Règles de construction à l'aide d'un compas et d'une règle. Dessiner avec une boussole et une règle

S'il est bien naturel qu'en supposant une plus grande variété d'outils, il s'avère possible de résoudre un ensemble plus large de problèmes de construction, alors on pourrait prévoir qu'au contraire, sous les restrictions imposées aux outils, la classe des problèmes solubles se rétrécira. D'autant plus remarquable doit être considérée la découverte faite par l'italien Mascheroni (1750-1800) :toutes les constructions géométriques réalisées avec un compas et une règle peuvent être réalisées avec un seul compas. Il convient, bien sûr, de préciser qu'il est en fait impossible de tracer une ligne droite à travers deux points donnés sans règle, donc cette construction de base n'est pas couverte par la théorie de Mascheroni. Au lieu de cela, on doit supposer qu'une ligne est donnée si deux de ses points sont donnés. Mais à l'aide d'une seule boussole, il est possible de trouver le point d'intersection de deux droites ainsi définies, ou le point d'intersection d'une droite avec un cercle.

L'exemple le plus simple de la construction de Mascheroni est probablement le doublement d'un segment AB donné. La solution a déjà été donnée aux pages 174-175. De plus, aux pages 175-176, nous avons appris comment diviser ce segment en deux. Voyons maintenant comment diviser en deux l'arc de cercle AB de centre O. Voici une description de cette construction (Fig. 47). Avec le rayon AO on trace deux arcs de centres A et B. Du point O on pose sur ces arcs deux tels arcs OP et OQ tels que OP = QO = AB... On trouve alors le point R d'intersection de l'arc de centre P et de rayon PB et l'arc de centre Q et de rayon QA. Enfin, en prenant le segment OR comme rayon, nous décrivons l'arc avec le centre P ou Q jusqu'à l'intersection avec l'arc AB - le point d'intersection et est le milieu souhaité de l'arc AB. La démonstration est laissée au lecteur en exercice.

Il serait impossible de prouver l'affirmation de base de Mascheroni en indiquant, pour chaque construction réalisée avec un compas et une règle, comment elle peut être réalisée avec un seul compas : après tout, les constructions possibles sont innombrables. Mais nous atteindrons le même objectif si nous établissons que chacune des constructions de base suivantes est réalisable avec une seule boussole :

1. Dessinez un cercle si son centre et son rayon sont spécifiés.
2. Trouvez les points d'intersection de deux cercles.
3. Trouver les points d'intersection d'une droite et d'un cercle.
4. Trouvez le point d'intersection de deux droites.

Toute construction géométrique (au sens usuel, avec l'hypothèse d'un compas et d'une règle) se compose de l'exécution d'une suite finie de ces constructions élémentaires. Que les deux premiers d'entre eux soient réalisables avec une seule boussole est clair directement. Des constructions plus difficiles 3 et 4 sont réalisées en utilisant les propriétés d'inversion discutées dans le paragraphe précédent.

Passons à la construction 3 : on trouve les points d'intersection de ce cercle C avec une droite passant par ces points A et B. On trace des arcs de centres A et B et de rayons, respectivement égaux à AO et BO, à l'exception du point O , ils se coupent au point P. On construit alors le point Q opposé au point P par rapport au cercle C (voir la construction décrite page 174). Enfin, tracez un cercle de centre Q et de rayon QO (il coupera certainement avec C) : ses points d'intersection X et X" par le cercle C seront ceux désirés. Pour le prouver, il suffit d'établir que chacun des points X et X" est à la même distance de O et P (comme pour les points A et B, leur propriété analogue découle immédiatement de la construction). En effet, il suffit de se référer au fait que le point opposé au point Q est espacé des points X et X" d'une distance égale au rayon du cercle C (voir page 173). Il est à noter que le cercle passant par les points X, X" et O, est la droite inverse AB en inversion par rapport au cercle C, puisque ce cercle et la droite AB coupent C aux mêmes points. (Pendant l'inversion, les points du cercle de base restent immobiles.) La construction indiquée n'est impraticable que si la ligne AB passe par le centre C. Mais alors les points d'intersection peuvent être trouvés au moyen de la construction décrite à la page 178 comme les milieux des arcs C obtenus lorsque l'on trace un cercle arbitraire de centre B, coupant C aux points B 1 et B 2.

La méthode pour tracer un cercle, l'inverse d'une droite "reliant deux points donnés, donne immédiatement une construction qui résout le problème 4. Soit les droites données par les points A, B et A", B "(Fig. 50) Dessiner un cercle arbitraire C et en utilisant la méthode ci-dessus, nous allons construire des cercles opposés aux lignes droites AB et A "B". Ces cercles se coupent au point O et à un autre point Y, le point X, opposé au point Y, est le point d'intersection souhaité : comment le construire a déjà été expliqué plus haut. le point désiré, cela ressort clairement du fait que Y est le seul point opposé à un point appartenant simultanément aux deux droites AB et A "B", donc, le point X, opposé à Y, doit reposer simultanément sur AB et A "B" ...

Ces deux constructions terminent la preuve de l'équivalence entre les constructions de Mascheroni, pour lesquelles il est permis d'utiliser uniquement des compas, et les constructions géométriques ordinaires avec compas et règles.

