Kuinka määrittää projektio y-akselilla. Voiman projektio akselille

§ 3. Vektoriprojektiot koordinaattiakseleilla

1. Projektion löytäminen geometrisesti.

Vektori
- vektorin projektio akselille HÄRKÄ
- vektorin projektio akselille OY

Määritelmä 1. Vektoriprojektio millä tahansa koordinaattiakselilla kutsutaan lukua, joka on otettu "plus"- tai "miinus"-merkillä, joka vastaa kohtisuorien kantojen välissä sijaitsevan segmentin pituutta, laskettuna vektorin alusta ja lopusta koordinaattiakseliin.

Projektiomerkki määritellään seuraavasti. Jos koordinaattiakselia pitkin liikkuessa tapahtuu liike vektorin alun projektiopisteestä vektorin lopun projektiopisteeseen akselin positiivisessa suunnassa, niin vektorin projektiota pidetään positiivisena . Jos - on vastapäätä akselia, niin projektiota pidetään negatiivisena.

Kuvasta näkyy, että jos vektori on jollain tavalla suunnattu vastapäätä koordinaattiakselia, niin sen projektio tälle akselille on negatiivinen. Jos vektori on suunnattu jotenkin koordinaattiakselin positiiviseen suuntaan, niin sen projektio tälle akselille on positiivinen.

Jos vektori on kohtisuorassa koordinaattiakseliin nähden, niin sen projektio tälle akselille on yhtä suuri kuin nolla.
Jos vektori on suunnattu yhdessä akselin kanssa, niin sen projektio tälle akselille on yhtä suuri kuin vektorin moduuli.
Jos vektori on vastapäätä koordinaattiakselia, niin sen projektio tälle akselille on absoluuttisesti yhtä suuri kuin vektorin moduuli otettuna miinusmerkillä.

2. Projektion yleisin määritelmä.

Suorakulmaisesta kolmiosta ABD: .

Määritelmä 2. Vektoriprojektio millä tahansa koordinaattiakselilla kutsutaan lukua, joka on yhtä suuri kuin vektorin moduulin ja vektorin muodostaman kulman kosinin tulo koordinaattiakselin positiivisen suunnan kanssa.

Projektion etumerkki määräytyy vektorin ja akselin positiivisen suunnan muodostaman kulman kosinin etumerkillä.
Jos kulma on terävä, niin kosinilla on positiivinen etumerkki ja projektiot ovat positiivisia. Tylppäissä kulmissa kosinilla on negatiivinen etumerkki, joten tällaisissa tapauksissa projektiot akselille ovat negatiivisia.
- joten vektoreille, jotka ovat kohtisuorassa akseliin nähden, projektio on nolla.

Määritelmä 1. Tasossa pisteen A yhdensuuntainen projektio l-akselille on piste - l-akselin leikkauspiste pisteen A kautta vedetyn suoran kanssa, joka on yhdensuuntainen projektion suunnan määrittävän vektorin kanssa.

Määritelmä 2. Vektorin yhdensuuntainen projektio l-akselille (vektorilla) on vektorin koordinaatti suhteessa kantaan l-akseli, jossa pisteet ja ovat pisteiden A ja B yhdensuuntaisia ​​projektioita l-akselille (kuva 1).

Määritelmän mukaan meillä on

Määritelmä 3. jos ja l-akselin kanta karteesinen, eli vektorin projektio l-akselille kutsutaan ortogonaaliksi (kuva 2).

Avaruudessa vektorin akselille projektion määritelmä 2 pysyy voimassa, vain projektion suunta on annettu kahdella ei-kollineaarisella vektorilla (kuva 3).

Vektorin akselille projektion määritelmästä seuraa, että vektorin jokainen koordinaatti on tämän vektorin projektio vastaavan kantavektorin määräämälle akselille. Tässä tapauksessa suunnittelusuunta asetetaan kahdella muulla kantavektorilla, jos suunnittelu suoritetaan (käsitellään) avaruudessa, tai toisella kantavektorilla, jos suunnittelua tarkastellaan tasossa (kuva 4).

