Loft på badeværelset / 05.01.2022

Projektionerne af vektoren a på koordinatakserne er givet. Grundlæggende formler til at finde afstande ved hjælp af projektion af en vektor på en akse

Lad os først huske, hvad der er koordinatakse, projektion af et punkt på en akse og koordinater for et punkt på aksen.

Koordinatakse er en ret linje, der er givet en retning. Du kan tænke på det som en vektor med et uendeligt stort modul.

Koordinatakse angivet med et hvilket som helst bogstav: X, Y, Z, s, t ... Normalt vælges et punkt (vilkårligt) på aksen, som kaldes oprindelsen og som regel betegnes med bogstavet O. Afstande til andre punkter af interesse for os måles fra dette punkt.

Projektion af et punkt på en akse- dette er bunden af den perpendikulære, der falder fra dette punkt til den givne akse (fig. 8). Det vil sige, at projektionen af et punkt på aksen er et punkt.

Punktkoordinater pr. akse er et tal, hvis absolutte værdi er lig med længden af det segment af aksen (i den valgte skala), der er indesluttet mellem begyndelsen af aksen og projektionen af punktet på denne akse. Dette tal tages med et plustegn, hvis projektionen af punktet er placeret i aksens retning fra dets begyndelse og med et minustegn, hvis det er i den modsatte retning.

Skalar projektion af en vektor på en akse- det nummer, hvis absolutte værdi er lig med længden af segmentet af aksen (i den valgte skala), der er indesluttet mellem projektionerne af startpunktet og vektorens slutpunkt. Vigtig! Normalt i stedet for udtrykket skalar projektion af en vektor på en akse de siger bare - projektion af en vektor på en akse, altså ordet skalar sænket. Vektor projektion angivet med det samme bogstav som den projicerede vektor (i normal, ikke-fed skrift), med et underskrift (normalt) af navnet på den akse, hvorpå denne vektor er projiceret. For eksempel hvis en vektor projiceres på x-aksen en, så er dens projektion betegnet et x . Når du projicerer den samme vektor på en anden akse, f.eks. Y-aksen, vil dens projektion blive betegnet som y (fig. 9).

At beregne vektorprojektion på aksen(for eksempel X-aksen) er det nødvendigt at trække startpunktets koordinat fra koordinaten for dets slutpunkt, dvs.

og x \u003d x k - x n.

Vi skal huske: den skalære projektion af en vektor på en akse (eller simpelthen projektionen af en vektor på en akse) er et tal (ikke en vektor)! Desuden kan projektionen være positiv, hvis værdien af x k er større end værdien af x n, negativ, hvis værdien af x k er mindre end værdien af x n og lig med nul, hvis x k er lig med x n (fig. 10).

Projektionen af en vektor på en akse kan også findes ved at kende vektorens modul og den vinkel den danner med den akse.

Figur 11 viser, at a x = a Cos α

Det vil sige, at projektionen af vektoren på aksen er lig med produktet af vektormodulet og cosinus af vinklen mellem akseretning og vektorretning. Hvis vinklen er spids, så er Cos α > 0 og a x > 0, og hvis den er stump, så er cosinus for den stumpe vinkel negativ, og projektionen af vektoren på aksen vil også være negativ.

Vinkler talt fra aksen mod uret anses for at være positive, og i retningen - negative. Men da cosinus er en lige funktion, det vil sige Cos α = Cos (− α), så kan vinklerne tælles både med uret og mod uret ved beregning af projektioner.

Ved løsning af problemer vil følgende egenskaber ved projektioner ofte blive brugt: if

-en = b + c +…+ d, så a x = b x + c x +…+ d x (på samme måde for andre akser),

-en= m b, så a x = mb x (tilsvarende for andre akser).

Formlen a x = a Cos α vil være Tit mødes ved problemløsning, så det skal kendes. Du skal kende reglen for at bestemme fremskrivningen udenad!

Husk!

For at finde projektionen af en vektor på en akse skal denne vektors modul ganges med cosinus af vinklen mellem aksens retning og vektorens retning.

Endnu en gang - HURTIG!

GRUNDLÆGGENDE KONCEPT FOR VEKTORALGEBRA

Skalære og vektormængder

Fra det elementære fysikkursus ved man, at nogle fysiske størrelser, såsom temperatur, volumen, kropsmasse, massefylde osv., kun er bestemt af en numerisk værdi. Sådanne mængder kaldes skalarer eller skalarer.

