Paglutas ng mga equation. Linear Equation sa Isang Variable

§ 23. Linear equation na may isang variable. Ang paglutas ng mga linear equation sa isang variable at mga equation na binabawasan sa kanila

Alam namin kung paano malutas ang mga equation 2x = -8; x - 5; 0.01 x -17.

Ang bawat isa sa mga equation na ito ay mayroong form ax = b, kung saan ang x ay isang variable, ang a at b ay ilang mga numero.

Ang mga bilang a at b ay tinatawag na mga coefficients ng equation.

Kung ang isang ≠ 0, pagkatapos ang equation ax = b ay tinatawag na isang equation ng unang degree na may isang variable. Paghahati sa magkabilang panig ng equation ng a, nakukuha namin ang x =, iyon ay, ang tanging ugat ng equation na ito ay ang numero

Kung ang a - 0 at b - 0, kung gayon ang linear equation ay may form na 0x - 0. Ang ugat ng naturang equation ay anumang numero, dahil para sa anumang halaga ng x ang mga halaga ng kaliwa at kanang bahagi ng equation ay pantay at pantay sa zero. Samakatuwid, ang equation 0x = 0 ay isang hanay ng mga ugat.

Kung ang a - 0, at b ≠ 0, kung gayon ang linear equation ay kukuha ng form na 0x - b. Sa parehong oras, walang halaga ng variable x na magko-convert sa kaliwa at kanang bahagi ng equation sa parehong numero. Pagkatapos ng lahat, ang halaga ng kaliwang bahagi ng equation para sa anumang halaga ng x ay katumbas ng zero, at ang halaga ng kanang bahagi ay isang nonzero na numero b. Samakatuwid, ang equation 0x = b para sa b ≠ 0 ay walang mga ugat.

Sistema natin ang data sa solusyon ng linear equation ax = b sa anyo ng isang scheme:

Halimbawa 1. Malutas ang equation:

R a z v 'Ako ay z at n ako.

1) 0.2 x = 7; x = 7: 0.2; x = 35.

Sagot: - 4.

3) 0x = 7; ang mga equation ay walang mga ugat.

Sagot: wala itong ugat.

Ang proseso ng paglutas ng maraming mga equation ay isang pagbawas ng mga equation na ito sa isang liryo path sa pamamagitan ng katumbas na mga pagbabago sa mga tuntunin ng mga katangian ng mga equation.

Halimbawa 2. Malutas ang equation:

1) 3 (x + 1) - 2x = 6 - 4x;

R a z v 'Ako ay z at n ako.

1. Tanggalin natin ang mga denominator (kung mayroon man):

1) 3 (x + 3) - 2x = 6 - 4x.

I-multiply ang magkabilang panig ng equation ng 6 (6 ang pinakamababang karaniwang denominator ng mga praksyon). Meron kami:

3 (x + 1) + 2 (5 - x) = x + 13.

2. Palawakin natin ang mga braket (kung mayroon man):

3x + 9 - 2x = 6 - 4x;

3x + 3 + 10 - 2x = x + 13.

3. Ilipat ang mga term na naglalaman ng variable sa kaliwang bahagi, at ang natitira sa kanan, binabago ang mga palatandaan ng mga term na ito sa kabaligtaran:

3x - 2x + 4x = 6 - 9;

3x - 2x - x = 13 - 3 - 10.

4. Ibuod natin ang mga katulad na termino:

5. Malutas natin ang nagresultang linear equation:

Sagot: -0.6.

x - anumang numero.

Sagot: anumang numero.

Halimbawa 3. Malutas ang equation 5 (x + r) = 3x - 7p na may kaugnayan sa x.

R a z v 'Ako ay z at n ako. Buksan natin ang mga braket sa kaliwang bahagi ng equation: 5x + 5p - 3x - 7p. Ilipat ang term na 3x sa kaliwa, at 5p sa kanan. Mayroon kaming: 5x - 3x = -7p - 5p; 2x = -12r. Pagkatapos x = (-12p): 2; x = (-12: 2) g; x = -6p.

Sagot: -6 rubles.

Anong equation ang tinatawag na isang linear na isang-variable na equation? Magbigay ng mga halimbawa ng mga linear equation. Kailan ang ehe ng equation - b ay may isang solong ugat? Sa anumang kaso, ang ugat ng equation ay b-anumang numero? Kailan walang mga ugat ang equation ax = b?

848. (Oral) Aling mga equation ang linear:

5) x + 7 = x 2;

849. (Oral) Ilan ang mga ugat ng equation:

850. Alamin kung alin sa mga equation na ito ay mayroon lamang isang solusyon, walang mga solusyon, mayroong isang walang katapusang bilang ng mga solusyon:

851. (Pandiwa) Malutas ang equation:

2) 0.5 x = -2.5;

3) -2.5 x = 7.5;

852. Lutasin ang equation:

6) -0.01 x = 0.17;

8) -1.2 x = -4.2;

853. Hanapin ang ugat ng equation:

6) 0.1 x = 0.18.

854. Tukuyin kung ano ang dapat na nakasulat sa kanan ng equation sa halip na mga puwang, kung ang ugat nito ay kilala:

855. Hanapin ang ugat ng equation:

1) 7x + 14 = 0;

2) 0.3x - 21 = 0.5x - 23;

3) 1x + 3 = 6x - 13;

4) 5x + (3x - 7) = 9;

5) 47 = 10 - (9x + 2);

6) (3x + 2) - (8x + 6) = 14.

856. Lutasin ang equation:

2) 1.4 x - 12 = 0.9 x + 4;

3) 3x + 14 = 5x - 16;

4) 12 - (5x + 10) = -3;

5) 6 - (8x + 11) = -1;

6) (3x - 4) - (6 - 4x) = 4.

857. Alin sa mga equation ang katumbas ng equation 5x = 10:

3) x + 2 = x + 1;

5) x = 8 - 3x;

6) 1x - 7 = 4x?

858. Katumbas ba ang mga equation:

1) 4x - x = 17 3x = 17;

2) 5x - 9 = 3x at 6x = 21;

3) 2x = -12 at x + 6 = 0;

4) 12x = 0 15x = 15?

859.

1) Ang 3x + 7 ay katumbas ng -2;

2) 4 (x + 1) ay katumbas ng halaga ng expression na 5x - 9?

860. Sa anong halaga ng y:

1) ang halaga ng ekspresyon na 5y - 13 ay katumbas ng -3;

2) pantay ba ang mga halaga ng mga expression 3 (c - 2) at 13y - 8?

861. Lutasin ang equation:

2) 2x - y = 1;

862. Hanapin ang ugat ng equation:

863. Gumawa ng isang linear equation, ang ugat nito ay:

1) bilang -2;

2) ang bilang ay -0.2.

864. Gumawa ng isang linear equation:

1) ay walang mga ugat;

2) kung aling ugat ang anumang numero.

865. Gumawa ng isang linear equation na may ugat:

1) bilang -8;

2) anumang numero.

866. Hanapin ang ugat ng equation:

1) (4x - 2) + (5x - 4) - 9 - (5 - 11x);

2) (7 - 8x) - (9 - 12x) - (5x + 4) = -16;

3) 3 (4x - 5) - 10 (2x - 1) = 33;

4) 9 (3 (x + 1) 2x) = 7 (x + 1).

867. Lutasin ang equation:

1) (9x - 4) + (15x - 5) = 18 - (25 - 22x);

2) (10x + 6) - (9 - 9x) + (8 - 11x) = -19;

3) 7 (x - 1) - 3 (2x + 1) = -x - 15;

4) 5 (4 (x - 1) - 3x) = 9x.