Lause 1. Vektorin ortogonaalinen projektio l-akselille on yhtä suuri kuin vektorin moduulin ja l-akselin positiivisen suunnan välisen kulman kosinin tulo ja ts.

Toisella puolella

Löydämme

Korvaamalla AC yhtälöön (2), saamme

Numeroista lähtien x ja sama merkki molemmissa tarkastelutapauksissa ((Kuva 5, a) ; (Kuva 5, b) , niin yhtäläisyys (4) tarkoittaa

Kommentti. Jatkossa otamme huomioon vain vektorin ortogonaalisen projektion akselille, ja siksi sana "orth" (ortogonaalinen) merkinnöistä jätetään pois.

Esittelemme useita kaavoja, joita käytetään tulevaisuudessa tehtävien ratkaisemisessa.

a) Vektorin projektio akselille.

Jos, niin kaavan (5) mukaisella ortogonaalisella projektiolla vektoriin on muoto

c) Etäisyys pisteestä tasoon.

Olkoon b annettu taso normaalivektorilla, M annettu piste,

d - etäisyys pisteestä M tasoon b (kuva 6).

Jos N on tason b mielivaltainen piste ja ja ovat pisteiden M ja N projektiot akselille, niin

• G) Leikkaavien viivojen välinen etäisyys.

Olkoot a ja b leikkaavat suorat, vektori, jotka ovat kohtisuorassa niitä vastaan, A ja B ovat satunnaisia ​​linjojen a ja b pisteitä (kuva 7) ja pisteiden A ja B projektioita.

e) Etäisyys pisteestä suoraan.

Anna olla l- annettu viiva suuntavektorilla, M - annettu piste,

N - sen projektio viivalle l, sitten - haluttu etäisyys (kuva 8).

Jos A on mielivaltainen piste viivalla l, sitten oikeasta kolmiosta MNA löytyy hypotenuusa MA ja jalat. tarkoittaa,

e) Suoran ja tason välinen kulma.

Antaa olla annetun linjan suuntavektori l, - annetun tason normaalivektori b, - suoran projektio l tasoon b (kuva 9).

Kuten tiedät, viivan välinen kulma q l ja sen projektiota tasolle b kutsutaan suoran ja tason väliseksi kulmaksi. Meillä on

Otetaan esimerkkejä metristen ongelmien ratkaisemisesta vektori-koordinaattimenetelmällä.

Olkoon kaksi vektoria ja annetaan avaruudessa. Siirrä sivuun mielivaltaisesta pisteestä O vektorit ja . kulma vektorien välillä ja sitä kutsutaan pienimmäksi kulmista. Merkitty .

Harkitse akselia l ja piirrä sille yksikkövektori (eli vektori, jonka pituus on yksi).

Kulma vektorin ja akselin välillä l ymmärtää vektorien ja .

Joten anna l on jokin akseli ja on vektori.

Merkitse A 1 ja B1 projektiot akselilla l pisteitä A ja B. Kuvitellaanpa sitä A 1 on koordinaatti x 1, a B1- koordinoida x2 akselilla l.

Sitten projektio vektori per akseli l kutsutaan eroksi x 1 – x2 vektorin tämän akselin lopun ja alun projektioiden koordinaattien välillä.

Vektorin projektio akselille l merkitsemme .

On selvää, että jos vektorin ja akselin välinen kulma l terävä siis x2> x 1, ja projektio x2 – x 1> 0; jos tämä kulma on tylppä, niin x2< x 1 ja projektio x2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, sitten x2= x 1 ja x2– x 1=0.

Siten vektorin projektio akselille l on segmentin pituus A 1 B 1 otettu tietyllä merkillä. Siksi vektorin projektio akselille on luku tai skalaari.

Yhden vektorin projektio toiseen on määritelty samalla tavalla. Tässä tapauksessa tämän vektorin päiden projektiot löytyvät suoralta, jolla 2. vektori sijaitsee.

