Et system af lineære algebraiske ligninger er givet. Ligningssystem

Ligningen har en løsning: hvis mindst en af ​​koefficienterne i de ukendte er forskellig fra nul. I dette tilfælde kaldes enhver dimensionel vektor en løsning til ligningen, hvis ligningen bliver en identitet, når dens koordinater erstattes.

Generelle karakteristika for det tilladte ligningssystem

Beskriv ligningssystemet.

Opløsning:

1. Er der en inkonsistent ligning?(Hvis koefficienterne, i dette tilfælde har ligningen formen: og kaldes kontroversielle.)

• Hvis et system indeholder et inkonsistent, så er et sådant system inkonsekvent og har ingen løsning.

2. Find alle tilladte variabler. (Det ukendte kaldestilladt for et ligningssystem, hvis det indtaster en af ​​systemets ligninger med en koefficient på +1, og ikke indtaster resten af ​​ligningerne (dvs. det kommer ind med en koefficient lig med nul).

3. Er ligningssystemet tilladt? (Ligningssystemet kaldes opløst, hvis hver ligning i systemet indeholder en løst ukendt, blandt hvilke der ikke er nogen sammenfaldende)

De tilladte ukendte, taget en ad gangen fra hver ligning i systemet, dannes komplet sæt af tilladte ukendte systemer. (i vores eksempel er det)

De tilladte ukendte, der er inkluderet i det komplette sæt, kaldes også grundlæggende(), og ikke inkluderet i sættet - ledig ().

På dette stadium er det vigtigt at forstå, hvad der er løst ukendt(inkluderet i basis og gratis).

Generelt delvis basisløsning

Generel løsning af det tilladte ligningssystem er sættet af udtryk for de tilladte ukendte i form af frie termer og frie ukendte:

Privat beslutning kaldes en løsning opnået fra det generelle for specifikke værdier af de frie variable og ukendte.

Grundlæggende løsning er en bestemt løsning opnået fra den generelle ved nulværdier af de frie variable.

• Den grundlæggende løsning (vektor) kaldes degenerere, hvis antallet af dens ikke-nul-koordinater er mindre end antallet af tilladte ukendte.
• Grundløsningen hedder ikke-degenereret, hvis antallet af dets ikke-nul-koordinater er lig med antallet af tilladte ukendte for systemet inkluderet i det komplette sæt.

Sætning (1)

Det tilladte ligningssystem er altid konsistent(fordi den har mindst én løsning); Desuden, hvis systemet ikke har nogen gratis ubekendte,(det vil sige, at i ligningssystemet er alle tilladte inkluderet i grundlaget) så er det defineret(har en unik løsning); hvis der er mindst én fri variabel, er systemet ikke defineret(har et uendeligt antal løsninger).

Opløsning:

1. Tjek om systemet er tilladt?

• Systemet er tilladt (fordi hver af ligningerne indeholder en tilladt ukendt)

2. Vi inkluderer de tilladte ukendte i sættet - en fra hver ligning.

3. Vi skriver den generelle løsning ned, afhængigt af hvilke tilladte ukendte vi inkluderede i sættet.

4. At finde en privat løsning. For at gøre dette sætter vi lighedstegn mellem de frie variabler, som vi ikke inkluderede i sættet, for at være lig med vilkårlige tal.

Svar: privat beslutning(en af ​​mulighederne)

5. At finde den grundlæggende løsning. For at gøre dette sætter vi lighedstegn mellem de frie variable, som vi ikke inkluderede i sættet, til nul.

Elementære transformationer af lineære ligninger

Systemer af lineære ligninger reduceres til ækvivalente tilladte systemer ved hjælp af elementære transformationer.

Sætning (2)

Hvis nogen gange systemets ligning med et tal, der ikke er nul, og lad resten af ​​ligningerne være uændrede, så . (det vil sige, hvis du multiplicerer venstre og højre side af ligningen med det samme tal, får du en ligning svarende til den givne)

Sætning (3)

Hvis tilføje en anden til enhver ligning i systemet, og lad alle andre ligninger være uændrede få et system svarende til det givne. (det vil sige, hvis du tilføjer to ligninger (tillægger deres venstre og højre del), får du en ligning svarende til dataene)

Resultat fra sætninger (2 og 3)

Hvis føje en anden ligning til en ligning ganget med et bestemt tal, og lad alle andre ligninger være uændrede, så får vi et system svarende til det givne.