868.

1) 2x + a = x + a;

2) b + x = c - x;

3) 6x + 2m = x - 8m;

4) 9a + x = 3b - 2x.

R a z v 'Ako ay z at n ako.

4) 9a - x = 3b - 2x; x + 2x = 3b - 9a; 3x = 3 (b - 3a). Hatiin ang magkabilang panig ng equation ng 3. Nakukuha namin ang: x = b - 3a.

Sagot: b - 3a.

869. Malutas ang equation para sa x:

1) 7x + m = 2x + m;

2) a + x = 2m - x;

3) 3x + b = 9b - x;

4) 5p + 2x = 10 - 3x.

870. Katumbas ba ang mga equation:

1) 2x - 4 = 2 at 5 (x - 3) + 1 = 3x - 8;

2) 5x + 3 = 8 at 7 (x - 2) + 20 = 4x + 3;

3) 5x = 0 at 0x = 5;

4) 7x + 1 = 7x 2 at 5 (x + 1) = 5x + 5;

5) 0: x = 7 at 0 ∙ x = 7;

6) 3 (x - 2) = 3x - 6 at 2 (x + 7) - 2 (x + 1) + 12?

871. Sa anong halaga ang halaga ng pagpapahayag:

1) 5y + 7 ay tatlong beses ang halaga ng expression na y + 5;

2) 2y - 4 ang 7.4 ay higit pa sa halaga ng pagpapahayag 3 - 7y?

872. Sa anong halaga ng x ang halaga ng pagpapahayag:

1) 7x + 8 ay dalawang beses ang halaga ng pagpapahayag x + 7;

2) 5x - 8 pa 17.2 mas mababa sa halaga ng ekspresyon x + 2?

873. Gumawa ng isang equation na magiging katumbas ng equation 7 (2x - 8) = 5 (7x - 8) - 15x.

874. Sa anong halaga ng a ang equation:

1) 2ax = 16 ay may ugat na katumbas ng 4;

2) Ang 3x ay may ugat na katumbas ng;

3) Ang 5 (a + 1) x = 40 ay may ugat na -1?

875. Sa anong halaga ng b ang ugat ng equation:

1) 3b x = -24 ang bilang -4;

2) (2a - 5) x = 45 s number 3?

876. Lutasin ang equation:

1) 4x + 7 = 3 (x - 2) + x:

2) 2x + 5 - 2 (x - 4) + 13;

3) 2x (1 - 3x) + 5x (3 - x) = 17x - 8x 2;

4) (7x - 3 + 2x 2 - 4x - 5) - (6x 3 - x 2 + 2x) = 3x 2 - (6x - x 3).

877. Hanapin ang ugat ng equation:

1) 3 (x - 2) + 4x = 7 (x -1) + 1;

2) 2 (x + 1) + x = 6 (x + 3);

3) 3x (2 + x) - 4 (1 - x 2) = 7x 2 + 6x;

4) (x 2 + 4x - 8) - (7x - 2x 2 - 5) = 3x 2 - (3x + 3).

878. Malutas ang equation.

§ 1 Ano ang isang equation

Ang isang equation ay isang pagkakapantay-pantay na naglalaman ng isang hindi kilalang, ang halaga na dapat hanapin. Halimbawa, ang mga entry:

ay hindi mga equation. Walang pagkakapantay-pantay, at hindi mo kailangang hanapin ang halaga ng variable. Ito ay literal lamang na mga ekspresyon. At narito ang mga entry:

13x - 14 = 2x + 4

ay mga equation.

Ang mga equation ay mga modelo ng algebraic ng mga sitwasyon sa totoong buhay. Sa proseso ng pagtatrabaho sa modelo, nilulutas namin ang equation.

Upang malutas ang isang equation ay nangangahulugang hanapin ang lahat ng mga ugat nito o upang ipakita na wala sila. Ang ugat ng isang equation ay tulad ng isang halaga ng isang variable kung saan ang equation ay nagiging isang tunay na pagkakapantay-pantay sa bilang. Halimbawa, isaalang-alang ang equation:

Kung x = 4, kung gayon ang equation ay magkakaroon ng anyo ng isang pantay na pagkakapantay-pantay:

2 ∙ 4 - 1 = 5 o 7 = 5

Hindi ito wastong pagkakapantay-pantay sa bilang, na nangangahulugang ang 4 ay hindi ang ugat ng equation. Kung x = 3, kung gayon ang equation ay kukuha ng form ng isang numerical equality:

2 ∙ 3 ​​- 1 = 5 o 5 = 5

Ito ay isang wastong pagkakapantay-pantay sa bilang, na nangangahulugang ang bilang 3 ang ugat ng equation. At walang ibang mga ugat.

§ 2 Mga linear na equation sa isang variable

Ang isang equation ng form ax + b = 0 ay tinatawag na isang linear equation na may isang variable.

Narito ang a at b ay mga koepisyent, maaari silang ipahayag sa anumang mga numero.

Tingnan natin ang iba't ibang mga kaso.

1) Kung ang isang = 0 at b = 0, pagkatapos ang equation ay kukuha ng form na 0 ∙ х + 0 = 0. Malinaw na, ang equation na ito ay walang hanggan maraming mga ugat, dahil ang anumang bilang na pinarami ng zero ay nagbibigay ng 0. Kaya't ang resulta ay palaging magiging tamang pagkakapantay-pantay sa bilang.

2) Kung ang isang = 0, b ≠ 0. Pagkatapos ang equation ay kukuha ng form na 0 ∙ х + b = 0. Maaari mong mapansin na ang naturang equation ay walang isang solong ugat. Sa katunayan, kapag ang anumang numero ay pinarami ng 0, ang resulta ay palaging magiging 0, ngunit ang kabuuan na may isang numero na nonzero ay magreresulta sa isang hindi resulta na nonzero, na nangangahulugang sa anumang kaso, isang hindi tamang pagkakapantay-pantay na bilang ang makukuha.

3) Ang coefficient a ay nonzero, ito ang pinakakaraniwang kaso. Nangangatuwiran kami tulad nito:

Una, inililipat namin ang kilalang term sa b sa kanang bahagi ng equation, binabago ang sign. Nakukuha namin:

Pagkatapos hatiin namin ang magkabilang panig ng equation ng bilang a. Nakukuha namin:

Samakatuwid, sa kasong ito, ang equation ay may isang ugat lamang, katulad:

Sa pagbubuod sa itaas, maaari nating tapusin:

Ang mga linear equation na may isang hindi kilalang maaaring magkaroon ng isang ugat, walang hanggan maraming mga ugat, o walang ugat.

Ngunit paano kung ang equation ay nakasulat sa isang mas kumplikadong form? Halimbawa, sa form:

4 (x - 4) = 2x + 6

Sa kasong ito, magkakaroon muna kami ng isang serye ng mga pagbabago.

Palawakin muna natin ang mga braket. Nakukuha namin:

4x - 16 = 2x + 6

Pagkatapos ay ilipat namin ang hindi kilalang mga termino sa kaliwang bahagi ng equation, at ang mga kilala sa kanan, hindi nakakalimutan na baguhin ang tanda ng term sa panahon ng paglipat. Nakukuha namin:

4x - 2x = 6 + 16

Ngayon ay magbibigay kami ng mga katulad na termino. Nakukuha namin:

Ang paghati sa magkabilang panig ng equation ng 2 mayroon kaming x = 11.

§ 3 Mga halimbawa ng paggamit ng konsepto ng "linear equation"

Tingnan natin ang ilan pang mga halimbawa ng paggamit ng konsepto ng "linear equation".