Nous ne nous souciions pas de la grâce de la solution des problèmes individuels que nous considérions ici, car notre objectif était de découvrir le sens intérieur des constructions de Mascheroni. Mais à titre d'exemple, nous indiquerons également la construction d'un pentagone régulier ; plus précisément, il s'agit de trouver sur un cercle cinq points pouvant servir de sommets à un pentagone inscrit régulier.

Soit A un point quelconque du cercle K. Le côté d'un hexagone inscrit régulier étant égal au rayon du cercle, il ne sera pas difficile de reporter les points B, C, D sur K tels que AB = BC = CD = 60° (Fig. 51). Tracez des arcs de centres A et D avec un rayon égal à AC ; laissez-les se couper au point X. Alors, si O est le centre de K, l'arc de centre A et de rayon OX coupera K au point F, qui est le milieu de l'arc BC (voir page 178). Puis, avec un rayon égal au rayon K, on ​​décrit des arcs de centre F, coupant K aux points G et H. Soit Y un point dont les distances aux points G et H sont égales à OX et qui est séparé de X par centre O. Dans ce cas, le segment AY en temps est le côté du pentagone recherché. La démonstration est présentée au lecteur sous forme d'exercice. Il est intéressant de noter que seuls trois rayons différents sont utilisés lors de la construction.

En 1928, le mathématicien danois Elmslev trouva dans une librairie de Copenhague un exemplaire d'un livre intitulé Euclide Danicus publié en 1672 par un auteur inconnu G. Morom. De la page de titre, il a été possible de conclure qu'il ne s'agissait que d'une des versions des "Éléments" euclidiens, équipée, peut-être, d'un commentaire éditorial. Mais en y regardant de plus près, il s'est avéré qu'il contenait une solution complète au problème de Mascheroni, trouvé bien avant Mascheroni.

Des exercices. Dans ce qui suit, une description des constructions de Mohr est donnée. Vérifiez s'ils sont corrects. Pourquoi peut-on prétendre qu'ils résolvent le problème de Mascheroni ?

S'inspirant des résultats de Mascheroni, Jacob Steiner (1796-1863) s'est efforcé d'étudier des constructions réalisables avec une seule règle. Bien entendu, la règle seule ne vous emmène pas au-delà des limites d'un champ numérique donné, et elle est donc insuffisante pour réaliser toutes les constructions géométriques au sens classique. Mais d'autant plus remarquables sont les résultats obtenus par Steiner avec la restriction introduite par lui - n'utiliser la boussole qu'une seule fois. Il a prouvé que toutes les constructions sur l'avion, qui peuvent être réalisées à l'aide d'un compas et d'une règle, peuvent également être réalisées à l'aide d'une seule règle, à condition qu'il y ait un seul cercle fixe avec un centre. Ces constructions impliquent l'utilisation de méthodes projectives et seront décrites plus loin (voir p. 228).

* On ne peut pas se passer d'un cercle, et, en plus, d'un centre. Par exemple, si un cercle est donné, mais que son centre n'est pas spécifié, il est alors impossible de trouver le centre à l'aide d'une seule règle. Nous allons maintenant le prouver, en nous référant cependant à un fait qui sera établi plus loin (voir p. 252) : il y a une telle transformation du plan en lui-même que a) le cercle donné reste immobile, b) toute droite va en ligne droite, avec ) le centre du cercle fixe ne reste pas fixe, mais se déplace. L'existence même d'une telle transformation témoigne de l'impossibilité de construire le centre d'un cercle donné à l'aide d'une seule règle. En fait, quel que soit le procédé de construction, il se résume à plusieurs étapes distinctes, consistant à tracer des droites et à trouver leurs intersections entre elles ou avec un cercle donné. Imaginons maintenant que toute la figure dans son ensemble soit un cercle et que toutes les lignes tracées le long d'une règle lors de la construction du centre soient soumises à une transformation dont nous avons supposé ici l'existence. Alors il est clair que le chiffre obtenu après la transformation satisferait aussi à toutes les exigences de la construction ; mais la construction indiquée par cette figure conduirait à un point autre que le centre du cercle donné. Cela signifie que la construction en question est impossible.

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✪ 7e année, Leçon 22, Constructions avec une boussole et une règle

✪ Geometry 7 Circle Draw avec boussole et règle

Tracez un triangle sur deux côtés et un angle entre eux

✪ Géométrie 7 Exemples de problèmes de construction

✪ 7e année, leçon 23, exemples de tâches de construction

Les sous-titres

Exemples de

problème de bissection... À l'aide d'une boussole et d'une règle, divisez ce segment UN B en deux parties égales. L'une des solutions est illustrée sur la figure :

• Tracez des cercles avec une boussole avec le centre aux points UNE et B rayon UN B.
• Trouver les points d'intersection P et Q deux cercles construits (arcs).
• Tracez un segment ou une ligne le long de la règle passant par les points P et Q.
• Trouver le milieu souhaité du segment UN B- point d'intersection UN B et QP.

