Regels voor het construeren met behulp van een kompas en een liniaal. Tekenen met een passer en een liniaal

Als het heel natuurlijk is dat, met de aanname van een grotere verscheidenheid aan gereedschappen, het mogelijk blijkt om een ​​breder scala aan constructieproblemen op te lossen, dan zou men kunnen voorzien dat, integendeel, onder de beperkingen die aan de gereedschappen worden opgelegd, de klasse van oplosbare problemen zal kleiner worden. Des te opmerkelijker moet de ontdekking van de Italiaan worden beschouwd Mascheroni (1750-1800):alle geometrische constructies uitgevoerd met een passer en een liniaal kunnen worden uitgevoerd met slechts één passer. Er moet natuurlijk worden aangegeven dat het eigenlijk onmogelijk is om een ​​rechte lijn door twee gegeven punten te trekken zonder een liniaal, dus deze basisconstructie valt niet onder de theorie van Mascheroni. In plaats daarvan moet men aannemen dat een lijn wordt gegeven als twee van zijn punten worden gegeven. Maar met behulp van slechts één kompas is het mogelijk om het snijpunt te vinden van twee op deze manier gedefinieerde rechte lijnen, of het snijpunt van een rechte lijn met een cirkel.

Waarschijnlijk het eenvoudigste voorbeeld van Mascheroni's constructie is de verdubbeling van een bepaald segment AB. De oplossing is al gegeven op pagina's 174-175. Verder hebben we op pagina's 175-176 geleerd hoe we dit segment in tweeën kunnen delen. Laten we nu eens kijken hoe we de boog van een cirkel AB met middelpunt O door de helft kunnen delen. Hier volgt een beschrijving van deze constructie (Fig. 47). Met de straal AO tekenen we twee bogen met middelpunt A en B. Vanaf het punt O leggen we op deze bogen twee van dergelijke bogen OP en OQ zodat OP = OQ = AB... Dan vinden we het snijpunt R van de boog met het middelpunt P en straal PB en de boog met het middelpunt Q en straal QA. Ten slotte, door het segment OR als de straal te nemen, beschrijven we de boog met het middelpunt P of Q tot aan het snijpunt met de boog AB - het snijpunt en is het gewenste middelpunt van de boog AB. Het bewijs wordt als oefening aan de lezer overgelaten.

Het zou onmogelijk zijn om Mascheroni's grondstelling te bewijzen door voor elke constructie die met een passer en een liniaal wordt uitgevoerd aan te geven hoe deze met een enkel kompas kan worden uitgevoerd: er zijn immers talloze mogelijke constructies. Maar we zullen hetzelfde doel bereiken als we vaststellen dat elk van de volgende basisconstructies uitvoerbaar is met één enkel kompas:

1. Teken een cirkel als het middelpunt en de straal zijn opgegeven.
2. Zoek de snijpunten van twee cirkels.
3. Zoek de snijpunten van een lijn en een cirkel.
4. Zoek het snijpunt van twee lijnen.

Elke geometrische constructie (in de gebruikelijke zin, met de aanname van een kompas en een liniaal) is samengesteld uit de uitvoering van een eindige reeks van deze elementaire constructies. Dat de eerste twee haalbaar zijn met één kompas is direct duidelijk. Moeilijkere constructies 3 en 4 worden uitgevoerd met behulp van de inversie-eigenschappen die in de vorige paragraaf zijn besproken.

Laten we naar constructie 3 gaan: we vinden de snijpunten van deze cirkel C met een rechte lijn die door deze punten A en B gaat. We tekenen bogen met middelpunten A en B en stralen, respectievelijk gelijk aan AO en BO, behalve punt O , ze snijden elkaar in punt P. Dan construeren we punt Q tegenover punt P ten opzichte van cirkel C (zie de constructie beschreven op pagina 174). Teken ten slotte een cirkel met middelpunt Q en straal QO (deze zal zeker snijden met C): zijn snijpunten X en X "door cirkel C zullen de gewenste zijn. Om dit te bewijzen, volstaat het om vast te stellen dat elk van de punten X en X" bevinden zich op dezelfde afstand van O en P (zoals voor de punten A en B volgt hun analoge eigenschap onmiddellijk uit de constructie). Het is inderdaad voldoende om te verwijzen naar het feit dat het punt tegenover het punt Q zich op een afstand van de punten X en X " bevindt die gelijk is aan de straal van de cirkel C (zie pagina 173). Het is vermeldenswaard dat de cirkel die door de punten X, X" en O gaat, is de omgekeerde lijn AB in inversie ten opzichte van cirkel C, aangezien deze cirkel en lijn AB in dezelfde punten C snijden. (Tijdens inversie blijven de punten van de basiscirkel onbeweeglijk.) De aangegeven constructie is alleen onuitvoerbaar als de lijn AB door het middelpunt C gaat. Maar dan zijn de snijpunten te vinden door middel van de constructie beschreven op pagina 178 als de middelpunten van de bogen C verkregen wanneer we een willekeurige cirkel tekenen met middelpunt B, die C snijdt in de punten B 1 en B 2.

De methode om een ​​cirkel te tekenen, de inverse van een rechte lijn "die twee gegeven punten verbindt, geeft onmiddellijk een constructie die probleem 4 oplost. Laat de lijnen gegeven worden door de punten A, B en A", B "(Fig. 50) Teken een willekeurige cirkel C en met behulp van de bovenstaande methode zullen we cirkels construeren tegenover de rechte lijnen AB en A "B". Deze cirkels snijden elkaar in punt O en op nog een punt Y, Punt X, tegenover punt Y, is het gewenste snijpunt : hoe het te construeren is hierboven al uitgelegd. het gewenste punt, dit blijkt uit het feit dat Y het enige tegenoverliggende punt is van een punt dat tegelijkertijd tot beide lijnen AB en A "B" behoort, dus het punt X, tegenover naar Y, moet gelijktijdig op AB en A "B" liggen ...

