Konstravimo naudojant kompasą ir liniuotę taisyklės. Piešimas kompasu ir liniuote

Jei visiškai natūralu, kad su didesne įrankių įvairove paaiškėja, kad įmanoma išspręsti platesnę statybos problemų grupę, tai galima būtų numatyti, kad, priešingai, pagal įrankiams taikomus apribojimus, sprendžiamų problemų klasė susiaurės. Juo labiau įsidėmėtinas turėtų būti italo atradimas Mascheroni (1750–1800):visos geometrinės konstrukcijos, atliekamos kompasu ir liniuote, gali būti atliekamos tik su vienu kompasu.Žinoma, turėtų būti nustatyta, kad iš tikrųjų neįmanoma nubrėžti tiesės per du duotus taškus be liniuotės, todėl šios pagrindinės konstrukcijos Mascheroni teorija neapima. Vietoj to, reikia daryti prielaidą, kad linija duota, jei pateikti du jos taškai. Bet tik vieno kompaso pagalba galima rasti dviejų taip apibrėžtų tiesių susikirtimo tašką arba tiesės susikirtimo su apskritimu tašką.

Turbūt paprasčiausias Mascheroni konstrukcijos pavyzdys yra duotosios atkarpos AB padvigubinimas. Sprendimas jau pateiktas 174-175 puslapiuose. Be to, 175–176 puslapiuose sužinojome, kaip padalyti šį segmentą per pusę. Dabar pažiūrėkime, kaip padalinti į pusę apskritimo AB, kurio centras yra O, lanką. Pateikiame šios konstrukcijos aprašymą (47 pav.). Spinduliu AO nubrėžiame du lankus su centrais A ir B. Iš taško O ant šių lankų atidedame du tokius lankus OP ir OQ taip, kad OP = OQ = AB... Tada randame lanko susikirtimo su centru P ir spinduliu PB tašką R ir lanką su centru Q ir spinduliu QA. Galiausiai, spindulį paėmę atkarpą ARBA, aprašome lanką su centru P arba Q iki sankirtos su lanku AB - susikirtimo tašku ir yra norimas lanko AB vidurio taškas. Įrodymas paliekamas skaitytojui kaip pratimas.

Neįmanoma būtų įrodyti pagrindinio Mascheroni teiginio, nurodant, kaip kiekvienai konstrukcijai, atliekamai su kompasu ir liniuote, tai galima padaryti su vienu kompasu: juk galimų konstrukcijų yra begalė. Tačiau tą patį tikslą pasieksime, jei nustatysime, kad kiekvieną iš šių pagrindinių konstrukcijų galima atlikti naudojant vieną kompasą:

1. Nubrėžkite apskritimą, jei nurodytas jo centras ir spindulys.
2. Raskite dviejų apskritimų susikirtimo taškus.
3. Raskite tiesės ir apskritimo susikirtimo taškus.
4. Raskite dviejų tiesių susikirtimo tašką.

Bet kokia geometrinė konstrukcija (įprasta prasme, darant prielaidą, kad yra kompasas ir liniuote) yra sudaryta iš baigtinės šių elementariųjų konstrukcijų sekos vykdymo. Kad pirmieji du iš jų yra įmanomi su vienu kompasu, aišku tiesiogiai. Sunkesnės 3 ir 4 konstrukcijos atliekamos naudojant ankstesnėje pastraipoje aptartas inversijos savybes.

Pereikime prie 3 konstrukcijos: randame šio apskritimo C susikirtimo taškus tiesia linija, einančia per šiuos taškus A ir B. Nubrėžiame lankus, kurių centrai A ir B ir spinduliai atitinkamai lygūs AO ir BO, išskyrus tašką O , jie susikerta taške P. Tada apskritimo C atžvilgiu statome tašką Q, priešingą taškui P (žr. konstrukciją, aprašytą 174 puslapyje). Galiausiai nubrėžkite apskritimą, kurio centras Q ir spindulys QO (jis tikrai susikirs su C): jo susikirtimo taškai X ir X "apskritimu C bus norimi. Norėdami tai įrodyti, pakanka nustatyti, kad kiekvienas iš taškų X ir X" yra tokiu pat atstumu nuo O ir P (kaip ir taškams A ir B, jų analogiška savybė iš karto išplaukia iš konstrukcijos). Iš tiesų, pakanka nurodyti, kad taškas, esantis priešais tašką Q, yra nutolęs nuo taškų X ir X "atstumu, lygiu apskritimo spinduliui C (žr. 173 psl.). Verta paminėti, kad apskritimas, einantis per taškus X, X" ir O, yra atvirkštinė tiesė AB apskritimo C atžvilgiu, nes šis apskritimas ir tiesė AB kertasi su C tuose pačiuose taškuose. (Inversijos metu pagrindo apskritimo taškai lieka nejudantys.) Nurodyta konstrukcija neįmanoma tik tuo atveju, jei tiesė AB eina per centrą C. Tačiau susikirtimo taškus galima rasti naudojant konstrukciją, aprašytą 178 puslapyje kaip vidurio taškus. lankų C, gautų nubrėžus savavališką apskritimą su centru B, susikertantį su C taškuose B 1 ir B 2.

Apskritimo brėžimo būdas, atvirkštinė tiesė "jungianti du duotus taškus, iš karto duoda konstrukciją, kuri išsprendžia 4 uždavinį. Tegul tieses pateikia taškai A, B ir A", B "(50 pav.) Nubrėžkite savavališką apskritimą C ir aukščiau pateiktu metodu sukonstruosime apskritimus, esančius priešingai tiesioms AB ir A "B". Šie apskritimai susikerta taške O ir dar viename taške Y, taškas X, priešais tašką Y, yra norimas susikirtimo taškas. : kaip jį sukonstruoti jau buvo paaiškinta aukščiau. norimą tašką, tai aišku iš to, kad Y yra vienintelis taškas, priešingas taškui, vienu metu priklausančiam abiem tiesėms AB ir A "B", todėl taškas X, priešingas į Y, turi vienu metu gulėti ant AB ir A "B" ...

