Konceptet med en ring, de enkleste egenskaber ved ringe. Ringenes simpleste egenskaber Kvotienter af feltelementer.

Ikke-tomt sæt TIL, hvor to binære operationer er specificeret - addition (+) og multiplikation ( ), der opfylder betingelserne:

1) vedrørende driften af ​​addition TIL- kommutativ gruppe;

2) vedrørende multiplikationsoperationen TIL- semigruppe;

3) operationerne af addition og multiplikation er forbundet med fordelingsloven, dvs. . (a+b)с=ас+bс, с(a+b) =ca+cb for alle a, b, c K, hedder ring (K,+, ).

Struktur (TIL,+) kaldes additiv gruppe ringe. Hvis multiplikationsoperationen er kommutativ, dvs. ab=ba. for alle EN, b, så kaldes ringen kommutativ.

Hvis der i forhold til multiplikationsoperationen er et enhedselement, som i ringen normalt betegnes med enheden 1,. så siger de det TIL Der er ring med en.

En delmængde L af en ring kaldes under ringen, Hvis L er en undergruppe af additivgruppen i ringen og L er lukket under multiplikationsoperationen, altså for alle a, b L udføres a+b L Og ab L.

Skæringspunktet mellem underringe vil være en underring. Derefter, som i tilfældet med grupper, i en underring, genereret mange S K, kaldes skæringspunktet mellem alle underringe TIL, indeholdende S.

1. Sættet af heltal med hensyn til operationerne med multiplikation og addition er en (Z, +, )-kommutativ ring. Sæt nZ heltal deleligt med P, vil være en underring uden enhed for n>1.

På samme måde er sættet af rationelle og reelle tal kommutative ringe med enhed.

2. Sæt af kvadratiske matricer af orden P med hensyn til operationerne med addition og multiplikation af matricer er der en ring med enhed E- enhedsmatrix. På n>1 den er ikke-kommutativ.

3. Lad K være en vilkårlig kommutativ ring. Lad os overveje alle mulige polynomier

med variabel x og koefficienter en 0, en 1, en 2,..., og n, fra TIL. Med hensyn til de algebraiske operationer med addition og multiplikation af polynomier er dette en kommutativ ring. Det hedder ring af polynomier K fra variabel x over ringen TIL(for eksempel over ringen af ​​heltal, rationaler, reelle tal). Ringen af ​​polynomier er defineret på samme måde K fra T variabler som en ring af polynomier i én variabel x t over ringen K.

4. Lad x- vilkårligt sæt, TIL-vilkårlig ring. Overvej sættet af alle funktioner f: X K, defineret på et sæt x med værdier i TIL Lad os definere summen og produktet af funktioner, som sædvanligt, ved lighederne

(f+g)(x)=f(x)+g(x); (fg)(x)=f(x)g(x),

hvor + og - operationer i ringen TIL.

Det er nemt at kontrollere, at alle betingelserne i definitionen af ​​en ring er opfyldt, og den konstruerede ring vil være kommutativ, hvis den originale ring er kommutativ K. Det hedder ring af funktioner på et sæt x med værdier i en ring TIL.

Mange egenskaber ved ringe er omformuleringer af tilsvarende egenskaber for grupper og semigrupper, for eksempel: a m a n =a m + n, (a t) p =a tp for alle m, n og alle -en.

Andre specifikke egenskaber ved ringe modellerer egenskaberne ved tal:

1) for alle -en a 0=0 a=0;

2) .(-а)b=а(-b)=-(ab);

3) - a=(-1)a.

Virkelig:

2) 0=a(svarende til (-a)b=-(ab));

3) ved at bruge den anden egenskab har vi- a= (-a)1 =a(-1) = (-1)a.

Mark

I ringene af heltal, rationaler og reelle tal, fra det faktum, at produktet ab=0, det følger deraf heller EN=0, eller b=0. Men i ringen af ​​kvadratiske matricer af orden n>1 denne egenskab er ikke længere opfyldt, da f.eks. = .

Hvis i ringen Kab=0 på EN 0, b, At EN kaldes venstre, og b- højre nul divisor. Hvis i TIL der er ingen nuldelere (bortset fra element 0, som er en triviel nuldivisor), så K kaldet en ring uden nuldelere.

1. I funktionsringen f: R R på mængden af ​​reelle tal R, overvej funktionerne fi (x)=|x|+x; f 2 (x) =|x|-x. For dem f 1 (x)=0 kl x Og f 2(x)=0 kl x, og derfor produktet f 1 (x) f 2 (x)- Nul funktion dog f 1 (x) Og f 2(x) . Derfor har denne ring nul divisorer.

2. Overvej sættet af par af heltal ( a, b), hvor operationerne addition og multiplikation er specificeret:

(a1, b1)+(a2, b2)=(a1+a2, b1+b2);

(a 1, b 1)(a 2, b 2)= (a 1 a 2, b 1 b 2).