Deze twee constructies beëindigen het bewijs van de gelijkwaardigheid tussen Mascheroni's constructies, waarvoor alleen kompassen mogen worden gebruikt, en gewone geometrische constructies met passers en linialen.

We gaven niet om de gratie van de oplossing van individuele problemen die we hier beschouwden, omdat ons doel was om de innerlijke betekenis van Mascheroni's constructies te achterhalen. Maar als voorbeeld geven we ook de constructie van een regelmatige vijfhoek aan; meer precies, we hebben het over het vinden van een vijftal punten op een cirkel die kunnen dienen als hoekpunten van een regelmatige ingeschreven vijfhoek.

Laat A een willekeurig punt op de cirkel K zijn. Aangezien de zijde van een regelmatige ingeschreven zeshoek gelijk is aan de straal van de cirkel, zal het niet moeilijk zijn om de punten B, C, D op K zo uit te stellen dat AB = BC = CD = 60° (afb. 51). Teken bogen met middelpunten A en D met een straal gelijk aan AC; laat ze elkaar snijden in punt X. Dan, als O het middelpunt van K is, zal de boog met middelpunt A en straal OX K snijden in punt F, dat het midden van de boog BC is (zie pagina 178). Vervolgens beschrijven we met een straal gelijk aan de straal K bogen met middelpunt F, die K snijden in de punten G en H. Zij Y een punt waarvan de afstanden van de punten G en H gelijk zijn aan OX en dat van X wordt gescheiden door middelpunt O. In dit geval is het segment AY as times de zijde van de vereiste vijfhoek. Het bewijs wordt als een oefening aan de lezer gepresenteerd. Het is interessant op te merken dat tijdens de bouw slechts drie verschillende radii worden gebruikt.

In 1928 vond de Deense wiskundige Elmslev in een boekhandel in Kopenhagen een exemplaar van een boek genaamd Euclides Danicus gepubliceerd in 1672 door een onbekende auteur G. Morom. Uit de titelpagina kon worden afgeleid dat dit slechts een van de versies was van de Euclidische "Elementen", misschien voorzien van een redactioneel commentaar. Maar bij nader onderzoek bleek het een complete oplossing te bevatten voor het Mascheroni-probleem, dat lang voor Mascheroni was gevonden.

Opdrachten. In wat volgt, wordt een beschrijving gegeven van de constructies van Mohr. Controleer of ze correct zijn. Waarom kan worden beweerd dat ze het Mascheroni-probleem oplossen?

Geïnspireerd door de resultaten van Mascheroni, Jacob Steiner (1796-1863) deed een poging om constructies te bestuderen die met slechts één liniaal kunnen worden uitgevoerd. Natuurlijk brengt de liniaal alleen je niet buiten de grenzen van een bepaald numeriek veld, en daarom is het onvoldoende om alle geometrische constructies in hun klassieke zin uit te voeren. Maar des te opmerkelijker zijn de resultaten die Steiner behaalde met de door hem ingevoerde beperking - om het kompas maar één keer te gebruiken. Hij bewees dat alle constructies op het vlak, die kunnen worden uitgevoerd met een passer en een liniaal, ook met één liniaal kunnen worden uitgevoerd, op voorwaarde dat er één vaste cirkel is met een middelpunt. Deze constructies impliceren het gebruik van projectieve methoden en zullen later worden beschreven (zie p. 228).

* Je kunt niet zonder een cirkel, en bovendien met een middelpunt. Als er bijvoorbeeld een cirkel is gegeven, maar het middelpunt is niet gespecificeerd, dan is het onmogelijk om het middelpunt te vinden met één liniaal. We zullen dit nu bewijzen, echter verwijzend naar een feit dat later zal worden vastgesteld (zie p. 252): er is een zodanige transformatie van het vlak in zichzelf dat a) de gegeven cirkel onbeweeglijk blijft, b) elke rechte lijn gaat in een rechte lijn, waarbij ) het middelpunt van de vaste cirkel niet stil blijft staan, maar wordt verplaatst. Alleen al het bestaan ​​van een dergelijke transformatie getuigt van de onmogelijkheid om het middelpunt van een gegeven cirkel te construeren met één liniaal. In feite komt het, ongeacht de constructieprocedure, neer op een aantal afzonderlijke fasen, bestaande uit het tekenen van rechte lijnen en het vinden van hun snijpunten met elkaar of met een gegeven cirkel. Laten we ons nu voorstellen dat de hele figuur als geheel een cirkel is, en dat alle lijnen die langs een liniaal worden getrokken bij het construeren van het middelpunt onderhevig zijn aan een transformatie, waarvan we het bestaan ​​hier hebben aangenomen. Dan is het duidelijk dat het cijfer verkregen na de transformatie ook aan alle eisen van de constructie zou voldoen; maar de constructie die door deze figuur wordt aangegeven, zou naar een ander punt dan het middelpunt van de gegeven cirkel leiden. Dit betekent dat de betreffende constructie onmogelijk is.

Collegiale YouTube

1 / 5

✪Graad 7, les 22, constructies met een passer en een liniaal

✪ Geometrie 7 cirkel tekenen met kompas en liniaal

✪ Teken een driehoek aan twee zijden en een hoek ertussen

✪ Geometrie 7 Voorbeelden van constructieproblemen

✪ Graad 7, les 23, voorbeelden van bouwtaken

Ondertitels

Voorbeelden van

Bisectie probleem... Gebruik een kompas en een liniaal om dit segment te splitsen AB in twee gelijke delen. Een van de oplossingen is weergegeven in de figuur:

• Teken cirkels met een kompas met het middelpunt op de punten EEN en B straal AB.
• De snijpunten vinden P en Q twee geconstrueerde cirkels (bogen).
• Teken een lijnstuk of een lijn langs de liniaal door de punten P en Q.
• Vind het gewenste middelpunt van het segment AB- kruispunt AB en PQ.