Šios dvi konstrukcijos baigia lygiavertiškumo tarp Mascheroni konstrukcijų, kurioms leidžiama naudoti tik kompasus, ir įprastų geometrinių konstrukcijų su kompasais ir tiesiosiomis įrodymą.

Mums nerūpėjo čia svarstomas individualių problemų sprendimo grakštumas, nes mūsų tikslas buvo išsiaiškinti vidinę Mascheroni konstrukcijų prasmę. Bet kaip pavyzdį nurodysime ir taisyklingo penkiakampio konstrukciją; tiksliau, mes kalbame apie kokių penkių apskritimo taškų, kurie gali būti taisyklingo įrašyto penkiakampio viršūnės, suradimą.

Tegu A yra savavališkas apskritimo K taškas. Kadangi taisyklingo įrašyto šešiakampio kraštinė yra lygi apskritimo spinduliui, nebus sunku atidėti taškus B, C, D ant K taip, kad AB = BC = CD = 60 ° (51 pav.). Nubrėžkite lankus su centrais A ir D, kurių spindulys lygus AC; tegul jie susikerta taške X. Tada, jei O yra K centras, lankas su centru A ir spinduliu OX susikirs K taške F, kuris yra lanko BC vidurys (žr. 178 psl.). Tada spinduliu, lygiu spinduliui K, aprašome lankus su centru F, kertančius su K taškuose G ir H. Tegul Y yra taškas, kurio atstumai nuo taškų G ir H yra lygūs OX ir kurį nuo X skiria centras O. Šiuo atveju atkarpa AY kaip kartus yra reikiamo penkiakampio kraštinė. Įrodymas skaitytojui pateikiamas kaip pratimas. Įdomu tai, kad statybos metu naudojami tik trys skirtingi spinduliai.

1928 metais danų matematikas Elmslevas viename Kopenhagos knygyne rado kopiją knygos, kuri vadinosi. Euklidas Danikas nežinomo autoriaus išleido 1672 m G. Moromas. Iš titulinio puslapio buvo galima daryti išvadą, kad tai tik viena iš Euklido „Elementų“ versijų, aprūpinta, ko gero, redakciniu komentaru. Tačiau atidžiau panagrinėjus paaiškėjo, kad jame yra pilnas Mascheroni problemos sprendimas, rastas gerokai prieš Mascheroni.

Pratimai. Toliau pateikiamas Mohro konstrukcijų aprašymas. Patikrinkite, ar jie teisingi. Kodėl galima teigti, kad jie išsprendžia Mascheroni problemą?

Pasisėmęs įkvėpimo iš Mascheroni rezultatų, Jokūbas Steineris (1796–1863) pabandė ištirti konstrukcijas, kurias galima atlikti naudojant tik vieną liniuotę. Žinoma, vien liniuotė neperžengia duoto skaitinio lauko ribų, todėl neužtenka atlikti visas geometrines konstrukcijas jų klasikine prasme. Tačiau tuo įspūdingesni yra Steinerio rezultatai, kuriuos pasiekė su jo įvestu apribojimu – naudoti kompasą tik vieną kartą. Jis įrodė, kad visos konstrukcijos plokštumoje, kurias galima atlikti naudojant kompasą ir liniuotę, taip pat gali būti atliekamos naudojant vieną liniuotę, jei yra vienas fiksuotas apskritimas su centru. Šios konstrukcijos numato projekcinių metodų naudojimą ir bus aprašytos vėliau (žr. p. 228).

* Negalite išsiversti be apskritimo ir, be to, su centru. Pavyzdžiui, jei duotas apskritimas, bet nenurodytas jo centras, tai naudojant vieną liniuotę centro neįmanoma rasti. Dabar tai įrodysime, tačiau remdamiesi faktu, kuris bus nustatytas vėliau (žr. p. 252): vyksta toks plokštumos transformavimas į save, kad a) duotas apskritimas lieka nejudantis, b) eina kiekviena tiesė. į tiesią liniją, su ) fiksuoto apskritimo centras nelieka nejudantis, o pasislenka. Pats tokios transformacijos egzistavimas liudija, kad naudojant vieną liniuotę neįmanoma sukonstruoti duoto apskritimo centro. Tiesą sakant, kad ir kokia būtų konstravimo procedūra, ji susideda iš kelių atskirų etapų, kuriuos sudaro tiesių linijų brėžimas ir jų sankirtos suradimas viena su kita arba su tam tikru apskritimu. Įsivaizduokime, kad visa figūra kaip visuma yra apskritimas, o visos tiesės, nubrėžtos išilgai liniuote, statant centrą, yra paveikiamos transformacija, kurios egzistavimą mes čia padarėme prielaidą. Tada aišku, kad po transformacijos gautas skaičius atitiktų ir visus statybos reikalavimus; tačiau šiuo paveikslu nurodyta konstrukcija vestų į kitą tašką nei duotojo apskritimo centras. Tai reiškia, kad aptariama konstrukcija neįmanoma.

Kolegialus „YouTube“.

1 / 5

✪ 7 klasė, 22 pamoka, Konstrukcijos su kompasu ir liniuote

✪ Geometry 7 Circle Draw su kompasu ir liniuote

✪ Nubrėžkite trikampį iš dviejų kraštų ir kampą tarp jų

✪ Geometrija 7 Konstravimo problemų pavyzdžiai

✪ 7 klasė, 23 pamoka, statybos užduočių pavyzdžiai

Subtitrai

Pavyzdžiai

Bisekcijos problema... Naudodami kompasą ir liniuotę padalinkite šį segmentą ABį dvi lygias dalis. Vienas iš sprendimų parodytas paveikslėlyje:

• Kompasu nubrėžkite apskritimus, kurių centras yra taškuose A ir B spindulys AB.
• Susikirtimo taškų radimas P ir K du sukonstruoti apskritimai (lankai).
• Nubrėžkite atkarpą arba liniją išilgai liniuotės per taškus P ir K.
• Raskite norimą atkarpos vidurio tašką AB- susikirtimo taškas AB ir PQ.

