Először is emlékezzünk arra, hogy mi az koordináta tengely, pont vetítése egy tengelyreés egy pont koordinátái a tengelyen.

Koordináta tengely egy egyenes, amely irányt kapott. Felfoghatod úgy, mint egy végtelenül nagy modulusú vektort.

Koordináta tengely tetszőleges betűvel jelölve: X, Y, Z, s, t ... Általában a tengelyen (tetszőlegesen) kiválasztanak egy pontot, amelyet origónak nevezünk, és általában O betűvel jelöljük. Távolságok a többitől a számunkra érdekes pontokat ebből a pontból mérik.

Pont vetítése egy tengelyre- ez az ebből a pontból az adott tengelyre ejtett merőleges alapja (8. ábra). Vagyis egy pont tengelyre vetítése pont.

Pont koordináta tengelyenként olyan szám, amelynek abszolút értéke megegyezik a tengely eleje és a pont erre a tengelyre vetülete közé bezárt szakaszának hosszával (a kiválasztott léptékben). Ezt a számot pluszjellel vesszük, ha a pont vetülete az elejétől a tengely irányában van, és mínuszjellel, ha ellenkező irányban.

Vektor skaláris vetülete egy tengelyre- azt szám, melynek abszolút értéke megegyezik a vektor kezdőpontjának és végpontjának vetületei közé zárt tengelyszakasz hosszával (a kiválasztott léptékben). Fontos! Általában a kifejezés helyett vektor skaláris vetülete egy tengelyre csak azt mondják - vektor vetítése egy tengelyre, vagyis a szó skalár leeresztett. Vektoros vetítés ugyanazzal a betűvel jelöljük, mint a kivetített vektort (normál, nem félkövér írással), annak a tengelynek a nevének alsó indexével (általában), amelyre ez a vektor ki van vetítve. Például, ha egy vektort az x tengelyre vetítünk a, akkor a vetületét x-szel jelöljük. Ha ugyanazt a vektort egy másik tengelyre, mondjuk az Y tengelyre vetítjük, a vetületét y-val jelöljük (9. ábra).

Számolni vektor vetítés a tengelyre(például az X tengely) ki kell vonni a kezdőpont koordinátáját a végpontjának koordinátájából, azaz

és x \u003d x k - x n.

Emlékeznünk kell: a vektor skaláris vetülete egy tengelyre (vagy egyszerűen a vektor vetülete egy tengelyre) egy szám (nem vektor)! Sőt, a vetítés lehet pozitív, ha x k értéke nagyobb, mint x n, negatív, ha x k értéke kisebb, mint x n, és egyenlő nullával, ha x k egyenlő x n értékével (10. ábra).

Egy vektor tengelyre vetítését úgy is megtalálhatjuk, ha ismerjük a vektor modulusát és az adott tengellyel bezárt szöget.

A 11. ábra azt mutatja, hogy a x = a Cos α

Ez azt jelenti, hogy a vektor vetülete a tengelyre egyenlő a vektor modulusának és a szög koszinuszának szorzatával tengelyirány és vektorirány között. Ha a szög hegyes, akkor Cos α > 0 és a x > 0, ha pedig tompaszög, akkor a tompaszög koszinusza negatív, és a vektor tengelyre vetítése is negatív lesz.

A tengelytől az óramutató járásával ellentétes irányba számolt szögeket pozitívnak, az irányban pedig negatívnak tekintjük. Mivel azonban a koszinusz páros függvény, vagyis Cos α = Cos (− α), így a vetületek számításakor a szögek az óramutató járásával megegyező és azzal ellentétes irányban is számolhatók.

A feladatok megoldása során gyakran a vetületek alábbi tulajdonságait használják fel: ha

a = b + c +…+ d, akkor a x = b x + c x +…+ d x (hasonlóan más tengelyeknél),

a= m b, akkor a x = mb x (hasonlóan más tengelyeknél).

Az a x = a Cos α képlet lesz Gyakran találkozni a problémák megoldása során, ezért ismerni kell. Ismernie kell a vetület meghatározásának szabályát kívülről!

Emlékezik!

Egy vektor tengelyre vetített vetületének meghatározásához ennek a vektornak a modulját meg kell szorozni a tengely iránya és a vektor iránya közötti szög koszinuszával.