Formele definitie

Bij constructieproblemen wordt rekening gehouden met een reeks van de volgende objecten: alle punten van het vlak, alle rechte lijnen van het vlak en alle cirkels van het vlak. In de voorwaarden van het probleem wordt aanvankelijk een set objecten gespecificeerd (beschouwd als geconstrueerd). Het is toegestaan ​​om aan de verzameling geconstrueerde objecten toe te voegen (te bouwen):

1. willekeurig punt;
2. een willekeurig punt op een gegeven rechte lijn;
3. een willekeurig punt op een gegeven cirkel;
4. het snijpunt van twee gegeven lijnen;
5. snijpunten / raaklijnen van een gegeven rechte en een gegeven cirkel;
6. snijpunten / raaklijnen van twee gespecificeerde cirkels;
7. een willekeurige rechte lijn die door een bepaald punt gaat;
8. een rechte lijn die door twee gegeven punten gaat;
9. een willekeurige cirkel met het middelpunt op een bepaald punt;
10. een willekeurige cirkel met een straal gelijk aan de afstand tussen twee gespecificeerde punten;
11. een cirkel met het middelpunt op het gespecificeerde punt en met een straal gelijk aan de afstand tussen de twee gespecificeerde punten.

Het is nodig om een ​​eindig aantal van deze bewerkingen te gebruiken om een ​​andere set objecten te construeren die in een bepaalde relatie staan ​​met de originele set.

De oplossing voor het bouwprobleem bevat drie essentiële onderdelen:

1. Beschrijving van de methode voor het construeren van een gegeven verzameling.
2. Bewijs dat de op de beschreven manier opgebouwde verzameling inderdaad in een bepaalde relatie staat met de originele verzameling. Gewoonlijk wordt het bewijs van de constructie uitgevoerd als een gebruikelijk bewijs van de stelling, gebaseerd op axioma's en andere bewezen stellingen.
3. Analyse van de beschreven constructiemethode voor zijn toepasbaarheid op verschillende varianten van beginvoorwaarden, evenals voor de uniciteit of niet-uniciteit van de oplossing verkregen door de beschreven methode.

bekende taken

Een ander bekend en onoplosbaar probleem met behulp van een passer en een liniaal is de constructie van een driehoek uit drie gegeven lengtes van de bissectrices. Deze taak blijft onoplosbaar, zelfs met een hulpmiddel dat hoektrisectie uitvoert, zoals een tomahawk.

Toegestane lijnsegmenten voor constructie met een passer en een liniaal

Met behulp van deze tools is het mogelijk om een ​​lijnsegment te maken met de lengte:

Om een ​​segment te construeren met een lengte die numeriek gelijk is aan het product, het quotiënt en de vierkantswortel van de lengtes van de gespecificeerde segmenten, is het noodzakelijk om een ​​eenheidssegment op het constructievlak te specificeren (dat wil zeggen een segment met lengte 1). Wortels extraheren uit segmenten met andere natuurlijke graden die geen macht 2 zijn, is onmogelijk met een passer en een liniaal. Het is dus bijvoorbeeld onmogelijk om een ​​lengtesegment te construeren met behulp van een passer en een liniaal uit een eenheidssegment. Dit feit houdt in het bijzonder in dat het probleem van het verdubbelen van een kubus onbeslisbaar is.

Mogelijke en onmogelijke constructies

Formeel gezien wordt de oplossing van elk constructieprobleem gereduceerd tot de grafische oplossing van een algebraïsche vergelijking, en de coëfficiënten van deze vergelijking zijn gerelateerd aan de lengtes van de gegeven segmenten. Daarom kunnen we zeggen dat het constructieprobleem wordt teruggebracht tot het vinden van de echte wortels van een algebraïsche vergelijking.

Daarom is het handig om te praten over het bouwen van een getal - een grafische oplossing voor een vergelijking van een bepaald type.

Op basis van de mogelijke constructies van segmenten zijn de volgende constructies mogelijk:

• Constructie van oplossingen voor lineaire vergelijkingen.
• Constructie van oplossingen van vergelijkingen die reduceren tot oplossingen van kwadratische vergelijkingen.

Met andere woorden, het is mogelijk om alleen segmenten te construeren die gelijk zijn aan rekenkundige uitdrukkingen met behulp van de vierkantswortel van de originele getallen (gegeven segmentlengtes).

Het is belangrijk op te merken dat het essentieel is dat de oplossing wordt uitgedrukt met vierkant wortels, geen radicalen van willekeurige graad. Zelfs als een algebraïsche vergelijking een oplossing heeft in radicalen, dan betekent dit niet de mogelijkheid om met een passer en een liniaal een segment te construeren dat gelijk is aan zijn oplossing. De eenvoudigste vergelijking is: x 3 - 2 = 0, (\ weergavestijl x ^ (3) -2 = 0,) gerelateerd aan het beroemde probleem van het verdubbelen van een kubus, wat reduceert tot deze derdegraadsvergelijking. Zoals hierboven vermeld, de oplossing van deze vergelijking ( 2 3 (\ displaystyle (\ sqrt [(3)] (2)))) kan niet worden geconstrueerd met een passer en een liniaal.

De mogelijkheid om een ​​regelmatige 17-hoek te construeren volgt uit de uitdrukking voor de cosinus van de centrale hoek van zijn zijde:

cos ⁡ (2 π 17) = - 1 16 + 1 16 17 + 1 16 34 - 2 17 + (\ displaystyle \ cos (\ left ((\ frac (2 \ pi) (17)) \ right)) = - (\ frac (1) (16)) \; + \; (\ frac (1) (16)) (\ sqrt (17)) \; + \; (\ frac (1) (16)) (\ sqrt (34-2 (\ sqrt (17)))) \; + \;) + 1 8 17 + 3 17 - 34 - 2 17 - 2 34 + 2 17, (\ displaystyle + (\ frac (1) (8)) (\ sqrt (17 + 3 (\ sqrt (17)) - (\ sqrt (34-2 (\ sqrt (17)))) - 2 (\ sqrt (34 + 2 (\ sqrt (17)))))),) die op zijn beurt voortvloeit uit de mogelijkheid om een ​​vergelijking van de vorm te reduceren x F n - 1 = 0, (\ displaystyle x ^ (F_ (n)) - 1 = 0,) waar F n (\ displaystyle F_ (n))- een willekeurig Fermat-priemgetal, door de variabele te veranderen in een kwadratische vergelijking.

