Vektorprojektion af en vektor på en akse. Vektor projektion

I fysik for klasse 9 (IK Kikoin, A.K. Kikoin, 1999),
opgave №5
til kapitel" KAPITEL 1. GENERELLE OPLYSNINGER OM BEVÆGELSE».

1. Hvad kaldes projektionen af ​​en vektor på koordinataksen?

1. Projektionen af ​​vektoren a på koordinataksen er længden af ​​segmentet mellem projektionerne af begyndelsen og slutningen af ​​vektoren a (vinkelrette sænket fra disse punkter ned på aksen) på denne koordinatakse.

2. Hvordan er kroppens forskydningsvektor relateret til dens koordinater?

2. Projektionerne af forskydningsvektoren s på koordinatakserne er lig med ændringen i kroppens tilsvarende koordinater.

3. Hvis et punkts koordinat stiger over tid, hvilket fortegn har projektionen af ​​forskydningsvektoren på koordinataksen så? Hvad hvis det falder?

3. Hvis et punkts koordinat stiger over tid, så vil projektionen af ​​forskydningsvektoren på koordinataksen være positiv, fordi i dette tilfælde vil vi gå fra projektionen af ​​begyndelsen til projektionen af ​​enden af ​​vektoren i retning af selve aksen.

Hvis punktets koordinat falder over tid, vil projektionen af ​​forskydningsvektoren på koordinataksen være negativ, fordi i dette tilfælde vil vi gå fra projektionen af ​​begyndelsen til projektionen af ​​enden af ​​vektoren mod selve retningsaksen.

4. Hvis forskydningsvektoren er parallel med X-aksen, hvad er så modulet for projektionen af ​​vektoren på denne akse? Hvad med projektionsmodulet af den samme vektor på Y-aksen?

4. Hvis forskydningsvektoren er parallel med X-aksen, så er modulet af vektorprojektionen på denne akse lig med modulet af vektoren selv, og dens projektion på Y-aksen er nul.

5. Bestem fortegnene for projektionerne på X-aksen af ​​forskydningsvektorerne vist i figur 22. Hvordan ændres kroppens koordinater under disse forskydninger?

5. I alle de følgende tilfælde ændres kroppens Y-koordinat ikke, og kroppens X-koordinat ændres som følger:

a) s1;

projektionen af ​​vektoren s 1 på X-aksen er negativ og modulo lig med længden af ​​vektoren s 1 . Med en sådan forskydning vil kroppens X-koordinat falde med længden af ​​vektoren s 1 .

b) s2;

projektionen af ​​vektoren s 2 på X-aksen er positiv og lig i absolut værdi med længden af ​​vektoren s 1 . Med en sådan forskydning vil kroppens X-koordinat øges med længden af ​​vektoren s 2 .

c) s3;

projektionen af ​​vektoren s 3 på X-aksen er negativ og lig i absolut værdi med længden af ​​vektoren s 3 . Med en sådan forskydning vil kroppens X-koordinat falde med længden af ​​vektoren s 3 .

d) s4;

projektionen af ​​vektoren s 4 på X-aksen er positiv og lig i absolut værdi med længden af ​​vektoren s 4 . Med en sådan forskydning vil kroppens X-koordinat øges med længden af ​​vektoren s 4 .

e) s5;

projektionen af ​​vektoren s 5 på X-aksen er negativ og lig i absolut værdi med længden af ​​vektoren s 5 . Med en sådan forskydning vil kroppens X-koordinat falde med længden af ​​vektoren s 5 .

6. Hvis den tilbagelagte afstand er stor, kan forskydningsmodulet så være lille?

6. Måske. Dette skyldes, at forskydning (forskydningsvektor) er en vektorstørrelse, dvs. er et rettet lige linjesegment, der forbinder kroppens begyndelsesposition med dens efterfølgende positioner. Og kroppens endelige position (uanset den tilbagelagte afstand) kan være vilkårligt tæt på kroppens startposition. Hvis kroppens endelige og indledende positioner falder sammen, vil forskydningsmodulet være lig nul.

7. Hvorfor er en krops forskydningsvektor vigtigere i mekanik end den vej, den har tilbagelagt?

7. Mekanikkens hovedopgave er at bestemme kroppens position til enhver tid. Ved at kende kroppens forskydningsvektor kan vi bestemme kroppens koordinater, dvs. kroppens position til enhver tid, og kun kender den tilbagelagte afstand, kan vi ikke bestemme kroppens koordinater, fordi vi har ikke oplysninger om bevægelsesretningen, men vi kan kun bedømme længden af ​​den tilbagelagte vej på et givet tidspunkt.