Formalus apibrėžimas

Konstravimo uždaviniuose atsižvelgiama į aibę šių objektų: visi plokštumos taškai, visos plokštumos tiesės ir visi plokštumos apskritimai. Problemos sąlygomis iš pradžių nurodomas (laikomas sukonstruotu) objektų rinkinys. Į statomų objektų rinkinį leidžiama pridėti (statyti):

1. savavališkas taškas;
2. savavališkas taškas duotoje tiesėje;
3. savavališkas taškas duotame apskritime;
4. dviejų nurodytų tiesių susikirtimo taškas;
5. duotosios tiesės ir tam tikro apskritimo susikirtimo / liestinės taškai;
6. dviejų nurodytų apskritimų susikirtimo / liesties taškai;
7. savavališka tiesė, einanti per nurodytą tašką;
8. tiesi linija, einanti per du duotus taškus;
9. savavališkas apskritimas, kurio centras yra tam tikrame taške;
10. savavališkas apskritimas, kurio spindulys lygus atstumui tarp dviejų nurodytų taškų;
11. apskritimas, kurio centras yra nurodytame taške ir kurio spindulys lygus atstumui tarp dviejų nurodytų taškų.

Norint sukurti kitą objektų rinkinį, kuris yra tam tikru ryšiu su pradiniu rinkiniu, reikia naudoti baigtinį šių operacijų skaičių.

Statybos problemos sprendimą sudaro trys esminės dalys:

1. Duoto rinkinio sudarymo metodo aprašymas.
2. Įrodymas, kad aprašytu būdu sudaryta aibė iš tikrųjų yra tam tikrame santykyje su pradine aibe. Paprastai konstrukcijos įrodymas atliekamas kaip įprastas teoremos įrodymas, remiantis aksiomomis ir kitomis įrodytomis teoremomis.
3. Aprašyto konstravimo metodo pritaikymo įvairiems pradinių sąlygų variantams, taip pat aprašytu būdu gauto sprendimo unikalumo ar nepakartojamumo analizė.

Žinomos užduotys

Kita gerai žinoma ir neišsprendžiama kompaso ir liniuotės pagalba – trikampio konstravimas iš trijų duotųjų pusių ilgių. Ši užduotis lieka neišspręsta net naudojant įrankį, kuris atlieka kampo trisekciją, pvz., Tomahawk.

Leidžiami linijų atkarpos tiesimui naudojant kompasą ir liniuotę

Šių įrankių pagalba galima sukurti ilgio linijos atkarpą:

Norint sudaryti atkarpą, kurios ilgis skaitiniu būdu lygus nurodytų atkarpų ilgių sandaugai, daliniui ir kvadratinei šaknei, konstravimo plokštumoje reikia nurodyti vienetinį segmentą (tai yra 1 ilgio atkarpą). Naudojant kompasą ir liniuotę neįmanoma ištraukti šaknų iš segmentų, kurių kiti natūralūs laipsniai nėra 2 laipsniai. Taigi, pavyzdžiui, neįmanoma sukurti ilgio segmento naudojant kompasą ir liniuotę iš vienetinio segmento. Šis faktas ypač reiškia, kad kubo padvigubinimo problema yra neišspręsta.

Galimos ir neįmanomos konstrukcijos

Formaliu požiūriu bet kurios konstravimo problemos sprendimas redukuojamas į grafinį kokios nors algebrinės lygties sprendimą, o šios lygties koeficientai yra susieti su duotųjų atkarpų ilgiais. Todėl galime sakyti, kad konstravimo uždavinys yra sumažintas iki tikrosios algebrinės lygties šaknų suradimo.

Todėl patogu kalbėti apie skaičiaus sudarymą – grafinį tam tikro tipo lygties sprendimą.

Atsižvelgiant į galimas segmentų konstrukcijas, galimos šios konstrukcijos:

• Tiesinių lygčių sprendinių konstravimas.
• Lygčių, redukuojančių į kvadratinių lygčių sprendinius, sprendinių konstravimas.

Kitaip tariant, naudojant pradinių skaičių kvadratinę šaknį (duoti atkarpų ilgiai), galima sudaryti tik atkarpas, lygias aritmetinėms išraiškoms.

Svarbu pažymėti, kad labai svarbu, kad sprendimas būtų išreikštas naudojant kvadratasšaknys, o ne savavališko laipsnio radikalai. Net jei algebrinė lygtis turi sprendinį radikaluose, tai nereiškia, kad galima kompasu ir liniuote sudaryti atkarpą, lygią jos sprendiniui. Paprasčiausia lygtis yra tokia: x 3 - 2 = 0, (\ displaystyle x ^ (3) -2 = 0,) susijusi su garsiąja kubo padvigubinimo problema, kuri redukuoja iki šios kubinės lygties. Kaip minėta aukščiau, šios lygties sprendimas ( 2 3 (\ displaystyle (\ sqrt [(3)] (2)))) negali būti sukonstruotas naudojant kompasą ir liniuotę.

Galimybė sukonstruoti taisyklingą 17 kampų išplaukia iš jo pusės centrinio kampo kosinuso išraiškos:

cos ⁡ (2 π 17) = - 1 16 + 1 16 17 + 1 16 34 - 2 17 + (\ displaystyle \ cos (\ left ((\ frac (2 \ pi) (17)) \ right)) = - (\ frac (1) (16)) \; + \; (\ frac (1) (16)) (\ sqrt (17)) \; + \; (\ frac (1) (16)) (\ sqrt (34-2 (\ kvadratas (17)))) \; + \;) + 1 8 17 + 3 17 - 34 - 2 17 - 2 34 + 2 17, (\ displaystyle + (\ frac (1) (8)) (\ sqrt (17 + 3 (\ sqrt (17))) - (\ sqrt (34-2 (\ sqrt (17)))) - 2 (\ sqrt (34 + 2 (\ sqrt (17))))))) o tai savo ruožtu išplaukia iš galimybės redukuoti formos lygtį x F n - 1 = 0, (\ rodymo stilius x ^ (F_ (n)) - 1 = 0,) kur F n (\ ekrano stilius F_ (n))- bet koks Fermato pirminis dydis, kintamąjį pakeičiant kvadratine lygtimi.

