Vergelijkingen oplossen. Lineaire vergelijking in één variabele

§ 23. Lineaire vergelijking met één variabele. Lineaire vergelijkingen oplossen in één variabele en vergelijkingen die daarop reduceren

We weten hoe we vergelijkingen 2x = -8 moeten oplossen; x - 5; 0,01 x -17.

Elk van deze vergelijkingen heeft de vorm ax = b, waarbij x een variabele is, en a en b enkele getallen zijn.

De getallen a en b worden de coëfficiënten van de vergelijking genoemd.

Als a ≠ 0, dan heet de vergelijking ax = b een vergelijking van de eerste graad met één variabele. Als we beide zijden van de vergelijking delen door a, krijgen we x =, dat wil zeggen dat de enige wortel van deze vergelijking het getal is

Als a - 0 en b - 0, dan heeft de lineaire vergelijking de vorm 0x - 0. De wortel van een dergelijke vergelijking is een willekeurig getal, aangezien voor elke waarde van x de waarden van de linker- en rechterkant van de vergelijking zijn gelijk en gelijk aan nul. Daarom is de vergelijking 0x = 0 een verzameling wortels.

Als a - 0, en b 0, dan heeft de lineaire vergelijking de vorm 0x - b. Tegelijkertijd is er geen waarde van de variabele x die de linker- en rechterkant van de vergelijking naar hetzelfde getal zou converteren. Immers, de waarde van de linkerkant van de vergelijking voor elke waarde van x is gelijk aan nul, en de waarde van de rechterkant is een niet-nul getal b. Daarom heeft de vergelijking 0x = b voor b ≠ 0 geen wortels.

Laten we de gegevens over de oplossing van de lineaire vergelijking ax = b systematiseren in de vorm van een schema:

Voorbeeld 1. Los de vergelijking op:

Sectie

1) 0,2 x = 7; x = 7: 0,2; x = 35.

Antwoord: - 4.

3) 0x = 7; de vergelijking heeft geen wortels.

Antwoord: het heeft geen wortels.

Het proces van het oplossen van veel vergelijkingen is een reductie van deze vergelijkingen tot een leliepad door equivalente transformaties in termen van de eigenschappen van de vergelijkingen.

Voorbeeld 2. Los de vergelijking op:

1) 3 (x + 1) - 2x = 6 - 4x;

Sectie

1. Laten we de noemers (indien aanwezig) weglaten:

1) 3 (x + 3) - 2x = 6 - 4x.

Vermenigvuldig beide delen van de vergelijking met 6 (6 is de kleinste gemene deler van de breuken). Wij hebben:

3 (x + 1) + 2 (5 - x) = x + 13.

2. Laten we de haakjes openen (indien aanwezig):

3x + 9 - 2x = 6 - 4x;

3x + 3 + 10 - 2x = x + 13.

3. Verplaats de termen die de variabele bevatten naar de linkerkant en de rest naar rechts, en verander de tekens van deze termen in het tegenovergestelde:

3x - 2x + 4x = 6 - 9;

3x - 2x - x = 13 - 3 - 10.

4. Laten we vergelijkbare termen samenvatten:

5. Laten we de resulterende lineaire vergelijking oplossen:

Antwoord: -0,6.

x - elk nummer.

Antwoord: elk nummer.

Voorbeeld 3. Los de vergelijking 5 (x + r) = 3x - 7p op in relatie tot x.

Sectie Laten we de haakjes aan de linkerkant van de vergelijking openen: 5x + 5p - 3x - 7p. Verplaats de term 3x naar links en 5p naar rechts. We hebben: 5x - 3x = -7p - 5p; 2x = -12r. Dan x = (-12p): 2; x = (-12: 2) g; x = -6p.

Antwoord: -6 roebel.

Welke vergelijking wordt een lineaire vergelijking met één variabele genoemd? Geef voorbeelden van lineaire vergelijkingen. Wanneer heeft de vergelijking ax - b een enkele wortel? Hoe dan ook, de wortel van de vergelijking is b - een willekeurig getal? Wanneer heeft de vergelijking ax = b geen wortels?

848. (Mondeling) Welke vergelijking is lineair:

5) x + 7 = x 2;

849. (Mondeling) Hoeveel wortels heeft de vergelijking:

850. Zoek uit welke van deze vergelijkingen slechts één oplossing heeft, geen oplossingen heeft, een oneindig aantal oplossingen heeft:

851. (Verbaal) Los de vergelijking op:

2) 0,5 x = -2,5;

3) -2,5 x = 7,5;

852. Los De vergelijking op:

6) -0,01 x = 0,17;

8) -1,2 x = -4,2;

853. Zoek de wortel van de vergelijking:

6) 0,1x = 0,18.

854. Bepaal wat er rechts in de vergelijking moet worden geschreven in plaats van spaties, als de wortel bekend is:

855. Zoek de wortel van de vergelijking:

1) 7x + 14 = 0;

2) 0,3x - 21 = 0,5x - 23;

3) 1x + 3 = 6x - 13;

4) 5x + (3x - 7) = 9;

5) 47 = 10 - (9x + 2);

6) (3x + 2) - (8x + 6) = 14.

856. Los De vergelijking op:

2) 1,4 x - 12 = 0,9 x + 4;

3) 3x + 14 = 5x - 16;

4) 12 - (5x + 10) = -3;

5) 6 - (8x + 11) = -1;

6) (3x - 4) - (6 - 4x) = 4.

857. Welke van de vergelijkingen is equivalent aan de vergelijking 5x = 10:

3) x + 2 = x + 1;

5) x = 8 - 3x;

6) 1x - 7 = 4x?

858. Zijn de vergelijkingen equivalent:

1) 4x - x = 17 3x = 17;

2) 5x - 9 = 3x en 6x = 21;

3) 2x = -12 en x + 6 = 0;

4) 12x = 0 15x = 15?

859.

1) 3x + 7 is gelijk aan -2;

2) 4 (x + 1) is gelijk aan de waarde van de uitdrukking 5x - 9?

860. Bij welke waarde van y:

1) de waarde van de uitdrukking 5y - 13 is gelijk aan -3;

2) zijn de waarden van uitdrukkingen 3 (c - 2) en 13y - 8 gelijk?

861. Los De vergelijking op:

2) 2x - y = 1;

862. Zoek de wortel van de vergelijking:

863. Maak een lineaire vergelijking waarvan de wortel is:

1) nummer -2;

2) het getal is -0,2.

864. Maak een lineaire vergelijking:

1) heeft geen wortels;

2) welke wortel een willekeurig getal is.

865. Maak een lineaire vergelijking met de wortel:

1) nummer -8;

2) elk nummer.