Dette sæt danner en kommutativ ring med enhed (1,1) og nuldelere, da (1,0)(0,1)=(0,0).

Hvis der ikke er nuldelere i ringen, så er annulleringsloven opfyldt i den, dvs. ab=ac, a=c. Virkelig, ab-ac=0 a(b-c)=0 (b-c)=0 b=c.

Lade TIL- ring, med enhed. Element EN hedder reversibel, hvis et sådant element findes en -1, for hvilket aa-1 =a-1 a=1.

Et inverterbart element kan ikke være en nuldeler, fordi. Hvis ab=0 , At a -1 (ab) =0 (a -1 a)b=0 1b=0 b=0(svarende til ba=0 ).

Sætning. Alle inverterbare elementer i ringen K med identitet danner en gruppe under multiplikation.

Faktisk multiplikation ind TIL associativt er enheden indeholdt i sættet af inverterbare elementer, og produktet stammer ikke fra sættet af inverterbare elementer, da hvis EN Og b er altså reversible
(ab) -1 =b-1 a-1.

En vigtig algebraisk struktur er dannet af kommutative ringe TIL, hvor hvert ikke-nul element er inverterbart, dvs. i forhold til multiplikationsoperationen mængden K\(0) danner en gruppe. Tre operationer er defineret i sådanne ringe: addition, multiplikation og division.

kommutativ ring R med enhed 1 0, hvor hvert ikke-nul element er inverterbart, kaldes Mark.

Med hensyn til multiplikation danner alle ikke-nul elementer i feltet en gruppe kaldet multiplikativ gruppe felter.

Arbejde ab -1 er skrevet som en brøk og giver kun mening når b 0. Elementet er den eneste løsning på ligningen bx=a. Handlinger med brøker følger de regler, vi kender:

Lad os for eksempel bevise den anden af ​​dem. Lade x= Og y=- løsninger til ligninger bx=a, dy=c. Af disse ligninger følger det dbx=da, bdy=bc bd(x+y)=da+bc t=- den eneste løsning på ligningen bdt=da+bc.

1. Ringen af ​​heltal danner ikke et felt. Feltet er mængden af ​​rationelle tal og mængden af ​​reelle tal.

8.7. Opgaver til selvstændigt arbejde i kapitel 8

8.1. Bestem, om operationen med at finde skalarproduktet af vektorer i n-dimensionelt euklidisk rum er kommutativ og associativ. Begrund dit svar.

8.2. Bestem, om mængden af ​​kvadratiske matricer af orden n med hensyn til driften af ​​matrixmultiplikation er en gruppe eller en monoid.

8.3. Angiv hvilke af følgende sæt, der danner en gruppe med hensyn til multiplikationsoperationen:

a) et sæt heltal;

b) mængden af ​​rationelle tal;

c) mængden af ​​reelle tal forskellig fra nul.

8.4. Bestem hvilken af ​​følgende strukturer, der danner et sæt kvadratmatricer af orden n med determinant lig med én: med hensyn til de sædvanlige operationer med matrixaddition og multiplikation:

en gruppe;

tage med;

8.5. Angiv hvilken struktur sættet af heltal danner med hensyn til driften af ​​multiplikation og addition:

a) ikke-kommutativ ring;

b) kommutativ ring;

8.6. Hvilken af ​​følgende strukturer er dannet af et sæt matricer af formen med reel a og b i forhold til de sædvanlige operationer med matrixaddition og multiplikation:

en ring;

8.7. Hvilket tal skal udelukkes fra mængden af ​​reelle tal, så de resterende tal danner en gruppe i forhold til den sædvanlige multiplikationsoperation:

8.8. Find ud af, hvilken af ​​følgende strukturer, der danner et sæt bestående af to elementer a og e, med en binær operation defineret som følger:

ee=e, ea=a, ae=a, aa=e.

en gruppe;

b) en abelsk gruppe.

8.9. Er lige tal en ring i forhold til de almindelige operationer med addition og multiplikation? Begrund dit svar.

8.10. Er en ring et sæt tal af formen a+b, hvor a og b er ethvert rationelt tal, med hensyn til operationerne addition og multiplikation? Begrund svaret.

Lad (K,+, ·) være en ring. Da (K, +) er en abelsk gruppe, under hensyntagen til egenskaberne af grupper, vi opnår

SV-VO 1. I hver ring (K,+, ·) er der et unikt nulelement 0 og for hver a ∈ K er der et unikt element modsat det -a.

NE-VO 2. ∀ a, b, c ∈ K (a + b = a + c ⇒ b = c).

SV-VO 3. For enhver a, b ∈ K i ringen K er der en unik forskel a − b, og a − b = a + (−b). Således er subtraktionsoperationen defineret i ringen K, og den har egenskaberne 1′-8′.

SV-VO 4. Multiplikationsoperationen i K er distributiv i forhold til subtraktionsoperationen, dvs. ∀ a, b, c ∈ K ((a − b)c = ac − bc ∧ c(a − b) = ca − cb).

