Sådan bestemmes projektionen på y-aksen. Projektion af kraft på aksen

§ 3. Vektorprojektioner på koordinatakserne

1. Find fremspring geometrisk.

Vektor
- projektion af vektoren på aksen OKSE
- projektion af vektoren på aksen OY

Definition 1. Vektor projektion på en hvilken som helst koordinatakse kaldes et tal taget med et "plus" eller "minus" tegn, svarende til længden af ​​segmentet placeret mellem baserne af perpendikulærerne, sænket fra begyndelsen og slutningen af ​​vektoren til koordinataksen.

Projektionstegnet er defineret som følger. Hvis der, når der bevæges langs koordinataksen, er en bevægelse fra projektionspunktet for begyndelsen af ​​vektoren til projektionspunktet for enden af ​​vektoren i den positive retning af aksen, så betragtes projektionen af ​​vektoren som positiv . Hvis - er modsat aksen, betragtes projektionen som negativ.

Figuren viser, at hvis vektoren på en eller anden måde er orienteret modsat koordinataksen, så er dens projektion på denne akse negativ. Hvis vektoren på en eller anden måde er orienteret i den positive retning af koordinataksen, så er dens projektion på denne akse positiv.

Hvis vektoren er vinkelret på koordinataksen, så er dens projektion på denne akse lig med nul.
Hvis en vektor er co-rettet med en akse, så er dens projektion på denne akse lig med vektorens modul.
Hvis vektoren er modsat koordinataksen, så er dens projektion på denne akse lig i absolut værdi med vektorens modul taget med et minustegn.

2. Den mest generelle definition af en projektion.

Fra en retvinklet trekant ABD: .

Definition 2. Vektor projektion på enhver koordinatakse kaldes et tal, der er lig med produktet af vektorens modul og cosinus af vinklen dannet af vektoren med den positive retning af koordinataksen.

Tegnet for projektionen bestemmes af tegnet for cosinus for vinklen dannet af vektoren med aksens positive retning.
Hvis vinklen er spids, har cosinus et positivt fortegn, og projektionerne er positive. For stumpe vinkler har cosinus et negativt fortegn, så i sådanne tilfælde er projektionerne på aksen negative.
- så for vektorer vinkelret på aksen er projektionen nul.

Definition 1. På et plan er den parallelle projektion af punkt A på l-aksen punktet - skæringspunktet for l-aksen med en ret linje trukket gennem punkt A parallelt med vektoren, der angiver projektionsretningen.

Definition 2. En vektors parallelle projektion på l-aksen (på en vektor) er vektorens koordinat i forhold til basis l-aksen, hvor punkterne og er parallelle projektioner af henholdsvis punkt A og B på l-aksen (fig. 1).

Per definition har vi

Definition 3. if og grundlaget for l-aksen kartesisk, altså projektionen af ​​vektoren på l-aksen kaldes ortogonal (fig. 2).

I rummet forbliver definition 2 af projektionen af ​​en vektor på en akse gyldig, kun projektionsretningen er givet af to ikke-kollineære vektorer (fig. 3).

Af definitionen af ​​projektionen af ​​en vektor på en akse følger det, at hver koordinat af vektoren er projektionen af ​​denne vektor på aksen bestemt af den tilsvarende basisvektor. I dette tilfælde er designretningen sat af to andre basisvektorer, hvis designet udføres (betragtes) i rummet, eller af en anden basisvektor, hvis designet betragtes på et plan (fig. 4).

Sætning 1. Den ortogonale projektion af en vektor på l-aksen er lig med produktet af vektorens modul og cosinus af vinklen mellem den positive retning af l-aksen og, dvs.

På den anden side

Fra vi finder

Ved at erstatte AC med lighed (2), opnår vi

Siden tallene x og af samme tegn i begge betragtede tilfælde ((fig. 5, a); (fig. 5, b), så indebærer lighed (4)

Kommentar. I fremtiden vil vi kun overveje den ortogonale projektion af vektoren på aksen, og derfor vil ordet "orth" (ortogonal) i notationen blive udeladt.

Vi præsenterer en række formler, som bliver brugt i fremtiden, når der skal løses problemer.

a) Projektion af en vektor på en akse.

