Ushbu darsda biz kesilgan piramidaga qaraymiz, biz to'g'ri kesilgan piramida bilan tanishamiz, biz ularning xususiyatlarini o'rganamiz.

Uchburchak piramida misolida N-ko'ylak piramidas kontseptsiyasini eslang. ABC uchburchagi. Uchburchakning uchlariga ulangan uchburchakli uchburchak tekisligidan tashqarida. Olingan ko'p qirrali sirt piramida deb ataladi (1-rasm).

Anjir. 1. Uchburchak piramida

Piramida piramidaning asosiy samolyotiga parallel ravishda displey. Ushbu samolyotlar orasida olingan raqam kesilgan piramida (2-rasm) deb ataladi.

Anjir. 2. kesilgan piramida

Asosiy elementlar:

Top bazasi;

ABCning pastki asosi;

Tomon yuz;

Agar pH asl piramidaning balandligi bo'lsa, unda kesilgan piramidaning balandligi.

Kuzilgan piramidali xususiyatlari uning qurilishi usulidan chiqib, bazal samolyotlarning parallel tabiatidan:

To'plangan piramidaning barcha yuzlari trapezes. Masalan, chetni e'tibor bering. Bu parallel samolyotlar mulkida (samolyot parallel bo'lganligi sababli, ular parallel to'g'ridan-to'g'ri to'g'ridan-to'g'ri yo'nalishda va parallel emas). Shubhasiz, to'rtburchaklar trapzum, barcha bo'laklardagi piramida kabi.

Portlashlarning nisbati barcha pallalar uchun tengdir:

Bizda bir xilma-o'xshash koeffitsient bilan bir necha juft juftliklar bor. Masalan, uchburchaklar va ekviatsiya samolyotlar va o'xshash nisbatlar nisbati tufayli o'xshashdir:

Shu bilan birga, u o'xshash nisbat bilan uchburchaklar va RVS ga o'xshaydi:

Ko'rinib turibdiki, bunday uchburchaklarning barcha uch juftlik uchun o'xshash koeffitsientlar tengdir, shuning uchun zaminlarning nisbati barcha trapezum uchun teng.

To'g'ri kesilgan piramida - bu tekislikka parallel bo'lgan tekislik bilan to'g'ri piramida joylashgan kesilgan bo'g'in bilan olingan kesilgan piramida (3-rasm).

Anjir. 3. To'g'ri kesilgan piramida

Ta'rif.

To'g'ri narsa Piramida deb ataladi, uning asosi to'g'ri n-parlament yotadi va cho'qqisi ushbu N-maydonning markaziga mo'ljallangan (markazda yozilgan va chizilgan aylana).

Bunday holda, piramida asosiga, kvadrat bor va Vertex uning diagonallarining kesishgan joyiga mo'ljallangan. Olingan to'rtburchaklar piramida abkd - pastki asosi - bu eng yuqori asosi. Asl piramida - po, kesilgan piramida - (4-rasm).

Anjir. 4. To'g'ri to'rtburchak kesilgan piramida

Ta'rif.

To'plangan piramidaning balandligi har qanday bazaning istalgan nuqtasidan ikkinchi asbal tekislikka olib boriladi.

Asl piramidaning otasi - PM (m - o'rta AB), uchamidning apofeam - (4-rasm).

Ta'rif.

Apperam piramida - har qanday tomonning balandligi.

To'plangan piramidaning barcha latta qovurg'alari bir-biriga teng, ya'ni yon yuzlar teng trapzoidlar tengdir.

To'g'ri kesilgan piramidaning yon yuzasining maydoni bir apotem uchun bazaning perimetrlarining ishiga tengdir.

Isbot (to'g'ridan-to'g'ri to'rtburchak kesilgan piramida - 4-rasm):

Shunday qilib, isbotlash kerak:

Bu erda yon tomonning yon maydoni kosmik yuzlarning yig'indisidan iborat - Trapziyum. Traptzlar bir xil bo'lsa, bizda:

Muvozanat trapeziumining maydoni bu asoslar va balandlikning oraliqining mahsuloti, apofem Trapzeumning balandligidir. Bizda ... bor:

Q.E.D.