For at bestemme nogle andre størrelser, såsom kraft, hastighed, acceleration og lignende, er det udover numeriske værdier også nødvendigt at indstille deres retning i rummet. Mængder, der ud over den absolutte størrelse også er karakteriseret ved retning, kaldes vektor.

Definition En vektor er et rettet segment, som er defineret af to punkter: det første punkt bestemmer begyndelsen af vektoren, og det andet bestemmer dens slutning. Derfor siger de også, at en vektor er et ordnet par af punkter.

På figuren er vektoren afbildet som et lige linjestykke, hvor pilen markerer retningen fra begyndelsen af vektoren til dens ende. For eksempel viser fig. 2.1.

Hvis begyndelsen af vektoren falder sammen med punktet , og afslutte med en prik , så er vektoren angivet
. Derudover er vektorer ofte betegnet med et lille bogstav med en pil over. . I bøger er pilen nogle gange udeladt, så bruges fed skrift til at angive vektoren.

Vektorer er nul vektor som har samme start og slutning. Det er betegnet eller simpelthen .

Afstanden mellem starten og slutningen af en vektor kaldes dens længde eller modul. Vektormodulet er angivet med to lodrette streger til venstre:
, eller uden pile
eller .

Vektorer, der er parallelle med en linje, kaldes collineær.

Vektorer, der ligger i samme plan eller parallelt med samme plan kaldes koplanar.

Nulvektoren anses for at være kollineær i forhold til enhver vektor. Dens længde er 0.

Definition To vektorer
og
kaldes lige (fig. 2.2), hvis de:
1)collineær; 2) co-directed 3) lige lange.

Det er skrevet sådan:
(2.1)

Af definitionen af lighed af vektorer følger det, at med en parallel overførsel af en vektor opnås en vektor, der er lig med den oprindelige, derfor kan begyndelsen af vektoren placeres på ethvert punkt i rummet. Sådanne vektorer (i teoretisk mekanik, geometri), hvis begyndelse kan placeres på ethvert punkt i rummet, kaldes gratis. Og det er disse vektorer, vi vil overveje.

Definition Vektor system
kaldes lineært afhængig, hvis der er sådanne konstanter
, blandt hvilke der er mindst én anden end nul, og for hvilken lighed gælder.

Definition En vilkårlig tre ikke-koplanære vektorer, som er taget i en bestemt rækkefølge, kaldes en basis i rummet.

Definition Hvis
- basis og vektor, derefter tallene
kaldes vektorens koordinater på dette grundlag.

Vi vil skrive vektorkoordinaterne i krøllede parenteser efter vektorbetegnelsen. For eksempel,
betyder, at vektoren på et udvalgt grundlag har en nedbrydning:
.

Ud fra egenskaberne for multiplikation af en vektor med et antal og addition af vektorer følger en påstand om lineære handlinger på vektorer, der er givet ved koordinater.

For at finde koordinaterne for en vektor, hvis koordinaterne for dens begyndelse og slutning er kendt, er det nødvendigt at trække begyndelsens koordinat fra den tilsvarende koordinat for dens ende.

Lineære operationer på vektorer

Lineære operationer på vektorer er operationerne med at addere (subtrahere) vektorer og gange en vektor med et tal. Lad os overveje dem.

Definition Vektor produkt pr nummer
kaldes en vektor, der falder sammen i retning med vektoren , hvis
, som har den modsatte retning, hvis
negativ. Længden af denne vektor er lig med produktet af vektorens længde pr. modulnummer
.

P eksempel . Byg vektor
, hvis
og
(Fig. 2.3).

Når en vektor ganges med et tal, ganges dens koordinater med dette tal..

Faktisk, hvis, så

Vektor produkt på den
kaldet vektor
;
- modsatte retning .

Bemærk, at en vektor, hvis længde er 1, kaldes enkelt(eller ortho).

Ved at bruge operationen med at gange en vektor med et tal, kan enhver vektor udtrykkes i form af en enhedsvektor i samme retning. Faktisk dividere vektoren for dens længde (dvs. multiplicere på den ), får vi en enhedsvektor i samme retning som vektoren . Vi vil betegne det
. Derfor følger det
.

Definition Summen af to vektorer og kaldet vektor , som kommer ud af deres fælles oprindelse og er diagonalen af et parallelogram, hvis sider er vektorer og (Fig. 2.4).