Még egyszer - GYORS!

A VEKTORALGEBRA ALAPVETŐ FOGALMAI

Skaláris és vektoros mennyiségek

Az elemi fizika tantárgyból ismert, hogy egyes fizikai mennyiségeket, mint a hőmérséklet, térfogat, testtömeg, sűrűség stb., csak egy számérték határoz meg. Az ilyen mennyiségeket ún skalárok, vagy skalárok.

Más mennyiségek, például erő, sebesség, gyorsulás és hasonlók meghatározásához a számértékeken kívül ezek irányát is be kell állítani a térben. Olyan mennyiségeket nevezünk, amelyeket az abszolút nagyságon kívül irány is jellemez vektor.

Meghatározás A vektor egy irányított szakasz, amelyet két pont határoz meg: az első pont határozza meg a vektor elejét, a második pedig a végét. Ezért azt is mondják, hogy a vektor egy rendezett pontpár.

Az ábrán a vektor egy egyenes szakaszként van ábrázolva, amelyen a nyíl jelzi az irányt a vektor elejétől a végéig. Például a 3. ábra. 2.1.

Ha a vektor eleje egybeesik a ponttal , és ponttal fejezzük be , akkor a vektort jelöljük
. Ezenkívül a vektorokat gyakran egy kis betűvel jelölik, felette nyíllal. . A könyvekben néha kihagyják a nyilat, ekkor félkövér betűkkel jelzik a vektort.

A vektorok null vektor amelynek ugyanaz a kezdete és vége. Meg van jelölve vagy egyszerűen .

A vektor kezdete és vége közötti távolságot vektornak nevezzük hossz, vagy modul. A vektormodulust két függőleges sáv jelzi a bal oldalon:
, vagy nyilak nélkül
vagy .

Azokat a vektorokat, amelyek párhuzamosak egy egyenessel, hívjuk kollineáris.

Az azonos síkban fekvő vagy azzal párhuzamos vektorokat nevezzük egysíkú.

A nullvektort bármely vektorral kollineárisnak tekintjük. A hossza 0.

Meghatározás Két vektor
és
egyenlőnek nevezzük (2.2. ábra), ha:
1)kollineáris; 2) társrendező 3) egyenlő hosszúságú.

Így van írva:
(2.1)

A vektorok egyenlőségének definíciójából az következik, hogy egy vektor párhuzamos átvitelével olyan vektort kapunk, amely megegyezik a kezdetivel, ezért a vektor eleje a tér bármely pontjában elhelyezhető. Az olyan vektorokat (az elméleti mechanikában, geometriában), amelyek kezdete a tér bármely pontjában elhelyezhető, ún. ingyenes. És ezeket a vektorokat fogjuk figyelembe venni.

Meghatározás Vektoros rendszer
lineárisan függőnek nevezzük, ha vannak ilyen állandók
, amelyek között van legalább egy nullától eltérő, és amelyre érvényes az egyenlőség.

Meghatározás Egy tetszőleges három nem egysíkú vektort, amelyeket egy bizonyos sorrendben veszünk fel, térbeli bázisnak nevezünk.

Meghatározás Ha
- bázis és vektor, majd a számok
vektor koordinátáinak nevezzük ezen az alapon.

A vektorok koordinátáit a vektor megjelölése után zárójelbe írjuk. Például,
azt jelenti, hogy a vektor valamilyen kiválasztott alapon egy dekompozíció van:
.

A vektorok számmal való szorzásának és a vektorok összeadásának tulajdonságaiból egy állítás következik a koordinátákkal megadott vektorokra gyakorolt ​​lineáris műveletekre vonatkozóan.

Egy vektor koordinátáinak megtalálásához, ha a kezdetének és végének koordinátái ismertek, ki kell vonni a kezdet koordinátáját a végének megfelelő koordinátájából.

Lineáris műveletek vektorokon

A vektorokon végzett lineáris műveletek a vektorok összeadásának (kivonásának) és a vektorok számmal való szorzásának műveletei. Tekintsük őket.

Meghatározás Vektor termék számonként
vektornak nevezzük, amely egybeesik a vektorral , ha
, amelynek ellenkező irányú, ha
negatív. Ennek a vektornak a hossza egyenlő a vektor hosszának szorzatával modulo számonként
.

