Laske sykloidisen online-laskimen yhden kaaren pituus. Parametrinen sykloidiyhtälö ja yhtälö suorakulmaisissa koordinaateissa

* TÄRKEÄ!Jotta voit käyttää laskinta polykarbonaattikatoksen laskemiseen, sinun alueesi kuormitustaso on määritettävä itsenäisesti lumi- ja tuulikuormituskarttojen (lueteltu alla) ja alueen kuormia vastaavien taulukoiden perusteella.
Alla olevan esimerkin avulla harkitsemme kuorman valintaa Rostov-on-Donille ja sitä lähinnä oleville kaupungeille. Katoksen laskennassa on otettava huomioon kuormitukset, joita varten katosrakenne suunnitellaan. Venäjän lumipeitevyöhykkeiden kartan mukaan Rostov-on-Don kuuluu II lumikuormitusluokkaan ja tuulikuormitusvyöhykkeiden kartan mukaan kaupunkimme kuuluu III luokkaan.
III Tuulikuormaluokka vastaa taulukon mukaan painetta 38 kg/m2.
II Lumikuormaluokka vastaa taulukon mukaan painetta 120 kg/m2. Kun valitset kuormaa laskentaa varten, sinun tulee keskittyä molemmista taulukoista otettuun enimmäiskuormitusarvoon.
Siksi Rostov-on-Donissa ja kaupungeissa, jotka ovat enintään 100 kilometrin päässä siitä, on tarpeen valita katoskuormituksen laskennallinen arvo, joka on vähintään 120 kg/m 2.