Définition formelle

Dans les problèmes de construction, un ensemble des objets suivants sont considérés : tous les points du plan, toutes les droites du plan et tous les cercles du plan. Dans les conditions du problème, un ensemble d'objets est initialement spécifié (considéré comme construit). Il est permis d'ajouter (construire) à l'ensemble des objets construits :

1. point arbitraire;
2. un point arbitraire sur une droite donnée ;
3. un point arbitraire sur un cercle donné ;
4. le point d'intersection de deux droites données ;
5. points d'intersection / tangence d'une droite donnée et d'un cercle donné ;
6. points d'intersection / tangence de deux cercles spécifiés ;
7. une droite arbitraire passant par un point donné ;
8. une droite passant par deux points donnés ;
9. un cercle arbitraire centré en un point donné ;
10. un cercle arbitraire avec un rayon égal à la distance entre deux points spécifiés ;
11. un cercle centré au point spécifié et avec un rayon égal à la distance entre les deux points spécifiés.

Il est nécessaire d'utiliser un nombre fini de ces opérations pour construire un autre ensemble d'objets qui sont dans une relation donnée avec l'ensemble d'origine.

La solution au problème de construction contient trois parties essentielles :

1. Description de la méthode de construction d'un ensemble donné.
2. Preuve que l'ensemble construit de la manière décrite est bien dans une relation donnée avec l'ensemble d'origine. Habituellement, la preuve de la construction est effectuée comme une preuve habituelle du théorème, basée sur des axiomes et d'autres théorèmes prouvés.
3. Analyse de la méthode de construction décrite pour son applicabilité à différentes variantes de conditions initiales, ainsi que pour l'unicité ou la non-unicité de la solution obtenue par la méthode décrite.

Tâches connues

Un autre problème bien connu et insoluble à l'aide d'un compas et d'une règle est la construction d'un triangle à partir de trois longueurs données des bissectrices. Cette tâche reste insoluble même avec un outil qui effectue une trisection d'angle, comme un tomahawk.

Segments de ligne autorisés pour la construction à l'aide d'un compas et d'une règle

A l'aide de ces outils, il est possible de créer un segment de ligne de longueur :

Pour construire un segment avec une longueur numériquement égale au produit, au quotient et à la racine carrée des longueurs des segments spécifiés, il est nécessaire de spécifier un segment unitaire sur le plan de construction (c'est-à-dire un segment de longueur 1). Il est impossible d'extraire des racines de segments avec d'autres degrés naturels qui ne sont pas une puissance de 2 à l'aide d'une boussole et d'une règle. Ainsi, par exemple, il est impossible de construire un segment de longueur à l'aide d'un compas et d'une règle à partir d'un segment unitaire. Ce fait, en particulier, implique que le problème du doublement d'un cube est indécidable.

Constructions possibles et impossibles

D'un point de vue formel, la solution de tout problème de construction se réduit à la solution graphique d'une équation algébrique, et les coefficients de cette équation sont liés aux longueurs des segments donnés. Par conséquent, nous pouvons dire que le problème de construction est réduit à trouver les racines réelles d'une équation algébrique.

Par conséquent, il est pratique de parler de la construction d'un nombre - une solution graphique à une équation d'un certain type.

Sur la base des constructions possibles de segments, les constructions suivantes sont possibles :

• Construction de solutions d'équations linéaires.
• Construction de solutions d'équations qui se réduisent à des solutions d'équations quadratiques.

En d'autres termes, il est possible de construire uniquement des segments égaux à des expressions arithmétiques en utilisant la racine carrée des nombres d'origine (étant donné la longueur des segments).

Il est important de noter qu'il est essentiel que la solution soit exprimée en utilisant carré racines, et non des radicaux de degré arbitraire. Même si une équation algébrique a une solution en radicaux, cela n'implique pas la possibilité de construire un segment égal à sa solution avec un compas et une règle. L'équation la plus simple est : x 3 - 2 = 0, (\ displaystyle x ^ (3) -2 = 0,) lié au fameux problème du doublement d'un cube, qui se réduit à cette équation cubique. Comme mentionné ci-dessus, la solution de cette équation ( 2 3 (\ displaystyle (\ sqrt [(3)] (2)))) ne peut pas être construit avec une boussole et une règle.

La capacité de construire un 17-gon régulier découle de l'expression du cosinus de l'angle au centre de son côté :

cos ⁡ (2 17) = - 1 16 + 1 16 17 + 1 16 34 - 2 17 + (\ displaystyle \ cos (\ left ((\ frac (2 \ pi) (17)) \ right)) = - (\ frac (1) (16)) \; + \; (\ frac (1) (16)) (\ sqrt (17)) \; + \; (\ frac (1) (16)) (\ sqrt (34-2 (\ sqrt (17)))) \; + \;) + 1 8 17 + 3 17 - 34 - 2 17 - 2 34 + 2 17, (\ displaystyle + (\ frac (1) (8)) (\ sqrt (17 + 3 (\ sqrt (17)) - (\ sqrt (34-2 (\ sqrt (17)))) - 2 (\ sqrt (34 + 2 (\ sqrt (17))))))),) qui, à son tour, découle de la possibilité de réduire une équation de la forme x F n - 1 = 0, (\ displaystyle x ^ (F_ (n)) - 1 = 0,) où F n (\ style d'affichage F_ (n))- tout premier de Fermat, en changeant la variable en une équation quadratique.

