Incrément fonctionnel. Cours magistral

Donnons une fonction. Prenons deux valeurs de l'argument : initial et modifié, qui est généralement noté
, où - le montant par lequel l'argument change lors du passage de la première valeur à la seconde, il est appelé incrément d'arguments.

Les valeurs de l'argument et correspondent à certaines valeurs de fonction : initial et modifié
, évaluer , par lequel la valeur de la fonction change lorsque l'argument change de , est appelé incrément de fonction.

2. la notion de limite d'une fonction en un point.

Nombre est appelée la limite de la fonction
tout en s'efforçant de si pour n'importe quel nombre
il y a un tel nombre
, que pour tout
satisfaire l'inégalité
, l'inégalité
.

Deuxième définition : Un nombre est appelé la limite d'une fonction car elle tend vers si pour tout nombre il existe un tel voisinage du point que pour tout de ce voisinage . Noté
.

3. fonctions infiniment grandes et infiniment petites en un point. Une fonction infinitésimale en un point est une fonction dont la limite à l'approche du point donné est nulle. Une fonction infiniment grande en un point est une fonction dont la limite lorsqu'elle tend vers un point donné est égale à l'infini.

4. théorèmes principaux sur les limites et leurs conséquences (sans preuve).

corollaire : le facteur constant peut être déduit du signe de la limite :

Si les séquences et convergent et la limite de la suite est non nulle, alors

corollaire : le facteur constant peut être déduit du signe de la limite.

11. s'il y a des limites de fonctions pour
Et
et la limite de la fonction est non nulle,

alors il existe aussi une limite de leur rapport, égale au rapport des limites des fonctions et :

.

12. si
, ensuite
, et l'inverse est également vrai.

13. théorème sur la limite d'une suite intermédiaire. Si les séquences
convergeant, et
Et
ensuite

5. limite de fonction à l'infini.

Le nombre a est appelé la limite de la fonction à l'infini, (pour x tendant vers l'infini) si pour toute suite tendant vers l'infini
correspond à une suite de valeurs tendant vers un nombre mais.

6. Limites de la suite numérique.

Nombre mais s'appelle la limite d'une séquence de nombres si pour tout nombre positif il existe un nombre naturel N tel que pour tout n> N l'inégalité
.

Symboliquement, cela se définit comme suit :
équitable .

Le fait que le nombre mais est la limite de la suite , notée comme suit :

.

7.numéro "e". logarithmes naturels.

Nombre "e" représente la limite de la suite numérique, n- ème membre dont
, c'est à dire.

.

Logarithme naturel - logarithme de base e. les logarithmes naturels sont notés
sans donner de raison.

Nombre
permet de passer d'un logarithme décimal à un logarithme naturel et inversement.

, on l'appelle le module de transition des logarithmes naturels aux logarithmes décimaux.

8. merveilleuses limites
,

.

Première limite remarquable :

donc à

par le théorème limite de séquence intermédiaire

seconde limite remarquable :

.

Pour prouver l'existence de la limite
utiliser le lemme : pour tout nombre réel
Et
l'inégalité
(2) (quand
ou
l'inégalité devient égalité.)

.

Considérons maintenant une séquence auxiliaire avec un terme commun
assurez-vous qu'il diminue et est délimité par le bas :
si
, alors la suite est décroissante. Si
, alors la suite est délimitée par le bas. Montrons-le :

en raison de l'égalité (2)

c'est à dire.
ou
. C'est-à-dire que la séquence est décroissante, et depuis lors, la séquence est délimitée par le bas. Si une suite est décroissante et bornée par le bas, alors elle a une limite. Puis

a une limite et une séquence (1), car

Et
.

L. Euler a appelé cette limite .

9. Limites à sens unique, fonction de rupture.

le nombre A est la limite gauche si ce qui suit est vrai pour n'importe quelle séquence : .

le nombre A est la bonne limite si ce qui suit est vrai pour toute séquence : .