866. Zoek de wortel van de vergelijking:

1) (4x - 2) + (5x - 4) - 9 - (5 - 11x);

2) (7 - 8x) - (9 - 12x) - (5x + 4) = -16;

3) 3 (4x - 5) - 10 (2x - 1) = 33;

4) 9 (3 (x + 1) 2x) = 7 (x + 1).

867. Los De vergelijking op:

1) (9x - 4) + (15x - 5) = 18 - (25 - 22x);

2) (10x + 6) - (9 - 9x) + (8 - 11x) = -19;

3) 7 (x - 1) - 3 (2x + 1) = -x - 15;

4) 5 (4 (x - 1) - 3x) = 9x.

868.

1) 2x + een = x + een;

2) b + x = c - x;

3) 6x + 2m = x - 8m;

4) 9a + x = 3b - 2x.

Sectie

4) 9a - x = 3b - 2x; x + 2x = 3b - 9a; 3x = 3 (b - 3a). Deel beide zijden van de vergelijking door 3. We krijgen: x = b - 3a.

Antwoord: b - 3a.

869. Los de vergelijking voor x op:

1) 7x + m = 2x + m;

2) a + x = 2m - x;

3) 3x + b = 9b - x;

4) 5p + 2x = 10 - 3x.

870. Zijn de vergelijkingen equivalent:

1) 2x - 4 = 2 en 5 (x - 3) + 1 = 3x - 8;

2) 5x + 3 = 8 en 7 (x - 2) + 20 = 4x + 3;

3) 5x = 0 en 0x = 5;

4) 7x + 1 = 7x 2 en 5 (x + 1) = 5x + 5;

5) 0: x = 7 en 0 ∙ x = 7;

6) 3 (x - 2) = 3x - 6 en 2 (x + 7) - 2 (x + 1) + 12?

871. Bij welke waarde is de waarde van de uitdrukking:

1) 5y + 7 is driemaal de waarde van de uitdrukking y + 5;

2) 2y - 4 is 7,4 meer dan de waarde van uitdrukking 3 - 7y?

872. Bij welke waarde van x is de waarde van de uitdrukking:

1) 7x + 8 is tweemaal de waarde van de uitdrukking x + 7;

2) 5x - 8 pa 17,2 minder dan de waarde van de uitdrukking x + 2?

873. Maak een vergelijking die gelijk zou zijn aan de vergelijking 7 (2x - 8) = 5 (7x - 8) - 15x.

874. Bij welke waarde van a is de vergelijking:

1) 2ax = 16 heeft een wortel gelijk aan 4;

2) 3x heeft een wortel gelijk aan;

3) Heeft 5 (a + 1) x = 40 een wortel van -1?

875. Bij welke waarde van b is de wortel van de vergelijking:

1) 3b x = -24 is het getal -4;

2) (2a - 5) x = 45 s getal 3?

876. Los De vergelijking op:

1) 4x + 7 = 3 (x - 2) + x:

2) 2x + 5 - 2 (x - 4) + 13;

3) 2x (1 - 3x) + 5x (3 - x) = 17x - 8x 2;

4) (7x - 3 + 2x 2 - 4x - 5) - (6x 3 - x 2 + 2x) = 3x 2 - (6x - x 3).

877. Zoek de wortel van de vergelijking:

1) 3 (x - 2) + 4x = 7 (x -1) + 1;

2) 2 (x + 1) + x = 6 (x + 3);

3) 3x (2 + x) - 4 (1 - x 2) = 7x 2 + 6x;

4) (x 2 + 4x - 8) - (7x - 2x 2 - 5) = 3x 2 - (3x + 3).

878. Los De vergelijking op.

§ 1 Wat is een vergelijking

Een vergelijking is een gelijkheid die een onbekende bevat waarvan de waarde moet worden gevonden. Bijvoorbeeld de vermeldingen:

zijn geen vergelijkingen. Er is geen gelijkheid en u hoeft de waarde van de variabele niet te vinden. Dit zijn slechts letterlijke uitdrukkingen. En hier zijn de inzendingen:

13x - 14 = 2x + 4

zijn vergelijkingen.

Vergelijkingen zijn algebraïsche modellen van real-life situaties. Tijdens het werken met het model lossen we de vergelijking op.

Een vergelijking oplossen betekent alle wortels vinden of aantonen dat ze niet bestaan. De wortel van een vergelijking is zo'n waarde van een variabele waarbij de vergelijking verandert in een echte numerieke gelijkheid. Beschouw bijvoorbeeld de vergelijking:

Als x = 4, dan zal de vergelijking de vorm aannemen van een numerieke gelijkheid:

2 ∙ 4 - 1 = 5 of 7 = 5

Dit is geen geldige numerieke gelijkheid, wat betekent dat 4 niet de wortel van de vergelijking is. Als x = 3, dan zal de vergelijking de vorm aannemen van een numerieke gelijkheid:

2 ∙ 3 ​​​​- 1 = 5 of 5 = 5

Dit is een geldige numerieke gelijkheid, wat betekent dat het getal 3 de wortel van de vergelijking is. En er zijn geen andere wortels.

§ 2 lineaire vergelijkingen in één variabele

Een vergelijking van de vorm ax + b = 0 wordt een lineaire vergelijking met één variabele genoemd.

Hier zijn a en b coëfficiënten, ze kunnen in willekeurige getallen worden uitgedrukt.

Laten we eens kijken naar verschillende gevallen.

1) Als a = 0 en b = 0, dan heeft de vergelijking de vorm 0 ∙ х + 0 = 0. Het is duidelijk dat deze vergelijking oneindig veel wortels heeft, aangezien elk getal vermenigvuldigd met nul 0 geeft. Het resultaat is dus altijd correcte numerieke gelijkheid.

2) Als a = 0, b 0. Dan zal de vergelijking de vorm aannemen 0 ∙ х + b = 0. Je kunt opmerken dat zo'n vergelijking geen enkele wortel zal hebben. Inderdaad, wanneer een willekeurig getal wordt vermenigvuldigd met 0, is het resultaat altijd 0, maar de som van een getal dat niet nul is, resulteert in een resultaat dat niet nul is, wat betekent dat in elk geval een onjuiste numerieke gelijkheid wordt verkregen.

3) De coëfficiënt a is niet nul, dit is het meest voorkomende geval. We redeneren als volgt:

Eerst brengen we de bekende term over naar b aan de rechterkant van de vergelijking, waarbij we het teken veranderen. We krijgen:

Vervolgens delen we beide zijden van de vergelijking door het getal a. We krijgen:

Daarom heeft de vergelijking in dit geval maar één wortel, namelijk:

Als we het bovenstaande samenvatten, kunnen we concluderen:

Lineaire vergelijkingen met één onbekende kunnen één wortel, oneindig veel wortels of geen wortel hebben.