P példa . Építsd meg a vektort
, ha
és
(2.3. ábra).

Ha egy vektort megszorozunk egy számmal, a koordinátái megszorozódnak ezzel a számmal..

Valóban, ha , akkor

Vektor termék a
vektornak nevezzük
;
- ellenkező irányba .

Vegyük észre, hogy egy vektort hívunk, amelynek hossza 1 egyetlen(vagy orto).

Egy vektor számmal való szorzásának műveletével bármely vektor kifejezhető azonos irányú egységvektorral. Valóban, a vektor felosztása a hosszához képest (azaz szorzás a ), a vektorral azonos irányú egységvektort kapunk . Jelölni fogjuk
. Ebből következik tehát
.

Meghatározás Két vektor összege és vektornak nevezzük , amely közös origójukból jön ki, és egy olyan paralelogramma átlója, amelynek oldalai vektorok és (2.4. ábra).

.

Az egyenlő vektorok definíciója szerint
Ezért
-háromszög szabály. A háromszögszabály tetszőleges számú vektorra kiterjeszthető, és így megkapjuk a sokszögszabályt:
az a vektor, amely az első vektor kezdetét köti össze az utolsó vektor végével (2.5. ábra).

Tehát az összegvektor megalkotásához a második elejét az első vektor végéhez, a második végéhez a harmadik elejét és így tovább. Ekkor az összegvektor lesz az a vektor, amely összeköti az első vektor elejét az utolsó végével.

A vektorok összeadásakor a megfelelő koordináták is hozzáadódnak

Valóban, ha és
,

Ha a vektorok
és nem egysíkúak, akkor összegük átló
ezekre a vektorokra épített paralelepipedon (2.6. ábra)

,

ahol

Tulajdonságok:

- kommutativitás;

- asszociativitás;

- eloszlás a számmal való szorzás tekintetében

.

Azok. vektorösszeg ugyanazon szabályok szerint transzformálható, mint egy algebrai.

MeghatározásKét vektor különbsége és ilyen vektornak nevezzük , amelyet a vektorhoz hozzáadva vektort ad . Azok.
ha
. Mértanilag a vektorokra épített paralelogramma második átlóját jelenti és közös kezdetű és a vektor végéről irányítva a vektor végére (2.7. ábra).

Vektor vetítése egy tengelyre. Vetítési tulajdonságok

Emlékezzünk vissza a számegyenes fogalmára. A numerikus tengely egy olyan egyenes, amelyen:

irány (→);

referenciapont (O pont);

szegmenst, amelyet mértékegységnek veszünk.

Legyen vektor
és tengely . Pontokból és dobjuk a merőlegeseket a tengelyre . Vegyük a pontokat és - pontvetítések és (2.8 a. ábra).

Meghatározás Vektoros vetítés
tengelyenként a szakasz hosszának nevezzük
ez a tengely, amely a vektor eleje és vége vetületeinek alapjai között helyezkedik el
tengelyenként . Pluszjellel veszi, ha a szakasz iránya
egybeesik a vetítési tengely irányával, és mínuszjellel, ha ezek az irányok ellentétesek. Kijelölés:
.

O meghatározás Szög vektor között
és tengely szögnek nevezik , amellyel a tengelyt a legrövidebb úton kell elfordítani hogy egybeessen a vektor irányával
.

Találjuk ki
:

A 2.8a ábra a következőket mutatja:
.

ábrán 2.8 b): .

Egy vektor vetülete egy tengelyre egyenlő a vektor hosszának és a vektor és a vetítési tengely közötti szög koszinuszának szorzatával:
.

Vetítési tulajdonságok:

Ha
, akkor a vektorokat ortogonálisnak nevezzük

Példa . Vektorok adottak
,
.Azután

.

Példa. Ha a vektor kezdete
ponton van
, és egy ponton véget ér
, majd a vektor
koordinátái vannak:

O meghatározás Szög két vektor között és a legkisebb szögnek nevezzük
(2.13. ábra) e vektorok között, közös kezdetre redukálva .

Szög vektorok között és szimbolikusan így írva: .

A definícióból következik, hogy a szög vektorok között változhat belül
.

Ha
, akkor a vektorokat ortogonálisnak nevezzük.

