mange tilfælde er det effektivt at skrive grad ingen multiplikation.

Så kvadratet a + b er (a + b) 2 .
Den n-te potens bc + 8 + x er (bc + 8 + x) n

I sådanne tilfælde dækker beslagene Alle medlemmer under grad.

Men hvis roden til graden består af flere multiplikatorer, kan parentesen dække hele udtrykket eller kan anvendes separat på faktorer, afhængigt af bekvemmelighed.

Således er kvadratet (a + b)(c + d) enten [(a + b).(c + d)] 2 eller (a + b) 2 .(c + d) 2 .

For det første af disse udtryk er resultatet kvadratet af produktet af to faktorer, og for det andet produktet af deres kvadrater. Men de er lige hinanden.

Terningen a.(b + d), er 3 , eller a 3 .(b + d) 3 .

Det er også nødvendigt at tage hensyn til skiltet foran de involverede medlemmer. Det er meget vigtigt at huske, at når roden til en kraft er positiv, er alle dens positive kræfter også positive. Men når roden er negativ, værdier fra ulige potenser er negative, mens værdierne også selvom grader er positive.

Den anden potens (- a) er +a 2
Den tredje grad (-a) er -a 3
Den fjerde potens (-a) er +a 4
Den femte potens (-a) er -a 5

Derfor evt ulige eksponenten har samme fortegn som tallet. Men også selvom graden er positiv, uanset om tallet har negativt eller positivt fortegn.
Så +a.+a = +a 2
OG -a.-a = +a 2

En værdi, der allerede er hævet til en potens, hæves igen til en potens ved at gange eksponenterne.

Den tredje potens af en 2 er en 2,3 = en 6 .

For a2 = aa; terning aa er aa.aa.aa = aaaaaa = a 6 ; som er sjette potens af a, men tredje potens af a 2 .

Den fjerde potens a 3 b 2 er a 3,4 b 2,4 = a 12 b 8

Den tredje potens af 4a 2 x er 64a 6 x 3 .

Den femte potens af (a + b) 2 er (a + b) 10 .

N. potens af en 3 er en 3n

Den n-te potens af (x - y) m er (x - y) mn

(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6

(a 3 b 2 h 4) 3 = a 9 b 6 h 12

Reglen gælder ligeledes for negativ grader.

Eksempel 1. Den tredje potens af a -2 er a -3,3 =a -6 .

For a -2 = 1/aa, og tredje potens af denne
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6

Den fjerde potens a 2 b -3 er a 8 b -12 eller a 8 / b 12 .

Firkanten b 3 x -1 er b 6 x -2.

Den n'te potens ax -m er x -mn eller 1/x .

Det skal dog her huskes, at hvis et tegn Tidligere grad er "-", så skal den ændres til "+", når graden er et lige tal.

Eksempel 1. Firkanten -a 3 er +a 6 . Kvadratet af -a 3 er -a 3 .-a 3 , som ifølge reglerne for multiplikationstegn er +a 6 .

2. Men terningen -a 3 er -a 9 . For -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9 .

3. Den n'te potens af -a 3 er en 3n .

Her kan resultatet være positivt eller negativt alt efter om n er lige eller ulige.

Hvis brøkdel hævet til en potens, hæves tælleren og nævneren til potensen.

Firkanten a/b er a 2 /b 2 . Ifølge reglen om multiplikation af brøker,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

Den anden, tredje og n. potens af 1/a er 1/a 2 , 1/a 3 og 1/a n .

Eksempler binomialer hvor et af begreberne er en brøk.

1. Find kvadratet x + 1/2 og x - 1/2.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2,x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2,x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4

2. Firkanten a + 2/3 er a 2 + 4a/3 + 4/9.

3. Kvadrat x + b/2 = x 2 + bx + b 2/4.

4 Kvadraten x - b/m er x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2 .

Det har man tidligere vist brøkkoefficient kan flyttes fra tælleren til nævneren eller fra nævneren til tælleren. Ved at bruge skemaet med at skrive omvendte potenser kan det ses enhver multiplikator kan også flyttes hvis gradens fortegn ændres.