Per definition af lige vektorer
Derfor
-trekantsregel. Trekantreglen kan udvides til et vilkårligt antal vektorer og dermed opnå polygonreglen:
er den vektor, der forbinder begyndelsen af den første vektor med slutningen af den sidste vektor (Fig. 2.5).

Så for at konstruere sumvektoren er det nødvendigt at vedhæfte begyndelsen af den anden til slutningen af den første vektor, til slutningen af den anden for at vedhæfte begyndelsen af den tredje, og så videre. Så vil sumvektoren være den vektor, der forbinder begyndelsen af den første af vektorerne med slutningen af den sidste.

Når vektorer tilføjes, tilføjes deres tilsvarende koordinater også

Faktisk, hvis og
,

Hvis vektorerne
og er ikke koplanære, så er deres sum en diagonal
et parallelepipedum bygget på disse vektorer (fig. 2.6)

hvor

Ejendomme:

- kommutativitet;

- associativitet;

- distributivitet med hensyn til multiplikation med et tal

De der. en vektorsum kan transformeres efter de samme regler som en algebraisk.

DefinitionForskellen på to vektorer og kaldes sådan en vektor , som, når den tilføjes til vektoren giver en vektor . De der.
hvis
. Geometrisk repræsenterer den anden diagonal af parallelogrammet bygget på vektorerne og med en fælles begyndelse og rettet fra slutningen af vektoren til slutningen af vektoren (Fig. 2.7).

Projektion af en vektor på en akse. Projektionsegenskaber

Husk begrebet en tallinje. En numerisk akse er en ret linje, hvorpå:

retning (→);

referencepunkt (punkt O);

segment, som tages som en skalaenhed.

Lad der være en vektor
og akse . Fra point og lad os slippe perpendikulerne på aksen . Lad os få pointene og - punktprojektioner og (Fig. 2.8 a).

Definition Vektor projektion
pr aksel kaldet længden af segmentet
denne akse, som er placeret mellem baserne af projektionerne af begyndelsen og slutningen af vektoren
pr aksel . Det tages med et plustegn, hvis retningen af segmentet
falder sammen med retningen af projektionsaksen, og med et minustegn, hvis disse retninger er modsatte. Betegnelse:
.

O definition Vinkel mellem vektor
og akse kaldes vinklen , hvorved det er nødvendigt at dreje aksen på den korteste måde så det falder sammen med vektorens retning
.

Lad os finde
:

Figur 2.8a viser:
.

På fig. 2.8 b): .

Projektionen af en vektor på en akse er lig med produktet af længden af denne vektor og cosinus af vinklen mellem vektoren og projektionsaksen:
.

Projektionsegenskaber:

Hvis
, så kaldes vektorerne ortogonale

Eksempel . Vektorer er givet
,
.Derefter

Eksempel. Hvis begyndelsen af vektoren
er ved punktet
, og slutter ved et punkt
, derefter vektoren
har koordinater:

O definition Vinkel mellem to vektorer og kaldet den mindste vinkel
(Fig. 2.13) mellem disse vektorer, reduceret til en fælles begyndelse .

Vinkel mellem vektorer og symbolsk skrevet sådan her: .

Det følger af definitionen, at vinklen mellem vektorer kan variere inden for
.

Hvis
, så kaldes vektorerne ortogonale.

Definition. Cosinuserne af vinklerne i en vektor med koordinatakserne kaldes retningscosinus for vektoren. Hvis vektoren
danner vinkler med koordinatakserne

Algebraisk vektorprojektion på enhver akse er lig med produktet af vektorens længde og cosinus af vinklen mellem aksen og vektoren:

Højre a b = |b|cos(a,b) eller

Hvor a b er skalarproduktet af vektorer, |a| - modul af vektor a .

Instruktion. For at finde projektionen af vektoren Пp a b online, skal du angive koordinaterne for vektorerne a og b . I dette tilfælde kan vektoren gives i planet (to koordinater) og i rummet (tre koordinater). Den resulterende løsning gemmes i en Word-fil. Hvis vektorerne er givet gennem punkternes koordinater, så skal du bruge denne lommeregner.