Kartta lumipeitevyöhykkeistä Venäjällä	Kartta tuulikuorma-alueista Venäjällä
Lumialue minä II III IV V VI VII VIII 80 120 180 240 320 400 480 560	Kaarevaattojen suunnittelu ja edut Tukikehystyypit Kattopäällysteet holvikatotille Kuinka asentaa kaareva polykarbonaattikatto Yksityisasuntorakentamisessa nykyään käytetään erilaisia ​​teknisiä ratkaisuja perinteisistä erittäin epätyypillisiin. Kyky luoda melkein mikä tahansa muotoilu ja käyttää kaikkia markkinoilla olevia moderneja rakennusmateriaaleja on noussut syyksi epätyypillisten ja rohkeiden ratkaisujen lisääntymiselle. Kaikki yllä oleva koskee täysin kaarevia kattoja - melko epätavallisia ja alkuperäisiä rakenteita, jotka kaikesta ilmeisestä monimutkaisuudestaan ​​​​huolimatta asennetaan ilman ongelmia. Kaaren säteen laskin Tässä artikkelissa käsitellään kaarevan katon tekemistä. Kaarevaattojen suunnittelu ja edut Kaareva katto on kaareva rakenne, joka on muotoiltu kaareksi. Tällaisia ​​kattoja käytetään asuinrakennuksissa, teollisuuslaitoksissa ja hallintorakennuksissa suojaamaan ulkoisilta tekijöiltä. Viime aikoihin asti kaarevien kattojen käyttöalue rajoittui erikoisrakennuksiin - uima-altaisiin, kasvihuoneisiin jne. Nyt kaarevia rakenteita käytetään menestyksekkäästi erilaisissa tilanteissa, mikä johtuu suurelta osin useista luontaisista eduista, mukaan lukien: Alkuperäiset visuaaliset ominaisuudet. Kaarevaat katot ovat harvinaisia, joten tällaisella suunnittelulla varustettu asuinrakennus tulee automaattisesti omaperäiseksi ja erottuu perinteisempien kaltevien kattojen taustasta. Hyvä tuulenpitävyys. Kaareva muoto antaa kaareville katoille hyvän aerodynamiikan, jonka ansiosta rakenne on viime kädessä suojattu pinnoitteen rikkoutumiselta. Kevyt lumikuorma. Lumi ei yksinkertaisesti pysy kaarevalla kaarella katolla, joten kaikki tukielementit rasittavat huomattavasti vähemmän kuin muissa rakenteissa. Vapaan tilan laajentaminen katon alla. Kaareva kattorakenne tekee sisätilasta visuaalisesta näkökulmasta avaramman. Lisäksi on syytä huomata kaarevien rakenteiden monipuolisuus - tarvittaessa niitä voidaan käyttää missä tahansa arkkitehtonisessa tyylissä, melko arkaaisesta melko moderniin. Tukikehystyypit Minkä tahansa kattorakenteen tärkein elementti on sen runko. Kaarevaat katot eivät ole poikkeus - oikein koottu tukijärjestelmä tukee kaikkia muita rakenneosia ja varmistaa sen luotettavuuden. Kaarevaattojen järjestämiseen käytetään seuraavan tyyppisiä tukikehyksiä: Puinen. Kaareva puukatto on yksi halvimmista ja yksinkertaisimmista rakenteista. Puisten tukikehysten ainoa haittapuoli on niiden heikko kantavuus, joten ne eivät sovellu suuripintaisille katoille. Teräs. Erittäin vahva ja luotettava runko kaarevalle katolle voidaan valmistaa neliömäisistä teräsputkista. Toisin kuin edellinen vaihtoehto, metallituella on korkea mekaaninen lujuus, mutta samalla sillä on suuri kuollut paino, joten se vaatii vahvan perustan ja seinät. Alumiini. Alumiinirungossa yhdistyvät kaikki puu- ja teräsrakenteiden edut - se on kestävä, kevyt, helppo asentaa ja sillä on erinomainen korroosionkestävyys. Haittana tässä tapauksessa on erittäin korkea hinta. Teräsbetoni. Kantava teräsbetonirunko on hyvä kaikessa, mutta sitä on suositeltavaa käyttää vain suuria teollisuus- tai liikerakennuksia asennettaessa. Kehyksetön. Kaareva katto voidaan asentaa erityiseen itsekantavaan runkoon, joka ei vaadi lisätukia. Jotta kaareva katto olisi luotettava, sinun on lähestyttävä rungon valintaa ja sen järjestelyä kaikella vastuulla. Rakennetta suunniteltaessa on välttämätöntä laskea tukijärjestelmän teho. Kattopäällysteet holvikatotille Kaarevaattojen kattamiseen käytettäville materiaaleille on useita erityisvaatimuksia - erityisesti materiaalin tulee taipua hyvin ja säilyttää sille annettu muoto. Useimmiten kaarevat rakenteet varustetaan käyttämällä seuraavaa kattoa: Teräslevyä. Kaarevan katon yksinkertaisesti peittämiseksi metallilevyt ovat varsin sopivia - ne ovat edullisia ja asennetaan ilman vaikeuksia. Aaltopahvilevy. Toisin kuin teräslevyt, aaltopahvilla on keveytensä ansiosta hyvä kantavuus. Kaarevan katon varustamiseksi tarvitaan erityinen aaltopahvi, jolla on kiinteä taivutussäde - toisin sanoen ei toimi tehdä kattoa mielivaltaisella taivutusarvolla. Solumainen polykarbonaatti. Solupolykarbonaatti on varsin sopiva materiaali kaarevalle katolle - se on riittävän vahva ja sillä on vähimmäispaino. Polykarbonaatin tärkeä etu analogeihin verrattuna on kyky siirtää valoa, mikä mahdollistaa luonnonvalon käytön rakennuksessa. Kaarevan katon järjestelymahdollisuus ja parametrit liittyvät läheisesti kattoon. Polykarbonaatti sopii parhaiten suuren mutkaisen rakenteen luomiseen - sillä on paras joustavuus ja se on helppo asentaa. Kuinka asentaa kaareva polykarbonaattikatto Ottaen huomioon, että solupolykarbonaatti on suosituin ja sopivin materiaali kaarevalle katolle, sen asennusta tulisi harkita sen esimerkissä. Kaarevaatteen kokoonpanoalgoritmi on seuraava: Ensinnäkin on tarpeen laskea rungon kantokyky ja rakenneosien asennusvaihe; Laskelmien ja piirustusten mukaisesti asennetaan kehys, jonka asennuksen aikana on kiinnitettävä