Dok. Lad a, b, c ∈ K. Under hensyntagen til fordelingsevnen af ​​operationen · i K med hensyn til operationen + og definitionen af ​​forskellen mellem elementer i ringen, får vi (a − b)c + bc = ( (a − b) + b)c = ac, hvoraf per definition forskel følger, at (a − b)c = ac − bc.

Den rigtige fordelingslov for multiplikationsoperationen i forhold til subtraktionsoperationen bevises på lignende måde.

SV-V 5. ∀ a ∈ K a0 = 0a = 0.

Bevis. Lad a ∈ K og et b-vilkårligt element fra K. Så b − b = 0 og derfor, under hensyntagen til den foregående egenskab, får vi a0 = a(b − b) = ab − ab = 0.

Det er bevist på lignende måde, at 0a = 0.

NE-VO 6. ∀ a, b ∈ K (−a)b = a(−b) = −(ab).

Bevis. Lad a, b ∈ K. Så (−a)b + ab = ((−a) + a)b =

0b = 0. Derfor er (−a)b = −(ab).

Ligheden a(−b) = −(ab) bevises på lignende måde.

NE-VO 7. ∀ a, b ∈ K (−a)(−b) = ab.

Bevis. Hvis vi anvender den forrige egenskab to gange, opnår vi (−a)(−b) = −(a(−b)) = −(−(ab)) = ab.

KOMMENTAR. Egenskaber 6 og 7 kaldes reglerne for tegn i ringen.

Fra fordelingen af ​​multiplikationsoperationen i ringen K i forhold til additionsoperationen og egenskaberne 6 og 7 følger følgende:

SV-VO 8. Lad k, l være vilkårlige heltal. Så ∀ a, b ∈ K (ka)(lb) = (kl)ab.

Subring

En underring af en ring (K,+, ·) er en delmængde H af en mængde K, der er lukket under operationerne + og · defineret i K og selv er en ring under disse operationer.

Eksempler på underringe:

Således er Z en underring af ringen (Q,+, ·), Q er en underring af ringen (R,+, ·), Rn×n er en underring af ringen (Cn×n,+, ·) , Z[x] er en underring af ringen (R[x],+, ·), D er en underring af ringen (C,+, ·).

I en hvilken som helst ring (K,+, ·) er selve sættet K, såvel som singleton-delmængden (0) underringe af ringen (K,+, ·). Disse er de såkaldte trivielle underringe af ringen (K,+, ·).

De enkleste egenskaber ved underringe.

Lad H være en underring af ringen (K,+, ·), dvs. (H,+, ·) er i sig selv en ring. Det betyder, at (H, +)-gruppen, dvs. H er en undergruppe af gruppen (K, +). Derfor er følgende udsagn sande.

SV-VO 1. Nulelementet i underringen H i ringen K falder sammen med nulelementet i ringen K.

SV-VO 2. For ethvert element a af underringen H i ringen K falder dets modsatte element i H sammen med −a, dvs. med det modsatte element i K.

SV-VO 3. For alle elementer a og b i underringen H falder deres forskel i H sammen med elementet a − b, dvs. med forskellen mellem disse elementer i K.

Tegn på en underring.

SÆTNING 1 (første tegn på en underring).

En ikke-tom underring H af en ring K med operationerne + og · er en underring af ringen K, hvis og kun hvis den opfylder følgende betingelser:

∀ a, b ∈ H a + b ∈ H, (1)

∀ a ∈ H − a ∈ H, (2)

∀ a, b ∈ H ab ∈ H. (3)

Nødvendighed. Lad H være en underring af ringen (K,+, ·). Så er H en undergruppe af gruppen (K, +). Ved det første kriterium for en undergruppe (i additivformuleringen) opfylder H derfor betingelserne (1) og (2). Desuden er H lukket under multiplikationsoperationen defineret i K, dvs. H

opfylder også betingelse (3).

Tilstrækkelighed. Lad H ⊂ K, H 6= ∅ og H opfylder betingelserne (1) − (3). Af betingelser (1) og (2) ifølge det første kriterium for en undergruppe følger, at H er en undergruppe af gruppen (K, +), dvs. (H, +)-gruppe. Desuden, da (K, +) er en abelsk gruppe, er (H, +) også abelsk. Derudover følger det af betingelse (3), at multiplikation er en binær operation på mængden H. Associativiteten af ​​operationen · i H og dens fordelingsevne i forhold til operationen + følger af, at operationerne + og · i K har sådanne egenskaber.

SÆTNING 2 (andet tegn på en underring).

En ikke-tom delmængde H af en ring K med operationerne + og · er

subring af ringen K t. og t. t, når den opfylder følgende betingelser:

∀ a, b ∈ H a − b ∈ H, (4)

∀ a, b ∈ H ab ∈ H. (5)

Beviset for denne sætning svarer til beviset for sætning 1.