Klassificering af vektorprojektion

Typer af projektioner pr. definition vektorprojektion

Den geometriske projektion af vektoren AB på aksen (vektor) kaldes vektoren A"B", hvor begyndelsen A' er projektionen af begyndelsen A på aksen (vektor), og enden B' er projektionen. af enden B på samme akse.
Den algebraiske projektion af vektoren AB på aksen (vektoren) kaldes længden af vektoren A"B" taget med et + eller - tegn, afhængigt af om vektoren A"B" har samme retning som aksen ( vektor).

Typer af projektioner efter koordinatsystem

Vektorprojektionsegenskaber

Den geometriske projektion af en vektor er en vektor (den har en retning).
Den algebraiske projektion af en vektor er et tal.

Vektorprojektionssætninger

Sætning 1. Projektionen af summen af vektorer på enhver akse er lig med projektionen af vektorernes vilkår på samme akse.

AC"=AB"+B"C"

Sætning 2. Den algebraiske projektion af en vektor på en hvilken som helst akse er lig med produktet af vektorens længde og cosinus af vinklen mellem aksen og vektoren:

Pr a b = |b| cos(a,b)

Typer af vektorprojektioner

projektion på OX-aksen.
projektion på OY-aksen.
projektion på en vektor.

Projektion på OX-aksen	Projektion på OY-aksen	Projektion til vektor
Hvis retningen af vektoren A'B' falder sammen med retningen af OX-aksen, så har projektionen af vektoren A'B' et positivt fortegn.	Hvis retningen af vektoren A'B' falder sammen med retningen af OY-aksen, så har projektionen af vektoren A'B' et positivt fortegn.	Hvis retningen af vektoren A'B' falder sammen med retningen af vektoren NM, så har projektionen af vektoren A'B' et positivt fortegn.
Hvis vektorens retning er modsat retningen af OX-aksen, så har projektionen af vektoren A'B' et negativt fortegn.	Hvis retningen af vektoren A'B' er modsat retningen af OY-aksen, så har projektionen af vektoren A'B' et negativt fortegn.	Hvis retningen af vektoren A'B' er modsat retningen af vektoren NM, så har projektionen af vektoren A'B' et negativt fortegn.
Hvis vektoren AB er parallel med aksen OX, så er projektionen af vektoren A'B' lig med modulet af vektoren AB.	Hvis vektoren AB er parallel med OY-aksen, så er projektionen af vektoren A'B' lig med modulet af vektoren AB.	Hvis vektoren AB er parallel med vektoren NM, så er projektionen af vektoren A'B' lig med modulet af vektoren AB.
Hvis vektoren AB er vinkelret på aksen OX, så er projektionen af A'B' lig med nul (nul-vektor).	Hvis vektoren AB er vinkelret på OY-aksen, så er projektionen af A'B' lig med nul (en nulvektor).	Hvis vektoren AB er vinkelret på vektoren NM, så er projektionen af A'B' lig med nul (en nulvektor).

1. Spørgsmål: Kan projektionen af en vektor have et negativt fortegn. Svar: Ja, vektorprojektioner kan være negative. I dette tilfælde har vektoren den modsatte retning (se hvordan OX-aksen og AB-vektoren er rettet)
2. Spørgsmål: Kan projektionen af en vektor falde sammen med vektorens modul. Svar: Ja, det kan det. I dette tilfælde er vektorerne parallelle (eller ligger på samme linje).
3. Spørgsmål: Kan projektionen af en vektor være lig nul (nul-vektor). Svar: Ja, det kan det. I dette tilfælde er vektoren vinkelret på den tilsvarende akse (vektor).

Eksempel 1. Vektoren (fig. 1) danner en vinkel på 60 o med OX-aksen (den er givet af vektoren a). Hvis OE er en skalaenhed, så |b|=4, altså .

Faktisk er længden af vektoren (geometrisk projektion b) lig med 2, og retningen falder sammen med retningen af OX-aksen.

Eksempel 2. Vektoren (fig. 2) danner en vinkel med OX-aksen (med vektoren a) (a,b) = 120 o . Længde |b| vektor b er lig med 4, så pr a b=4 cos120 o = -2.

Faktisk er længden af vektoren lig med 2, og retningen er modsat retningen af aksen.

Der vil også være opgaver til en selvstændig løsning, som du kan se svarene på.

Vektor koncept

Før du lærer alt om vektorer og operationer på dem, skal du stille ind for at løse et simpelt problem. Der er en vektor for din virksomhed og en vektor for dine innovative evner. Entreprenørskabets vektor fører dig til mål 1, og vektoren for innovative evner - til mål 2. Spillets regler er sådan, at du ikke kan bevæge dig i retningerne af disse to vektorer på én gang og opnå to mål på én gang. Vektorer interagerer, eller matematisk set udføres en eller anden operation på vektorer. Resultatet af denne operation er vektoren "Resultat", som fører dig til mål 3.