Variacijos ir apibendrinimai

• Konstrukcijos su vienu kompasu. Pagal Mohr – Mascheroni teoremą, naudojant vieną kompasą, galima sukonstruoti bet kokią figūrą, kurią galima sukonstruoti kompasu ir liniuote. Šiuo atveju tiesi linija laikoma nutiesta, jei joje nurodyti du taškai.
• Pieškite viena liniuote. Akivaizdu, kad naudojant vieną liniuotę galima atlikti tik projektiškai nekintamas konstrukcijas. Visų pirma,
  • net neįmanoma padalinti segmento į dvi lygias dalis,
  • taip pat neįmanoma rasti duoto apskritimo centro.

bet,

• jei plokštumoje yra anksčiau nupieštas apskritimas su pažymėtu centru su viena liniuote, galite atlikti tokias pačias konstrukcijas kaip ir su kompasu ir liniuote (

Šioje pastraipoje pateikta medžiaga gali būti naudojama popamokinėje veikloje. Jis gali būti pristatomas studentams tiek paskaitos, tiek studentų pranešimų forma.

Daugelį amžių daug dėmesio buvo skiriama problemoms, kurios nuo seno buvo žinomos kaip „garsiosios antikos problemos“. Trys žinomos problemos, paprastai vaizduojamos šiuo pavadinimu:

1) apskritimo kvadratas,

2) kampo trisekcija,

3) kubo padvigubinimas.

Visos šios užduotys senovėje kilo iš praktinių žmonių poreikių. Pirmajame jų egzistavimo etape jie veikė kaip skaičiavimo problemos: pagal kai kuriuos „receptus“ buvo apskaičiuotos apytikslės reikiamų kiekių reikšmės (apskritimo plotas, apskritimas ir kt.). Antrajame šių problemų istorijos etape įvyksta reikšmingi jų pobūdžio pokyčiai: jos tampa geometrinėmis (konstruktyvinėmis) problemomis.

Senovės Graikijoje šiuo laikotarpiu jiems buvo suteiktos klasikinės formuluotės:

1) pastatyti kvadratą, kurio dydis lygus duotam apskritimui;

2) duotąjį kampą padalinkite į tris lygias dalis;

3) pastatyti naujo kubo kraštą, kurio tūris būtų du kartus didesnis už duotąjį kubą.

Visas šias geometrines konstrukcijas buvo pasiūlyta atlikti naudojant kompasą ir liniuotę.

Prie jų populiarumo augimo prisidėjo šių uždavinių formulavimo paprastumas ir „neįveikiami sunkumai“, iškilę jų sprendimo keliu. Siekdami rasti griežtus šių problemų sprendimus, senovės graikų mokslininkai „pakeliui“ gavo daug svarbių matematikos rezultatų, kurie prisidėjo prie išsklaidytų matematinių žinių pavertimo nepriklausomu dedukciniu mokslu (išėjo pitagoriečiai, Hipokratas iš Chijo ir Archimedas). tuo metu ypač pastebimas pėdsakas).

Kubo padvigubinimo problema.

Kubo padvigubinimo problema yra tokia: žinant duoto kubo kraštą, sukonstruoti tokio kubo kraštą, kurio tūris būtų dvigubai didesnis už šio kubo tūrį.

Tegu a yra duoto kubo briaunos ilgis, x – reikiamo kubo krašto ilgis. Tegu yra duoto kubo tūris ir norimo kubo tūris, tai pagal kubo tūrio apskaičiavimo formulę gauname: =, o kadangi pagal uždavinio sąlygą, mes prieikite prie lygties.

Iš algebros žinoma, kad redukuotos lygties su sveikųjų skaičių koeficientais racionalios šaknys gali būti tik sveikosios ir būti tarp laisvojo lygties nario daliklių. Tačiau skaičiaus 2 dalikliai yra tik skaičiai +1, - 1, +2, - 2, ir nė vienas iš jų netenkina pradinės lygties. Vadinasi, lygtis neturi racionalių šaknų, o tai reiškia, kad kubo padvigubinimo problemos negalima išspręsti naudojant kompasą ir liniuotę.

Kubo padvigubinimo naudojant kompasą ir liniuotę problemą galima išspręsti tik apytiksliai. Štai vienas iš paprasčiausių būdų, kaip apytiksliai išspręsti šią problemą.

Tegu AB = BC = a ir ABBC. Sukuriame AD = AC, tada CD 1% tikslumu. Iš tiesų, CD 1.2586…. Tuo pačiu metu = 1,2599….

Apskritimo kvadratūros problema.

Problemos neišsprendžiamumo pagrindimas naudojant kompasą ir liniuotę.

Apskritimo kvadrato uždavinys yra toks: pastatykite kvadratą, kurio dydis lygus apskritimui.

Leisti būti nurodyto apskritimo spindulys, būti reikiamo kvadrato kraštinės ilgis. Tada iš čia.

Vadinasi, apskritimo kvadratūros problema bus išspręsta, jei sukonstruosime ilgio atkarpą. Jei tam tikro apskritimo spindulys laikomas vienetine atkarpa (= 1), tada materija bus sumažinta iki ilgio atkarpos sudarymo išilgai vienetinės atkarpos.

Kaip žinote, žinodami vieneto segmentą, kompasu ir liniuote galime sudaryti tik tuos segmentus, kurių ilgiai išreiškiami racionaliaisiais skaičiais, naudojant baigtinį racionalių operacijų rinkinį ir kvadratinių šaknų ištraukimą, taigi yra algebriniai skaičiai. Tokiu atveju bus naudojami ne visi algebriniai skaičiai. Pavyzdžiui, negalite nubrėžti linijos su ilgiu ir pan.