N-ko'ylak piramida uchun:

Bu erda n piramida, A va B - Trapzeum bazasi, - - apofem.

O'ng kesilgan to'rtburchaklar piramidaning yuzlari 3 sm teng va 9 sm, balandligi - 4 sm. Yon tomonning yon qismini toping.

Anjir. 5. 1-vazifa uchun rasm

Qaror. Biz shartni tasvirlaymiz:

Set: ,,,

Bir nuqtadan so'ng biz pastki poydevorning ikki tomoniga to'g'ridan-to'g'ri parallel ravishda amalga oshiramiz, to'g'ridan-to'g'ri nuqtai nazardan pul o'tkazamiz (6-rasm). To'plangan piramida bazalari, kvadratlar va qurilish parallel, biz tashqi yuzlarga teng bo'lgan trapeziy olamiz. Bundan tashqari, uning tomoni yon yuzmalarning yuqori va pastki qovurg'alarining o'rtasidan o'tib, apofal kesilgan piramida bo'ladi.

Anjir. 6. Qo'shimcha qurilish

Olingan Trapze (6-rasm) ni ko'rib chiqing (6-rasm). Ushbu trapeziyada yuqori bazada pastki taglik va balandlik ma'lum. Piramidani oldindan belgilab qo'yilgan piramida joylashgan yon tomonni topish talab qilinadi. Biz mn ga perpendikulyar o'tkazamiz. Perpendikulyar nqni tark qilish nuqtai nazaridan. Biz bundan katta bazani uch santimetr () bo'lgan segmentlarga bo'linamiz. To'rtburchaklar uchburchakni ko'rib chiqing, unda Kartetlar misrliklar uchburchagi, biz misrlik uchburchak, biz Pifagora teoremasiga ko'ra, biz gipotenuse uzunligini aniqlaymiz: 5 sm.

Endi piramidaning yon yuzasi maydonini aniqlash uchun barcha elementlar mavjud:

Piramida sarmoyaning poydevoriga parallel ravishda kesib o'tadi. Uchta qovurg'a va piramidalarning balandligi ushbu samolyotga mutanosib qismlarga bo'linishi haqida uchburchak piramida misolida isbotlang.

Dalillar. Biz quyidagilarni tasvirlaymiz:

Anjir. 7. 2-vazifa uchun rasm

Ravox piramida beriladi. PO - piramidaning balandligi. Piramida samolyotni ajratdi, kesilgan piramida olindi va. Gap shundaki, po balandligining kesishish nuqtasi kesilgan piramida asosi bilan. Buni isbotlash kerak:

Yechimning echimi parallel samolyotlarning mulki hisoblanadi. Ikki parallel samolyotlar har uchinchi samolyotni kesib o'tish liniyalari parallel ekanligi uchun ajralib turadi. Demak: Bunday uchburchaklarning to'rtta juftligi uchun to'g'ridan-to'g'ri oqimlar parallelizmidan:

Uchburchaklar o'xshashlikdan tegishli tomonlarning mutanosibligini anglatadi. Muhim xususiyati shundaki, ushbu uchburchaklardagi o'xshash omillar bir xil:

Q.E.D.

Bazaning balandligi va yon tomoni bo'lgan Ravoxning to'g'ri uchburchak piramida ABB bazasiga pH balandlikning o'rtasidan o'tib ketayotgan samolyotni ajratdi. Olingan kesilgan piramidaning yon qismini toping.