Variaties en generalisaties

• Constructies met één kompas. Volgens de stelling van Mohr - Mascheroni kun je met één kompas elk figuur construeren dat met een kompas en een liniaal kan worden geconstrueerd. In dit geval wordt een rechte lijn als geconstrueerd beschouwd als er twee punten op zijn gespecificeerd.
• Teken met één liniaal. Het is duidelijk dat alleen projectief invariante constructies kunnen worden uitgevoerd met behulp van één liniaal. Vooral,
  • het is zelfs onmogelijk om een ​​segment in twee gelijke delen te splitsen,
  • het is ook onmogelijk om het middelpunt van een bepaalde cirkel te vinden.

Maar,

• als er een eerder getekende cirkel op het vlak is met een gemarkeerd middelpunt met één liniaal, kun je dezelfde constructies uitvoeren als met een passer en een liniaal (

Het materiaal in deze paragraaf kan worden gebruikt bij buitenschoolse activiteiten. Het kan aan studenten worden gepresenteerd, zowel in de vorm van een college als in de vorm van studentrapporten.

Eeuwenlang is er veel aandacht geweest voor problemen die al lang bekend staan ​​als de 'beroemde problemen van de oudheid'. Drie bekende problemen kwamen meestal voor onder deze naam:

1) kwadrateren van de cirkel,

2) trisectie van de hoek,

3) verdubbeling van de kubus.

Al deze taken zijn in de oudheid ontstaan ​​uit de praktische behoeften van mensen. In de eerste fase van hun bestaan ​​fungeerden ze als rekenproblemen: volgens sommige "recepten" werden de geschatte waarden van de vereiste hoeveelheden (cirkeloppervlak, omtrek, enz.) berekend. In de tweede fase van de geschiedenis van deze problemen vinden significante veranderingen in hun karakter plaats: het worden geometrische (constructieve) problemen.

In het oude Griekenland kregen ze in deze periode de klassieke formuleringen:

1) bouw een vierkant dat even groot is als de gegeven cirkel;

2) verdeel de gegeven hoek in drie gelijke delen;

3) bouw een rand van een nieuwe kubus, waarvan het volume twee keer zo groot is als de gegeven kubus.

Al deze geometrische constructies werden voorgesteld om te worden uitgevoerd met behulp van een kompas en een liniaal.

De eenvoud van de formulering van deze taken en de "onoverkomelijke moeilijkheden" die ze op weg naar hun oplossing tegenkwamen, droegen bij aan de groei van hun populariteit. In een poging om rigoureuze oplossingen voor deze problemen te geven, hebben oude Griekse wetenschappers "onderweg" veel belangrijke resultaten voor de wiskunde verkregen, die hebben bijgedragen aan de transformatie van verspreide wiskundige kennis in een onafhankelijke deductieve wetenschap (de Pythagoreeërs, Hippocrates van Chios en Archimedes verlieten een bijzonder opvallend spoor in die tijd).

Het probleem van het verdubbelen van een kubus.

Het probleem van het verdubbelen van een kubus is als volgt: als je de rand van een bepaalde kubus kent, construeer dan een rand van zo'n kubus, waarvan het volume twee keer zo groot is als het volume van deze kubus.

Laat a de lengte zijn van de rand van de gegeven kubus, x - de lengte van de rand van de gewenste kubus. Laat is het volume van de gegeven kubus, en is het volume van de gewenste kubus, dan, volgens de formule voor het berekenen van het volume van de kubus, hebben we dat: =, en aangezien, volgens de toestand van het probleem, we kom tot de vergelijking.

Het is uit de algebra bekend dat de rationale wortels van een gereduceerde vergelijking met gehele coëfficiënten alleen integer kunnen zijn en zich kunnen bevinden tussen de delers van de vrije term van de vergelijking. Maar de delers van het getal 2 zijn alleen de getallen +1, - 1, +2, - 2, en geen van hen voldoet aan de oorspronkelijke vergelijking. Bijgevolg heeft de vergelijking geen rationale wortels, wat betekent dat het probleem van het verdubbelen van een kubus niet kan worden opgelost met behulp van een kompas en een liniaal.

Het probleem van het verdubbelen van een kubus met behulp van een kompas en een liniaal kan slechts bij benadering worden opgelost. Hier is een van de eenvoudigste manieren om dit probleem bij benadering op te lossen.

Laat AB = BC = a, en ABBC. We bouwen AD = AC, dan CD met een nauwkeurigheid van 1%. Inderdaad, CD 1.2586…. Tegelijkertijd = 1,2599….

Het probleem van de kwadratuur van de cirkel.

Verantwoording van de onoplosbaarheid van het probleem met behulp van een passer en een liniaal.

Het probleem van het kwadrateren van een cirkel is als volgt: bouw een vierkant dat even groot is als een cirkel.

Laat de straal van de gegeven cirkel zijn, de zijdelengte van het vereiste vierkant. Dan, hier weg.

Bijgevolg zal het probleem van het kwadrateren van de cirkel worden opgelost als we een lengtesegment construeren. Als de straal van een gegeven cirkel wordt genomen als een eenheidssegment (= 1), dan wordt de zaak gereduceerd tot het construeren van een lengtesegment langs een eenheidssegment.

Zoals je weet, kunnen we, als we het eenheidssegment kennen, met een kompas en een liniaal alleen die segmenten construeren waarvan de lengte wordt uitgedrukt in rationale getallen met behulp van een eindige reeks rationale bewerkingen en extractie van vierkantswortels en daarom algebraïsche getallen zijn. In dit geval worden niet alle algebraïsche getallen gebruikt. U kunt bijvoorbeeld geen lijn tekenen met een lengte, enz.