Maar wat als de vergelijking in een complexere vorm is geschreven? Bijvoorbeeld in de vorm:

4 (x - 4) = 2x + 6

In dit geval zullen we eerst een reeks transformaties moeten uitvoeren.

Laten we eerst de haakjes uitbreiden. We krijgen:

4x - 16 = 2x + 6

Vervolgens brengen we de onbekende termen over naar de linkerkant van de vergelijking en de bekende naar rechts, en niet te vergeten het teken van de term te veranderen tijdens de overdracht. We krijgen:

4x - 2x = 6 + 16

Nu zullen we vergelijkbare termen geven. We krijgen:

Als we beide zijden van de vergelijking door 2 delen, hebben we x = 11.

§ 3 Voorbeelden van het gebruik van het concept "lineaire vergelijking"

Laten we nog een paar voorbeelden bekijken met het concept van "lineaire vergelijking".

Voorbeeld 1. Bepaal het aantal wortels van de vergelijking 3x + 15 = 3 (x + 2) + 9.

Dit is een lineaire vergelijking met één variabele. Om de vraag te beantwoorden, moet u deze vergelijking eerst transformeren. Om dit te doen, openen we de haakjes, we krijgen:

3x + 15 = 3x + 6 + 9

We verplaatsen de bekende termen naar de rechterkant van de vergelijking en de onbekenden naar links. We krijgen:

3x - 3x = 6 + 9 - 15

We geven vergelijkbare termen, we krijgen:

Deze gelijkheid geldt voor elke waarde van x, dus de vergelijking heeft oneindig veel wortels.

Voorbeeld 2. Bij welke waarde van de variabele is de waarde van de uitdrukking 4y - 1 gelijk aan de waarde van de uitdrukking 3y + 5?

De voorwaarde van gelijkheid van twee uitdrukkingen wordt hier expliciet gespecificeerd. We schrijven deze gelijkheid, we krijgen:

4j - 1 = 3j + 5

Als we deze vergelijking oplossen met de methode uit voorbeeld 1, krijgen we y = 6.

Antwoord: de waarden van de uitdrukkingen zijn gelijk als y = 6.

Voorbeeld 3. Moeder en dochter 35 jaar samen. Hoe oud is uw dochter als ze 25 jaar jonger is dan haar moeder?

Laten we een algebraïsch model opstellen van deze reële situatie. Laat de dochter x jaar zijn, dan is moeder x + 25 jaar. Aangezien ze, afhankelijk van de toestand, samen 35 jaar oud zijn, zullen we de vergelijking opstellen:

x + (x + 25) = 35

Als we deze vergelijking oplossen, vinden we:

Aangezien we de leeftijd van de dochter met de letter x hebben aangegeven, is het gevonden getal het antwoord op de probleemvraag. Antwoord: mijn dochter is 5 jaar oud.

Lijst met gebruikte literatuur:

1. Mordkovich A.G., Algebra graad 7 in 2 delen, deel 1, leerboek voor onderwijsinstellingen / A.G. Mordkovitsj. - 10e druk, herzien - Moskou, "Mnemosyne", 2007
2. Mordkovich AG, Algebra graad 7 in 2 delen, Deel 2, Probleemboek voor onderwijsinstellingen / [A.G. Mordkovich en anderen]; bewerkt door A. G. Mordkovich - 10e druk, herzien - Moskou, "Mnemozina", 2007
3. HAAR. Tulchinskaya, Algebra rang 7 downloaden. Blitz-enquête: een handleiding voor studenten van onderwijsinstellingen, 4e editie, herzien en uitgebreid, Moskou, "Mnemozina", 2008
4. Alexandrova L.A., Algebra rang 7. Thematische toetsen in een nieuwe vorm voor studenten van algemeen vormende onderwijsinstellingen, onder redactie van A.G. Mordkovich, Moskou, "Mnemosyne", 2011
5. Alexandrova LA Algebra rang 7. Zelfstandig werk voor studenten van onderwijsinstellingen, onder redactie van A.G. Mordkovich - 6e editie, stereotiep, Moskou, "Mnemosyne", 2010

Enz., het is logisch om kennis te maken met vergelijkingen van andere typen. Volgende in de rij zijn lineaire vergelijkingen, waarvan de doelgerichte studie begint bij de algebralessen in de 7e klas.

Het is duidelijk dat je eerst moet uitleggen wat een lineaire vergelijking is, een definitie van een lineaire vergelijking moet geven, de coëfficiënten ervan, de algemene vorm ervan. Dan kun je uitzoeken hoeveel oplossingen een lineaire vergelijking heeft, afhankelijk van de waarden van de coëfficiënten, en hoe de wortels worden gevonden. Hiermee kunt u naar de oplossing van voorbeelden gaan en daarmee de bestudeerde theorie consolideren. In dit artikel zullen we dit doen: we zullen in detail stilstaan ​​​​bij alle theoretische en praktische punten met betrekking tot lineaire vergelijkingen en hun oplossing.

Laten we meteen zeggen dat we hier alleen lineaire vergelijkingen met één variabele zullen beschouwen, en al in een apart artikel zullen we de principes van het oplossen bestuderen lineaire vergelijkingen in twee variabelen.

Paginanavigatie.

Wat is een lineaire vergelijking?

De definitie van een lineaire vergelijking wordt gegeven door de manier waarop deze is geschreven. Bovendien hebben de formuleringen van de definities van lineaire vergelijkingen in verschillende leerboeken over wiskunde en algebra enkele verschillen die de essentie van het probleem niet beïnvloeden.

Bijvoorbeeld in het leerboek algebra voor graad 7 door Yu.N. Makarychev et al. De lineaire vergelijking wordt als volgt gedefinieerd:

Definitie.

Vergelijking van de vorm a x = b, waarbij x een variabele is, a en b enkele getallen zijn, heet lineaire vergelijking in één variabele.

Laten we voorbeelden geven van lineaire vergelijkingen die overeenkomen met de klinkende definitie. Bijvoorbeeld, 5 x = 10 is een lineaire vergelijking met één variabele x, hier is de coëfficiënt a 5 en het getal b is 10. Nog een voorbeeld: -2,3 y = 0 - dit is ook een lineaire vergelijking, maar met de variabele y, waarin a = -2,3 en b = 0. En in lineaire vergelijkingen zijn x = −2 en −x = 3,33 a niet expliciet aanwezig en zijn respectievelijk gelijk aan 1 en −1, terwijl b = −2 in de eerste vergelijking en b = 3,33 in de tweede.

En een jaar eerder, in het wiskundehandboek Vilenkin N. Ya., werden naast vergelijkingen van de vorm ax = b, lineaire vergelijkingen met één onbekende ook beschouwd als vergelijkingen die tot deze vorm kunnen worden teruggebracht door termen uit een deel van de vergelijking met een andere met het tegenovergestelde teken, evenals het gebruik van de reductie van vergelijkbare termen. Volgens deze definitie zijn vergelijkingen van de vorm 5 x = 2 x + 6, enz. ook lineair.