Qaror. Biz quyidagilarni tasvirlaymiz:

Anjir. 8. Vazifa uchun rasm

DSA - o'ng uchburchak, H ushbu uchburchakning markazi (markazni yozib qo'ydi va ular doiralarni yozilgan). Bosh vazir - berilgan piramidaning apofem. - Appperam piramida kesilgan. Parallel samolyotlar mulkiga ko'ra (ikki parallel samolyotlar chorrahalar parallel ekanligiga, bizda o'xshashlikning tengligi bilan bir necha juft uchburchaklar mavjud. Xususan, biz munosabat bilan qiziqamiz:

Biz NM topamiz. Bu bazada yozilgan doiraning radiusi, tegishli formula biz bilan mashhur:

Endi, ptifee teoremasi bo'yicha RNMning to'rtburchaklar uchburchagidan, biz asl piramidani topamiz:

Boshlang'ich munosabatdan:

Endi biz kesilgan piramidaning yon yuzasining maydonini topish uchun barcha elementlarni bilamiz:

Shunday qilib, biz kesilgan piramida va to'g'ri kesilgan piramidaning tushunchalari bilan tanishdik, asosiy ta'riflarga ko'ra, mulkni ko'rib chiqdik, bu xususiyatlarni yonma-yon joylashgan. Quyidagi dars muammolarni hal qilishga bag'ishlanadi.

Adabiyotlar ro'yxati

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. Geometriya. 10-11 sinf: Umumiy o'quv muassasalari talabalari uchun darslik (asosiy va profil darajasi) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-chi., Harakat. va qo'shing. - m .: Mnemoxina, 2008 yil .: 288-2.: Il.
2. Kinggin I. F. Geometriya. 10-11-sinf: Umumiy ta'lim muassasalari uchun darslik / Singygin I. - Mrop, Drop, 1999 yil .: 208 p .: Il.
3. E. V. Podoskuev, L. I. Zavolich. Geometriya. 10-sinf: Umumiy ta'lim muassasalari uchun matematika / profil o'qish bilan darslik o'tkazish. V. Pitoskuev, L. I. Zvalich. - 6 Ed., Stereotip. - m.: 2008 yil .: 233 c .: il.

1. Uztest.Ru ().
2. FMCLASS.RU ().
3. Webmath.Expona.ru ().

Uy vazifasi

- Bu piramida va xoch qismining poydevori asosida hosil bo'lgan polietron. Aytish mumkinki, kesilgan piramida kesilgan uchi bilan piramida. Bu raqamda juda ko'p noyob xususiyatlarga ega:

• Piramidalarning yon yuzlari trapezes;
• Bir xil uzunlikdagi to'g'ri kesilgan piramidaning yon qirralari va shu burchakdagi bazaga moyil;
• Asoslar o'xshash ko'pburchaklar;
• To'g'ri kesilgan piramidada yuzlar bir xil bo'lmagan trapapes, uning maydoni teng. Ular ham bir burchakda bazaga o'ralgan.

Kuzilgan piramidaning yon sirt maydoni formulasi uning tomonlarining joylarining yig'indisidir:

Kesilgan piramida tomonlarning yon tomonlaridan, keyin parametrlarni hisoblash uchun formulani ishlatishga to'g'ri keladi kvadrat trapezium. To'g'ri kesilgan piramida uchun siz hududni hisoblash uchun boshqa formulani qo'llashingiz mumkin. Uning barcha tomoni, yuzlari va burchaklar tengdir, shunda siz tayanch va apofemning perofemlarini qo'llashingiz, shuningdek, bazada burchakdan o'tish joyini olishingiz mumkin.

Agar to'g'ri kesilgan piramida, apofem (yon tomonning balandligi) va tayanch tomonning uzunligi ko'rsatilgan holatlarga ko'ra, u erda perimetrlar miqdorini yarim ishlab chiqarish orqali hisoblash mumkin. Asoslar va apofem:

Keling, kesilgan piramidaning yon yuzasining hududini hisoblash misolini ko'rib chiqaylik.
Dana O'ng pentagon piramida. Apothem l. \u003d 5 sm, katta bazadagi yuzning uzunligi tengdir a. \u003d 6 sm va kichikroq bazada yuz b. \u003d 4 sm. Kuzilgan piramida joylashgan joyni hisoblang.