erityistä huomiota kunkin kaaren samaan taivutusasteeseen; Runkoelementit kiinnitetään rakennuksen yläverhoukseen puolentoista metrin välein; Sinun on aloitettava asennus ensimmäisestä ja viimeisestä kaaresta, jotta voit kohdistaa jäljellä olevat elementit jo asennettujen elementtien kanssa; Seuraavaksi polykarbonaatti kiinnitetään kaareihin erityisillä nauhoilla; Solupolykarbonaatin suojaamiseksi kosteudelta ja lialta on tarpeen asentaa päätyprofiili. Polykarbonaattilevyt on asennettava siten, että niiden profiili on yhdensuuntainen rungon mutkien kanssa - tämä on välttämätöntä materiaalin suojaamiseksi kosteuden kertymiseltä. Johtopäätös Kaareva katto on melko omaperäinen ja mielenkiintoinen muotoilu, jota voidaan menestyksekkäästi käyttää rakennuksen toiminnallisena tai koristeena. Jos katon järjestelytyö suoritettiin oikein, valmiin rakenteen luotettavuus ei ole huonompi kuin perinteisemmät kaltevat analogit. Katoksen laskenta ja piirtäminen Katoksen tekeminen profiiliputkesta Katoselementtien kiinnitystyypit ja niiden koot Profiiliputkien valinta ristikon valmistukseen Profiiliputkesta tehty katos on hyvin yleinen malli, jota löytyy melkein joka pihasta. Profiiliputkista voit tehdä joko pienen katoksen kuistin päälle tai suuren katon parkkipaikalle - ja joka tapauksessa rakenteesta tulee melko vahva, kaunis ja helppo asentaa. Tässä artikkelissa käsitellään profiiliputkesta valmistetun katoksen laskemista ja sen asennusta. Katoksen laskenta ja piirtäminen Oikea laskenta ja hyvän piirustuksen luominen edellyttävät useiden standardien ja vaatimusten noudattamista profiiliputkista valmistetuille rakenteille. Pieniä laavuja ei kuitenkaan tarvitse laskea niin tarkasti - profiiliputkesta tehty pieni katos ei paina paljoa, joten tällainen rakenne ei aiheuta vaaraa. Parkkipaikkojen tai uima-altaiden suuret katokset on laskettava ongelmien välttämiseksi. Aaltopahviputkesta tehdyn katoksen piirustus alkaa aina luonnoksella - yksinkertaisella luonnoksella, joka osoittaa rakenteen tyypin, sen pääpiirteet ja likimääräiset mitat. Tulevan katoksen mittojen määrittämiseksi tarkasti on syytä tehdä mittauksia alueella, jossa rakenne sijaitsee. Jos katos on kiinnitetty taloon, on myös tarpeen mitata seinä, jotta tiedetään tarkalleen katoksen profiiliputken mitat. Voit harkita laskentamenetelmää käyttämällä esimerkkiä rakenteesta, joka sijaitsee 9x7 m:n tontilla, joka sijaitsee talon edessä, jonka mitat ovat 9x6 m: Katoksen pituus voi hyvinkin olla yhtä suuri kuin seinän pituus (9 m), ja rakenteen ulkonema on metrin lyhyempi kuin tontin leveys - ts. Kaarien laskeminen Alareunan korkeus voi hyvinkin olla 2,4 m, ja korkea reuna tulee nostaa 3,5-3,6 metriin; Kaltevuuden kaltevuuskulma määritetään ala- ja yläreunojen korkeuseron mukaan (tässä esimerkissä se osoittautuu noin 12-13 astetta); Rakenteen kuormituksen laskemiseksi sinun on löydettävä karttoja, jotka osoittavat sademäärän tietyllä alueella, ja rakennettava niitä; Kun rakenteen koko ja odotettavissa olevat kuormat on laskettu, ei ole enää jäljellä kuin tehdä yksityiskohtainen piirustus, valita materiaalit ja aloittaa katoksen kokoaminen. Katoksen profiiliputkiristikoiden piirustukset on esitettävä erikseen kaikilla yksityiskohdilla. On myös syytä muistaa, että katoksen pienin kaltevuus on 6 astetta ja optimaalinen arvo on 8 astetta. Liian pieni rinne ei anna lumen liukua pois itsestään. Piirustusten jälkeen valitaan sopiva materiaali ja sen määrä. Laskelma on suoritettava tarkasti, ja ennen ostamista kannattaa lisätä noin 5% toleranssista - työn aikana tapahtuu hyvin usein pieniä häviöitä, eivätkä viat ole harvinaisia. Katoksen tekeminen profiiliputkesta Katoksen muotoilu ei ole erityisen monimutkainen. Jos sinulla on jo piirustus katosta ja sen kokoamiseen tarvittavista materiaaleista, voit siirtyä suoraan rakenteen järjestämiseen. Katoksen valmistus profiiliputkesta suoritetaan seuraavan algoritmin mukaan: Ensin katosalue merkitään ja valmistetaan. Sinun on valittava paikka perustusrei'ille ja kaivattava ne ja täytettävä sitten kaikkien reikien pohja murskatulla kivellä. Kiinnityselementit asennetaan kaivoihin, minkä jälkeen perustus täytetään sementtilaastilla. Katoksen pylväiden alaosiin hitsataan neliömäisiä teräsosia, joiden koko vastaa upotettujen osien mittoja sekä pulttien reikien halkaisijaa. Kun liuos kovettuu, profiiliputken katoksen pilarit ruuvataan upotettuihin osiin. Seuraava vaihe on rungon kokoaminen. Tässä vaiheessa profiiliputki merkitään ja leikataan tarvittaviin osiin, ja vasta tämän jälkeen voidaan valmistaa ristikot profiiliputkesta katokseen. Ensin kiinnitetään pulteilla sivuristikot, sitten etureunat ja lopuksi tarvittaessa vinosäleiköt. Koottu runko asennetaan telineisiin ja kiinnitetään valitulla tavalla. Ennen katon asentamista katos on maalattava tai pinnoitettava korroosionestoaineella materiaalin mahdollisen tuhoutumisen estämiseksi - asennuksen aikana pohjapinnoite vaurioituu ja sen seurauksena metalliosat menettävät korroosionkestävänsä. Lisäksi sinun on ymmärrettävä, että ulkoinen käsittely ei suojaa rakennetta tuhoamiselta sisältä, joten putkien reunat on suljettava