1882 m. Lindemannas įrodė, kad tai yra transcendentinė. Iš to išplaukia, kad kompasu ir liniuote neįmanoma sudaryti ilgio atkarpos, todėl šiomis priemonėmis apskritimo kvadratūros problema yra neišsprendžiama.

Apytikslis problemos sprendimas naudojant kompasą ir liniuotę.

Panagrinėkime vieną iš apytikslės linijos atkarpų konstravimo būdų. Ši technika yra tokia. Ketvirtį apskritimo AB, kurio centras yra taške O, o spindulys lygus pusei, padalykite iš taško C. Tęsdami skersmenį CD, atidėkite atkarpą DE, lygią spinduliui. Iš taško E brėžiame spindulius EA ir EB, kol jie susikerta su liestine taške C. Atkarpa AB yra maždaug lygi lanko AB ilgiui, o padvigubinta atkarpa lygi puslankiui.

Šio aproksimavimo santykinė paklaida neviršija 0,227%.

Kampo trisekcijos problema.

Problemos neišsprendžiamumo pagrindimas naudojant kompasą ir liniuotę.

Kampo trisiekcijos problema yra tokia: duotąjį kampą padalinkite į tris lygias dalis.

Mes apsiribojame kampų, ne didesnių kaip 90, uždavinio sprendimu. Jei yra bukas kampas, tai = 180-, kur<90, так что, и поэтому задача о трисекции тупого угла сводится к задаче о трисекции острого угла.

Atkreipkite dėmesį, kad (esant vienetinei atkarpai) kampo (90) sudarymo uždavinys yra lygiavertis atkarpos x = cos konstravimo uždaviniui. Iš tiesų, jei kampas yra sudarytas, tada atkarpos x = cos konstrukcija sumažinama iki stačiakampio trikampio konstrukcijos iš hipotenuzės ir smailiojo kampo.

Atgal. Jei sudaroma atkarpa x, tada kampo, kurio x = cos, konstrukcija sumažinama iki stačiakampio trikampio išilgai hipotenuzės ir kojos konstrukcijos.

Tegul - nurodytas kampas, - reikiamas kampas, kad =. Tada cos = cos 3. Yra žinoma, kad cos 3 = 4cos-3cos. Todėl nustatę cos = ir cos =, gauname lygtį:

cos = 4cos-3cos,

Atkarpą, taigi ir kampą, galima sudaryti tik tuo atveju, jei ši lygtis turi bent vieną racionaliąją šaknį. Bet taip yra ne kiekvienam, todėl kampo trisekcija, paprastai kalbant, neišsprendžiama kompaso ir tiesiosios briaunos pagalba. Pavyzdžiui. Esant = 60 gauname = 1 ir gauta lygtis yra tokia:. Nesunku patikrinti, ar ši lygtis neturi jokios racionalios šaknies, o tai reiškia, kad naudojant kompasą ir liniuotę neįmanoma padalyti 60 kampo į tris lygias dalis. Taigi kampo trisekcija neišsprendžiama kompasu ir liniuote apskritai.

Apytikslis problemos sprendimas naudojant kompasą ir liniuotę.

Panagrinėkime vieną iš Alberto Durerio (1471-1528) pasiūlytų apytikslių problemos sprendimo būdų naudojant kompasą ir liniuotę.

Tegu nurodytas kampas ASB. Iš viršūnės S su savavališku spinduliu aprašome apskritimą ir kampo kraštinių susikirtimo taškus su apskritimu sujungiame styga AB. Šią stygą padaliname į tris lygias dalis taškuose R ir R (A R = R R = RB). iš taškų A ir B, kaip ir iš centrų, kurių spinduliai A R = RB, aprašome lankus, kertančius apskritimą taškuose T ir T. Atlikime RSAB. Su spinduliais A S = BS nubrėžkite lankus, kertančius AB taškuose U ir U. Lankai AT, SS ir TB yra lygūs vienas kitam, nes juos sutraukia vienodos stygos.

Norėdamas rasti kampų X ir X triskyrybos taškus, Diureris padalija atkarpas RU ir RU į tris lygias dalis taškais PV ir PV. Tada spinduliais AV ir BV nubrėžkite lankus, kertančius apskritimą taškuose X ir X. Sujungę šiuos taškus su S, gauname šio kampo padalijimą į tris lygias dalis, gerai priartindamos tikrąsias reikšmes.

Žinomas nuo seniausių laikų.

Atliekant statybos darbus, galimos šios operacijos:

• Pažymėti savavališkai tašką plokštumoje, taškas vienoje iš sudarytų tiesių arba dviejų sudarytų tiesių susikirtimo taškas.
• Naudojant kompasai nubrėžkite apskritimą, kurio centras yra pastatytame taške, o spindulys lygus atstumui tarp dviejų jau sukonstruotų taškų.
• Naudojant valdovai nubrėžkite tiesią liniją, einančią per du sukonstruotus taškus.

Šiuo atveju kompasas ir liniuotė laikomi idealiais įrankiais, visų pirma:

1. Paprastas pavyzdys

Segmento padalijimas per pusę

Užduotis. Norėdami padalinti šį segmentą, naudokite kompasą ir liniuotę ABį dvi lygias dalis. Vienas iš sprendimų parodytas paveikslėlyje:

• Naudodami kompasą sudarome apskritimą, kurio centras yra taškas A spindulys AB.
• Sukurkite apskritimą, kurio centras yra taškas B spindulys AB.
• Susikirtimo taškų radimas P ir K du pastatyti apskritimai.
• Su liniuote nubrėžkite atkarpą, jungiančią taškus P ir K.
• Raskite susikirtimo tašką AB ir PQ. Tai yra norimas atkarpos vidurio taškas AB.

2. Taisyklingieji daugiakampiai

Konstravimo metodai teisingi n-gonai už ir .

4. Galimos ir neįmanomos konstrukcijos

Visos konstrukcijos yra ne kas kita, kaip kokios nors lygties sprendimas, o šios lygties koeficientai yra susieti su duotųjų atkarpų ilgiais. Todėl patogu kalbėti apie skaičiaus sudarymą – grafinį tam tikro tipo lygties sprendimą.