Halimbawa 1. Tukuyin ang bilang ng mga ugat ng equation na 3x + 15 = 3 (x +2) + 9.

Ito ay isang linear na isang-variable na equation. Upang sagutin ang tanong, dapat mo munang ibahin ang equation na ito. Upang magawa ito, binubuksan namin ang mga braket, nakukuha namin ang:

3x + 15 = 3x + 6 + 9

Inililipat namin ang mga kilalang term sa kanang bahagi ng equation, at ang mga hindi alam sa kaliwa. Nakukuha namin:

3x - 3x = 6 + 9 - 15

Nagbibigay kami ng mga katulad na termino, nakukuha namin ang:

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay totoo para sa anumang halaga ng x, kaya't ang equation ay walang hanggan maraming mga ugat.

Halimbawa 2. Sa anong halaga ng variable ang halaga ng expression na 4y - 1 na katumbas ng halaga ng expression na 3y + 5?

Ang kondisyon ng pagkakapantay-pantay ng dalawang mga expression ay malinaw na tinukoy dito. Isusulat namin ang pagkakapantay-pantay na ito, nakukuha namin ang:

4y - 1 = 3y + 5

Ang paglutas ng equation na ito sa pamamagitan ng pamamaraan mula sa halimbawa 1, nakukuha namin ang y = 6.

Sagot: ang mga halaga ng mga expression ay pantay kapag y = 6.

Halimbawa 3. Ang mag-ina na magkasama sa loob ng 35 taon. Ilang taon ang iyong anak na babae kung siya ay 25 taong mas bata sa kanyang ina?

Bumuo tayo ng isang modelo ng algebraic ng tunay na sitwasyong ito. Hayaan ang anak na babae na maging x taong gulang, pagkatapos ang ina ay x + 25 taong gulang. Dahil, ayon sa kundisyon, sila ay 35 taong gulang na magkasama, isusulat namin ang equation:

x + (x + 25) = 35

Paglutas ng equation na ito, nakita namin:

Dahil minarkahan namin ang edad ng anak na babae ng letrang x, ang nahanap na numero ay ang sagot sa tanong ng problema. Sagot: ang aking anak na babae ay 5 taong gulang.

Listahan ng ginamit na panitikan:

1. Mordkovich A.G. Algebra grade 7 sa 2 bahagi, Bahagi 1, Teksbuk para sa mga institusyong pang-edukasyon / A.G. Mordkovich. - Ika-10 ed., Binago - Moscow, "Mnemosyne", 2007
2. Mordkovich AG, Algebra grade 7 sa 2 bahagi, Bahagi 2, libro ng problema para sa mga institusyong pang-edukasyon / [A.G. Mordkovich at iba pa]; na-edit ni A.G. Mordkovich - Ika-10 edisyon, binago - Moscow, "Mnemozina", 2007
3. KANYA. Tulchinskaya, Algebra grade 7. Blitz survey: isang manwal para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon, ika-4 na edisyon, binago at pinalaki, Moscow, "Mnemozina", 2008
4. Alexandrova L.A., Algebra grade 7. Mga paksang pagsusuri sa isang bagong form para sa mga mag-aaral ng pangkalahatang mga institusyong pang-edukasyon, na-edit ng A.G. Mordkovich, Moscow, "Mnemosyne", 2011
5. Alexandrova L.A. Algebra grade 7. Malayang gawain para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon, na-edit ng A.G. Mordkovich - Ika-6 na edisyon, stereotyped, Moscow, "Mnemosyne", 2010

Atbp, lohikal na pamilyar sa mga equation ng iba pang mga uri. Susunod na linya ay linear na equation, ang may layunin na pag-aaral na nagsisimula sa mga aralin sa algebra sa ika-7 baitang.

Ito ay malinaw na kailangan mo munang ipaliwanag kung ano ang isang linear equation, magbigay ng isang kahulugan ng isang linear equation, mga coefficients nito, ipakita ang pangkalahatang anyo nito. Pagkatapos ay maaari mong malaman kung gaano karaming mga solusyon ang isang linear equation ay nakasalalay sa mga halaga ng mga coefficients, at kung paano matatagpuan ang mga ugat. Papayagan ka nitong pumunta sa solusyon ng mga halimbawa, at sa gayon pagsamahin ang napag-aralang teorya. Sa artikulong ito ay gagawin namin ito: tatalakayin namin nang detalyado ang lahat ng mga teoretikal at praktikal na puntos na nauugnay sa mga linear equation at kanilang solusyon.

Sabihin natin kaagad na dito isasaalang-alang lamang namin ang mga linear equation na may isang variable, at nasa isang hiwalay na artikulo pag-aaralan namin ang mga prinsipyo ng paglutas mga linear equation sa dalawang variable.

Pag-navigate sa pahina.

Ano ang isang linear equation?

Ang kahulugan ng isang linear equation ay ibinibigay ng paraan ng pagsulat nito. Bukod dito, sa iba't ibang mga aklat na matematika at algebra, ang mga formulation ng mga kahulugan ng mga linear equation ay may ilang mga pagkakaiba na hindi nakakaapekto sa kakanyahan ng isyu.

Halimbawa, sa aklat ng algebra para sa baitang 7 ni Yu.N. Makarychev et al. Ang linear equation ay tinukoy bilang mga sumusunod:

Kahulugan

Equation ng form isang x = b, kung saan ang x ay isang variable, ang a at b ay ilang mga numero, ay tinawag linear equation sa isang variable.

Magbigay tayo ng mga halimbawa ng mga linear equation na tumutugma sa tunog na kahulugan. Halimbawa, ang 5 x = 10 ay isang linear equation na may isang variable x, dito ang coefficient a ay 5, at ang bilang b ay 10. Isa pang halimbawa: −2.3 y = 0 - ito rin ay isang linear equation, ngunit may variable y, kung saan ang isang = −2.3 at b = 0. At sa mga linear equation x = −2 at −x = 3.33 a ay hindi malinaw na naroroon at katumbas ng 1 at −1, ayon sa pagkakabanggit, habang b = −2 sa unang equation, at b = 3.33 sa pangalawa.

At isang taon na mas maaga, sa aklat sa matematika na Vilenkin N. Ya., Bilang karagdagan sa mga equation ng form ax = b, ang mga linear equation na may isang hindi kilalang ay itinuturing din na mga equation na maaaring mabawasan sa form na ito sa pamamagitan ng paglilipat ng mga termino mula sa isang bahagi ng equation sa isa pa na may kabaligtaran na pag-sign, pati na rin ang paggamit ng pagbawas ng mga katulad na term. Ayon sa kahulugan na ito, ang mga equation ng form 5 x = 2 x + 6, atbp. guhit din.

Kaugnay nito, sa libro ng algebra para sa 7 klase ni A.G. Mordkovich, ang sumusunod na kahulugan ay ibinigay:

Kahulugan

Linear equation na may isang variable x Ay isang equation ng form na isang x + b = 0, kung saan ang a at b ay ilang mga bilang na tinatawag na mga coefficients ng linear equation.

Halimbawa, ang mga linear equation ng ganitong uri ay 2x - 12 = 0, narito ang coefficient a ay 2, at b ay katumbas ng −12, at 0.2y + 4.6 = 0 na may mga coefficients a = 0.2 at b = 4.6. Ngunit sa parehong oras, may mga halimbawa ng mga linear equation na may form na hindi isang x + b = 0, ngunit isang x = b, halimbawa, 3 x = 12.