Op zijn beurt wordt in het algebra-leerboek voor 7 lessen van A.G. Mordkovich de volgende definitie gegeven:

Definitie.

Lineaire vergelijking met één variabele x Is een vergelijking van de vorm a x + b = 0, waarbij a en b enkele getallen zijn die de coëfficiënten van de lineaire vergelijking worden genoemd.

Dit soort lineaire vergelijkingen zijn bijvoorbeeld 2x − 12 = 0, hier is de coëfficiënt a 2, en b is gelijk aan -12, en 0,2y + 4,6 = 0 met de coëfficiënten a = 0,2 en b = 4,6. Maar tegelijkertijd zijn er voorbeelden van lineaire vergelijkingen die niet de vorm hebben a x + b = 0, maar a x = b, bijvoorbeeld 3 x = 12.

Laten we, zodat we in de toekomst geen discrepanties hebben, met lineaire vergelijkingen met één variabele x en coëfficiënten a en b een vergelijking van de vorm a x + b = 0 bedoelen. Dit type lineaire vergelijking lijkt het meest gerechtvaardigd, aangezien lineaire vergelijkingen zijn algebraïsche vergelijkingen eerste graad. En alle andere vergelijkingen die hierboven zijn aangegeven, evenals vergelijkingen die, met behulp van equivalente transformaties, worden teruggebracht tot de vorm a x + b = 0, worden genoemd vergelijkingen die reduceren tot lineaire vergelijkingen... Met deze benadering is de vergelijking 2 x + 6 = 0 een lineaire vergelijking, en 2 x = -6, 4 + 25 y = 6 + 24 y, 4 (x + 5) = 12, enz. Zijn vergelijkingen die reduceren tot lineaire.

Hoe lineaire vergelijkingen op te lossen?

Nu is het tijd om uit te zoeken hoe de lineaire vergelijkingen ax + b = 0 worden opgelost. Met andere woorden, het is tijd om uit te zoeken of een lineaire vergelijking wortels heeft, en zo ja, hoeveel en hoe ze te vinden.

De aanwezigheid van de wortels van een lineaire vergelijking hangt af van de waarden van de coëfficiënten a en b. In dit geval heeft de lineaire vergelijking a x + b = 0

• unieke wortel voor een ≠ 0,
• heeft geen wortels voor a = 0 en b ≠ 0,
• oneindig veel wortels heeft voor a = 0 en b = 0, in dit geval is elk getal een wortel van de lineaire vergelijking.

Laten we uitleggen hoe deze resultaten zijn verkregen.

We weten dat om vergelijkingen op te lossen, je van de oorspronkelijke vergelijking naar equivalente vergelijkingen kunt gaan, dat wil zeggen, naar vergelijkingen met dezelfde wortels of, zoals het origineel, zonder wortels. Om dit te doen, kunt u de volgende equivalente transformaties gebruiken:

• overdracht van een term van de ene kant van de vergelijking naar de andere met het tegenovergestelde teken,
• en het vermenigvuldigen of delen van beide zijden van de vergelijking door hetzelfde getal dat niet nul is.

Dus, in een lineaire vergelijking met één variabele van de vorm a x + b = 0, kunnen we de term b van de linkerkant naar de rechterkant overbrengen met het tegenovergestelde teken. In dit geval heeft de vergelijking de vorm a · x = −b.

En dan suggereert de deling van beide kanten van de vergelijking door het getal a zichzelf. Maar er is één ding: het getal a kan gelijk zijn aan nul, in dit geval is zo'n deling onmogelijk. Om dit probleem het hoofd te bieden, nemen we eerst aan dat het getal a niet nul is, en het geval van een nul a zal iets later afzonderlijk worden beschouwd.

Dus als a niet gelijk is aan nul, dan kunnen we beide zijden van de vergelijking ax = −b delen door a, daarna wordt het getransformeerd naar de vorm x = (- b): a, dit resultaat kan worden geschreven met a fractionele balk als.

Dus voor a ≠ 0 is de lineaire vergelijking a x + b = 0 gelijk aan de vergelijking waaruit de wortel kan worden gezien.

Het is gemakkelijk aan te tonen dat deze wortel uniek is, dat wil zeggen dat de lineaire vergelijking geen andere wortels heeft. Hiermee kunt u de methode door tegenspraak maken.

Laten we de wortel aanduiden als x 1. Stel dat er nog een wortel is van de lineaire vergelijking, die we aanduiden met x 2, bovendien x 2 ≠ x 1, die op grond van gelijke getallen bepalen door het verschil is gelijk aan de voorwaarde x 1 - x 2 0. Aangezien x 1 en x 2 de wortels zijn van de lineaire vergelijking a x + b = 0, vinden de numerieke gelijkheden a x 1 + b = 0 en a x 2 + b = 0 plaats. We kunnen de corresponderende delen van deze gelijkheden aftrekken, waardoor we de eigenschappen van de numerieke gelijkheden kunnen maken, we hebben ax 1 + b− (ax 2 + b) = 0−0, vandaar a (x 1 - x 2) + ( b b) = 0 en verder a (x 1 −x 2) = 0. En deze gelijkheid is onmogelijk, aangezien zowel a ≠ 0 als x 1 - x 2 ≠ 0. Zo kwamen we tot een contradictie, die de uniciteit van de wortel van de lineaire vergelijking a x + b = 0 voor a ≠ 0 bewijst.

Zo hebben we de lineaire vergelijking ax + b = 0 voor a ≠ 0 opgelost. Het eerste resultaat, dat aan het begin van deze sectie wordt gegeven, is gerechtvaardigd. Er zijn er nog twee over die voldoen aan de voorwaarde a = 0.

Voor a = 0 heeft de lineaire vergelijking a x + b = 0 de vorm 0 x + b = 0. Uit deze vergelijking en de eigenschap van het vermenigvuldigen van getallen met nul, volgt dat ongeacht welk getal we als x nemen, wanneer het wordt gesubstitueerd in de vergelijking 0 x + b = 0, we de numerieke gelijkheid b = 0 krijgen. Deze gelijkheid is waar wanneer b = 0, en in andere gevallen wanneer b ≠ 0 is deze gelijkheid onwaar.

Daarom is voor a = 0 en b = 0 elk getal de wortel van de lineaire vergelijking a x + b = 0, omdat onder deze omstandigheden vervanging van een willekeurig getal in plaats van x de juiste numerieke gelijkheid 0 = 0 geeft. En voor a = 0 en b ≠ 0 heeft de lineaire vergelijking a x + b = 0 geen wortels, omdat onder deze omstandigheden de vervanging van een willekeurig getal in plaats van x leidt tot de onjuiste numerieke gelijkheid b = 0.