In 1882 bewees Lindemann dat het transcendentaal is. Hieruit volgt dat het onmogelijk is om een ​​lengtesegment te construeren met een passer en een liniaal, en daarom is het probleem van het kwadrateren van een cirkel onoplosbaar.

Geschatte oplossing van het probleem met behulp van een kompas en een liniaal.

Laten we eens kijken naar een van de methoden voor het benaderen van de constructie van lijnsegmenten. Deze techniek is als volgt. Verdeel een kwart van een cirkel AB met een middelpunt op punt O en een straal gelijk aan één in de helft door punt C. Op de voortzetting van de diameter CD, leg het segment DE gelijk aan de straal opzij. Vanuit punt E trekken we stralen EA en EB totdat ze de raaklijn in punt C snijden. Het afgesneden segment AB is ongeveer gelijk aan de lengte van de boog AB, en het verdubbelde segment is gelijk aan de halve cirkel.

De relatieve fout van deze benadering is niet groter dan 0,227%.

Hoek trisectie probleem.

Verantwoording van de onoplosbaarheid van het probleem met behulp van een passer en een liniaal.

Het probleem van trisectie van een hoek is als volgt:: verdeel de gegeven hoek in drie gelijke delen.

We beperken ons tot het oplossen van het probleem voor hoeken die niet groter zijn dan 90. Als een stompe hoek is, dan = 180-, waarbij<90, так что, и поэтому задача о трисекции тупого угла сводится к задаче о трисекции острого угла.

Merk op dat (in aanwezigheid van een eenheidssegment) het probleem van het construeren van de hoek (90) equivalent is aan het probleem van het construeren van het segment x = cos. Inderdaad, als de hoek wordt geconstrueerd, dan wordt de constructie van het segment x = cos gereduceerd tot de constructie van een rechthoekige driehoek vanuit de hypotenusa en de scherpe hoek.

Rug. Als een segment x wordt geconstrueerd, dan wordt de constructie van een hoek zodanig dat x = cos gereduceerd tot de constructie van een rechthoekige driehoek langs de hypotenusa en het been.

Laat - de gegeven hoek, - de gewenste hoek, zodat =. Dan cos = cos 3. Het is bekend dat cos 3 = 4cos-3cos. Daarom, door cos = en cos = in te stellen, komen we tot de vergelijking:

cos = 4cos-3cos,

Het segment, en dus de hoek, kan alleen worden geconstrueerd als deze vergelijking ten minste één rationale wortel heeft. Maar dit is niet voor iedereen het geval, en daarom is het probleem van trisectie van een hoek in het algemeen niet oplosbaar met behulp van een kompas en een richtliniaal. Bijvoorbeeld. Bij = 60 krijgen we = 1 en de verkregen vergelijking heeft de vorm:. Het is gemakkelijk te verifiëren dat deze vergelijking geen rationele wortel heeft, wat inhoudt dat het onmogelijk is om een ​​hoek van 60 in drie gelijke delen te delen met behulp van een passer en een liniaal. Het probleem van trisectie van een hoek is dus niet oplosbaar met een kompas en een liniaal in het algemeen.

Geschatte oplossing van het probleem met behulp van een kompas en een liniaal.

Laten we eens kijken naar een van de methoden voor de benaderende oplossing van het probleem met behulp van een kompas en een liniaal, voorgesteld door Albert Durer (1471-1528).

Laat de hoek ASB worden gegeven. Vanaf het hoekpunt S met een willekeurige straal beschrijven we een cirkel en verbinden we de snijpunten van de zijden van de hoek met de cirkel door het koorde AB. We verdelen dit akkoord in drie gelijke delen op de punten R en R (A R = R R = RB). vanuit de punten A en B, vanaf de middelpunten, met stralen A R = RB beschrijven we de bogen die de cirkel snijden in de punten T en T. Laten we RSAB uitvoeren. Met radii A S = BS teken je bogen die AB snijden in de punten U en U. De bogen AT, SS en TB zijn gelijk aan elkaar, omdat ze door gelijke koorden aan elkaar worden getrokken.

Om de driedelingspunten van de hoek X en X te vinden, deelt Dürer de segmenten RU en RU in drie gelijke delen door de punten PV en PV. Teken vervolgens met stralen AV en BV bogen die de cirkel snijden in de punten X en X. Door deze punten te verbinden met S, krijgen we de verdeling van deze hoek in drie gelijke delen met een goede benadering van de werkelijke waarden.

Bekend sinds de oudheid.

Bij bouwtaken zijn de volgende bewerkingen mogelijk:

• Markeer willekeurig punt op een vlak, een punt op een van de geconstrueerde lijnen, of het snijpunt van twee geconstrueerde lijnen.
• Door het gebruiken van kompassen teken een cirkel met een middelpunt op het geconstrueerde punt en een straal gelijk aan de afstand tussen de twee reeds geconstrueerde punten.
• Door het gebruiken van heersers teken een rechte lijn die door de twee geconstrueerde punten gaat.

In dit geval worden een kompas en een liniaal als ideale hulpmiddelen beschouwd, met name:

1. Een eenvoudig voorbeeld

Een segment in tweeën delen

Taak. Gebruik een kompas en een liniaal om dit segment te verdelen AB in twee gelijke delen. Een van de oplossingen is weergegeven in de figuur:

• Met behulp van een kompas construeren we een cirkel gecentreerd op een punt EEN straal AB.
• Bouw een cirkel gecentreerd op een punt B straal AB.
• De snijpunten vinden P en Q twee gebouwde cirkels.
• Teken met een liniaal een segment dat de punten verbindt P en Q.
• Zoek het snijpunt AB en PQ. Dit is het gewenste middelpunt van het segment AB.

2. Regelmatige veelhoeken

Methoden om correct te construeren n-gons voor en .

4. Mogelijke en onmogelijke constructies

Alle constructies zijn niets meer dan een oplossing van een vergelijking, en de coëfficiënten van deze vergelijking zijn gerelateerd aan de lengtes van de gegeven segmenten. Daarom is het handig om te praten over het bouwen van een getal - een grafische oplossing voor een vergelijking van een bepaald type.