tulpilla. Katoselementtien kiinnitystyypit ja niiden koot Katoselementtien kokoamiseen profiiliputkista voidaan käyttää erilaisia ​​menetelmiä: Yksi yleisimmistä aaltopahviputkien katteiden kiinnitysmenetelmistä on pulttiliitos. Tällaisen yhteyden laatu on melko korkea, mutta se ei eroa monimutkaisuudesta. Työskentelyä varten tarvitset poraa metalliporalla sekä pultteja tai ruuveja, joiden halkaisija riippuu putken poikkileikkauksesta. Toinen tapa, jolla kuomuelementit kiinnitetään, on hitsausliitos. Hitsaustyöt vaativat tiettyjä taitoja, ja laitteet ovat kalliimpia kuin pulttiliitokset. Tulos on kuitenkin sen arvoinen - hitsaus varmistaa rakenteen korkean lujuuden heikentämättä sitä. Pienten, halkaisijaltaan 25 mm:n putkista valmistettujen katosten kiinnittämiseen voit käyttää rapujärjestelmää, joka koostuu erimuotoisista erityisistä puristimista (lisätietoja: "Mitä ovat profiiliputkien rapujärjestelmät, säännöt yhteyksien luominen). Useimmiten katoksia asennettaessa käytetään T-muotoisia ja X-muotoisia puristimia, jotka tarjoavat vastaavasti kolmen tai neljän putken liittämisen. Puristimien kiristämiseen tarvitaan pultteja vastaavilla muttereilla, jotka on usein ostettava erikseen. Rapujärjestelmien suurin haittapuoli on kyky koota rakenne vain 90 asteen kulmassa. Profiiliputkien valinta ristikon valmistukseen Kun valitset putkia suuren katoksen järjestämiseksi profiiliputkesta, sinun on tutkittava seuraavat standardit: SNiP 01.07-85, joka kuvaa kuormitusasteen ja rakenteen rakenneosien painon välistä suhdetta; SNiP P-23-81, joka kuvaa menetelmät teräsosien kanssa työskentelyyn. Nämä standardit ja suunnittelua koskevat erityisvaatimukset mahdollistavat sen parametrien tarkan laskemisen, erityisesti katon kaltevuuden, profiiliputkien ja ristikoiden tyypin. Lue myös: "Kuinka tehdä katos profiiliputkesta oikein - ohjeet." Voit harkita rakenteen järjestelyä esimerkkinä seinään asennettavasta katoksesta, jonka koko on 4,7x9 m, tuettu edestä ulkopylväillä ja kiinnitetty rakennukseen takaa. Kaltevuuskulmaa valittaessa on parasta pysähtyä 8 asteeseen. Standardeja tutkimalla saat selville alueen lumikuormituksen tason. Tässä esimerkissä profiiliputkesta valmistettu kalteva katto on kuormitettu 84 kg/m2. Yksi profiiliputkesta valmistettu 2,2 metrin teline painaa noin 150 kg ja sen kuormitus on noin 1,1 tonnia. Kuormitusaste huomioon ottaen sinun on valittava kestävät putket - tavallinen pyöreä profiiliputki, jonka seinät ovat 3 mm ja halkaisija 43 mm, ei toimi täällä. Pyöreän putken vähimmäismittojen tulee olla 50 mm (halkaisija) ja 4 mm (seinän paksuus). Jos materiaalina on putki, jonka halkaisija on 45 mm ja seinämän paksuus 4 mm. Ristikkoja valittaessa kannattaa valita kahdesta yhdensuuntaisesta muodosta koostuva malli, jossa on diagonaalinen ristikko. Ristikolle, jonka korkeus on 40 cm, voit käyttää neliömäistä profiiliputkea, jonka halkaisija on 35 mm ja seinämän paksuus 4 mm (lue myös: "Kuinka tehdä ristikot profiiliputkesta - tyypit ja asennustavat") . Putket, joiden halkaisija on 25 mm ja seinämän paksuus 3 mm, sopivat hyvin diagonaalisten ritilöiden tekemiseen. Johtopäätös Katoksen kokoaminen aaltopahviputkesta omin käsin ei ole niin vaikeaa. Onnistuneen työn kannalta on välttämätöntä suunnitella pätevästi tuleva rakenne ja lähestyä vastuullisesti jokaista projektin vaihetta - ja sitten tuloksena on luotettava rakenne, joka voi kestää useita vuosia. Kaksisaranaisten kaarien laskenta. Kaarien laskenta kiristämällä pääjärjestelmä, jos se otetaan huomioon tietyn kuorman ja kolmisaranaisen kaaren työntövoiman yhteisvaikutuksena tästä kuormasta. Seuraavassa käytämme ensimmäistä perusjärjestelmää. Kaksisaraniselle kaarelle laaditaan yksi kanoninen voimamenetelmän yhtälö, josta saadaan työntö- tai kiristysvoima: Х1 = Н = – Δ1р/δ11. Koska kaaren akseli on ääriviivattu käyrällä y = f (x), ei ole enää mahdollista käyttää sääntöä A laskettaessa pääjärjestelmän siirtymiä. N. Vereshchagin ja on tarpeen soveltaa Maxwell-Mohrin integraalikaavaa. Käytännössä kaarien poikkileikkausten hitausmomenttien oletetaan olevan vakioita tai muuttuvia. Kätevin integrointiin on seuraava laki kaaren poikkileikkausten hitausmomenttien muutoksista: Ix = Iс/cos휑, missä IC on hitausmomentti kaaren keskiosassa; 휑 on kaaren akselin tangentin kaltevuuskulma suhteessa x-koordinaattiakseliin. Kaksisaranakaareille rakenteellisista ja esteettisistä syistä toinen laki on sopivampi: Ix = Iс×cos휑. Tässä tapauksessa poikkileikkausten korkeudet kasvavat vähitellen tuista kaaren jänteen keskelle. Kaaria laskettaessa noudatetaan seuraavia sääntöjä sisäisten voimien merkeistä: sisäkuiduissa jännitystä aiheuttava taivutusmomentti katsotaan positiiviseksi; vetonormaalivoiman oletetaan olevan positiivinen; leikkausvoimaa pidetään positiivisena, jos se pyörittää jäljellä olevaa osaa myötäpäivään. Kaksisaranoista kaaria laskettaessa kuorman jakaminen symmetriseksi ja vinosti symmetriseksi ei tuota merkittävää yksinkertaistamista. Huomaa, että vinosymmetrisellä kuormalla työntövoima X1 on yhtä suuri kuin nolla. Jos kaaressa on solmio, pääjärjestelmä saadaan katkaisemalla solmio (kuva 8).