Atsižvelgiant į virškinimo trakto reikalavimus, galimos šios konstrukcijos:

Kitaip tariant, galite sudaryti tik skaičius, lygius aritmetinėms išraiškoms, naudodami pradinių skaičių (segmentų ilgio) kvadratinę šaknį. Pavyzdžiui,

5. Variacijos ir apibendrinimai

6. Linksmi faktai

• GeoGebra, Kig, KSEG – programos, leidžiančios konstruoti naudojant kompasą ir liniuotę.

Literatūra

• A. Adleris. Geometrinių konstrukcijų teorija, Iš vokiečių kalbos vertė G. M. Fikhtengoltsas. Trečias leidimas. L., Navchpedvid, 1940-232 p.
• I. Aleksandrovas, Geometrinės konstrukcijos uždavinių rinkinys, Aštuonioliktas leidimas, M., Navchpedvid, 1950-176 p.
• B.I.Argunovas, MB Balk.

Geometrinės konstrukcijos užduotys

Naudojant kompasą ir liniuotę

8-A klasės mokinys

Prižiūrėtojas: Moskaeva V.N.,

matematikos mokytojas

Nižnij Novgorodas

Įvadas

Vizualizacija, vaizduotė labiau priklauso menui, griežta logika – mokslo privilegija. Tikslios išvados sausumas ir vizualinio vaizdo gyvumas – „ledas ir ugnis ne taip skiriasi vienas nuo kito“. Geometrija sujungia šias dvi priešybes.

A. D. Aleksandrovas

Eidami į mokyklą nepamirštame į savo portfelį įdėti kompaso, liniuotės ir matuoklio. Šios priemonės padeda teisingai piešti ir gražiai piešti. Šiuos įrankius naudoja inžinieriai, architektai, darbininkai, drabužių ir avalynės dizaineriai, statybininkai, kraštovaizdžio dizaineriai. Nors kompiuteriai yra, bet statybvietėje, sode jais dar nesinaudoji.

Mašina piešia akimirksniu per kelias sekundes. Matematikas turi praleisti gana daug laiko, kad mašinai suprantama kalba paaiškintų, ką ji turi daryti – parašyti programą ir įvesti ją į mašiną, todėl dizaineriai dažnai renkasi dirbti su pačia paprasčiausia ir seniausia. įrankiai – kompasai ir liniuote.

Kas gali būti lengviau? Lygi lenta tiesiu kraštu - liniuote, viename gale surištos dvi smailios pagaliukai - kompasas. Naudodami liniuotę nubrėžkite tiesią liniją per du nurodytus taškus. Kompaso pagalba nubrėžiami apskritimai su nurodytu centru ir tam tikru spinduliu, atidėti atkarpą, lygią šiam.

Kompasas ir liniuotė žinomi jau daugiau nei 3 tūkstančius metų, jau buvo žinomi, prieš 200-300 metų buvo puošti ornamentais ir raštais. Tačiau, nepaisant to, jie vis tiek reguliariai mus aptarnauja. Daugeliui konstrukcijų pakanka paprasčiausių įrankių. Senovės graikai manė, kad šiais įrankiais galima atlikti bet kokią protingą konstrukciją, kol atrado tris reikšmingas antikos užduotis: „apskritimo kvadratas“, „kampo trišakis“, „kubo padvigubinimas“.

Todėl savo darbo temą laikau šiuolaikiška ir svarbia žmogaus veiklai daugelyje žmogaus veiklos sričių.

Visi puikiai žino, kad matematika naudojama įvairiose profesijose ir gyvenimo situacijose. Matematika nėra lengvas dalykas. Ir dauguma studentų geometriją vadina „sunkia“. Statybos problemos skiriasi nuo tradicinių geometrijos problemų.

Konstravimo uždavinių sprendimas lavina geometrinį mąstymą daug visapusiškiau ir aštriau nei sprendžiant skaičiavimo uždavinius, gali sužadinti aistrą darbui, o tai didina smalsumą ir norą plėsti ir gilinti geometrijos studijas.

Nepaisant turtingos istorinės praeities, statybos problemų sprendimo problema išlieka aktuali ir XXI amžiuje. Mūsų laikais kompiuterinės technologijos sparčiai vystosi naudojant grafinius redaktorius geometriniams objektams piešti. Geometrinių objektų kūrimo priemonės pasikeitė atsiradus naujoms kompiuterinėms technologijoms. Tačiau, kaip ir senovėje, pagrindiniai geometrinių objektų konstrukcijos elementai yra apskritimas ir tiesė, kitaip tariant, kompasas ir liniuotė. Atsiradus naujoms kompiuterinėms technologijoms, atsirado naujų statybos problemų naudojant tuos pačius objektus – liniją ir apskritimą. Štai kodėl statybos problemų sprendimo problema tampa dar aktualesnė.

Geometrijos programa apima tik paprasčiausių metodų ir statybos metodų tyrimą. Tačiau šių metodų naudojimas dažnai yra sudėtingas. Todėl mano tyrimo objektas – geometrinės figūros, sukonstruotos naudojant kompasą ir liniuotę.

Mano darbo tikslas: apsvarstykite įvairius geometrinių figūrų konstravimo būdus naudojant kompasą ir liniuotę.

Tyrimo metodai:

ü Jau esamų statybos būdų analizė

ü Ieškokite naujų metodų, kuriuos paprasta naudoti (GMT ir Steiner konstrukcija)

Užduotys:

ü geriau suprasti įvairius statybos būdus

ü Sekite šios geometrijos raidos raidą matematikos istorijoje

ü toliau tobulinti tyrimo įgūdžius.

Iš geometrinės konstrukcijos su kompasu ir liniuote istorijos.