Katsotaanpa joitain tärkeimpiä projektion ominaisuudet.

LINEAARISESTI RIIPPUMATTOMAT JA LINEAARISESTI RIIPPUMATTOMAT VEKTORIEN JÄRJESTELMÄT

Tarkastellaan useita vektoreita.

Lineaarinen yhdistelmä näistä vektoreista on mikä tahansa muodon vektori, jossa on joitain numeroita. Lukuja kutsutaan lineaarisen yhdistelmän kertoimiksi. Sanotaan myös, että tässä tapauksessa ilmaistaan ​​lineaarisesti annetuilla vektoreilla, ts. saatu niistä lineaarisilla operaatioilla.

Jos esimerkiksi annetaan kolme vektoria, vektoreita voidaan pitää niiden lineaarisena yhdistelmänä:

Jos vektori esitetään joidenkin vektorien lineaarisena yhdistelmänä, sen sanotaan olevan hajonnut näitä vektoreita pitkin.

Vektoreita kutsutaan lineaarisesti riippuvainen, jos tällaisia ​​lukuja on, kaikki eivät ole nollia, se . On selvää, että annetut vektorit ovat lineaarisesti riippuvaisia, jos jokin näistä vektoreista ilmaistaan ​​lineaarisesti muiden kanssa.

Muuten, ts. kun suhde suoritetaan vain silloin, kun , näitä vektoreita kutsutaan lineaarisesti riippumaton.

Lause 1. Mitkä tahansa kaksi vektoria ovat lineaarisesti riippuvaisia, jos ja vain jos ne ovat kollineaarisia.

Todiste:

Seuraava lause voidaan todistaa samalla tavalla.

Lause 2. Kolme vektoria ovat lineaarisesti riippuvaisia, jos ja vain jos ne ovat samassa tasossa.

Todiste.

PERUSTA

Perusta on kokoelma nollasta poikkeavia lineaarisesti riippumattomia vektoreita. Perusteen elementit merkitään .

Edellisessä alaosassa näimme, että kaksi ei-kollineaarista vektoria tasossa ovat lineaarisesti riippumattomia. Siksi edellisen kappaleen Lauseen 1 mukaan kanta tasossa on mitkä tahansa kaksi ei-kollineaarista vektoria tällä tasolla.

Samoin mitkä tahansa kolme ei-samantasoista vektoria ovat lineaarisesti riippumattomia avaruudessa. Siksi kolmea ei-samantasoista vektoria kutsutaan avaruuden kantaksi.

Seuraava väite on totta.

Lause. Annetaan perusta avaruuteen. Tällöin mikä tahansa vektori voidaan esittää lineaarisena yhdistelmänä , missä x, y, z- joitain numeroita. Tällainen hajoaminen on ainutlaatuinen.

Todiste.

Siten perusta antaa sinun liittää yksiselitteisesti jokaisen vektorin kolminkertaiseen numeroon - tämän vektorin laajennuskertoimiin perusteen vektorien suhteen: . Päinvastoin on myös totta, jokainen numeroiden kolmoisosa x, y, z käyttämällä perustetta, voit sovittaa vektorin, jos teet lineaarisen yhdistelmän .

Jos perusta ja , sitten numerot x, y, z nimeltään koordinaatit vektorit annetussa kannassa. Vektorikoordinaatit merkitsevät .

CARTESIANINEN KOORDINAATTIJÄRJESTELMÄ

Olkoon piste annettu avaruudessa O ja kolme ei-koplanaarista vektoria.

Suorakulmainen koordinaattijärjestelmä avaruudessa (tasossa) kutsutaan pisteen ja kantajoukoksi, ts. joukko pisteestä ja kolmesta ei-samantasoisesta vektorista (2 ei-kollineaarista vektoria), jotka lähtevät tästä pisteestä.