Formler til genberegning af systemkoefficienter

Hvis vi har et ligningssystem, og vi vil konvertere det til et tilladt ligningssystem, vil Jordan-Gauss-metoden hjælpe os med dette.

Jordan transformation med et opløsende element giver dig mulighed for at få den opløste ukendte for ligningssystemet i ligningen med tallet. (eksempel 2).

Lad os sige, at vi ønsker at gøre det ukendte i den nederste ligning til en løst ukendt. For at gøre dette skal vi dividere med, så summen er .

Når man dividerer en ligning med et tal med , genberegnes dens koefficienter i henhold til formlerne:

For at udelukke fra ligningen med tallet skal du gange ligningen med tallet med og lægge til denne ligning.

Sætning (4) Om reduktion af antallet af systemligninger.

Hvis ligningssystemet indeholder en triviel ligning, kan den udelukkes fra systemet, og der opnås et system svarende til det oprindelige.

Sætning (5) Om ligningssystemets uforenelighed.

Hvis et ligningssystem indeholder en inkonsistent ligning, så er den inkonsistent.

Jordan-Gauss metode algoritme

Algoritmen til løsning af ligningssystemer ved Jordan-Gauss-metoden består af et antal trin af samme type, som hver udfører handlinger i følgende rækkefølge:

1. Tjekker om systemet er inkonsekvent. Hvis et system indeholder en inkonsistent ligning, så er den inkonsistent.
2. Muligheden for at reducere antallet af ligninger kontrolleres. Hvis systemet indeholder en triviel ligning, er den overstreget.
3. Hvis ligningssystemet er tilladt, så nedskriv systemets generelle løsning og om nødvendigt særlige løsninger.
4. Hvis systemet ikke er tilladt, så i ligningen, der ikke indeholder en tilladt ukendt, vælges et opløsningselement, og der udføres en Jordan-transformation med dette element.
5. Gå derefter tilbage til punkt 1.

At finde: to generelle og to tilsvarende basisløsninger

Opløsning:

Beregningerne er vist i følgende tabel:

Handlinger på ligninger er vist til højre i tabellen. Pilene viser, til hvilken ligning ligningen med det opløsende element ganget med en passende faktor tilføjes.

De første tre rækker i tabellen indeholder koefficienterne for de ukendte og de rigtige dele af det oprindelige system. Resultaterne af den første Jordan-transformation med en opløsning lig med en er angivet i linje 4, 5, 6. Resultaterne af den anden Jordan-transformation med en opløsning lig med (-1) er angivet i linje 7, 8, 9. Da den tredje ligning er triviel, den kan ikke tages i betragtning.

Dit privatliv er vigtigt for os. Af denne grund har vi udviklet en privatlivspolitik, der beskriver, hvordan vi bruger og opbevarer dine oplysninger. Læs venligst vores privatlivspolitik og lad os vide, hvis du har spørgsmål.

Indsamling og brug af personlige oplysninger

Personoplysninger refererer til data, der kan bruges til at identificere en bestemt person eller kontakte ham.

Du kan blive bedt om at give dine personlige oplysninger til enhver tid, når du kontakter os.

Det følgende er nogle eksempler på de typer af personlige oplysninger, vi kan indsamle, og hvordan vi kan bruge sådanne oplysninger.

Hvilke personlige oplysninger indsamler vi:

• Når du indsender en ansøgning på siden, kan vi indsamle forskellige oplysninger, herunder dit navn, telefonnummer, e-mailadresse mv.

Sådan bruger vi dine personlige oplysninger:

• De personlige oplysninger, vi indsamler, giver os mulighed for at kontakte dig og informere dig om unikke tilbud, kampagner og andre begivenheder og kommende begivenheder.
• Fra tid til anden kan vi bruge dine personlige oplysninger til at sende dig vigtige meddelelser og meddelelser.
• Vi kan også bruge personlige oplysninger til interne formål, såsom at udføre revisioner, dataanalyse og forskellige undersøgelser for at forbedre de tjenester, vi leverer, og give dig anbefalinger vedrørende vores tjenester.
• Hvis du deltager i en præmielodtrækning, konkurrence eller lignende incitament, kan vi bruge de oplysninger, du giver, til at administrere sådanne programmer.

Videregivelse til tredjeparter

Vi videregiver ikke oplysninger modtaget fra dig til tredjeparter.