Hvis, så har den ortogonale projektion på vektoren ifølge formel (5) formen

c) Afstand fra et punkt til et plan.

Lad b være en given plan med en normalvektor, M være et givet punkt,

d - afstand fra punkt M til plan b (fig. 6).

Hvis N er et vilkårligt punkt i planen b, og og er projektionerne af punkterne M og N på aksen, så

• G) Afstand mellem skærende linjer.

Lad a og b være givet skærende linjer, være en vektor vinkelret på dem, A og B være vilkårlige punkter på linje a og b, henholdsvis (fig. 7), og være projektioner af punkt A og B på, så

e) Afstand fra et punkt til en linje.

Lade l- givet linje med retningsvektor, M - givet punkt,

N - dens projektion på linjen l, derefter - den ønskede afstand (fig. 8).

Hvis A er et vilkårligt punkt på linjen l, så i den højre trekant MNA kan hypotenusen MA og benene findes. Midler,

e) Vinkel mellem en linje og et plan.

Lad være retningsvektoren for den givne linje l, - normalvektor for det givne plan b, - projektion af en ret linje l til plan b (fig. 9).

Som du ved, er vinklen q mellem linjen l og dens projektion på planet b kaldes vinklen mellem linjen og planet. Vi har

Lad os give eksempler på løsning af metriske problemer ved hjælp af vektor-koordinatmetoden.

Lad to vektorer og giv i rummet. Afsæt fra et vilkårligt punkt O vektorer og . hjørne mellem vektorerne og kaldes den mindste af vinklerne. Betegnes .

Overvej aksen l og plot en enhedsvektor på den (det vil sige en vektor, hvis længde er lig med en).

Vinkel mellem vektor og akse l forstå vinklen mellem vektorerne og .

Så lad l er en eller anden akse og er en vektor.

Betegn med A 1 og B1 projektioner på aksen l point EN og B. Lad os lade som om A 1 har en koordinat x 1, a B1- koordinere x2 på aksel l.

Derefter projektion vektor pr. akse l kaldes forskel x 1 – x2 mellem koordinaterne for projektionerne af slutningen og begyndelsen af ​​vektoren på denne akse.

Projektion af en vektor på en akse l vil vi betegne.

Det er klart, at hvis vinklen mellem vektoren og aksen l skarpt da x2> x 1, og projektionen x2 – x 1> 0; hvis denne vinkel er stump, så x2< x 1 og projektion x2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, derefter x2= x 1 og x2– x 1=0.

Således projektionen af ​​vektoren på aksen l er længden af ​​segmentet A 1 B 1 taget med et bestemt tegn. Derfor er projektionen af ​​en vektor på en akse et tal eller en skalar.

Projektionen af ​​en vektor på en anden er defineret på samme måde. I dette tilfælde findes projektionerne af enderne af denne vektor på linjen, hvorpå den 2. vektor ligger.

Lad os se på nogle af de vigtigste projektionsegenskaber.

LINEÆR AFHÆNGIGE OG LINEÆR UAFHÆNGIGE SYSTEMER AF VEKTORER

Lad os overveje flere vektorer.

Lineær kombination af disse vektorer er enhver vektor af formen , hvor er nogle tal. Tallene kaldes koefficienterne for den lineære kombination. Det siges også, at i dette tilfælde er lineært udtrykt i form af givne vektorer, dvs. opnået fra dem ved lineære operationer.

For eksempel, hvis tre vektorer er givet, kan vektorer betragtes som deres lineære kombination:

Hvis en vektor er repræsenteret som en lineær kombination af nogle vektorer, så siges den at være det nedbrudt langs disse vektorer.

Vektorerne kaldes lineært afhængig, hvis der er sådanne tal, ikke alle lig med nul, at . Det er klart, at de givne vektorer vil være lineært afhængige, hvis nogen af ​​disse vektorer er lineært udtrykt i forhold til de andre.

Ellers, dvs. når forholdet kun udføres når , kaldes disse vektorer lineært uafhængig.

Sætning 1. Enhver to vektorer er lineært afhængige, hvis og kun hvis de er kollineære.