Si au point mais appartenant au domaine de définition de la fonction ou à sa frontière, la condition de continuité de la fonction est violée, alors le point mais est appelé un point de rupture ou une rupture de fonction si, comme le point aspire

12. la somme des termes d'une progression géométrique infinie décroissante. Une progression géométrique est une séquence dans laquelle le rapport entre les membres suivants et précédents reste inchangé, ce rapport est appelé le dénominateur de la progression. La somme du premier n membres d'une progression géométrique s'exprime par la formule
cette formule est pratique à utiliser pour une progression géométrique décroissante - une progression dans laquelle la valeur absolue de son dénominateur est inférieure à zéro. - le premier membre ; - dénominateur de progression ; - le numéro du membre pris de la séquence. La somme d'une progression décroissante infinie est le nombre auquel la somme des premiers membres de la progression décroissante s'approche indéfiniment avec une augmentation illimitée du nombre.
ensuite. La somme des termes d'une progression géométrique infiniment décroissante est .

Laisser être X– argument (variable indépendante); y=y(x)- une fonction.

Prendre une valeur fixe de l'argument x=x 0 et calculer la valeur de la fonction y 0 =y(x 0 ) . On fixe maintenant arbitrairement incrément (changer) de l'argument et le noter  X ( X peut être de n'importe quel signe).

L'argument incrémental est un point X 0 +  X. Supposons qu'il contienne également une valeur de fonction y=y(x 0 +  X)(voir l'image).

Ainsi, avec un changement arbitraire de la valeur de l'argument, on obtient un changement dans la fonction, qui s'appelle incrément valeurs de fonction :

et n'est pas arbitraire, mais dépend du type de fonction et de la quantité
.

Les incréments d'argument et de fonction peuvent être final, c'est à dire. exprimées sous forme de nombres constants, auquel cas elles sont parfois appelées différences finies.

En économie, les incréments finis sont considérés assez souvent. Par exemple, le tableau montre des données sur la longueur du réseau ferroviaire d'un certain état. Évidemment, l'incrément de longueur du réseau est calculé en soustrayant la valeur précédente de la suivante.

Nous considérerons la longueur du réseau ferroviaire comme une fonction dont l'argument sera le temps (années).

En soi, l'incrément de la fonction (en l'occurrence, la longueur du réseau ferroviaire) caractérise mal l'évolution de la fonction. Dans notre exemple, du fait que 2,5>0,9 ne peut pas conclure que le réseau s'est développé plus rapidement en 2000-2003 ans qu'en 2004 g., parce que l'augmentation 2,5 fait référence à une période de trois ans, et 0,9 - en seulement un an. Il est donc tout à fait naturel que l'incrémentation de la fonction entraîne un changement d'unité dans l'argument. L'incrément d'argument ici est points : 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1 .

On obtient ce qu'on appelle dans la littérature économique croissance annuelle moyenne.

Il est possible d'éviter l'opération de conversion de l'incrément en unité de changement de l'argument, si l'on prend les valeurs de la fonction pour les valeurs de l'argument qui diffèrent de un, ce qui n'est pas toujours possible.

Dans l'analyse mathématique, en particulier dans le calcul différentiel, les incréments infinitésimaux (IM) de l'argument et de la fonction sont pris en compte.

Différenciation d'une fonction d'une variable (dérivée et différentielle) Dérivée d'une fonction

Incréments d'argument et de fonction au point X 0 peuvent être considérées comme des grandeurs infinitésimales comparables (voir sujet 4, comparaison de BM), c'est-à-dire BM du même ordre.

Alors leur rapport aura une limite finie, qui est définie comme la dérivée de la fonction en t X 0 .

Limite du rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument BM en un point x=x 0 appelé dérivé fonctions à ce stade.