I dette tilfælde bruges sætning 2′ (det andet kriterium for en undergruppe i tilsætningsformuleringen) og en bemærkning til den.

7. Felt (definition, typer, egenskaber, karakteristika).

Et felt er en kommutativ ring med identitet e er ikke lig med 0 , hvor hvert element forskelligt fra nul har en invers.

Klassiske eksempler på talfelter er felterne (Q,+, ·), (R,+, ·), (C,+, ·).

EJENDOM 1 . På hvert felt F kontraktloven er gyldig

med en fælles faktor forskellig fra nul, dvs.

∀ a, b, c ∈ F (ab = ac ∧ a er ikke lig med 0 ⇒ b = c).

EJENDOM 2 . På hvert felt F ingen nuldelere.

EJENDOM 3 . Ring(K,+, ·) er et felt, hvis og kun

når der er mange K\(0) er en kommutativ gruppe med hensyn til driften af ​​multiplikation.

EJENDOM 4 . Endelig ikke-nul kommutativ ring(K,+, ·) uden nuldelere er et felt.

Kvotienten af ​​feltelementerne.

Lad (F,+, ·) være et felt.

Delelementer-en Og b felter F , Hvor b er ikke lig med 0 ,

et sådant element kaldes c ∈ F , Hvad a = bc .

EJENDOM 1 . For alle elementer-en Og b felter F , Hvor b er ikke lig med 0 , er der en unik kvotient a/b , og a/b= ab−1.

EJENDOM 2 . ∀ a ∈ F \ (0)

a/a=e Og∀ a ∈ F a/e= a.

EJENDOM 3 . ∀ a, c ∈ F ∀ b, d ∈ F \ (0)

a/b=c/d ⇔ ad = bc.

EJENDOM 4 . ∀ a, c ∈ F ∀ b, d ∈ F \ (0)

EJENDOM 5 . ∀ a ∈ F ∀ b, c, d ∈ F \ (0)

(a/b)/(c/d)=ad/bc

EJENDOM 6 . ∀ a ∈ F ∀ b, c ∈ F \ (0)

EJENDOM 7 . ∀ a ∈ F ∀ b, c ∈ F \ (0)

EJENDOM 8 . ∀ a, b ∈ F ∀ c ∈ F \ (0)

Mark F , hvis enhed har endelig rækkefølge s i gruppe(F, +) s .

Mark F enhed, som har uendelig rækkefølge i gruppen(F, +) , kaldes det karakteristiske felt 0.

8. Underfelt (definition, typer, egenskaber, karakteristika)

Felt underfelt(F,+, ·) kaldet en delmængde S sæt F , som er lukket under driften+ Og· , defineret i F , og i sig selv er et felt i forhold til disse operationer.

Lad os give nogle eksempler på underfelter Q-underfelt af feltet (R,+, ·);

R-underfelt af feltet (C,+, ·);

Følgende udsagn er sande.

EJENDOM 1 . Underfeltelement nul S felter F falder sammen med

nul element i feltet F .

EJENDOM 2 . For hvert element-en underfelter S felter F dets modsatte element i S falder sammen med−a , dvs. med sit modsatte element i F .

EJENDOM 3 . For alle elementer-en Og b underfelter S felter F deres

forskel i S falder sammen med a−b de der. med forskellen mellem disse elementer i F .

EJENDOM 4 . Underfeltenhed S felter F falder sammen med en

e felter F .

EJENDOM 5 . For hvert element-en underfelter S felter F , fra-

personlig fra nul, dets omvendte element i S falder sammen med a−1 , dvs. med elementet omvendt til-en V F .

Tegn på underfeltet.

SÆTNING 1 (det første tegn på et underfelt).

Undersæt H felter F med operationer+, · , der indeholder ikke-nul

(F,+, ·)

∀ a, b ∈ H a + b ∈ H, (1)

∀ a ∈ H − a ∈ H, (2)

∀ a, b ∈ H ab ∈ H, (3)

∀ a ∈ H \ (0) a−1 ∈ H. (4)

SÆTNING 2 (andet tegn i underfeltet).

Undersæt H felter F med operationer+, · , der indeholder ikke-nul

element er et underfelt af feltet(F,+, ·) hvis og kun hvis den opfylder følgende betingelser:

∀ a, b ∈ H a − b ∈ H, (5)

∀ a ∈ H ∀ b ∈ H\(0) a/b ∈ H. (6)

10. Delbarhedsforhold i Z-ringen

Udsagn: For alle elementer a, b, c i en kommutativ ring på mængden R gælder følgende implikationer:

1) a|b, b|c => a|c

2) a|b, a|c => a| (b c)

3) a|b => a|bc

for enhver a, b Z gælder følgende:

2) a|b, b≠0 => |a|≤|b|

3)a|b og b|a ó |a|=|b|

At dividere hele tallet a med hele tallet b med resten betyder at finde heltal q og r således, at du kan repræsentere a=b*q + r, 0≤r≥|b|, hvor q er den ufuldstændige kvotient, r er resten

Sætning: Hvis a og b Z, b≠0, så kan a divideres med b med en rest, og den ufuldstændige kvotient og resten er entydigt bestemt.