Tayo, upang wala tayong mga pagkakaiba sa hinaharap, sa pamamagitan ng mga linear equation na may isang variable x at coefficients a at b ibig sabihin namin isang equation ng form a x + b = 0. Ang ganitong uri ng linear equation ay tila ang pinaka-makatwiran, dahil ang mga linear equation ay mga equation ng algebraic unang degree. At lahat ng iba pang mga equation na nakasaad sa itaas, pati na rin ang mga equation na, gamit ang katumbas na mga pagbabago, ay nabawasan sa form a x + b = 0, tatawagin mga equation na nagbabawas sa mga linear equation... Sa pamamaraang ito, ang equation 2 x + 6 = 0 ay isang linear equation, at 2 x = −6, 4 + 25 y = 6 + 24 y, 4 (x + 5) = 12, atbp. Ay ang mga equation na nagbabawas sa mga linear.

Paano malutas ang mga linear equation?

Ngayon ay oras na upang malaman kung paano malulutas ang mga linear equation ax + b = 0. Sa madaling salita, oras na upang malaman kung ang isang linear equation ay may mga ugat, at kung gayon, ilan at kung paano ito mahahanap.

Ang pagkakaroon ng mga ugat ng isang linear equation ay nakasalalay sa mga halaga ng mga coefficients a at b. Sa kasong ito, ang linear equation na isang x + b = 0 ay mayroon

• natatanging ugat para sa isang ≠ 0,
• walang mga ugat para sa a = 0 at b ≠ 0,
• ay may walang hanggan maraming mga ugat para sa isang = 0 at b = 0, sa kasong ito ang anumang numero ay isang ugat ng linear equation.

Ipaliwanag natin kung paano nakuha ang mga resulta.

Alam namin na upang malutas ang mga equation, maaari kang pumunta mula sa orihinal na equation hanggang sa mga katumbas na equation, iyon ay, sa mga equation na may parehong mga ugat o, tulad ng orihinal, na walang mga ugat. Upang magawa ito, maaari mong gamitin ang mga sumusunod na katumbas na pagbabago:

• paglipat ng isang termino mula sa isang gilid ng equation patungo sa isa pa na may kabaligtaran na pag-sign,
• at pag-multiply o paghati sa magkabilang panig ng equation ng parehong bilang na nonzero.

Kaya, sa isang linear equation na may isang variable ng form a x + b = 0, maililipat natin ang term b mula sa kaliwang bahagi patungo sa kanang bahagi na may kabaligtaran na karatula. Sa kasong ito, ang equation ay kumukuha ng form a · x = −b.

At pagkatapos ang paghati ng magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng bilang a ay nagmumungkahi mismo. Ngunit may isang bagay: ang numero ng a ay maaaring maging katumbas ng zero, sa kasong ito imposible ang gayong paghati. Upang makayanan ang problemang ito, ipinapalagay muna namin na ang bilang a ay nonzero, at ang kaso ng isang zero a ay isasaalang-alang nang hiwalay nang kaunti sa paglaon.

Kaya, kapag ang a ay hindi katumbas ng zero, pagkatapos ay maaari nating hatiin ang magkabilang panig ng equation ax = −b ng a, pagkatapos nito ay nabago sa form x = (- b): a, ang resulta na ito ay maaaring nakasulat gamit ang isang praksyonal na bar bilang.

Kaya, para sa isang ≠ 0, ang linear equation a x + b = 0 ay katumbas ng equation kung saan makikita ang ugat nito.

Madaling ipakita na ang ugat na ito ay natatangi, ibig sabihin, ang linear equation ay walang ibang mga ugat. Pinapayagan kang gawin ang pamamaraan sa pamamagitan ng kontradiksyon.

Tukuyin natin ang ugat bilang x 1. Ipagpalagay na mayroong isa pang ugat ng linear equation, na ipinapahiwatig namin ng x 2, bukod dito, x 2 ≠ x 1, na ayon sa bisa ng pagtukoy ng pantay na mga numero sa pamamagitan ng pagkakaiba ay katumbas ng kundisyon x 1 - x 2 ≠ 0. Dahil ang x 1 at x 2 ay ang mga ugat ng linear equation a x + b = 0, kung gayon ang mga pagkakaparehong bilang na isang x 1 + b = 0 at isang x 2 + b = 0 ay nagaganap. Maaari naming ibawas ang mga kaukulang bahagi ng mga katumbas na ito, na nagpapahintulot sa amin na gawin ang mga katangian ng mga pagkakapantay-pantay na bilang, mayroon kaming x 1 + b− (isang x 2 + b) = 0−0, kung saan mula sa isang (x 1 - x 2) + ( b - b) = 0 at karagdagang isang (x 1 −x 2) = 0. At ang pagkakapantay-pantay na ito ay imposible, dahil pareho ang ≠ 0 at x 1 - x 2 ≠ 0. Ganito kami nakarating sa isang kontradiksyon, na nagpapatunay ng pagiging natatangi ng ugat ng linear equation na isang x + b = 0 para sa isang ≠ 0.

Ganito namin nalutas ang linear equation ax + b = 0 para sa isang ≠ 0. Ang unang resulta, na ibinigay sa simula ng seksyon na ito, ay nabigyang-katwiran. Mayroong dalawa pang natitira na nakakatugon sa kundisyon a = 0.

Para sa isang = 0, ang linear equation na isang x + b = 0 ay kumukuha ng form na 0 x + b = 0. Mula sa equation na ito at pag-aari ng pag-multiply ng mga numero sa pamamagitan ng zero, sumusunod na hindi mahalaga kung anong numero ang kukunin natin bilang x, kapag pinalitan ito sa equation 0 x + b = 0, nakukuha natin ang pagkakapantay-pantay sa bilang na b = 0. Ang pagkakapantay-pantay na ito ay totoo kapag b = 0, at sa iba pang mga kaso kapag b ≠ 0 ang pagkakapantay-pantay na ito ay hindi totoo.

Samakatuwid, para sa isang = 0 at b = 0, ang anumang numero ay ang ugat ng linear equation a x + b = 0, dahil sa ilalim ng mga kundisyong ito, ang pagpapalit ng anumang numero sa halip na x ay nagbibigay ng tamang pagkakapantay-pantay sa bilang na 0 = 0. At para sa isang = 0 at b ≠ 0, ang linear equation na isang x + b = 0 ay walang mga ugat, dahil sa ilalim ng mga kundisyong ito ang pagpapalit ng anumang numero sa halip na x ay humahantong sa hindi tamang pagkakapantay-pantay sa bilang b = 0.

Pinapayagan ka ng mga katwiran sa itaas na bumuo ng isang pagkakasunud-sunod ng mga pagkilos na nagbibigay-daan sa iyo upang malutas ang anumang linear equation. Kaya, linear algorithm sa paglutas ng equation ito ba:

• Una, sa pamamagitan ng pagsulat ng linear equation, mahahanap natin ang mga halaga ng mga coefficients a at b.
• Kung ang isang = 0 at b = 0, kung gayon ang equation na ito ay may walang hanggan maraming mga ugat, lalo, anumang numero ang ugat ng linear equation na ito.
• Kung ang a ay nonzero, kung gayon
• ang coefficient b ay inililipat sa kanang bahagi na may kabaligtaran na pag-sign, at ang linear equation ay nabago sa form a x = −b,
• pagkatapos nito ang magkabilang panig ng nagresultang equation ay nahahati sa isang nonzero na numero a, na nagbibigay ng nais na ugat ng orihinal na linear equation.

Ang nakasulat na algorithm ay isang lubusang sagot sa tanong kung paano malutas ang mga linear equation.