Analysoidut esimerkit auttoivat meitä tottumaan uusiin evoluution ja involuution käsitteisiin. Nyt olemme riittävän valmiita tutkimaan sykloidisten käyrien kehitystä.

Tutkiessamme tätä tai toista käyrää rakensimme usein apukäyrän - tämän käyrän "kumppanin".

Riisi. 89. Sykloidi ja sen hoitaja.

Joten rakensimme suoran ja ympyrän konkoidit, ympyrän kehitystä, siniaaltoa - sykloidin kumppania. Nyt tämän sykloidin perusteella rakennamme siihen erottamattomasti liittyvän apusykloidin. Osoittautuu, että tällaisen sykloidiparin yhteinen tutkimus on joissakin suhteissa yksinkertaisempaa kuin yhden yksittäisen sykloidin tutkiminen. Tällaista apusykloidia kutsumme mukana olevaksi sykloidiksi.

Tarkastellaan puolta sykloidin AMB kaaresta (kuva 89). Meidän ei pitäisi olla hämmentynyt siitä, että tämä sykloidi sijaitsee epätavallisella tavalla ("ylösalaisin").

Piirretään 4 suoraa, jotka ovat yhdensuuntaisia ​​apuviivan AK kanssa etäisyyksille a, 2a, 3a ja 4a. Muodostetaan generoiva ympyrä pistettä M vastaavaan paikkaan (kuvassa 89 tämän ympyrän keskikohta on merkitty kirjaimella O). Merkitään MON:n kiertokulmaa . Silloin jana AN on yhtä suuri (kulma ilmaistaan ​​radiaaneina).

Jatkamme generoivan ympyrän halkaisijaa NT pisteen T jälkeen suoran PP leikkauspisteeseen (pisteeseen E). Käyttämällä TE:tä halkaisijana rakennamme ympyrän (keskipisteellä ). Muodostetaan sykloidin AMB tangentti pisteeseen M. Tätä varten pisteen M täytyy, kuten tiedämme, olla yhdistetty pisteeseen T (s. 23). Jatketaan tangenttia MT pisteen T takana, kunnes se leikkaa apuympyrän, ja kutsumme leikkauspistettä . Tämä on se asia, jota haluamme nyt käsitellä.

Merkitsimme kulman MON:lla. Siksi kulma MTN on yhtä suuri kuin (kirjoitettu kulma, joka perustuu samaan kaareen). Kolmio on selvästi tasakylkinen. Siksi ei vain kulma, vaan myös kulma on kumpikin yhtä suuri, joten kolmion kulman murto-osalle jää täsmälleen radiaaneja (muista, että kulma 180° on yhtä suuri kuin radiaanit). Huomaa myös, että segmentti NK on ilmeisesti yhtä suuri kuin a ().

Tarkastellaan nyt ympyrää, jonka keskipiste on esitetty kuvassa. 89 katkoviiva. Piirustuksesta käy selvästi ilmi, millainen ympyrä tämä on. Jos rullaat sitä liukumatta pitkin suoraa CB, sen piste B kuvaa sykloidia BB. Kun katkoviiva pyörii kulman läpi, keskipiste tulee pisteeseen ja säde ottaa aseman. rakennettu osoittautuu sykloidin BB pisteeksi,

Kuvattu rakenne yhdistää sykloidin AMB jokaisen pisteen M sykloidin pisteeseen kuviossa 1. 90 tämä kirjeenvaihto näkyy selkeämmin. Tällä tavalla saatua sykloidia kutsutaan myötävaikutteiseksi. Kuvassa Kuvioissa 89 ja 90 paksuilla katkoviivoilla kuvatut sykloidit ovat mukana suhteessa sykloideihin, jotka on kuvattu paksuilla yhtenäisillä viivoilla.

Kuvasta 89 on selvää, että suora on normaali pisteessä mukana olevaan sykloidiin nähden. Tämä suora kulkee todellakin sykloidin pisteen sekä generoivan ympyrän ja suuntaviivan tangenttipisteen T läpi (generoivan ympyrän "matalin" piste, kuten kerran sanoimme; nyt se osoittautui "korkein", koska piirrosta kierretään).

Mutta tämä sama suora viiva on rakenteeltaan tangentti "pääsykloidille" AMB. Siten alkuperäinen sykloidi koskettaa jokaista mukana olevan sykloidin normaalia. Se on mukana tulevan sykloidin normaalien verhokäyrä eli sen evoluutio. Ja "mukana oleva" sykloidi osoittautuu yksinkertaisesti alkuperäisen sykloidin evoluutioksi (aukenemiseksi)!

Riisi. 91 Sykloidin ja sitä seuraavan pisteiden välinen vastaavuus.

Sitoutumalla tähän hankalaan, mutta pohjimmiltaan yksinkertaiseen rakenteeseen todistimme hollantilaisen tiedemiehen Huygensin löytämän huomattavan lauseen. Tässä on tämä lause: sykloidin kehitys on täsmälleen sama sykloidi, vain siirtynyt.

Kun olemme rakentaneet evoluutin ei yhdelle kaarelle, vaan koko sykloidille (mikä tietysti voidaan tehdä vain henkisesti), niin evoluutio tälle evoluutiolle jne., saamme kuvan 1. 91, muistuttavat laattoja.

Kiinnittäkäämme huomiota siihen, että Huygensin lauseen todistamisessa emme käyttäneet infinitesimaalisia, jakamattomia tai likimääräisiä arvioita. Emme edes käyttäneet mekaniikkaa; joskus käytimme mekaniikasta lainattuja ilmaisuja. Tämä todiste on täysin sen päättelyn hengessä, jota 1600-luvun tiedemiehet käyttivät, kun he halusivat tiukasti perustella saatuja tuloksia käyttämällä erilaisia ​​​​johtavia näkökohtia.

Huygensin lauseesta seuraa välittömästi tärkeä seuraus. Harkitse segmenttiä AB kuvassa. 89. Tämän janan pituus on ilmeisesti 4a. Kuvitellaan nyt, että sykloidin kaaren AMB ympärille on kierretty lanka, joka on kiinnitetty pisteeseen A ja varustettu lyijykynällä pisteessä B. Jos "kääritään" lanka, kynä liikkuu sykloidin AMB kehitystä pitkin. eli sykloidia BMB pitkin.

Riisi. 91 Sykloidin peräkkäinen kehitys.

Kierteen pituus, joka on yhtä suuri kuin sykloidin puolikaaren pituus, on ilmeisesti yhtä suuri kuin segmentti AB, eli kuten olemme nähneet, 4a. Näin ollen sykloidin koko kaaren pituus on yhtä suuri kuin 8a, ja kaavaa voidaan nyt pitää melko tiukasti todistettuna.