Så i brøken ax -2 /y kan vi flytte x fra tælleren til nævneren.
Så ax -2/y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x2 = a/yx2.

I brøken a/til 3 kan vi flytte y fra nævneren til tælleren.
Derefter a/by 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3/b.

På samme måde kan vi flytte en faktor, der har en positiv eksponent, til tælleren, eller en faktor med negativ eksponent til nævneren.

Så akse 3 / b = a / bx -3 . For x 3 er det omvendte x -3 , hvilket er x 3 = 1/x -3 .

Derfor kan nævneren af ​​enhver brøk fjernes helt, eller tælleren kan reduceres til én uden at ændre betydningen af ​​udtrykket.

Så a/b = 1/ba -1 eller ab -1.

kan findes ved hjælp af multiplikation. For eksempel: 5+5+5+5+5+5=5x6. De siger om sådan et udtryk, at summen af ​​lige vilkår er blevet foldet til et produkt. Og omvendt, hvis vi læser denne lighed fra højre mod venstre, får vi, at vi har udvidet summen af ​​lige led. På samme måde kan du folde produktet af flere lige store faktorer 5x5x5x5x5x5=5 6 .

Det vil sige, at i stedet for at gange seks identiske faktorer 5x5x5x5x5x5, skriver de 5 6 og siger "fem til sjette potens."

Udtrykket 5 6 er en potens af et tal, hvor:

5 - basis af grad;

6 - eksponent.

De operationer, hvorved produktet af lige faktorer foldes til en potens, kaldes eksponentiering.

Generelt skrives en potens med grundtal "a" og eksponent "n" som

At hæve tallet a til n potens betyder at finde produktet af n faktorer, som hver er lig med en

Hvis bunden af ​​graden "a" er 1, vil værdien af ​​graden for enhver naturlig n være lig med 1. For eksempel 1 5 \u003d 1, 1 256 \u003d 1

Hvis du hæver tallet "a", hæver du til første grad, så får vi selve tallet a: a 1 = a

Hvis du hæver et tal til nul grader, så får vi som et resultat af beregninger en. a 0 = 1

Anden og tredje potens af et tal betragtes som specielle. De fandt på navne til dem: anden grad kaldes kvadratet af et tal, tredje - terning dette nummer.

Ethvert tal kan hæves til en potens - positiv, negativ eller nul. Følgende regler anvendes dog ikke:

Når man finder graden af ​​et positivt tal, opnås et positivt tal.

Når vi beregner nul i naturalier, får vi nul.

x m х n = x m + n

for eksempel: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

Til dividere potenser med samme base vi ændrer ikke grundtallet, men trækker eksponenterne fra:

x m / x n \u003d x m - n , Hvor, m > n

eks: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

Ved beregning eksponentiering Vi ændrer ikke grundtallet, men vi multiplicerer eksponenterne med hinanden.

(ved m )n = y m n

for eksempel: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) n = x n · m ,

for eksempel: (2 3) 3 = 2 n 3 m ,

Ved udførelse af beregninger for eksponentiering af en brøk vi hæver brøkens tæller og nævner til den givne potens

(x/y)n = x n / y n

for eksempel: (2/5) 3 = (2/5) (2/5) (2/5) = 2 3/5 3 .

Sekvensen for at udføre beregninger, når man arbejder med udtryk, der indeholder en grad.

Når du udfører beregninger af udtryk uden parentes, men indeholdende potenser, udføres først og fremmest eksponentiering, derefter multiplikations- og divisionsoperationerne og først derefter operationerne med addition og subtraktion.

Hvis det er nødvendigt at evaluere et udtryk, der indeholder parenteser, så laver vi først, i den rækkefølge, der er angivet ovenfor, beregningerne i parentes og derefter de resterende handlinger i samme rækkefølge fra venstre mod højre.

Meget udbredt i praktiske beregninger, for at forenkle beregninger, anvendes færdiglavede tabeller over grader.