Met de bovenstaande rechtvaardigingen kunt u een reeks acties vormen waarmee u elke lineaire vergelijking kunt oplossen. Dus, lineair algoritme voor het oplossen van vergelijkingen is dit:

• Door eerst de lineaire vergelijking te schrijven, vinden we de waarden van de coëfficiënten a en b.
• Als a = 0 en b = 0, dan heeft deze vergelijking oneindig veel wortels, namelijk elk getal is de wortel van deze lineaire vergelijking.
• Als a niet nul is, dan
• de coëfficiënt b wordt overgebracht naar de rechterkant met het tegenovergestelde teken, en de lineaire vergelijking wordt omgezet in de vorm a x = −b,
• waarna beide zijden van de resulterende vergelijking worden gedeeld door een niet-nulgetal a, dat de gewenste wortel van de oorspronkelijke lineaire vergelijking geeft.

Het geschreven algoritme is een uitputtend antwoord op de vraag hoe lineaire vergelijkingen moeten worden opgelost.

Ter afsluiting van dit punt moet worden gezegd dat een soortgelijk algoritme wordt gebruikt om vergelijkingen van de vorm a x = b op te lossen. Het verschil is dat voor a ≠ 0 beide zijden van de vergelijking onmiddellijk worden gedeeld door dit getal, hier bevindt b zich al in het vereiste deel van de vergelijking en is het niet nodig om de overdracht uit te voeren.

Om vergelijkingen van de vorm a x = b op te lossen, wordt het volgende algoritme gebruikt:

• Als a = 0 en b = 0, dan heeft de vergelijking oneindig veel wortels, dit zijn willekeurige getallen.
• Als a = 0 en b ≠ 0, dan heeft de oorspronkelijke vergelijking geen wortels.
• Als a niet nul is, dan zijn beide zijden van de vergelijking deelbaar door een getal dat niet nul is a, wat de enige wortel van de vergelijking geeft die gelijk is aan b / a.

Voorbeelden van het oplossen van lineaire vergelijkingen

Laten we gaan oefenen. Laten we eens kijken hoe het algoritme voor het oplossen van lineaire vergelijkingen wordt toegepast. Laten we oplossingen geven voor typische voorbeelden die overeenkomen met verschillende waarden van de coëfficiënten van lineaire vergelijkingen.

Voorbeeld.

Los de lineaire vergelijking 0 x − 0 = 0 op.

Oplossing.

In deze lineaire vergelijking, a = 0 en b = −0, wat hetzelfde is, b = 0. Daarom heeft deze vergelijking oneindig veel wortels, elk getal is de wortel van deze vergelijking.

Antwoord:

x is een willekeurig getal.

Voorbeeld.

Heeft de lineaire vergelijking oplossingen 0x + 2,7 = 0?

Oplossing.

In dit geval is de coëfficiënt a nul en is de coëfficiënt b van deze lineaire vergelijking 2,7, dat wil zeggen niet nul. Daarom heeft een lineaire vergelijking geen wortels.

In deze video analyseren we een hele reeks lineaire vergelijkingen die met hetzelfde algoritme zijn opgelost - daarom worden ze de eenvoudigste genoemd.

Laten we om te beginnen beslissen: wat is een lineaire vergelijking en wat is de eenvoudigste?

Een lineaire vergelijking is er een waarin er slechts één variabele is, en alleen in de eerste graad.

De eenvoudigste vergelijking betekent de constructie:

Alle andere lineaire vergelijkingen worden gereduceerd tot de eenvoudigste met behulp van het algoritme:

1. Vouw eventuele haakjes uit;
2. Verplaats de termen die een variabele bevatten naar de ene kant van het gelijkteken, en de termen zonder een variabele naar de andere;
3. Breng gelijkaardige termen links en rechts van het gelijkteken;
4. Deel de resulterende vergelijking door de coëfficiënt van de variabele $ x $.

Natuurlijk helpt dit algoritme niet altijd. Feit is dat na al deze machinaties soms de coëfficiënt bij de variabele $ x $ nul blijkt te zijn. In dit geval zijn er twee opties mogelijk:

1. De vergelijking heeft helemaal geen oplossingen. Als u bijvoorbeeld iets krijgt als $ 0 \ cdot x = 8 $, d.w.z. er is een nul aan de linkerkant en een niet-nul getal aan de rechterkant. In de onderstaande video zullen we verschillende redenen tegelijk bekijken waarom een ​​dergelijke situatie mogelijk is.
2. De oplossing is alle getallen. Het enige geval waarin dit mogelijk is, is dat de vergelijking is teruggebracht tot de constructie $ 0 \ cdot x = 0 $. Het is vrij logisch dat het niet uitmaakt welke $ x $ we vervangen, het zal nog steeds "nul gelijk aan nul" blijken te zijn, d.w.z. correcte numerieke gelijkheid.

Laten we nu eens kijken hoe het allemaal werkt in echte problemen.

Voorbeelden van het oplossen van vergelijkingen

Vandaag hebben we te maken met lineaire vergelijkingen, en alleen met de eenvoudigste. In het algemeen betekent een lineaire vergelijking elke gelijkheid die precies één variabele bevat, en deze gaat alleen naar de eerste graad.

Dergelijke constructies worden op ongeveer dezelfde manier opgelost:

1. Allereerst moet u de eventuele haakjes uitbreiden (zoals in ons laatste voorbeeld);
2. Breng dan soortgelijke
3. Pak ten slotte de variabele, d.w.z. alles wat met een variabele is geassocieerd - de termen waarin deze is opgenomen - moet in de ene richting worden overgedragen, en alles wat zonder deze is gelaten, moet naar de andere kant worden overgedragen.

Dan moet je in de regel soortgelijke aan elke kant van de verkregen gelijkheid brengen, en daarna blijft het alleen om te delen door de coëfficiënt op de "x", en we zullen het definitieve antwoord krijgen.

In theorie ziet dit er mooi en eenvoudig uit, maar in de praktijk kunnen zelfs ervaren middelbare scholieren aanstootgevende fouten maken in vrij eenvoudige lineaire vergelijkingen. Meestal worden fouten gemaakt bij het openen van haakjes of bij het berekenen van "plussen" en "minnen".

Bovendien komt het voor dat een lineaire vergelijking helemaal geen oplossingen heeft, of dat de oplossing de gehele getallenlijn is, d.w.z. elk nummer. We zullen deze subtiliteiten analyseren in de les van vandaag. Maar we beginnen, zoals je al begreep, met de eenvoudigste taken.