Kuvasta 89 näet lisää: kaava ei vain sykloidin koko kaaren pituudelle, vaan myös minkä tahansa sen kaaren pituudelle. On todellakin selvää, että kaaren MB pituus on yhtä suuri kuin segmentin pituus, ts. kaksinkertaisen tangentin segmentti sykloidin vastaavassa pisteessä, joka sisältyy generoivan ympyrän sisällä.

LEMMIKAATIT
Yhtälö napakoordinaateissa:
r2 = a 2 cos2θ

(x 2 + y 2) 2 = a 2 (x 2 - y 2)

Kulma AB" tai A"B ja x-akselin välillä = 45 o

Yhden silmukan pinta-ala = a 2 /2

SYKLOIDI

Yhden kaaren pinta-ala = 3πa 2

Yhden kaaren kaaren pituus = 8a

Tämä on käyrä, jota kuvaa piste P ympyrässä, jonka säde on a ja joka pyörii x-akselia pitkin.

NELJÄPURAA ON HYPOSYKLOIDIT
Yhtälö suorakaiteen muotoisina koordinaatteina:
x 2/3 + y 2/3 = a 2/3

Yhtälöt parametrimuodossa:

Käyrän ympäröimä alue = 3πa 2 /8

Koko käyrän kaaren pituus = 6a

Tämä on käyrä, jota kuvaa säteisen a/4 ympyrän piste P, joka pyörii säteisen a ympyrän sisällä.

KARDIOIDI
Yhtälö: r = a(1 + cosθ)

Käyrän ympäröimä alue = 3πa 2 /2

Käyrän kaaren pituus = 8a

Se on käyrä, jota kuvaa säteisen a ympyrän piste P, joka vierii säteisen a ympyrän ulkopuolelle. Tämä käyrä on myös Pascalin etanan erikoistapaus.

KETJULINJA
Yhtälö:
y = a(e x/a + e -x/a)/2 = acosh(x/a)

Tämä on käyrä, jota pitkin ketju riippuisi, kun se ripustetaan pystysuoraan pisteestä A paikkaan B.

KOLMEN TERÄLEHDEN RUUSU
Yhtälö: r = acos3θ

Yhtälö r = acos3θ on samanlainen kuin käyrä, joka saadaan kiertämällä vastapäivään 30 o tai π/6 radiaania pitkin.

Yleensä r = acosnθ tai r = asinnθ sisältää n lohkoa, jos n on pariton.

NELJÄTERÄLEHDISTÄVÄ RUUSU
Yhtälö: r = acos2θ

Yhtälö r = asin2θ on samanlainen kuin käyrä, joka saadaan kiertämällä vastapäivään 45 o tai π/4 radiaanikäyrää pitkin.

Yleensä r = acosnθ tai r = asinnθ on 2n terälehteä, jos n on parillinen.

EPICYCLOID
Parametriset yhtälöt:

Se on pisteen P kuvaama käyrä ympyrässä, jonka säde on b, kun se vierii säteisen a ympyrän ulkopuolella. Kardioidi on episykloidin erikoistapaus.

YLEINEN HYPOSYKLOIDI
Parametriset yhtälöt:

Se on pisteen P kuvaama käyrä ympyrässä, jonka säde on b, kun se vierii säteisen a ympyrän ulkopuolella.

Jos b = a/4, käyrä on hyposykloidi, jossa on neljä pistettä.

TROKOIDI
Parametriset yhtälöt:

Tämä on käyrä, jota kuvaa piste P etäisyydellä b säde a olevan ympyrän keskipisteestä sen vieriessä x-akselia pitkin.
Jos b on lyhennetty sykloidi.
Jos b > a, käyrä on kuvan 1 mukainen muoto. 11-11 ja kutsutaan kävelijä.
Jos b = a, käyrä on sykloidi.

TRAKTRICE
Parametriset yhtälöt:

Se on PQ-pituisen venytetyn merkkijonon loppupisteen P kuvaama käyrä, kun toista päätä Q siirretään x-akselia pitkin.

VERZIERA (VERZIERA) AGNEZI (joskus CURL AGNEZI)
Yhtälö suorakaiteen muotoisina koordinaatteina: y = 8a 3 /(x 2 + 4a 2)

Parametriset yhtälöt:

B. Kuvassa muuttujaviiva OA, joka leikkaa y = 2a ja ympyrän säde a, jonka keskipiste on (0,a) kohdassa A ja B. Mikä tahansa "kiharan" piste P määritetään rakentamalla viivoja, jotka ovat yhdensuuntaisia ​​x- ja y-akselien kanssa ja B:n ja A:n kautta, ja määrittämällä leikkauspiste P.

DESCARTES LEHTI
Yhtälö suorakaiteen muotoisina koordinaatteina:
x 3 + y 3 = 3axy

Parametriset yhtälöt:

Silmukan alue 3a 2 /2

Asymptoottiyhtälö: x + y + a = 0.

YMPÄRÄ OSALLISTUVAT
Parametriset yhtälöt:

Tämä on käyrä, jota kuvaa merkkijonon loppupiste P sen kiertyessä säteisestä a ympyrästä.

ELLIPSSI OSALLISTUMINEN
Yhtälö suorakaiteen muotoisina koordinaatteina:
(ax) 2/3 + (by) 2/3 = (a 2 - b 2) 2/3

Parametriset yhtälöt:

Tämä käyrä on verhokäyrä, joka on normaali ellipsille x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1.