Bilang pagtatapos ng puntong ito, dapat sabihin na ang isang katulad na algorithm ay ginagamit upang malutas ang mga equation ng form a x = b. Ang pagkakaiba nito ay para sa isang ≠ 0, ang magkabilang panig ng equation ay nahahati kaagad sa bilang na ito, narito ang b ay nasa kinakailangang bahagi ng equation at hindi na kailangang isagawa ang paglipat nito.

Upang malutas ang mga equation ng form a x = b, ginagamit ang sumusunod na algorithm:

• Kung ang isang = 0 at b = 0, kung gayon ang equation ay walang hanggan maraming mga ugat, na alinman sa anumang mga numero.
• Kung ang isang = 0 at b ≠ 0, kung gayon ang orihinal na equation ay walang mga ugat.
• Kung ang a ay nonzero, kung gayon ang magkabilang panig ng equation ay mahahati sa pamamagitan ng isang nonzero na numero a, na nagbibigay ng tanging ugat ng equation na katumbas ng b / a.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga linear equation

Bumaba na tayo upang magsanay. Tingnan natin kung paano inilapat ang algorithm para sa paglutas ng mga linear equation. Bigyan natin ng mga solusyon ang mga tipikal na halimbawa na naaayon sa iba't ibang mga halaga ng mga coefficients ng mga linear equation.

Halimbawa.

Malutas ang linear equation 0 x - 0 = 0.

Solusyon

Sa linear equation na ito, ang isang = 0 at b = −0, na pareho, b = 0. Samakatuwid, ang equation na ito ay walang hanggan maraming mga ugat, anumang numero ang ugat ng equation na ito.

Sagot:

x ay anumang numero.

Halimbawa.

Mayroon bang mga solusyon ang linear equation na 0x + 2.7 = 0?

Solusyon

Sa kasong ito, ang coefficient a ay zero, at ang coefficient b ng linear equation na ito ay 2.7, iyon ay, non-zero. Samakatuwid, ang isang linear equation ay walang mga ugat.

Sa video na ito, susuriin namin ang isang buong hanay ng mga linear equation na nalulutas gamit ang parehong algorithm - iyon ang dahilan kung bakit tinawag silang pinaka-simple.

Upang magsimula, tukuyin natin: ano ang isang linear equation at ano ang pinakasimpleng sa kanila?

Ang isang linear equation ay isa kung saan mayroon lamang isang variable, at sa unang degree lamang.

Ang pinakasimpleng equation ay nangangahulugang ang konstruksyon:

Ang lahat ng iba pang mga linear equation ay nabawasan sa pinakasimpleng gamit ang algorithm:

1. Palawakin ang panaklong, kung mayroon man;
2. Ilipat ang mga term na naglalaman ng isang variable sa isang gilid ng pantay na pag-sign, at mga term na walang variable sa kabilang panig;
3. Magdala ng mga katulad na termino sa kaliwa at kanan ng pantay na pag-sign;
4. Hatiin ang nagresultang equation ng koepisyent ng variable na $ x $.

Siyempre, ang algorithm na ito ay hindi laging makakatulong. Ang katotohanan ay kung minsan, pagkatapos ng lahat ng mga makina na ito, ang koepisyent sa variable na $ x $ ay naging zero. Sa kasong ito, posible ang dalawang pagpipilian:

1. Ang equation ay walang solusyon sa lahat. Halimbawa, kapag nakakuha ka ng isang bagay tulad ng $ 0 \ cdot x = 8 $, ibig sabihin mayroong isang zero sa kaliwa at isang nonzero na numero sa kanan. Sa video sa ibaba, titingnan namin ang maraming mga dahilan nang sabay-sabay kung bakit posible ang ganoong sitwasyon.
2. Ang solusyon ay ang lahat ng mga numero. Ang tanging kaso kapag posible ay ang equation ay nabawasan sa konstruksyon na $ 0 \ cdot x = 0 $. Ito ay lubos na lohikal na kahit anong $ x $ ang papalit sa amin, magaganap pa rin itong "zero na katumbas ng zero", ibig sabihin tamang pagkakapantay-pantay sa bilang.

Ngayon tingnan natin kung paano ito gumagana sa mga problema sa totoong buhay.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga equation

Ngayon nakikipag-usap kami sa mga linear equation, at tanging ang pinakasimpleng mga iyon. Sa pangkalahatan, ang isang linear equation ay nangangahulugang anumang pagkakapantay-pantay na naglalaman ng eksaktong isang variable, at pupunta lamang ito sa unang degree.

Ang mga nasabing konstruksyon ay malulutas sa halos pareho:

1. Una sa lahat, kailangan mong palawakin ang panaklong, kung mayroon man (tulad ng sa aming huling halimbawa);
2. Pagkatapos magdala ng katulad
3. Panghuli, sakupin ang variable, i. lahat ng bagay na nauugnay sa isang variable - ang mga term na naglalaman nito - ay dapat ilipat sa isang direksyon, at lahat ng naiwan nang wala ito ay dapat ilipat sa kabilang panig.

Pagkatapos, bilang panuntunan, kailangan mong magdala ng mga katulad sa bawat panig ng nakuha na pagkakapantay-pantay, at pagkatapos nito ay mananatili lamang ito upang hatiin ng koepisyent sa "x", at makukuha namin ang pangwakas na sagot.

Sa teorya, mukhang maganda at simple ito, ngunit sa pagsasagawa, kahit na ang mga may karanasan sa mga mag-aaral sa high school ay maaaring gumawa ng mga pagkakamali na nakakapanakit sa medyo simpleng mga linear equation. Kadalasan ang mga pagkakamali ay nagagawa alinman sa pagbubukas ng panaklong, o kapag kinakalkula ang "plus" at "minus".

Bilang karagdagan, nangyayari na ang isang linear equation ay walang solusyon sa lahat, o kaya na ang solusyon ay ang buong linya ng numero, ibig sabihin kahit anong numero. Susuriin namin ang mga subtleties na ito sa aralin ngayon. Ngunit magsisimula kami, tulad ng naintindihan mo na, sa pinakasimpleng mga gawain.

Scheme para sa paglutas ng pinakasimpleng mga linear equation

Upang magsimula, hayaan mo akong muling isulat ang buong pamamaraan para sa paglutas ng pinakasimpleng mga linear equation:

1. Palawakin ang mga braket, kung mayroon man.
2. Tinatago namin ang mga variable, ibig sabihin lahat ng naglalaman ng "x" ay inililipat sa isang gilid, at walang "x" - sa kabilang panig.
3. Nagpapakita kami ng mga katulad na termino.
4. Hinahati namin ang lahat sa koepisyent sa "x".

Siyempre, ang pamamaraan na ito ay hindi laging gumagana, mayroong ilang mga subtleties at trick dito, at ngayon makikilala natin sila.

Paglutas ng mga halimbawa ng totoong buhay ng mga simpleng linear equation

Problema bilang 1

Sa unang hakbang, kinakailangan naming palawakin ang mga braket. Ngunit wala sila sa halimbawang ito, kaya't laktawan natin ang yugtong ito. Sa pangalawang hakbang, kailangan nating sakupin ang mga variable. Mangyaring tandaan: pinag-uusapan lamang namin ang tungkol sa mga indibidwal na termino. Sumulat tayo:

Nagbibigay kami ng mga katulad na termino sa kaliwa at kanan, ngunit nagawa na ito rito. Samakatuwid, lumipat tayo sa ika-apat na hakbang: hatiin ayon sa koepisyent:

\ [\ frac (6x) (6) = - \ frac (72) (6) \]

Kaya nakuha namin ang sagot.