Fortæl mig nu: resultatet af hvilken operation på vektorerne "Enterprise" og "Innovative evner" er vektoren "Resultat"? Hvis du ikke kan sige det med det samme, så bliv ikke modløs. Mens du studerer denne lektion, vil du være i stand til at besvare dette spørgsmål.

Som vi har set ovenfor, kommer vektoren nødvendigvis fra et tidspunkt EN i en lige linje til et punkt B. Derfor har hver vektor ikke kun en numerisk værdi - længde, men også en fysisk og geometrisk - retning. Ud fra dette er den første, enkleste definition af en vektor afledt. Så en vektor er et rettet segment, der går fra et punkt EN til sagen B. Det er markeret således:

Og at starte anderledes vektor operationer , skal vi stifte bekendtskab med endnu en definition af en vektor.

En vektor er en slags repræsentation af et punkt, der skal nås fra et eller andet udgangspunkt. For eksempel skrives en tredimensionel vektor normalt som (x, y, z) . Kort sagt repræsenterer disse tal, hvor langt du skal gå i tre forskellige retninger for at komme til sagen.

Lad en vektor være givet. Hvori x = 3 (højre hånd peger mod højre) y = 1 (venstre hånd peger fremad) z = 5 (under spidsen er der en stige der fører op). Ud fra disse data finder du punktet ved at gå 3 meter i retningen angivet af højre hånd, derefter 1 meter i retningen angivet af venstre hånd, og så venter en stige på dig, og når du klatrer 5 meter, vil du endelig finde dig selv ved slutpunktet.

Alle andre udtryk er justeringer af forklaringen præsenteret ovenfor, nødvendige for forskellige operationer på vektorer, det vil sige for at løse praktiske problemer. Lad os gennemgå disse mere stringente definitioner og dvæle ved typiske vektorproblemer.

Fysiske eksempler vektormængder kan være forskydningen af et materialepunkt, der bevæger sig i rummet, hastigheden og accelerationen af dette punkt samt kraften, der virker på det.

geometrisk vektor repræsenteret i todimensionelt og tredimensionelt rum i formen rettet segment. Dette er et segment, der har en begyndelse og en slutning.

Hvis EN er begyndelsen af vektoren, og B er dens ende, så er vektoren angivet med symbolet eller et enkelt lille bogstav . På figuren er enden af vektoren angivet med en pil (fig. 1)

Længde(eller modul) af en geometrisk vektor er længden af det segment, der genererer det

De to vektorer kaldes lige , hvis de kan kombineres (når retningerne falder sammen) ved parallel translation, dvs. hvis de er parallelle, peger de i samme retning og har samme længde.

I fysik overvejes det ofte fastgjorte vektorer, givet af påføringspunktet, længden og retningen. Hvis vektorens anvendelsespunkt ikke betyder noget, kan den overføres, idet længden og retningen holdes til ethvert punkt i rummet. I dette tilfælde kaldes vektoren gratis. Vi er enige om kun at overveje gratis vektorer.

Lineære operationer på geometriske vektorer

Gang en vektor med et tal

Vektor produkt pr nummer En vektor kaldes en vektor opnået fra en vektor ved at strække (ved ) eller krympe (på ) tidspunkter, og vektorens retning bevares hvis , og vendes hvis . (Fig. 2)

Det følger af definitionen, at vektorerne og = altid er placeret på en eller parallelle linjer. Sådanne vektorer kaldes collineær. (Man kan også sige, at disse vektorer er parallelle, men i vektoralgebra er det sædvanligt at sige "collinear".) Det omvendte er også sandt: hvis vektorerne og er kollineære, så er de beslægtede af relationen

Derfor udtrykker lighed (1) betingelsen for collinearness af to vektorer.