Avvaliga, biz perimetrlarni topamiz. Bentagonal piramida ekanligimizdan beri biz poydevorning penttonlari ekanligini tushunamiz. Shunday qilib, bazada beshta bir xil tomonlar bo'lgan raqam mavjud. Biz kattaroq bazaning perimetri topamiz:

Xuddi shu tarzda, biz kichikroq bazaning perimetri topamiz:

Endi biz o'ng kesilgan piramidaning maydonini hisoblashimiz mumkin. Biz ma'lumotlarni formulaga almashtiramiz:

Shunday qilib, biz perimetr va apofem orqali o'ng kesilgan piramidas hududini hisoblab chiqdik.

O'ng piramidaning yon tomonini hisoblashning yana bir usuli - bu formula baylar orqali poydevor va bu poydevorlarning maydoni orqali.

Keling, hisoblash misolini ko'rib chiqaylik. Ushbu formula faqat to'g'ri kesilgan piramida uchun qo'llanilishini eslaymiz.

To'g'ri to'rtburchak piramida berilsin. Quyi bazaning yuzi a \u003d 6 sm va yuqori yuzni b \u003d 4 sm. Bie b \u003d 60 ° dagi ikki marta burilgan burchakka. To'g'ri kesilgan piramidaning yon sirt maydonini toping.

Avvaliga biz asosiy maydonni hisoblaymiz. Piramida to'g'ri bo'lganligi sababli, erlar bir-biriga tengdir. Buni bazada to'rtburchak borligini hisobga olib, biz hisoblash kerakligini tushunamiz kvadrat maydoni. Bu uzunlikdagi kenglikning mahsuloti, ammo maydonda bu qadriyatlar bir-biriga to'g'ri keladi. Biz kattaroq bazani topamiz:


Endi biz topilgan sirt maydonini hisoblash uchun topilgan qiymatlardan foydalanamiz.

Bir nechta oddiy formulalarni bilish, biz turli xil qadriyatlar orqali kesilgan piramidaning yonbosh trapezoidining slicerni osonlikcha hisoblab chiqamiz.

• 29.05.2016

  O'sish davri - bu elektr aylanishidir, unda induktor indikator, kapalalani va elektr manbai. Zanjirli elementlarning ketma-ket aloqasi bilan, tebranish davri ketma-ket deb ataladi, parallel parallel bilan. Turli xil tuman - bu bepul elektromagnit tebranishlar yuzaga kelishi mumkin bo'lgan eng oddiy tizim. Konturning rezonans chastotasi Thomson formulasi bilan belgilanadi: ƒ \u003d 1 / (2p√ (LC) ...

• 20.09.2014

  Qabul qilgich DV oralig'ida signal olish uchun mo'ljallangan (150xz ... 300xz). Antennadagi qabul qiluvchining asosiy xususiyati, bu odatdagi magnit antennaga qaraganda ko'proq ichkariga ega. Kesilgan kapalakning sig'imini 4 ... 20PF quvvatini qo'llash imkonini beradi, shuningdek, bunday qabul qilgich maqbullik va RF yo'lining kichik kuchayishi. Qabul qilgich naushniklar (naushniklar) ustida ishlamoqda, ozuqa ...

• 24.09.2014

  Bu suyuqlik darajasini tekshirish darajasini boshqarish uchun suv idishga to'g'ri keladigan suyuqlikni boshqarish uchun suyuqlik, suyuqlik sathi to'plamning tanqidiy darajasiga ko'tarilganda doimiy signalni boqishni boshlaydi - Uzoq vaqtincha signalni boqishni boshlaydi. Ko'rsatkich 2 generatordan iborat, ular sensor elementini boshqaradi E. U suv ombori uchun joylashtirilgan ...

• 22.09.2014

  CR1016V1 - bu ILC3-5 \\ 7 indikatori bilan ishlash uchun mo'ljallangan raqamli ko'p tomonlama taymer. Bu vaqt va daqiqalarda, haftaning kunida va daqiqalar kuni va boshqaruv kanalining raqami (9 signal) ni hisobga olish va namoyish etadi. Budilnikning signalli soat sxemasi raqamda ko'rsatilgan. Kv chipini oladi. 32768hz-da rezonanator Q1. Oziqlanish - manfiy, umumta'da plyus ...

