Ebben a leckében megnézzük a csonkított piramisot, megismerkedünk a jobb csonka piramisgal, megismerjük a tulajdonságaikat.

Emlékezzünk az N-szén piramis fogalmára egy háromszög alakú piramis példájára. Az ABC háromszög be van állítva. A t háromszög síkján kívül a P pontot, a háromszög csúcsaihoz csatlakoztatva. A kapott multifaceted felületet piramisnak nevezzük (1. ábra).

Ábra. 1. Háromszögletű piramis

A piramist a piramis alap síkjával párhuzamos síkkal bontja. A fenti síkok között kapott ábrát csonkított piramisnak nevezzük (2. ábra).

Ábra. 2. csonkított piramis

Fő elemek:

Felső alap;

Az ABC alsó alapja;

Oldal arc;

Ha a pH-érték az eredeti piramis magassága, akkor a csonkított piramis magassága.

A csonkított piramis tulajdonságai kiszivárognak az építési módszerből, nevezetesen az alaptervek párhuzamos jellegéből:

A csonkított piramis minden oldalsó felülete trapéz. Tekintsük például a szélét. A párhuzamos síkok tulajdonában van (mivel a sík párhuzamos, akkor az eredeti AVR piramis oldalának oldala a párhuzamos közvetlen) mentén, ugyanabban az időben, és nem párhuzamos. Nyilvánvaló, hogy a négyszög egy trapéz, mint egy csonkított piramis oldalsó szélessége.

Az alapok aránya egyformán minden trapeat esetében:

Több ilyen háromszögünk van, ugyanolyan hasonlósági együtthatóval. Például a háromszögek és az egyenértékűség hasonlóak a repülőgépek párhuzamosságának és hasonlóságának köszönhetően:

Ugyanakkor hasonló a háromszögekhez és a hasonlósági arányhoz hasonlóan:

Nyilvánvaló, hogy az ilyen háromszögek mindhárom párhoz hasonló hasonlósági együtthatók egyenlőek, ezért az alapok aránya egyenlően minden trapéz esetében.

A megfelelő csonkított piramis egy csonka piramis, amelyet a megfelelő piramis keresztmetszetével nyert síkkal párhuzamosan (3. ábra).

Ábra. 3. Megfelelő csonkolt piramis

Meghatározás.

A helyes dolgot piramisnak nevezik, amelynek alapja, amelynek alapja a helyes n-parlament fekszik, és a csúcsot az N-tér központjára tervezték (Center beírt és leírt kör).

Ebben az esetben a piramis alapján van egy négyzet, és a csúcsot az átlói metszéspontjára tervezték. A kapott megfelelő négyszögletes csonkított piramis ABCD - az alsó bázis a felső bázis. Az eredeti piramis - PO, csonkított piramis magassága - (4. ábra).

Ábra. 4. Helyes négyszögletes csonka piramis

Meghatározás.

A csonkított piramis magassága merőleges, bármely bázis bármely pontjáról a második alap síkig.

Appeham az eredeti piramis - PM (M - közepes AB), apophem csonka gúla - (ábra. 4).

Meghatározás.

Apperam csonkolt piramis - minden oldalsó felület magassága.

Nyilvánvaló, hogy a csonkított piramisok oldalirányú bordái egyenlőek egymással, azaz az oldalsó felületek egyenlőek egyenlő trapézek.

A helyes csonkolt piramis oldalsó felületének területe megegyezik az apotem pereméterének munkájával.

Bizonyíték (a megfelelő négyszögletes csonkított piramishoz - 4. ábra):

Tehát bizonyítani kell:

Az oldalsó felület itt a térfelületek - trapézum összege. Mivel a trapéz ugyanaz, van:

Az egyensúlyi trapéz területe a bázisok és a magasság közepének terméke, az apophem a trapéz magassága. Nekünk van:

Q.E.D.

N-szén piramis:

Ahol n értéke a piramis, a és b - a trapéz alapja, - Apophem alapja.

A jobb csonka négyszögletes piramis arcbázisai 3 cm egyenlő és 9 cm, magasság - 4 cm. Keresse meg az oldalsó felületet.