Bevis:

Følgende sætning kan bevises på samme måde.

Sætning 2. Tre vektorer er lineært afhængige, hvis og kun hvis de er koplanære.

Bevis.

BASIS

Basis er samlingen af ​​lineært uafhængige vektorer, der ikke er nul. Elementerne i grundlaget vil blive betegnet med .

I det foregående underafsnit så vi, at to ikke-kollineære vektorer i planet er lineært uafhængige. Derfor, ifølge sætning 1 fra det foregående afsnit, er et grundlag på en plan to ikke-kollineære vektorer på dette plan.

Tilsvarende er tre ikke-koplanære vektorer lineært uafhængige i rummet. Derfor kaldes tre ikke-koplanære vektorer en basis i rummet.

Følgende påstand er sand.

Sætning. Lad et grundlag gives i rummet. Så kan enhver vektor repræsenteres som en lineær kombination , hvor x, y, z- nogle tal. En sådan nedbrydning er unik.

Bevis.

Således giver grundlaget dig mulighed for entydigt at associere hver vektor med en tripel af tal - koefficienterne for udvidelsen af ​​denne vektor i form af vektorerne i basis: . Det omvendte er også sandt, hver tripel af tal x, y, z ved at bruge basis, kan du matche vektoren, hvis du laver en lineær kombination .

Hvis grundlaget og , derefter tallene x, y, z hedder koordinater vektorer i det givne grundlag. Vektorkoordinaterne angiver .

CARTESIISK KOORDINATSYSTEM

Lad et punkt blive givet i rummet O og tre ikke-koplanære vektorer.

Cartesisk koordinatsystem i rummet (på et plan) kaldes mængden af ​​et punkt og en basis, dvs. sæt af et punkt og tre ikke-koplanære vektorer (2 ikke-kolineære vektorer), der udgår fra dette punkt.

Prik O kaldet oprindelsen; rette linjer, der går gennem origo i retning af basisvektorerne, kaldes koordinatakser - abscissen, ordinaten og applikataksen. De planer, der går gennem koordinatakserne, kaldes koordinatplaner.

Overvej et vilkårligt punkt i det valgte koordinatsystem M. Lad os introducere begrebet en punktkoordinat M. Vektoren, der forbinder oprindelsen til punktet M. hedder radius vektor point M.

En vektor i det valgte grundlag kan associeres med en tripel af tal - dens koordinater: .

Punktradius vektorkoordinater M. hedder koordinater for punkt M. i det betragtede koordinatsystem. M(x,y,z). Den første koordinat kaldes abscissen, den anden er ordinaten, og den tredje er applikatet.

De kartesiske koordinater på planet er defineret på samme måde. Her har punktet kun to koordinater - abscissen og ordinaten.

Det er let at se, at for et givet koordinatsystem har hvert punkt bestemte koordinater. På den anden side er der for hver triplet af tal et enkelt punkt, der har disse tal som koordinater.

Hvis vektorerne taget som grundlag i det valgte koordinatsystem har enhedslængde og er parvis vinkelrette, så kaldes koordinatsystemet Kartesisk rektangulær.

Det er nemt at vise det.

Retningscosinuserne for en vektor bestemmer fuldstændigt dens retning, men siger intet om dens længde.

Algebraisk vektorprojektion på enhver akse er lig med produktet af vektorens længde og cosinus af vinklen mellem aksen og vektoren:

Højre a b = |b|cos(a,b) eller

Hvor a b er skalarproduktet af vektorer, |a| - modul af vektor a .

Instruktion. For at finde projektionen af ​​vektoren Пp a b online, skal du angive koordinaterne for vektorerne a og b . I dette tilfælde kan vektoren gives i planet (to koordinater) og i rummet (tre koordinater). Den resulterende løsning gemmes i en Word-fil. Hvis vektorerne er givet gennem punkternes koordinater, så skal du bruge denne lommeregner.

Klassificering af vektorprojektion

Typer af projektioner pr. definition vektorprojektion

1. Den geometriske projektion af vektoren AB på aksen (vektor) kaldes vektoren A"B", hvor begyndelsen A' er projektionen af ​​begyndelsen A på aksen (vektor), og enden B' er projektionen. af enden B på samme akse.
2. Den algebraiske projektion af vektoren AB på aksen (vektoren) kaldes længden af ​​vektoren A"B" taget med et + eller - tegn, afhængigt af om vektoren A"B" har samme retning som aksen ( vektor).