.

Meghatározás. Egy vektor koordinátatengelyű szögeinek koszinuszait a vektor iránykoszinuszainak nevezzük. Ha a vektor
szögeket képez a koordinátatengelyekkel

.

Algebrai vektorvetítés bármely tengelyen egyenlő a vektor hosszának és a tengely és a vektor közötti szög koszinuszának szorzatával:

Jobb oldali a b = |b|cos(a,b) vagy

Ahol a b az , |a| vektorok skaláris szorzata - az a vektor modulusa.

Utasítás. Az Пp a b vektor vetületének online megtalálásához meg kell adni az a és b vektorok koordinátáit. Ebben az esetben a vektor megadható síkban (két koordináta) és térben (három koordináta). Az így kapott megoldás egy Word fájlba kerül mentésre. Ha a vektorok a pontok koordinátáin keresztül vannak megadva, akkor ezt a számológépet kell használni.

Vektor vetítés osztályozása

A vetületek típusai definíciós vektorvetítés szerint

1. Az AB vektor geometriai vetületét a tengelyre (vektor) A"B" vektornak nevezzük, melynek A' kezdete az A kezdetének vetülete a tengelyre (vektor), a B' vége pedig a vetület. a B végét ugyanarra a tengelyre.
2. Az AB vektor algebrai vetületét a tengelyre (vektor) nevezzük az A"B" vektor hosszának, amelyet + vagy - előjellel vettünk, attól függően, hogy az A"B" vektor iránya megegyezik-e a tengelyével ( vektor).

A vetületek típusai koordinátarendszer szerint

Vektorvetítés tulajdonságai

1. Egy vektor geometriai vetülete vektor (van iránya).
2. Egy vektor algebrai vetülete egy szám.

Vektorvetítési tételek

1. tétel. A vektorok összegének vetülete bármely tengelyre megegyezik az ugyanazon a tengelyen lévő vektorok elemeinek vetületével.

AC"=AB"+B"C"

2. tétel. Egy vektor algebrai vetülete bármely tengelyre egyenlő a vektor hosszának és a tengely és a vektor közötti szög koszinuszának szorzatával:

Pr a b = |b| cos(a,b)

A vektorvetítések típusai

1. vetítés az OX tengelyre.
2. vetítés az OY tengelyre.
3. vektorra vetítés.

Kivetítés az OX tengelyre	Vetítés az OY tengelyre	Vetítés vektorba
Ha az A'B' vektor iránya egybeesik az OX tengely irányával, akkor az A'B' vektor vetülete pozitív előjelű.	Ha az A'B' vektor iránya egybeesik az OY tengely irányával, akkor az A'B' vektor vetülete pozitív előjelű.	Ha az A'B' vektor iránya egybeesik az NM vektor irányával, akkor az A'B' vektor vetülete pozitív előjelű.
Ha a vektor iránya ellentétes az OX tengely irányával, akkor az A'B' vektor vetülete negatív előjelű.	Ha az A'B' vektor iránya ellentétes az OY tengely irányával, akkor az A'B' vektor vetülete negatív előjelű.	Ha az A'B' vektor iránya ellentétes az NM vektor irányával, akkor az A'B' vektor vetülete negatív előjelű.
Ha az AB vektor párhuzamos az OX tengellyel, akkor az A'B' vektor vetülete megegyezik az AB vektor modulusával.	Ha az AB vektor párhuzamos az OY tengellyel, akkor az A'B' vektor vetülete megegyezik az AB vektor modulusával.	Ha az AB vektor párhuzamos az NM vektorral, akkor az A'B' vektor vetülete megegyezik az AB vektor modulusával.
Ha az AB vektor merőleges az OX tengelyre, akkor A'B' vetülete egyenlő nullával (nulla-vektor).	Ha az AB vektor merőleges az OY tengelyre, akkor A'B' vetülete egyenlő nullával (nulla vektor).	Ha az AB vektor merőleges az NM vektorra, akkor A'B' vetülete nulla (nulla vektor).