Piste O kutsutaan alkuperäksi; suoria viivoja, jotka kulkevat origon läpi perusvektorien suunnassa, kutsutaan koordinaattiakseleiksi - abskissaksi, ordinaatta- ja aplikaatioakseliksi. Koordinaattiakselien läpi kulkevia tasoja kutsutaan koordinaattitasoiksi.

Tarkastellaan mielivaltaista pistettä valitussa koordinaatistossa M. Otetaan käyttöön pistekoordinaatin käsite M. Vektori, joka yhdistää origon pisteeseen M. nimeltään sädevektori pisteitä M.

Valitun perustan vektori voidaan liittää lukukolmioon - sen koordinaatit: .

Pistesäteen vektorin koordinaatit M. nimeltään pisteen M koordinaatit. tarkasteltavassa koordinaattijärjestelmässä. M(x,y,z). Ensimmäistä koordinaattia kutsutaan abskissaksi, toista ordinaatiksi ja kolmanneksi applikaatioksi.

Tason suorakulmaiset koordinaatit määritellään samalla tavalla. Tässä pisteellä on vain kaksi koordinaattia - abskissa ja ordinaatta.

On helppo nähdä, että tietyssä koordinaattijärjestelmässä jokaisella pisteellä on tietyt koordinaatit. Toisaalta jokaisella numerotripletillä on yksi piste, jolla on nämä luvut koordinaatteina.

Jos valitussa koordinaatistossa perustaksi otetuilla vektoreilla on yksikköpituus ja ne ovat pareittain kohtisuorassa, niin koordinaattijärjestelmä on ns. Karteesinen suorakaiteen muotoinen.

Se on helppo osoittaa.

Vektorin suuntakosinit määräävät täysin sen suunnan, mutta eivät kerro mitään sen pituudesta.

Algebrallinen vektoriprojektio millä tahansa akselilla on yhtä suuri kuin vektorin pituuden ja akselin ja vektorin välisen kulman kosinin tulo:

Oikea a b = |b|cos(a,b) tai

Missä a b on vektorien skalaaritulo |a| - vektorin a moduuli.

Ohje. Löytääksesi vektorin Пp a b projektion verkossa, sinun on määritettävä vektorien a ja b koordinaatit. Tässä tapauksessa vektori voidaan antaa tasossa (kaksi koordinaattia) ja avaruudessa (kolme koordinaattia). Tuloksena oleva ratkaisu tallennetaan Word-tiedostoon. Jos vektorit annetaan pisteiden koordinaattien kautta, sinun on käytettävä tätä laskinta.

Vektoriprojektioluokitus

Projektiotyypit määritelmän vektoriprojektiolla

1. Vektorin AB geometrista projektiota akselille (vektori) kutsutaan vektoriksi A"B", jonka alku A' on alun A projektio akselille (vektori) ja loppu B' on projektio päästä B samalle akselille.
2. Vektorin AB algebrallista projektiota akselille (vektorille) kutsutaan vektorin A"B" pituudeksi otettuna + tai - merkillä riippuen siitä, onko vektorilla A"B" sama suunta kuin akselilla ( vektori).

Projektiotyypit koordinaattijärjestelmän mukaan

Vektoriprojektion ominaisuudet

1. Vektorin geometrinen projektio on vektori (sillä on suunta).
2. Vektorin algebrallinen projektio on luku.

Vektoriprojektiolauseet

Lause 1. Vektorien summan projektio millä tahansa akselilla on yhtä suuri kuin vektoreiden termien projektio samalla akselilla.

AC"=AB"+B"C"

Lause 2. Vektorin algebrallinen projektio mille tahansa akselille on yhtä suuri kuin vektorin pituuden ja akselin ja vektorin välisen kulman kosinin tulo:

Pr a b = |b| cos(a,b)

Vektoriprojektioiden tyypit

1. projektio OX-akselille.
2. projektio OY-akselille.
3. projektio vektoriin.