La désignation symbolique du dérivé avec un trait (ou plutôt, le chiffre romain I) a été introduite par Newton. Vous pouvez également utiliser un indice indiquant la variable à partir de laquelle la dérivée est calculée, par exemple, . Une autre notation proposée par le fondateur du calcul des dérivées, le mathématicien allemand Leibniz, est également largement utilisée :
. Vous en apprendrez plus sur l'origine de cette appellation dans la rubrique Différentiel de fonction et différentiel d'argument.

Ce nombre évalue vitesse changer la fonction passant par le point
.

installons sens géométrique dérivée d'une fonction en un point. Pour cela, nous construisons un graphe de la fonction y=y(x) et marquez dessus les points qui déterminent le changement y(x) dans l'intervalle

Tangente au graphe d'une fonction en un point M 0
nous considérerons la position limite de la sécante M 0 Mà condition
(point M glisse le long du graphique de la fonction jusqu'à un point M 0 ).

Considérer
. De toute évidence,
.

Si la pointe M se précipiter le long du graphique de la fonction vers le point M 0 , alors la valeur
tendra vers une certaine limite, que nous notons
. Où.

Angle limite  coïncide avec l'angle d'inclinaison de la tangente tracée au graphique de la fonction, incl. M 0 , donc la dérivée
est numériquement égal à pente tangente au point spécifié.

-

signification géométrique de la dérivée d'une fonction en un point.

Ainsi, on peut écrire les équations de la tangente et de la normale ( Ordinaire est une droite perpendiculaire à la tangente) au graphique de la fonction en un point X 0 :

Tangente - .

Normal -
.

Sont intéressants les cas où ces droites sont situées horizontalement ou verticalement (voir sujet 3, cas particuliers de la position d'une droite sur un plan). Puis,

si
;

si
.

La définition d'une dérivée s'appelle différenciation les fonctions.

 Si la fonction au point X 0 a une dérivée finie, on l'appelle différentiableÀ ce point. Une fonction différentiable en tout point d'un intervalle est dite différentiable sur cet intervalle.

 Théorème . Si la fonction y=y(x) différentiable en t. X 0 , alors elle est continue en ce point.

De cette façon, continuité est une condition nécessaire (mais non suffisante) pour que la fonction soit différentiable.

Soit x un point arbitraire situé au voisinage d'un point fixe x 0 . la différence x - x 0 est généralement appelée l'incrément de la variable indépendante (ou l'incrément de l'argument) au point x 0 et est notée Δx. De cette façon,

Δx \u003d x - x 0,

d'où il suit que

Incrément de fonction − différence entre deux valeurs de fonction.

Laissez la fonction à = f(x), défini avec une valeur d'argument égale à X 0 . Incrémentons D X, ᴛ.ᴇ. considérer la valeur de l'argument ͵ égale à X 0+D X. Supposons que cette valeur d'argument soit également incluse dans la portée de cette fonction. Alors la différence D y = f(x 0+D X) – f(x0) s'appelle l'incrément d'une fonction. Incrément de fonction F(X) à ce point X est une fonction généralement notée Δ x f sur la nouvelle variable Δ X défini comme

Δ x f(Δ X) = F(X + Δ X) − F(X).

Trouver l'incrément de l'argument et l'incrément de la fonction au point x 0 si

Exemple 2. Trouver l'incrément de la fonction f (x) \u003d x 2 si x \u003d 1, ∆x \u003d 0,1

Solution : f (x) \u003d x 2, f (x + ∆x) \u003d (x + ∆x) 2

Trouver l'incrément de la fonction ∆f = f(x+∆x) - f(x) = (x+∆x) 2 - x 2 = x 2 +2x*∆x+∆x 2 - x 2 = 2x*∆x + ∆x 2 /

En substituant les valeurs x=1 et ∆x= 0.1, on obtient ∆f = 2*1*0.1 + (0.1) 2 = 0.2+0.01 = 0.21

Trouver l'incrément de l'argument et l'incrément de la fonction aux points x 0

2.f(x) \u003d 2x 3. x 0 \u003d 3 x \u003d 2,4

3. f(x) \u003d 2x 2 +2 x 0 \u003d 1 x \u003d 0,8

4. f(x) \u003d 3x + 4 x 0 \u003d 4 x \u003d 3,8

Définition: Dérivé Il est d'usage d'appeler une fonction en un point la limite (si elle existe et est finie) du rapport de l'incrément de la fonction sur l'incrément de l'argument, pourvu que ce dernier tende vers zéro.