In het kader van de gastro-intestinale eisen zijn de volgende constructies mogelijk:

Met andere woorden, u kunt alleen getallen bouwen die gelijk zijn aan rekenkundige uitdrukkingen met behulp van de vierkantswortel van de oorspronkelijke getallen (segmentlengtes). Bijvoorbeeld,

5. Variaties en generalisaties

6. Leuke weetjes

• GeoGebra, Kig, KSEG - programma's waarmee je kunt bouwen met een kompas en een liniaal.

Literatuur

• A. Adler. De theorie van geometrische constructies, Vertaald uit het Duits door G. M. Fikhtengolts. Derde editie. L., Navchpedvid, 1940-232 p.
• ik. Alexandrov, Verzameling van geometrische constructieproblemen, Achttiende druk, M., Navchpedvid, 1950-176 p.
• BI Argunov, MB Balk.

Geometrische constructietaken

Een kompas en liniaal gebruiken

leerling van groep 8-A

Leidinggevende: Moskaeva VN,

wiskunde leraar

Nizjni Novgorod

Invoering

Visualisatie, verbeelding horen meer bij kunst, strikte logica is het voorrecht van de wetenschap. De droogheid van de exacte conclusie en de levendigheid van het visuele beeld - "ijs en vuur verschillen niet zo van elkaar." Geometrie combineert deze twee tegenstellingen.

AD Alexandrov

Als we naar school gaan, vergeten we niet om een ​​kompas, een liniaal en een gradenboog in onze portefeuille te stoppen. Deze tools helpen je om correct te tekenen en mooi te tekenen. Deze tools worden gebruikt door ingenieurs, architecten, arbeiders, kleding- en schoenenontwerpers, bouwers en landschapsontwerpers. Er zijn weliswaar computers, maar op de bouwplaats, in de tuin gebruik je ze nog niet.

De machine trekt direct binnen enkele seconden. Een wiskundige moet behoorlijk wat tijd besteden om haar in een voor een machine begrijpelijke taal uit te leggen wat ze moet doen - een programma schrijven en dit in een machine invoeren, daarom werken ontwerpers vaak liever met de eenvoudigste en oudste tools - kompassen en een liniaal.

Wat is er makkelijker? Een glad bord met een rechte rand - een liniaal, twee puntige stokken aan een uiteinde vastgebonden - een kompas. Trek met een liniaal een rechte lijn door twee gegeven punten. Met behulp van een kompas worden cirkels getekend met een bepaald middelpunt en een bepaalde straal, stel een segment uit dat gelijk is aan dit.

Het kompas en de liniaal zijn al meer dan 3000 jaar bekend, ze waren al bekend, 200-300 jaar geleden waren ze versierd met ornamenten en patronen. Maar desondanks zijn ze ons nog steeds regelmatig van dienst. De eenvoudigste gereedschappen zijn voldoende voor een groot aantal constructies. De oude Grieken dachten dat het mogelijk was om met deze gereedschappen elke redelijke constructie uit te voeren, totdat ze drie belangrijke taken uit de oudheid ontdekten: "een cirkel vierkant maken", "driehoeken van een hoek", "een kubus verdubbelen".

Daarom beschouw ik het onderwerp van mijn werk als hedendaags en belangrijk voor menselijke activiteit op veel gebieden van menselijke activiteit.

Iedereen weet heel goed dat wiskunde wordt gebruikt in een breed scala van beroepen en levenssituaties. Wiskunde is geen gemakkelijk vak. En de meeste studenten noemen geometrie "moeilijk". Constructieproblemen zijn anders dan traditionele meetkundige problemen.

Het oplossen van constructieproblemen ontwikkelt geometrisch denken veel vollediger en scherper dan het oplossen van computationele problemen, en kan een passie voor werk opwekken, wat leidt tot verhoogde nieuwsgierigheid en een verlangen om de studie van geometrie uit te breiden en te verdiepen.

Ondanks het rijke historische verleden blijft het probleem van het oplossen van bouwproblemen relevant in de 21e eeuw. In onze tijd ontwikkelen computertechnologieën zich snel met het gebruik van grafische editors voor het tekenen van geometrische objecten. De manieren om geometrische objecten te maken zijn veranderd door de opkomst van nieuwe computertechnologieën. Echter, net als in de oudheid, zijn de belangrijkste elementen bij de constructie van geometrische objecten een cirkel en een rechte lijn, met andere woorden, een kompas en een liniaal. Met de komst van nieuwe computertechnologieën ontstonden nieuwe constructieproblemen met dezelfde objecten - een lijn en een cirkel. Daarom wordt het probleem van het oplossen van bouwproblemen nog urgenter.

Het geometrieprogramma omvat de studie van alleen de eenvoudigste technieken en constructiemethoden. Maar het gebruik van deze technieken is vaak moeilijk. Daarom is het object van mijn onderzoek geometrische figuren geconstrueerd met behulp van een kompas en een liniaal.

Het doel van mijn werk: overweeg verschillende manieren om geometrische vormen te construeren met behulp van een kompas en een liniaal.

Onderzoeksmethoden:

ü Analyse van reeds bestaande bouwmethoden

ü Zoeken naar nieuwe methoden, makkelijk te gebruiken (GMT en Steiner constructie)

Taken:

ü een beter begrip krijgen van de verschillende manieren van bouwen

ü volg de ontwikkeling van dit stukje geometrie in de geschiedenis van de wiskunde

ü onderzoeksvaardigheden blijven ontwikkelen.

Uit de geschiedenis van geometrische constructie met passer en liniaal.