Ábra. 5. Illusztráció az 1. feladathoz

Döntés. Az állapotot illusztráljuk:

Készlet: ,,,

Egy pont után a közvetlen MN-t az alsó bázis két oldalával párhuzamosan fogjuk elvégezni, közvetlenül a ponton keresztül töltjük el (6. ábra). Mivel a csonkított piramis bázisaiban a négyzetek és az építés párhuzamosak, egy trapeziumot kapunk az oldalsó felületekkel. Ráadásul az oldalán áthalad az oldalsó felületek felső és alsó bordáinak közepén, és egy apofurális csonka piramis.

Ábra. 6. Kiegészítő építés

Tekintsük a kapott trapézt (6. ábra). Ebben a trapéziumban a felső bázis, az alsó bázis és a magasság ismert. Szükség van egy oldalsó oldalra, amely egy apofurális előre meghatározott csonka piramis. Az MN-re merőleges. A ponttól, hogy elhagyja a merőleges NQ-t. Ezt a nagyobb bázist három centiméterre osztjuk (). Tekintsünk egy téglalap alakú háromszöget, a kartet ismertté, ez egy egyiptomi háromszög, a Pythagora tétel szerint, meghatározzuk a hypotenuse hosszát: 5 cm.

Most vannak olyan elemek, amelyek meghatározzák a piramis oldalfelületének területét:

A piramist egy síkkal párhuzamosan keresztezi. Bizonyítsuk be a háromszög alakú piramis példáján, hogy az oldalsó bordák és a piramisok magassága ezt a síkot arányos részekkel osztja el.

Bizonyíték. Illusztráljuk:

Ábra. 7. Illusztráció a 2. feladathoz

A RAVOX piramisja be van állítva. PO - a piramis magassága. A piramis egy síkot boncolt, csonkított piramist kaptunk, és. A pont a po magasságának metszéspontja a csonkított piramis alapjaival. Biztosítani kell:

A megoldás megoldása párhuzamos síkok tulajdonát képezi. Két párhuzamos sík szétválasztja a harmadik síkot úgy, hogy a keresztezővezetékek párhuzamosak legyenek. Ennélfogva:. A párhuzamosság a megfelelő közvetlen flow négy pár ilyen háromszögek:

A háromszögek hasonlóságából az adott felek arányosságát jelenti. Fontos jellemző az, hogy ezeknek a háromszögekben lévő hasonlósági tényezőknek megegyeznek:

Q.E.D.

A RAVOX helyes háromszögű piramisja az alap magasságával és oldalával a pH-magasság közepén halad át az ABC alapjával párhuzamos pH-magasság közepén. Keresse meg a kapott csonkított piramis oldalsó felületét.

Döntés. Illusztráljuk:

Ábra. 8. Illusztráció a 3. feladathoz

A DSA a megfelelő háromszög, H a háromszög középpontja (középen felírt és leírt körök). PM - egy adott piramis apophem. - Apperam csonkolt piramis. Szerint a tulajdonsága párhuzamos síkokban (két párhuzamos síkban boncolgatni bármely harmadik síkban úgy, hogy a kereszteződés egyenes párhuzamos), mi több pár hasonló háromszögek egyenlő faktorral hasonlóság. Különösen érdekel a hozzáállás:

Nm-et találunk. Ez a kör sugara, amely a bázisban szerepel, a megfelelő képlet ismert számunkra:

Most, a RNM téglalap alakú háromszögéből a Pythagore tételen megtaláljuk az RM - az eredeti piramis RM-ot:

A kezdeti kapcsolatból:

Most ismerjük az összes elemet, hogy megtalálják a csonkított piramis oldalfelszínének területét:

Tehát megismerkedett a fogalmak csonka gúla és a megfelelő csonka gúla, adta a fő fogalmak, úgy a tulajdonságait, bizonyította a tétel a mellékhatások felülettel. A következő lecke a problémák megoldására szolgál.

Bibliográfia

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. Geometria. 10-11 osztály: Általános oktatási intézmények hallgatóinak tankönyve (alap- és profilszintek) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. Ed., Cselekedet. és add hozzá. - M.: Mnemozina, 2008. - 288 p.: Il.
2. SHARYING I. F. GEOMETRY. 10-11 osztály: Általános oktatási intézmények tankönyve / SHARYIN I. F. - M.: Drop, 1999. - 208 p.: Il.
3. E. V. POTOSKUEV, L. I. Zvalich. Geometria. 10. évfolyam: tankönyv közművelődési intézmények mélyreható és profilját tanulmány matematika / e. V. POTOSKUEV, L. I. Zvalich. - 6. Ed., Sztereotípia. - M.: Drop, 2008. - 233 C.: IL.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru ().