Som følge heraf, hvis a og b Z, b≠0, så b|a ó

11. GCD og NOC

Den største fælles divisor (GCD) af tallene Z er et tal d, der opfylder følgende betingelser

1) d er en fælles divisor dvs. d| ,d| …d|

2) d er delelig med enhver fælles divisor af tal, dvs. d| ,d| …d| =>d| ,d| …d|

Fsb4000 skrev:

2. a) en delelig Abelsk gruppe har ingen maksimale undergrupper

Jeg tror, ​​det er nok komplette løsninger allerede, ikke? Moderatorerne vil begrave dig for, at jeg allerede har beskrevet to opgaver fuldstændigt for dig!!! Derfor, for ikke at gøre dem vrede, vil vi begrænse os til ideer.

Nedenfor antager vi altid, at den naturlige serie begynder med en.

Antag at --- er en delelig gruppe og --- er en maksimal undergruppe i . Overveje

Bevis at --- er en undergruppe i , der indeholder . På grund af maksimalitet er kun to tilfælde mulige: eller .

Overvej hver sag for sig og kom frem til en modsigelse. I tilfælde af, tag og bevis det

er en egentlig undergruppe i at indeholde og ikke lig med . I tilfælde af fix og , sådan at og vise at

er en egentlig undergruppe af , indeholdende og ikke sammenfaldende med .

Tilføjet efter 10 minutter og 17 sekunder:

Fsb4000 skrev:

b) giv eksempler på delelige Abelia-grupper; kan de være endelige?

Det enkleste eksempel er dette. Nå, eller --- hvad end du bedst kan lide.

Hvad angår endelighed... selvfølgelig kan en delelig gruppe ikke være endelig (bortset fra det trivielle tilfælde, hvor gruppen består af et nul). Antag at --- er en endelig gruppe. Bevis det for nogle og alle. Så tag dette og se, at ligningen er uløselig for ikke-nul.

Tilføjet efter 9 minutter og 56 sekunder:

Fsb4000 skrev:

4. Konstruer et eksempel på en kommutativ og associativ ring R ()(), hvor der ikke er nogen maksimale idealer.

Tag den Abelske gruppe. Vis, at det er deleligt. Angiv multiplikationen som følger:

Vis hvad for alt, hvad der skal gøres, er gjort.

Ups!.. Men det ser ud til, at jeg tog fejl her. Der er et maksimalt ideal, det er lig med . Nå, ja, jeg mangler stadig at tænke... Men jeg vil ikke tænke noget nu, men hellere gå på arbejde, på universitetet. Du skal i det mindste overlade noget til dig selv at bestemme!

Tilføjet efter 10 minutter og 29 sekunder:

Fsb4000 skrev:

1. Bevis at en vilkårlig ring med identitet indeholder et maksimalt ideal.

ved løsning: 1. Ved Zorns lemma vælger vi det minimale positive element, det vil være generatoren af ​​idealet.

Nå... jeg ved ikke, hvad det er for et minimalt positivt element, du fandt på. Efter min mening er det fuldstændig nonsens. Hvilken slags "positivt element" kan du finde i en vilkårlig ring, hvis rækkefølgen ikke er angivet i denne ring, og det ikke er klart, hvad der er "positivt" og hvad der er "negativt"...

Men hvad angår det faktum, at vi skal anvende Zorns lemma, er det den rigtige idé. Du skal bare anvende det på ringens sæt af rigtige idealer. Du tager dette sæt, bestiller det efter den sædvanlige inklusionsrelation og viser, at denne rækkefølge er induktiv. Så konkluderer du ved Zorns lemma, at dette sæt har et maksimalt element. Dette maksimale element vil være det maksimale ideal!

Når du viser induktans, så tag deres forening som den øvre grænse for kæden af ​​dine egne idealer. Det vil også være et ideal, men det vil være sit eget, fordi enheden ikke indgår i det. Og forresten, i en ring uden en enhed passerer beviset ikke gennem Zorns lemma, men hele pointen er netop i dette øjeblik

Tilføjet efter 34 minutter 54 sekunder:

Alexiii skrev:

Enhver ring har per definition en enhed, så det er utænkeligt at skrive "en ring med en enhed." Enhver ring i sig selv er en ideel ring og desuden selvfølgelig den maksimale...

Vi blev lært, at tilstedeværelsen af ​​en enhed ikke er inkluderet i definitionen af ​​en ring. Så en vilkårlig ring er ikke forpligtet til at indeholde en, og hvis den har en, så er det mere end passende at sige om sådan en ring, at det er en "ring med en"!

Jeg tror, ​​at jeg ved at rode gennem biblioteket vil finde en masse meget solide algebra-lærebøger, der bekræfter mit synspunkt. Og i mathencyklopædien står der, at en ring ikke behøver at have en. Så alt i problemformuleringen af ​​emneforfatteren er korrekt, der er ingen grund til at bebrejde ham!