Undtagelser:

• I tilfælde af at det er nødvendigt - i overensstemmelse med loven, retsordenen, i retssager og / eller baseret på offentlige anmodninger eller anmodninger fra statslige organer på Den Russiske Føderations område - videregive dine personlige oplysninger. Vi kan også videregive oplysninger om dig, hvis vi vurderer, at en sådan videregivelse er nødvendig eller passende af hensyn til sikkerhed, retshåndhævelse eller andre offentlige interesser.
• I tilfælde af en omorganisering, fusion eller salg kan vi overføre de personlige oplysninger, vi indsamler, til den relevante tredjepartsefterfølger.

Beskyttelse af personlige oplysninger

Vi tager forholdsregler - herunder administrative, tekniske og fysiske - for at beskytte dine personlige oplysninger mod tab, tyveri og misbrug samt mod uautoriseret adgang, offentliggørelse, ændring og ødelæggelse.

Opretholdelse af dit privatliv på virksomhedsniveau

For at sikre, at dine personlige oplysninger er sikre, kommunikerer vi privatlivets fred og sikkerhedspraksis til vores medarbejdere og håndhæver strengt privatlivspraksis.

• Systemer m lineære ligninger med n ukendt.
  Løsning af et system af lineære ligninger er sådan et sæt tal ( x 1, x 2, …, x n), ved at erstatte hvilken i hver af systemets ligninger, den korrekte lighed opnås.
  hvor aij, i = 1, …, m; j = 1, …, n er systemets koefficienter;
  b i, i = 1, …, m- gratis medlemmer;
  x j, j = 1, …, n- ukendt.
  Ovenstående system kan skrives i matrixform: A X = B,
  
  
  
  
  hvor ( EN|B) er systemets hovedmatrix;
  EN— udvidet matrix af systemet;
  x— kolonne af ukendte;
  B er en kolonne af gratis medlemmer.
  Hvis matrixen B er ikke en nulmatrix ∅, så kaldes dette system af lineære ligninger inhomogent.
  Hvis matrixen B= ∅, så kaldes dette lineære ligningssystem homogent. Et homogent system har altid en nul (trivial) løsning: x 1 \u003d x 2 \u003d ..., x n \u003d 0.
  Fælles system af lineære ligninger er et system af lineære ligninger, der har en løsning.
  Inkonsekvent system af lineære ligninger er et system af lineære ligninger, der ikke har nogen løsning.
  Bestemt system af lineære ligninger er et system af lineære ligninger, der har en unik løsning.
  Ubestemt system af lineære ligninger er et system af lineære ligninger, der har et uendeligt antal løsninger.
• Systemer med n lineære ligninger med n ukendte
  Hvis antallet af ukendte er lig med antallet af ligninger, så er matrixen kvadratisk. Matrixdeterminanten kaldes hoveddeterminanten i systemet af lineære ligninger og er betegnet med symbolet Δ.
  Cramer metode til løsning af systemer n lineære ligninger med n ukendt.
  Cramers regel.
  Hvis hoveddeterminanten for et system af lineære ligninger ikke er lig med nul, så er systemet konsistent og defineret, og den eneste løsning beregnes ved hjælp af Cramer-formlerne:
  hvor Δ i er determinanterne opnået fra hoveddeterminanten af ​​systemet Δ ved at erstatte jeg kolonne til kolonnen af ​​gratis medlemmer. .
• Systemer af m lineære ligninger med n ukendte
  Kronecker-Cappelli teorem.
  
  
  For at dette system af lineære ligninger skal være konsistent, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at rangeringen af ​​systemets matrix er lig med rangeringen af ​​systemets udvidede matrix, rang(Α) = rang(Α|B).
  Hvis rang(Α) ≠ rang(Α|B), så har systemet åbenbart ingen løsninger.
  Hvis rang(Α) = rang(Α|B), så er to tilfælde mulige:
  1) rang(Α) = n(til antallet af ukendte) - løsningen er unik og kan opnås ved Cramers formler;
  2) rang(Α)< n − der er uendeligt mange løsninger.
• Gauss metode til løsning af lineære ligningssystemer
  