Problema bilang 2

Sa problemang ito, maaari nating obserbahan ang panaklong, kaya palawakin natin ang mga ito:

Parehong sa kaliwa at sa kanan nakikita natin ang humigit-kumulang sa parehong konstruksyon, ngunit magpatuloy tayo alinsunod sa algorithm, i. tinago namin ang mga variable:

Narito ang mga katulad nito:

Sa anong mga ugat ito ginaganap. Sagot: para sa anumang. Samakatuwid, maaari naming isulat na ang $ x $ ay anumang numero.

Problema bilang 3

Ang pangatlong linear equation ay mas kawili-wili:

\ [\ kaliwa (6-x \ kanan) + \ kaliwa (12 + x \ kanan) - \ kaliwa (3-2x \ kanan) = 15 \]

Mayroong maraming panaklong dito, ngunit hindi sila pinarami ng anupaman, mayroon lamang silang iba't ibang mga palatandaan sa harap nila. Buksan natin sila:

Isinasagawa namin ang pangalawang hakbang na alam na sa amin:

\ [- x + x + 2x = 15-6-12 + 3 \]

Magbilang tayo:

Isinasagawa namin ang huling hakbang - hinati namin ang lahat sa pamamagitan ng koepisyent sa "x":

\ [\ frac (2x) (x) = \ frac (0) (2) \]

Mga Bagay na Dapat tandaan Kapag Lumulutas ng Mga Linear Equation

Bukod sa masyadong simpleng mga gawain, nais kong sabihin ang sumusunod:

• Tulad ng sinabi ko sa itaas, hindi bawat linear equation ay may solusyon - minsan walang mga ugat lamang;
• Kahit na may mga ugat, maaaring may zero sa kanila - walang mali doon.

Ang zero ay kapareho ng bilang sa natitira, hindi mo dapat makilala dito sa anumang paraan o ipalagay na kung nakakuha ka ng zero, pagkatapos ay may ginawa kang mali.

Ang isa pang tampok ay nauugnay sa pagbubukas ng mga braket. Mangyaring tandaan: kapag may isang "minus" sa harap nila, pagkatapos ay aalisin namin ito, ngunit sa mga braket ay binabago namin ang mga palatandaan sa kabaliktaran... At pagkatapos ay maaari natin itong buksan gamit ang mga karaniwang algorithm: nakukuha natin ang nakita sa mga kalkulasyon sa itaas.

Ang pag-unawa sa simpleng katotohanang ito ay magbibigay-daan sa iyo upang maiwasan ang mga hangal at nakasasakit na pagkakamali sa high school, kapag ang mga naturang aksyon ay binibigyang halaga.

Paglutas ng mga kumplikadong linear equation

Lumipat tayo sa mas kumplikadong mga equation. Ngayon ang mga konstruksyon ay magiging mas kumplikado at lilitaw ang isang quadratic function kapag gumaganap ng iba't ibang mga pagbabago. Gayunpaman, hindi ka dapat matakot dito, dahil kung, ayon sa hangarin ng may-akda, nalulutas namin ang isang linear equation, kung gayon sa proseso ng pagbabago ay ang lahat ng mga monomial na naglalaman ng isang quadratic function ay kinakailangang kanselahin.

Halimbawa # 1

Malinaw na, ang unang hakbang ay upang palawakin ang panaklong. Maingat nating gawin ito:

Ngayon para sa privacy:

\ [- x + 6 ((x) ^ (2)) - 6 ((x) ^ (2)) + x = -12 \]

Narito ang mga katulad nito:

Malinaw na, ang equation na ito ay walang mga solusyon, kaya nagsusulat kami sa sagot:

\ [\ varnothing \]

o walang mga ugat.

Halimbawa Blg 2

Sinusunod namin ang parehong mga hakbang. Unang hakbang:

Ilipat ang lahat gamit ang variable sa kaliwa, at wala ito sa kanan:

Narito ang mga katulad nito:

Malinaw na, ang linear equation na ito ay walang solusyon, kaya sinusulat namin ito sa ganitong paraan:

\ [\ varnothing \],

o walang mga ugat.

Mga nuances ng solusyon

Ang parehong mga equation ay ganap na malulutas. Gamit ang dalawang expression na ito bilang isang halimbawa, muli naming tinitiyak na kahit sa pinakasimpleng linear equation lahat ay maaaring hindi gaanong simple: maaaring may alinman sa isang ugat, o wala, o walang hanggan na marami. Sa aming kaso, isinasaalang-alang namin ang dalawang mga equation, sa parehong walang mga ugat.

Ngunit nais kong iguhit ang iyong pansin sa isa pang katotohanan: kung paano gumana sa mga panaklong at kung paano buksan ang mga ito kung mayroong isang minus sign sa harap nila. Isaalang-alang ang ekspresyong ito:

Bago isiwalat, kailangan mong i-multiply ang lahat sa pamamagitan ng "X". Tandaan: dumarami bawat indibidwal na term... Sa loob ay mayroong dalawang termino - ayon sa pagkakabanggit, dalawang termino at pinarami.

At pagkatapos lamang ng mga tila elementarya na ito, ngunit napakahalaga at mapanganib na mga pagbabagong naisagawa, maaari mong mapalawak ang panaklong mula sa pananaw ng katotohanang mayroong isang minus sign pagkatapos nito. Oo, oo: ngayon lang, kapag nakumpleto ang mga pagbabago, naaalala namin na mayroong isang minus sign sa harap ng panaklong, na nangangahulugang ang lahat na bumababa ay nagbabago lamang ng mga palatandaan. Sa kasong ito, ang mga braket mismo ay nawawala at, pinaka-mahalaga, nawala din ang nangungunang minus.

Ginagawa namin ang pareho sa pangalawang equation:

Hindi sinasadya na nakatuon ako ng pansin sa maliit, tila hindi gaanong mahalagang mga katotohanan. Dahil ang paglutas ng mga equation ay palaging isang pagkakasunud-sunod ng mga elementarya na pagbabago, kung saan ang kawalan ng kakayahang malinaw at may kakayahang magsagawa ng mga simpleng pagkilos ay humahantong sa katotohanan na ang mga mag-aaral sa high school ay lumapit sa akin at muling natutunan upang malutas ang mga simpleng equation.

Siyempre, darating ang araw at mahahasa mo ang mga kasanayang ito sa automatism. Hindi mo na kailangang gumanap ng napakaraming mga pagbabago sa bawat oras, isusulat mo ang lahat sa isang linya. Ngunit habang natututo ka lang, kailangan mong isulat nang hiwalay ang bawat aksyon.

Paglutas ng mas kumplikadong mga linear equation

Kung ano ang malulutas natin ngayon, mahirap na tawagan ang pinakasimpleng gawain, ngunit ang kahulugan ay mananatiling pareho.

Problema bilang 1

\ [\ kaliwa (7x + 1 \ kanan) \ kaliwa (3x-1 \ kanan) -21 ((x) ^ (2)) = 3 \]

Paramihin natin ang lahat ng mga elemento sa unang bahagi:

Gawin nating pag-iisa:

Narito ang mga katulad nito:

Isinasagawa namin ang huling hakbang:

\ [\ frac (-4x) (4) = \ frac (4) (- 4) \]

Narito ang aming huling sagot. At, sa kabila ng katotohanang sa proseso ng paglutas ng mga coefficients na may isang quadratic function, pareho silang nawasak, na ginagawang eksaktong linear ang equation, hindi square.