La notation suivante pour la dérivée est la plus couramment utilisée :

De cette façon,

Trouver la dérivée s'appelle différenciation . Introduit définition d'une fonction différentiable: Une fonction f qui a une dérivée en chaque point d'un intervalle est dite différentiable sur cet intervalle.

Soit une fonction définie dans un voisinage du point. Il est d'usage d'appeler la dérivée d'une fonction un nombre tel que la fonction dans le voisinage tu(X 0) peut être représenté par

F(X 0 + h) = F(X 0) + Ah + o(h)

si existe.

Définition de la dérivée d'une fonction en un point.

Laissez la fonction f(x) défini sur l'intervalle (un B), et sont les points de cet intervalle.

Définition. Fonction dérivée f(x) en un point, il est d'usage d'appeler la limite du rapport de l'incrément d'une fonction à l'incrément de l'argument en . Désigné.

Lorsque la dernière limite prend une valeur finale déterminée, on parle alors de l'existence dérivée finale en un point. Si la limite est infinie, alors on dit que la dérivée est infinie en un point donné. Si la limite n'existe pas, alors la dérivée de la fonction n'existe pas à ce stade.

Une fonction f(x) est dit différentiable en un point où il a une dérivée finie.

Au cas où la fonction f(x) est dérivable en tout point d'un intervalle (un B), alors la fonction est dite différentiable sur cet intervalle. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, n'importe quel point X de l'écart (un B) nous pouvons associer la valeur de la dérivée de la fonction à ce point, c'est-à-dire que nous avons la possibilité de définir une nouvelle fonction, qui s'appelle la dérivée de la fonction f(x) sur l'intervalle (un B).

L'opération consistant à trouver la dérivée s'appelle la différenciation.

Pas toujours dans la vie, nous nous intéressons aux valeurs exactes de toutes les quantités. Parfois, il est intéressant de connaître l'évolution de cette valeur, par exemple la vitesse moyenne du bus, le rapport entre la quantité de mouvement et l'intervalle de temps, etc. Pour comparer la valeur d'une fonction à un moment donné avec les valeurs de la même fonction à d'autres moments, il est pratique d'utiliser des concepts tels que "l'incrément de fonction" et "l'incrément d'argument".

Les notions d'« incrément de fonction » et d'« incrément d'argument »

Supposons que x soit un point arbitraire situé dans un voisinage du point x0. L'incrément de l'argument au point x0 est la différence x-x0. L'incrément est noté comme suit : ∆x.

• ∆x=x-x0.

Parfois, cette valeur est aussi appelée l'incrément de la variable indépendante au point x0. Il découle de la formule : x = x0 + ∆x. Dans de tels cas, on dit que la valeur initiale de la variable indépendante x0 a reçu un incrément ∆x.

Si nous changeons l'argument, la valeur de la fonction changera également.

• f(x) - f(x0) = f(x0 + ∆х) - f(x0).

L'incrément de la fonction f au point x0, l'incrément correspondant ∆x est la différence f(x0 + ∆x) - f(x0). L'incrément d'une fonction est noté ∆f. On obtient ainsi, par définition :

• ∆f= f(x0 + ∆x) - f(x0).

Parfois, ∆f est aussi appelé l'incrément de la variable dépendante et ∆y est utilisé pour le désigner si la fonction était, par exemple, y=f(x).

Sens géométrique de l'incrément

Regardez la photo suivante.

Comme vous pouvez le voir, l'incrément indique le changement d'ordonnée et d'abscisse du point. Et le rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument détermine l'angle d'inclinaison de la sécante passant par les positions initiale et finale du point.