Házi feladat

- Ez egy poliéder, amelyet a piramis alapja és a keresztmetszet alapja. Azt mondhatjuk, hogy a csonkított piramis piramis, vágott hegyekkel. Ez a szám sok egyedi tulajdonsággal rendelkezik:

• A piramisok oldala a trapéz;
• A megfelelő csonkolt piramis oldalsó szélei ugyanolyan hosszúságúak, és ugyanabban a szögben hajlamosak az alapra;
• A bázisok hasonló sokszögek;
• A helyes csonkolt piramisban az arcok ugyanazok a kontrasztható trapézek, amelyek területe egyenlő. Ők szintén az egyik sarokba döntenek.

A csonkított piramis oldalsó felületének képlete az oldalának területeinek összege:

Mivel a csonkított piramis oldalai trapeats, akkor a paraméterek kiszámításához kell használni a képletet négyszögletes trapéz. A megfelelő csonkolt piramis esetében egy másik képletet alkalmazhat a terület kiszámításához. Mivel az összes oldala, arcai és szögei egyenlőek, akkor az alap és az apophem perimeterjeit alkalmazhatja, valamint a területet a bázisszögen keresztül adhatja meg.

Ha, feltételek szerint a megfelelő csonka gúla, a apophem (a magassága a oldalon), és a hossza a bázis oldalon egyaránt, akkor ki lehet számítani a területen keresztül a félig-termelő az összeget a kerülete A bázisok és az apophem:

Tekintsünk egy példát a csonkított piramis oldalsó felületének területének kiszámítására.
Dana a jobb ötszögű piramis. Apotem l. \u003d 5 cm, az arc hossza a nagy bázisban egyenlő a. \u003d 6 cm, és egy kisebb bázisú arc b. \u003d 4 cm. Számítsa ki a csonkított piramis területét.

Kezdjük, megtaláljuk az alapok pereméterét. Mivel pentagonális piramisot kapunk, megértjük, hogy az alapítványok pentagonok. Tehát a bázisokon öt azonos párt van. Nagyobb alap kerületét találjuk:

Ugyanígy találunk egy kisebb bázis kerületét:

Most kiszámíthatjuk a jobb csonka piramis területét. Az adatokat helyettesítjük a következő képletben:

Így kiszámítottuk a jobb csonka piramis területét a perimeterek és apophemen keresztül.

A jobb piramis oldalsó felületének kiszámításának másik módja egy képlet a sarkokon keresztül a bázis és a terület területe.

Nézzük meg a számítási példát. Emlékeztetünk arra, hogy ezt a képletet csak a megfelelő csonka piramisra alkalmazzák.

Hagyja adni a megfelelő négyszögletes piramisot. Az alsó bázis arca a \u003d 6 cm, a felső felület B \u003d 4 cm. A kétre szerelt szög a bázisban β \u003d 60 °. Keresse meg a megfelelő csonkított piramis oldalsó felületét.

Kezdjük, kiszámítjuk az alapterületet. Mivel a piramis helyes, az alapok egyenlőek egymással. Figyelembe véve, hogy a bázison van egy négyszög, megértjük, hogy ki kell számolni négyszögletes terület. Ez egy szélesség hosszúságú termék, de a téren ezek az értékek egybeesnek. Megtaláljuk a nagyobb bázis területét:


Most a talált értékeket használjuk az oldalsó felület kiszámításához.

Néhány egyszerű képlet ismerete, könnyen kiszámítottuk a csonkított piramis oldalirányú trapéz csúsztatását különböző értékeken keresztül.

• 29.05.2016

  Az oszcilláló áramkör egy elektromos áramkör, amely induktor induktor, kondenzátor és elektromos forrás. A láncelemek egymást követő kapcsolatával az oszcilláló áramkört szekvenciálisnak nevezik, párhuzamosan párhuzamosan. Az oszcilláló áramkör a legegyszerűbb rendszer, amelyben ingyenes elektromágneses oszcilláció történhet. A kontúr rezonáns frekvenciáját az úgynevezett Thomson Formula határozza meg: ƒ \u003d 1 / (2π√ (lc)) ...