De traditionele beperking van de gereedschappen van geometrische constructies dateert uit de oudheid. In zijn boek "Beginnings" houdt Euclides zich strikt aan de geometrische constructies die worden uitgevoerd door kompassen en een liniaal, hoewel hij nergens de namen van de instrumenten vermeldt. De beperkingen lijken verband te houden met het feit dat deze gereedschappen het touw vervingen, dat oorspronkelijk zowel voor het tekenen van lijnen als voor het beschrijven van cirkels diende. Maar veel historici-wiskundigen verklaren de materiaalkeuze van Euclides door het feit dat hij, in navolging van Plato en de Pythagoreërs, alleen de rechte lijn en de cirkel als 'perfecte' lijnen beschouwde.

De kunst van het construeren van geometrische vormen was sterk ontwikkeld in het oude Griekenland. Oude Griekse wiskundigen 3000 jaar geleden voerden hun constructies uit met behulp van twee apparaten: een glad bord met een gelijkmatige rand - een liniaal en twee puntige stokken die aan het ene uiteinde zijn vastgebonden - een kompas. Deze eenvoudige gereedschappen waren echter voldoende om een ​​grote verscheidenheid aan verschillende constructies uit te voeren. Het leek zelfs voor de oude Grieken dat elke intelligente constructie met deze gereedschappen kon worden bereikt, totdat ze drie later beroemde taken moesten uitvoeren.

Ze hebben lang elke rechtlijnige figuur met behulp van een kompas en een liniaal getransformeerd in een willekeurige rechtlijnige figuur die daaraan gelijk is. In het bijzonder werd elke rechtlijnige figuur omgevormd tot een vierkant van dezelfde grootte. Daarom is het duidelijk dat het idee leek om dit probleem te veralgemenen: om met behulp van een kompas en een liniaal zo'n vierkant te construeren, waarvan de oppervlakte gelijk zou zijn aan de oppervlakte van de gegeven cirkel. Dit probleem wordt de kwadratuur van de cirkel genoemd. Sporen van deze taak zijn terug te vinden in de oude Griekse en Babylonische monumenten van het tweede millennium voor Christus. De directe ligging is echter te vinden in Griekse werken uit de 5e eeuw voor Christus.

Nog twee problemen uit de oudheid hebben eeuwenlang de aandacht getrokken van vooraanstaande wetenschappers. Dit is het probleem van het verdubbelen van een kubus. Het bestaat uit het construeren van een kubus met een kompas en een liniaal, met een volume dat twee keer zo groot is als het volume van deze kubus. Het uiterlijk wordt geassocieerd met de legende dat op het eiland Delos in de Egeïsche Zee, het orakel, om de inwoners te redden van de pestepidemie, opdracht gaf om het altaar in de vorm van een kubus te verdubbelen. En het derde probleem van trisectie van een hoek gaat over het verdelen van een hoek in drie gelijke delen met behulp van een kompas en een liniaal.

Deze drie problemen, de zogenaamde 3 beroemde klassieke problemen uit de oudheid, hebben gedurende twee millennia de aandacht getrokken van vooraanstaande wiskundigen. En pas in het midden van de 19e eeuw werd hun onbeslisbaarheid bewezen, dat wil zeggen, de onmogelijkheid van deze constructies alleen met alleen een kompas en een liniaal. In de wiskunde waren dit de eerste resultaten over de onoplosbaarheid van problemen wanneer de oplossingswijzen werden aangegeven. Ze werden niet verkregen door middel van meetkunde, maar door middel van algebra (door deze problemen te vertalen in de taal van vergelijkingen), wat nogmaals de eenheid van de wiskunde benadrukte. Omdat ze niet bezweken voor een oplossing, hebben deze problemen de wiskunde verrijkt met significante resultaten, en hebben ze geleid tot nieuwe richtingen in het wiskundig denken.

Een andere interessante taak voor het construeren met behulp van een kompas en een liniaal is het construeren van een regelmatige veelhoek met een bepaald aantal zijden. De oude Grieken wisten hoe ze een regelmatige driehoek, vierkant, regelmatige vijfhoek en 15-hoek moesten bouwen, evenals alle polygonen die daaruit worden verkregen door de zijkanten te verdubbelen, en alleen hen. Pas in 1796 ontdekte de grote Duitse wiskundige CF Gauss een manier om een ​​regelmatige 17-gon te construeren met behulp van een kompas en een liniaal en gaf hij alle waarden van N aan waarbij het mogelijk is om een ​​regelmatige N-gon te construeren met de aangegeven middelen . Carl Gauss, een eerstejaarsstudent aan de Universiteit van Göttingen, loste een probleem op dat al meer dan 2000 jaar faalde in de wiskunde. Zo werd de onmogelijkheid bewezen om met behulp van een kompas en een liniaal de juiste 7, 9, 11, 13, 18, 21, 22, 23, etc. te construeren. vierkanten.

De theorie van constructie met behulp van een kompas en een liniaal werd verder ontwikkeld. Er werd een antwoord ontvangen op de vraag: is het mogelijk om het probleem op te lossen met slechts een van de twee overwogen tools, en nogal onverwacht. Onafhankelijk van elkaar bewezen de Deen G. More in 1672 en de Italiaan L. Maskeroni in 1797 dat elk constructieprobleem dat door een kompas en een liniaal wordt opgelost, nauwkeurig kan worden opgelost met slechts één kompas. Het klinkt ongelooflijk, maar dat is het ook. En in de 19e eeuw werd bewezen dat elke constructie die met een passer en een liniaal wordt uitgevoerd, met slechts één liniaal kan worden uitgevoerd, op voorwaarde dat een bepaalde cirkel in het constructievlak wordt gespecificeerd en het middelpunt wordt aangegeven.

3. De eenvoudigste taken voor het construeren van geometrische figuren met behulp van een kompas en een liniaal

Overweeg de basisconstructies die het vaakst worden aangetroffen in de praktijk van het oplossen van constructieproblemen. Dergelijke problemen komen al in de eerste hoofdstukken van de schoolcursus aan de orde.

Constructie 1. Een lijnstuk construeren dat gelijk is aan het gegeven.

Gegeven: lengtesegment a.

Bouwen: segment AB met lengte a.

Bouwen:

Bouw 2. Construeert een hoek gelijk aan de gegeven hoek.

Gegeven: AOB.

