Hogyan határozzuk meg a vetületet az y tengelyen. Erő vetülete a tengelyre

3. § Vektor vetületek a koordináta tengelyekre

1. Vetületek geometriai keresése.

Vektor
- a vektor vetítése a tengelyre ÖKÖR
- a vektor vetítése a tengelyre OY

1. definíció. Vektoros vetítés bármely koordinátatengelyen egy "plusz" vagy "mínusz" jellel vett számot nevezünk, amely megfelel a merőlegesek alapjai között elhelyezkedő szakasz hosszának, a vektor elejétől és végétől a koordinátatengelyig leeresztve.

A vetületi jel meghatározása a következő. Ha a koordinátatengely mentén haladva a vektor kezdetének vetületi pontjától a vektor végének vetületi pontjáig mozgás történik a tengely pozitív irányában, akkor a vektor vetülete pozitívnak minősül. . Ha - a tengellyel ellentétes, akkor a vetítés negatívnak minősül.

Az ábra azt mutatja, hogy ha a vektor valamilyen módon a koordinátatengellyel ellentétes orientációjú, akkor a vetülete erre a tengelyre negatív. Ha a vektor valamilyen módon a koordinátatengely pozitív irányába van orientálva, akkor a vetülete erre a tengelyre pozitív.

Ha a vektor merőleges a koordinátatengelyre, akkor a vetülete erre a tengelyre egyenlő nullával.
Ha egy vektor egy tengellyel együtt van irányítva, akkor a vetülete erre a tengelyre egyenlő a vektor moduljával.
Ha a vektor a koordinátatengellyel ellentétes, akkor a vetülete ezen a tengelyen abszolút értékben egyenlő a vektor mínusz előjellel vett modulusával.

2. A vetület legáltalánosabb definíciója.

Derékszögű háromszögből ABD: .

2. definíció. Vektoros vetítés bármely koordinátatengelyen olyan számot nevezünk, amely egyenlő a vektor modulusának és a vektor által a koordinátatengely pozitív irányával alkotott szög koszinuszának szorzatával.

A vetítés előjelét a vektor által a tengely pozitív irányával alkotott szög koszinuszának előjele határozza meg.
Ha a szög hegyes, akkor a koszinusz pozitív előjelű, és a vetületek pozitívak. Tompaszögeknél a koszinusz negatív előjelű, így ilyen esetekben a tengelyre vetítések negatívak.
- tehát a tengelyre merőleges vektoroknál a vetítés nulla.

Definíció 1. Egy síkon az A pont párhuzamos vetülete az l tengelyre a pont - az l tengely metszéspontja az A ponton keresztül húzott egyenessel, amely párhuzamos a vetítés irányát meghatározó vektorral.

2. definíció. Egy vektor párhuzamos vetülete az l tengelyre (vektoron) a vektor koordinátája a bázishoz viszonyítva az l tengely, ahol a és pontok az A és B pont párhuzamos vetületei az l tengelyre (1. ábra).

Értelemszerűen megvan

Definíció 3. ha és az l tengely alapja derékszögű, azaz akkor a vektor vetülete az l tengelyre ortogonálisnak nevezzük (2. ábra).

A térben a vektor tengelyre vetítésének 2. definíciója érvényben marad, csak a vetítési irányt adja meg két nem kollineáris vektor (3. ábra).

Egy vektor tengelyre vetítésének definíciójából az következik, hogy egy vektor minden koordinátája ennek a vektornak a megfelelő bázisvektor által meghatározott tengelyre való vetülete. Ebben az esetben a tervezési irányt két másik bázisvektor határozza meg, ha a tervezést térben hajtjuk végre (megfontoljuk), vagy egy másik bázisvektor, ha a tervezést síkon tekintjük (4. ábra).

1. Tétel. Egy vektor l tengelyre merőleges vetülete egyenlő a vektor modulusának és az l tengely pozitív iránya és az l tengely pozitív iránya közötti szög koszinuszának szorzatával, azaz.

A másik oldalon

Attól, hogy találunk

Ha az AC-t behelyettesítjük a (2) egyenlőségbe, azt kapjuk

A számok óta xés mindkét vizsgált esetben azonos előjelű ((5. ábra, a) ; (5. ábra, b) ), akkor a (4) egyenlőségből következik

Megjegyzés. A jövőben csak a vektornak a tengelyre merőleges vetületét vesszük figyelembe, ezért a jelölésből az "orth" (ortogonális) szó kimarad.