Variations et généralisations

• Constructions avec une boussole. Selon le théorème de Mohr - Mascheroni, en utilisant une boussole, vous pouvez construire n'importe quelle figure qui peut être construite avec une boussole et une règle. Dans ce cas, une ligne droite est considérée comme construite si deux points y sont spécifiés.
• Dessinez avec une règle. Il est évident que seules des constructions projectivement invariantes peuvent être réalisées à l'aide d'une règle. En particulier,
  • il est même impossible de diviser un segment en deux parties égales,
  • il est également impossible de trouver le centre d'un cercle donné.

Mais,

• s'il y a un cercle préalablement tracé sur le plan avec un centre marqué avec une règle, vous pouvez effectuer les mêmes constructions qu'avec un compas et une règle (

Le matériel de ce paragraphe peut être utilisé dans des activités parascolaires. Il peut être présenté aux étudiants, à la fois sous forme de cours magistral et sous forme de rapports d'étudiants.

Pendant de nombreux siècles, beaucoup d'attention a été attirée sur des problèmes connus depuis longtemps sous le nom de « problèmes célèbres de l'antiquité ». Trois problèmes célèbres figuraient habituellement sous ce nom :

1) la quadrature du cercle,

2) trisection du coin,

3) doubler le cube.

Toutes ces tâches sont nées dans les temps anciens des besoins pratiques des gens. Au premier stade de leur existence, ils agissaient comme des problèmes de calcul : selon certaines "recettes", les valeurs approximatives des quantités requises (aire d'un cercle, circonférence, etc.) étaient calculées. À la deuxième étape de l'histoire de ces problèmes, des changements importants dans leur caractère ont lieu : ils deviennent des problèmes géométriques (constructifs).

Dans la Grèce antique, pendant cette période, on leur donnait les formulations classiques :

1) construire un carré de taille égale au cercle donné;

2) diviser l'angle donné en trois parties égales;

3) construire une arête d'un nouveau cube, dont le volume serait le double du cube donné.

Toutes ces constructions géométriques ont été proposées pour être réalisées à l'aide d'un compas et d'une règle.

La simplicité de la formulation de ces tâches et les « difficultés insurmontables » rencontrées sur le chemin de leur solution ont contribué à la croissance de leur popularité. Dans un effort pour apporter des solutions rigoureuses à ces problèmes, les anciens scientifiques grecs "en cours de route" ont obtenu de nombreux résultats importants pour les mathématiques, qui ont contribué à la transformation de connaissances mathématiques dispersées en une science déductive indépendante (les Pythagoriciens, Hippocrate de Chios et Archimède ont laissé une trace particulièrement visible à cette époque).

Le problème de doubler un cube.

Le problème du doublement d'un cube est le suivant : connaissant l'arête d'un cube donné, construire une arête d'un tel cube dont le volume serait le double du volume de ce cube.

Soit a la longueur de l'arête du cube donné, x - la longueur de l'arête du cube requis. Soit le volume du cube donné, et est le volume du cube désiré, alors, d'après la formule de calcul du volume du cube, on a que : =, et puisque, selon la condition du problème, on venir à l'équation.

On sait par algèbre que les racines rationnelles d'une équation réduite à coefficients entiers ne peuvent être que des entiers et être contenues parmi les diviseurs du terme libre de l'équation. Mais les diviseurs du nombre 2 ne sont que les nombres +1, - 1, +2, - 2, et aucun d'eux ne satisfait l'équation originale. Par conséquent, l'équation n'a pas de racines rationnelles, ce qui signifie que le problème du doublement d'un cube ne peut pas être résolu à l'aide d'un compas et d'une règle.

Le problème du doublement d'un cube à l'aide d'un compas et d'une règle ne peut être résolu qu'approximativement. Voici l'une des façons les plus simples de résoudre approximativement ce problème.

Soit AB = BC = a, et ABBC. Nous construisons AD = AC, puis CD avec une précision de 1%. En effet, CD 1.2586…. En même temps = 1,2599….

Le problème de la quadrature du cercle.

Justification de l'insolvabilité du problème à l'aide d'un compas et d'une règle.

Le problème de la quadrature d'un cercle est le suivant : construire un carré de taille égale à un cercle.

Soit le rayon du cercle donné, soit la longueur du côté du carré requis. Alors, hors d'ici.

Par conséquent, le problème de la quadrature du cercle sera résolu si nous construisons un segment de longueur. Si le rayon d'un cercle donné est pris comme un segment unitaire (= 1), alors la question se réduira à construire un segment de longueur le long d'un segment unitaire.

Comme vous le savez, connaissant le segment unitaire, nous ne pouvons construire avec un compas et une règle que les segments dont les longueurs sont exprimées en termes de nombres rationnels en utilisant un ensemble fini d'opérations rationnelles et d'extraction de racines carrées et, par conséquent, sont des nombres algébriques. Dans ce cas, tous les nombres algébriques ne seront pas utilisés. Par exemple, vous ne pouvez pas tracer une ligne avec une longueur, etc.

En 1882, Lindemann a prouvé qu'elle est transcendantale. D'où il s'ensuit qu'il est impossible de construire un segment de longueur avec une boussole et une règle, et, par conséquent, par ces moyens, le problème de la quadrature d'un cercle est insoluble.

Solution approximative du problème à l'aide d'une boussole et d'une règle.