  
  Lad os komponere den udvidede matrix ( EN|B) af det givne system af koefficienter på den ukendte og højre side.
  Gauss-metoden eller metoden til eliminering af ukendte består i at reducere den udvidede matrix ( EN|B) ved hjælp af elementære transformationer over dens rækker til en diagonal form (til en øvre trekantet form). Vender vi tilbage til ligningssystemet, bestemmes alle ukendte.
  Elementære transformationer på strenge omfatter følgende:
  1) at bytte to linjer;
  2) at gange en streng med et andet tal end 0;
  3) tilføjelse af en anden streng til strengen ganget med et vilkårligt tal;
  4) kassere en nulstreng.
  En udvidet matrix reduceret til en diagonal form svarer til et lineært system svarende til det givne, hvis løsning ikke volder vanskeligheder. .
• System af homogene lineære ligninger.
  Det homogene system har formen:
  
  det svarer til matrixligningen A X = 0.
  1) Et homogent system er altid konsistent, da r(A) = r(A|B), er der altid en nulløsning (0, 0, …, 0).
  2) For at et homogent system skal have en opløsning, der ikke er nul, er det nødvendigt og tilstrækkeligt r = r(A)< n , hvilket svarer til Δ = 0.
  3) Hvis r< n , så Δ = 0, så er der frie ubekendte c 1, c 2, …, c n-r, systemet har ikke-trivielle løsninger, og der er uendeligt mange af dem.
  4) Generel løsning x på r< n kan skrives i matrixform som følger:
  X \u003d c 1 X 1 + c 2 X 2 + ... + c n-r X n-r,
  hvor er løsningerne X1, X2, …, Xn-r danne et grundlæggende system af løsninger.
  5) Det grundlæggende system af løsninger kan opnås fra den generelle løsning af det homogene system:
  
  ,
  hvis vi sekventielt antager, at værdierne af parametrene er (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1).
  Dekomponering af den generelle løsning i form af det grundlæggende system af løsninger er en registrering af den generelle løsning som en lineær kombination af løsninger, der tilhører det grundlæggende system.
  Sætning. For at et system af lineære homogene ligninger skal have en løsning, der ikke er nul, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at Δ ≠ 0.
  Så hvis determinanten er Δ ≠ 0, så har systemet en unik løsning.
  Hvis Δ ≠ 0, så har systemet af lineære homogene ligninger et uendeligt antal løsninger.
  Sætning. For at et homogent system skal have en opløsning, der ikke er nul, er det nødvendigt og tilstrækkeligt r(A)< n .
  Bevis:
  1) r kan ikke være mere n(matrixrangering overstiger ikke antallet af kolonner eller rækker);
  2) r< n , fordi hvis r=n, så er hoveddeterminanten for systemet Δ ≠ 0, og ifølge Cramers formler er der en unik triviel løsning x 1 \u003d x 2 \u003d ... \u003d x n \u003d 0, hvilket er i modstrid med betingelsen. Midler, r(A)< n .
  Følge. For at få et homogent system n lineære ligninger med n ukendte har en løsning, der ikke er nul, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at Δ = 0.

Opløsning. A= . Find r(A). Fordi matrixen A har orden 3x4, så er den højeste orden af ​​mindreårige 3. I dette tilfælde er alle mindreårige af tredje orden lig nul (tjek det selv). Midler, r(A)< 3. Возьмем главный grundlæggende bifag = -5-4 = -9 ≠ 0. Derfor r(A) =2.

Overveje matrix FRA = .

Mindre tredje bestille ≠ 0. Derfor er r(C) = 3.

Siden r(A) ≠ r(C), så er systemet inkonsekvent.

Eksempel 2 Bestem kompatibiliteten af ​​ligningssystemet

Løs dette system, hvis det er kompatibelt.

Opløsning.

A =, C = . Det er klart, at r(А) ≤ 3, r(C) ≤ 4. Da detC = 0, så er r(C)< 4. Overveje mindre tredje bestille, placeret i øverste venstre hjørne af matrixen A og C: = -23 ≠ 0. Derfor er r(A) = r(C) = 3.

Nummer ukendt i systemet n=3. Så systemet har en unik løsning. I dette tilfælde er den fjerde ligning summen af ​​de første tre og kan ignoreres.

Ifølge Cramers formler vi får x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23.

2.4. Matrix metode. Gauss metode

system n lineære ligninger fra n ubekendte kan løses matrix metode ifølge formlen X \u003d A -1 B (for Δ ≠ 0), som fås ud fra (2) ved at gange begge dele med A -1 .

Eksempel 1. Løs et ligningssystem

ved matrixmetoden (i afsnit 2.2 blev dette system løst ved hjælp af Cramer-formlerne)

Opløsning. A=10 ≠ 0 A = - ikke-singular matrix.

= (bekræft dette selv ved at udføre de nødvendige beregninger).

A -1 \u003d (1 / Δ) x \u003d .

X \u003d A -1 B \u003d x= .

Svar: .