Considérons des exemples d'incrémentation de fonction et d'argument

Exemple 1 Trouver l'incrément de l'argument ∆x et l'incrément de la fonction ∆f au point x0 si f(x) = x 2 , x0=2 a) x=1.9 b) x =2.1

Utilisons les formules ci-dessus :

a) ∆х=х-х0 = 1,9 - 2 = -0,1 ;

• ∆f=f(1,9) - f(2) = 1,9 2 - 2 2 = -0,39 ;

b) ∆x=x-x0=2,1-2=0,1 ;

• ∆f=f(2.1) - f(2) = 2.1 2 - 2 2 = 0.41.

Exemple 2 Calculer l'incrément ∆f pour la fonction f(x) = 1/x au point x0 si l'incrément de l'argument est égal à ∆x.

Encore une fois, nous utilisons les formules obtenues ci-dessus.

• ∆f = f(x0 + ∆x) - f(x0) =1/(x0-∆x) - 1/x0 = (x0 - (x0+∆x))/(x0*(x0+∆x)) = - ∆x/((x0*(x0+∆x)).

en physique médicale et biologique

CONFÉRENCE #1

FONCTIONS DERIVATIVES ET DIFFERENTIELLES.

DÉRIVÉS PRIVÉS.

1. Le concept de dérivée, sa signification mécanique et géométrique.

mais ) Incrément d'argument et de fonction.

Soit la fonction y=f(х) soit donnée, où х est la valeur de l'argument du domaine de la fonction. Si on choisit deux valeurs de l'argument xo et x dans un certain intervalle du domaine de la fonction, alors la différence entre les deux valeurs de l'argument s'appelle l'incrément de l'argument : x - xo =∆x .

La valeur de l'argument x peut être déterminée par x 0 et son incrément : x = x o + ∆x.

La différence entre deux valeurs d'une fonction s'appelle l'incrément de la fonction : ∆y = ∆f = f(x o + ∆x) - f(x o).

L'incrément de l'argument et de la fonction peut être représenté graphiquement (Fig. 1). L'incrément d'argument et l'incrément de fonction peuvent être positifs ou négatifs. Comme il ressort de la Fig.1, géométriquement, l'incrément de l'argument ∆х est représenté par l'incrément de l'abscisse, et l'incrément de la fonction ∆у est représenté par l'incrément de l'ordonnée. Le calcul de l'incrément de fonction doit être effectué dans l'ordre suivant :

nous donnons à l'argument un incrément ∆x et obtenons la valeur - x + Δx ;

2) trouver la valeur de la fonction pour la valeur de l'argument (х+∆х) – f(х+∆х);

3) trouver l'incrément de la fonction ∆f=f(х + ∆х) - f(х).

Exemple: Déterminer l'incrément de la fonction y=x 2 si l'argument est passé de x o =1 à x=3. Pour un point x o, la valeur de la fonction f (x o) \u003d x² o; pour un point (xo + ∆x) la valeur de la fonction f (xo + ∆x) \u003d (xo + ∆x) 2 \u003d x² o +2x o ∆x + ∆x 2, d'où ∆f = f ( xo + ∆x)–f(x o) \u003d (x o + ∆x) 2 -x² o \u003d x² o + 2x o ∆x + ∆x 2 -x² o \u003d 2x o ∆x + ∆x 2; ∆f \u003d 2x environ ∆x + ∆x 2; ∆х = 3–1 = 2 ; ∆f =2 1 2+4 = 8.

b)Problèmes menant au concept de dérivé. Définition de dérivée, sa signification physique.

Le concept d'incrément d'un argument et d'une fonction est nécessaire pour introduire le concept de dérivée, qui est historiquement né de la nécessité de déterminer la vitesse de certains processus.