Considérons l'une des méthodes de construction approximative de segments de ligne. Cette technique est la suivante. Divisez un quart de cercle AB de centre au point O et de rayon égal à un en deux par le point C. Sur le prolongement du diamètre CD, écartez le segment DE égal au rayon. Du point E, nous dessinons les rayons EA et EB jusqu'à ce qu'ils coupent la tangente au point C. Le segment coupé AB est approximativement égal à la longueur de l'arc AB, et celui doublé est un demi-cercle.

L'erreur relative de cette approximation ne dépasse pas 0,227 %.

Problème de trisection d'angle.

Justification de l'insolvabilité du problème à l'aide d'un compas et d'une règle.

Le problème de la trisection d'un angle est le suivant: diviser l'angle donné en trois parties égales.

On se borne à résoudre le problème pour des angles ne dépassant pas 90. Si est un angle obtus, alors = 180-, où<90, так что, и поэтому задача о трисекции тупого угла сводится к задаче о трисекции острого угла.

Notons que (en présence d'un segment unitaire) le problème de construction de l'angle (90) est équivalent au problème de construction du segment x = cos. En effet, si l'angle est construit, alors la construction du segment x = cos se réduit à la construction d'un triangle rectangle à partir de l'hypoténuse et de l'angle aigu.

Arrière. Si un segment x est construit, alors la construction d'un angle tel que x = cos se réduit à la construction d'un triangle rectangle le long de l'hypoténuse et de la jambe.

Soit - l'angle donné, - l'angle requis, de sorte que =. Alors cos = cos 3. On sait que cos 3 = 4cos-3cos. Par conséquent, en fixant cos = et cos =, nous arrivons à l'équation :

cos = 4cos-3cos,

Le segment, et donc l'angle, ne peut être construit que si cette équation a au moins une racine rationnelle. Mais ce n'est pas le cas pour tout le monde, et donc le problème de la trisection d'un angle, d'une manière générale, n'est pas résolu à l'aide d'un compas et d'une règle. Par exemple. A = 60 on obtient = 1 et l'équation trouvée prend la forme :. Il est facile de vérifier que cette équation n'a pas de racine rationnelle, ce qui implique l'impossibilité de diviser un angle de 60 en trois parties égales à l'aide d'un compas et d'une règle. Ainsi, le problème de la trisection d'un angle n'est pas résolvable avec une boussole et une règle en général.

Solution approximative du problème à l'aide d'une boussole et d'une règle.

Considérons l'une des méthodes de résolution approximative du problème à l'aide d'un compas et d'une règle, proposée par Albert Durer (1471-1528).

Soit l'angle ASB donné. A partir du sommet S de rayon arbitraire, nous décrivons un cercle et relions les points d'intersection des côtés du coin avec le cercle par la corde AB. On divise cette corde en trois parties égales aux points R et R (A R = R R = RB). à partir des points A et B, comme des centres, de rayons A R = RB nous décrivons les arcs coupant le cercle aux points T et T. Réalisons RSAB. Avec des rayons A S = BS, tracez des arcs coupant AB aux points U et U. Les arcs AT, SS et TB sont égaux l'un à l'autre, car ils sont rapprochés par des cordes égales.

Pour trouver les points de trisection de l'angle X et X, Dürer divise les segments RU et RU en trois parties égales par les points PV et PV. Ensuite, avec les rayons AV et BV, tracez des arcs qui coupent le cercle aux points X et X. En reliant ces points à S, nous obtenons la division de cet angle en trois parties égales avec une bonne approximation des vraies valeurs.

Connu depuis l'Antiquité.

Dans les tâches de construction, les opérations suivantes sont possibles :

• Marquer arbitraire point sur un plan, un point sur l'une des lignes construites, ou le point d'intersection de deux lignes construites.
• En utilisant boussoles tracer un cercle avec un centre au point construit et un rayon égal à la distance entre les deux points déjà construits.
• En utilisant les dirigeants tracer une droite passant par les deux points construits.

Dans ce cas, une boussole et une règle sont considérées comme des outils idéaux, en particulier :

1. Un exemple simple

Diviser un segment en deux

Tâche. Utilisez une boussole et une règle pour diviser ce segment UN B en deux parties égales. L'une des solutions est illustrée sur la figure :

• A l'aide d'un compas, on construit un cercle centré en un point UNE rayon UN B.
• Construire un cercle centré en un point B rayon UN B.
• Trouver les points d'intersection P et Q deux cercles construits.
• Avec une règle, tracez un segment reliant les points P et Q.
• Trouver le point d'intersection UN B et PQ. C'est le milieu souhaité du segment UN B.

2. Polygones réguliers

Méthodes de construction correctes n-gons pour et .

4. Constructions possibles et impossibles

Toutes les constructions ne sont rien de plus qu'une solution à une équation, et les coefficients de cette équation sont liés aux longueurs des segments donnés. Par conséquent, il est pratique de parler de la construction d'un nombre - une solution graphique à une équation d'un certain type.

Dans le cadre des exigences gastro-intestinales, les constructions suivantes sont possibles :

En d'autres termes, vous ne pouvez construire que des nombres égaux à des expressions arithmétiques en utilisant la racine carrée des nombres d'origine (longueurs de segment). Par exemple,

5. Variations et généralisations

6. Faits amusants

• GeoGebra, Kig, KSEG - des programmes qui vous permettent de construire à l'aide d'une boussole et d'une règle.