Schema voor het oplossen van de eenvoudigste lineaire vergelijkingen

Laat me om te beginnen nogmaals het hele schema schrijven voor het oplossen van de eenvoudigste lineaire vergelijkingen:

1. Vouw eventueel de haakjes uit.
2. We scheiden de variabelen af, d.w.z. alles dat "x" bevat, wordt naar de ene kant overgebracht en zonder "x" naar de andere kant.
3. We presenteren vergelijkbare termen.
4. We verdelen alles in de coëfficiënt bij "x".

Natuurlijk werkt dit schema niet altijd, er zitten bepaalde subtiliteiten en trucs in, en nu zullen we ze leren kennen.

Voorbeelden uit de praktijk van eenvoudige lineaire vergelijkingen oplossen

Probleem nummer 1

In de eerste stap moeten we de haakjes uitbreiden. Maar ze zijn niet in dit voorbeeld, dus we slaan deze fase over. In de tweede stap moeten we de variabelen grijpen. Let op: we hebben het hier alleen over individuele termen. Laten we schrijven:

We presenteren links en rechts soortgelijke termen, maar dat is hier al gedaan. Daarom gaan we verder met de vierde stap: delen door coëfficiënt:

\ [\ frac (6x) (6) = - \ frac (72) (6) \]

Dus we kregen het antwoord.

Probleem nummer 2

In dit probleem kunnen we de haakjes bekijken, dus laten we ze uitbreiden:

Zowel links als rechts zien we ongeveer dezelfde constructie, maar laten we te werk gaan volgens het algoritme, d.w.z. we scheiden de variabelen af:

Hier zijn vergelijkbare:

Op welke wortels het wordt uitgevoerd. Antwoord: voor elk. Daarom kunnen we schrijven dat $ x $ een willekeurig getal is.

Probleem nummer 3

De derde lineaire vergelijking is interessanter:

\ [\ links (6-x \ rechts) + \ links (12 + x \ rechts) - \ links (3-2x \ rechts) = 15 \]

Er zijn hier verschillende haakjes, maar ze worden met niets vermenigvuldigd, ze hebben alleen verschillende tekens ervoor. Laten we ze openen:

We voeren de tweede stap uit die ons al bekend is:

\ [- x + x + 2x = 15-6-12 + 3 \]

Laten we tellen:

We voeren de laatste stap uit - we delen alles door de coëfficiënt bij "x":

\ [\ breuk (2x) (x) = \ breuk (0) (2) \]

Dingen om te onthouden bij het oplossen van lineaire vergelijkingen

Afgezien van te eenvoudige taken, zou ik het volgende willen zeggen:

• Zoals ik hierboven al zei, heeft niet elke lineaire vergelijking een oplossing - soms zijn er gewoon geen wortels;
• Zelfs als er wortels zijn, kunnen er nul zijn - daar is niets mis mee.

Nul is hetzelfde getal als de rest, je moet het op geen enkele manier discrimineren of aannemen dat als je nul krijgt, je iets verkeerd hebt gedaan.

Een ander kenmerk houdt verband met het openen van haakjes. Let op: als er een "min" voor staat, dan verwijderen we deze, maar tussen haakjes veranderen we de tekens in tegenover... En dan kunnen we het openen met behulp van standaardalgoritmen: we krijgen wat we in de bovenstaande berekeningen hebben gezien.

Als je dit simpele feit begrijpt, kun je domme en pijnlijke fouten op de middelbare school vermijden, wanneer dergelijke acties als vanzelfsprekend worden beschouwd.

Complexe lineaire vergelijkingen oplossen

Laten we verder gaan met complexere vergelijkingen. Nu worden de constructies complexer en verschijnt er een kwadratische functie bij het uitvoeren van verschillende transformaties. Je moet hier echter niet bang voor zijn, want als we, volgens de bedoeling van de auteur, een lineaire vergelijking oplossen, dan zullen tijdens het transformatieproces alle monomialen die een kwadratische functie bevatten, noodzakelijkerwijs worden geannuleerd.

Voorbeeld 1

Het is duidelijk dat de eerste stap is om de haakjes uit te breiden. Laten we het heel voorzichtig doen:

Nu voor privacy:

\ [- x + 6 ((x) ^ (2)) - 6 ((x) ^ (2)) + x = -12 \]

Hier zijn vergelijkbare:

Het is duidelijk dat deze vergelijking geen oplossingen heeft, dus we zullen in het antwoord schrijven:

\ [\ niets \]

of geen wortels.

Voorbeeld nr. 2

We volgen dezelfde stappen. Eerste stap:

Verplaats alles met de variabele naar links, en zonder naar rechts:

Hier zijn vergelijkbare:

Het is duidelijk dat deze lineaire vergelijking geen oplossing heeft, dus we schrijven het als volgt:

\ [\ niets \],

of er zijn geen wortels.

Oplossingsnuances

Beide vergelijkingen zijn volledig opgelost. Door deze twee uitdrukkingen als voorbeeld te gebruiken, hebben we er opnieuw voor gezorgd dat zelfs in de eenvoudigste lineaire vergelijkingen alles misschien niet zo eenvoudig is: er kan één wortel zijn, of geen, of oneindig veel. In ons geval hebben we twee vergelijkingen overwogen, in beide zijn er gewoon geen wortels.

Maar ik wil uw aandacht vestigen op een ander feit: hoe u met haakjes werkt en hoe u ze opent als er een minteken voor staat. Beschouw deze uitdrukking:

Voordat u het openbaar maakt, moet u alles vermenigvuldigen met "X". Let op: vermenigvuldigt elke individuele term... Binnen zijn er twee termen - respectievelijk twee termen en vermenigvuldigd.

En pas nadat deze schijnbaar elementaire, maar zeer belangrijke en gevaarlijke transformaties zijn uitgevoerd, kunt u de haakjes uitbreiden vanuit het oogpunt van het feit dat er een minteken achter staat. Ja, ja: pas nu, als de transformaties zijn voltooid, herinneren we ons dat er een minteken voor de haakjes staat, wat betekent dat alles stroomafwaarts gewoon van teken verandert. In dit geval verdwijnen de haakjes zelf en, belangrijker nog, de leidende min verdwijnt ook.

We doen hetzelfde met de tweede vergelijking:

Het is geen toeval dat ik de aandacht vestig op deze kleine, schijnbaar onbeduidende feiten. Omdat het oplossen van vergelijkingen altijd een opeenvolging van elementaire transformaties is, waarbij het onvermogen om duidelijke en competente eenvoudige handelingen uit te voeren ertoe leidt dat middelbare scholieren bij mij komen en opnieuw leren om dergelijke eenvoudige vergelijkingen op te lossen.

Natuurlijk komt de dag dat je deze vaardigheden aanscherpt tot automatisme. Je hoeft niet meer elke keer zoveel transformaties uit te voeren, je schrijft alles op één regel. Maar terwijl u net aan het leren bent, moet u elke actie afzonderlijk schrijven.