Vektor addition og subtraktion

Når du tilføjer vektorer, skal du vide det sum vektorer og kaldes en vektor, hvis begyndelse falder sammen med begyndelsen af vektoren, og slutningen falder sammen med enden af vektoren, forudsat at begyndelsen af vektoren er knyttet til enden af vektoren. (Fig. 3)

Denne definition kan fordeles over et hvilket som helst begrænset antal vektorer. Lad i rum givet n gratis vektorer. Når man tilføjer flere vektorer, tages deres sum som den afsluttende vektor, hvis begyndelse falder sammen med begyndelsen af den første vektor og slutningen med slutningen af den sidste vektor. Det vil sige, hvis begyndelsen af vektoren er knyttet til enden af vektoren, og begyndelsen af vektoren til enden af vektoren osv. og til sidst til slutningen af vektoren - begyndelsen af vektoren, så er summen af disse vektorer den afsluttende vektor , hvis begyndelse falder sammen med begyndelsen af den første vektor, og hvis slutning falder sammen med slutningen af den sidste vektor. (Fig. 4)

Udtrykkene kaldes vektorens komponenter, og den formulerede regel er polygon regel. Denne polygon er muligvis ikke flad.

Når en vektor ganges med tallet -1, opnås den modsatte vektor. Vektorerne og har samme længde og modsatte retninger. Deres sum giver nul vektor, hvis længde er nul. Retningen af nulvektoren er ikke defineret.

I vektoralgebra er der ingen grund til at overveje subtraktionens funktion separat: at subtrahere en vektor fra en vektor betyder at tilføje den modsatte vektor til vektoren, dvs.

Eksempel 1 Forenkle udtrykket:

det vil sige, at vektorer kan adderes og ganges med tal på samme måde som polynomier (især også problemer med at simplificere udtryk). Normalt opstår behovet for at forenkle lineært lignende udtryk med vektorer, før man beregner produkterne af vektorer.

Eksempel 2 Vektorerne og tjener som diagonaler af parallelogrammet ABCD (fig. 4a). Udtryk i form af og vektorerne , , og , som er siderne af dette parallelogram.

Opløsning. Skæringspunktet for diagonalerne i et parallelogram halverer hver diagonal. Længderne af vektorerne, der kræves i problemets tilstand, findes enten som halvdelen af summen af vektorerne, der danner en trekant med de ønskede, eller som halvdelen af forskellene (afhængigt af retningen af vektoren, der tjener som en diagonal), eller, som i sidstnævnte tilfælde, halvdelen af summen taget med et minustegn. Resultatet er de vektorer, der kræves i problemets tilstand:

Der er al mulig grund til at tro, at du nu svarede rigtigt på spørgsmålet om "Enterprise" og "Innovative abilities" vektorerne i begyndelsen af denne lektion. Korrekt svar: disse vektorer udsættes for en additionsoperation.

Løs opgaver på vektorer på egen hånd, og se derefter på løsningerne

Hvordan finder man længden af summen af vektorer?

Dette problem indtager en særlig plads i operationer med vektorer, da det involverer brugen af trigonometriske egenskaber. Lad os sige, at du har en opgave som følgende:

Givet længden af vektorer og længden af summen af disse vektorer. Find længden af forskellen mellem disse vektorer.

Løsninger på dette og andre lignende problemer og forklaringer på, hvordan de løses - i lektionen " Vektoraddition: længden af summen af vektorer og cosinussætningen ".

Og du kan tjekke løsningen af sådanne problemer på Online lommeregner "Ukendt side af en trekant (vektoraddition og cosinussætning)" .

Hvor er produkterne af vektorer?

Produkterne af en vektor med en vektor er ikke lineære operationer og betragtes separat. Og vi har lektioner "Prikprodukt af vektorer" og "Vektor og blandet produkt af vektorer".

Projektion af en vektor på en akse

Projektionen af en vektor på en akse er lig med produktet af længden af den projekterede vektor og cosinus af vinklen mellem vektoren og aksen:

Som det er kendt, projektionen af et punkt EN på linjen (planet) er bunden af vinkelret faldet fra dette punkt til linjen (planet).

Lad - en vilkårlig vektor (fig. 5), og og - projektioner af dens begyndelse (punkter EN) og slutning (prikker B) pr aksel l. (At bygge projektionen af et punkt EN) tegne lige gennem punktet EN plan vinkelret på linjen. Skæringspunktet mellem en linje og et plan bestemmer den nødvendige projektion.

Komponent af vektoren på l-aksen kaldes sådan en vektor liggende på denne akse, hvis begyndelse falder sammen med projektionen af begyndelsen, og slutningen - med projektionen af enden af vektoren .