Littérature

• A. Adler. La théorie des constructions géométriques, Traduit de l'allemand par G. M. Fikhtengolts. Troisième édition. L., Navchpedvid, 1940-232 p.
• I. Alexandrov, Collection de problèmes de construction géométrique, Dix-huitième édition, M., Navchpedvid, 1950-176 p.
• B.I. Argunov, MB Balk.

Tâches de construction géométrique

Utiliser une boussole et une règle

élève de 8e année-A

Superviseur: Moskaeva V.N.,

professeur de mathématiques

Nijni Novgorod

introduction

La visualisation, l'imagination appartiennent plus à l'art, la logique stricte est le privilège de la science. La sécheresse de la conclusion exacte et la vivacité de l'image visuelle - "la glace et le feu ne sont pas si différents l'un de l'autre". La géométrie combine ces deux contraires.

A.D. Alexandrov

En allant à l'école, nous n'oublions pas de mettre une boussole, une règle et un rapporteur dans notre portefeuille. Ces outils vous aident à dessiner correctement et à dessiner magnifiquement. Ces outils sont utilisés par les ingénieurs, les architectes, les ouvriers, les concepteurs de vêtements et de chaussures, les constructeurs et les paysagistes. Bien qu'il y ait des ordinateurs, mais sur le chantier, dans le jardin, vous ne les utilisez pas encore.

La machine dessine instantanément en quelques secondes. Un mathématicien doit passer beaucoup de temps pour lui expliquer dans un langage compréhensible par une machine ce qu'il doit faire - écrire un programme et le saisir dans une machine, c'est pourquoi les concepteurs préfèrent souvent travailler avec le plus simple et le plus ancien outils - boussoles et une règle.

Quoi de plus simple ? Une planche lisse avec un bord droit - une règle, deux bâtons pointus attachés à une extrémité - une boussole. À l'aide d'une règle, tracez une ligne droite passant par deux points donnés. A l'aide d'une boussole, des cercles sont tracés avec un centre et un rayon donnés, reporter un segment égal à celui-ci.

La boussole et la règle sont connues depuis plus de 3 000 ans, elles étaient déjà connues, il y a 200 à 300 ans, elles étaient décorées d'ornements et de motifs. Mais, malgré cela, ils nous servent toujours régulièrement. Les outils les plus simples suffisent pour un grand nombre de constructions. Les Grecs de l'Antiquité pensaient qu'il était possible de réaliser n'importe quelle construction raisonnable avec ces outils, jusqu'à ce qu'ils découvrent trois tâches importantes de l'Antiquité : "la quadrature d'un cercle", "la trisection d'un angle", "le doublement d'un cube".

Par conséquent, je considère que le sujet de mon travail est contemporain et important pour l'activité humaine dans de nombreux domaines de l'activité humaine.

Tout le monde sait parfaitement que les mathématiques sont utilisées dans une grande variété de professions et de situations de la vie. Les mathématiques ne sont pas une matière facile. Et la géométrie est qualifiée de « difficile » par la plupart des étudiants. Les problèmes de construction sont différents des problèmes de géométrie traditionnels.

La résolution de problèmes de construction développe la pensée géométrique de manière beaucoup plus complète et précise que la résolution de problèmes informatiques, et peut générer une passion pour le travail, ce qui conduit à une curiosité accrue et à un désir d'élargir et d'approfondir l'étude de la géométrie.

Malgré le riche passé historique, le problème de la résolution des problèmes de construction reste d'actualité au 21ème siècle. A notre époque, les technologies informatiques se développent rapidement avec l'utilisation d'éditeurs graphiques pour dessiner des objets géométriques. Les moyens de créer des objets géométriques ont changé en raison de l'émergence de nouvelles technologies informatiques. Cependant, comme dans les temps anciens, les principaux éléments dans la construction d'objets géométriques sont un cercle et une ligne droite, c'est-à-dire une boussole et une règle. Avec l'avènement des nouvelles technologies informatiques, de nouveaux problèmes de construction sont apparus en utilisant les mêmes objets - une ligne et un cercle. C'est pourquoi le problème de la résolution des problèmes de construction devient encore plus urgent.

Le programme de géométrie implique l'étude des seules techniques et méthodes de construction les plus simples. Mais l'utilisation de ces techniques est souvent difficile. Par conséquent, l'objet de mes recherches sont des figures géométriques construites à l'aide d'un compas et d'une règle.

Le but de mon travail : envisager diverses façons de construire des formes géométriques à l'aide d'un compas et d'une règle.

Méthodes de recherche:

ü Analyse des méthodes de construction déjà existantes

ü Recherche de nouvelles méthodes, simples d'utilisation (construction GMT et Steiner)

Tâches:

ü mieux comprendre les différentes manières de construire

ü suivre l'évolution de ce morceau de géométrie dans l'histoire des mathématiques

ü continuer à développer les compétences de recherche.

De l'histoire de la construction géométrique avec boussole et règle.

La limitation traditionnelle des outils de constructions géométriques remonte à l'Antiquité. Dans son livre "Les débuts", Euclide (IIIe siècle av. Les limitations semblent avoir été liées au fait que ces outils ont remplacé la corde, qui servait à l'origine à la fois à tracer des lignes et à décrire des cercles. Mais de nombreux historiens-mathématiciens expliquent le choix de matériel effectué par Euclide par le fait qu'à la suite de Platon et des Pythagoriciens, il considérait seulement la ligne droite et le cercle comme des lignes « parfaites ».