1. Kérdés: Lehet-e negatív előjelű vektor vetülete? Válasz: Igen, a vektorvetítés negatív is lehet. Ebben az esetben a vektor ellenkező irányú (lásd az OX tengely és az AB vektor irányát)
2. Kérdés: Egy vektor vetülete egybeeshet-e a vektor modulusával? Válasz: Igen, lehet. Ebben az esetben a vektorok párhuzamosak (vagy egy egyenesen fekszenek).
3. Kérdés: Egy vektor vetülete egyenlő lehet-e nullával (nulla-vektor). Válasz: Igen, lehet. Ebben az esetben a vektor merőleges a megfelelő tengelyre (vektor).

1. példa. A vektor (1. ábra) 60 o-os szöget zár be az OX tengellyel (ezt az a vektor adja). Ha az OE egy skálaegység, akkor |b|=4, tehát .

Valójában a vektor hossza (b geometriai vetület) egyenlő 2-vel, és az irány egybeesik az OX tengely irányával.

2. példa. A vektor (2. ábra) az OX tengellyel (az a vektorral) (a,b) = 120 o szöget zár be. Hossza |b| b vektor egyenlő 4-gyel, tehát pr a b=4 cos120 o = -2.

Valójában a vektor hossza egyenlő 2-vel, és az irány ellentétes a tengely irányával.

Lesznek majd önálló megoldási feladatok is, amelyekre a válaszokat láthatjátok.

Vektor koncepció

Mielőtt mindent megtudna a vektorokról és a rajtuk végzett műveletekről, hangoljon rá egy egyszerű probléma megoldására. Van egy vektora a vállalkozásának és egy vektora az innovációs képességeinek. A vállalkozói szellem vektora az 1. célhoz, az innovatív képességek vektora pedig a 2. célhoz vezet. A játékszabályok olyanok, hogy nem lehet egyszerre e két vektor irányába mozogni és egyszerre két célt elérni. A vektorok kölcsönhatásba lépnek egymással, vagy matematikailag szólva valamilyen műveletet végrehajtanak a vektorokon. Ennek a műveletnek az eredménye az „Eredmény” vektor, amely a 3. célhoz vezet.

Most mondja meg: melyik művelet eredménye a „Vállalkozás” és „Innovatív képességek” vektorokon az „Eredmény” vektor? Ha nem tudja azonnal megmondani, ne csüggedjen. Ennek a leckének a tanulmányozása során meg fogod tudni válaszolni ezt a kérdést.

Amint fentebb láttuk, a vektor szükségszerűen valamilyen pontból származik A egyenes vonalban egy bizonyos pontig B. Ebből következően minden vektornak nemcsak számértéke - hossza, hanem fizikai és geometriai iránya is van. Ebből származik a vektor első, legegyszerűbb definíciója. Tehát a vektor egy pontból induló irányított szakasz A lényegre törő B. Így van jelölve:

És másképp kezdeni vektoros műveletek , meg kell ismerkednünk a vektor egy további definíciójával.

A vektor egyfajta reprezentációja egy olyan pontnak, amelyet valamilyen kiindulási pontból kell elérni. Például egy háromdimenziós vektort általában úgy írnak le (x, y, z) . Egyszerűen ezek a számok azt jelentik, hogy mennyit kell elmennie három különböző irányba, hogy a lényegre jusson.

Legyen adott egy vektor. Ahol x = 3 (jobb kéz jobbra mutat) y = 1 (bal kéz előre mutat) z = 5 (a pont alatt létra vezet fel). Ebből az adatból úgy találja meg a pontot, hogy 3 métert sétál a jobb kéz által jelzett irányba, majd 1 métert a bal kézzel jelzett irányba, majd egy létra vár rád, és 5 métert felmászva végre megtalálod. magát a végponton.

Az összes többi kifejezés a fent bemutatott magyarázat finomítása, amely a vektorokon végzett különféle műveletekhez, azaz gyakorlati problémák megoldásához szükséges. Nézzük át ezeket a szigorúbb definíciókat, és a tipikus vektorproblémáknál tartunk.

Fizikai példák vektormennyiségek lehetnek egy térben mozgó anyagi pont elmozdulása, ennek a pontnak a sebessége és gyorsulása, valamint a rá ható erő.

geometriai vektor formában kétdimenziós és háromdimenziós térben ábrázolva irányított szegmens. Ez egy szegmens, amelynek van eleje és vége.