• 20.09.2014

  A vevőkészülék úgy van kialakítva, hogy jeleket fogadjon a DV tartományban (150khz ... 300 kHz). Az antenna vevőjének fő jellemzője, amely nagyobb induktivitással rendelkezik, mint a szokásos mágneses antenna. Amely lehetővé teszi, hogy alkalmazza a kapacitás a díszítve kondenzátor belül 4 ... 20pf, valamint az ilyen vevőkészülék elfogadható érzékenység és egy kis erősítése RF útvonalon. A vevő fejhallgatóval (fejhallgató), táplálékok ...

• 24.09.2014

  Ez egy set-in-alapú folyadék, amely szabályozza a folyadék szintjét a tartályokban, amint a folyadék a telepítés beállítási szintjére emelkedik, elkezdi táplálni a folyamatos hangjelzést, ha a folyadékszint eléri a készlet kritikus szintjét - Elkezdi táplálja az intermittáló jelet. Az indikátor 2 generátorból áll, amelyek szabályozzák az E szenzor elemet. A tartályba kerül a ...

• 22.09.2014

  CR1016v1 egy digitális multimprogram időzítő, amely az ILC3-5 \\ 7 jelzővel működik. Ez biztosítja a visszaszámlálást és megjeleníti az aktuális időjelzőn órákban és percekben, a hét napján, a vezérlőcsatorna számának (9 riasztás). Az ébresztőóra sémát az ábrán mutatjuk be. Vesz egy kv chipet. Rezonátor Q1 32768Hz. Táplálkozás - negatív, általános plusz belép ...

Piramis. Csonka piramis

Piramis úgynevezett poliéder, az egyik arc, amelynek poligon ( bázis ), és minden más arc háromszög, egy teljes csúcs ( oldalsó élek ) (15.). Piramis hívott jobb Ha alapja a helyes poligon, és a piramis csúcsa a bázis középpontjára van kialakítva (16. Háromszög alakú piramis, amelyet minden borda egyenlő, hívott tetraéder .

Oldalsó él A piramisokat az oldalsó oldal oldalának nevezik, amely nem tartozik az alaphoz Magasság A piramisokat az úgynevezett távolság a csúcsától az alap síkig. A jobb piramisok minden oldalsó bordái egyenlőek egymással, minden oldalsó felület egyenlő háromszögekkel. A tetejéről eltöltött jobb piramis oldalsó felületének magassága apofisztusi . Átlós keresztmetszet A piramis keresztmetszetet a két oldalsó bordákon áthaladó síknak nevezik, amelyek nem tartoznak az egyik archoz.

Oldalsó felület A piramisokat az összes oldalsó felület területének összege. Felszíni terület Az összes oldalsó felület és bázis területének összegét hívják.

Tételek.

1. Ha a piramisban az oldalsó élek megegyeznek az alap síkkal, a piramis csúcsa a bázis közelében leírt kör közepére tervezték.

2. Ha a piramisban az oldalsó bordák azonos hosszúságúak, a piramis teteje a bázis közelében leírt kör közepére van kialakítva.

3. Ha a piramis, az összes metszettel planened az alapsík a piramis csúcsán van kialakítva, hogy a központ a beírható kör a bázis.

Az önkényes piramis térfogatának kiszámításához a képlet igaz:

hol V. - hangerő;

S OSN - alapterület;

H. - A piramis magassága.

A jobb piramis, a hűséges képlet:

hol p. - az alapítvány kerülete;

h a. - Apophem;

H. - magasság;

S tele

S oldal

S OSN - alapterület;

V. - A jobb piramis térfogata.

Csonka piramis A piramis része, amely az alap és a rögzítő sík között kötött, párhuzamosan a piramis bázisával (17. ábra). Megfelelő csonka piramis A jobb piramis részét képezik, amely az alap és a rögzítő sík között párhuzamos a piramis bázisával.

Alapul Csonkított piramis - hasonló sokszögek. Oldalsó élek - Trapezium. Magasság A csonkított piramis a bázisok közötti távolság. Átlós A csonkított piramist olyan szegmensnek nevezik, amely az egyik arccal nem fekszik. Átlós keresztmetszet A csonkított piramis keresztmetszete egy két oldalsó bordákon áthaladó sík, amely nem tartozik egy archoz.