Lad os først huske, hvad der er koordinatakse, projektion af et punkt på en akse og koordinater for et punkt på aksen.

Koordinatakse er en ret linje, der er givet en retning. Du kan tænke på det som en vektor med et uendeligt stort modul.

Koordinatakse angivet med et hvilket som helst bogstav: X, Y, Z, s, t ... Normalt vælges et punkt (vilkårligt) på aksen, som kaldes oprindelsen og som regel betegnes med bogstavet O. Afstande til andre punkter af interesse for os måles fra dette punkt.

Projektion af et punkt på en akse- dette er bunden af ​​den perpendikulære, der falder fra dette punkt til den givne akse (fig. 8). Det vil sige, at projektionen af ​​et punkt på aksen er et punkt.

Punktkoordinater pr. akse er et tal, hvis absolutte værdi er lig med længden af ​​det segment af aksen (i den valgte skala), der er indesluttet mellem begyndelsen af ​​aksen og projektionen af ​​punktet på denne akse. Dette tal tages med et plustegn, hvis projektionen af ​​punktet er placeret i aksens retning fra dets begyndelse og med et minustegn, hvis det er i den modsatte retning.

Skalar projektion af en vektor på en akse- det nummer, hvis absolutte værdi er lig med længden af ​​segmentet af aksen (i den valgte skala), der er indesluttet mellem projektionerne af startpunktet og vektorens slutpunkt. Vigtig! Normalt i stedet for udtrykket skalar projektion af en vektor på en akse de siger bare - projektion af en vektor på en akse, altså ordet skalar sænket. Vektor projektion angivet med det samme bogstav som den projicerede vektor (i normal, ikke-fed skrift), med et underskrift (normalt) af navnet på den akse, hvorpå denne vektor er projiceret. For eksempel hvis en vektor projiceres på x-aksen en, så er dens projektion betegnet et x . Når du projicerer den samme vektor på en anden akse, f.eks. Y-aksen, vil dens projektion blive betegnet som y (fig. 9).

At beregne vektorprojektion på aksen(for eksempel X-aksen) er det nødvendigt at trække startpunktets koordinat fra koordinaten for dets slutpunkt, dvs.

og x \u003d x k - x n.

Vi skal huske: den skalære projektion af en vektor på en akse (eller simpelthen projektionen af ​​en vektor på en akse) er et tal (ikke en vektor)! Desuden kan projektionen være positiv, hvis værdien af ​​x k er større end værdien af ​​x n, negativ, hvis værdien af ​​x k er mindre end værdien af ​​x n og lig med nul, hvis x k er lig med x n (fig. 10).

Projektionen af ​​en vektor på en akse kan også findes ved at kende vektorens modul og den vinkel den danner med den akse.

Figur 11 viser, at a x = a Cos α

Det vil sige, at projektionen af ​​vektoren på aksen er lig med produktet af vektormodulet og cosinus af vinklen mellem akseretning og vektorretning. Hvis vinklen er spids, så er Cos α > 0 og a x > 0, og hvis den er stump, så er cosinus for den stumpe vinkel negativ, og projektionen af ​​vektoren på aksen vil også være negativ.

Vinkler talt fra aksen mod uret anses for at være positive, og i retningen - negative. Men da cosinus er en lige funktion, det vil sige Cos α \u003d Cos (− α), kan vinklerne tælles både med uret og mod uret, når man beregner projektioner.

Ved løsning af problemer vil følgende egenskaber ved projektioner ofte blive brugt: if

-en = b + c +…+ d, så a x = b x + c x +…+ d x (på samme måde for andre akser),

-en= m b, så a x = mb x (tilsvarende for andre akser).

Formlen a x = a Cos α vil være Tit mødes ved problemløsning, så det skal kendes. Du skal kende reglen for at bestemme fremskrivningen udenad!

Husk!

For at finde projektionen af ​​en vektor på en akse skal denne vektors modul ganges med cosinus af vinklen mellem aksens retning og vektorens retning.

Endnu en gang - HURTIG!

Løsning af problemer med ligevægten mellem konvergerende kræfter ved at konstruere lukkede kraftpolygoner er forbundet med besværlige konstruktioner. En universel metode til at løse sådanne problemer er overgangen til at bestemme projektionerne af givne kræfter på koordinatakserne og arbejde med disse projektioner. Aksen kaldes en ret linje, som er tildelt en bestemt retning.

Projektionen af ​​en vektor på en akse er en skalarværdi, som bestemmes af det segment af aksen, der er afskåret af de perpendikulære, der falder på den fra begyndelsen og slutningen af ​​vektoren.