Számos olyan képletet mutatunk be, amelyeket a jövőben a feladatok megoldása során használunk.

a) Vektor vetítése egy tengelyre.

Ha, akkor az (5) képlet szerinti ortogonális vetület a vektorra alakja

c) Egy pont és egy sík távolsága.

Legyen b egy adott sík normálvektorral, M egy adott pont,

d - távolság az M ponttól a b síkig (6. ábra).

Ha N a b sík tetszőleges pontja, és és az M és N pontok vetületei a tengelyre, akkor

• G) A metsző vonalak közötti távolság.

Legyen a és b metsző egyenesek, ezekre merőleges vektorok, A és B az a és b egyenesek tetszőleges pontjai (7. ábra), valamint az A és B pontok vetületei rájuk, akkor

e) Egy pont és egy egyenes távolsága.

Hadd l- adott egyenes irányvektorral, M - adott pont,

N - a vetülete a vonalra l, majd - a kívánt távolság (8. ábra).

Ha A tetszőleges pont az egyenesen l, akkor az MNA derékszögű háromszögben az MA hipotenusz és a lábak találhatók. Eszközök,

e) Egy egyenes és egy sík közötti szög.

Legyen az adott egyenes irányvektora l, - az adott b sík normálvektora, - egyenes vetülete l b síkra (9. ábra).

Mint tudod, az egyenes közötti q szög l a b síkra való vetületét pedig az egyenes és a sík közötti szögnek nevezzük. Nekünk van

Mondjunk példákat a metrikus feladatok vektor-koordináta módszerrel történő megoldására.

Legyen két vektor és adott a térben. Tegye félre egy tetszőleges pontból O vektorok és . sarok a vektorok között, és a legkisebb szögnek nevezzük. Jelölve .

Tekintsük a tengelyt lés ábrázoljunk rajta egy egységvektort (vagyis egy olyan vektort, amelynek hossza eggyel egyenlő).

Szög vektor és tengely között l megérteni a vektorok és a szöget.

Szóval hagyjuk l egy tengely és egy vektor.

Jelölje A 1és B1 vetületek a tengelyen l pontokat Aés B. Tegyünk úgy, mintha A 1 van koordinátája x 1, a B1- koordináta x2 tengelyen l.

Azután kivetítés vektor tengelyenként l különbségnek nevezik x 1 – x2 a vektor e tengelyre való végének és elejének vetületeinek koordinátái között.

Vektor vetítése egy tengelyre l fogjuk jelölni.

Nyilvánvaló, hogy ha a vektor és a tengely közötti szög léles akkor x2> x 1, és a vetítés x2 – x 1> 0; ha ez a szög tompa, akkor x2< x 1és vetítés x2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, azután x2= x 1és x2– x 1=0.

Így a vektor vetülete a tengelyre l a szakasz hossza A 1 B 1 bizonyos jellel vették. Ezért a vektor vetülete egy tengelyre szám vagy skalár.

Az egyik vektor vetülete a másikra hasonlóan definiálható. Ebben az esetben ennek a vektornak a vetületei azon az egyenesen találhatók, amelyen a 2. vektor fekszik.

Nézzünk néhányat a főbbek közül vetítési tulajdonságok.

LINEÁRISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁRIS FÜGGETLEN VEKTORRENDSZEREK

Tekintsünk több vektort.

Lineáris kombináció ezek közül a vektorok bármelyike ​​alakú vektor, ahol van néhány szám. A számokat a lineáris kombináció együtthatóinak nevezzük. Azt is mondják, hogy ebben az esetben lineárisan van kifejezve adott vektorokkal, azaz. lineáris műveletekkel kapott belőlük.

Például, ha három vektort adunk meg, akkor a vektorok lineáris kombinációjuknak tekinthetők:

Ha egy vektort néhány vektor lineáris kombinációjaként ábrázolunk, akkor azt mondjuk, hogy az lebomlott ezen vektorok mentén.

A vektorokat ún lineárisan függő, ha vannak ilyen számok, nem mindegyik egyenlő nullával, az . Nyilvánvaló, hogy az adott vektorok lineárisan függőek lesznek, ha ezen vektorok bármelyike ​​lineárisan kifejeződik a többivel.