Projektionen af vektoren på aksen l kaldt et nummer

lig med længden af komponentvektoren på denne akse, taget med et plustegn, hvis komponentens retning falder sammen med aksens retning l, og med et minustegn, hvis disse retninger er modsatte.

De vigtigste egenskaber ved vektorprojektioner på aksen:

1. Projektionerne af lige store vektorer på samme akse er lig med hinanden.

2. Når en vektor ganges med et tal, ganges dens projektion med det samme tal.

3. Projektionen af summen af vektorer på enhver akse er lig med summen af projektionerne på samme akse af vektorernes vilkår.

4. Projektionen af en vektor på en akse er lig med produktet af længden af den projekterede vektor og cosinus af vinklen mellem vektoren og aksen:

Opløsning. Lad os projicere vektorerne på aksen l som defineret i den teoretiske reference ovenfor. Fra fig. 5a er det tydeligt, at projektionen af summen af vektorer er lig med summen af projektionerne af vektorer. Vi beregner disse fremskrivninger:

Vi finder den endelige projektion af summen af vektorer:

Forholdet mellem en vektor og et rektangulært kartesisk koordinatsystem i rummet

bekendtskab med rektangulært kartesisk koordinatsystem i rummet fandt sted i den tilsvarende lektion, åbn den helst i et nyt vindue.

I et ordnet system af koordinatakser 0xyz akse Okse hedder x-aksen, akse 0 år – y-aksen, og akse 0z – applikationsakse.

med vilkårlig pointe M rum binde vektor

hedder radius vektor point M og projicere det på hver af koordinatakserne. Lad os betegne værdierne af de tilsvarende fremskrivninger:

Tal x, y, z hedder koordinater for punkt M, henholdsvis abscisse, ordinere og applikation, og er skrevet som et ordnet punkt med tal: M(x; y; z)(Fig. 6).

En vektor med længdeenhed, hvis retning falder sammen med aksens retning, kaldes enhedsvektor(eller ortom) akser. Betegn med

Følgelig enhedsvektorerne for koordinatakserne Okse, Åh, Oz

Sætning. Enhver vektor kan dekomponeres i enhedsvektorerne for koordinatakserne:

(2)

Lighed (2) kaldes vektorens ekspansion langs koordinatakserne. Koefficienterne for denne udvidelse er projektionerne af vektoren på koordinatakserne. Således er ekspansionskoefficienterne (2) af vektoren langs koordinatakserne koordinaterne for vektoren.

Efter at have valgt et bestemt koordinatsystem i rummet, bestemmer vektoren og trippelen af dens koordinater entydigt hinanden, så vektoren kan skrives i formen

Vektorrepræsentationerne i form (2) og (3) er identiske.

Betingelsen for kollineære vektorer i koordinater

Som vi allerede har bemærket, kaldes vektorer kollineære, hvis de er relateret af relationen

Lad vektorer . Disse vektorer er kollineære, hvis vektorernes koordinater er relateret af relationen

det vil sige, at vektorernes koordinater er proportionale.

Eksempel 6 Givet vektorer . Er disse vektorer kollineære?

Opløsning. Lad os finde ud af forholdet mellem koordinaterne for disse vektorer:

Koordinaterne for vektorerne er proportionale, derfor er vektorerne kollineære eller, hvad der er det samme, parallelle.

Vector længde og retning cosinus

På grund af den indbyrdes vinkelrethed af koordinatakserne, længden af vektoren

er lig med længden af diagonalen af et rektangulært parallelepipedum bygget på vektorerne

og kommer til udtryk ved ligestillingen

(4)

En vektor er fuldstændig defineret ved at angive to punkter (begyndelse og slutning), så vektorens koordinater kan udtrykkes i form af koordinaterne for disse punkter.

Lad begyndelsen af vektoren i det givne koordinatsystem være ved punktet

og slutningen er ved punktet

Fra ligestilling

Følger det

eller i koordineret form

Derfor, vektorens koordinater er lig med forskellene mellem koordinaterne af samme navn for slutningen og begyndelsen af vektoren . Formel (4) har i dette tilfælde formen

Vektorens retning bestemmes retning cosinus . Det er cosinuserne for de vinkler, som vektoren laver med akserne Okse, Åh og Oz. Lad os udpege disse vinkler hhv α , β og γ . Så kan disse vinklers cosinus findes ved formlerne

En vektors retningscosinus er også koordinaterne for vektorens vektor og dermed vektorens vektor