Det maksimale ideal for en ring er per definition et ideal, der er maksimalt med hensyn til inklusion blandt ens egne idealer. Dette er der ikke kun skrevet om i mange, men ganske enkelt i alle algebra lærebøger, hvor teorien om ringe er til stede. Så hvad angår det maksimale, har du endnu et løb helt uden for emnet!

Tilføjet efter 6 minutter og 5 sekunder:

Alexiii skrev:

Generelt, som jeg forstår ud fra dine kommentarer, er "ringe med enhed" kun skrevet for at udelukke enkelt-element tilfældet.

Fuldstændig misforstået! "Ringe med en enhed" er skrevet for at angive tilstedeværelsen af ​​en enhed i ringen

Og der er masser af ringe uden enhed. For eksempel danner et sæt lige heltal med almindelig addition og multiplikation en sådan ring.

Konceptet med en ring, de enkleste egenskaber ved ringe.

Algebra ( K, +, ∙) kaldes en ring, hvis følgende aksiomer gælder:

1. (K, +) – kommutativ gruppe;

2.
-en (b+c) = ab+ac (b+c)-en = ba+ca;

3. -en (f.Kr) = (ab) c.

Hvis operationen af ​​multiplikation i en ring er kommutativ, kaldes ringen kommutativ.

Eksempel. Algebraer (Z, +, ∙), ( Q, +, ∙), (R, + ,∙) er ringe.

Ringen har følgende egenskaber: der er

1) -en + b = -en => b = 0;

2) -en+b = 0 => b = - -en;

3) – (- -en) = -en;

4) 0∙-en = -en∙0 = 0 (0 – ring nul);

5) (--en)∙b = -en∙(-b) = --en∙b;

6) (-en – b)∙c = -en∙c – b∙c, Hvor -en– b = -en + (-b).

Lad os bevise ejendom 6. ( a–b)∙c = (a+ (-b))∙c = -en∙c+ (-b)∙c = -en∙c +(-b∙c)= =-en∙c–b∙c.

lad ( K EN K kaldes en underring af ringen ( K,+,∙) hvis det er en ring med hensyn til operationer i ringen ( K, +, ∙).

Sætning. lad ( K, +, ∙) – ring. Ikke-tom undergruppe EN K, er en underring af ringen TIL dengang og kun når
-en- b, -en∙b
.

Eksempel. Ringen (Q, +, ∙) er en underring af ringen ( EN, +, ∙), hvor EN = ={-en+ b | -en, b Q).

Begrebet et felt. De enkleste egenskaber ved felter.

Definition. Kommutativ ring ( R, +, ∙) med en, hvor ringens nulpunkt ikke falder sammen med ringens identitet, kaldes et felt, hvis
-en≠0 er der et omvendt element EN -1 , EN∙ EN -1 = e, e– enhed af ringen.

Alle egenskaber for ringe er gyldige for felter. For felt ( R,+,∙) følgende egenskaber er også gyldige:

1)
-en≠0 ligning ah =b har en løsning og desuden en unik;

2) ab = e |=> -en≠0 b =EN -1 ;

3)

c≠0 ac = bc => a=b;

4)ab = 0
-en = 0 b = 0;

5) ad = f.Kr (b≠0, d≠0);

6)
;

.

Eksempel. Algebraer (Q, +, ∙), ( EN, +, ∙), hvor EN = {-en+b | -en, b Q), ( R, +, ∙) – felter.

lad ( R,+,∙) – felt. Ikke-tom undergruppe F P, som er et felt i forhold til operationen i feltet ( R,+,∙) kaldes et underfelt af feltet R.

Eksempel. Feltet (Q,+,∙) er et underfelt af feltet med reelle tal (R,+,∙).

Problemer, der skal løses selvstændigt

1. Vis, at en mængde med hensyn til multiplikationsoperationen er en abeliaansk gruppe.

2. Operationen er defineret på sættet Q\(0) ENb =
. Bevis at algebraen (Q\(0),) er en gruppe.

3. På mængden Z er der givet en binær algebraisk operation, defineret af reglen, ENb = a+b – 2. Find ud af, om algebraen (Z,) er en gruppe.

4. På sættet EN = {(-en, b)
) operation defineret ( EN,b) (c, d) = (ac– bd, annonce+ f.Kr). Bevis at algebra ( EN,) - gruppe.

5. Lad T– sættet af alle kortlægninger
givet af reglen
, Hvor EN,bQ, -en
Bevis det T er en gruppe med hensyn til sammensætningen af ​​kortlægninger.

6. Lad EN={1,2,…,n). En-til-en kortlægning f:
kaldet substitution n– åh grad. Substitution n– åh grad er praktisk at skrive i form af en tabel
, hvor Produkt af to substitutioner
sæt EN defineres som sammensætningen af ​​kortlægninger. A-priory

Bevis, at sættet af alle udskiftninger n– åh grad er en gruppe under produktet af substitutioner.