Typer af projektioner efter koordinatsystem

Vektorprojektionsegenskaber

1. Den geometriske projektion af en vektor er en vektor (den har en retning).
2. Den algebraiske projektion af en vektor er et tal.

Vektorprojektionssætninger

Sætning 1. Projektionen af ​​summen af ​​vektorer på enhver akse er lig med projektionen af ​​vektorernes vilkår på samme akse.

AC"=AB"+B"C"

Sætning 2. Den algebraiske projektion af en vektor på en hvilken som helst akse er lig med produktet af vektorens længde og cosinus af vinklen mellem aksen og vektoren:

Pr a b = |b| cos(a,b)

Typer af vektorprojektioner

1. projektion på OX-aksen.
2. projektion på OY-aksen.
3. projektion på en vektor.

Projektion på OX-aksen	Projektion på OY-aksen	Projektion til vektor
Hvis retningen af ​​vektoren A'B' falder sammen med retningen af ​​OX-aksen, så har projektionen af ​​vektoren A'B' et positivt fortegn.	Hvis retningen af ​​vektoren A'B' falder sammen med retningen af ​​OY-aksen, så har projektionen af ​​vektoren A'B' et positivt fortegn.	Hvis retningen af ​​vektoren A'B' falder sammen med retningen af ​​vektoren NM, så har projektionen af ​​vektoren A'B' et positivt fortegn.
Hvis vektorens retning er modsat retningen af ​​OX-aksen, så har projektionen af ​​vektoren A'B' et negativt fortegn.	Hvis retningen af ​​vektoren A'B' er modsat retningen af ​​OY-aksen, så har projektionen af ​​vektoren A'B' et negativt fortegn.	Hvis retningen af ​​vektoren A'B' er modsat retningen af ​​vektoren NM, så har projektionen af ​​vektoren A'B' et negativt fortegn.
Hvis vektoren AB er parallel med aksen OX, så er projektionen af ​​vektoren A'B' lig med modulet af vektoren AB.	Hvis vektoren AB er parallel med OY-aksen, så er projektionen af ​​vektoren A'B' lig med modulet af vektoren AB.	Hvis vektoren AB er parallel med vektoren NM, så er projektionen af ​​vektoren A'B' lig med modulet af vektoren AB.
Hvis vektoren AB er vinkelret på aksen OX, så er projektionen af ​​A'B' lig med nul (nul-vektor).	Hvis vektoren AB er vinkelret på OY-aksen, så er projektionen af ​​A'B' lig med nul (en nulvektor).	Hvis vektoren AB er vinkelret på vektoren NM, så er projektionen af ​​A'B' lig med nul (en nulvektor).

1. Spørgsmål: Kan projektionen af ​​en vektor have et negativt fortegn. Svar: Ja, vektorprojektioner kan være negative. I dette tilfælde har vektoren den modsatte retning (se hvordan OX-aksen og AB-vektoren er rettet)
2. Spørgsmål: Kan projektionen af ​​en vektor falde sammen med vektorens modul. Svar: Ja, det kan det. I dette tilfælde er vektorerne parallelle (eller ligger på samme linje).
3. Spørgsmål: Kan projektionen af ​​en vektor være lig nul (nul-vektor). Svar: Ja, det kan det. I dette tilfælde er vektoren vinkelret på den tilsvarende akse (vektor).

Eksempel 1. Vektoren (fig. 1) danner en vinkel på 60 o med OX-aksen (den er givet af vektoren a). Hvis OE er en skalaenhed, så |b|=4, altså .

Faktisk er længden af ​​vektoren (geometrisk projektion b) lig med 2, og retningen falder sammen med retningen af ​​OX-aksen.

Eksempel 2. Vektoren (fig. 2) danner en vinkel med OX-aksen (med vektoren a) (a,b) = 120 o . Længde |b| vektor b er lig med 4, så pr a b=4 cos120 o = -2.