L'art de construire des formes géométriques était très développé dans la Grèce antique. Il y a 3000 ans, les mathématiciens de la Grèce antique ont réalisé leurs constructions à l'aide de deux appareils: une planche lisse à bord égal - une règle et deux bâtons pointus attachés à une extrémité - une boussole. Cependant, ces outils simples étaient suffisants pour réaliser une grande variété de constructions différentes. Il semblait même aux anciens Grecs que toute construction intelligente pouvait être accomplie avec ces outils, jusqu'à ce qu'ils soient confrontés à trois tâches célèbres plus tard.

Ils ont longtemps transformé n'importe quelle figure rectiligne à l'aide d'un compas et d'une règle en une figure rectiligne arbitraire qui lui est égale. En particulier, toute figure rectiligne se transformait en carré de même dimension. Par conséquent, il est clair que l'idée est apparue de généraliser ce problème : construire à l'aide d'un compas et d'une règle un tel carré dont l'aire serait égale à l'aire du cercle donné. Ce problème s'appelle la quadrature du cercle. Des traces de cette tâche peuvent être vues aussi loin que les monuments grecs et babyloniens antiques du deuxième millénaire avant JC. Cependant, son cadre direct se retrouve dans les œuvres grecques du 5ème siècle avant JC.

Deux autres problèmes de l'antiquité ont attiré l'attention d'éminents scientifiques pendant de nombreux siècles. C'est le problème de doubler un cube. Elle consiste à construire un cube avec un compas et une règle, ayant un volume deux fois plus grand que le volume de ce cube. Son apparition est associée à la légende selon laquelle sur l'île de Délos dans la mer Égée, l'oracle, afin de sauver les habitants de l'épidémie de peste, ordonna de doubler l'autel en forme de cube. Et le troisième problème de trisection d'un angle consiste à diviser un angle en trois parties égales à l'aide d'un compas et d'une règle.

Ces trois problèmes, les fameux 3 problèmes classiques de l'antiquité, ont attiré l'attention d'éminents mathématiciens pendant deux millénaires. Et ce n'est qu'au milieu du XIXe siècle que leur indécidabilité fut prouvée, c'est-à-dire l'impossibilité de ces constructions à l'aide d'un seul compas et d'une règle. En mathématiques, ce furent les premiers résultats sur l'insolvabilité des problèmes lorsque les moyens de résolution étaient indiqués. Ils ont été obtenus au moyen non de la géométrie, mais de l'algèbre (en traduisant ces problèmes dans le langage des équations), ce qui a souligné une fois de plus l'unité des mathématiques. Ne succombant pas à la solution, ces problèmes ont enrichi les mathématiques avec des résultats significatifs, ont conduit à la création de nouvelles directions de pensée mathématique.

Une autre tâche intéressante pour la construction à l'aide d'une boussole et d'une règle est la tâche de construire un polygone régulier avec un nombre donné de côtés. Les anciens Grecs savaient construire un triangle régulier, carré, pentagone régulier et 15-gone, ainsi que tous les polygones qui en sont obtenus en doublant les côtés, et seulement eux. Ce n'est qu'en 1796 que le grand mathématicien allemand CF Gauss a découvert un moyen de construire un 17-gon régulier à l'aide d'un compas et d'une règle et a indiqué toutes les valeurs de N auxquelles il est possible de construire un N-gon régulier par les moyens indiqués . Carl Gauss, étudiant de première année à l'Université de Göttingen, a résolu un problème que les mathématiques échouaient depuis plus de 2000 ans. Ainsi, l'impossibilité de construire à l'aide d'un compas et d'une règle les bons 7, 9, 11, 13, 18, 21, 22, 23, etc. a été prouvée. carrés.

La théorie de la construction utilisant une boussole et une règle a été développée plus avant. Une réponse a été reçue à la question : est-il possible de résoudre le problème en utilisant un seul des deux outils envisagés, et tout à fait inattendu. Indépendamment l'un de l'autre, le Danois G. More en 1672 et l'Italien L. Maskeroni en 1797 ont prouvé que tout problème de construction résolu par une boussole et une règle peut être résolu avec précision à l'aide d'une seule boussole. Cela semble incroyable, mais c'est le cas. Et au 19ème siècle, il a été prouvé que toute construction réalisée avec un compas et une règle peut être réalisée avec une seule règle, à condition qu'un certain cercle soit spécifié dans le plan de construction et que son centre soit indiqué.

3. Les tâches les plus simples pour construire des figures géométriques à l'aide d'un compas et d'une règle

Considérez les constructions de base (élémentaires) qui sont le plus souvent rencontrées dans la pratique de la résolution de problèmes de construction. Les problèmes de ce genre sont déjà examinés dans les premiers chapitres du cours scolaire.

Construction 1. Construire un segment de droite égal à celui donné.

Étant donné: segment de longueur a.

Construire: segment AB de longueur a.

Construire:

Bâtiment 2. Construit un angle égal à celui donné.

Étant donné: AOB.

Construire: KMN égal à ∟ AOB.