Ellenkező esetben, pl. amikor az arány csak akkor hajtják végre , ezeket a vektorokat nevezzük lineárisan független.

1. tétel. Bármely két vektor akkor és csak akkor lineárisan függ, ha kollineáris.

Bizonyíték:

Hasonlóan bizonyítható a következő tétel.

2. tétel. Három vektor akkor és csak akkor lineárisan függ, ha egysíkú.

Bizonyíték.

ALAP

Alap a nullától eltérő lineárisan független vektorok gyűjteménye. A bázis elemeit jelöljük.

Az előző alfejezetben láttuk, hogy a síkban lévő két nem kollineáris vektor lineárisan független. Ezért az előző bekezdés 1. tétele szerint ezen a síkon bármely két nem kollineáris vektor bázis egy síkon.

Hasonlóképpen bármely három nem egysíkú vektor lineárisan független a térben. Ezért három nem egysíkú vektort nevezünk térbeli bázisnak.

A következő állítás igaz.

Tétel. Adjunk meg egy bázist a térben. Ekkor bármely vektor ábrázolható lineáris kombinációként , ahol x, y, z- néhány szám. Egy ilyen bomlás egyedülálló.

Bizonyíték.

Így az alap lehetővé teszi, hogy minden vektort egyedileg társítson a számok hármasával - ennek a vektornak az alapvektorok szerinti kiterjesztésének együtthatói: . Ennek fordítva is igaz, minden egyes számhármas x, y, z a bázis segítségével a vektort illesztheti, ha lineáris kombinációt készít .

Ha az alap és , majd a számok x, y, z hívott koordináták vektorok az adott bázisban. A vektor koordinátái jelölik.

KERESZTIKAI KOORDINÁTARENDSZER

Legyen adott egy pont a térben Oés három nem egysíkú vektor.

Derékszögű koordinátarendszer térben (síkon) egy pont és egy bázis halmazának nevezzük, azaz. egy pont és három nem egysíkú vektor (2 nem kollineáris vektor) halmaza, amelyek ebből a pontból indulnak ki.

Pont O eredetnek nevezzük; Az origón áthaladó egyeneseket az alapvektorok irányában koordinátatengelyeknek nevezzük - abszcissza, ordináta és alkalmazási tengely. A koordinátatengelyeken átmenő síkokat koordinátasíknak nevezzük.

Tekintsünk egy tetszőleges pontot a választott koordinátarendszerben M. Vezessük be a pontkoordináta fogalmát M. Az origót a ponttal összekötő vektor M. hívott sugár vektor pontokat M.

Egy vektor a kiválasztott bázisban társítható egy számhármashoz - annak koordinátái: .

Pontsugár vektor koordináták M. hívott M pont koordinátái. a figyelembe vett koordináta-rendszerben. M(x,y,z). Az első koordinátát abszcisszának, a másodikat az ordinátának, a harmadikat az alkalmazásnak nevezzük.

A síkon a derékszögű koordinátákat hasonlóan határozzuk meg. Itt a pontnak csak két koordinátája van - az abszcissza és az ordináta.

Könnyen belátható, hogy egy adott koordinátarendszerben minden pontnak meghatározott koordinátája van. Másrészt minden egyes számhármashoz van egyetlen pont, amelynek ezek a számok koordinátái.

Ha a választott koordinátarendszerben a bázisnak vett vektorok egységnyi hosszúságúak és páronként merőlegesek, akkor a koordinátarendszert ún. Descartes téglalap alakú.

Ezt könnyű megmutatni.

Egy vektor iránykoszinuszai teljesen meghatározzák az irányát, de nem mondanak semmit a hosszáról.

Algebrai vektorvetítés bármely tengelyen egyenlő a vektor hosszának és a tengely és a vektor közötti szög koszinuszának szorzatával:

Jobb oldali a b = |b|cos(a,b) vagy

Ahol a b az , |a| vektorok skaláris szorzata - az a vektor modulusa.

Utasítás. Az Пp a b vektor vetületének online megtalálásához meg kell adni az a és b vektorok koordinátáit. Ebben az esetben a vektor megadható síkban (két koordináta) és térben (három koordináta). Az így kapott megoldás egy Word fájlba kerül mentésre. Ha a vektorok a pontok koordinátáin keresztül vannak megadva, akkor ezt a számológépet kell használni.