7. Find ud af, om ringen dannes i forhold til addition og multiplikation:

-en) N; b) sættet af alle ulige heltal; c) mængden af ​​alle lige heltal; d) sæt af numre af formularen
Hvor EN,b

8. Er et sæt en ring? TIL={EN+b
) vedrørende operationerne med addition og multiplikation.

9. Vis, at sættet EN={-en+b) med hensyn til operationerne addition og multiplikation er der en ring.

10. På settet Z to operationer er defineret: -enb=-en+b+1, ab= ab+ -en+ b. Bevis den algebra

11. På sættet af modulo-restklasser m to binære operationer er givet: Bevis at algebra
kommutativ ring med identitet.

12 . Beskriv alle underringe i ringen
.

13. Find ud af, hvilke af følgende sæt reelle tal der er felter med hensyn til operationerne addition og multiplikation:

-en) rationelle tal med ulige nævnere;

b) formularens numre
med rationelle EN,b;

c) formularens numre
med rationelle EN, b;

d) formularens numre
med rationelle -en, b, c.

§5. Felt med komplekse tal. Operationer på kompleks

tal i algebraisk form

Kompleks talfelt.

Lad to algebraer ( EN,+,∙), (Ā , ,◦). Skærm f: EN i (på) >Ā , der opfylder betingelserne:
f(-en+b) = f(-en) f(b) f(-en◦b) = f(-en) ◦ f(b), kaldes en algebra homomorfi ( EN, +, ∙) ind i (på) algebra ( Ā , , ◦).

Definition. Homomorf kortlægning f algebraer ( EN, +, ∙) til algebra ( Ā , , ◦) kaldes en isomorf kortlægning, hvis kortlægningen f sæt EN på Ā indsprøjtningsvis. Fra et algebras synspunkt er isomorfe algebraer ikke til at skelne, dvs. har de samme egenskaber.

Over feltet R formens ligning x 2 +1 = 0 har ingen løsninger. Lad os konstruere et felt, der indeholder et underfelt, der er isomorf til feltet ( R,+,∙), og hvor ligningen er af formen x 2 +1 = 0 har en løsning.

På sættet C = R× R = {(-en, b) | -en, b R) vi introducerer operationerne til addition og multiplikation som følger: ( -en, b) (c, d) = (-en+ c, b+ d), (-en, b) ◦ (c, d) = (ac-bd, annonce+f.Kr). Det er ikke svært at bevise, at algebraen (C, ,◦) er en kommutativ ring med identitet. Parret (0,0) er ringens nul, (1,0) er ringens enhed. Lad os vise, at ringen ( MED, ,◦) – felt. lad ( -en, b) C, ( -en, b) ≠ (0,0) og ( x,y) C er et par tal, således at ( -en, b)◦(x, y) = (1,0). (-en, b)◦(x, y) = (1,0) (økse– ved, ay+ bx) = (1,0)

(1)

Fra (1) =>
,
(-en, b) -1 =
. Derfor er (C, +, ∙) et felt. Overvej sættet R 0 = {(-en,0) | -en R). Fordi ( -en,0) (b,0) = (-en- b,0)R 0 , (-en,0)◦(b,0) = (ab,0) R 0 ,
(-en,0) ≠ (0,0) (-en,0) -1 = (,0) R 0, derefter algebra ( R 0, ,◦) – felt.

Lad os bygge en kortlægning f: R
R 0 defineret af betingelse f(-en)=(-en,0). Fordi f – bijektiv kortlægning og f(-en+ b)= (-en+ b,0) = =(-en,0)(b,0) = f(-en)f(b), f(-en∙b) = (-en∙ b,0) = (-en,0)◦(b,0) =f(-en)◦f(b), At f– isomorf kortlægning. Derfor, ( R , +,∙)
(R 0, ,◦). (R 0, ,◦) – felt med reelle tal.

Lad os vise, at en ligning af formen x 2 +1 = 0 i feltet (C , , ◦) har løsninger. ( x,y) 2 + (1,0) = (0,0) (x 2 - y 2 +1, 2xy) = (0,0)

(2)

(0,1), (0, -1) – løsninger til system (2).

Det konstruerede felt (C , ,◦) kaldes feltet med komplekse tal, og dets elementer er komplekse tal.

Algebraisk form af et komplekst tal. Operationer på komplekse tal i algebraisk form.

Lad (C, +, ∙) være feltet for komplekse tal,
C,
=(-en, b). Fordi ( R 0 ,+, ∙) (R, +, ∙), derefter et hvilket som helst par ( -en,0) vil blive identificeret med et reelt tal -en. Lad os betegne med ί = (0,1). Fordi ί 2 = (0,1)∙(0,1) = (-1,0) = -1, derefter ί kaldet den imaginære enhed. Lad os forestille os et komplekst tal
=(-en,b) i form: =( -en,b)=(-en,0) +(b,0) ◦(0,1)=-en+b∙ί. Repræsentation af et komplekst tal i formen = EN + bί kaldet den algebraiske form for at skrive et tal. -en kaldes den reelle del af et komplekst tal og betegnes med Re, b er den imaginære del af et komplekst tal og betegnes med Im.