Tradicinis geometrinių konstrukcijų įrankių ribotumas siekia senovės laikus. Euklidas (III a. pr. Kr.) knygoje „Pradžia“ griežtai laikosi geometrinių konstrukcijų, kurias atlieka kompasai ir liniuote, nors instrumentų pavadinimų niekur nemini. Atrodo, kad apribojimai buvo susiję su tuo, kad šie įrankiai pakeitė virvę, kuri iš pradžių buvo skirta linijoms brėžti ir apskritimams apibūdinti. Tačiau daugelis istorikų matematikų Euklido pasirinktą medžiagą aiškina tuo, kad, sekdamas Platonu ir pitagoriečiais, „tobulomis“ linijomis jis laikė tik tiesę ir apskritimą.

Geometrinių figūrų konstravimo menas buvo labai išvystytas senovės Graikijoje. Senovės Graikijos matematikai prieš 3000 metų savo konstrukcijas atlikdavo naudodami du prietaisus: lygią lentą su lygiu kraštu – liniuote ir viename gale surištus du smailius pagaliukus – kompasą. Tačiau šių paprastų įrankių pakako atlikti daugybę įvairių konstrukcijų. Senovės graikams netgi atrodė, kad naudojant šiuos įrankius galima atlikti bet kokią protingą konstrukciją, kol jie susidūrė su trimis vėliau žinomomis užduotimis.

Jie jau seniai pavertė bet kokią tiesinę figūrą kompaso ir liniuotės pagalba į savavališką tiesią figūrą, lygią jai. Visų pirma, bet kuri tiesi figūra buvo paversta tokio paties dydžio kvadratu. Todėl aišku, kad idėja pasirodė apibendrinanti šią problemą: kompaso ir liniuote pagalba sukonstruoti tokį kvadratą, kurio plotas būtų lygus duoto apskritimo plotui. Ši problema vadinama apskritimo kvadratu. Šios užduoties pėdsakų galima įžvelgti dar senovės graikų ir babiloniečių antrojo tūkstantmečio prieš Kristų paminkluose. Tačiau jo tiesioginė aplinka randama V a. pr. Kr. graikų darbuose.

Dar dvi antikos problemos ilgus šimtmečius traukė iškilių mokslininkų dėmesį. Tai yra kubo padvigubinimo problema. Jį sudaro kubo su kompasu ir liniuote sukūrimas, kurio tūris yra dvigubai didesnis už šio kubo tūrį. Jo atsiradimas siejamas su legenda, kad Egėjo jūroje esančioje Delos saloje orakulas, norėdamas išgelbėti gyventojus nuo maro epidemijos, įsakė padvigubinti altorių kubo pavidalu. Ir trečioji kampo trisekijos problema yra apie kampo padalijimą į tris lygias dalis naudojant kompasą ir liniuotę.

Šios trys problemos, vadinamosios 3 garsiosios antikos klasikinės problemos, jau du tūkstantmečius traukė žymių matematikų dėmesį. Ir tik XIX amžiaus viduryje buvo įrodytas jų neapibrėžtumas, tai yra šių konstrukcijų neįmanomumas tik naudojant kompasą ir liniuotę. Matematikoje tai buvo pirmieji uždavinių neišsprendžiamumo rezultatai, kai buvo nurodytos sprendimo priemonės. Jie buvo gauti pasitelkus ne geometriją, o algebrą (išverčiant šias problemas į lygčių kalbą), kuri dar kartą pabrėžė matematikos vienovę. Šios problemos, nepasiduodančios sprendimui, praturtino matematiką reikšmingais rezultatais, paskatino kurti naujas matematinės minties kryptis.

Kita įdomi užduotis konstruojant naudojant kompasą ir liniuotę yra taisyklingo daugiakampio su tam tikru kraštinių skaičiumi sukūrimas. Senovės graikai mokėjo statyti taisyklingą trikampį, kvadratą, taisyklingąjį penkiakampį ir 15 kampų, taip pat visus daugiakampius, kurie gaunami iš jų padvigubinant kraštines, ir tik juos. Tik 1796 metais didysis vokiečių matematikas CF Gaussas atrado būdą, kaip naudojant kompasą ir liniuotę sukonstruoti taisyklingą 17 kampą ir nurodė visas N reikšmes, kurioms esant galima nurodytomis priemonėmis sukurti taisyklingą N kampą. . Getingeno universiteto pirmakursis Carlas Gaussas išsprendė problemą, dėl kurios matematika buvo nesėkminga daugiau nei 2000 metų. Taigi buvo įrodyta, kad kompaso ir liniuotės pagalba neįmanoma sukonstruoti teisingų 7, 9, 11, 13, 18, 21, 22, 23 ir kt. kvadratai.

Toliau buvo plėtojama konstravimo naudojant kompasą ir liniuotę teorija. Buvo gautas atsakymas į klausimą: ar įmanoma problemą išspręsti naudojant tik vieną iš dviejų svarstytų priemonių, ir gana netikėta. Nepriklausomai vienas nuo kito danas G. More 1672 m. ir italas L. Maskeronis 1797 m. įrodė, kad bet kokią statybos problemą, išspręstą kompasu ir liniuote, galima tiksliai išspręsti naudojant tik vieną kompasą. Skamba neįtikėtinai, bet taip yra. O XIX amžiuje buvo įrodyta, kad bet kokia konstrukcija, atlikta su kompasu ir liniuote, gali būti atliekama tik su viena liniuote, jei konstrukcijos plokštumoje yra nurodytas tam tikras apskritimas ir nurodytas jo centras.

3. Paprasčiausios geometrinių figūrų konstravimo kompasu ir liniuote užduotys

Apsvarstykite pagrindines (elementarias) konstrukcijas, su kuriomis dažniausiai susiduriama sprendžiant statybos problemas. Tokio pobūdžio problemos nagrinėjamos jau pirmuosiuose mokyklinio kurso skyriuose.

Statyba 1. Tiesijos atkarpos, lygios duotajai, konstravimas.

Duota: ilgio segmentas a.

Sukurti: atkarpa AB, kurios ilgis a.

Sukurti:

2 statyba. Sukonstruoja kampą, lygų duotajam.

Duota:∟AOB.