Considérez comment vous pouvez déterminer la vitesse d'un mouvement rectiligne. Soit le corps se déplacer en ligne droite selon la loi : ∆S= ·∆t. Pour un mouvement uniforme := ∆S/∆t.

Pour un mouvement variable, la valeur ∆S/∆t détermine la valeur cf. , soit  cf. =∆S/∆t.Mais la vitesse moyenne ne permet pas de rendre compte des caractéristiques du mouvement du corps et de donner une idée de la vitesse vraie à l'instant t. Avec une diminution de l'intervalle de temps, c'est-à-dire à ∆t→0, la vitesse moyenne tend vers sa limite - la vitesse instantanée :

 inst. =
cf. =
∆S/∆t.

La vitesse instantanée d'une réaction chimique est déterminée de la même manière :

 inst. =
cf. =
∆х/∆t,

où x est la quantité de substance formée lors d'une réaction chimique pendant le temps t. Des tâches similaires pour déterminer la vitesse de divers processus ont conduit à l'introduction en mathématiques du concept de dérivée d'une fonction.

Soit une fonction continue f(x) définie sur l'intervalle ]a,b[ et son incrément ∆f=f(x+∆x)–f(x).
est une fonction de ∆x et exprime le taux de variation moyen de la fonction.

limite de rapport , lorsque ∆x→0, pourvu que cette limite existe, est appelée la dérivée de la fonction :

y" x =

.

La dérivée est notée :
- (y tiret sur x); f " (x) - (ef premier sur x) ; y" - (y trait); dy / dх – (de y sur de x); - (y avec un point).

Sur la base de la définition de la dérivée, on peut dire que la vitesse instantanée du mouvement rectiligne est la dérivée de la trajectoire par rapport au temps :

 inst. \u003d S "t \u003d f " (t).

Ainsi, nous pouvons conclure que la dérivée de la fonction par rapport à l'argument x est le taux de variation instantané de la fonction f(x) :

y" x \u003d f " (х)= inst.

C'est la signification physique de la dérivée. Le processus de recherche de la dérivée est appelé différenciation, donc l'expression "différencier une fonction" est équivalente à l'expression "trouver la dérivée d'une fonction".

dans)La signification géométrique de la dérivée.

P
la dérivée de la fonction y = f(x) a une signification géométrique simple associée au concept de tangente à une ligne courbe en un point M. Dans le même temps, la tangente, c'est-à-dire une ligne droite est exprimée analytiquement par y = kx = tg x, où – l'angle d'inclinaison de la tangente (ligne droite) à l'axe X. Représentons une courbe continue comme une fonction y \u003d f (x), prenons un point M sur la courbe et un point M 1 à proximité et dessinons un sécante à travers eux. Sa pente à sec = tg β = .Si on rapproche le point M 1 de M, alors l'incrément de l'argument ∆x tendra vers zéro, et la sécante en β=α prendra la position d'une tangente. D'après la Fig. 2, il s'ensuit : tgα =
tgβ =
\u003d y "x. Mais tgα est égal à la pente de la tangente au graphique de la fonction :

k = tga =
\u003d y" x \u003d f " (X). Ainsi, la pente de la tangente au graphe de la fonction en un point donné est égale à la valeur de sa dérivée au point de contact. C'est le sens géométrique de la dérivée.

G)Règle générale pour trouver la dérivée.

Sur la base de la définition de la dérivée, le processus de différenciation d'une fonction peut être représenté comme suit :

f(x+∆x) = f(x)+∆f ;

trouver l'incrément de la fonction : ∆f= f(x + ∆x) - f(x) ;

faire le rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument :

;

Exemple: f(x)=x 2 ; F " (x)=?.

Cependant, comme on peut le voir même à partir de cet exemple simple, l'utilisation de cette séquence lors de la prise de dérivées est un processus laborieux et complexe. Par conséquent, pour diverses fonctions, des formules générales de différenciation sont introduites, qui sont présentées sous la forme d'un tableau de "Formules de base pour les fonctions de différenciation".