Projektio OX-akselille	Projektio OY-akselille	Projektio vektoriin
Jos vektorin A'B' suunta osuu yhteen OX-akselin suunnan kanssa, niin vektorin A'B' projektiolla on positiivinen etumerkki.	Jos vektorin A'B' suunta osuu yhteen OY-akselin suunnan kanssa, niin vektorin A'B' projektiolla on positiivinen etumerkki.	Jos vektorin A'B' suunta on sama kuin vektorin NM suunta, niin vektorin A'B' projektiolla on positiivinen etumerkki.
Jos vektorin suunta on vastakkainen OX-akselin suuntaan, niin vektorin A'B' projektiolla on negatiivinen etumerkki.	Jos vektorin A'B' suunta on vastakkainen OY-akselin suuntaan, niin vektorin A'B' projektiolla on negatiivinen etumerkki.	Jos vektorin A'B' suunta on vastakkainen vektorin NM suuntaan nähden, niin vektorin A'B' projektiolla on negatiivinen etumerkki.
Jos vektori AB on yhdensuuntainen akselin OX kanssa, niin vektorin A'B' projektio on yhtä suuri kuin vektorin AB moduuli.	Jos vektori AB on yhdensuuntainen OY-akselin kanssa, niin vektorin A'B' projektio on yhtä suuri kuin vektorin AB moduuli.	Jos vektori AB on yhdensuuntainen vektorin NM kanssa, niin vektorin A'B' projektio on yhtä suuri kuin vektorin AB moduuli.
Jos vektori AB on kohtisuorassa akseliin OX nähden, niin A'B':n projektio on yhtä suuri kuin nolla (nollavektori).	Jos vektori AB on kohtisuorassa OY-akselia vastaan, niin A'B':n projektio on yhtä suuri kuin nolla (nollavektori).	Jos vektori AB on kohtisuorassa vektoriin NM nähden, niin A'B':n projektio on yhtä suuri kuin nolla (nollavektori).

1. Kysymys: Voiko vektorin projektiolla olla negatiivinen etumerkki? Vastaus: Kyllä, vektoriprojektiot voivat olla negatiivisia. Tässä tapauksessa vektorilla on päinvastainen suunta (katso kuinka OX-akseli ja AB-vektori on suunnattu)
2. Kysymys: Voiko vektorin projektio osua yhteen vektorin moduulin kanssa? Vastaus: Kyllä voi. Tässä tapauksessa vektorit ovat yhdensuuntaisia ​​(tai sijaitsevat samalla viivalla).
3. Kysymys: Voiko vektorin projektio olla yhtä suuri kuin nolla (nollavektori). Vastaus: Kyllä voi. Tässä tapauksessa vektori on kohtisuorassa vastaavaan akseliin (vektoriin) nähden.

Esimerkki 1. Vektori (kuva 1) muodostaa 60 o kulman OX-akselin kanssa (sen antaa vektori a). Jos OE on skaalausyksikkö, niin |b|=4, joten .

Itse asiassa vektorin pituus (geometrinen projektio b) on yhtä suuri kuin 2 ja suunta on sama kuin OX-akselin suunta.

Esimerkki 2. Vektori (kuva 2) muodostaa kulman OX-akselin kanssa (vektorin a kanssa) (a,b) = 120 o . Pituus |b| vektori b on yhtä suuri kuin 4, joten pr a b=4 cos120 o = -2.

Itse asiassa vektorin pituus on yhtä suuri kuin 2 ja suunta on vastakkainen akselin suuntaan.

Tässä artikkelissa käsittelemme vektorin projektiota akselille ja opimme löytämään vektorin numeerisen projektion. Ensin annamme määritelmän vektorin projektiosta akselille, esittelemme merkinnät ja annamme myös graafisen kuvan. Sen jälkeen äänestetään vektorin numeerinen projektio akselille, pohditaan tapoja löytää se ja esitetään ratkaisuja useisiin esimerkkeihin, joissa vektorin numeerinen projektio akselille on löydettävä.

Sivulla navigointi.

Vektorin projektio akselille - määritelmä, nimitys, kuvat, esimerkki.

Aloitetaan yleisillä tiedoilla.