Sukurti:∟ KMN lygus ∟ AOB.

Sukurti:

Statyba 3. Atkarpos padalijimas per pusę (segmento vidurio pastatymas).

Duota: AB segmentas.

Sukurti: taškas O yra AB vidurys.

Sukurti:

Statyba 4. Kampo dalijimas per pusę (kampo bisektoriaus brėžinys).

Duota:∟ ABC.

Sukurti:ВD yra ∟АВС pusiausvyra.

Sukurti:

Statyba 5. Nubrėžia statmeną tam tikrai tiesei, einančia per nurodytą tašką.

a) Duota: tiesė a, taškas A a.

Sukurti:

tiesiai a.

Pastatas:

b) Duota: tiesė a, taškas A a.

Sukurti: tiesi linija, einanti per tašką A, statmena jam

tiesiai a.

Sukurti:

6 pastatas... Sukuria tiesę, lygiagrečią nurodytai tiesei ir einanti per nurodytą tašką.

Duota: tiesė a, taškas A a.

Sukurti: tiesi linija, einanti per tašką A, lygiagreti tiesei a.

I metodas (per du statmenus).

Sukurti:

II metodas (per lygiagretainį).

Sukurti:

Statyba 7. Sukuria trikampį iš trijų kraštų.

Duota: a, b, c ilgio atkarpos.

Sukurti:Δ ABC.

Sukurti:

Statyba 8. Sukuria trikampį išilgai dviejų kraštinių ir kampą tarp jų.

Duota: atkarpos, kurių ilgis b, c, kampas α.

Sukurti: trikampis ABC.

Sukurti:

Statyba 9. Sukuria trikampį išilgai šono ir dviejų gretimų kampų.

Duota: c ilgio atkarpa, kampai α ir β.

Sukurti:ΔABC.

Sukurti:

Statyba 10. Sukuria tam tikro apskritimo, einančio per nurodytą tašką, liestinę.

Duota: apskritimas (O), taškas A už jo ribų.

Sukurti: apskritimo ω (O), einančio per tašką A, liestinė.

Sukurti:

Nagrinėjami uždaviniai kaip komponentai įtraukiami į sudėtingesnių problemų sprendimą, todėl ateityje pagrindinių konstrukcijų etapai nėra aprašomi.

Pastato problemų sprendimas susideda iš keturių dalių:

1. Darant prielaidą, kad uždavinys išspręstas, ranka nubraižome apytikslį norimos figūros brėžinį ir po to atidžiai išnagrinėjame nupieštą figūrą, bandydami rasti tokius ryšius tarp problemos duomenų ir norimų, kurie leistų sumažinti problema kitiems žinomiems anksčiau. Ši svarbiausia problemos sprendimo dalis, kuria siekiama sudaryti sprendimo planą, vadinama analizė.

2. Tokiu būdu suradę sprendimo planą, jie vykdo pagal jį. statyba.

3. įrodymas - plano teisingumui patikrinti, remdamiesi gerai žinomomis teoremomis, jie įrodo, kad gauta figūra atitinka visus uždavinio reikalavimus.

4. Studijuoti – yra užduodami dviem klausimais:

1) Ar įmanomas sprendimas naudojant bet kokius duomenis?

2) Kiek yra sprendimų?

Panagrinėkime šių etapų taikymą šios problemos sprendimo pavyzdžiu.

Užduotis: Sukurkite trikampį, žinodami jo pagrindą b, kampą A, esantį greta pagrindo, ir dviejų šoninių kraštinių sumą s.

Analizė: Tarkime, kad problema išspręsta, t.y. rado tokį ΔABS, kuriam bazė AC = b, ∟BAC = A ir AB + BC = s... Dabar apsvarstykite gautą piešinį. Šoninė AS, lygus b, ∟BAC = A, mes žinome, kaip statyti. Taigi belieka rasti kitoje pusėje ∟A toks taškas V kad suma AB + BC prilygintas s... Tęsinys AB, atidėkite segmentą REKLAMA lygus s... Dabar klausimas perkeliamas iki taško, kad tiesioje linijoje REKLAMA rasti tokį tašką V kuri būtų vienodai nutolusi nuo SU ir D... Toks taškas, kaip žinome, turėtų gulėti ant atkarpai nubrėžto statmens CD per jos vidurį. Taškas V randamas šio statmens sankirtoje su REKLAMA.

Sukurti:

1. Statome ∟A lygus duotam kampui

2. Jo šonuose mes atidedame AC = b ir AD = s

3. Per atkarpos vidurį CD nubrėžkite statmeną BE

4. BE kerta REKLAMA taške V

5. Sujunkite taškus V ir SU

6. ΔABS yra norima.

Įrodymas:

Panagrinėkime gautą ΔABC, jame ∟A yra lygus duotam kampui (pagal konstrukcijos # 1 tašką). Šoninė AC = b(taškas Nr. 2) ir partijos AB ir Saulė pridėti iki s (2, 3, 4 punktai). Todėl pagal 1-ąjį trikampių lygybės kriterijų ΔABS yra pageidaujamas.

Tyrimas:

1.Turint visus duomenis, sprendimas įmanomas?

Atsižvelgiant į konstrukciją, pastebime, kad užduotis neįmanoma atlikti jokiais duomenimis. Iš tiesų, jei suma s nustatyta per maža, palyginti su b, tada statmena BE negali kirsti atkarpos REKLAMA(arba kerta jos tęsinį už taško D), šiuo atveju užduotis bus neįmanoma.

Ir, nepaisant konstrukcijos, matyti, kad užduotis neįmanoma, jei s< b arba s = b, nes negali būti tokio trikampio, kurio dviejų kraštinių suma būtų mažesnė arba lygi trečiajai kraštinei.

2. Kiek yra sprendimų?

Tuo atveju, kai problema galima, ji turi tik vieną sprendimą, t.y. yra tik vienas trikampis, atitinkantis uždavinio reikalavimus, nes statmeno sankirta BE su tiesia linija REKLAMA gali būti tik viename taške.