Problema bilang 2

\ [\ kaliwa (1-4x \ kanan) \ kaliwa (1-3x \ kanan) = 6x \ kaliwa (2x-1 \ kanan) \]

Gawin nating maayos ang unang hakbang: i-multiply ang bawat elemento sa unang bracket ng bawat elemento sa pangalawa. Sa kabuuan, dapat mayroong apat na bagong mga termino pagkatapos ng mga pagbabago:

Ngayon ay maingat nating gampanan ang pagdaragdag sa bawat term:

Ilipat natin ang mga term na may "x" sa kaliwa, at wala - sa kanan:

\ [- 3x-4x + 12 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (2)) + 6x = -1 \]

Narito ang mga katulad na termino:

Muli, natanggap namin ang pangwakas na sagot.

Mga nuances ng solusyon

Ang pinakamahalagang tala tungkol sa dalawang equation na ito ay ang mga sumusunod: sa lalong madaling simulan namin ang pagpaparami ng panaklong kung saan mayroong higit pa sa isang term, pagkatapos ay ginagawa ito ayon sa sumusunod na panuntunan: kinukuha namin ang unang termino mula sa una at paramihin sa bawat elemento mula sa pangalawa; pagkatapos ay kinukuha namin ang pangalawang elemento mula sa una at katulad na multiply sa bawat elemento mula sa pangalawa. Bilang isang resulta, nakakakuha kami ng apat na termino.

Kabuuan ng Algebraic

Sa huling halimbawa, nais kong ipaalala sa mga mag-aaral kung ano ang isang algebraic sum. Sa klasikal na matematika, sa pamamagitan ng $ 1-7 $ nangangahulugan kami ng isang simpleng konstruksyon: ibawas ang pito mula sa isa. Sa algebra, ibig sabihin namin sa mga ito ng sumusunod: sa bilang na "isa" nagdagdag kami ng isa pang numero, katulad ng "minus pitong". Ito ay kung paano naiiba ang kabuuan ng algebraic mula sa karaniwang isa sa aritmetika.

Minsan, kapag ginaganap ang lahat ng mga pagbabago, bawat pagdaragdag at pagpaparami, nagsisimula kang makakita ng mga konstruksyon na katulad ng nailarawan sa itaas, wala kang anumang mga problema sa algebra kapag nagtatrabaho sa mga polynomial at equation.

Sa konklusyon, tingnan natin ang ilang higit pang mga halimbawa na magiging mas kumplikado kaysa sa mga napanood lamang natin, at upang malutas ang mga ito kailangan nating palawakin nang bahagya ang aming karaniwang algorithm.

Paglutas ng mga equation na may isang maliit na bahagi

Upang malutas ang mga ganitong problema, kakailanganin naming magdagdag ng isa pang hakbang sa aming algorithm. Ngunit una, ipaalala ko sa iyo ang aming algorithm:

1. Palawakin ang mga braket.
2. I-secreate ang mga variable.
3. Magdala ng mga katulad.
4. Hatiin ayon sa kadahilanan.

Naku, ang mahusay na algorithm na ito, para sa lahat ng pagiging epektibo nito, ay hindi ganap na naaangkop kapag mayroon kaming mga praksyon sa harap namin. At sa kung ano ang makikita natin sa ibaba, mayroon kaming isang maliit na bahagi sa kaliwa at sa kanan sa parehong mga equation.

Paano magtrabaho sa kasong ito? Napakadali ng lahat! Upang magawa ito, kailangan mong magdagdag ng isa pang hakbang sa algorithm, na maaaring gawin pareho bago at pagkatapos ng unang aksyon, lalo na, alisin ang mga praksyon. Kaya, ang algorithm ay ang mga sumusunod:

1. Tanggalin ang mga praksyon.
2. Palawakin ang mga braket.
3. I-secreate ang mga variable.
4. Magdala ng mga katulad.
5. Hatiin ayon sa kadahilanan.

Ano ang ibig sabihin ng "mapupuksa ang mga praksyon"? At bakit ito magagawa kapwa pagkatapos at bago ang unang pamantayang hakbang? Sa katunayan, sa aming kaso, ang lahat ng mga praksyon ay bilang ng bilang ng denominator, i.e. saanman sa denominator ay isang numero lamang. Samakatuwid, kung pinarami namin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng numerong ito, tinatanggal namin ang mga praksyon.

Halimbawa # 1

\ [\ frac (\ kaliwa (2x + 1 \ kanan) \ kaliwa (2x-3 \ kanan)) (4) = ((x) ^ (2)) - 1 \]

Tanggalin natin ang mga praksyon sa equation na ito:

\ [\ frac (\ left (2x + 1 \ kanan) \ left (2x-3 \ kanan) \ cdot 4) (4) = \ left (((x) ^ (2)) - 1 \ kanan) \ cdot 4 \]

Magbayad ng pansin: ang lahat ay pinarami ng "apat" nang isang beses, ibig sabihin. dahil lamang sa mayroon kang dalawang panaklong ay hindi nangangahulugang kailangan mong paramihin ang bawat isa sa kanila ng apat. Isulat natin:

\ [\ left (2x + 1 \ kanan) \ left (2x-3 \ kanan) = \ left ((((x) ^ (2)) - 1 \ kanan) \ cdot 4 \]

Ngayon buksan natin:

Ginagawa namin ang pag-iisa ng variable:

Isinasagawa namin ang pagbawas ng mga katulad na termino:

\ [- 4x = -1 \ kaliwa | : \ kaliwa (-4 \ kanan) \ kanan. \]

\ [\ frac (-4x) (- 4) = \ frac (-1) (- 4) \]

Nakuha namin ang pangwakas na solusyon, pumunta sa pangalawang equation.

Halimbawa Blg 2

\ [\ frac (\ kaliwa (1-x \ kanan) \ kaliwa (1 + 5x \ kanan)) (5) + ((x) ^ (2)) = 1 \]

Ginagawa namin ang lahat ng parehong pagkilos:

\ [\ frac (\ left (1-x \ kanan) \ left (1 + 5x \ kanan) \ cdot 5) (5) + ((x) ^ (2)) \ cdot 5 = 5 \]

\ [\ frac (4x) (4) = \ frac (4) (4) \]

Ang problema ay nalutas.

Sa katunayan, iyon lang ang nais kong sabihin ngayon.

Pangunahing puntos

Ang mga pangunahing natuklasan ay ang mga sumusunod:

• Alamin ang algorithm para sa paglutas ng mga linear equation.
• Kakayahang buksan ang mga braket.
• Huwag mag-alala kung mayroon kang mga quadratic function saanman, malamang na sila ay lumiit sa proseso ng karagdagang mga pagbabago.
• Ang mga ugat sa mga linear equation, kahit na ang pinakasimpleng mga, ay may tatlong uri: isang solong ugat, ang buong linya ng numero ay isang ugat, wala talagang mga ugat.

Inaasahan kong matutulungan ka ng araling ito na makabisado ng isang simple, ngunit napakahalagang paksa para sa karagdagang pag-unawa sa lahat ng matematika. Kung may isang bagay na hindi malinaw, pumunta sa site, malutas ang mga halimbawang ipinakita doon. Manatiling nakatutok, maraming iba pang mga kagiliw-giliw na bagay na naghihintay para sa iyo!