Construire:

Construction 3. Diviser un segment en deux (construire le milieu d'un segment).

Étant donné: segment AB.

Construire: le point O est le milieu de AB.

Construire:

Bâtiment 4. Diviser l'angle en deux (tracer la bissectrice de l'angle).

Étant donné: ABC.

Construire:ВD est la bissectrice de ∟АВС.

Construire:

Bâtiment 5. Trace une perpendiculaire à une ligne donnée passant par un point donné.

une) Étant donné: ligne a, point A a.

Construire:

droit a.

Imeuble:

b) Étant donné: ligne droite a, point A a.

Construire: droite passant par le point A, perpendiculaire à

droit a.

Construire:

Bâtiment 6... Construit une droite parallèle à une droite donnée et passant par un point donné.

Étant donné: ligne droite a, point A a.

Construire: droite passant par le point A, parallèle à la droite a.

Méthode I (par deux perpendiculaires).

Construire:

Méthode II (par un parallélogramme).

Construire:

Bâtiment 7. Crée un triangle sur trois côtés.

Étant donné: segments de longueur a, b, c.

Construire: ABC.

Construire:

Bâtiment 8. Crée un triangle le long de deux côtés et un angle entre eux.

Étant donné: segments de longueur b, c, angle .

Construire: triangle ABC.

Construire:

Bâtiment 9. Crée un triangle le long d'un côté et de deux coins adjacents.

Étant donné: segment de longueur c, angles et .

Construire: ABC.

Construire:

Bâtiment 10. Crée une ligne tangente à un cercle donné passant par un point donné.

Étant donné: cercle (O), point A à l'extérieur.

Construire: la tangente au cercle (O) passant par le point A.

Construire:

Les tâches envisagées sont incluses en tant que composants de la solution de problèmes plus complexes. Par conséquent, à l'avenir, les étapes des constructions principales ne seront pas décrites.

La résolution des problèmes de construction se compose de quatre parties :

1. En supposant que le problème soit résolu, nous dessinons à la main un dessin approximatif de la figure souhaitée, puis examinons attentivement la figure dessinée, en essayant de trouver de telles relations entre les données du problème et celles souhaitées, ce qui nous permettrait de réduire le problème à d'autres connus plus tôt. Cette partie la plus importante de la résolution d'un problème, qui vise à établir un plan de solution, s'appelle une analyse.

2. Lorsqu'un plan de solution est trouvé de cette manière, ils s'y conforment. construction.

3. Preuve - pour vérifier l'exactitude du plan, sur la base de théorèmes bien connus, ils prouvent que la figure résultante satisfait à toutes les exigences du problème.

4. Étudier - sont posées par deux questions :

1) Une solution est-elle possible avec des données ?

2) Combien y a-t-il de solutions ?

Considérons l'application de ces étapes par l'exemple de la résolution du problème suivant.

Tâche: Construire un triangle connaissant sa base b, l'angle A adjacent à la base et la somme s des deux côtés latéraux.

Une analyse: Supposons que le problème soit résolu, c'est-à-dire trouvé un tel ΔABS, pour lequel la base AC = b, BAC = A et AB + BC = s... Considérons maintenant le dessin résultant. Côté COMME,égal b, BAC = A, nous savons construire. Reste donc à trouver de l'autre côté A un tel point V de sorte que la somme AB + BCégalé s... Continuer UN B, mettre de côté le segment UN Dégal à s... Maintenant, la question est amenée au point que sur la ligne droite UN D trouver un tel point V qui serait à égale distance de AVEC et ré... Un tel point, comme nous le savons, devrait se trouver sur la perpendiculaire tracée au segment CD par son milieu. Point V se trouve à l'intersection de cette perpendiculaire avec UN D.

Construire:

1. Nous construisons Aégal à l'angle donné

2. Sur ses côtés on remet CA = b et AD = s

3. Au milieu d'un segment de ligne CD tracer une perpendiculaire ÊTRE

4. ÊTRE traverse UN Dà ce point V

5. Reliez les points V et AVEC

6. ABS est celui souhaité.

Preuve:

Considérons le ΔABC obtenu, dans lequel ∟A est égal à l'angle donné (selon le point # 1 de la construction). Côté CA = b(point #2) et fêtes UN B et soleil additionner à s (éléments 2, 3, 4). Donc, selon le 1er critère d'égalité des triangles, ΔABS est celui recherché.

Étudier:

1.Avec toutes les données, une solution est-elle possible ?

Compte tenu de la construction, nous remarquons que la tâche n'est possible avec aucune donnée. En effet, si la somme s est trop petite par rapport à b, alors la perpendiculaire ÊTRE ne peut pas traverser le segment UN D(ou croise son prolongement au-delà du point D), dans ce cas la tâche sera impossible.

Et, quelle que soit la construction, on voit que la tâche est impossible si s< b ou s = b, car il ne peut pas y avoir un tel triangle dans lequel la somme des deux côtés serait inférieure ou égale au troisième côté.

2. Combien y a-t-il de solutions ?

Dans le cas où le problème est possible, il n'a qu'une seule solution, c'est-à-dire il n'y a qu'un seul triangle qui répond aux exigences du problème, puisque l'intersection de la perpendiculaire ÊTRE avec une ligne droite UN D ne peut être qu'à un moment donné.