Ha A a vektor eleje, és B a vége, akkor a vektort a szimbólum vagy egyetlen kisbetű jelöli. Az ábrán a vektor végét nyíl jelzi (1. ábra)

Hossz(vagy modult) egy geometriai vektorban az azt létrehozó szakasz hossza

A két vektort ún egyenlő , ha kombinálhatók (ha az irányok egybeesnek) párhuzamos fordítással, pl. ha párhuzamosak, akkor ugyanabba az irányba mutatnak, és egyenlő hosszúak.

A fizikában gyakran úgy tartják rögzített vektorok, amelyet az alkalmazási pont, hossza és iránya ad meg. Ha a vektor alkalmazási pontja nem számít, akkor átvihető, megtartva a hosszt és az irányt a tér bármely pontjára. Ebben az esetben a vektort ún ingyenes. Egyetértünk abban, hogy csak megfontoljuk szabad vektorok.

Lineáris műveletek geometriai vektorokon

Szorozza meg a vektort egy számmal

Vektor termék számonként A vektort olyan vektornak nevezzük, amelyet egy vektorból nyerünk kinyújtással (at ) vagy zsugorítással (at ) alkalommal, és a vektor iránya megmarad, ha , és megfordul, ha . (2. ábra)

A definícióból következik, hogy a vektorok és az = mindig egy vagy párhuzamos egyenesen helyezkednek el. Az ilyen vektorokat ún kollineáris. (Mondhatjuk úgy is, hogy ezek a vektorok párhuzamosak, de a vektoralgebrában "kollineárisnak" szokás mondani.) Ez fordítva is igaz: ha a és a vektorok kollineárisak, akkor a reláció összefügg egymással.

Ezért az (1) egyenlőség két vektor kollinearitási feltételét fejezi ki.

Vektor összeadás és kivonás

A vektorok összeadásakor ezt tudnia kell összeg vektorok, és olyan vektornak nevezzük, amelynek kezdete egybeesik a vektor kezdetével, a vége pedig a vektor végével, feltéve, hogy a vektor eleje a vektor végéhez kapcsolódik. (3. ábra)

Ez a meghatározás tetszőleges véges számú vektor között elosztható. Adott tér engedése n szabad vektorok. Több vektor összeadásakor ezek összegét vesszük záró vektornak, melynek eleje egybeesik az első vektor elejével, a vége pedig az utolsó vektor végével. Vagyis ha a vektor eleje a vektor végéhez, a vektor eleje pedig a vektor végéhez kapcsolódik stb. és végül a vektor végéig - a vektor elejéig, akkor ezeknek a vektoroknak az összege a záró vektor , amelynek eleje egybeesik az első vektor kezdetével és vége egybeesik az utolsó vektor végével. (4. ábra)

A kifejezéseket a vektor komponenseinek nevezzük, a megfogalmazott szabályt pedig az sokszög szabály. Ez a sokszög nem lehet sík.

Ha egy vektort megszorozunk a -1 számmal, akkor az ellenkező vektort kapjuk. A és vektorok azonos hosszúságúak és ellentétes irányúak. Az összegük adja null vektor, amelynek hossza nulla. A nullvektor iránya nincs meghatározva.

A vektoralgebrában nem kell külön figyelembe venni a kivonás műveletét: vektort kivonni egy vektorból azt jelenti, hogy a vektorhoz hozzáadjuk az ellentétes vektort, azaz.

1. példa Egyszerűsítse a kifejezést:

.

,

vagyis a vektorok ugyanúgy összeadhatók és szorozhatók számokkal, mint a polinomok (különösen a kifejezések egyszerűsítésével kapcsolatos problémák). Általában a vektorok szorzatának kiszámítása előtt felmerül a lineárisan hasonló kifejezések vektorokkal történő egyszerűsítése.

2. példa A és vektorok az ABCD paralelogramma átlóiként szolgálnak (4a. ábra). Fejezze ki a és a vektorokkal, , és , amelyek ennek a paralelogrammának az oldalai.