Paksa ng aralin:

Linear Equation sa Isang Variable

Kudelko Marina

Mga layunin sa aralin:

Pang-edukasyon: pagsamahin ang konsepto ng isang equation, ang mga ugat ng isang equation, tandaan kung ano ang ibig sabihin nito upang malutas ang isang equation, ipakilala at malaman ang konsepto ng isang katumbas na equation, isang linear equation, upang makahanap ng mga linear equation at malaman kung paano ito malulutas , dapat malaman ng mga mag-aaral kung gaano karaming mga ugat ang maaaring magkaroon ng isang linear equation.

Pagbubuo: Upang mabuo ang kawastuhan ng mga mag-aaral sa pagsulat ng mga tala, mga kasanayan sa computational ng mga mag-aaral, upang mabuo ang interes at pag-ibig para sa paksa, memorya at pagpapatakbo ng kaisipan, upang mabuo ang kakayahang malinaw at malinaw na ipahayag ang kanilang mga saloobin, upang malinaw na mabuo ang mga katanungan.

Pang-edukasyon: Itaguyod ang pagkakakilanlan at pagsisiwalat ng mga kakayahan ng mga mag-aaral, itanim ang kalayaan.

Uri ng aralin: pag-aaral ng bagong materyal.

Plano ng aralin:

.Tseke sa gawaing bahay (5 minuto)

Dahil ang aralin ngayon ay isang aralin sa pag-aaral ng mga bagong materyal, walang oras upang suriin ang aking takdang-aralin, mangongolekta ako ng mga notebook para sa pagsusuri, na binalaan nang maaga ang mga mag-aaral. Ilalagay ng mga mag-aaral ang kanilang mga notebook sa gilid ng desk.

.Pag-update ng pangunahing kaalaman

Sa simula ng aralin, kasama ang mga mag-aaral, kailangan mong alalahanin ang mga pamilyar na konsepto ng equation, ang ugat ng equation, tandaan ang kahulugan ng kinakailangan upang malutas ang equation. Nagsasagawa ang guro ng isang pangharap na survey. At naghanda din ang guro ng maliliit na mga halimbawa sa pisara nang maaga sa mga katanungang ito, ang mga mag-aaral ay pumupunta sa pisara at magpasya sa kanilang sarili, mas mabuti nang walang tulong ng guro, dahil ito ay sakop na materyal.

Patunayan na ang bawat isa sa mga numero -5, 0, 3 ay isang ugat ng equation:

A) z (z-3) (z + 5) = 0;

Lutasin ang equation:

Hanapin ang ugat ng equation:

Dahil sa paksang ito kailangan nating gumana sa isang konsepto na hindi alam ng mga mag-aaral, dapat muna nating ipakilala ito. Ang konseptong ito ay katumbas ng mga equation. Maaari ka munang magbigay ng maraming mga equation, hilingin sa mga mag-aaral na lutasin ang mga ito. Pagkatapos ay tanungin kung ano ang karaniwan sa pagitan ng mga equation. Ito ay lumalabas na kung ano ang magkatulad ang mga equation ay ang kanilang magkatulad na mga ugat. Kung hindi agad naiintindihan ng mga mag-aaral, kailangang magbigay ng ilang halimbawa. At upang sabihin na ang ganitong uri ng equation ay tinatawag na katumbas. Yung. Ang mga katumbas na equation ay mga equation na may parehong mga ugat.

Katumbas ba ang mga equation ???

Maaari mong dalhin ang mga palatandaan sa pisara (o sa interactive na whiteboard):

3. Pag-aaral ng bagong materyal

Ngayon na naalala ang mga kinakailangang konsepto, ang ilang mga konsepto ay matagumpay na ipinakilala, magpatuloy tayo sa pag-aaral ng bagong materyal.

Inihanda ng guro ang isang guhit sa pisara nang maaga (o isang pagtatanghal sa paksang ito, na mas mahusay).

Nag-aalok ang guro ng problema sa mga mag-aaral.

Solusyunan natin ang equation na maaaring mailarawan sa mga numero: ang linear root ay katumbas ng equation

Ipinakita namin ang kundisyon ng equation sa anyo ng isang larawan, na kung saan ay mas malinaw at mas nauunawaan para sa mga mag-aaral. Binibigyan kami ng mga kaliskis kung saan mayroong mga tasa ng tsaa at timbang, at magkabalanse ang bawat isa.

Ngayon ay magtatalo kami kung ano ang mangyayari sa aming mga timbang kung ibabawas o idagdag namin ang parehong bilang ng mga pack ng tsaa.

Maaari kang mangatwiran ng ganito. Ang balanse ng relo ay hindi maaabala kung ang 3 mga pakete ng tsaa ay aalisin sa bawat tasa. (Makikita ito sa Larawan 2). Kung 2 pack ng tsaa (!! ng parehong bigat !!) timbangin ng 150g, pagkatapos ang isang pakete ng tsaa ay may bigat na 150g. : 2 = 75g.

Ang mga pagsasaalang-alang na ito ay nagpapakita ng isang paraan upang malutas ang equation na ito. Ibawas ang ekspresyon mula sa kaliwa at kanang bahagi ng equation. Nakukuha namin:

Ang mga termino at - sa kanang bahagi ay nagbibigay ng zero. Samakatuwid, nakukuha natin ang:

Nangangahulugan ito ng sagot: ginagawa ng guro ang mga pagkilos na ito kasama ang mga mag-aaral, dapat silang mag-prompt at tulungan siya. Maaaring hilingin ng guro na ulitin kung ano ang nasabi o, kung ano ang mas mahusay, upang ipaliwanag ang problemang ito sa bawat isa nang pares, at isa o isang pares ng mga mag-aaral pagkatapos ay sa pisara. Hindi nakakalimutan ng guro na purihin ang mga mag-aaral.

Pagkatapos, magkasama, sa harap, malulutas namin ang sumusunod na halimbawa.

Solusyunan natin ang equation:

Kung nagdagdag kami ng isang expression sa bawat bahagi ng equation, pagkatapos pagkatapos ng multo ng mga katulad nito ay walang mga term na may variable sa kanang bahagi, gawin natin ito (hiniling ng guro sa mga mag-aaral na bigkasin nang malakas ang mga pagkilos, maaari niyang hilingin sa isang indibidwal na mag-aaral na magsalita o magpaliwanag):

(Sipiin natin ang mga katulad nito at tandaan na ang 3x at -3x ay kapwa kinansela.)

Sa paghahambing ng nagresultang equation sa data, tandaan namin na ang term - lumipas mula sa kanang bahagi sa kaliwa gamit ang kabaligtaran na karatula. Nagbibigay kami ng mga katulad sa kaliwa:

Tandaan na ang equation ay nakuha mula sa equation pagkatapos ilipat ang numero mula sa kaliwang bahagi ng equation sa kanang bahagi na may kabaligtaran na pag-sign.

Sa wakas, mahahanap namin:

Napansin namin na kung sa equation ang anumang term ay inililipat mula sa isang bahagi patungo sa isa pa, binabago ang sign nito, kung gayon ang isang equation na katumbas ng naibigay na isang ay makukuha.

Inililipat nila ang term na hindi lamang ganoon, ngunit upang may mga term na may variable sa kaliwang bahagi, at mga kilalang numero sa iba pa. Sa kaliwa - hindi kilala, sa kanan - kilala.

Kung ang equation ay naglalaman ng panaklong, dapat mo munang palawakin ang mga ito.

Pagtuturo

Kailangan mo ng tulong sa pagtuklas ng isang paksa?

Papayuhan o ibibigay ng aming mga dalubhasa ang mga serbisyo sa pagtuturo sa mga paksang nais mo.
Magpadala ng isang kahilingan na may pahiwatig ng paksa ngayon upang malaman ang tungkol sa posibilidad ng pagkuha ng isang konsulta.