Faktisk er længden af ​​vektoren lig med 2, og retningen er modsat retningen af ​​aksen.

I denne artikel vil vi beskæftige os med projektionen af ​​en vektor på en akse og lære, hvordan man finder den numeriske projektion af en vektor. Først giver vi en definition af projektionen af ​​en vektor på en akse, introducerer notation og giver også en grafisk illustration. Derefter vil vi udtrykke definitionen af ​​den numeriske projektion af en vektor på en akse, overveje måder at finde den på og vise løsninger på flere eksempler, hvor det er nødvendigt at finde den numeriske projektion af en vektor på en akse.

Sidenavigation.

Projektion af en vektor på en akse - definition, betegnelse, illustrationer, eksempel.

Lad os starte med generel information.

En akse er en ret linje, for hvilken en retning er angivet. Således er projektionen af ​​en vektor på en akse og projektionen af ​​en vektor på en rettet linje en og samme.

Projektionen af ​​en vektor på en akse kan betragtes i to betydninger: geometrisk og algebraisk. I geometrisk forstand er projektionen af ​​en vektor på en akse en vektor, og i algebraisk forstand er det et tal. Ofte foretages denne sondring ikke eksplicit, men forstås ud fra konteksten. Vi vil ikke ignorere denne skelnen: vi vil bruge udtrykket "" når det kommer til projektion af en vektor i geometrisk forstand, og udtrykket "" når det kommer til projektion af en vektor i algebraisk betydning (næste afsnit). i denne artikel er viet til den numeriske projektion af en vektor på en akse).

Nu vender vi os til definitionen af ​​projektionen af ​​vektoren på aksen. For dette gør det ikke ondt at gentage.

Lad på planet eller i tredimensionelt rum får vi aksen L og en ikke-nul vektor . Lad os betegne projektionerne af punkterne A og B på linjen L som henholdsvis A 1 og B 1 og konstruere en vektor . Ser vi fremad, lad os sige, at en vektor er en projektion af en vektor på L-aksen.

Definition.

Projektion af en vektor på en akse er en vektor, hvis begyndelse og slutning er henholdsvis projektionerne af begyndelsen og slutningen af ​​den givne vektor.

Projektionen af ​​en vektor på L-aksen er betegnet som .

For at bygge en vektorprojektion på aksen L, skal du sænke perpendikulerne fra punkt A og B til den rettede linje L - baserne af disse perpendikulærer vil give begyndelsen og slutningen af ​​den ønskede projektion.

Lad os give et eksempel på projektion af en vektor på en akse.

Lad et rektangulært koordinatsystem Oxy indføres på planet og et punkt gives. Lad os afbilde radiusvektoren for punktet M 1 og bygge dets projektioner på koordinatakserne Ox og Oy . Det er klart, at de er vektorer med koordinater og hhv.

Man hører ofte om projektion af en vektor på en anden ikke-nul vektor, eller om projektion af en vektor på en retning af en vektor. I dette tilfælde er projektionen af ​​vektoren på en eller anden akse, hvis retning falder sammen med retningen af ​​vektoren, underforstået (generelt er der uendeligt mange akser, hvis retninger falder sammen med retningen af ​​vektoren). Projektionen af ​​en vektor på en ret linje, hvis retning bestemmer vektoren, betegnes som .

Bemærk, at hvis vinklen mellem vektorerne og er spids, så er vektorerne og codirectional. Hvis vinklen mellem vektorerne og er stump, så er vektorerne og modsat rettet. Hvis vektoren er nul eller vinkelret på vektoren, så er projektionen af ​​vektoren på den rette linje, hvis retning angiver vektoren, nulvektoren.

Numerisk projektion af en vektor på en akse - definition, betegnelse, eksempler på fund.

Den numeriske karakteristik af projektionen af ​​en vektor på en akse er den numeriske projektion af denne vektor på en given akse.

Definition.

Numerisk projektion af en vektor på en akse er et tal, der er lig med produktet af længden af ​​en given vektor og cosinus af vinklen mellem denne vektor og vektoren, der bestemmer retningen af ​​aksen.