Vektor vetítés osztályozása

A vetületek típusai definíciós vektorvetítés szerint

1. Az AB vektor geometriai vetületét a tengelyre (vektor) A"B" vektornak nevezzük, melynek A' eleje az A kezdetének vetülete a tengelyre (vektor), a B' vége pedig a vetület. a B végét ugyanarra a tengelyre.
2. Az AB vektor algebrai vetületét a tengelyre (vektor) nevezzük az A"B" vektor hosszának, amelyet + vagy - előjellel vettünk, attól függően, hogy az A"B" vektor iránya megegyezik-e a tengelyével ( vektor).

A vetületek típusai koordinátarendszer szerint

Vektorvetítés tulajdonságai

1. Egy vektor geometriai vetülete vektor (van iránya).
2. Egy vektor algebrai vetülete egy szám.

Vektorvetítési tételek

1. tétel. A vektorok összegének vetülete bármely tengelyre megegyezik az ugyanazon a tengelyen lévő vektorok elemeinek vetületével.

AC"=AB"+B"C"

2. tétel. Egy vektor algebrai vetülete bármely tengelyre egyenlő a vektor hosszának és a tengely és a vektor közötti szög koszinuszának szorzatával:

Pr a b = |b| cos(a,b)

A vektorvetítések típusai

1. vetítés az OX tengelyre.
2. vetítés az OY tengelyre.
3. vektorra vetítés.

Kivetítés az OX tengelyre	Vetítés az OY tengelyre	Vetítés vektorba
Ha az A'B' vektor iránya egybeesik az OX tengely irányával, akkor az A'B' vektor vetülete pozitív előjelű.	Ha az A'B' vektor iránya egybeesik az OY tengely irányával, akkor az A'B' vektor vetülete pozitív előjelű.	Ha az A'B' vektor iránya egybeesik az NM vektor irányával, akkor az A'B' vektor vetülete pozitív előjelű.
Ha a vektor iránya ellentétes az OX tengely irányával, akkor az A'B' vektor vetülete negatív előjelű.	Ha az A'B' vektor iránya ellentétes az OY tengely irányával, akkor az A'B' vektor vetülete negatív előjelű.	Ha az A'B' vektor iránya ellentétes az NM vektor irányával, akkor az A'B' vektor vetülete negatív előjelű.
Ha az AB vektor párhuzamos az OX tengellyel, akkor az A'B' vektor vetülete megegyezik az AB vektor modulusával.	Ha az AB vektor párhuzamos az OY tengellyel, akkor az A'B' vektor vetülete megegyezik az AB vektor modulusával.	Ha az AB vektor párhuzamos az NM vektorral, akkor az A'B' vektor vetülete megegyezik az AB vektor modulusával.
Ha az AB vektor merőleges az OX tengelyre, akkor A'B' vetülete egyenlő nullával (nulla-vektor).	Ha az AB vektor merőleges az OY tengelyre, akkor A'B' vetülete egyenlő nullával (nulla vektor).	Ha az AB vektor merőleges az NM vektorra, akkor A'B' vetülete nulla (nulla vektor).

1. Kérdés: Lehet-e negatív előjelű vektor vetülete? Válasz: Igen, a vektorvetítés negatív is lehet. Ebben az esetben a vektor ellenkező irányú (lásd az OX tengely és az AB vektor irányát)
2. Kérdés: Egy vektor vetülete egybeeshet-e a vektor modulusával? Válasz: Igen, lehet. Ebben az esetben a vektorok párhuzamosak (vagy egy egyenesen fekszenek).
3. Kérdés: Egy vektor vetülete egyenlő lehet-e nullával (nulla-vektor). Válasz: Igen, lehet. Ebben az esetben a vektor merőleges a megfelelő tengelyre (vektor).

1. példa. A vektor (1. ábra) 60 o-os szöget zár be az OX tengellyel (ezt az a vektor adja). Ha az OE egy skálaegység, akkor |b|=4, tehát .

Valójában a vektor hossza (b geometriai vetület) egyenlő 2-vel, és az irány egybeesik az OX tengely irányával.

2. példa. A vektor (2. ábra) az OX tengellyel (az a vektorral) (a,b) = 120 o szöget zár be. Hossza |b| b vektor egyenlő 4-gyel, tehát pr a b=4 cos120 o = -2.

Valójában a vektor hossza egyenlő 2-vel, és az irány ellentétes a tengely irányával.