Megoldás. A paralelogramma átlóinak metszéspontja minden átlót felez. A feladat feltételéhez szükséges vektorok hossza vagy a kívánt vektorokkal háromszöget alkotó vektorok összegének fele, vagy a különbségek fele (az átlóként szolgáló vektor irányától függően) vagy, mint az utóbbi esetben, a mínusz előjellel felvett összeg felét. Az eredmény a probléma feltételéhez szükséges vektorok:

Minden okunk megvan azt hinni, hogy most helyesen válaszolt a "Vállalkozás" és az "Innovatív képességek" vektorokkal kapcsolatos kérdésre a lecke elején. Helyes válasz: ezeket a vektorokat összeadási műveletnek vetik alá.

Oldja meg a vektoros feladatokat önállóan, majd nézze meg a megoldásokat

Hogyan találjuk meg a vektorok összegének hosszát?

Ez a probléma különleges helyet foglal el a vektorokkal végzett műveleteknél, mivel trigonometrikus tulajdonságokat használ. Tegyük fel, hogy a következőhöz hasonló feladata van:

Adott a vektorok hossza és ezen vektorok összegének hossza . Határozzuk meg ezen vektorok különbségének hosszát!

Megoldások erre és más hasonló problémákra és magyarázatok a megoldásukra - a leckében " Vektorösszeadás: a vektorok összegének hossza és a koszinusztétel ".

És ellenőrizheti az ilyen problémák megoldását Online számológép "A háromszög ismeretlen oldala (vektorösszeadás és koszinusztétel)" .

Hol vannak a vektorok szorzatai?

Egy vektor szorzata egy vektorral nem lineáris műveletek, és külön-külön kell figyelembe venni. És vannak leckék: "Vektorok pontszorzata" és "Vektorok vektoros és vegyes szorzata".

Vektor vetítése egy tengelyre

A vektor vetülete egy tengelyre egyenlő a vetített vektor hosszának és a vektor és a tengely közötti szög koszinuszának szorzatával:

Mint ismeretes, egy pont vetülete A az egyenesen (síkon) az ebből a pontból az egyenesre (síkra) ejtett merőleges alapja.

Legyen - egy tetszőleges vektor (5. ábra), és - a kezdetének vetületei (pontok A) és vége (pontok B) tengelyenként l. (Egy pont vetületének felépítéséhez A) rajzoljon egyenesen a ponton keresztül A egyenesre merőleges sík. Egy egyenes és egy sík metszéspontja határozza meg a szükséges vetületet.

A vektor összetevője az l tengelyen egy ilyen ezen a tengelyen fekvő vektornak nevezzük, amelynek eleje egybeesik a kezdet vetületével, a vége pedig a vektor végének vetületével .

A vektor vetülete a tengelyre l hívott egy számot

,

egyenlő a komponensvektor hosszával ezen a tengelyen, pluszjellel véve, ha az összetevő iránya egybeesik a tengely irányával l, és mínuszjellel, ha ezek az irányok ellentétesek.

A vektoros vetületek fő tulajdonságai a tengelyen:

1. Ugyanazon tengelyen egyenlő vektorok vetületei egyenlők egymással.

2. Ha egy vektort megszorozunk egy számmal, akkor a vetülete megszorozódik ugyanazzal a számmal.

3. A vektorok összegének vetülete bármely tengelyre megegyezik a vektorok tagjainak ugyanazon tengelyére eső vetületek összegével.

4. A vektor vetülete egy tengelyre egyenlő a vetített vektor hosszának és a vektor és a tengely közötti szög koszinuszának szorzatával:

.

Megoldás. Vetítsük a vektorokat a tengelyre l a fenti elméleti hivatkozásban meghatározottak szerint. Az 5a ábrából nyilvánvaló, hogy a vektorok összegének vetülete egyenlő a vektorok vetületeinek összegével. A következő előrejelzéseket számítjuk ki:

Megtaláljuk a vektorok összegének végső vetületét:

Egy vektor kapcsolata derékszögű derékszögű koordinátarendszerrel a térben

Ismerkedés vele derékszögű derékszögű koordinátarendszer térben került sor a megfelelő leckében, lehetőleg új ablakban nyissa meg.

A koordinátatengelyek rendezett rendszerében 0xyz tengely Ökör hívott x tengely, tengely 0y – y tengely, és tengely 0z – alkalmazási tengely.

tetszőleges ponttal M tér nyakkendő vektor

hívott sugár vektor pontokat Més vetítse ki az egyes koordinátatengelyekre. Jelöljük a megfelelő vetületek értékeit:

Számok x, y, z hívott M pont koordinátái, ill abszcissza, ordinátaés rátét, és a számok rendezett pontjaként íródnak: M(x; y; z)(6. ábra).