Tilføjelse af komplekse tal:

α = a+bί, β = s+dί , α +β = (EN,b) + (c, d) = (-en+ c, b+ d) = -en+ c+ (b+ d)ί.

Multiplikation af komplekse tal:

α∙β = (-en, b)(c, d) = (-en∙ c– b∙ d, -en∙ d+ b∙ c) = -en∙ c - b∙ d + (-en∙ d + b∙ c)ί.

At finde produktet af komplekse tal a+bί Og s+dί , skal du formere dig a+bί på s+dί som binomial for binomial, givet det ί 2 = -1.

Kvotienten af ​​division med β , β ≠ 0 er et komplekst tal γ således, at = γ∙ β .

= γ∙ β => γ = ∙ β -1. Fordi
, så = ∙β -1 = =(-en, b)∙
Dermed

Denne formel kan fås, hvis brøkens tæller og nævner ganges med det komplekse tal konjugeret med nævneren, dvs. på

med -dί.

Eksempel. Find summen, produktet, kvotienten af ​​komplekse tal

2+ 3ί , β = 3 - 4ί .

Løsning. + β =(2 + 3ί ) + (3 – 4ί ) =5– ί, ∙β = (2 + 3ί) (3– 4ί ) = 6 –8ί + 9ί – –12ί 2 = 18 + ί .

§6. Udvinding af rodn-te potens af et komplekst tal i trigonometrisk form

Trigonometrisk form af et komplekst tal.

På et plan i et rektangulært koordinatsystem, et komplekst tal

z = -en + bί vi vil repræsentere det som en prik EN(EN,b) eller radiusvektor
.

Lad os repræsentere et komplekst tal z = 2 – 3ί .

Definition. Nummer
kaldes modulet af et komplekst tal z = -en + bί og er betegnet med | z |.

Vinklen dannet mellem O-aksens positive retning x og radiusvektor, der repræsenterer et komplekst tal z= -en+ bί, kaldes talargumentet z og er udpeget Argz.

Argz defineret op til udtrykket 2π k, .

Kompleks talargument z, der opfylder betingelsen 0≤< 2π , называется главным значением аргумента комплексного числа z og er udpeget arg z.

Fra OAA 1 => -en=
cos ,b= synd
. Kompleks talrepræsentation z= -en+ bί som z= r(cos + ί sin) kaldes den trigonometriske form for at skrive et tal z (r=). At skrive et komplekst tal z = -en + bί i trigonometrisk form, du skal vide | z| Og Arg z, som er bestemt ud fra formlerne
, fordi =
synd =

Lade z 1 = r 1 (cos φ 1 + ί synd φ 1), z 2 = r 2 (cos φ 2 + ί synd φ 2). Derefter z 1∙ z 2 = =r 1∙ r 2 [(cos φ 1 ∙cos φ 2 – synd φ 1∙synd φ 2)+jeg]= r 1∙ r 2 [(cos (φ 1+ φ 2) + jeg synd( φ 1+ φ 2)]. Heraf følger, at | z 1 z 2 | = |z 1 | |z 2 |, Arg z 1 ∙z 2 = Arg z 1 + Arg z 2 .

Arg
Arg – Arg .

Udvinding af rodn-te potens af et komplekst tal i trigonometrisk form.

Lade zC, nN. n – potensen af ​​et komplekst tal z værket hedder
det er udpeget z n. Lade m=- n. Per definition antager vi det
z≠0, z 0 = 1, z m = . Hvis z =r(cos φ + ί synd φ ) , At z n =

= r n(cos nφ + ί synd nφ). På r = 1 vi har z n = cos nφ + ί synd nφ - Moivres formel. Moivres formel holder
.

Rod n z et sådant komplekst tal kaldes ω , Hvad ω n = z. Det er et retfærdigt udsagn.

Sætning. Eksisterer n forskellige betydninger af roden n-te potens af et komplekst tal z = r(cos φ + ί synd φ ). Alle fås fra formlen med k = 0, 1, … , n-1. I denne formel
– aritmetisk rod.

Lad os betegne med, ω 0 , ω 1 ,…, ω n-1 – rodværdier n grad af z, som er opnået med k = 0, 1, ... , n-1. Siden | ω 0 | = |ω 1 | = |ω 2 |= … =|ω n -1 |,

arg ω 0 = , ω 1 = arg ω 0 +
, … , arg ω n -1 = arg ω n - 2 + , derefter komplekse tal ω 0 , ω 1 ,…, ω n-1 på planet er repræsenteret ved punkter i en cirkel med en radius lig med
og opdel denne cirkel i n lige dele.