CASSINI OVAALIT
Napayhtälö: r 4 + a 4 - 2a 2 r 2 cos2θ = b 4.

Tämä on käyrä, jota kuvaa piste P siten, että sen etäisyyden tulo kahdesta kiinteästä pisteestä [etäisyys 2a sivuun] on vakio b 2 .

Käyrä kuten alla olevissa kuvissa, kun vastaavasti b a.

Jos b = a, käyrä on lemniskaatti

PASCALIN ETANA
Napayhtälö: r = b + acosθ

Olkoon OQ suora, joka yhdistää keskipisteen O mihin tahansa pisteeseen Q halkaisijaltaan a olevalla ympyrällä, joka kulkee O:n kautta. Tällöin käyrä on kaikkien pisteiden P fokus, jolloin PQ = b.

Alla olevissa kuvissa näkyvä käyrä, kun b > a tai b

DIOKLEIN CISSOID
Yhtälö suorakaiteen muotoisina koordinaatteina: y 2 = x 3 /(2a - x)

Parametriset yhtälöt:

Tämä on pisteen P kuvaama käyrä siten, että etäisyys OP = etäisyys RS. Käytetään tehtävässä tuplauskuutio, eli etsitään kuution sivu, jonka tilavuus on kaksi kertaa tietyn kuution tilavuus

ARKIMEDESKIERRE
Napayhtälö: r = aθ

Englantilainen arkkitehti ja matemaatikko Wren laski ensimmäisen kerran sykloidin kaaren pituuden vuonna 1658. Wren lähti mekaanisista näkökohdista, jotka muistuttivat Torricellin ja Robervalin ensimmäisiä teoksia. Hän harkitsi vierivän ympyrän pyörimistä hyvin pienessä kulmassa lähellä generoivan ympyrän "alapistettä". Jotta Wrenin vihjaileville näkemyksille olisi havainnollistavaa voimaa, olisi tarkasteltava kokonaista joukkoa apulauseita, ja näin ollen olisi tarpeen käyttää liikaa työtä.

On paljon kätevämpää käyttää pidempää mutta lempeää polkua. Tätä varten sinun on otettava huomioon jokaisen tasaisen käyrän erityinen käyrä - sen kehitys.

Tarkastellaan kaarevan viivan kuperaa kaaria AB (kuva 4.1). Kuvitellaan, että kaareen AB on kiinnitetty pisteessä A joustava, venymätön lanka, joka on samanpituinen kuin itse kaari AB, ja tämä lanka "kääritään" käyrälle ja sopii tiukasti siihen niin, että sen pää osuu yhteen pisteen kanssa. B. "Avitsemme" -- suoristamme lankaa pitäen sen kireällä niin, että CM-langan vapaa osa suuntautuu aina tangentiaalisesti kaarelle AB. Näissä olosuhteissa langan pää kuvaa tiettyä käyrää. Tätä käyrää kutsutaan kehitykseksi tai latinaksi involuuttinen alkuperäinen käyrä.

Jos käyrän kaari ei ole kupera kaikkialla yhteen suuntaan, jos se on kuten kuvan 1 käyrä AB. 4.2, jolla on piste C, jossa käyrän tangentti siirtyy puolelta toiselle (tällaista pistettä kutsutaan käännepisteeksi), niin tässä tapauksessa voidaan puhua käyrän kehityksestä, mutta päättely on olla hieman monimutkaisempi.

Kuvitellaan, että lanka on kiinnitetty täsmälleen käännepisteeseen C (kuva 4.2). Kaaresta BC purkautuva lanka kuvaa BMR-käyrää - skannausta.

Kuvitellaan nyt lanka, joka on kierretty alkuperäisen käyrän kaaren AC ympärille, mutta tämä lanka on jo pitkänomainen: kohtaan C on sidottu lanka CP. Käärimällä pitkänomainen ACP-lanka CA-käyrällä saadaan RNA-kaaren, joka yhdessä BMP-kaaren kanssa muodostaa yhden jatkuvan käyrän - jatkuvan, mutta ei tasaisen kaikkialla: alkuperäisen käyrän taipumapiste C vastaa BMRNA-käyrän kärki (paluupiste): BMRNA-käyrä on BCA-käyrän involuutio (pyyhkäisy).

Nämä esimerkit auttoivat meitä tottumaan uusiin evoluution ja involuution käsitteisiin. Nyt tutkitaan sykloidisten käyrien kehitystä.

Tutkiessamme tätä tai toista käyrää rakensimme usein apukäyrän - tämän käyrän "kumppanin". Joten maksamme sinusoidin - sykloidin kumppanin. Nyt tämän sykloidin perusteella rakennamme siihen erottamattomasti liittyvän apusykloidin. Osoittautuu, että tällaisen sykloidiparin yhteinen tutkimus on joissakin suhteissa yksinkertaisempaa kuin yhden yksittäisen sykloidin tutkiminen. Tällaista apusykloidia kutsumme mukana olevaksi sykloidiksi.

Tarkastellaan puolta sykloidin AMB kaaresta (kuva 4.3). Meidän ei pitäisi olla hämmentynyt siitä, että tämä sykloidi sijaitsee epätavallisella tavalla ("ylösalaisin"). Piirretään etäisyyksille 4 ohjaussuoran AK suuntaista suoraa a, 2a, 3a ja 4 a. Muodostetaan generoiva ympyrä pistettä M vastaavaan paikkaan (kuvassa 4.3 tämän ympyrän keskipiste on merkitty kirjaimella O). Merkitään kiertokulmaa MON c:llä. Silloin jana AN on yhtä suuri kuin bc (kulma c ilmaistaan ​​radiaaneina).