Projektionen af ​​en vektor betragtes som positiv, hvis retningen fra begyndelsen af ​​projektionen til dens slutning falder sammen med den positive retning af aksen. Projektionen af ​​en vektor betragtes som negativ, hvis retningen fra begyndelsen af ​​projektionen til dens ende er modsat den positive retning af aksen.

Således er projektionen af ​​kraften på koordinataksen lig med produktet af kraftmodulet og cosinus af vinklen mellem kraftvektoren og aksens positive retning.

Overvej en række tilfælde af projicerende kræfter på en akse:

Kraft vektor F(Fig. 15) laver en spids vinkel med x-aksens positive retning.

For at finde fremskrivningen sænker vi fra begyndelsen og slutningen af ​​kraftvektoren perpendikulærerne til aksen åh; vi får

1. Fx = F cosα

Projektionen af ​​vektoren i dette tilfælde er positiv

Strøm F(Fig. 16) er med den positive retning af aksen x stump vinkel α.

Derefter F x= F cos α, men da α = 180 0 - φ,

F x= F cosα = F cos180 0 - φ =- F fordi phi.

Kraftprojektion F pr aksel åh i dette tilfælde er negativ.

Strøm F(Fig. 17) vinkelret på aksen åh.

Projektion af kraft F på aksen x nul

F x= F cos 90° = 0.

Kraft placeret på et fly hvordan(Fig. 18), kan projiceres på to koordinatakser Åh og OU.

Styrke F kan opdeles i komponenter: F x og F y . Vektormodul F x er lig med vektorprojektionen F pr aksel okse og vektorens modul F y er lig med projektionen af ​​vektoren F pr aksel åh.

Fra Δ OAB: F x= F cosα, F x= F sinα.

Fra Δ SLA: F x= F fordi phi, F x= F synd phi.

Kraftmodulet kan findes ved hjælp af Pythagoras sætning:

Projektionen af ​​vektorsummen eller resultanten på en hvilken som helst akse er lig med den algebraiske sum af projektionerne af termerne for vektorerne på samme akse.

Overvej konvergerende kræfter F 1 , F 2 , F 3, og F 4, (fig. 19, a). Den geometriske sum eller resultant af disse kræfter F bestemt af den lukkende side af kraftpolygonen

Drop fra hjørnerne af kraftpolygonen på aksen x vinkelrette.

I betragtning af de opnåede fremskrivninger af kræfter direkte fra det færdige byggeri, har vi

F= F 1x+ F 2x+ F 3x+ F 4x

hvor n er antallet af led af vektorer. Deres projektioner kommer ind i ovenstående ligning med det passende fortegn.

I et plan kan den geometriske sum af kræfter projiceres på henholdsvis to koordinatakser og i rummet på tre.

Definition 1. På et plan er den parallelle projektion af punkt A på l-aksen punktet - skæringspunktet for l-aksen med en ret linje trukket gennem punkt A parallelt med vektoren, der angiver projektionsretningen.

Definition 2. En vektors parallelle projektion på l-aksen (på en vektor) er vektorens koordinat i forhold til basis l-aksen, hvor punkterne og er parallelle projektioner af henholdsvis punkt A og B på l-aksen (fig. 1).

Per definition har vi

Definition 3. if og grundlaget for l-aksen kartesisk, altså projektionen af ​​vektoren på l-aksen kaldes ortogonal (fig. 2).

I rummet forbliver definition 2 af projektionen af ​​en vektor på en akse gyldig, kun projektionsretningen er givet af to ikke-kollineære vektorer (fig. 3).

Af definitionen af ​​projektionen af ​​en vektor på en akse følger det, at hver koordinat af vektoren er projektionen af ​​denne vektor på aksen bestemt af den tilsvarende basisvektor. I dette tilfælde er designretningen sat af to andre basisvektorer, hvis designet udføres (betragtes) i rummet, eller af en anden basisvektor, hvis designet betragtes på et plan (fig. 4).

Sætning 1. Den ortogonale projektion af en vektor på l-aksen er lig med produktet af vektorens modul og cosinus af vinklen mellem den positive retning af l-aksen og, dvs.

På den anden side

Fra vi finder

Ved at erstatte AC med lighed (2), opnår vi

Siden tallene x og af samme tegn i begge betragtede tilfælde ((fig. 5, a); (fig. 5, b), så indebærer lighed (4)

Kommentar. I fremtiden vil vi kun overveje den ortogonale projektion af vektoren på aksen, og derfor vil ordet "orth" (ortogonal) i notationen blive udeladt.

Vi præsenterer en række formler, som bliver brugt i fremtiden, når der skal løses problemer.

a) Projektion af en vektor på en akse.

Hvis, så har den ortogonale projektion på vektoren ifølge formel (5) formen

c) Afstand fra et punkt til et plan.