Den numeriske projektion af vektoren på L-aksen er angivet som (uden pilen øverst), og den numeriske projektion af vektoren på aksen defineret af vektoren er betegnet som .

I disse notationer vil definitionen af ​​den numeriske projektion af en vektor på en ret linje rettet som en vektor have formen , hvor er længden af ​​vektoren , er vinklen mellem vektorerne og .

Så vi har den første formel til beregning af den numeriske projektion af en vektor: . Denne formel bruges, når vektorens længde og vinklen mellem vektorerne og er kendt. Denne formel kan utvivlsomt også bruges, når vektorernes koordinater og er kendte i forhold til et givet rektangulært koordinatsystem, men i dette tilfælde er det mere bekvemt at bruge en anden formel, som vi får nedenfor.

Eksempel.

Beregn den numeriske projektion af en vektor på en linje rettet som en vektor, hvis længden af ​​vektoren er 8 og vinklen mellem vektorerne og er lig med .

Opløsning.

Fra tilstanden af ​​det problem, vi har . Det er kun tilbage at anvende formlen, der giver dig mulighed for at bestemme den nødvendige numeriske projektion af vektoren:

Svar:

Vi ved det , hvor er skalarproduktet af vektorer og . Derefter formlen , der giver dig mulighed for at finde den numeriske projektion af en vektor på en ret linje rettet som en vektor , vil tage formen . Det vil sige, at vi kan formulere en anden definition af den numeriske projektion af en vektor på en akse, som svarer til definitionen givet i begyndelsen af ​​dette afsnit.

Definition.

Numerisk projektion af en vektor på en akse, hvis retning falder sammen med vektorens retning, er forholdet mellem vektorernes skalarprodukt og vektorens længde.

Det er praktisk at bruge den opnåede formel for formen til at finde den numeriske projektion af en vektor på en lige linje, hvis retning falder sammen med retningen af ​​vektoren, når vektorernes koordinater og er kendte. Det vil vi vise ved at løse eksempler.

Eksempel.

Det er kendt, at vektoren sætter retningen af ​​aksen L . Find den numeriske projektion af vektoren på L-aksen.

Opløsning.

Formlen i koordinatform er , hvor og . Vi bruger det til at finde den nødvendige numeriske projektion af vektoren på L-aksen:

Svar:

Eksempel.

I forhold til det rektangulære koordinatsystem Oxyz i tredimensionelt rum er der givet to vektorer og . Find den numeriske projektion af vektoren på aksen L, hvis retning falder sammen med vektorens retning.

Opløsning.

Ved vektorkoordinater og du kan beregne skalarproduktet af disse vektorer: . Længden af ​​en vektor i dens koordinater beregnes ved hjælp af følgende formel . Så har formlen til bestemmelse af den numeriske projektion af vektoren på L-aksen i koordinater formen .

Lad os anvende det:

Svar:

Lad os nu se forholdet mellem den numeriske projektion af vektoren på L-aksen, hvis retning bestemmer vektoren, og længden af ​​vektorens projektion på L-aksen. For at gøre dette skal du tegne aksen L, lægge vektorerne til side og fra et punkt, der ligger på L, slippe vinkelret fra enden af ​​vektoren til linjen L og konstruere projektionen af ​​vektoren på aksen L. Afhængigt af målet for vinklen mellem vektorerne og følgende fem muligheder er mulige:

I det første tilfælde er det indlysende, at derfor, , da .

I det andet tilfælde, i en markeret retvinklet trekant, fra definitionen af ​​cosinus af en vinkel, har vi , derfor, .

I det tredje tilfælde er det indlysende, at , og derfor og .

I det fjerde tilfælde følger det af definitionen af ​​cosinus af en vinkel, at , hvor .

I sidstnævnte tilfælde altså
.

Den følgende definition af den numeriske projektion af en vektor på en akse kombinerer de opnåede resultater.

Definition.

Numerisk projektion af en vektor på L-aksen, rettet som en vektor , er

Eksempel.

Længden af ​​projektionen af ​​vektoren på aksen L, hvis retning er sat af vektoren, er lig med . Hvad er den numeriske projektion af vektoren på L-aksen, hvis vinklen mellem vektorerne og er lig med radianer.