Piramida. Kesilgan piramida

Piramida Polihedron deb ataladi, ularning ko'pburchalaridan biri ( asos ), va boshqa barcha yuzlar uchburchaklar umumiy verex ( yon qirralar ) (15-rasm). Piramida qo'ng'iroq qildi to'g'ri Agar uning bazasi to'g'ri ko'pburchak bo'lsa va piramida cho'qqi cho'qqilar poydevor markaziga mo'ljallangan (16-rasm). Barcha qovurg'alar teng bo'lgan uchburchak piramida tetraedr .

Yon qirrasi piramidalar poydevorga tegishli bo'lmagan tomonning yon tomoni deyiladi Balandlik Piramidalar uning vertexidan tayanch tekislikka o'tishadi. O'ng piramidaning barcha tomonlari bir-biriga teng, ularning barcha yuzlari teng uchburchaklarga teng. Yuqoridan o'tgan o'ng piramidaning yon tomonining balandligi deyiladi apoftian . Diagonali o'zaro kesish Piramida xoch qismi bir yuzga tegishli bo'lmagan ikki yon qovurg'alar orqali o'tadigan samolyot deyiladi.

Yon sirt maydoni Piramidalar barcha yuzlarning maydoni deb nomlanadi. Sirt maydoni Barcha yuzlar va bazalarning maydoni deb nomlanadi.

Teoremalar

1. Agar piramida bo'lsa, barcha qirralar asosiy samolyotga teng bo'lsa, piramidaning cho'qqisi bazaning yonida tasvirlangan doira markaziga mo'ljallangan.

2. Agar piramida bo'lsa, unda barcha qovurg'alar teng uzunliklarga ega bo'lsa, piramidaning yuqori qismi bazaning yonida tasvirlangan doira markaziga mo'ljallangan.

3. Agar piramida bo'lsa, barcha tomonlar bazal samolyotga olib borilgan bo'lsa, piramidaning yuqori qismi bazada yozilgan doira markaziga mo'ljallangan.

O'zboshimchalik bilan piramidaning hajmini hisoblash uchun formula haqiqat:

qayerda V. - hajmi;

S osn - asosiy maydoni;

H. - piramidaning balandligi.

To'g'ri piramida uchun sodiq formulasi:

qayerda p. - poydevorning perimetri;

h a. - Apofem;

H. - bo'yi;

S to'liq

S

S osn - asosiy maydoni;

V. - o'ng piramidaning hajmi.

Kesilgan piramida Piramida asosiga parallel ravishda piramida va xavfsiz tekislik o'rtasida tuzilgan piramidaning bir qismi (17-rasm). To'g'ri kesilgan piramida Bu poydevor va piramida asosiga parallel ravishda to'g'ri piramidaning bir qismi deb ataladi.

Asos piramida - shunga o'xshash ko'pburchaklar. Yon qirralar - Trapezum. Balandlik Kuzilgan piramida uning bazalari orasidagi masofa. Diagonal Kuzilgan piramida bir yuzda yotgan uchlarini bog'laydigan segment deyiladi. Diagonali o'zaro kesish Kuzilgan piramidaning kesishishi - bu bitta yuzga tegishli bo'lmagan ikki yon qovurg'alar orqali o'tadigan samolyot.

Kuzilgan piramida, formulalar amal qiladi:

(4)

qayerda S. 1 , S. 2 - Yuqori va pastki asoslar;

S to'liq - to'liq yuzaning maydoni;

S - Yonloq yuzasi maydoni;

H. - bo'yi;

V. - kesilgan piramidaning hajmi.

To'g'ri kesilgan piramida uchun formula haqiqatdir:

qayerda p. 1 , p. 2 - poydevorlarning perimetrlari;

h a. - O'ng kesilgan piramidaning apofem.

1-misol. To'g'ri uchburchak piramida, bazadagi xunbon burchagi 60º. Baza tekisligiga yonma-yon tutqichning egilish burchagini toping.

Qaror. Rasm chizish (18-rasm).