Ebben a cikkben egy vektor tengelyre vetítésével foglalkozunk, és megtanuljuk, hogyan találjuk meg a vektor numerikus vetületét. Először megadjuk egy vektor tengelyre vetítésének definícióját, bevezetjük a jelöléseket, valamint grafikus illusztrációt is adunk. Ezt követően hangot adunk egy vektor numerikus vetületének tengelyre, megfontoljuk a megtalálásának módjait, és számos olyan példát mutatunk be, amelyekben meg kell találni egy vektor numerikus vetületét egy tengelyre.

Oldalnavigáció.

Vektor vetítése egy tengelyre - meghatározás, megjelölés, illusztrációk, példa.

Kezdjük az általános információkkal.

A tengely egy egyenes, amelynek iránya meg van jelölve. Így egy vektor vetülete egy tengelyre és egy vektor vetülete egy irányított egyenesre egy és ugyanaz.

Egy vektor tengelyre vetítését két értelemben tekinthetjük: geometriai és algebrai értelemben. Geometriai értelemben egy vektor tengelyre vetítése vektor, algebrai értelemben pedig szám. Ez a megkülönböztetés gyakran nem kifejezetten, hanem a szövegkörnyezetből érthető. Nem hagyjuk figyelmen kívül ezt a különbségtételt: a "" kifejezést használjuk, ha egy vektor geometriai értelemben vett vetítéséről van szó, és a "" kifejezést akkor, ha egy vektor algebrai vetületéről van szó (a következő bekezdés Ennek a cikknek a részét egy vektor tengelyre történő numerikus vetítésének szenteljük) .

Most rátérünk a vektor tengelyre vetítésének meghatározására. Ehhez nem árt megismételni.

Legyen a síkon vagy a háromdimenziós térben megadva az L tengely és egy nem nulla vektor. Jelöljük az A és B pont L egyenesre vetítését A 1-nek, illetve B 1-nek, és alkossunk egy vektort. Ha előre tekintünk, tegyük fel, hogy a vektor egy vektor vetülete az L tengelyre.

Meghatározás.

Vektor vetítése egy tengelyre olyan vektor, amelynek eleje és vége az adott vektor kezdetének és végének vetülete.

Egy vektor L tengelyre való vetületét jelöljük.

Ahhoz, hogy vektorvetítést építsünk az L tengelyre, le kell engedni a merőlegeseket az A és B pontból az L irányított egyenesre - ezeknek a merőlegeseknek az alapjai adják a kívánt vetítés elejét és végét.

Adjunk példát egy vektor tengelyre vetítésére.

Vezessünk be egy Oxy téglalap alakú koordinátarendszert a síkon, és adjunk meg valamilyen pontot. Ábrázoljuk az M 1 pont sugárvektorát, és építsük fel vetületeit az Ox és Oy koordinátatengelyekre. Nyilvánvalóan ezek koordinátákkal és ill.

Gyakran hallani arról, hogy egy vektor egy másik nem nulla vektorra vetül, vagy egy vektor egy vektor irányára vetül. Ebben az esetben a vektornak valamilyen tengelyre való vetülete következik, amelynek iránya egybeesik a vektor irányával (általában végtelen sok tengely van, amelynek iránya egybeesik a vektor irányával). Egy vektor olyan egyenesre való vetületét, amelynek iránya meghatározza a vektort, jelöléssel jelöljük.

Megjegyzendő, hogy ha a és vektorok közötti szög hegyes, akkor a és vektorok egyirányúak. Ha a és vektorok közötti szög tompaszögű, akkor a és vektorok ellentétes irányúak. Ha a vektor nulla vagy merőleges a vektorra, akkor a vektor vetülete arra az egyenesre, amelynek iránya a vektort határozza meg, a nulla vektor.

Vektor numerikus vetítése egy tengelyre - meghatározás, kijelölés, példák a megtalálásra.

Egy vektor tengelyre vetítésének numerikus jellemzője ennek a vektornak egy adott tengelyre való numerikus vetülete.

Meghatározás.

Vektor numerikus vetítése egy tengelyre egy olyan szám, amely egyenlő egy adott vektor hosszának és a vektor és a tengely irányát meghatározó vektor közötti szög koszinuszának szorzatával.