Nog complexere lineaire vergelijkingen oplossen

Wat we nu gaan oplossen, is al moeilijk om de eenvoudigste taak te noemen, maar de betekenis blijft hetzelfde.

Probleem nummer 1

\ [\ links (7x + 1 \ rechts) \ links (3x-1 \ rechts) -21 ((x) ^ (2)) = 3 \]

Laten we alle elementen in het eerste deel vermenigvuldigen:

Laten we de afzondering doen:

Hier zijn vergelijkbare:

We voeren de laatste stap uit:

\ [\ frac (-4x) (4) = \ frac (4) (- 4) \]

Hier is ons laatste antwoord. En ondanks het feit dat we tijdens het oplossen coëfficiënten hadden met een kwadratische functie, vernietigden ze elkaar, wat de vergelijking precies lineair maakt, niet vierkant.

Probleem nummer 2

\ [\ links (1-4x \ rechts) \ links (1-3x \ rechts) = 6x \ links (2x-1 \ rechts) \]

Laten we de eerste stap netjes doen: vermenigvuldig elk element in de eerste haak met elk element in de tweede. In totaal zouden er vier nieuwe termen moeten zijn na de transformaties:

Laten we nu zorgvuldig de vermenigvuldiging in elke term uitvoeren:

Laten we de termen met "x" naar links verplaatsen en zonder - naar rechts:

\ [- 3x-4x + 12 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (2)) + 6x = -1 \]

Hier zijn vergelijkbare termen:

Nogmaals, we hebben het definitieve antwoord ontvangen.

Oplossingsnuances

De belangrijkste opmerking over deze twee vergelijkingen is als volgt: zodra we beginnen met het vermenigvuldigen van de haakjes waarin meer staat dan een term, dan gebeurt dit volgens de volgende regel: we nemen de eerste term van de eerste en vermenigvuldig met elk element van de tweede; dan nemen we het tweede element van het eerste en vermenigvuldigen we op dezelfde manier met elk element van het tweede. Als resultaat krijgen we vier termen.

algebraïsche som

Met het laatste voorbeeld wil ik de leerlingen eraan herinneren wat een algebraïsche som is. In de klassieke wiskunde bedoelen we met $ 1-7 $ een eenvoudige constructie: trek zeven af ​​van één. In de algebra bedoelen we hiermee het volgende: aan het getal "een" voegen we nog een getal toe, namelijk "min zeven". Dit is hoe de algebraïsche som verschilt van de gebruikelijke rekenkundige.

Als je eenmaal, bij het uitvoeren van alle transformaties, elke optelling en vermenigvuldiging, constructies begint te zien die vergelijkbaar zijn met die hierboven beschreven, zul je eenvoudigweg geen problemen hebben in de algebra als je met veeltermen en vergelijkingen werkt.

Laten we tot slot nog een paar voorbeelden bekijken die nog complexer zullen zijn dan degene die we zojuist hebben bekeken, en om ze op te lossen, zullen we ons standaardalgoritme iets moeten uitbreiden.

Vergelijkingen oplossen met een breuk

Om dergelijke problemen op te lossen, moeten we nog een stap aan ons algoritme toevoegen. Maar eerst zal ik je herinneren aan ons algoritme:

1. Breid haakjes uit.
2. Maak variabelen vrij.
3. Neem vergelijkbare mee.
4. Verdeel per factor.

Helaas blijkt dit uitstekende algoritme, ondanks al zijn effectiviteit, niet helemaal geschikt als we met breuken worden geconfronteerd. En in wat we hieronder zullen zien, hebben we een breuk links en rechts in beide vergelijkingen.

Hoe te werk in dit geval? Alles is heel eenvoudig! Om dit te doen, moet u nog een stap aan het algoritme toevoegen, wat zowel voor als na de eerste actie kan worden gedaan, namelijk breuken verwijderen. Het algoritme zal dus als volgt zijn:

1. Weg met breuken.
2. Breid haakjes uit.
3. Maak variabelen vrij.
4. Neem vergelijkbare mee.
5. Verdeel per factor.

Wat betekent "weg met breuken"? En waarom kan dit zowel na als voor de eerste standaardstap? In ons geval zijn in feite alle breuken numeriek bij de noemer, d.w.z. overal in de noemer is slechts een getal. Daarom, als we beide zijden van de vergelijking met dit getal vermenigvuldigen, dan verwijderen we breuken.

Voorbeeld 1

\ [\ frac (\ links (2x + 1 \ rechts) \ links (2x-3 \ rechts)) (4) = ((x) ^ (2)) - 1 \]

Laten we de breuken in deze vergelijking weglaten:

\ [\ frac (\ left (2x + 1 \ right) \ left (2x-3 \ right) \ cdot 4) (4) = \ left (((x) ^ (2)) - 1 \ right) \ cdot 4\]

Let op: alles wordt een keer met "vier" vermenigvuldigd, dwz. alleen omdat je twee haakjes hebt, wil nog niet zeggen dat je ze allemaal met vier moet vermenigvuldigen. Laten we opschrijven:

\ [\ links (2x + 1 \ rechts) \ links (2x-3 \ rechts) = \ links (((x) ^ (2)) - 1 \ rechts) \ cdot 4 \]

Laten we nu openen:

We doen de afzondering van de variabele:

We voeren de reductie van vergelijkbare termen uit:

\ [- 4x = -1 \ links | : \ links (-4 \ rechts) \ rechts. \]

\ [\ frac (-4x) (- 4) = \ frac (-1) (- 4) \]

We hebben de uiteindelijke oplossing, ga naar de tweede vergelijking.

Voorbeeld nr. 2

\ [\ frac (\ links (1-x \ rechts) \ links (1 + 5x \ rechts)) (5) + ((x) ^ (2)) = 1 \]

Hier voeren we allemaal dezelfde acties uit:

\ [\ frac (\ left (1-x \ right) \ left (1 + 5x \ right) \ cdot 5) (5) + ((x) ^ (2)) \ cdot 5 = 5 \]

\ [\ frac (4x) (4) = \ frac (4) (4) \]

Het probleem is opgelost.

Dat is eigenlijk alles wat ik vandaag wilde vertellen.

Belangrijkste punten:

De belangrijkste bevindingen zijn als volgt:

• Ken het algoritme voor het oplossen van lineaire vergelijkingen.
• Mogelijkheid om haakjes te openen.
• Maak je geen zorgen als je ergens kwadratische functies hebt, hoogstwaarschijnlijk zullen ze krimpen in het proces van verdere transformaties.
• Wortels in lineaire vergelijkingen, zelfs de eenvoudigste, zijn van drie soorten: één enkele wortel, de hele getallenlijn is een wortel, er zijn helemaal geen wortels.