Bouwen:∟ KMN gelijk aan ∟ AOB.

Bouwen:

Bouw 3. Een segment in tweeën delen (het midden van een segment bouwen).

Gegeven: segment AB.

Bouwen: punt O is het midden van AB.

Bouwen:

Bouw 4. De hoek in twee delen (plot de bissectrice van de hoek).

Gegeven: ABC.

Bouwen:ВD is de bissectrice van ∟АВС.

Bouwen:

Bouw 5. Tekent een loodlijn op een gegeven lijn die door een bepaald punt gaat.

een) Gegeven: lijn a, punt A a.

Bouwen:

recht een.

Gebouw:

B) Gegeven: rechte lijn a, punt A a.

Bouwen: rechte lijn door punt A, loodrecht op

recht een.

Bouwen:

Gebouw 6... Construeert een rechte lijn evenwijdig aan een gegeven rechte lijn en door een bepaald punt.

Gegeven: rechte lijn a, punt A a.

Bouwen: rechte lijn die door punt A gaat, evenwijdig aan rechte lijn a.

Methode I (via twee loodlijnen).

Bouwen:

Methode II (via een parallellogram).

Bouwen:

Bouw 7. Creëert een driehoek aan drie zijden.

Gegeven: segmenten met lengte a, b, c.

Bouwen: ABC.

Bouwen:

Constructie 8. Creëert een driehoek langs twee zijden en een hoek ertussen.

Gegeven: segmenten met lengte b, c, hoek α.

Bouwen: driehoek ABC.

Bouwen:

Constructie 9. Creëert een driehoek langs een zijde en twee aangrenzende hoeken.

Gegeven: lengtesegment c, hoeken α en β.

Bouwen: ABC.

Bouwen:

Bouw 10. Creëert een raaklijn aan een gegeven cirkel die door een bepaald punt gaat.

Gegeven: cirkel (O), punt A daarbuiten.

Bouwen: de raaklijn aan de cirkel ω (O) die door punt A gaat.

Bouwen:

De overwogen taken zijn opgenomen als componenten bij de oplossing van complexere problemen, daarom worden in de toekomst de fasen van de hoofdconstructies niet beschreven.

Het oplossen van bouwproblemen bestaat uit vier onderdelen:

1. Ervan uitgaande dat het probleem is opgelost, tekenen we een geschatte tekening van de gewenste figuur met de hand en onderzoeken dan zorgvuldig de getekende figuur, in een poging dergelijke relaties te vinden tussen de gegevens van het probleem en de gewenste, waardoor we zouden kunnen verminderen het probleem aan anderen bekend eerder. Dit belangrijkste onderdeel van het oplossen van een probleem, dat tot doel heeft een oplossingsplan op te stellen, heet analyse.

2. Wanneer op deze manier een oplossingsplan wordt gevonden, voeren zij die ook uit. bouw.

3. Een bewijs - om de juistheid van het plan te controleren, op basis van bekende stellingen, bewijzen ze dat het resulterende cijfer aan alle vereisten van het probleem voldoet.

4. Studie - worden gesteld door twee vragen:

1) Is er een oplossing mogelijk met alle data?

2) Hoeveel oplossingen zijn er?

Laten we de toepassing van deze fasen bekijken aan de hand van het voorbeeld van het oplossen van het volgende probleem.

Taak: Construeer een driehoek, met de basis b, de hoek A grenzend aan de basis en de som s van de twee laterale zijden.

Analyse: Stel dat het probleem is opgelost, d.w.z. vond zo'n ABS, waarvoor de basis AC = b, ∟BAC = A en AB + BC = s... Beschouw nu de resulterende tekening. Kant ALS, Gelijk B, ∟BAC = A, we weten hoe we moeten bouwen. Het blijft dus zoeken aan de andere kant A zo'n punt V zodat de som AB + BC geëvenaard s... Doorgaan AB, zet het segment opzij ADVERTENTIE gelijk aan s... Nu wordt de vraag zo ver gebracht dat op de rechte lijn ADVERTENTIE vind zo'n punt V die even ver zou zijn van MET en NS... Zo'n punt zou, zoals we weten, op de loodlijn op het segment moeten liggen CD door zijn midden. Punt V bevindt zich op het snijpunt van deze loodlijn met ADVERTENTIE.

Bouwen:

1. Wij bouwen A gelijk aan de gegeven hoek

2. Op zijn zijkanten stellen we het uit AC = b en AD = s

3. Door het midden van een lijnsegment CD teken een loodlijn ZIJN

4. ZIJN kruist over ADVERTENTIE bij het punt V

5. Verbind de punten V en MET

6. ΔABS is de gewenste.

Een bewijs:

Laten we de verkregen ΔABC beschouwen, daarin is ∟A gelijk aan de gegeven hoek (volgens punt # 1 van de constructie). Kant AC = b(punt #2) en feestjes AB en zon tel op tot s (items 2, 3, 4). Daarom, volgens het 1e criterium van gelijkheid van driehoeken, is ΔABS de gewenste.

Studie:

1.Is er met alle data een oplossing mogelijk?

Gezien de constructie merken we dat de opgave met geen enkele data mogelijk is. Inderdaad, als de som s te klein is ingesteld in vergelijking met b, dan is de loodlijn ZIJN mag het segment niet overschrijden ADVERTENTIE(of de voortzetting ervan voorbij punt D snijdt), in dit geval zal de taak onmogelijk zijn.

En, ongeacht de constructie, kan worden gezien dat de taak onmogelijk is als: s< b of s = b, omdat er niet zo'n driehoek kan zijn waarin de som van de twee zijden kleiner of gelijk zou zijn aan de derde zijde.

2. Hoeveel oplossingen zijn er?

In het geval dat het probleem mogelijk is, heeft het maar één oplossing, d.w.z. er is maar één driehoek die voldoet aan de vereisten van het probleem, aangezien het snijpunt van de loodlijn ZIJN met een rechte lijn ADVERTENTIE kan maar op één punt zijn.