Olyan egységnyi hosszúságú vektort nevezünk, amelynek iránya egybeesik a tengely irányával egységvektor(vagy ortom) tengelyek. Jelölje

Ennek megfelelően a koordinátatengelyek egységvektorai Ökör, Oy, Oz

Tétel. Bármely vektor felbontható a koordinátatengelyek egységvektoraira:

(2)

A (2) egyenlőséget a vektor koordinátatengelyek mentén történő kiterjesztésének nevezzük. Ennek a bővítésnek az együtthatói a vektor vetületei a koordináta tengelyekre. Így a vektor koordinátatengelyek mentén történő kiterjesztési együtthatói (2) a vektor koordinátái.

Egy adott térbeli koordináta-rendszer kiválasztása után a vektor és koordinátáinak hármasa egyedileg meghatározza egymást, így a vektor a formába írható

A (2) és (3) alakú vektorábrázolások azonosak.

Kollineáris vektorok feltétele koordinátákban

Amint már említettük, a vektorokat kollineárisnak nevezzük, ha a reláció összefügg

Legyen vektorok . Ezek a vektorok kollineárisak, ha a vektorok koordinátáit a reláció összefügg

,

vagyis a vektorok koordinátái arányosak.

6. példa Adott vektorok . Ezek a vektorok kollineárisak?

Megoldás. Nézzük meg ezeknek a vektoroknak a koordinátáinak arányát:

.

A vektorok koordinátái arányosak, ezért a vektorok kollineárisak, vagy ami ugyanaz, párhuzamosak.

Vektor hossza és irány koszinuszai

A koordinátatengelyek egymásra merőlegessége miatt a vektor hossza

egyenlő a vektorokra épített téglalap alakú paralelepipedon átlójának hosszával

és az egyenlőség fejezi ki

(4)

Egy vektort teljesen definiálunk két pont (eleje és vége) megadásával, így a vektor koordinátái ezeknek a pontoknak a koordinátáival fejezhetők ki.

Legyen a vektor eleje az adott koordinátarendszerben a pontban

és a vége a ponton van

Az egyenlőségtől

Ezt követi

vagy koordináta formában

Ennélfogva, a vektor koordinátái megegyeznek a vektor végének és elejének azonos nevű koordinátáinak különbségével . A (4) képlet ebben az esetben a formát veszi fel

A vektor iránya meghatározásra kerül irány koszinuszokat . Ezek azoknak a szögeknek a koszinuszai, amelyeket a vektor a tengelyekkel alkot Ökör, Oyés Oz. Jelöljük ezeket a szögeket rendre α , β és γ . Ekkor ezeknek a szögeknek a koszinuszai a képletekkel megkereshetők

Egy vektor irány koszinuszai egyben a vektor vektorának koordinátái és így a vektor vektorának is

.

Figyelembe véve, hogy a vektorvektor hossza egyenlő egységgel, azaz

,

az iránykoszinuszokra a következő egyenlőséget kapjuk:

7. példa Keresse meg a vektor hosszát x = (3; 0; 4).

Megoldás. A vektor hossza a

8. példa Adott pontok:

Nézze meg, hogy az ezekre a pontokra épített háromszög egyenlő szárú-e.

Megoldás. A (6) vektorhossz képlet segítségével megkeressük az oldalak hosszát, és megtudjuk, hogy van-e köztük két egyenlő:

Két egyenlő oldalt találtunk, így nem kell a harmadik oldal hosszát keresni, és a megadott háromszög egyenlő szárú.

9. példa Határozzuk meg egy vektor hosszát és iránykoszinuszait, ha .

Megoldás. A vektorkoordináták a következők:

.

A vektor hossza egyenlő a vektor koordinátáinak négyzetösszegének négyzetgyökével:

.

Iránykoszinusz keresése:

Oldja meg a feladatot a vektorokon, majd nézze meg a megoldást

Műveletek koordináta alakban megadott vektorokon

Legyen adott két vetületükkel adott vektor:

Jelöljük meg a műveleteket ezeken a vektorokon.