Ik hoop dat deze les je zal helpen een eenvoudig, maar zeer belangrijk onderwerp onder de knie te krijgen voor een beter begrip van alle wiskunde. Als er iets niet duidelijk is, ga dan naar de site, los de daar gepresenteerde voorbeelden op. Blijf ons volgen, er wachten nog veel meer interessante dingen op je!

Lesonderwerp:

Lineaire vergelijking in één variabele

Kudelko Marina

Lesdoelen:

Educatief: consolideer het concept van een vergelijking, de wortels van een vergelijking, onthoud wat het betekent om een ​​vergelijking op te lossen, introduceer en leer het concept van een equivalente vergelijking, een lineaire vergelijking, lineaire vergelijkingen kunnen vinden en leren hoe ze op te lossen , moeten leerlingen weten hoeveel wortels een lineaire vergelijking kan hebben.

Ontwikkelen: Om de nauwkeurigheid van de registratie van studenten, de rekenvaardigheden van studenten te ontwikkelen, om interesse en liefde voor het onderwerp, geheugen en mentale operaties te vormen, om het vermogen te vormen om hun gedachten duidelijk en duidelijk uit te drukken, om duidelijk vragen te vormen.

Educatief: Bevorder de identificatie en onthulling van de capaciteiten van studenten, zorg voor onafhankelijkheid.

Lestype: nieuwe stof leren.

Lesplan:

.Huiswerkcheck (5 minuten)

Aangezien de les van vandaag een les is in het bestuderen van nieuw materiaal, is er geen tijd om mijn huiswerk te controleren, ik zal notitieboekjes verzamelen om te controleren, nadat ik de studenten van tevoren heb gewaarschuwd. De leerlingen leggen de notitieboekjes op de rand van het bureau.

.Basiskennis bijwerken

Aan het begin van de les moet je, samen met de leerlingen, de al bekende concepten van de vergelijking, de wortel van de vergelijking, onthouden, de betekenis onthouden van de vereiste om de vergelijking op te lossen. De leraar voert een frontaal onderzoek uit. En ook de leraar heeft van tevoren kleine voorbeelden op het bord voorbereid over deze vragen, de studenten gaan naar het bord en beslissen zelf, bij voorkeur zonder de hulp van de leraar, aangezien dit al behandelde stof is.

Bewijs dat elk van de getallen -5, 0, 3 een wortel van de vergelijking is:

A) z (z-3) (z + 5) = 0;

Los De vergelijking op:

Zoek de wortel van de vergelijking:

Aangezien we in dit onderwerp moeten werken met een concept dat de studenten niet kennen, moeten we het eerst introduceren. Dit concept is gelijk aan vergelijkingen. Je kunt eerst verschillende vergelijkingen geven, vraag de leerlingen om ze op te lossen. Vraag dan wat gemeenschappelijk is tussen de vergelijkingen. Het blijkt dat wat de vergelijkingen gemeen hebben, hun identieke wortels zijn. Als de studenten het niet meteen begrijpen, moeten er nog een paar voorbeelden worden gegeven. En om te zeggen dat vergelijkingen van dit type equivalent worden genoemd. Die. Equivalente vergelijkingen zijn vergelijkingen met dezelfde wortels.

Zijn de vergelijkingen equivalent???

U kunt de borden op het bord (of op het interactieve whiteboard) meenemen:

3. Nieuw materiaal leren

Nu de nodige concepten zijn teruggeroepen, zijn sommige concepten met succes geïntroduceerd, laten we overgaan tot de studie van nieuw materiaal.

De docent heeft van tevoren een tekening op het bord gemaakt (of een presentatie over dit onderwerp, dat is veel beter).

De leraar stelt een probleem voor aan de leerlingen.

Laten we de vergelijking oplossen die in de figuren kan worden gevisualiseerd: de lineaire wortel is gelijk aan de vergelijking

We hebben de toestand van de vergelijking gepresenteerd in de vorm van een afbeelding, die veel duidelijker en begrijpelijker is voor studenten. We krijgen een weegschaal met kopjes thee en gewichten, en houden elkaar in evenwicht.

Nu zullen we argumenteren wat er met onze gewichten zal gebeuren als we hetzelfde aantal pakjes thee aftrekken of optellen.

Zo kun je redeneren. De balans van het horloge wordt niet verstoord als uit elk kopje 3 pakken thee worden gehaald. (Dit is te zien in figuur 2) Als 2 pakken thee (!! van hetzelfde gewicht !!) 150 gram wegen, dan weegt één pak thee 150 gram. : 2 = 75g.

Deze overwegingen tonen een dergelijke manier om deze vergelijking op te lossen. Trek de uitdrukking af van de linker- en rechterkant van de vergelijking. We krijgen:

De termen en - aan de rechterkant geven nul. Daarom krijgen we:

Dit betekent het antwoord: de leraar doet deze acties samen met de studenten, ze moeten hem aansporen en helpen. De leraar kan vragen om te herhalen wat er is gezegd of, wat beter is, om dit probleem in tweetallen aan elkaar uit te leggen, en een of twee studenten dan aan het bord. De leraar vergeet de lof van de leerlingen niet.

Vervolgens lossen we samen frontaal het volgende voorbeeld op.

Laten we de vergelijking oplossen:

Als we een uitdrukking aan elk deel van de vergelijking toevoegen, zullen er na de geest van soortgelijke aan de rechterkant geen termen met een variabele zijn, laten we dit doen (de leraar vraagt ​​de studenten om de acties hardop uit te spreken, hij kan vraag een individuele student om te spreken of uit te leggen):

(Laten we vergelijkbare citeren en opmerken dat 3x en -3x wederzijds worden geannuleerd.)

Als we de verkregen vergelijking met de gegevens vergelijken, merken we op dat de term - van rechts naar links is gegaan met het tegenovergestelde teken. We geven soortgelijke aan de linkerkant:

Merk op dat de vergelijking wordt verkregen uit de vergelijking na het overbrengen van het getal van de linkerkant van de vergelijking naar de rechterkant met het tegenovergestelde teken.

Tenslotte vinden we:

We merken op dat als in de vergelijking een term wordt overgedragen van het ene deel naar het andere, waarbij het teken verandert, er een vergelijking wordt verkregen die equivalent is aan de gegeven.

Ze dragen de term niet zomaar over, maar zodat er termen zijn met een variabele aan de linkerkant en bekende getallen aan de andere kant. Links - onbekenden, rechts - bekenden.

Als de vergelijking haakjes bevat, moet u deze eerst uitbreiden.

Bijles geven

Hulp nodig bij het verkennen van een onderwerp?

Onze experts zullen u adviseren of bijles geven over onderwerpen die u interesseren.
Stuur een verzoek met de aanduiding van het onderwerp nu om meer te weten te komen over de mogelijkheid om een ​​consult te krijgen.