A vektor numerikus vetületét az L tengelyre a következővel jelöljük (a felül lévő nyíl nélkül), a vektor numerikus vetületét pedig a vektor által meghatározott tengelyre.

Ezekben a jelölésekben egy vektor numerikus vetülete egy vektorként irányított egyenesre a következő alakot veszi fel: , ahol a vektor hossza , a vektorok és a vektorok közötti szög.

Tehát megvan az első képlet egy vektor numerikus vetületének kiszámításához: . Ezt a képletet akkor használjuk, ha a vektor hossza és a és a vektorok közötti szög ismert. Kétségtelen, hogy ez a képlet akkor is alkalmazható, ha a és vektorok koordinátái ismertek egy adott derékszögű koordinátarendszerhez képest, de ebben az esetben célszerűbb egy másik képletet használni, amelyet az alábbiakban kapunk meg.

Példa.

Számítsa ki egy vektor numerikus vetületét egy vektorként irányított egyenesre, ha a vektor hossza 8, a vektorok és a vektorok közötti szög pedig .

Megoldás.

A problémánk állapotából . Csak azt a képletet kell alkalmazni, amely lehetővé teszi a vektor szükséges numerikus vetületének meghatározását:

Válasz:

Tudjuk , ahol a vektorok skaláris szorzata és. Aztán a képlet , amely lehetővé teszi egy vektor numerikus vetületének megtalálását egy vektorként irányított egyenesre, a következő alakot ölti majd: . Vagyis egy vektor numerikus vetületének tengelyre egy másik definícióját is megfogalmazhatjuk, amely ekvivalens a jelen rész elején megadott definícióval.

Meghatározás.

Vektor numerikus vetítése egy tengelyre, amelynek iránya egybeesik a vektor irányával , a vektorok skaláris szorzatának és a vektor hosszának aránya .

Kényelmes az űrlap kapott képletével megkeresni egy vektor numerikus vetületét egy egyenesre, amelynek iránya egybeesik a vektor irányával, ha a és a vektorok koordinátái ismertek. Ezt példák megoldásával mutatjuk be.

Példa.

Ismeretes, hogy a vektor az L tengely irányát határozza meg. Keresse meg a vektor numerikus vetületét az L tengelyre!

Megoldás.

A képlet koordináta alakban az , hol és . Segítségével megkeressük a vektor szükséges numerikus vetületét az L tengelyre:

Válasz:

Példa.

A háromdimenziós térben az Oxyz téglalap alakú koordinátarendszerhez képest két vektort adunk meg és . Keresse meg a vektor numerikus vetületét az L tengelyre, amelynek iránya egybeesik a vektor irányával!

Megoldás.

Vektor koordinátákkal és kiszámíthatja a következő vektorok skaláris szorzatát: . Egy vektor hosszát a koordinátáiban a következő képlettel számítjuk ki . Ekkor a vektor L tengelyre koordinátákban történő numerikus vetületének meghatározására szolgáló képlet a következőképpen alakul: .

Alkalmazzuk:

Válasz:

Most nézzük meg az összefüggést a vektor L tengelyre való numerikus vetülete, amelynek iránya határozza meg a vektort, és a vektor L tengelyre való vetületének hossza között. Ehhez rajzoljuk meg az L tengelyt, tegyük félre a vektorokat, és egy L-en fekvő pontból ejtsük a merőlegest a vektor végéről az L egyenesre, és készítsük el a vektor vetületét az L tengelyre. A vektorok közötti szög mértékétől függően a következő öt lehetőség lehetséges:

Az első esetben nyilvánvaló, hogy tehát, , akkor .

A második esetben egy megjelölt derékszögű háromszögben egy szög koszinuszának definíciójából azt kapjuk, hogy , ennélfogva, .

A harmadik esetben nyilvánvaló, hogy , és , ezért és .

A negyedik esetben egy szög koszinuszának meghatározásából az következik, hogy , ahol .

Ez utóbbi esetben tehát akkor
.

A vektor tengelyre való numerikus vetítésének alábbi definíciója egyesíti a kapott eredményeket.

Meghatározás.

Vektor numerikus vetítése az L tengelyre, vektorként irányítva , van

Példa.

A vektor L tengelyre vetített vetületének hossza, amelynek irányát a vektor beállítja, egyenlő. Mekkora a vektor numerikus vetülete az L tengelyre, ha az és vektorok közötti szög radiánnal egyenlő?