Fra et praktisk synspunkt matrixmetode og formler Kramer er forbundet med en stor mængde beregning, så der gives fortrinsret til Gauss metode, som består i successiv eliminering af ukendte. For at gøre dette reduceres ligningssystemet til et ækvivalent system med en trekantet forstærket matrix (alle elementer under hoveddiagonalen er lig med nul). Disse handlinger kaldes direkte bevægelse. Fra det resulterende trekantsystem findes variablerne ved hjælp af successive substitutioner (tilbage).

Eksempel 2. Løs systemet ved hjælp af Gauss-metoden

(Dette system blev løst ovenfor ved hjælp af Cramer-formlen og matrixmetoden).

Opløsning.

Direkte flytning. Vi skriver den udvidede matrix og ved hjælp af elementære transformationer bringer vi den til en trekantet form:

~ ~ ~ ~ .

Få system

Omvendt bevægelse. Fra den sidste ligning finder vi x 3 = -6 og indsæt denne værdi i den anden ligning:

x 2 = - 11/2 - 1/4x 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

x 1 = 2 -x 2 + x 3 = 2+4-6 = 0.

Svar: .

2.5. Generel løsning af et system af lineære ligninger

Lad et system af lineære ligninger være givet = b i(jeg=). Lad r(A) = r(C) = r, dvs. systemet er samarbejdende. Enhver mindre end nul af orden r er grundlæggende bifag. Uden tab af generalitet vil vi antage, at den grundlæggende mol er placeret i de første r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) rækker og kolonner i matrix A. Hvis vi kasserer de sidste mr-ligninger i systemet, skriver vi en forkortet system:

som svarer til originalen. Lad os navngive de ukendte x 1,….x r grundlæggende, og xr+1,…,xr fri og flyt termerne, der indeholder de frie ukendte, til højre side af ligningerne i det trunkerede system. Vi får systemet med hensyn til de grundlæggende ukendte:

som for hvert sæt værdier af gratis ukendte x r +1 \u003d C 1, ..., x n \u003d C n-r har den eneste løsning x 1 (C 1, ..., C n-r), ..., x r (C 1, ..., C n-r), fundet af Cramers regel.

Passende løsning forkortet, og derfor har det oprindelige system formen:

Х(С 1 ,…, С n-r) = - generel løsning af systemet.

Hvis de frie ubekendte i den generelle løsning får nogle numeriske værdier, så får vi løsningen af ​​det lineære system, kaldet private.

Eksempel. Etabler kompatibilitet og find den overordnede løsning af systemet

Opløsning. A = , С = .

Så hvordan r(A)= r(C) = 2 (se selv), så er det originale system kompatibelt og har et uendeligt antal løsninger (da r< 4).

Den Gaussiske metode har en række ulemper: det er umuligt at vide, om systemet er konsistent eller ej, før alle de transformationer, der er nødvendige i den Gaussiske metode, er blevet udført; Gauss-metoden er ikke egnet til systemer med bogstavkoefficienter.

Overvej andre metoder til løsning af lineære ligningssystemer. Disse metoder bruger begrebet rang af en matrix og reducerer løsningen af ​​ethvert fælles system til løsningen af ​​et system, som Cramers regel gælder for.

Eksempel 1 Find den generelle løsning af følgende system af lineære ligninger ved hjælp af det fundamentale system af løsninger af det reducerede homogene system og en særlig løsning af det inhomogene system.

1. Vi laver en matrix EN og den udvidede matrix af systemet (1)

2. Udforsk systemet (1) for kompatibilitet. For at gøre dette finder vi rækkerne af matricerne EN og https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Hvis det viser sig at , så er systemet (1) uforenelig. Hvis vi får det , så er dette system konsekvent, og vi løser det. (Konsistensundersøgelsen er baseret på Kronecker-Capelli-sætningen).

en. Vi finder rA.

At finde rA, vil vi overveje successivt ikke-nul mindre af den første, anden, osv. rækkefølge af matricen EN og de mindreårige omkring dem.

M1=1≠0 (1 er taget fra det øverste venstre hjørne af matricen MEN).

Grænsende M1 den anden række og anden kolonne i denne matrix. . Vi fortsætter til grænsen M1 den anden linje og den tredje kolonne..gif" width="37" height="20 src=">. Nu afgrænser vi den ikke-nul moll М2′ anden orden.

Vi har: (fordi de to første kolonner er ens)

(fordi anden og tredje linje er proportional).