Lad b være en given plan med en normalvektor, M være et givet punkt,

d - afstand fra punkt M til plan b (fig. 6).

Hvis N er et vilkårligt punkt i plan b, og og er projektionerne af punkterne M og N på aksen, så

• G) Afstand mellem skærende linjer.

Lad a og b være givet skærende linjer, være en vektor vinkelret på dem, A og B være vilkårlige punkter på linje a og b, henholdsvis (fig. 7), og være projektioner af punkt A og B på, så

e) Afstand fra et punkt til en linje.

Lade l- givet linje med retningsvektor, M - givet punkt,

N - dens projektion på linjen l, derefter - den ønskede afstand (fig. 8).

Hvis A er et vilkårligt punkt på linjen l, så i den højre trekant MNA kan hypotenusen MA og benene findes. Midler,

e) Vinkel mellem en linje og et plan.

Lad være retningsvektoren for den givne linje l, - normalvektor for det givne plan b, - projektion af en ret linje l til plan b (fig. 9).

Som du ved, er vinklen q mellem linjen l og dens projektion på planet b kaldes vinklen mellem linjen og planet. Vi har

Lad os give eksempler på løsning af metriske problemer ved hjælp af vektor-koordinatmetoden.

projektion vektor på en akse kaldes en vektor, som fås ved at gange skalarprojektionen af ​​en vektor på denne akse og enhedsvektoren for denne akse. For eksempel, hvis et x er skalær projektion vektor -en på x-aksen, derefter et x jeg- dens vektorprojektion på denne akse.

Betegn vektor projektion ligesom vektoren selv, men med indekset for den akse, som vektoren er projiceret på. Så vektorprojektionen af ​​vektoren -en på x-aksen angiver -en x ( olieagtig et bogstav, der angiver en vektor og et underskrift af aksenavnet) eller (et ikke-fedt bogstav, der angiver en vektor, men med en pil øverst (!) og et underskrift af aksenavnet).

Skalær projektion vektor pr. akse kaldes nummer, hvis absolutte værdi er lig med længden af ​​segmentet af aksen (i den valgte skala), der er indesluttet mellem projektionerne af startpunktet og vektorens slutpunkt. Normalt i stedet for udtrykket skalær projektion bare sige - projektion. Projektionen er angivet med det samme bogstav som den projicerede vektor (i normal, ikke-fed skrift), med et underskrift (normalt) af navnet på den akse, hvorpå denne vektor er projiceret. For eksempel hvis en vektor projiceres på x-aksen en, så er dens projektion betegnet et x . Når den samme vektor projiceres på en anden akse, hvis aksen er Y, vil dens projektion blive betegnet som y.

For at beregne projektion vektor på en akse (f.eks. X-aksen) er det nødvendigt at trække startpunktets koordinat fra koordinaten for dets slutpunkt, dvs.
og x \u003d x k - x n.
Projektionen af ​​en vektor på en akse er et tal. Desuden kan projektionen være positiv, hvis værdien af ​​x k er større end værdien af ​​x n,

negativ, hvis værdien af ​​x k er mindre end værdien af ​​x n

og lig med nul, hvis x k er lig med x n.

Projektionen af ​​en vektor på en akse kan også findes ved at kende vektorens modul og den vinkel den danner med den akse.

Det kan ses på figuren, at a x = a Cos α

det vil sige, at projektionen af ​​vektoren på aksen er lig med produktet af vektorens modul og cosinus af vinklen mellem aksens retning og vektor retning. Hvis vinklen er spids, så
Cos α > 0 og a x > 0, og hvis stump, så er cosinus for en stump vinkel negativ, og projektionen af ​​vektoren på aksen vil også være negativ.

Vinkler talt fra aksen mod uret anses for at være positive, og i retningen - negative. Men da cosinus er en lige funktion, det vil sige Cos α = Cos (− α), kan vinklerne ved beregning af projektioner tælles både med uret og mod uret.

For at finde projektionen af ​​en vektor på en akse skal denne vektors modul ganges med cosinus af vinklen mellem aksens retning og vektorens retning.

Vektorkoordinater er koefficienterne for den eneste mulige lineære kombination af basisvektorer i det valgte koordinatsystem lig med den givne vektor.

hvor er vektorens koordinater.

Punktprodukt af vektorer

SCOAL PRODUKT AF VEKTORER[- i finit-dimensional vektor rum er defineret som summen af ​​produkterne af de samme komponenter i det multiplicerede vektorer.

For eksempel, S. p. -en = (-en 1 , ..., en n) og b = (b 1 , ..., b n):

(-en , b ) = -en 1 b 1 + -en 2 b 2 + ... + a n b n