Jatkamme generoivan ympyrän halkaisijaa NT pisteen T jälkeen suoran PP leikkauspisteeseen (pisteeseen E). Käyttämällä TE:tä halkaisijana rakennamme ympyrän (keskipisteellä O 1). Muodostetaan sykloidin AMB tangentti pisteeseen M. Tätä varten pisteen M täytyy, kuten tiedämme, olla yhdistetty pisteeseen T. Jatketaan tangenttia MT pisteen T ohi, kunnes se leikkaa apuympyrän ja kutsumme leikkauspistettä M 1:ksi. Juuri tätä kohtaa M 1 haluamme nyt käsitellä.

Merkitsimme kulman MON c:llä. Siksi kulma MTN on yhtä suuri kuin (kirjoitettu kulma, joka perustuu samaan kaareen). Kolmio TO 1 M 1 on ilmeisesti tasakylkinen. Siksi ei vain kulma O 1 TM 1, vaan myös kulma TM 1 O 1 on kumpikin yhtä suuri. Näin ollen kulman TO 1 M 1 murto-osa kolmiossa TO 1 M 1 pysyy täsmälleen p - q radiaania (muista, että kulma 180? on yhtä suuri kuin p radiaania). Huomattakoon myös, että jana NK on ilmeisesti yhtä suuri kuin b(p - q).

Tarkastellaan nyt ympyrää, jonka keskipiste on O 2 ja joka on esitetty kuvassa 4.3 katkoviivalla. Piirustuksesta käy selvästi ilmi, millainen ympyrä tämä on. Jos rullaat sitä liukumatta pitkin suoraa linjaa NE, sen piste B kuvaa sykloidia BB. Kun katkoviiva pyörii kulman p - c läpi, keskipiste O 2 tulee pisteeseen O 1 ja säde O 2 B ottaa aseman O 1 M 1. Siten rakentamamme piste M 1 osoittautuu sykloidin BB pisteeksi.

Kuvattu rakenne yhdistää sykloidin AMB jokaisen pisteen M sykloidin VM 1 B pisteeseen M1. 4.4 osoittaa tämän vastaavuuden selkeämmin. Tällä tavalla saatua sykloidia kutsutaan myötävaikutteiseksi. Kuvassa 4.3 ja 4.4 sykloidit, jotka on kuvattu paksuilla katkoviivoilla, ovat mukana suhteessa sykloideihin, jotka on kuvattu paksuilla yhtenäisillä viivoilla.

Kuvasta 4.3 on selvää, että suora MM 1 on normaali pisteessä M 1 oheisen sykloidin suhteen. Tämä suora kulkee todellakin sykloidin pisteen M 1 kautta sekä generoivan ympyrän ja suuntaviivan tangenttipisteen T läpi (generoivan ympyrän "matalin" piste, kuten kerran sanoimme; nyt se osoittautui "korkein", koska piirrosta kierretään). Mutta tämä sama suora viiva on rakenteeltaan tangentti sykloidin AMB "kantalle". Siten alkuperäinen sykloidi koskettaa jokaista mukana olevan sykloidin normaalia. Se on verhokäyrä mukana tulevan sykloidin normaaleille, ts. hänen evoluutioonsa. Ja "mukana oleva" sykloidi osoittautuu yksinkertaisesti alkuperäisen sykloidin involuutioksi!

Sitoutumalla tähän hankalaan, mutta pohjimmiltaan yksinkertaiseen rakenteeseen todistimme hollantilaisen tiedemiehen Huygensin löytämän huomattavan lauseen. Tässä on lause: Sykloidin kehitys on täsmälleen sama sykloidi, vain siirtynyt.

Kun olet rakentanut evoluutin ei yhdelle kaarelle, vaan koko sykloidille (mikä tietysti voidaan tehdä vain henkisesti), niin evoluutio tälle evoluutille jne., saamme kuvan 1. 4.5, laattoja muistuttava.

Kiinnittäkäämme huomiota siihen, että Huygensin lauseen todistamisessa emme käyttäneet infinitesimaalisia, jakamattomia tai likimääräisiä arvioita. Emme edes käyttäneet mekaniikkaa, vaikka käytimme joskus mekaniikasta lainattuja ilmaisuja. Tämä todiste on täysin sen päättelyn hengessä, jota 1600-luvun tiedemiehet käyttivät, kun he halusivat tiukasti perustella saatuja tuloksia käyttämällä erilaisia ​​​​johtavia näkökohtia.

Huygensin lauseesta seuraa välittömästi tärkeä seuraus. Harkitse segmenttiä AB kuvassa. 4.4 Tämän jakson pituus on ilmeisesti 4 a. Kuvitellaan nyt, että sykloidin kaaren AMB ympärille on kierretty lanka, joka on kiinnitetty pisteeseen A ja varustettu lyijykynällä pisteessä B. Jos "kääritään" lanka, kynä liikkuu sykloidin AMB kehitystä pitkin. , eli sykloidia BM 1 B pitkin. Kierteen pituus, joka on yhtä suuri kuin sykloidin puolikaaren pituus, on ilmeisesti yhtä suuri kuin segmentti AB, eli kuten olemme nähneet, 4 a. Siksi koko sykloidikaaren pituus L on yhtä suuri kuin 8 a ja kaava L = 8 a voidaan nyt pitää varsin tiukasti todistettuna.

Lasketaan kaaren pituus differentiaaligeometrian avulla. Tällä tavalla saatu ratkaisu on paljon lyhyempi ja helpompi:

Missä t?

| r(t)|===2sin