Akseli on suora viiva, jolle on osoitettu suunta. Siten vektorin projektio akselille ja vektorin projektio suunnatulle suoralle ovat yksi ja sama.

Vektorin projektiota akselille voidaan tarkastella kahdessa mielessä: geometrinen ja algebrallinen. Geometrisessä mielessä vektorin projektio akselille on vektori, ja algebrallisessa mielessä se on luku. Usein tätä eroa ei tehdä eksplisiittisesti, vaan se ymmärretään kontekstista. Emme jätä tätä eroa huomioimatta: käytämme termiä "", kun kyse on vektorin projektiosta geometrisessa mielessä, ja termiä "", kun kyse on vektorin projektiosta algebrallisessa mielessä (seuraava kappale Tämän artikkelin kohta on omistettu vektorin numeeriselle projektiolle akselille) .

Nyt siirrymme vektorin akselin projektion määritelmään. Tätä varten toistaminen ei haittaa.

Olkoon tasossa tai kolmiulotteisessa avaruudessa meille annettu akseli L ja nollasta poikkeava vektori . Merkitään pisteiden A ja B projektiot suoralle L arvoiksi A 1 ja B 1, ja muodostetaan vektori . Tarkastellaan eteenpäin, sanotaan, että vektori on vektorin projektio L-akselille.

Määritelmä.

Vektorin projektio akselille on vektori, jonka alku ja loppu ovat vastaavasti annetun vektorin alun ja lopun projektiot.

Vektorin projektio L-akselille on merkitty .

Rakentaaksesi vektoriprojektion akselille L, sinun on laskettava kohtisuorat pisteistä A ja B suunnattuun linjaan L - näiden kohtisuorien kantat antavat halutun projektion alun ja lopun.

Otetaan esimerkki vektorin projektiosta akselille.

Esitetään suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä Oxy tasolle ja annetaan jokin piste. Kuvataan pisteen M 1 sädevektori ja rakennetaan sen projektiot koordinaattiakseleille Ox ja Oy . Ilmeisesti ne ovat vektoreita, joissa on koordinaatit ja vastaavasti.

Usein kuulee yhden vektorin projektiosta toiseen nollasta poikkeavaan vektoriin tai vektorin projektiosta vektorin suuntaan. Tässä tapauksessa tarkoitetaan vektorin projektiota jollekin akselille, jonka suunta on sama kuin vektorin suunta (yleensä on äärettömän monta akseleita, joiden suunnat ovat samat kuin vektorin suunta). Vektorin projektio suoralle viivalle, jonka suunta määrittää vektorin, merkitään .

Huomaa, että jos vektorien ja välinen kulma on akuutti, niin vektorit ja ovat samansuuntaisia. Jos vektorien ja välinen kulma on tylppä, niin vektorit ja ovat vastakkaiseen suuntaan. Jos vektori on nolla tai kohtisuorassa vektoriin nähden, niin vektorin projektio suoralle viivalle, jonka suunta määrittelee vektorin , on nollavektori.

Vektorin numeerinen projektio akselille - määritelmä, nimitys, esimerkkejä löydöstä.

Vektorin akselille projektion numeerinen ominaisuus on tämän vektorin numeerinen projektio tietylle akselille.

Määritelmä.

Vektorin numeerinen projektio akselille on luku, joka on yhtä suuri kuin tietyn vektorin pituuden ja tämän vektorin ja akselin suunnan määräävän vektorin välisen kulman kosinin tulo.

Vektorin numeerista projektiota L-akselille merkitään (ilman nuolta ylhäällä), ja vektorin numeerista projektiota vektorin määrittämälle akselille merkitään .

Näissä merkinnöissä vektorin numeerisen projektion määritelmä vektoriksi suunnatulle suoralle saa muotoa , jossa on vektorin pituus, on vektorien välinen kulma ja .