Det ser vi rA=2, og er basis minor af matricen EN.

b. Vi finder .

Tilstrækkeligt grundlæggende bifag М2′ matricer EN grænse med en kolonne af frie medlemmer og alle linjer (vi har kun den sidste linje).

. Det følger heraf, at М3′′ forbliver basis-moll af matrixen https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Fordi М2′- basis minor af matricen EN systemer (2) , så svarer dette system til systemet (3) , bestående af de to første ligninger i systemet (2) (til М2′ er i de første to rækker af matrix A).

(3)

Da det grundlæggende bifag er https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

I dette system, to gratis ukendte ( x2 Og x4 ). Derfor FSR systemer (4) består af to løsninger. For at finde dem tildeler vi gratis ukendte til (4) værdier først x2=1 , x4=0 , og så - x2=0 , x4=1 .

På x2=1 , x4=0 vi får:

.

Dette system har allerede Den eneste ting løsning (den kan findes ved Cramers regel eller ved enhver anden metode). Hvis vi trækker den første ligning fra den anden ligning, får vi:

Hendes beslutning bliver x1= -1 , x3=0 . I betragtning af værdierne x2 Og x4 , som vi har givet, opnår vi den første grundlæggende løsning af systemet (2) : .

Nu sætter vi ind (4) x2=0 , x4=1 . Vi får:

.

Vi løser dette system ved hjælp af Cramers sætning:

.

Vi får den anden grundlæggende løsning af systemet (2) : .

Løsninger β1 , β2 og sminke FSR systemer (2) . Så vil dens generelle løsning være

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Her C1 , C2 er vilkårlige konstanter.

4. Find en privat opløsning heterogent system(1) . Som i stk 3 , i stedet for systemet (1) overveje det tilsvarende system (5) , bestående af de to første ligninger i systemet (1) .

(5)

Vi overfører de frie ukendte til højre x2 Og x4.

(6)

Lad os give gratis ubekendte x2 Og x4 vilkårlige værdier, f.eks. x2=2 , x4=1 og sæt dem i (6) . Lad os få systemet

Dette system har en unik løsning (fordi dets determinant М2′0). Løser vi det (ved hjælp af Cramer-sætningen eller Gauss-metoden), får vi x1=3 , x3=3 . I betragtning af værdierne af de gratis ubekendte x2 Og x4 , vi får særlig løsning af et inhomogent system(1)a1=(3,2,3,1).

5. Nu er det tilbage at skrive generel opløsning α af et inhomogent system(1) : det er lig summen privat beslutning dette system og generel løsning af dets reducerede homogene system (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Det betyder: (7)

6. Undersøgelse. For at tjekke om du har løst systemet korrekt (1) , vi har brug for en generel løsning (7) afløser i (1) . Hvis hver ligning bliver en identitet ( C1 Og C2 skal destrueres), så er løsningen fundet korrekt.

Vi erstatter (7) for eksempel kun i systemets sidste ligning (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Vi får: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Hvor -1=-1. Vi har fået en identitet. Det gør vi med alle andre ligninger i systemet (1) .

Kommentar. Verifikation er normalt ret besværligt. Vi kan anbefale følgende "delvis verifikation": i den samlede løsning af systemet (1) tildel nogle værdier til vilkårlige konstanter og substituer kun den resulterende bestemte løsning i de kasserede ligninger (dvs. i disse ligninger fra (1) der ikke indgår i (5) ). Hvis du får identiteter, så sandsynligvis, løsning af systemet (1) fundet korrekt (men sådan en kontrol giver ikke fuld garanti for rigtigheden!). For eksempel, hvis i (7) sætte C2=- 1 , C1=1, så får vi: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Substituerer vi den sidste ligning af system (1), har vi: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , dvs. –1=–1. Vi har fået en identitet.

Eksempel 2 Find en generel løsning til et system af lineære ligninger (1) , der udtrykker de vigtigste ukendte i form af gratis.

Opløsning. Som i eksempel 1, komponer matricer EN og https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> af disse matricer. Nu forlader vi kun disse ligninger i systemet (1) , hvis koefficienter er inkluderet i denne grundlæggende minor (dvs. vi har de to første ligninger) og overveje systemet, der består af dem, som er ækvivalent med system (1).

Lad os overføre de frie ubekendte til højre side af disse ligninger.

system (9) vi løser efter Gauss-metoden, idet vi betragter de rigtige dele som frie medlemmer.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Mulighed 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Mulighed 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Mulighed 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Mulighed 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">