Piramida to'g'ri, bu teng tomonli uchburchakning tagida va barcha yuzlarning barchasi teng uchburchaklarga teng. Bayomdagi mitti burchagi - bu piramidaning yon tomonining tayanch tekisligiga moyilligi burchagi. Chiziqli burchak burchak bo'ladi a. Ikki perpendikulyar: va i.e. Piramidaning yuqori qismi uchburchakning markazida (ta'riflangan doiraning markazi va uchburchakda yozilgan doiralar Shodlik). Yon tomonning moyilligi burchagi (masalan Sb.) Chet ellik samolyotdagi burchak va uning poydevori orasidagi burchak. Qovurg'a uchun Sb. Bu burchak burchak bo'ladi SBD.. Katetani bilishingiz kerak bo'lgan tangentslarni topish Shunday qilib. va Ob.. Kesish uzunligi Bd. 3 ga teng. lekin. Gap Haqida Bo'lim Bd. qismlarga bo'lingan: va topilmadan Shunday qilib.: Topilmadan:

Javob:

2-misol. Agar uning asoslari diagonallari sm va sm ga teng bo'lsa, to'g'ri kesilgan to'rtburchak piramidaning ovozini toping va balandligi 4 sm.

Qaror. To'plangan piramidaning hajmini topish uchun biz formuladan (4) foydalanamiz. Er ostidagi joylarni topish uchun ularning diagonallarini bilib, kvadratlarning yon tomonlarini topish kerak. Bazaning yon tomonlari mos ravishda 2 sm va 8 sm. Shunday qilib, er maydoni va formuladagi barcha ma'lumotlarni formulada almashtirish, kesilgan piramidaning ovoz balandligini hisoblang:

Javob: 112 sm 3.

3-misol. Triangullar kesilgan piramidaning yon tomonlarini toping, ularning asosi 10 sm va 4 sm va piramida 2 sm balandlikdagi balandligi.

Qaror. Rasm chizish (19-rasm).

Ushbu piramidaning yon qismi - bu muvozanat trapezi. Trapzeum maydonini hisoblash uchun poydevor va balandlikni bilish kerak. Bazalar shart bo'yicha beriladi, bu faqat balandligi noma'lum. Biz qaerdan topamiz Ammo 1 E. Nuqtadan perpendikulyarlik Ammo 1 past bazal tekislikda, A. 1 D. - perpendikulyar Ammo 1 yoqilgan O'tkir. Ammo 1 E. \u003d 2 sm, chunki bu piramidaning balandligi. Topmoq De. Biz qo'shimcha ko'rinishga qo'shimcha ravishda chizmaga qo'shamiz (20-rasm). Gap Haqida - Yuqori va pastki bazalarning markazlarini proektsiyasi. Chunki (20-rasmga qarang) va boshqa tomondan OK - Samarerga yozilgan radiu va Oh. - Radiu aylanada yozilgan:

Mk \u003d de..

Pifeografo teoremasiga ko'ra

Yon tomoni:

Javob:

4 misol. Piramida asosi hududlar muvozanatli trapeziy, buning poydevori lekinva b. (a.> b.). Har bir tomoni piramida burchak bazasining asosi bilan o'ralgan j.. Piramidaning to'liq yuzasi maydonini toping.

Qaror. Keling, chizamiz (21-rasm). Piramidaning to'liq yuzasi SABCD. kvadrat va trapez maydoniga teng A B C D..

Tasdiqdan foydalanamizki, agar piramidalarning barcha qirralari bazal tekislikka joylashtirilgan bo'lsa, Vertex doira ostiga kiritilgan markazga mo'ljallangan. Gap Haqida - vertexni proektsiyasi S. Piramida asosiga. Uchburchak Sod. ortogonal uchburchak proektsiyasi CSD. Asosiy samolyotda. Ortiqcha proektsiya sohasidagi teorema bilan biz quyidagilarni olamiz:

Shunga o'xshab, bu degani Shunday qilib, vazifa trapezoid maydonini topish uchun qisqartirildi Assd.. Trapziyani ko'rsating A B C D.alohida (2-rasm). Gap Haqida - aylana doirasida yozilgan markaz.

Trapete-da, keyin yoki bizda bo'lgan pifoore-dan doira kiradi