Meillä on siis ensimmäinen kaava vektorin numeerisen projektion laskemiseksi: . Tätä kaavaa käytetään, kun vektorin pituus ja vektorien ja välinen kulma tunnetaan. Epäilemättä tätä kaavaa voidaan käyttää myös silloin, kun vektorien koordinaatit tunnetaan suhteessa tiettyyn suorakulmaiseen koordinaattijärjestelmään, mutta tässä tapauksessa on kätevämpää käyttää toista kaavaa, jonka saamme alla.

Esimerkki.

Laske vektorin numeerinen projektio vektoriksi suunnatulle suoralle, jos vektorin pituus on 8 ja vektorien välinen kulma on yhtä suuri kuin .

Päätös.

Ongelman tilasta, joka meillä on . Jää vain soveltaa kaavaa, jonka avulla voit määrittää vektorin vaaditun numeerisen projektion:

Vastaus:

Tiedämme sen , missä on vektorien skalaaritulo ja . Sitten kaava , jonka avulla voit löytää vektorin numeerisen projektion suoralle viivalle, joka on suunnattu vektoriksi, saa muotoa . Eli vektorin numeeriselle projektiolle akselille voidaan muotoilla toinen määritelmä, joka vastaa tämän osan alussa annettua määritelmää.

Määritelmä.

Vektorin numeerinen projektio akselille, jonka suunta on sama kuin vektorin suunta, on vektorien skalaaritulon ja vektorin pituuden suhde.

On kätevää käyttää saatua muodon kaavaa löytääksesi vektorin numeerinen projektio suoralle viivalle, jonka suunta on sama kuin vektorin suunta, kun vektorien koordinaatit ja tunnetaan. Osoitamme tämän ratkaisemalla esimerkkejä.

Esimerkki.

On tunnettua, että vektori asettaa akselin L suunnan. Etsi vektorin numeerinen projektio L-akselille.

Päätös.

Kaava koordinaattimuodossa on , missä ja . Käytämme sitä etsimään vektorin tarvittavaa numeerista projektiota L-akselille:

Vastaus:

Esimerkki.

Suhteessa suorakaiteen muotoiseen koordinaattijärjestelmään Oxyz kolmiulotteisessa avaruudessa on annettu kaksi vektoria ja . Etsi vektorin numeerinen projektio akselilla L, jonka suunta on sama kuin vektorin suunta.

Päätös.

Vektorikoordinaateilla ja voit laskea näiden vektorien skalaaritulon: . Vektorin pituus koordinaateissaan lasketaan seuraavalla kaavalla . Sitten kaava vektorin numeerisen projektion määrittämiseksi L-akselille koordinaatteina on muotoa .

Sovelletaan sitä:

Vastaus:

Otetaan nyt suhde vektorin numeerisen projektion L-akselille, jonka suunta määrittää vektorin, ja vektorin projektion pituuden välillä L-akselille. Piirrä tätä varten akseli L, aseta vektorit sivuun ja pudota L:llä olevasta pisteestä kohtisuora vektorin päästä viivalle L ja rakenna vektorin projektio akselille L. Vektorien välisen kulman mittauksesta riippuen seuraavat viisi vaihtoehtoa ovat mahdollisia:

Ensimmäisessä tapauksessa on selvää, että siis , , sitten .

Toisessa tapauksessa merkityssä suorakulmaisessa kolmiossa kulman kosinin määritelmästä saamme , siis, .

Kolmannessa tapauksessa on selvää, että , ja , siksi ja .

Neljännessä tapauksessa kulman kosinin määritelmästä seuraa, että , missä .

Jälkimmäisessä tapauksessa siis
.

Seuraava määritelmä vektorin numeerisesta projektiosta akselille yhdistää saadut tulokset.

Määritelmä.

Vektorin numeerinen projektio L-akselille, suunnattu vektoriksi , on

Esimerkki.

Vektorin projektion pituus akselille L, jonka suunnan vektori asettaa, on yhtä suuri kuin . Mikä on vektorin numeerinen projektio L-akselille, jos vektorien ja välinen kulma on yhtä suuri kuin radiaani.