A csonkított piramisok esetében a képletek érvényesek:

(4)

hol S. 1 , S. 2 - felső és alsó alapok;

S tele - a teljes felület területe;

S oldal - oldalsó felület;

H. - magasság;

V. - A csonkított piramis térfogata.

A megfelelő csonkított piramis esetében a képlet igaz:

hol p. 1 , p. 2 - Az alapok pereméterei;

h a. - A jobb csonka piramis apophemje.

1. példa. A helyes háromszögű piramisban a bázison lévő törpboni szög 60 °. Keresse meg az oldalsó borda tangens szögét az alap síkhoz.

Döntés. Készítsen rajzot (18. ábra).

A piramis helyes, ami azt jelenti, hogy az egyenlő oldalú háromszög alapja, és az összes oldalsó arcok egyenlő háromszögekkel egyenlőek. A bázison lévő törpe szög a piramis oldalsó felületének szöge az alap síkhoz. A lineáris szög szög lesz a. Két merőleges között: és azaz A piramis tetejét a háromszög közepén tervezték (a leírt kör középpontja és a háromszögben szereplő kör ABC). Az oldalsó szélének szöge (például Sb.) A szög a széle között maga és annak vetülete az alapító síkon. Borda Sb. Ez a szög szög lesz SBD.. Ahhoz, hogy megtalálja a tangenseket, tudnia kell a katétreket ÍGY. és Ob.. Hagyja, hogy a vágás hossza Bd. 3. de. Pont RÓL RŐL szakasz Bd. alkatrészekre osztva: és a megállapításról ÍGY.: A megállapításból:

Válasz:

2. példa. Keresse meg a megfelelő csonkolt négyszögletes piramis térfogatát, ha a bázisok átlója megegyezik CM és CM, és a magasság 4 cm.

Döntés. A csonkított piramis térfogatának megtalálásához a (4) képletet használjuk. A földterületek megtalálásához meg kell találni a négyzetek oldalát, tudva az átlóit. Az oldalán a bázis 2 cm, illetve, és 8 cm. Tehát a földre területen, és helyettesítjük az összes adatot a képlet, térfogatának kiszámításához csonkagúla:

Válasz: 112 cm3.

3. példa. Keresse meg a helyes háromszög alakú csonkított piramis oldalsó felületét, amelynek bázisok oldala 10 cm és 4 cm, valamint a piramis magassága 2 cm.

Döntés. Készítsen rajzot (19. ábra).

A piramis oldala egy egyensúlyi trapéz. A trapéz területének kiszámításához meg kell ismerni az alapot és a magasságot. A bázisokat állapot szerint adják meg, csak ismeretlen magasság marad. Megtaláljuk, hol DE 1 E. Merőleges a ponttól DE 1 az alacsony alap síkon, A. 1 D. - merőleges DE 1-ben Vált. DE 1 E. \u003d 2 cm, mivel ez a piramis magassága. Megtalálni De. Ezenkívül a rajzot kiegészítjük, amely felülnézetet ábrázol (20. ábra). Pont RÓL RŐL - A felső és az alsó bázisok központjainak vetítése. Mivel (lásd a 20. ábrát) és másrészt rendben - a sugár a kerületben és a kerületben Ó. - RADIUS A KÖRNYEZETBEN:

Mk \u003d de..

A Pythagoreo tétel szerint

Oldalsó oldal:

Válasz:

4. példa. A piramis alapja egy egyensúlyi trapéz, amelynek alapjait deés b. (a.> b.). Mindegyik oldalsó felület a piramisszög alapjának síkjával egyenlő j.. Keresse meg a piramis teljes felületének területét.

Döntés. Készítsünk rajzot (21. ábra). A piramis teljes felületének négyzete Sabcd. megegyezik a tér négyzetének összegével és a trapéz négyzetével ABCD..

Az állítást használjuk, hogy ha a piramisok összes széle az alap síkhoz van elhelyezve, a csúcsot a kör alapjához írt középre tervezték. Pont RÓL RŐL - A csúcs vetülete S. A piramis alapjain. Háromszög Gyep. egy ortogonális háromszög vetítés CSD. Az alap síkján. A tétel egy ortogonális vetületi területen, kapunk:

Hasonlóképpen, ez azt jelenti Így a feladat csökkentette a trapéz területének megtalálását Assd.. Trapezium megjelenítése ABCD.külön-külön (2. ábra). Pont RÓL RŐL - Középpont a kör körébe.

Mivel egy trapézban beléphet a körbe, akkor vagy a Pythagore Theorem-től